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第十四章 全等三角形单元测试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如图，两个三角形为全等三角形，则∠α的度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
第1题图 第2题图 第3题图
2．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB 的是
（ ）
A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD
3．如图，要测量河两岸相对两点 A、B间的距高，先在过点 B的AB的垂线上取
两点C、D，使得CD=BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直
线上，可以证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这
里判定△EDC≌△ABC的理由是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
4.工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图所示，∠AOB是一个任
意角在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与
M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法的道理是（
）
A.HL B.SSS C.SAS D.ASA
第4题图 第5题图 第6题图
5．如图，已知∠MAN=55°，点B为AN上一点．用尺规按如下过程作图：
以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交 AN于点D，交AM于点E；以点B为圆
心，以AD为半径作弧，交AB于点F；以点F为圆心，以DE为半径作弧，交前
面的弧于点G；连接BG并延长交AM于点C．则∠BCM的度数为（ ）
A．70° B．110° C．125° D．130°
6．小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到
玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（ ）
A．① B．② C．③ D．①和②
7．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意
一点，下列选项正确的是（ ）
A．PQ≥5 B．PQ＞5 C．PQ＜5 D．PQ≤5
8．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条
公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
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学科网（北京）股份有限公司第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分
别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，
两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（
）
A．15 B．30 C．45 D．60
10．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形 ABCD是一个筝
形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：
①AC⊥BD；②AO=CO= AC；③△ABD≌△CBD，
其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点 A落在边CB
上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为 ．
第11题图 第12题图 第13题图
12．已知，如图，∠AOB=60°，CD⊥OA 于 D，CE⊥OB 于 E，若 CD=CE，则
∠COD+∠AOB= 度．
13．如图在等腰 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，
DE⊥AB于E，若AB=10，则△BDE的周长等于 ．
14．如图，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=12，BC=6，一条线段PQ=AB，P、Q两点
分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则
AP= ．
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学科网（北京）股份有限公司第14题图 第15题图
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．则下列结论：
① CD=ED，② AC+BE=AB，③∠BDE=∠BAC，④ AD 平分∠CDE，⑤ S ：
△ABD
S =AB：AC，其中正确的是 ．
△ACD
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E、F，DE=CF，AE=BF，求
证：AC∥BD．
17．（9分）已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
求证：DE=DF．
18．（9分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，
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学科网（北京）股份有限公司AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
求证：（1）△BAD≌△CAE；
（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
19．（9 分）已知如图 AD 为△ABC 上的高，E 为 AC 上一点 BE 交 AD 于 F 且有
BF=AC，FD=CD．求证：（1）△ADC≌△BDF；
（2）BE⊥AC．
20．（9分）图为人民公园的荷花池，现要测量此荷花池两旁 A、B两棵树间的
距离（不能直接测量），请你根据所学三角形全等的知识，设计一种测量方案
求出AB的长（要求画出草图，写出测量方案和理由）．
21．（10分）如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．
如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA
上由C点向A点运动．
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学科网（北京）股份有限公司（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是
否全等，请说明理由；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为多少
时，能够使△BPD与△CQP全等？
22．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，
CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？
若是请给出证明；若不是，请说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司23．（11分）（1）如图1，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE
和正方形 ACFG，连接 EG，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理
由．
（2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三
角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三
角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米．
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学科网（北京）股份有限公司第十四章 全等三角形单元测试卷
参考答案
一、选择题
1．A 2．D 3．C 4.B 5．B 6．C 7．A 8．D 9．B 10．D
二、填空题
11．10° 12．90° 13．10 14. 6 或 12． 15．
①②③④⑤．
三、解答题
16．证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，
∴∠DEB=∠AFC=90°，
∵AE=BF，
∴AF=BE，
在△DEB和△CFA中，
，
△DEB≌△CFA，
∴∠A=∠B，
∴AC∥DB．
17．证明：连接AD，
在△ACD和△ABD中，
，
∴△ACD≌△ABD（SSS），
∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，
∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴DE=DF．
18．（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD
即∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
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学科网（北京）股份有限公司证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，
∴∠ADB=∠E．
∵∠DAE=90°，
∴∠E+∠ADE=90°．
∴∠ADB+∠ADE=90°．
即∠BDE=90°．
∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
19．证明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
又∵BF=AC，FD=CD，
∴△ADC≌△BDF（HL）．
（2）∵△ADC≌△BDF，
∴∠EBC=∠DAC．
又∵∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠EBC+∠ACD=90°．
∴BE⊥AC．
20．解：分别以点A、点B为端点，作 AQ、BP，
使其相交于点C，
使得CP=CB，CQ=CA，连接PQ，
测得PQ即可得出AB的长度．
理由：由上面可知：PC=BC，QC=AC，
又∠PCQ=∠BCA，
∴△PCQ≌△BCA
∴AB=PQ．
21．解：（1）△BPD≌△CQP，
理由如下：∵t=1s，
∴BP=CQ=3×1=3（cm），
∵AB=10cm，点D为AB的中点，
∴BD=5cm．
又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，
∴PC=8﹣3=5（cm），
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
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学科网（北京）股份有限公司在△BPD和△CQP中
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（2）∵v ≠v ，∴BP≠CQ，
P Q
又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=PC=4，CQ=BD=5，
∴点P，点Q运动的时间t= = （s），
∴v = = = （cm/s），
Q
答：当点Q的运动速度为 cm/s，能够使△BPD与△CQP全等．
22．解（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∵ ，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE．
∵ ∠ DAB+∠ DBA=90° ，
∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∠BAC=180°﹣（∠BAD+∠CAE）=90°．
∴AB⊥AC．
（2）AB⊥AC．理由如下：
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
23．解：（1）△ABC与△AEG面积相等．
理由：过点 C 作 CM⊥AB 于 M，过点 G 作
GN⊥ EA 交 EA 延 长 线 于 N ， 则
∠AMC=∠ANG=90°，
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学科网（北京）股份有限公司∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，
∴∠BAE=∠CAG=90°，AB=AE，AC=AG，
∵∠BAE+∠CAG+∠BAC+∠EAG=360°，
∴∠BAC+∠EAG=180°，
∵∠EAG+∠GAN=180°，
∴∠BAC=∠GAN，
在△ACM和△AGN中，
，
∴△ACM≌△AGN，
∴CM=GN，
∵S = AB•CM，S = AE•GN，
△ABC △AEG
∴S =S ，
△ABC △AEG
（2）由（1）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之
和．
∴这条小路的面积为（a+2b）平方米．
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