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专题27.19 相似三角形的性质（知识讲解）
【学习目标】
1、理解并掌握相似三角形的性质，注意对应点、对应线段、对应角写在对应位置上；
2、灵活运用相似三角形的性质进行证明、计算；
3、运用相似三角形的性质解决综合问题。
【要点梳理】
性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.
性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
特别说明：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
性质3：相似三角形周长的比等于相似比
如图一： ∽ ，则
由比例性质可得：
图一 图二
性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方
如图二， ∽ ，则 分别作出 与
1 1
BCAD kBCkAD
的高 和 ，则 S △ABC 2 2 =k2
S 1 1
△ABC BCAD BCAD
2 2
特别说明：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
【典型例题】
类型一、 相似三角形性质的应用1．如图，在△ABC，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比为
AD：AC＝2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F，求AG与GF的比．
【答案】2：1
【分析】根据相似三角形的性质得出∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC，因为AF是
∠BAC的平分线，所以∠BAF＝∠CAF，然后根据三角形外角的性质求得∠AGD＝
∠AFC，即可判定△AGD∽△AFC，根据相似三角形的性质求得 ＝ ＝ ，即得
AG：GF＝2：1．
解：∵△ADE∽△ACB，
∴∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF＝∠CAF，
∵∠AGD＝∠CAF+∠AED，∠AFC＝∠BAF+∠ABC，
∴∠AGD＝∠AFC，
∴△AGD∽△AFC，
∴ ＝ ＝ ，
∴AG：GF＝2：1．
【点拨】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定定理和性质定理是解
题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在边
CD，AD上滑动，当DM为多长时， ABE与以点D、M、N为顶点的三角形相似？请说明
理由。 △【答案】 或 ．
【分析】因为∠B＝∠D＝90°，所以只有两种可能，假设 ABE∽△NDM或
ABE∽△MDN，分别求出DM的长． △
△
解：当 或 时， ABE与以点D，M，N为顶点的三角形相似，
△
理由：∵正方形ABCD边长是2，BE＝CE，
∴BE＝1，
∴AE＝ ，
①假设 ABE∽△NDM，
∴DM：△BE＝MN：AE．
∴DM：1＝1： ，
∴DM＝
②假设 ABE∽△MDN，
∴DM：△BA＝MN：AE．
∴DM：2＝1： ，
∴DM＝ ．
综上所述，当 或 时，△ABE与以点D、M、N为顶点的三角形相似．
【点拨】本题考查相似三角形的性质、正方形的性质．解决本题特别要考虑到①DM
与AB是对应边时，②当DM与BE是对应边时这两种情况．【变式2】如图， 与 相似，求x，y的值．
【答案】 ， 或x= ，y= ．
【分析】由△ABC与△DEF相似，∠B、∠E为钝角，可知当 ，即
时，△ABC∽△DEF；当 ，即 时，△ABC∽△FED，继
而求得答案．
解：∵△ABC与△DEF相似，∠B、∠E为钝角，
∴∠B=∠E，
∴当 ，即 时，△ABC∽△DEF，
解得：x=6，y= ；
当 ，即 时，△ABC∽△FED，
解得：x= ，y= ，
∴x=6，y= 或x= ，y= ．
【点拨】此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想与数
形结合思想的应用．
类型二、相似三角形性质定理与判定定理的综合2．在 ABC和 ADE中，点E在BC上，已知∠B＝∠D，∠DAB＝∠EAC．
△ △
(1) 求证： ABC∽△ADE；
(2) 若AC∥△DE，∠AEC＝45°，求∠C的度数．
【答案】(1)见解析 (2)67.5°
【分析】
（1）根据∠DAB＝∠EAC，得∠DAE＝∠BAC，从而证明结论；
（2）根据平行线的性质得∠AED＝∠EAC，利用△ABC∽△ADE，得∠AED＝∠C，从
而有∠EAC＝∠C，再利用三角形内角和定理可得答案．
(1)证明：∵∠EAC＝∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠B＝∠D，
∴△ABC∽△ADE；
(2)解：∵AC∥DE，
∴∠AED＝∠EAC，
∵△ABC∽△ADE，
∴∠AED＝∠C，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠AEC＝45°，
∴∠C＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
∴∠C的度数为67.5°．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性
质等知识，证明∠EAC＝∠C是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，且AB是AD，BC的比例中项，求证：BD⊥AC．
【分析】先根据平行线的性质得到∠BAD=90°，再证明△ABC∽△DAB得到
∠ABD=∠ACB，则∠ACB+∠DBC=90°，所以∠BEC=90°，从而得到结论．
解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∵AB是AD，BC的比例中项，
即AB2=AD•BC，
∴
而∠ABC=∠DAB，
∴△ABC∽△DAB，
∴∠ABD=∠ACB，
∵∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠ACB+∠DBC=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BD⊥AC．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定是解答本
题的关键．
【变式2】已知，如图，AB//DC，∠ABC+∠ADB=180°.
