中考数学考前解题技巧归纳
内容导览
技巧01 等腰三角形的角和边不确定多解题
技巧02 直角三角形的直角顶点不确定多解题
技巧03 遇到中点构造中位线
技巧04 遇到中点构造中线
技巧05 遇到中点构造倍长中线(或类中线)
技巧06 遇到角平分线构造等腰三角形
技巧07 遇到角平分线构造轴对称图形
技巧08 定弦定角构造辅助圆
技巧09 对角互补造辅助圆（四点共圆 ）
技巧10 最值模型之将军饮马模型
技巧11 最值模型之将军遛马模型
技巧12 最值模型之将军造桥（过桥）模型
技巧13 最值模型之胡不归模型
技巧14 最值模型之阿氏圆模型
技巧15 最值模型之瓜豆直线轨迹原理模型
技巧16 最值模型之瓜豆圆弧轨迹原理模型
技巧归纳
技巧01 等腰三角形的角和边不确定多解题
方法解读：当题干中出现类似“若△ABC 为等腰三角形”这样的表述时，未明确哪两条边为腰，需考虑分
类讨论：①AB=AC(C₁,C₄);②AB=BC(C₂,C₅);③AC=BC(C₃)
解题方法：①求角度：根据等腰三角形等边对等角的性质结合三角形内角和及内外角关系求解；②求线段
长：可用勾股定理、全等三角形、相似三角形的判定与性质求解，若出现30°、45°的角时，可考虑用锐
角三角函数或含30°、45°角的直角三角形的性质求解.
1．（2026·江西赣州·一模）在矩形ABCD 中，
6
AB =
，
4
BC =
，动点E 、F 分别在边AB 和CD 上，且
AE
CF
=
，连接AF ，当
AEF
△
为等腰三角形时，AE 的长为_______．
2．（2026·四川绵阳·一模）如图所示，在
ABC
V
中，
2
AB
AC
=
=
，
120
BAC
Ð
=
° ，点E 是AB 边上不与端
点重合的一个动点，作ED
BC
^
交BC 于点D，将
BDE
V
沿DE 折叠，点B 的对应点为F，当
ACF
△
为等腰
三角形时，则BD 的长为______．
3．（2026·江西宜春·一模）在矩形ABCD 中，
2
AB =
，
3
BC = ，点P 是折线B
C
D
A
-
-
-
上的动点（不与
A，B 两点重合），当ABP
V
为等腰三角形时，此时AP 的长为________________．
4．（2026·江西吉安·一模）已知点A，B，C 分别在从上往下相互平行的直线1l ，2l ，3l 上，1l 与2l 之间的距
离是1，2l 与3l 之间的距离是2．若
ABC
V
是等腰直角三角形，则它的面积是________．
5．（2026·上海长宁·一模）在矩形ABCD 中，
6
AB
CD
=
=
，
5
AD
BC
=
=
，E 为射线AB 上一点，将
ADE
V
沿DE 翻折，得到
1A DE
△
（点A 的对应点为
1A ）．联结
1
1
A A
A B
、
，当
1A AB
△
为等腰三角形时，AE 长是
___________．
技巧02 直角三角形的直角顶点不确定多解题
方法解读：当题干中出现类似“若△ABC 为直角三角形”这样的表述时，未明确哪个角为直角，需考虑分
类讨论：①∠A=90°(C₁);②∠B=90°(C₄);③∠C=90°(C₂,C₃);
解题方法：①求角度：根据直角三角形的性质结合三角形内角和及内外角关系求解；②求线段长：可用勾
股定理、全等三角形、相似三角形的判定与性质求解；若出现30°、45°的角时，可考虑用锐角三角函数
或含30°、45°角的直角三角形的性质求解；若出现中点，可考虑用直角三角形斜边中线的性质或者中位
线的性质求解。
1．（2026·河南南阳·模拟预测）定义：有一个内角的度数为135° 的三角形叫做“折矩三角形”．如图，Rt
ABC
△
中，
90
B
Ð
=
°，
30
C
Ð
=
° ，
3
AB = ，点P 是直线BC 上任意一点，连接AP ．若
APC
△
为“折矩三角形”，则BP
的长为________．
2．（2026·黑龙江·一模）在矩形ABCD 中，
2
AB =
，
2 3
AD =
，点E ，F 分别在AD ，BD 上，AE
DE
=
，
连接EF ，将DEF
V
沿EF 翻折，得到
GEF
△
，直线EG 交对角线BD 于点H ，当
DEH
△
是直角三角形时，DF
的长为_____．
3．（2026·江西吉安·一模）如图，在直角ABC
V
中，
90
ACB
Ð
=
°，
30
BAC
Ð
=
°，
2
AB =
，将直角边AC 绕
点A 顺时针旋转得到AP ，旋转角为a （0
180
a
° <
£
°），连接CP ，PB .若PBC
V
是以BC 边为直角边的直
角三角形，则此时线段PB 的长为______．
4．（2025·河南信阳·三模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
30
2
C
B
AC
Ð
Ð
=
°
=
