文档文本内容
专题06 角平分线的性质与判定
常考题型·精准突破
题型1 利用角平分线性质求解（重）
题型2 角平分线的实际应用
题型3 角平分线性质和判定的综合问题（高频）
题型4 作垂线与角平分线（尺规作图）
题型5 与角平分线有关的新定义型问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 利用角平分线性质求解
1．（25-26 八年级上·吉林长春·期末）如图，在
ABC
V
中，
90
ACB
Ð
=
°，BE 平分
ABC
Ð
，交AC 于点E，
DE
AB
^
于点D，如果
3
AE =
，
5
AC =
，那么DE 的长是
．
【答案】2
【分析】本题考查角平分线的性质．先根据线段的和差求出CE ，再由角平分线的性质即可求解．
【详解】解：∵
3
AE =
，
5
AC =
，
∴
5
3
2
CE
AC
AE
=
-
=
-
=
，
∵
90
ACB
Ð
=
°，
∴AC
BC
^
，
∵BE 平分
ABC
Ð
，DE
AB
^
，
∴
2
DE
CE
=
=
．
故答案为：2．
2．（25-26 八年级上·北京·期末）如图，AD 是
ABC
V
的角平分线，BE 是
ABD
△
边AD 上的中线，若
ABC
V
的面积是18．
6,
3
AB
AC
=
=
，则ABE
V
的面积是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了角平分线的性质，中线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是
解题的关键．过点D 作DF
AB
^
于F，过D 作DG
AC
^
于G，利用角平分线的性质可得DF
DG
=
，然后
利用三角形的面积公式可得
2
ABD
ACD
S
S
=
△
△
， 从而可得
2
3
ABD
ABC
S
S
=
△
△
，求得
ABD
SV
，最后利用三角形的中线性
质可得
1
2
ABE
ABD
S
S
=
△
△
，进行计算即可解答．
【详解】解：如图所示，过点D 作DF
AB
^
于F，过D 作DG
AC
^
于G，
AD
Q
是
ABC
V
的角平分线，
DF
DG
\
=
，
6,
3
AB
AC
=
=
Q
，
1
6
2
2
1
3
2
ABD
ACD
AB DF
S
AB
S
AC
AC DG
×
\
=
=
=
=
×
V
V
，
ABC
QV
的面积是18，
2
2 18
12
3
3
ABD
ABC
S
S
\
=
=
´
=
V
V
，
∵BE 是
ABD
△
边AD 上的中线，
1
1 12
6
2
2
ABE
ABD
S
S
\
=
=
´
=
V
V
，
故答案为：6 ．
3．（25-26 八年级上·安徽合肥·期末）如图，AD 为
ABC
V
的中线，BE 为
ABD
△
的角平分线，在BED
V
中作
BD 边上的高EM ．
（1）若
40
BED
Ð
=
°，
25
BAD
Ð
=
°，
ABD
Ð
的度数为
；
（2）在（1）的条件下，若
ABC
V
的面积为40，
5
BD =
，则EM 的长为
．
【答案】
30°/30 度
40
21 / 19
121
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，三角形中线的性质，三角形外角的定义，等知识，掌握这
些知识是解题的关键．
（1）由三角形外角的定义和性质得出
ABE
Ð
，再由角平分线的定义即可求出
ABD
Ð
．
（2）过点A 作AF
BC
^
于点F ，过点E 作EN
AB
^
于点N ．由三角形面积公式求出AF ，由含30 度直角
三角形的性质得出
16
AB =
，由角平分线的性质定理得出EM
EN
=
，最后根据
ABD
BDE
ABE
S
S
S
=
+
V
V
V
即可求出
EM 的值．
【详解】（1）解：
40
BED
Ð
=
o
Q
，
25
BAD
Ð
=
°，
40
25
15
ABE
BED
BAD
\Ð
= Ð
- Ð
=
-
=
o
o
o ．
BE
Q
为
ABD
△
的角平分线，
2
30
ABD
ABE
\
°
Ð
= Ð
=
；
故答案为：30°；
（2）解：如图，过点A 作AF
BC
^
于点F ，过点E 作EN
AB
^
于点N ．
5
BD =
Q
，AD 为
ABC
V
的中线，
2
10
BC
BD
\
=
=
．
1
1 10
40
2
2
ABC
S
BC AF
AF
\
=
×
=
´
´
=
△
．
8
AF
\
= ．
在Rt ABF
V
中，
30
ABF
Ð
=
°
Q
，
2
2 8
16
AB
AF
\
=
=
´ =
．
BE
Q
为
ABD
△
的角平分线，EM
BC
^
，EN
AB
^
，
EM
EN
\
=
．
ABD
BDE
ABE
S
S
S
=
+
Q
△
△
△
，
1
1
1
1
2
2
2
2
BD AF
BD EM
AB EN
BD
AB
EM
\
×
×
=
×
+
×
=
+
×
，
即
1
1
5 8
5 16
2
2
EM
´ ´ =
´
+
×
．
40
21
EM
\
=
．
故答案为：40
21 ；
◆题型2 角平分线的实际应用
4．（25-26 八年级上·上海金山·期末）上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，
ABC
V
是一个正在修建
的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭H ，使该凉亭到公路AB
AC
BC
、
、
的距离都相等，则凉亭H 是
ABC
V
的（ ）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三角形的内心
D．三角形的外心
【答案】C
【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
根据角平分线的性质求解即可．
【详解】解：∵
ABC
V
是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭H ，使该凉亭到公路
AB
AC
BC
、
、
的距离都相等，且角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴应建在三条角平分线的交点处，即三角形的内心．
故选：C．
5．（25-26 七年级下·贵州毕节·阶段检测）如图所示的是一块三角形草坪ABC ，现要在草坪上建一凉亭供
大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（ ）
A．ABC
V
三条中线的交点处
B．ABC
V
三条角平分线的交点处
C．ABC
V
三条高所在直线的交点处
D．ABC
V
三边的垂直平分线的交点处
【答案】B
【详解】解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为
三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置．
6．（24-25 九年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图，直线a
b
c
、、表示三条公路，现要建一个货物中转站，要
求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处