(1) 求证：△ABD∽△BDC；
(2) 若AE平分∠DAB，BF平分∠DBC，且BF=2AE，S ABD=3，求S BDC
△ △
【答案】(1) 证明见分析 (2) 12
【分析】（1）通过AB//DC可得到角度之间的等量关系，证明△ABD和△BDC中有两个角相等
即可得到△ABD∽△BDC
（2）根据相似图形的面积比等于相似比的平方得到S ABD和S BDC的比例，根据比
△ △
例关系即可求出面积．
解：(1)∵AB//DC，
∴∠ABD=∠BDC，∠ABC+∠C=180°，
∵∠ABC+∠ADB=180°，
∴∠C=∠ADB，
在△ABD和△BDC中；
∠ABD=∠BDC，∠C=∠ADB，
∴△ABD∽△BDC；
(2)∵△ABD∽△BDC，
∴DC：BD=BF：AE=2：1；
∴S BDC：S ABD =（DC：BD）=4：1；
△ △
∴S BDC=12；
△
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定以及相似三角形的性质，熟练的掌握相似
三角形的判定定理和相似三角形的性质是解题的关键．注：相似三角形的面积比是相似比
的平方．
类型三、证明相似三角形对应边成比例
3．如图，平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的角平分线，且交AB于点E，
DB与CE相交于点O，
（1）求证：△EBC是等腰三角形；
（2）已知：AB=7，BC=5，求 的值．【答案】（1）见分析；（2）
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到 ，结合题目条件给的角平分线，可以证明
，再利用等腰三角形的判定证明 是等腰三角形；
（2）证明 ，利用对应边成比例求出 的比值．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查角平分线的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三
角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握这些性质定理结合题目条件进行证明求解．
举一反三：
【变式1】如图，已知，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作
BE∥CD交AC的延长线于点E.
求证： .【分析】根据CD平分∠ACB，可知∠ACD=∠BCD；由BE∥CD，可求出 BCE是等
腰三角形，故BC=CE；根据平行线的性质及BC=CE可得出结论． △
证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD．
又∵BE∥CD，
∴∠CBE=∠BCD，∠CEB=∠ACD．
∵∠ACD=∠BCD，
∴∠CBE=∠CEB．
∴BC=CE．
∵BE∥CD，
∴ ，
又∵BC=CE，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质和角平分线定理、平行线分线段成
比例定理，关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理和平行线的性质．
【变式2】如图所示，在矩形 中， 是 上一点， 于点 ．
求证： ．
若 ， ，求 的长．【答案】(1) 详见分析; (2) 3.
【分析】
（1）根据四边形ABCD是矩形可得出∠ADC=∠C=90°，再根据相似三角形的判定定
理可得出 ADF∽△DCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）△由（1）可知DF：AF=CE：DC，再结合已知条件即可求出CE的长．
证明：
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
∴ ，
即 ；
∵ ；
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了矩形与三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握矩形与三角形的性质.