°
=
，
，
，点D 是BC 的中点，点E
是边AB 上一动点，沿DE 所在直线把
BDE
V
翻折到B DE
¢
V
的位置，B D
¢
交AB 于点F ，连接AB¢．若AB F
¢
V
为直角三角形，则BE 的长为___________．
5．（2025·江西抚州·一模）如图，在等边三角形ABC 中，
5
AB =
，点D 在AC 上，
3
AD =
，E 是BC 边上
的动点，连接DE ，以DE 为斜边作等腰直角三角形DEF ，当DE 的长为整数时，DEF
V
的面积为________．
技巧03 遇到中点构造中位线
情形1：当图形中出现两个中点时，考虑构造中位线.
条件:如图,在△ABC 中,点D,E 分别为AB,AC 的中点.
辅助线作法：连接DE.
结论： 𝐷𝐸=
1
2𝐵𝐶,𝐷𝐸∥𝐵𝐶.
情形2：当图形中出现一个中点时，考虑过中点作已知长度边的平行线构造中位线.
①条件:如图1,在△ABC 中,D 是边AB 的中点，且已知底边BC 的长.
辅助线作法：过点 D 作 BC 的平行线，交AC 于点E(或取AC 的中点E,连接DE).
结论： 𝐷𝐸=
1
2𝐵𝐶.
②条件:如图2,在△ABC 中,D 是边AB 的中点.辅助线作法:过点A 作AF∥CD,交BC 的延长线于点 F.
结论：DC=
1
2AF;△BDC∽△BAF.
1．（2026·陕西渭南·一模）如图，在
ABC
V
中，
120
BAC
Ð
=
° ，
6
AC
AB
>
>
，点D、E 分别在AB 、AC
上，且
6
BD
CE
=
=
，连接DE ，点P、Q 分别是DE 、BC 的中点，连接PQ，则PQ的长为________．
2．（2025·山东威海·一模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
B
Ð
=
°．点D 在AB 的延长线上，点E 为BC 上一点，
连接DE，点M，N 分别为AC ，DE 的中点，连接MN ．若
10
AD =
，
4
EC =
，则MN 的长为________．
3．（2026·河南洛阳·一模）如图，在锐角三角形ABC 中，以AC 为边作等边三角形AEC ，以AB 为边作等
腰三角形AFB ，其中AF
BF
=
，
120
AFB
Ð
=
°，D 为BC 的中点，分别连接FD 和ED ，若FD 的长为6，则
DE 的长为______．
4．（2026·湖北襄阳·一模）探究：【证法回顾】
(1)证明：三角形中位线定理．
已知：DE 是
ABC
V
的中位线，求证：
1
∥
2
DE
BC，DE
BC
=
．
证明：添加辅助线，如图1，在
ABC
V
中，延长DE （点D
E
、分别是AB
AC
、
的中点）至点F ，使得
EF
DE
=
，连接CF ．请继续完成证明过程；
【问题解决】
(2)如图2 ，在正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点，点G
F
、
分别为AB
CD
、
边上的点，若
2
3
90
AG
DF
GEF
=
=
Ð
=
°
，
，
，求GF 的长；
【拓展研究】
(3)如图3，在四边形ABCD 中，
105
120
A
D
Ð
=
°
Ð
=
°
，
，点E 为AD 的中点，点G
F
、
分别为AB
CD
、
边上
的点，若
2 2
2
90
AG
DF
GEF
=
=
Ð
=
°
，
，
，求GF 的长．
5．（24-25 八年级下·浙江·月考）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB
CD
E
F
G
=
，，，
分别是AD
BC
BD
，
，
的中点，可证：
GEF
GFE
Ð
= Ð
（无需证明）．
拓展：
(1)如图1；在四边形ABCD 中，AB
CD
E
F
G
=
，，，
分别是AD
BC
BD
，
，
的中点，分别延长BA
FE
CD
，
，
，
交于M
N
，
两点，求证：
M
CNF
Ð
= Ð
．
(2)如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O
AB
CD
E
F
=
，
，，
分别是AD
BC
，
的中点，连结EF ，
分别交DC ，AB 于点M ，N ，判断OMN
V
的形状：___________（直接写出答案，无需证明）．
(3)如图3，在
ABC
V
中，
90
A
Ð
=
°，D 是AC 上一点，且
10
CD
AB
=
=
，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，
求EF 的长．
技巧04 遇到中点构造中线
情形1：当遇到直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线.
