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专题06 角平分线的性质与判定
常考题型·精准突破
题型1 利用角平分线性质求解（重）
题型2 角平分线的实际应用
题型3 角平分线性质和判定的综合问题（高频）
题型4 作垂线与角平分线（尺规作图）
题型5 与角平分线有关的新定义型问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 利用角平分线性质求解
1．（25-26 八年级上·吉林长春·期末）如图，在
ABC
V
中，
90
ACB
Ð
=
°，BE 平分
ABC
Ð
，交AC 于点E，
DE
AB
^
于点D，如果
3
AE =
，
5
AC =
，那么DE 的长是
．
2．（25-26 八年级上·北京·期末）如图，AD 是
ABC
V
的角平分线，BE 是
ABD
△
边AD 上的中线，若
ABC
V
的面积是18．
6,
3
AB
AC
=
=
，则ABE
V
的面积是 ．
3．（25-26 八年级上·安徽合肥·期末）如图，AD 为
ABC
V
的中线，BE 为
ABD
△
的角平分线，在BED
V
中作
BD 边上的高EM ．
（1）若
40
BED
Ð
=
°，
25
BAD
Ð
=
°，
ABD
Ð
的度数为
；
（2）在（1）的条件下，若
ABC
V
的面积为40，
5
BD =
，则EM 的长为
．
◆题型2 角平分线的实际应用
4．（25-26 八年级上·上海金山·期末）上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，
ABC
V
是一个正在修建
的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭H ，使该凉亭到公路AB
AC
BC
、
、
的距离都相等，则凉亭H 是
ABC
V
的（ ）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三角形的内心
D．三角形的外心
5．（25-26 七年级下·贵州毕节·阶段检测）如图所示的是一块三角形草坪ABC ，现要在草坪上建一凉亭供
大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（ ）
A．ABC
V
三条中线的交点处
B．ABC
V
三条角平分线的交点处
C．ABC
V
三条高所在直线的交点处
D．ABC
V
三边的垂直平分线的交点处
6．（24-25 九年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图，直线a
b
c
、、表示三条公路，现要建一个货物中转站，要
求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处
B．两处
C．三处
D．四处
◆题型3 角平分线性质和判定的综合问题
7．（25-26 八年级下·广东河源·阶段检测）如图，在ABC
V
中，
90
C
Ð
=
° ，D 是BC 上一点，若过点D 作
DF
AB
^
，垂足为F，点E 在AC 上，DE
BD
=
，CE
FB
=
．
(1)求证：AD 平分
BAC
Ð
；
(2)请你判断AE
AF
BF
，
，
之间的数量关系，并说明理由．
8．（25-26 九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，在ABC
V
中，点D 在BC 边上，
100
BAD
Ð
=
° ，
ABC
Ð
的平
分线交AC 于点E，过点E 作EF
AB
^
，垂足为F，且
50
AEF
Ð
=
°，连接DE ．
(1)求
CAD
Ð
的度数；
(2)求证：DE 平分
ADC
Ð
；
(3)若
6
AB =
，
4
AD =
，
8
CD =
，且
12
ACD
S
=
V
，求ABE
V
的面积．
9．（25-26 八年级上·福建厦门·期中）如图，在
ABC
V
中,
,
AB
AC
BAC
a
=
Ð
=
，点D 在AC 的右侧且满足
,
BC
BD
DBC
b
=
Ð
=
，连接
,
AD CD ，其中2
180
a
b
+
=
°．
(1)求证：
BAC
BDC
Ð
= Ð
；
(2)如备用图，延长CD 至点M，使得CM
BC
=
．
求证：①AD 平分
BDM
Ð
；
②点M 在线段BA 的延长线上．
◆题型4 作角平分线（尺规作图）
10．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
50
BAC
B
Ð
=
° Ð
=
° ，AD
BC
^
于点D．
(1)利用圆规和无刻度直尺作出
BAC
Ð
的平分线AE 交BC 于点E；（保留作图痕迹）
(2)求
DAE
Ð
的度数．
11．（25-26 七年级下·广东清远·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
A
Ð
=
°，
8
BC = ．
(1)请用尺规作出
ABC
Ð
的平分线，交AC 于点D （保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)若
4
AD =
，求BCD
V
的面积．
12．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，AB
CD
∥
，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，
AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F 为圆心，大于1