类型四、相似三角形的实际应用
4．李懿菲放学回家途经过一个足球场，如图，足球场边有一路灯P，在灯下足
球门横梁AB在地面上的影子为CD，经测量得知CD=9.8米，已知足球门横梁AB=7.3米，
高AE=BF=2.4米，试求路灯P距地面的高度．
【答案】路灯P距地面的高度为9.408m．
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出 ，进而得出答案．
解：∵AB∥CD，
∴△PAB∽△PCD，
∴ ，
∴ ，
∵AE∥PG，
∴ ，
∴ ，
∴PG=9.408（m），
答：路灯P距地面的高度为9.408m．
【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
举一反三：
【变式1】如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AD和BC表示起固定作用的
两根钢筋，AD与BC的交点为M．一尺 m， m，求M离地面的高度．【答案】6
【分析】根据已知易得△ABM∽△DCM，可得对应高BH与HD之比，易得 ，
可得△MDH∽△ADB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．
解：如图，过M作 而由题意可得
∵ ，
∴△ABM∽△DCM，
∴ ，（相似三角形对应高的比等于相似比），
∵ ，
∴△MDH∽△ADB，
∴
∴ ，
答：点M离地面的高度MH为6m．
【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的
直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的
比等于相似比；解决本题的突破点是得到BH与HD的比．
【变式2】小亮周末到公园散步，当他沿着一段平坦的直线跑道行走时，前方出现一
棵树AC和一栋楼房BD，如图，假设小亮行走到F处时正好通过树顶C看到楼房的E处，
此时 ，已知树高 米，楼房 米，E处离地面25米．(1) 求树与楼房之间的距离AB的长；
(2) 小亮再向前走多少米从树顶刚好看不到楼房BD？（结果保留根号）
【答案】(1) (2)小亮向前走 米刚好看不到楼房BD
【分析】
（1）根据30°直角三角形分别求出AF、BF的值即可；
（2）构造直角三角形，利用相似三角形的性质进行解答即可．
解：(1)∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
(2)∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
∴小亮向前走 米刚好看不到楼房BD．
【点拨】本题考查30°直角三角形、相似三角形的判断和性质，画出图形并利用相似
三角形的性质是解决问题的前提．类型五、网格中的相似三角形
5．如图在5×5的网格中，△ABC的顶点都在格点上．（仅用无刻度的直尺在给
定的网格中按要求画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
(1) 在图1中画出△ABC的中线AD；
(2) 在图2中画线段CE，点E在AB上，使得 ： ＝2：3；
(3) 在图3中画出△ABC的外心点O．
【答案】(1)见分析(2)见分析(3)见分析
【分析】
（1）由题知BO=CO，取两个格点F、G构造 ，即可得中点D．
（2）由 ： ＝2：3得AE：BE=2∶3，取格点H、J，构造 ，且
相似比为2∶3，即可得到E点．
（3）由O为△ABC的外心知O为AB、AC的中垂线的交点，作出两条中垂线，交点
即为O．
(1)如图1中，取格点F、G，连接FG交BC于点D，线段AD即为所求．
(2)如图2中，取格点H、J，连接HJ交AB于点E，线段CE即为所求．
(3)如图3中，取格点K、L、M、N，连接KL、MN交于点O，则点O为所求．【点拨】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等
知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
举一反三：
【变式1】如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺作图．
(1) 在图1中的线段AC上找一个点E，使
(2) 在图2中作一个格点ΔCDE，使ΔCDE与ΔABC相似．
【答案】(1)见分析(2)见分析
【分析】
（1）连接CF，过点G画CF的平行线，与AC交于点E即可；
（2）利用相似三角形的性质画出图形即可．
(1)解：如图，点E即为所求；
可知：△AEG∽△ACF，
∴ ；
(2)如图，△CDE，△CDE′，△CDE″即为所求作．
【点拨】本题考查作图，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运
用所学知识解决问题．【变式2】如图是由24个小正方形组成的网格图， 每一个正方形的顶点都称为格点，
的三个顶点都是格点. 请按要求完成下列作图， 每个小题只需作出一个符合条件
的图形．
(1)在图1网格中找格点 ， 作 ， 使 与 相似， 且相似比为
1： 2；