B．两处
C．三处
D．四处
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质，即可求解．
【详解】解：如图1，作ABC
V
两内角的角平分线，交于点P ，即所求中转站地址；
理由：Q
ABC
V
两内角的角平分线，交于点P ，
\ PE
PF
=
，PD
PF
=
，
\ PE
PF
PD
=
=
，即点P 到三条公路的距离相等；
同理可得，如图2，图3，图4，作ABC
V
两外角的角平分线，交于点P ，即所求中转站地址．
综上所述，可供选择的地址有四处．
◆题型3 角平分线性质和判定的综合问题
7．（25-26 八年级下·广东河源·阶段检测）如图，在ABC
V
中，
90
C
Ð
=
° ，D 是BC 上一点，若过点D 作
DF
AB
^
，垂足为F，点E 在AC 上，DE
BD
=
，CE
FB
=
．
(1)求证：AD 平分
BAC
Ð
；
(2)请你判断AE
AF
BF
，
，
之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) AE
BF
AF
+
=
，理由见解析
【分析】（1）先运用HL 证明Rt
Rt
CDE
FDB
≌
△
△
可得CD
DF
=
，再根据角平分线的判定定理即可证明结
论；
（2）先运用HL 证明Rt
Rt
ACD
AFD
V
V
≌
可得AC
AF
=
，再根据线段的和差以及等量代换即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵DF
AB
^
，
∴
90
AFD
BFD
Ð
= Ð
=
°，
∴
90
C
BFD
Ð
= Ð
=
°，
∵CE
FB
=
，DE
BD
=
，
∴
Rt
Rt
HL
CDE
FDB
V
V
≌
，
∴CD
DF
=
，
∵
90
C
BFD
Ð
= Ð
=
°，
∴AD 平分
BAC
Ð
．
（2）解：AE
BF
AF
+
=
，理由如下：
在Rt ACD
V
与Rt AFD
V
中，CD
FD
=
，AD
AD
=
，
∴
HL
Rt ACD
Rt AFD
V
V
≌
，
∴AC
AF
=
，
∴AE
EC
AC
AF
+
=
=
，
∴AE
BF
AF
+
=
．
8．（25-26 九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，在ABC
V
中，点D 在BC 边上，
100
BAD
Ð
=
° ，
ABC
Ð
的平
分线交AC 于点E，过点E 作EF
AB
^
，垂足为F，且
50
AEF
Ð
=
°，连接DE ．
(1)求
CAD
Ð
的度数；
(2)求证：DE 平分
ADC
Ð
；
(3)若
6
AB =
，
4
AD =
，
8
CD =
，且
12
ACD
S
=
V
，求ABE
V
的面积．
【答案】(1)
40
CAD
Ð
=
°
(2)见解析
(3)6
【分析】（1）根据平角的定义解题即可；
（2）过点E 作EG
AD
^
于G，EH
BC
^
于H，结合角平分线的性质和判定定理证明；
（3）根据
1
1
·
·
2
2
ACD
ADE
CDE
S
S
S
AD EG
CD EH
=
+
=
+
V
V
V
求出EG ，再进行求解即可．
【详解】（1）解：∵EF
AB
^
，
50
AEF
Ð
=
°，
∴
90
50
40
FAE
Ð
=
°-
° =
°，
∵
100
BAD
Ð
=
° ，
∴
180
100
40
40
CAD
Ð
=
°-
°-
° =
°；
（2）证明：过点E 作EG
AD
^
于G，EH
BC
^
于H，
∵
40
FAE
DAE
Ð
= Ð
=
°，EF
BF
^
，EG
AD
^
，
∴EF
EG
=
，
∵BE 平分
ABC
Ð
，EF
BF
^
，EH
BC
^
，
∴EF
EH
=
，
∴EG
EH
=
，
∴DE 平分
ADC
Ð
；
（3）解：∵
12
ACD
S
=
△
，
∴
1
1
·
·
12
2
2
ADE
CDE
S
S
AD EG
CD EH
+
=
+
=
V
V
，
即1
1
4
8
12
2
2
EG
EG
´ ´
+
´ ´
=
，
解得
2
EG
EH
=
=
，
∴
2
EF =
，
∴
1
1
·
6 2
6
2
2
ABE
S
AB EF
=
=
´ ´
=
V
．
9．（25-26 八年级上·福建厦门·期中）如图，在
ABC
V
中,
,
AB
AC
BAC
a
=
Ð
=
，点D 在AC 的右侧且满足
,
BC
BD
DBC
b
=
Ð
=
，连接
,
AD CD ，其中2
180
a
b
+
=
°．
(1)求证：
BAC
BDC
Ð
= Ð
；
(2)如备用图，延长CD 至点M，使得CM
BC
=
．
求证：①AD 平分
BDM
Ð
；
②点M 在线段BA 的延长线上．
【答案】(1)见解析；
(2)①见解析；②见解析．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定及三点共线的证明，
解题的关键是利用等腰三角形的角关系推导角度，结合全等三角形的判定得到线段相等，再通过角的数量
关系证明共线．
（1）利用等腰BCD
V
的内角和求出
BDC
Ð
，结合已知2
180
a
b
+
=
°，证得
BAC
BDC
Ð
= Ð
；
（2）①作角两边的垂线，证ABK
ACH
V
V
≌
得到距离相等，判定AD 平分
BDM
Ð
；
②证ABD
ACM
V
V
≌
，结合角的和为180°，证明点M 在BA 的延长线上．
【详解】（1）证明：∵
,
BC
BD
CBD
b
=
Ð
=
，
∴
BDC
BCD
Ð
= Ð
，
在
BCD
△
中，
180
BDC
BCD
CBD
Ð
+ Ð
+ Ð
=
° ，
∴2
180
BDC
b
Ð
+
=
°，
∵2
180
a
b
+
=
°，
∴
BDC
a
Ð
=
，
∴
BAC
BDC
Ð
= Ð
；
（2）①如图1，过点A 作
,
AH
CM AK
BD
^
^
，垂足分别为H，K，
∴
90
AKB
AHC
Ð
= Ð
=
° ，
在
ABC
V
中，
180
ABC
ACB
BAC
Ð
+ Ð
=
- Ð
，
在
BCD
△
中，
180
DBC
DCB
BDC
Ð
+ Ð
=
- Ð
，
∵
BAC
BDC
Ð
= Ð
∴
ABC
ACB
DBC
DCB
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，
∴
ABD
DBC
ACB
DBC
ACB
ACD
Ð
+ Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
+ Ð
，
∴
ABD
ACD
Ð
= Ð
；
在ABK
V
和ACH
V
中，
AKB
AHC
ABK
ACH
AB
AC
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
AAS
ABK
ACH
V
V
≌
，
∴AK
AH
=
，
∵
,
AH
CM AK
BD
^
^
，
∴AD 平分
BDM
Ð
；
②如图2，连接AM ，设AC 与BD 交于点G，
在
ABD
△
和
ACM
△
中，
AB
AC
ABD
ACM
BD
CM
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
SAS
ABD
ACM
