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第十二章 全等三角形（知识归纳+题型突破）
1.了解全等图形与全等三角形的概念与性质．
2.掌握三角形全等的判定方法．
3.掌握角平分线的性质与判定．
一 全等图形
概念：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.
全等图形特征：
①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.
小结：一个图形经过平移,翻折,旋转后,位置变化了,但大小和形状都没有改变,即平移,翻折,旋转前后的
图形全等.
二 全等三角形
概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.
记作: ∆ABC ≌ ∆A’B’C’读作：∆ABC全等于∆A’B’C’
对应顶点：A和A’、B和B’、C和C’; 对应边：AB和A’B’、BC和B’C’、AC和A’C’;
对应角：∠A和∠A’、∠B和∠B’、∠C和∠C’
对应元素的规律:
(1)有公共边的，公共边是对应边；(2)有公共角的，公共角是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；
三、 全等三角形的判定（重点）
一般三角形 直角三角形
边角边（SAS）、角边角 具备一般三角形的判定方法
判定 （ASA） 斜边和一条直角边对应相等
（HL）
角角边（AAS）、边边边（SSS）
对应边相等，对应角相等
性质
对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
备注：1.判定两个三角形全等必须有一组边对应相等.
2.全等三角形周长、面积相等.
四、证题的思路（难点）
五、 角平分线的性质与判定
概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
数学语言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON
∴PA=PB
判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
数学语言：∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB
∴∠MOP=∠NOP
六、角平分线常考四种辅助线：
1.图中有角平分线，可向两边作垂线. 2.角平分线加垂线，三线合一试试看.
3.角平分线平行线，等腰三角形来添. 4.也可将图对折看，对称以后关系出现.
题型一 全等图形识别例题：（2023春·全国·七年级专题练习）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【巩固训练】
1．（2023春·广东深圳·七年级北大附中深圳南山分校校考期中）下列四个选项中，不是全等图形的是（
）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏·八年级假期作业）请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是__________．
3．（2023春·七年级课时练习）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠A＝110°，∠C＝60°，∠D′＝
105°，则∠B＝__________．
题型二 全等三角形的概念和性质
例题：（2023春·江苏盐城·七年级校考期中）下列说法中，正确的有（ ）
①形状相同的两个图形是全等形 ②面积相等的两个图形是全等形 ③全等三角形的周长相等，面积相等
④若 ，则 ，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【巩固训练】
1．（2023·全国·八年级假期作业）已知 ，且 与 是对应角， 和 是对应角，
则下列说法中正确的是（ ）
A． 与 是对应边 B． 与 是对应边
C． 与 是对应边 D．不能确定 的对应边2．（2023秋·八年级课时练习）如图， ，且 ， ，则 的度数为
______．
3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图， ，且 ， ， ，
求 和 的度数．
题型三 添一个条件使两三角形全等
例题：（2023春·山西临汾·七年级统考期末）如图，B，F，E，D四点共线， ， ．若要
使 ，则需要添加的条件是_______（只需添加一个你认为合适的条件即可）．
【巩固训练】
1．（2023春·广东·七年级统考期末）如图，已知 ，要判定 ，则需要补充
的一个条件为______（只需补充一个）．2．（2023春·广东茂名·七年级统考期末）如图，点D，E分别在线段 上， 相交于点O，
，要使 ，需添加一个条件是_____________（只需填一个即可）．
3．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知 ，要使用“ ”证明 ，应添加
条件：______________；要使用“ ”证明 ，应添加条件：_________________．
题型四 三角形全等的判定方法
例题:（2023·云南玉溪·统考三模）如图，点 在一条直线上， ，
求证： ．
【巩固训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知 ，点 分别在 上， ，
．(1)求证： ；
(2)求证： ．
2．（2023春·全国·七年级期末）如图，在 中，D是 延长线上一点，满足 ，过点C作
，且 ，连接 并延长，分别交 ， 于点F，G．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长度．
3．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，在 和 中， ，点B
为 中点， ．
(1)求证： ．
(2)若 ，求 的长．
4．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知点 是线段 上一点， ， ．(1)求证： ；
(2)求证： ．
5．（2023春·七年级单元测试）如图，已知 相交于点O， ， 于点M，
于点N， ．
(1)求证： ；
(2)试猜想 与 的大小关系，并说明理由．
题型五 角平分线的性质与判定定理
例题：（2022秋·河南开封·八年级校考阶段练习）如图， 中， ， 的平分线 交
于点D，若 ，则点D到 的距离是 cm．
【巩固训练】
1．（2023春·贵州·七年级统考期末）如图，已知 ，射线 平分 ，过点E作 于点
H，作 于点F，并延长 交 于点G，连接 ．若 ， 则 的长为．
2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，已知 垂足为 ， 垂足为 ， ，
．
(1)求证： 平分 ；
(2)丁丁同学观察图形后得出结论： ，请你帮他写出证明过程．
3．（2023秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图，在 中， ，D是 上一点，
于E，且 ．
(1)求证： 平分 ；
(2)若 ，求 的度数．4．（2023春·广西北海·八年级统考期中）如图，在 中， 的平分线与 的外角平分线交
于点 ， 于点 ， 于点 ．
(1)若 ，求点 到直线 的距离；
(2)求证：点 在 的平分线上．
题型六 几何动点中求使三角形全等的值
例题：（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考开学考试）如图，在 中， ， ，
，点 在直线 上．点 从点 出发，在三角形边上沿 的路径向终点 运动；点 从
点出发，在三角形边上沿 的路径向终点 运动．点 和 分别以 单位 秒和 单位 秒的速度
同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点
都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过 和 作 于点 ， 于点 ，则点
的运动时间等于 _____秒时， 与 全等．
【巩固训练】
1．（2023秋·八年级单元测试）如图，已知线段 ， 于点A， ，射线
于B，P点从B点向A运动，每秒走1m，Q点从B点向D运动，每秒走3m，P，Q同时从B出发，则出发
___________秒后，在线段MA上有一点C，使 与 全等．2．（2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末）如图， ， ， 为射线， ，点
P从点B出发沿 向点C运动，速度为1个单位/秒，点Q从点C出发沿射线 运动，速度为x个单
位/秒；若在某时刻， 能与 全等，则 ______．
3．（2023春·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习）如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD
＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts，且t≤5
（1）PC＝ cm（用含t的代数式表示）
（2）如图2，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以 cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在
这样的v值，使得以A﹑B﹑P为顶点的三角形与以P﹑Q﹑C为顶点的三角形全等？若存在，请求出 的值；
若不存在，请说明理由．
题型七 三角形全等判定与性质综合问题
例题：（2020秋·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在 中，
于 ，点 在边 上，连接 ．(1)求证： ．
(2)若 ，且 的面积等于24，求 的长．
(3)若 ，直接写出线段 的数量关系：________．
【巩固训练】
1．（2023春·辽宁丹东·七年级校联考期末）如图，在 中， 为 上一点， 为 中点，连接
并延长至点 ，使得 ，连 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，若 ， 平分 ， 平分 ，求 的度数．
2．（2022秋·河南开封·八年级校考阶段练习）如图， 是经过 顶点B的一条直线， ，
E、D分别是直线 上两点，且 ．(1)若直线 经过 的内部，且E、D在射线 上．
【问题情景】如图1，若 ， ，则 之间的数量关系是______；
【问题解决】如图2，若 ，那么当 ______°时，【问题情景】中的结论仍然成立，并说明理
由；
(2)若直线 经过 的外部．
【拓展提升】如图3， ，请写出关于 三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．