(2)如图 2， 仅用无刻度直尺在线段 上找一点 ， 连结 ， 使 将 的
面积分成1： 2两部分．
【答案】(1)见分析；(2)见分析
【分析】
（1）如图，取格点D、E、F，作△DEF，则△DEF与△ABC相似， 且相似比为1：
2；（2）取格点H、I、J、K，连接AH、KI与直线BC分别交于点G、G′，则AG或AG′即
为所求．
(1)解：如图，△DEF即为所求．
∵AC=2，DF=1，AB= ，DE= ，BC= ，
EF= ，
∴ ，
∴△DEF与△ABC相似， 且相似比为1： 2；
(2)解：如图，AG或AG′即为所求．【点拨】本题考查作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例
定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
类型六、利用相似三角形解决动点问题
6．如图，在 中， ， ，动点 从点 开始沿 边向
点 匀速运动，运动速度为 ，动点 从点 开始沿 边向点 匀速运动，运动速度
为 ，点 和点 同时出发．求两动点运动多长时间，以点 、 、 为顶点的三角形
与 相似．
【答案】两动点运动2s或5s时，以点 、 、 为顶点的三角形与 相似
【分析】设运动的时间为 ， ， ， 分两种情况：当 ∽
，有 ，当 ∽ ，有 ，分别求出时间t即可；
解：设运动的时间为 ， ， ，
当 ∽ ，
，
，
解得
当 ∽ ，
，
，解得
∴两动点运动 或 时，以点 、 、 为顶点的三角形与 相似．
【点拨】此题考查了相似三角形的判定，此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握
数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
举一反三：
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝5 cm，点D在BC上，
且CD＝3 cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度
沿AC向终点C运动；点Q以1.25 cm/s的速度沿BC向终点C运动，过点P作PE BC交
AD于点E，连接EQ，设动点运动时间为t s（t＞0）．
(1) CP＝________，CQ＝________．（用含t的代数式表示）
(2) 连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行，为什么？
【答案】(1)（4－t）cm；（5－1.25 t）cm(2)见分析
【分析】
（1）由点 、点 的速度可知， cm， cm，最终可求出
cm， cm；
（2）利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，这一判定方法就可以解决此问．
(1)解：∵点P的速度为1cm/s，点Q的速度为1.25cm/s，
∴AP=tcm，BQ=1.25tcm
∴CP=（4-t）cm，CQ=（5-1.25t）cm．
故答案为：（4-t）cm；（5-1.25t）cm．
(2)解：由（1）知PC＝（4－t）cm，QC＝（5－1.25t）cm，
∴ ，，
∴
∵∠C＝90°，
∴△ABC∽△PQC，
∴∠PQC＝∠B，
∴PQ//AB．
∴不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．
【点拨】本题考查了动点求值问题、相似三角形的判定（两边成比例且夹角相等的两
个三角形相似）等知识．易错点：是第一问填空题小括号易遗忘．把握好线段之间的数量
关系和相似三角形的判定方法是解决本题的关键．
【变式2】如图， 是等边三角形， ，点 从点 出发沿射线 以
的速度运动，过点 作 交射线 于点 ，同时点 从点 出发沿 的延
长线以 的速度运动，连结 ．设点 的运动时间为 ．
(1) 求证： 是等边三角形；
(2) 直接写出 的长（用含 的代数式表示）；
(3) 当点 在边 上运动，且不与点 重合．
① 求证： ；
② 当 为何值时， ？
【答案】(1)见分析(2)当 时， ；当 时， ．(3)①见分析；
②t=1
【分析】
（1）利用 ， 是等边三角形，即可证得 是等边三角形；
（2）分两种情况进行讨论，①E点在AC上时，②E点在AC延长线上时，进行表示
即可；（3）①根据SAS证明 ； ②先判断出BP=CQ，进而列方程即可求t值．
(1)解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
(2)当 时，
当 时， ．
(3)①当点 在边 上运动，则 ， ，
， ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
②若 ，则 ，
∴
答：当 时，
【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形、全等三角形的性质和判定及
分类讨论的数学思想，解题关键是深刻理解图形的运动过程．
类型七、相似三角形的综合问题
7．如图，在 中， ， 于 ，作 于 ， 是
中点，连 交 于点 ．