2 EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，作射线AP ，
交CD于点M ．
(1)求证：AP 平分
CAB
Ð
；
(2)若
114
ACD
Ð
=
°，求
MAB
Ð
的度数；
(3)若CN
AM
^
，垂足为N ，求证：
CAN
CMN
△
≌△
．
◆题型5 与角平分线有关的新定义型问题
13．（24-25 八年级上·上海·期中）定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，
我们就称这两个三角形为友谊三角形．
(1)若两个三角形全等，它们______（填是或不是）友谊三角形；
(2)如图，在四边形ABCD 中，AC 平分
BAD
Ð
，AD
AB
>
，ABC
V
与ACD
V
是友谊三角形，请探究
D
Ð
与
B
Ð
之间的关系．
14．（25-26 八年级上·山东德州·期中）【问题情境】
在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识：
定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形，如图1，在四边形ABCD 中，AB
AD
=
，
180
B
D
Ð + Ð
=
°，这种四边形被称为等补四边形．
【探究实践】经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现．
(1)如图2，李明发现，连接CA ，则CA 为
BCD
Ð
的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由；
(2)如图3，王红发现，在等补四边形ABCD 中，当AB
BC
^
，AD
CD
^
，
1
2
EAF
BAD
Ð
=
Ð
时，BE
EF
，
与
FD 之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由．
15．（25-26 八年级上·全国·期中）我们定义：如图1，在四边形ABCD 中，如果
A
a
Ð
=
，
180
C
a
Ð
=
°-
，
对角线BD 平分
ABC
Ð
，我们称这种四边形为“分角对补四边形”．
(1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形” ABCD 中，当
90
a =
°时，根据教材中一个重要性质直接可得
DA
DC
=
，这个性质是_________；（填序号）
①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理．
(2)猜想论证：如图2，当a 为任意角时，猜想DA 与DC 的数量关系，并给予证明；
(3)探究应用：如图3，在等腰ABC
V
中，
100
BAC
Ð
=
° ，BD 平分
ABC
Ð
，求证：BD
AD
BC
+
=
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在ABC
V
中，
90
B
Ð
=
° ，AD 平分
BAC
Ð
交BC 于点D ，
10
BC =
，点D 到AC 的距离为4 ，则CD的长为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．10
2．（25-26 七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，ABC
V
的三边
,
,
AB BC CA 的长分别为40，50，60，其三条角平
分线交于点O ，则
:
:
ABO
BOC
CAO
S
S
S
V
V
V
（ ）
A．1:1:1
B．4:5:6
C．3: 4:5
D．5: 4:6
3．
（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形ABCD 中，
90
B
C
Ð
= Ð
=
° ，ADC
Ð
的平分线DE 与
DAB
Ð
的平分线AE 交于BC 边上的点E 处，EF
AD
^
于点F ．若
12
BC =
，则EF 的长为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
4．（25-26 八年级下·河北保定·期末）如图，Rt
ABC
△
中，
90
C
Ð
=
° ，
38
B
Ð
=
° ，以点A 为圆心，适当长为
半径画弧，交AB 于点E ，交AC 于点F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于1
2 EF 的长为半径画弧，两弧（所
在圆的半径相等）在
BAC
Ð
的内部相交于点P ，画射线AP 与BC 相交于点D ，
3
CD =
，下列结论正确的是
（ ）
A．AC
BD
=
B．
64
ADC
Ð
=
°
C．
CAD
B
Ð
= Ð
D．B 到AD 的距离是3
5．（25-26 八年级下·河南郑州·期中）如图，在ABC
V
中，
BAC
Ð
和
ABC
Ð
的平分线
,
AE BF 相交于点O，过
点O 作OD
BC
^
于D，下列三个结论：①
1
90
2
AOB
C
Ð
=
° +
Ð
；②当
60
C
Ð
=
°时，AF
BE
AB
+
=
；③若
OD
a
=
，
2
AB
BC
CA
b
+
+
=
，则
ABC
S
ab
=
V
．．其中正确的是（ ）
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①③
二、填空题
6．（25-26 七年级下·江苏常州·期末）如图，AB CD