V
V
≌
，
∴
BAD
CAM
Ð
= Ð
，
∴
BAC
DAM
a
Ð
= Ð
=
，
∵AB
AC
=
，
1
90
2
BCG
Ð
a
\
=
-
，
由（1）知
BDC
a
Ð
=
，且AD 平分
BDM
Ð
，
1
90
2
ADG
Ð
a
\
=
-
o
，
∴
BCG
ADG
Ð
= Ð
又∵
,
AGB
CAD
ADG
AGB
CBD
BCG
Ð
= Ð
+ Ð
Ð
= Ð
+ Ð
，
∴
CAD
CBD
b
Ð
= Ð
=
，
∴
2
180
BAC
DAM
CAD
a
b
Ð
+ Ð
+ Ð
=
+
=
° ，
∴A，M，B 三点共线．
∴点M 在线段BA 的延长线上．
◆题型4 作角平分线（尺规作图）
10．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
50
BAC
B
Ð
=
° Ð
=
° ，AD
BC
^
于点D．
(1)利用圆规和无刻度直尺作出
BAC
Ð
的平分线AE 交BC 于点E；（保留作图痕迹）
(2)求
DAE
Ð
的度数．
【答案】(1)如图，AE 即为所求：
(2)5°
【分析】（1）以点A 为圆心，以任意长度为半径作弧，分别交
,
AB AC 于点
,
M N ，再分别以点
,
M N 为圆心，
以大于1
2 MN 的长度为半径作弧，交于点P ，连接AP 并延长，交BC 于点E ，即可获得答案；
（2）首先根据“直角三角形两锐角互余”解得
BAD
Ð
的度数，再根据角平分线的定义解得
BAE
Ð
的度数，然
后由
DAE
BAE
BAD
Ð
= Ð
- Ð
求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵
50
B =
°
∠
，AD
BC
^
，
∴
90
40
BAD
B
Ð
°
=
°- Ð
=
，
∵AE 平分
BAC
Ð
，且
90
BAC
Ð
=
° ，
∴
1
45
2
BAE
BAC
Ð
=
Ð
=
°，
∴
5
DAE
BAE
BAD
Ð
=
-
= °
∠
∠
．
11．（25-26 七年级下·广东清远·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
A
Ð
=
°，
8
BC = ．
(1)请用尺规作出
ABC
Ð
的平分线，交AC 于点D （保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)若
4
AD =
，求BCD
V
的面积．
【答案】(1)所作图形如图所示：
(2)16
【分析】（1）以点B 为圆心，任意长为半径，画弧分别交AB ，BC 于点
,
E F ，再以
,
E F 为圆心，大于1
2 EF
长为半径画弧，交
ABC
Ð
内一点P，连接BP ，交AC 于点D．
（2）过点D 作DH
BC
^
，由题意易得
4
DH
AD
=
=
，然后根据三角形面积公式可进行求解．
【详解】（1）略
（2）解：过点D 作DH
BC
^
，如图所示：
由作图可知：BD 平分
ABC
Ð
，
∵
90
A
Ð
=
°，DH
BC
^
，
∴
4
DH
AD
=
=
，
∴
1
1
8 4
16
2
2
BCD
S
BC DH
=
×
=
´ ´
=
V
．
12．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，AB
CD
∥
，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，
AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F 为圆心，大于1
2 EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，作射线AP ，
交CD于点M ．
(1)求证：AP 平分
CAB
Ð
；
(2)若
114
ACD
Ð
=
°，求
MAB
Ð
的度数；
(3)若CN
AM
^
，垂足为N ，求证：
CAN
CMN
△
≌△
．
【答案】(1)证明：连接PE 、PF ，如图，
由作法得AE
AF
=
，PE
PF
=
，
而AP
AP
=
，
SSS
AEP
AFP
\V
V
≌
，
EAP
FAP
\Ð
= Ð
，
即AP 平分
CAB
Ð
；
(2)33°
(3)证明：
CD
AB
∥
Q
，
BAM
CMA
Ð
Ð
\
=
，
CAM
BAM
Ð
= Ð
Q
，
CAM
CMA
\Ð
= Ð
，
CA
CM
\
=
，
CN
AM
^
Q
，
CNA
CNM
\Ð
= Ð
，
在
CAN
△
和CMN
V
中
CAN
CMN
ANC
MNC
AC
CM
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
CAN
CMN AAS
\V
V
≌
．
【分析】（1）作图步骤给出三组相等线段，思路是连接辅助线PE 、PF ，利用SSS证明AEP
V
与
AFP
△
全
等，通过全等三角形对应角相等，直接证出AP 平分
CAB
Ð
；
（2）已知AB
CD
∥
，同旁内角互补，可先由
ACD
Ð
算出
BAC
Ð
的度数；再结合第一问结论AM 是
CAB
Ð
角
平分线，所求
MAB
Ð
就是
BAC
Ð
的一半，代入数值即可求出角度．
（3）先由平行线内错角相等得到
BAM
CMA
Ð
= Ð
，结合角平分线推出
CAM
CMA
Ð
= Ð
，等角对等边得
AC
CM
=
；又CN 垂直AM ，有两组直角相等，再搭配一组等角与一组等边，用AAS即可证明两个直角三
角形全等．
【详解】（1）略
（2）
CD
AB
∥
Q
，
180
BAC
ACD
\Ð
+ Ð
=
° ，
180
114
66
BAC
\Ð
=
°-
° =
°，
AP
Q
平分
CAB
Ð
，
1
33
2
MAB
BAC
\Ð
=
Ð
=
°；
（3）略
◆题型5 与角平分线有关的新定义型问题
13．（24-25 八年级上·上海·期中）定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，
我们就称这两个三角形为友谊三角形．
(1)若两个三角形全等，它们______（填是或不是）友谊三角形；
(2)如图，在四边形ABCD 中，AC 平分
BAD
Ð
，AD
AB
>
，ABC
V
与ACD
V
是友谊三角形，请探究
D
Ð
与
B
Ð
之间的关系．
【答案】(1)是
(2)
180
B
D
Ð + Ð
=
°，证明见解析
【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，理解新
定义是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质即可解决问题；
（2）在AD 上取一点H ，使得AH
AB
=
，利用全等三角形的判定和性质即可解决问题．
【详解】（1）解：Q全等三角形的对应边相等，对应角相等，
\两个三角形全等，必有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，
\若两个三角形全等，它们是友谊三角形，
故答案为：是；
（2）
AC
Q
平分
BAD
Ð
，
BAC
DAC
\Ð
= Ð
，
AC
AC
=
Q
，AD
AB
>
，ABC
V
与ACD
V
是友谊三角形，
BC
CD
\
=
，
在AD 上取一点H ，使得AH