条件:如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,D 为斜边AC 的中点.
辅助线作法：连接BD.
结论：𝐵𝐷= 𝐶𝐷= 𝐴𝐷=
1
2𝐴𝐶
情形2：当遇到等腰三角形底边上的中点时，考虑作底边上中线，利用“三线合一”解题.
条件:如图,在等腰△ABC 中,D 为底边 BC 的中点.
辅助线作法：连接AD.
结论:AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.
1．（2026·河南周口·一模）如图，在
ABC
V
中，
5
AB
AC
=
=
，
6
BC =
，点D 是BC 的中点，点E 是AB 上
的动点，连接DE ，则DE 的最小值为_____．
2．（2026·安徽合肥·一模）如图，点E ，点F 分别是正方形ABCD 边BC 和CD 上两点，
12
AB =
，
BE
CF
=
，连接
,
AE BF 交于点G ．
（1）
AGB
Ð
= _____；
（2）连接EF ，若点H 是EF 的中点，则GH 的最小值为_____．
3．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在等腰直角三角形ABC 中，
90
ACB
Ð
=
°，AC
BC
=
，D 是AB 的中点，
过点D 作DE
AC
^
于点E，DF
BC
^
于点F，连接EF ．
(1)求证：四边形EDFC 为正方形．
(2)若
6
AC =
，求EF 的长度．
4．（2024·湖南·模拟预测）（1）初步感知：如图①，在等腰Rt
ABC
△
中，D 为斜边AC 上的中点，E 为BC
上一动点，作DF
DE
^
交AC 于点F ．求证：DE
DF
=
；
（2）问题探究：如图②，在等腰ABC
V
中，
120
C
Ð
=
° ，D 为AB 边上的中点，E 为BC 边上一动点，作
60
EDF
Ð
=
°交AC 边于点F ，请问第（1）小题中的结论是否仍然成立？请说明理由．
5．（2025·山东·模拟预测）【问题背景】在数学活动课上，张老师带领同学们研究图形旋转时给出如下问
题：如图1，在四边形ABCD 中，
90
ABC
ADC
Ð
= Ð
=
°，当点O 为AC 的中点时，则易证BO
DO
=
．
【类比分析】
（1）小青同学将两个等腰直角三角形卡片
ABC
V
与
BDE
V
（其中
90
ACB
BDE
Ð
= Ð
=
°），拼摆成点C ，
B， E 共线时，如图2，连接AE ，取AE 的中点O，连接OC
OD
，
，请直接写出OC 与OD 的数量关系；
（2）小阳同学在小青同学摆放的基础上，又将
BDE
V
绕点B 逆时针旋转角度α（0
90
a
° <
<
°），如图3，
小阳得到的结论与小青是否相同？若相同，请写出证明过程；若不同，请说明理由；
【拓展应用】
（3）张老师带领学生在小青、小阳的基础上做进一步探究，将
BDE
V
绕点B 逆时针旋转α
（0
360
a
° <
<
°），若
3 2
DE =
，
3 6
BC =
，当
120
BAE
AEB
Ð
+ Ð
=
° 时，请求出线段OC 的长．
技巧05 遇到中点构造倍长中线(或类中线)
情形1：当遇到三角形中存在中线时，考虑延长中线，作与中线相等的线段构造全等三角形.