P
，作一条直线，分别交AB ，CD于点E ，F ，以点F
为圆心，任意长为半径作弧，分别交FE ，FD 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于1
2 MN 的长为
半径作弧，两弧相交于点G ，作射线FG ，交AB 于点H ．若
1
30
Ð =
° ，则
HEF
Ð
的大小为__________°．
7．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在ABC
V
中，点D 在边BC 上，连接AD ，
5
CD
BD
=
，CI
平分
ACB
Ð
交AD 于点I ，IH
AC
^
于点H ，若
6,
8,
2
ABD
BC
AC
S
=
=
=
V
，则IH 的长为_____．
8．（25-26 七年级下·陕西汉中·期末）如图，BD 是ABC
V
的角平分线，DE
AB
^
于点E ，AF 是ABD
V
的中
线，动点G 在BC 边上，连接DG ．若
6
AB =
，
ABF
△
的面积是3，则DG 的最小值为______________．
9．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在ABC
V
中，AD 是ABC
V
的角平分线，BE 是ABD
V
的中
线，过点D 分别作DF
AB
^
，DH
AC
^
，垂足分别为点F ，H ，若BED
V
的面积为2 ，AB 的长为4 ，则DH
的长为___________．
10．（25-26 七年级下·安徽宿州·期末）在锐角三角形ABC 中，
60
BAC
Ð
=
° ，BE 、CD分别为ABC
V
的角平
分线，BE 、CD相交于点F ．
（1）则
BFC
Ð
的度数为________；
（2）若FG 平分
BFC
Ð
，当
3
BD =
，
2
CE =
，
BFC
V
的面积为2.5 时，则BCD
V
的面积为________．
三、解答题
11．
（25-26七年级下·陕西渭南·期末）如图，AD 为ABC
V
的中线，BE 为ABD
V
的角平分线，过点E 作EN
AB
^
于点N ，EM 为BED
V
的高．
(1)若
140
BEA
Ð
=
° ，
25
BAD
Ð
=
°，求
ABD
Ð
的度数；
(2)若
16
AB =
，
8
BD =
，
64
=
VABC
S
，求EM 的长．
12．（25-26 七年级下·江西吉安·期末）已知OM 是
AOB
Ð
的平分线，点P 是射线OM 上一点，点C ，D 分别
在射线OA，OB 上，连接PC ，PD ．
【发现问题】
(1)如图①，当PC
OA
^
，PD
OB
^
时，则PC 与PD 的数量关系相等吗？说明理由．
【探究问题】
(2)如图②，点C ，D 在射线OA，OB 上滑动，且
90
AOB
Ð
=
° ，当PC
PD
^
时，PC 与PD 在【发现问题】
中的数量关系还成立吗？说明理由．
13．（25-26 八年级上·江西赣州·期末）【课本再现】如图是人教版八年级上册数学教材第50 页的部分内容．
我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
利用三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
【定理证明】
（1）请根据教材中的分析，结合图1，写出角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在角的平
分线上”完整的证明过程．
已知：点P 在OC 上，PD
OA
^
，PE
OB
^
，垂足分别为D 、E ，且______ ．
求证：OC 是
AOB
Ð
的平分线．
请根据上述已知和求证，写出证明过程．
【定理应用】
（2）如图2，
90
B
C
Ð
= Ð
=
° ，E 是BC 的中点，AE 平分
BAD
Ð
．求证：DE 是
ADC
Ð
的平分线．
【拓展提升】
（3）如图3，ABC
V
中，点D 在BC 边上，BE 平分
ABC
Ð
，DE 平分
ADC
Ð
．若
6
AB =
，
3
AD =
，
5
CD = ，
16
ACD
S
=
△
，请求出ABE
V
的面积．( 提示：过点E 作AB 的垂线)
14．（25-26 八年级上·全国·期末）如图，点M 为BC 的中点，DM 平分
ADC
Ð
．
(1)若
90
B
C
Ð
= Ð
=
° ．
①求证：AM 平分
BAD
Ð
．
②猜想线段CD，AB ，AD 之间的数量关系，并证明．
(2)若
75
B
Ð
=
° ，请你思考
C
Ð
应该满足什么条件，能使得（1）②中结论依然成立，并说明理由．
15．（24-25 八年级上·广东中山·期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“友好三角
形”．
(1)如图1，ABC
V
和ADE
V
互为“友好三角形”， 其中
,
,
AB
AC AD
AE
BAC
DAE
=
=
Ð
= Ð
， 连接
,
CE BD，
求证：CE
BD
=
；
(2)点D 是直线BC 上一动点（点D 不与点B，C 重合），以AD 为边向右构造ADE
V
，使得ABC
V
和ADE
V
互为“友好三角形”，其中
,
,
AB
AC AD
AE
BAC
DAE
=
=
Ð
= Ð
，连接EC ， 点F 在线段EC 右上方， 且点
E， C， F 三点共线．
①如图2， 当点 D 在线段BC 的左侧时， 求证：
ACF
ACB
Ð
= Ð
；
②如图3，当点D 在线段BC 上时，
ACF
Ð
与
ACB
Ð
的数量关系是否发生改变，并说明理由．