AB
=
，连接CH ，如图
在BAC
V
和
HAC
△
中，
AB
AH
BAC
HAC
AC
AC
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
SAS
BAC
HAC
\V
V
≌
，
BC
CH
\
=
，
B
AHC
Ð
= Ð
，
BC
CD
=
Q
，
CD
CH
\
=
，
DHC
D
\Ð
= Ð
，
180
AHC
DHC
Ð
+ Ð
=
°
Q
，
180
B
D
\Ð + Ð
=
°；
14．（25-26 八年级上·山东德州·期中）【问题情境】
在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识：
定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形，如图1，在四边形ABCD 中，AB
AD
=
，
180
B
D
Ð + Ð
=
°，这种四边形被称为等补四边形．
【探究实践】经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现．
(1)如图2，李明发现，连接CA ，则CA 为
BCD
Ð
的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由；
(2)如图3，王红发现，在等补四边形ABCD 中，当AB
BC
^
，AD
CD
^
，
1
2
EAF
BAD
Ð
=
Ð
时，BE
EF
，
与
FD 之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由．
【答案】(1)正确，理由见解析
(2) EF
BE
FD
=
+
，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）作AE
BC
^
交CB 延长线于点E ，作AF
CD
^
于点F ，利用“角角边”证明
ADF
ABE
△
≌△
，得出
AE
AF
=
，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等反推出CA 为
BCD
Ð
的角平分线．
（2）延长EB 至F¢使BF
DF
¢ =
，连接AF¢，利用“边角边”证明ADF
ABF¢
V
V
≌
，得到AF
AF¢
=
，
1
2
Ð = Ð ，
再通过角的等量代换得到
EAF
EAF
¢
Ð
= Ð
，再利用“边角边”证明EAF
EAF¢
V
V
≌
，得到EF
EF¢
=
，最后通过
角的等量代换即可得到结论．
【详解】解：（1）正确，理由如下：
作AE
BC
^
交CB 延长线于点E ，作AF
CD
^
于点F ，
90
DFA
AEB
\Ð
= Ð
=
° ，
已知
1
180
D
Ð
+ Ð =
° ，
1
2
180
Ð + Ð =
° ，
2
D
\Ð
= Ð ．
在ADF
V
和ABE
V
中，
2
DFA
AEB
D
AD
AB
Ð
= Ð
ì
ï
Ð
= Ð
í
ï
=
î
，
AAS
ADF
ABE
\V
V
≌
，
AE
AF
\
=
，
又Q AE
EC
^
，AF
CF
^
，
CA
\
为
BCD
Ð
的角平分线．
（2）EF
BE
FD
=
+
，理由如下：
延长EB 至F¢使BF
DF
¢ =
，连接AF¢，
AD
CD
^
Q
，AB
BC
^
，
在ADF
V
和ABF¢
V
中，
FD
BF
D
ABF
AD
AB
¢
¢
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
\
SAS
ADF
ABF¢
V
V
≌
，
\ AF
AF¢
=
，
1
2
Ð = Ð ，
又Q
1
2
EAF
BAD
Ð
=
Ð
，
\
1
1
4
2
BAD
Ð + Ð =
Ð
，
\
1
2
4
2
EAF
BAD
EAF
¢
Ð + Ð = Ð
=
Ð
= Ð
，
在EAF
V
和EAF¢
V
中，
AE
AE
EAF
EAF
AF
AF
¢
=
ì
ïÐ
= Ð
í
=
¢
ïî
，
\
SAS
EAF
EAF¢
V
V
≌
，
\ EF
EF¢
=
，
又Q EF
BE
BF
BE
FD
¢
¢
=
+
=
+
\ EF
BE
FD
=
+
．
15．（25-26 八年级上·全国·期中）我们定义：如图1，在四边形ABCD 中，如果
A
a
Ð
=
，
180
C
a
Ð
=
°-
，
对角线BD 平分
ABC
Ð
，我们称这种四边形为“分角对补四边形”．
(1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形” ABCD 中，当
90
a =
°时，根据教材中一个重要性质直接可得
DA
DC
=
，这个性质是_________；（填序号）
①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理．
(2)猜想论证：如图2，当a 为任意角时，猜想DA 与DC 的数量关系，并给予证明；
(3)探究应用：如图3，在等腰ABC
V
中，
100
BAC
Ð
=
° ，BD 平分
ABC
Ð
，求证：BD
AD
BC
+
=
．
【答案】(1)③；
(2) DA
DC
=
，理由见解析；
(3)见解析．
【分析】本题考查四边形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关
键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）根据角平分线的性质定理即可解决问题；
（2）如图2 中，作DE
BA
^
交BA 延长线于点E，DF
BC
^
于点F，证明
DEA
DFC
≌
△
△
即可解决问题；
（3）如图3 中，在BC 上截取BG
BD
=
，连接DG ，根据（2）的结论得到AD
DG
=
，根据等腰三角形的判
定定理得到GD
GC
=
，结合图形证明即可．
【详解】（1）解：∵BD 平分
ABC
Ð
，
90
BAD
Ð
=
° ，
90
BCD
Ð
=
°，
∴DA
DC
=
，
∴根据角平分线的性质定理可知AD
CD
=
，
故答案为：③；
（2）解：DA
DC
=
，理由如下：
如图2 中，作DE
BA
^
交BA 延长线于点E，DF
BC
^
于点F，
，
∵BD 平分
EBF
Ð
，DE
BE
^
，DF
BF
^
，
∴DE
DF
=
，
∵
180
BAD
C
Ð
+ Ð
=
°，
180
BAD
EAD
Ð
+ Ð
=
°，
∴
EAD
C
Ð
= Ð
，
∵
90
E
DFC
Ð
= Ð
=
° ，
∴
AAS
DEA
DFC
V
V
≌
，
∴DA
DC
=
；
（3）证明：如图3，在BC 上截取BG
BD
=
，连接DG ，
∵AB
AC
=
，
100
A
Ð
=
°，
180
ABC
C
A
Ð
+ Ð
+ Ð
=
° ,
∴
40
ABC
C
Ð
= Ð
=
° ，
∵BD 平分
ABC
Ð
，
∴
1
20
2
DBG
ABC
Ð
=
Ð
=
° ，
∵BD
BG
=
，
∴
1 180
80
2
BGD
BDG
DBG
Ð
= Ð
=
°- Ð
=
° ，
即
180
A
BGD
Ð + Ð
=
° ，
由（2）的结论得AD
DG
=
，
∵
BGD
C
GDC
Ð
= Ð
+ Ð
，
∴
40
GDC
C
Ð
= Ð
=
° ，
∴DG
CG
=
，