条件:如图1,在△ABC 中,AD 是BC 边的中线.
辅助线作法1:延长AD 至点E,使DE=AD,连接BE.
辅助线作法2:过点B 作BE∥AC,交AD 的延长线于点 E.
结论:△ACD≌△EBD,AD=DE,BE=AC 等.
情形2：当遇到三角形中存在一条线段过一边的中点时，考虑延长这条线段，作等线段构造全等三角形.
条件:如图2,在△ABC 中,D 是 BC 边的中点,点 E 是AB 上一点,连接DE.
辅助线作法1:延长ED 至点 F,使 DF=DE,连接CF.
辅助线作法2:过点 C 作 CF∥AB 交 ED 的延长线于点 F.
结论:△BDE≌△CDF,CF∥AB, BE=CF 等
1．（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题：
如图①，在
ABC
V
中，
6
AB =
，
8
AC =
，第三边上的中线AD
x
=
，则x 的取值范围是____．
【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法：
（1）如图②，延长AD 至点A¢，使得DA
AD
¢ =
，连结A C
¢
，根据“SAS ”可以判定
ABD
△
≌__________，
得出
6
A C
AB
¢
=
=
．在
AA C
¢
△
中，
6
A C
¢
=
，
8
AC =
，
2
AA
x
¢ =
，故中线AD 的长x 的取值范围是_______．
【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散
的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法．
【问题解决】（2）如图③，已知AB
AC
=
，AD
AE
=
，
180
BAE
CAD
Ð
+ Ð
=
° ，连接BE 和CD ，点F 是CD
的中点，连接AF ．求证：
2
BE
AF
=
．小明发现，如图④，延长AF 至点A¢，使FA
AF
¢ =
，连接A D
¢
，通过
证明ABE
DA A
¢
V
V
≌
，可推得
2
BE
AA
AF
¢
=
=
．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长AF 至点A¢，使FA
AF
¢ =
，连接A D
¢
，
∵点F 是CD 的中点，
∴CF
DF
=
．
∵AF
A F
¢
=
，
AFC
A FD
¢
Ð
= Ð
，
∴
(SAS)
ACF
A DF
¢
V
V
≌
，
∴A D
AC
¢
=
，
A DF
ACF
¢
Ð
= Ð
，
∴
∥
AD
AC
¢
，
180
A DA
CAD
¢
Ð
+ Ð
=
° ．
请你补全余下的证明过程．
【问题拓展】（3）如图⑤，在
ABC
V
和
AEF
△
中， AB
AE
=
，AC
AF
=
，
180
BAC
EAF
Ð
+ Ð
=
°，点M，
N 分别是BC 和EF 的中点．若
4
BC =
，
6
EF =
，则MN 的取值范围是 ．
2．（2024·广西·一模）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如
下尝试：如图1，在
ABC
V
中，AD 是BC 边上的中线，延长AD 到M ，使DM
AD
=
，连接BM ．
(1)【探究发现】图1 中AC 与BM 的数量关系是___________，位置关系是___________；
(2)【初步应用】如图2，在
ABC
V
中，AD 是BC 边上的中线，若
12
AB =
，
5
AC =
，
6.5
AD =
，判断
ABC
V
的形状；
(3)【探究提升】如图3，在
ABC
V
中，若
12
AB =
，
8
AC =
，D 为BC 边上的点，且
2
BD
CD
=
，求AD 的取
值范围．
3．（2025·山东济宁·一模）（1）如图①，在
ABC
V
中，若
10
AB =
，
6
AC =
，则BC 边上的中线AD 的取
值范围是_____；
（2）如图②，在
ABC
V
中，D 是BC 边上的中点，DE
DF
^
于点D
DE
，
交AB 于点E
DF
，
交AC 于点F，
连接EF ，求证：BE
CF
EF
+
>
；
（3）如图③，在四边形ABCD 中，
180
B
D
Ð + Ð
=
°，CB
CD
=
，
140
BCD
Ð
=
°，以C 为顶点作一个70°角，