（1）求证： ；（2）若 ， ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）只要证明△DAE∽△CAD，可得 ，推出AD2＝AC•AE即可解决问题；
（2）利用直角三角形斜边中线定理求出DF，再根据DF∥AC，可得
，由此可得 ，再利用第一问的结论，即可解决问题；
（1）证明：∵AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，
∴∠ADC＝∠AED＝90°，
∵ ， 于 ，
∴∠DAE＝∠DAC，
∴△DAE∽△CAD，
∴ ，
∴AD2＝AC•AE，
∵AC＝AB，
∴AD2＝AB•AE．
（2）解：如图，连接DF．∵AB＝5，∠ADB＝90°，BF＝AF，
∴DF AB ，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴DF∥AC，
∴ ，
∴
∵AD2＝AB•AE．
∴
∴ ．
【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题
的关键是准确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属
于中考常考题型．
举一反三：
【变式1】如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，
且∠EFD＝∠BDF．
（1）求证：△AFE∽△ADC．
（2）若 ， ，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系．【答案】（1）证明见分析；（2）EB=2FD．
【分析】
（1）由角平分线的性质得出∠BAD=∠DAC，再根据∠EFD=∠BDF得出
∠AFE=∠ADC，进而根据两角分别相等的三角形相似可证；
（2）由（1）中的相似及∠AFE=∠C得出∠AEF=∠AFE，进而根据等角对等边得出
AE=AF，再根据 及△AFE∽△ADC得出 ，再由 ，得出
，即可得到结果．
解：（1）∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠DAC，
∵∠EFD=∠BDF，
∴180°-∠EFD=180°-∠BDF，
∴∠AFE=∠ADC，
又∵∠BAD=∠DAC，
∴△AFE∽△ADC；
（2）由（1）得，△AFE∽△ADC，
∴∠AEF=∠C，
∵∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴EB=2FD．
【点拨】本题考查相似三角形的性质及判定．第（1）问能根据角的等量代换得出角相
等及熟练掌握相似三角形的判定是解题关键；第（2）问根据相似得出比例式及根据比例式
得出线段的关系是解的关键．
【变式2】背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆
放（点 、 、 在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）如图2，将正方形 绕点 按逆时针方向旋转，则 与 的数量关系为
___________，位置关系为___________．（直接写出答案）
（2）如图3，把背景中的正方形分别改写成矩形 和矩形 ，且
， ， ，将矩形 绕点 按顺时针方向旋转，求 与 的
数量关系和位置关系；
（3）在（2）的条件下，小组发现：在旋转过程中， 的值是定值，请求出
这个定值．（直接写出答案）
【答案】（1） ， ；（2） ， ；（3）260
【分析】（1）延长DG交BE于M，交AB于N，证明△DAG≌△BAE，根据全等三角形的性质得
到BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，根据三角形内角和定理得到BE⊥DG；
（2）设 与 交于 ， 与 交于点 ，由比的性质求出 、 的值，由相
似三角形的判定证得 ，由相似三角形的性质得出 ，
，根据三角形和内角和定理得出 ，即 ；
（3）连接EG、BD，由（2）得出 ， ，且 ，由勾股定理求得
、 的值，由 即可得出结论．
解：（1）延长DG交BE于M，交AB于 N，如图2，
∵四边形ABCD、四边形EFGA为正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠GAE＝90°，
∴∠DAB－∠BAG＝∠GAE－∠BAG，
即 ∠DAG＝∠BAE，
在△DAG和△BAE中，
∴△DAG≌△BAE（SAS），
∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，
∵∠AND＝∠BNM，
∴∠BMN＝∠NAD＝90°，即BE⊥DG，
故答案为： ； ；
（2） ， ，理由如下：设 与 交于 ， 与 交于点 ，如图3，
∵ ， ， ，
∴ ， ．
∵四边形 和四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）连接EG、BD，如图3
∵ ， ， ，
∴ ， ．
∵四边形 和四边形 为矩形，
∴
∴ ， ，
由（2）证得
，
∴ ．
【点拨】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质
是解题的关键．