∴AD
DG
CG
=
=
，
∴BD
AD
BG
CG
BC
+
=
+
=
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在ABC
V
中，
90
B
Ð
=
° ，AD 平分
BAC
Ð
交BC 于点D ，
10
BC =
，点D 到AC 的距离为4 ，则CD的长为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．10
【答案】C
【分析】利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”进行求解．
【详解】解：如图，过点D 作DE
AC
^
于点E ，
点D 到AC 的距离为4 ，即
4
DE =
，
∵AD 平分
BAC
Ð
交BC 于点D ，
90
B
Ð
=
° ，
∴
4
BD
DE
=
=
，
∴
10
4
6
CD
BC
BD
BC
DE
=
-
=
-
=
-
=
．
2．（25-26 七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，ABC
V
的三边
,
,
AB BC CA 的长分别为40，50，60，其三条角平
分线交于点O ，则
:
:
ABO
BOC
CAO
S
S
S
V
V
V
（ ）
A．1:1:1
B．4:5:6
C．3: 4:5
D．5: 4:6
【答案】B
【分析】分别过点O 作OD
AB
^
于D ，OE
BC
^
于E ，OF
AC
^
于F ，由角平分线的性质可得
OD
OE
OF
=
=
，即可得
:
:
:
:
ABO
BOC
CAO
S
S
S
AB BC AC
=
V
V
V
，据此即可求解．
【详解】解：如图，分别过点O 作OD
AB
^
于D ，OE
BC
^
于E ，OF
AC
^
于F ，
∵OA
OB
、
为ABC
V
的角平分线，
∴OD
OF
=
，OD
OE
=
，
∴OD
OE
OF
=
=
，
∴
:
:
40:50:60
4:5:6
:
:
ABO
BOC
CAO
S
S
S
AB BC AC
=
=
=
V
V
V
．
3．
（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形ABCD 中，
90
B
C
Ð
= Ð
=
° ，ADC
Ð
的平分线DE 与
DAB
Ð
的平分线AE 交于BC 边上的点E 处，EF
AD
^
于点F ．若
12
BC =
，则EF 的长为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【分析】据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知条件
90
B
C
Ð
= Ð
=
° 及
EF
AD
^
，可推导出EB
EF
=
且EC
EF
=
，进而得出
2
BC
EF
=
，代入数据求解即可．
【详解】解：
90
B
Ð
=
°
Q
，
EB
AB
^
\
，
AE
Q
平分
DAB
Ð
，EF
AD
^
，
EF
EB
\
=
，
同理，
90
C
Ð
=
°
Q
，
EC
DC
^
\
，
DE
Q
平分
ADC
Ð
，EF
AD
^
，
EF
EC
\
=
，
2
BC
EB
EC
EF
EF
EF
\
=
+
=
+
=
，
12
BC =
Q
，
2
12
EF
\
=
，
6
EF
\
=
．
4．（25-26 八年级下·河北保定·期末）如图，Rt
ABC
△
中，
90
C
Ð
=
° ，
38
B
Ð
=
° ，以点A 为圆心，适当长为
半径画弧，交AB 于点E ，交AC 于点F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于1
2 EF 的长为半径画弧，两弧（所
在圆的半径相等）在
BAC
Ð
的内部相交于点P ，画射线AP 与BC 相交于点D ，
3
CD =
，下列结论正确的是
（ ）
A．AC
BD
=
B．
64
ADC
Ð
=
°
C．
CAD
B
Ð
= Ð
D．B 到AD 的距离是3
【答案】B
【分析】利用直角三角形两锐角互余结合尺规作图得到的角平分线推导即可．
【详解】解：由题意得AP 为
CAB
Ð
的平分线，
90
C
Ð
=
°
Q
，
38
B
Ð
=
° ，
90
90
38
52
CAB
B
\Ð
=
°- Ð
=
°-
° =
°，
1
26
2
CAD
CAB
\Ð
=
Ð
=
° ，
CAD
B
\Ð
¹ Ð
，故C 不正确；
90
90
26
64
ADC
CAD
\Ð
=
°- Ð
=
°-
° =
°，故B 正确；
如图，过点D 作DG
AB
^
，垂足为G ，
由角平分线定理可得
3
DC
DG
=
=
，无法推出AC
BD
=
，B 到AD 的距离是3，故A、D 不正确．
5．（25-26 八年级下·河南郑州·期中）如图，在ABC
V
中，
BAC
Ð
和
ABC
Ð
的平分线
,
AE BF 相交于点O，过
点O 作OD
BC
^
于D，下列三个结论：①
1
90
2
AOB
C
Ð
=
° +
Ð
；②当
60
C
Ð
=
°时，AF
BE
AB
+
=
；③若
OD
a
=
，
2
AB
BC
CA
b
+
+
=
，则
ABC
S
ab
=
V
．．其中正确的是（ ）
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①③
【答案】C
【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解
AOB
Ð
和
C
Ð
的关系，进而判断①；根据
60
C
Ð
=
°
得
120
BAC
BCA
Ð
+ Ð
=
° ，根据角平分线和三角形内角和定理得
60
BOE
Ð
=
°，在AB 上取一点H，使BH
BE
=
，
利用SAS 证明
E
HBO
BO
≌△
△
可得
60
AOH
AOF
Ð
= Ð
=
°，利用ASA 可证明
HAO
FAO
△
≌△
得AF
AH
=
，进而
可判断②；作OH
AC
^
于H，OM
AB
^
于M，根据题意得OH
OM
OD
a
=
=
=
，根据
2
AB
BC
CA
b
+
+
=
，
利用三角形面积即可判断③，即可得．
【详解】解：∵
BAC
Ð
和
ABC
Ð
的平分线AE ，BF 相交于点O，
∴
1
2
OBA
CBA
Ð
=
Ð
，
1
2
OAB
CAB
Ð
=
Ð
，
∴
180
AOB
OBA
OAB
Ð
=
°- Ð
- Ð
1
1
180
2
2
CBA
CAB
=
° -
Ð
-
Ð
1
180
2
CBA
CAB
=
°-
Ð
+ Ð
1
180
180
2
C
=
°-
°- Ð
1
90
2
C
=
°+
Ð
，故①正确；
∵
60
C
Ð
=
°，
∴
120
BAC
ABC
Ð
+ Ð
=
° ，
∵AE ，BF 分别是
BAC
Ð
和
ABC
Ð
的平分线，
∴
1
60
2
OAB
OBA
BAC
ABC
Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
120
AOB
°
Ð
=
，
∴
60
AOF
Ð
=
° ，
∴
60
BOE
Ð
=
°，
如图所示，在AB 上取一点H，使BH
BE
=
，
∵BF 是
ABC
Ð
的角平分线，
∴
HBO
EBO
Ð
= Ð
，
在△HBO 和EBO
V