角的两边分别交AB ，AD 于E，F 两点，连接EF ，探索线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并加以证明．
4．（2025·吉林松原·三模）（1）【问题探究】如图1，已知AD 是
ABC
V
的中线，延长AD 至点E ，使得
DE
AD
=
．连结
,
BE CE ，求证：四边形ABEC 是平行四边形．
（2）【拓展提升】如图2，在
ABC
V
的中线AD 上任取一点M （不与点A 、点D 重合），过点M 、点C 分
别作ME
AB
∥
， CE
AD
∥
，连结AE ，BM ，求证：四边形ABME 是平行四边形．
（3）【灵活应用】如图3，在
ABC
V
中，
90
B
Ð
=
°，
8
AB =
，
12
BC =
，点D 是BC 的中点，点M 是直线AD
上的动点，且ME
AB
∥
，CE
AD
∥
，当ME
MC
+
取得最小值时，求线段CE 的长度．
5．（2026·甘肃庆阳·一模）如图1，在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E，作EF
AB
^
交BD 于点F，取FD
的中点G，连接EG ，CG ，
(1)写出线段EG 和CG 的数量关系和位置关系，并说明理由．
(2)如图2，将
BEF
△
绕点B 逆时针旋转90°，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出
你的猜想．
(3)如图3，将
BEF
△
绕点B 逆时针旋转180°，则线段EG 和CG 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你
的猜想，并说明理由．
技巧06 遇到角平分线构造等腰三角形
1.条件:如图1,点 P 是∠AOB 平分线 OC 上一点.
辅助线作法:过点 P 作PQ∥OB,交OA 于点Q.结论：△POQ 是等腰三角形.
2.条件:如图2,OC 是∠AOB 的平分线,点 D 是OA 上一点.
辅助线作法：过点 D 作DE∥OC，交BO 的延长线于点 E.
结论：△DOE 是等腰三角形.
3.条件：如图3，P 是∠MON 平分线上一点，已知AP⊥OP.
辅助线作法：延长AP，交ON 于点 B.
结论:△AOB 是等腰三角形,OP 垂直平分AB
1．（25-26 八年级上·广东广州·期中）如图，AD 为
ABC
V
的角平分线，E 为BC 的中点，EF
AD
∥
交BA
的延长线于点F，交AC 于点G．
(1)求证：AFG
V
为等腰三角形．
(2)求证：BF
CG
=
．
(3)求AB
AC
CG
+
的值．
2．（2025·江西景德镇·一模）追本溯源
题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，并利用（1）中得到的结论解答题（2）．
（1）如图1，在
ABC
V
中，AD 是
ABC
V
的角平分线．求证：
:
:
ABD
ACD
S
S
AB AC
=
V
V
．
结论应用
（2）如图2，在
ABC
V
中，AD 是
ABC
V
的角平分线，过点D 作
∥
DE
AC且交AB 于点E ．若
:
3: 2
ABD
ACD
S
S
=
V
V
，求DE
AC 的值．
3．（2026·山东威海·模拟预测）课本再现
（1）如图1，
CAE
Ð
是
ABC
V
的外角，AD 平分
CAE
Ð
，AD
BC
∥
，则AB AC ．（填“ >”“ = ”或
“<”）
类比迁移
（2）如图2，在
ABC
V
中，AD 是
ABC
V
的一条角平分线，过点D 作DE
AB
∥
交AC 于点E，求证：AE
DE
=
．
拓展运用
（3）如图3，在
ABC
V
中，AB
AC
=
，O 是
ABC
V
角平分线AD 上一点，延长BO 至点M，使BO
OM
=
，
过点M 作MN
AB
∥
交AC 于点N，猜想MN 与NC 的数量关系，并进行证明．
4．（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP 平分
MON
Ð
．点A 为OM
上一点，过点A 作AC
OP
^
，垂足为C ，延长AC 交ON 于点B ，求证：
AOC
BOC
≌
△
△
．
（2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点A 作AD
ON
^
，垂足为
,
D AD 交OP 于点E ．若
AD
OD
=
，试探究AC 和OE 的数量关系，并证明你的结论．
（3）【拓展延伸】如图3，ABC
V
中，
,
90
AB
AC
BAC
=
Ð
=
° ，点D 在线段BC 上，且
1
,
2
BDE
ACB BE
DE
Ð
=
Ð
^
于
,
E DE 交AB 于F ，试探究BE 和DF 之间的数量关系，并证明你的结论．
5．利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①，OP 平分
MON
Ð
．点A 为OM 上一点，过点A 作
AC
OP
^
，垂足为C ，延长AC 交ON 于点B ，可证得
AOC
BOC
≌
△
△
，则AO
BO
=
，AC
BC
=
．
【问题提出】
（1）如图②，在
ABC
V
中，CD 平分
ACB
Ð
，AE
CD
^
于点E ，若
63
EAC
Ð
=
° ，
37
B
Ð
=
° ，通过上述构
造全等的办法，求
DAE
Ð
的度数；
【问题探究】
（2）如图③，在
ABC
V
中，AB
AC
=
，
90
BAC
Ð
=
°，CD 平分
ACB
Ð
，BE
CD
^
，垂足E 在CD 的延长
线上，试探究BE 和CD 的数量关系；
【问题解决】
（3）如图④是一块肥沃的土地
ABC
V
，其中AC 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形
土地
ADC
△
进行水稻试验，他进行了如下操作：
①作
ACB
Ð
的平分线CD ；
②再过点A 作AD
CD
^
交CD 于点D
已知
13
BC =
米，
10
AC =
米，
ABC
V
面积为20 平方米，求划出的ACD
V
的面积．
技巧07 遇到角平分线构造轴对称图形
1.截长法
条件:如图1,在△ABC 中,点D 在BC 上,且AD 平分∠BAC.
辅助线作法:在AB 上截取AF=AC,连接DF.结论:△ACD≌△AFD.
2.补短法
条件:如图2,在△ABC 中,点 D 在 BC 上,∠ACB=2∠B,且AD 平分∠BAC.
辅助线作法:延长AC 至点 E,使AE=AB,连接DE.
结论:△AED≌△ABD
1．将
ABC AB
AC
>
V
沿AD 折叠，使点C 刚好落在AB 边上的点E 处．
(1)在图1 中，若
8
AB =
，
6
AC =
，
9
ACD
S
=
△
，求BE ；
(2)在图2 中，若
2
C
B
Ð
= Ð ，
①求证：BE
ED
=
．
②若AD
AC
=
，求
BAC
Ð
的度数．
2．（25-26 八年级上·江苏连云港·期中）综合与实践
【解决问题】
(1)如图①，在
ABC
V
中，AD 平分
BAC
Ð
，交BC 于点D ，且
2
.
B
C
Ð
= Ð
求证：AB
BD
AC
+
=
．
(2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形ABCD 中，已知
60
BAD
Ð
=
° ，
110
40
D
ACD
Ð
=
°
Ð
=
°
，
，
80
ACB
Ð
=
° ，CE 是
ABC
V
的高，
8
AD =
，
2.
EB =
求AB 的长．
3．（24-25 八年级上·吉林长春·月考）问题提出：学习了等腰三角形，我们知道：等边对等角；反过来，等
角对等边．数学兴趣小组在活动时发现，在一个三角形中，如果两条边不相等，它们所对的角也不相等，
其中大边对大角．思路分析：解决不等边关系问题时，往往采用在长边上截取短边或者延长短边，构造全
等三角形解决问题，这种方法称为截长补短法．
问题具化：如图1，在
ABC
V
中，AB
AC
>
，求证：
C
B
Ð
> Ð ；
问题解决：如图2，在AB 上找一点E ，使AE
AC
=
，过点A 作
BAC
Ð
的平分线，交BC 于点D ，连接
DE ．请你补全余下的证明过程；
问题拓展：
如图3，在
ABC
V
中，AD 是
BAC
Ð
的平分线，
3
5
2
26
AB
AC
BD
C
Ð
=
=
=
=
°
，
，
，
，则
ADB =
∠
___________
度．
4．（24-25 八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2 倍时，
我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形．
（1）如图①，若
2
ABC
C
Ð
= Ð
，可作
ABC
Ð
的平分线BD 交AC 于点D，则
DBC
△
是等腰三角形，请给出
证明；
（2）如图②，若
2
ABC
C
Ð
= Ð
，可延长CB 至点D，使BD