中，
BH
BE
HBO
EBO
BO
BO
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
∴
SAS
HBO
EBO
V
V
≌
，
∴
60
BOH
BOE
Ð
= Ð
=
°，
∴
60
AOH
Ð
=
°，
∴
60
AOH
AOF
Ð
= Ð
=
°，
在HAO
V
和FAO
V
中，
HAO
FAO
AO
AO
AOH
AOF
Ð
= Ð
ì
ï
=
í
ïÐ
= Ð
î
∴
ASA
HAO
FAO
V
V
≌
，
∴AF
AH
=
，
∴
+
+
AB
BH AH
BE AF
=
=
，故②正确；
如图所示，作OH
AC
^
于H，OM
AB
^
于M，
∵
BAC
Ð
和
ABC
Ð
的平分线相交于点O，
∴点O 在
C
Ð
的平分线上，
∴OH
OM
OD
a
=
=
=
，
∵
2
AB
BC
CA
b
+
+
=
，
∴
1
1
1
2
2
2
ABC
S
AB OM
AC OH
BC OD
=
×
+
×
+
×
△
1
2 AB
AC
BC
a
=
+
+
×
ab
=
，故③正确；
综上，其中正确的有①②③．
二、填空题
6．（25-26 七年级下·江苏常州·期末）如图，AB CD
P
，作一条直线，分别交AB ，CD于点E ，F ，以点F
为圆心，任意长为半径作弧，分别交FE ，FD 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于1
2 MN 的长为
半径作弧，两弧相交于点G ，作射线FG ，交AB 于点H ．若
1
30
Ð =
° ，则
HEF
Ð
的大小为__________°．
【答案】120
【分析】由尺规作图痕迹可知FH 为
EFD
Ð
的角平分线，根据平行线的性质可得
1
30
HFD
Ð
= Ð =
° ，进而求
出
EFD
Ð
的度数，最后利用平行线的性质即可求出
HEF
Ð
的大小 ．
【详解】解：由题意可得，FH 为
EFD
Ð
的角平分线，
1
2
EFH
HFD
EFD
\Ð
= Ð
=
Ð
，
AB
CD
Q
∥
，
1
30
HFD
\Ð
= Ð =
°，
2
60
EFD
HFD
\Ð
= Ð
=
° ，
AB
CD
Q
∥
，
180
EFD
HEF
\Ð
+ Ð
=
° ，
180
60
120
HEF
\Ð
=
°-
° =
° ．
7．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在ABC
V
中，点D 在边BC 上，连接AD ，
5
CD
BD
=
，CI
平分
ACB
Ð
交AD 于点I ，IH
AC
^
于点H ，若
6,
8,
2
ABD
BC
AC
S
=
=
=
V
，则IH 的长为_____．
【答案】20
13 /
7
113
【分析】过点I 作IE
BC
^
于点E，根据角平分线的性质得到IE
IH
=
，根据
5
CD
BD
=
得到
5
CD =
，
10
5
ACD
ABD
S
S
=
=
V
V
，根据
ACD
ACI
DCI
S
S
S
=
+
V
V
V
求解即可．
【详解】解：过点I 作IE
BC
^
于点E，
CI
Q
平分
ACB
Ð
交AD 于点I ，IH
AC
^
于点H ，
IE
IH
\
=
，
5
CD
BD
=
Q
，
6,
2
ABD
BC
S
=
=
V
，
5
5
6
CD
BC
\
=
=
，
10
5
ACD
ABD
S
S
=
=
V
V
，
ACD
ACI
DCI
S
S
S
=
+
V
V
V
Q
，
8
AC = ，
1
1
10
2
2
AC IH
CD IE
\
×
+
×
=
，
1
1
8
5
10
2
2
IH
IH
\
´
+
´
=
，
解得
20
13
IH =
．
8．（25-26 七年级下·陕西汉中·期末）如图，BD 是ABC
V
的角平分线，DE
AB
^
于点E ，AF 是ABD
V
的中
线，动点G 在BC 边上，连接DG ．若
6
AB =
，
ABF
△
的面积是3，则DG 的最小值为______________．
【答案】2
【分析】因为AF 是ABD
V
的中线，所以ABF
V
和AFD
V
面积相等，可先求出ABD
V
的面积．已知ABD
V
的
面积和AB 的长度，结合DE
AB
^
，用三角形面积公式可求出DE 的长度．因为BD 是角平分线，根据角平
分线的性质，点D 到AB 和BC 的距离相等，可得D 到BC 的距离等于DE ．因为G 在BC 上，根据垂线段
最短，DG 的最小值即为D 到BC 的距离．
【详解】解：∵AF 是ABD
V
的中线，
3
ABF
S
=
V
，
∴
2
6
ABD
ABF
S
S
=
=
V
V
．
∵ DE
AB
^
，
6
AB =
，
1
2
ABD
S
AB DE
=
×
×
V
，
∴ 1
6
6
2
DE
´ ´
=
，
解得
2
DE =
．
∵ BD 是ABC
V
的角平分线，
∴点D 到BC 的距离等于
2
DE =
．
又∵点G 在BC 上，
∴DG 的最小值就是点D 到BC 的距离，
即
2
DG
=
最小
．
9．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在ABC
V
中，AD 是ABC
V
的角平分线，BE 是ABD
V
的中
线，过点D 分别作DF
AB
^
，DH
AC
^
，垂足分别为点F ，H ，若BED
V
的面积为2 ，AB 的长为4 ，则DH
的长为___________．
【答案】2
【分析】根据BE 是ABD
V
的中线，可得ABD
V
的面积是BED
V
面积的两倍，再利用ABD
V
的面积求出DF ，
然后根据角平分线的性质得DH
DF
=
．
【详解】解：∵BED
V
的面积为2 ，BE 是ABD
V
的中线，
∴ABD
V
的面积为4，
∴1
4
2 AB DF
×
=
，
∵AB 的长为4 ，
∴
2
DF =
，
∵AD 是ABC
V
的角平分线，DF
AB
^
，DH
AC
^
，
∴
2
DH
DF
=
=
．
10．（25-26 七年级下·安徽宿州·期末）在锐角三角形ABC 中，
60
BAC
Ð
=
° ，BE 、CD分别为ABC
V
的角平
分线，BE 、CD相交于点F ．
（1）则
BFC
Ð
的度数为________；
（2）若FG 平分
BFC
Ð
，当
3
BD =
，
2
CE =
，
BFC
V
的面积为2.5 时，则BCD
V
的面积为________．
【答案】
120°/120度
4
【分析】过点F 作FM
AB
⊥
于点M ，过点F 作FN
BC
^
于点N ，根据角平分线性质定理得FM
FN
=
，结
合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出
60
BFG
BFD
Ð
=
° = Ð
，再通过ASA 证明
BDF
BGF
△
≌△
，CEF
CGF
V
V
≌
，则BD
BG
=
，CE
CG
=
，
5
BC
BG
CG
BD
CE
=
+
=
+
=
，根据三角形面积公
式求出
1
FN
FM
= =
，
1
3
2
2
BDF
S
BD FM
=
×
=
V
，再根据BCD
V
的面积=
BDF
BFC
S
S
+
V
V
求解即可．
【详解】解：（1）
60
BAC
Ð
=
°
Q
，BE ，CD分别为ABC
V
的角平分线，
1
1
1
(180
)
60
2
2
2
EBC