BA
=
，连接AD ，则______是等腰三角形；
（3）如图③，若
2
B
ACB
Ð
= Ð
，以C 为顶点，CA 为一边，在
ABC
V
外作
ACD
Ð
=______，交BA 的延长线
于点D，则
DBC
△
是等腰三角形；
【解决问题】
（4）如图④，在
ABC
V
中，
2
C
B
Ð
= Ð ，
2
BC
AC
=
，求证：
90
A
Ð
=
°．
5．（2024·辽宁·一模）（1）在数学教学活动分组讨论时，锦州组老师提出这样一个问题：
在几何题目中如果有
2
BAC
ABC
Ð
= Ð
的条件，同学们通常如何做辅助线呢？根据日常的学习交流和老师的
点拨，同学们会发现了这样几种方法：
①如图a，作
BAC
Ð
的角平分线，构造等腰三角形．②如图b，作AC
AD
=
，构造等腰三角形．
③如图c，作
BCD
B
Ð
= Ð
，构造等腰三角形．④如图d，作
ABD
ABC
Ð
= Ð
，构造等腰三角形．
参考以上方法同学们就会解决下面问题：
如图1，在
ABC
V
中，
2
C
A
Ð
= Ð ，
2
AC
BC
=
，求证
90
B
Ð
=
°．
【类比分析】
（2）如图2，在
ABC
V
中，点D、E 两点分别在线段AB、BC 上，
2
AGC
B
Ð
= Ð ，AE
CD
=
，过点E 作
EF
AB
^
．如图2，求证
2
AD
BF
=
．
【学以致用】
（3）如图3，
ABC
V
为等边三角形，
2
AFB
ADB
Ð
= Ð
，若
10
AF =
，
8
CD =
，求BF 的长．
技巧08 定弦定角构造辅助圆
定弦定角构造辅助圆的几种常见类型
类型
定角为直角
定角为锐角
定角为钝角
图示
特点
在△ABC 中,已知AB 的长,
点C 为动点,且保持∠
ACB=90°
在△ABC 中,已知AB 的长,点C
为动点,且保持∠ACB=a(a 为锐
角)
在△ABC 中,已知AB 的长,点C
为动点,且保持∠ACB=a(a 为钝
角)
动点
运动
轨迹
结论
点C 在以点0 为圆心，AB
长为直径的圆上运动
点C 在以点0 为圆心,圆心角为
2a 的优弧 AB 上运 动(点0,C
在AB 同侧)
点C 在以点0 为圆心,圆心角为
(360°-2a)的劣弧 AB 上运动(点
0,C 在 AB 异侧)
1．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，在等腰直角三角形ABC 中，
2
AC
BC
=
=
，E 为BC 的中点，AB 上
有一点F，若
CFE
CAE
Ð
= Ð
，则
CFE
△
的面积等于______．
2．（2025·陕西渭南·三模）如图，在矩形ABCD 中，
4
AB =
，
10
BC =
，P 是线段BC 上一动点，M 是线段
AP 上一点，且
ADM
BAP
Ð
= Ð
，连接BM ，则线段BM 长的最小值为__________．
3．（2025·江苏徐州·一模）如图，在Rt
ABC
V
中，
90
ACB
Ð
=
°，
3
BC = ，
5
AB =
，E 是边BC 上的一动点，
连接AE ，作CD
AE
^
于点D ，连接BD ，则BD 的最小值为_______________．
4．（2026·江苏宿迁·二模）如图，抛物线
2
3
y
mx
nx
=
+
- 与x 轴交于
4,0
A -
，
2,0
B
两点，与y 轴交于C
点．
(1)填空：m = __________，n = __________；
(2)设D 为此抛物线的对称轴上一点，当ACD
V
的面积等于
ABC
V
的面积时，求D 点坐标；
(3)直线y
kx
b
=
+
．经过点
4,0
E
，点P 为该直线上一动点，当有且只有一点P 满足
90
APB
Ð
=
°时，求直线
y
kx
b
=
+
的函数表达式．
5．（2025·广东广州·二模）如图1，已知四边形ABCD 中，
4
60
90
AB
BC
CD
B
BCD
a
a
=
=
=
Ð
= Ð
=
° <
£
°
，
(1)点E 、F 分别是AB 、BC 边上动点，且BE
CF
=
，连接CE 与DF ，交于点G ，求
DGE
Ð
的度数（用a
表示）；
(2)当
90
a =
°时，
①点F 是BC 边上动点，将CDF
V
沿着DF 翻折，若点C 的对应点刚好落在对角线BD 上，求此时CF 的长
度；
②如图2，N 在CD 上运动，F 在射线BC 上运动，BN 与AF 交于点M ，且满足
1
2
NBC
BAF
Ð
Ð
=
，P 是BM
中点，求
5