DCB
ABC
ACB
BAC
\Ð
+ Ð
=
Ð
+
Ð
=
´
° - Ð
=
°，
180
(
)
120
BFC
EBC
DCB
\Ð
=
° - Ð
+ Ð
=
° ；
（2）如图，过点F 作FM
AB
⊥
于点M ，过点F 作FN
BC
^
于点N ，
∵
120
BFC
Ð
=
° ，FG 平分
BFC
Ð
，
180
60
BFD
BFC
\Ð
=
°- Ð
=
° ，
1
60
2
BFG
BFC
BFD
\Ð
=
Ð
=
° = Ð
，
在BDF
V
和BGF
V
中，
BFD
BFG
BF
BF
DBF
GBF
Ð
= Ð
ì
ï
=
í
ïÐ
= Ð
î
，
BDF
BGF ASA
\V
V
≌
，
BD
BG
\
=
，
同理可得
CEF
CGF ASA
V
V
≌
，
CE
CG
\
=
，
BC
BG
CG
BD
CE
\
=
+
=
+
，
3
BD
BG
=
=
Q
，
2
CE
CG
=
=
，
5
BC
BD
CE
\
=
+
=
，
BFC
QV
的面积
2.5
=
，
1
2.5
2 BC FN
\
×
=
，
1
FN
\
= ，
BE
Q
为ABC
V
的角平分线，FN
BC
^
，FM
AB
⊥
，
1
FM
FN
\
=
= ，
1
1
3
3 1
2
2
2
BDF
S
BD FM
\
=
×
=
´ ´ =
V
，
BCD
\V
的面积
3
=
2.5
4
2
BDF
BFC
S
S
+
=
+
=
V
V
．
三、解答题
11．
（25-26七年级下·陕西渭南·期末）如图，AD 为ABC
V
的中线，BE 为ABD
V
的角平分线，过点E 作EN
AB
^
于点N ，EM 为BED
V
的高．
(1)若
140
BEA
Ð
=
° ，
25
BAD
Ð
=
°，求
ABD
Ð
的度数；
(2)若
16
AB =
，
8
BD =
，
64
=
VABC
S
，求EM 的长．
【答案】(1)30°
(2) 8
3
【分析】（1）由三角形内角和定理可得
15
ABE
Ð
=
° ，再根据角平分线的定义即可解答；
（2）由三角形中线的性质可得ABD
V
的面积为32，再根据角平分线的性质可得NE
ME
=
，再根据
32
ABD
ABE
BDE
S
S
S
=
+
=
V
V
V
列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵
25
BAD
Ð
=
°，
140
BEA
Ð
=
° ，
∴
180
180
140
25
15
ABE
BEA
BAD
=
°-
-
=
°-
°-
Ð
° =
Ð
Ð
° ，
∵BE 为ABD
V
的角平分线，
∴
2
30
ABD
ABE
Ð
= Ð
=
° ．
（2）解：∵AD 为ABC
V
的中线，
64
=
VABC
S
，
∴ABD
V
的面积为32，
∵BE 为ABD
V
的角平分线，EN
AB
^
，EM 为BED
V
的高，
∴NE
ME
=
，
∵
32
ABD
ABE
BDE
S
S
S
=
+
=
V
V
V
，
∴1
1
32
2
2
AB NE
BD ME
×
+
×
=
，
∵
16
AB =
，
8
BD =
，NE
ME
=
，
∴1
1
16
8
32
2
2
ME
ME
´
+
´
=
，
解得：
8
3
ME =
．
12．（25-26 七年级下·江西吉安·期末）已知OM 是
AOB
Ð
的平分线，点P 是射线OM 上一点，点C ，D 分别
在射线OA，OB 上，连接PC ，PD ．
【发现问题】
(1)如图①，当PC
OA
^
，PD
OB
^
时，则PC 与PD 的数量关系相等吗？说明理由．
【探究问题】
(2)如图②，点C ，D 在射线OA，OB 上滑动，且
90
AOB
Ð
=
° ，当PC
PD
^
时，PC 与PD 在【发现问题】
中的数量关系还成立吗？说明理由．
【答案】(1)解：PC
PD
=
，理由：
OM
Q
是
AOB
Ð
的平分线，
,
PC
OA PD
OB
^
^
，
PC
PD
\
=
；
(2)解：成立，理由：
如图，过点P 作PE
OA
^
于E ，PF
OB
^
于F ，
90
PEC
PFD
\Ð
= Ð
=
° ，
OM
Q
是
AOB
Ð
的平分线，
PE
PF
\
=
．
90
AOB
Ð
=
°
Q
，
90
CPD =
°
∠
，
360
90
90
180
PCE
PDO
\Ð
+ Ð
=
°-
°-
° =
° ．
180
PDF
PDO
Ð
+ Ð
=
°
Q
，
PCE
PDF
\Ð
= Ð
．
在PCE
V
和PDF
V
中，
PCE
PDF
PEC
PFD
PE
PF
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
AAS
PCE
PDF
\V
V
≌
，
PC
PD
\
=
．
【分析】（1）根据“角平分线上的点到这个角的两边距离相等”即可判断；
（2）根据（1）的解题方法，首先过点P 作PE
OA
^
于E ，PF
OB
^
于F ，进而有PE
PF
=
，再证明
PCE
PDF
△
≌△
即可．
【详解】（1）略
（2）略
13．（25-26 八年级上·江西赣州·期末）【课本再现】如图是人教版八年级上册数学教材第50 页的部分内容．
我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
利用三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
【定理证明】
（1）请根据教材中的分析，结合图1，写出角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在角的平
分线上”完整的证明过程．
已知：点P 在OC 上，PD
OA
^
，PE
OB
^
，垂足分别为D 、E ，且______ ．
求证：OC 是
AOB
Ð
的平分线．
请根据上述已知和求证，写出证明过程．
【定理应用】
（2）如图2，
90
B
C
Ð
= Ð
=
° ，E 是BC 的中点，AE 平分
BAD
Ð
．求证：DE 是
ADC
Ð
的平分线．
【拓展提升】
（3）如图3，ABC
V
中，点D 在BC 边上，BE 平分
ABC
Ð
，DE 平分
ADC
Ð
．若
6
AB =
，
3
AD =
，
5
CD = ，
16
ACD
S
=
△
，请求出ABE
V
的面积．( 提示：过点E 作AB 的垂线)
【答案】（1）PD
PE
=
．
证明：在Rt
PDO
△
和Rt PEO
V
中，
PD
PE
=
Q
，OP
OP
=
，
HL
Rt PDO
Rt PEO
\
V
V
≌
，
DOP
EOP
\Ð
= Ð
，
OC
\
是
AOB
Ð
的平分线．
（2）证明：如图，过点E 作EF
AD
^
于F ，
90
B
C
Ð
= Ð
=
°
Q
，
BE
AB
\
^
，EC
CD
^
，
AE
Q
平分
BAD
Ð
，
EB
EF
\
=
，
E
Q
是BC 的中点，
EC
EB
\
=
，
EC
EF
\
=
，
又
EF
AD
^
Q
，EC
CD
^
，
DE
\
是
ADC
Ð
平分线．
（3）
12
ABE
S
=
△
【分析】本题考查角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形的面积．
（1）证明
Rt
Rt
HL
PDO
PEO
V
V
≌
，即可得出结论；
（2）过点E 作EF
AD
^
于F ，先由角平分线的性质得到EF
EB
=
，从而可证得EC
EF
=
，根据角平分线的
判定，即可得证．
（3）过点E 作EF
BA
^
交BA 延长线于F ，作EG
AD
^
于G ，作EH
CD
^
于H ，根据角平分线的性质可
得EF
EH
EG
=
=
，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：过点E 作EF
BA
^
交BA 延长线于F ，作EG
AD
^
于G ，作EH
CD
^
于H ，如图，
BE
Q
平分
ABC
Ð
，DE 平分
ADC
Ð
，
EF
EH
\
=
，EG
EH
=
，
EF
EH
EG
\
=
=
，
1
1
1
2
2
2
ACD
ADE
CDE
S
S
S
AD GE
CD EH
EF AD
CD
=
+
=
×
+
×
=
+
△
△
△
，
3
AD =
Q
，
5
CD = ，
16
ACD
S
=
△
，
4
EF
\
=
，
\
1
12
2
ABE
S
AB EF
=
×
=
△
．
14．（25-26 八年级上·全国·期末）如图，点M 为BC 的中点，DM 平分
ADC
Ð
．
(1)若
90
B
C
Ð
= Ð
=
° ．
①求证：AM 平分
BAD
Ð
．
②猜想线段CD，AB ，AD 之间的数量关系，并证明．
(2)若
75
B
Ð
=
° ，请你思考
C
Ð
应该满足什么条件，能使得（1）②中结论依然成立，并说明理由．
【答案】(1)①见解析；②AD
CD
AB
=
+
，见解析
(2)
105
C
Ð
=
° ，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理及判定定理等；添加恰当的辅助线构
建全等三角形是解题的关键．
（1）①过点M 作ME
AD
^
交于E ，由角平分线的性质得CM
EM
=
，再由角平分线的判定定理即可得证；
②由HL 可判定Rt
Rt
DEM
DCM
V
V
≌
，由全等三角形的性质即可得证；
（2）在AD 上截取DF
DC
=
，连接MF ，过点M 作MH
AD
^
交于H ，作MG
AB
^
交于G ，由SAS 判定
MDF
MDC
V
V
≌
，结合全等三角形的性质，再由AAS判定MHF
MGB
V
V
≌
、AFM
ABM
V
V
≌
，由全等三角形
的性质即可得证．
【详解】（1）①证明：过点M 作ME
AD
^
交于E ，
Q DM 平分
ADC
Ð
，
90
C
Ð
=
° ，
CM
EM
\
=
，
Q点M 为BC 的中点，
\ CM
BM
=
，
EM
BM
\
=
，
90
B
Ð
=
°
Q
，ME
AD
^
，
\ AM 平分
BAD
Ð
；
②AD
CD
AB
=
+
，
证明：
EM
CM
=
Q
，DM
DM
=
，
Rt
Rt
DEM
DCM
\
≌
△
△
（HL ），
ED
CD
\
=
，
同理可证AE
AB
=
，
AD
AE
ED
\
=
+
CD
AB
=
+
；
（2）解：
105
C
Ð
=
° ，
理由如下：在AD 上截取DF
DC
=
，连接MF ，过点M 作MH
AD
^
交于H ，作MG
AB
^
交于G ，
90
MHF
MGB
\Ð
= Ð
=
°，
Q DM 平分
ADC
Ð
，
MDF
MDC
\Ð
= Ð
，
DM
DM
=
Q
，
MDF
MDC
\V
V
≌
（SAS ），
MF
MC
\
=
，FD
CD
=
，
105
DFM
C
Ð
= Ð
=
° ，
180
105
75
AFM
\Ð
=
°-
° =
° ，
AFM
B
\Ð
= Ð
，
Q点M 为BC 的中点，
\ CM
MB
=
，
MF
MB
\
=
，
MHF
MGB
\V
V
≌
（AAS），
MH
MG
\
=
，
AM
\
平分
BAD
Ð
，
FAM
BAM
\Ð
= Ð
，
AM
AM
=
Q
，
AFM
ABM
\V
V
≌
（AAS），
AF
AB
\
=
，
AD
FD
AF
\
=
+
CD
AB
=
+
．
故
105
C
Ð
=
° 时，能使得（1）②中结论依然成立．
15．（24-25 八年级上·广东中山·期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“友好三角
形”．
(1)如图1，ABC
V
和ADE
V
互为“友好三角形”， 其中
,
,
AB
AC AD
AE
BAC
DAE
=
=
Ð
= Ð
， 连接
,
CE BD，
求证：CE
BD
=
；
(2)点D 是直线BC 上一动点（点D 不与点B，C 重合），以AD 为边向右构造ADE
V
，使得ABC
V
和ADE
V
互为“友好三角形”，其中
,
,
AB
AC AD
AE
BAC
DAE
=
=
Ð
= Ð
，连接EC ， 点F 在线段EC 右上方， 且点
E， C， F 三点共线．
①如图2， 当点 D 在线段BC 的左侧时， 求证：
ACF
ACB
Ð
= Ð
；
②如图3，当点D 在线段BC 上时，
ACF
Ð
与
ACB
Ð
的数量关系是否发生改变，并说明理由．
【答案】(1)
证明：∵
BAC
DAE
Ð
= Ð
，
.
EAC
BAC
BAE
DAE
BAE
DAB
\Ð
= Ð
- Ð
= Ð
- Ð
= Ð
在EAC
V
与
DAB
△
中，
,
,
,
AE
AD
EAC
DAB
AC
AB
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
(SAS)
EAC
DAB
\△
≌△
CE
BD
\
=
；
(2)
① 证明：分别过点A 作AM
EC
^
于点M，AN
DB
^
于点N，
由（1）得
EAC
DAB
≌
△
△
，CE
BD
=
，
EAC
DAB
S
S
\
=
△
△
，
1
1
2
2
CE AM
BD AN
\
×
=
×
，
AM
AN
\
=
，
又∵AM
EC
^
，AN
DB
^
，
ACF
ACB
\Ð
= Ð
；
②
ACF
Ð
与
ACB
Ð
的数量关系不变，
ACF
ACB
Ð
= Ð
，理由如下：
∵
DAE
BAC
Ð
= Ð
，
EAC
DAE
CAD
BAC
CAD
DAB
\Ð
= Ð
- Ð
= Ð
- Ð
= Ð
.
在EAC
V
与
DAB
△
中，
AE
AD
EAC
DAB
AC
AB
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
(SAS)
EAC
DAB
\△
≌△
，
CE
BD
\
=
，
EAC
DAB
S
S
=
△
△
，
分别过点A 作AM
CE
^
于点M，AN
BD
^
于点N，
1
1
2
2
CE AM
BD AN
\
×
=
×
，
AM
AN
\
=
，
又∵AM
CE
^
，AN
BD
^
，
ACF
ACB
\Ð
= Ð
，
即
ACF
Ð
与
ACB
Ð
的数量关系不变.
【分析】此题考查了等腰三角形的定义、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识．
（1）证明
(SAS)
EAC
DAB
△
≌△
即可得到结论；
（2）①分别过点A 作AM
EC
^
于点M，AN
DB
^
于点N，由全等的性质得到
EAC
DAB
S
S
=
△
△
，CE
BD
=
，
由等积法求出AM
AN
=
，由角平分线的判定定理即可证明结论；②仿照①的证明过程解答即可．
【详解】（1）略
（2）①略
②略