5 DP
CP
+
的最小值．
技巧09 对角互补造辅助圆（四点共圆 ）
模型
描述
如图①和②，Rt△ABC 和Rt△ABD 共斜边，取AB 的中点O，连接OC，OD，根据直角三角形斜
边上的中线等于斜边的一半，可得OC＝OD＝OA＝OB；
如图③，在四边形ABCD 中，∠A＋∠C＝180°(或∠B ＋∠D＝180°)
模型
呈现
模型
结论
(1)A，B，C，D 四点共圆；
(2)在判断四点共圆后，可以根据圆周角定理等得到角度相等，完成角度之间等量关系的转换，此
模型是证明角相等的重要途径之一
1．（2024·湖南·模拟预测）综合与实践
“乐思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用
上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC 同侧有两点B，D，连接AD AB BC CD
,
,
,
, 如果
B
D
Ð
= Ð
，那么A，B，C，D 四点在同一
个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点A，C，D 的
O
☉
，在劣弧AC 上取一点E（不与A，C 重合），连接
,
AE CE ，则
180
AEC
D
Ð
+ Ð
=
°
（依据1）
∵
B
D
Ð
= Ð
，
∴
180
AEC
B
Ð
+ Ð
=
° ．
∴点A，B，C，E 四点在同一个圆上．（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D 在点A，C，E 所确定的
O
☉
上．（依据2）
∴点A，B，C，D 四点在同一个圆上．
反思归纳：
(1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
依据1：________________．
依据2：________________．
如图3，在四边形ABCD 中，
1
2,
3
45
Ð = Ð
Ð =
° ，则
4
Ð 的度数为________．
(2)拓展探究：
(3)如图4，已知
ABC
V
是等腰三角形，AB
AC
=
，点D 在BC 上（不与BC 的中点重合），连接AD ．作点C
关于AD 的对称点E，连接EB 并延长交AD 的延长线于点F，连接
,
AE DE ．求证：A，D，B，E 四点共圆．
2．（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考
阅读下面的材料，并完成相应的任务．
探究四点共圆的条件我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．过任意一个四
边形的四个顶点能作一个圆吗？
下面给出了一些圆内接四边形．
分别用量角器测量上面
各四边形的内角，得出结论：
A
C
Ð + Ð
① 180°．（填“＞”“＜”或“＝”）
∵四边形内角和为360°，
∴
B
D
Ð + Ð
② 180°．（填“＞”“＜”或“＝”）
如果四边形ABCD 的四个顶点不在同一个圆上，那么
B
D
Ð + Ð
与180°之间还有上面的关
系吗？试结合下图中的两种情况进行证明．
……
任务：
(1)填空：①________，②________．（填“＞”“＜”或“＝”）
(2)请你在图4 与图5 中选择其中一个图，探究
B
D
Ð + Ð
与180°之间的关系．
(3)如图6，点E 在四边形ABCD 的边AB 的延长线上，
CBE
D
Ð
= Ð
，BC
CD
=
，
130
BCD
Ð
=
° ，请在图6
中作一个过A，B，D 三点的
O
e
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出
CAB
Ð
的度
数．
3．（2026·广东广州·一模）如图，在菱形ABCD 中，
60
DAB
Ð
=
°，
4
AB =
，点E 为边BC 上一个动点（不
与点B 、C 重合），边AB 关于AE 对称的线段为AF ，连接DF ．
(1)当AF 平分
DAE
Ð
时，求
BAE
Ð
的度数为______；
(2)延长DF ，交射线AE 于点G ，当
2
BE =
时，求AG 的长；
(3)在（1）的条件下，连接BF 交AE 于点M ，作EN
AB
^
交AB 的延长线于点N ，连接MN ．试探究AB
MN
是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
4．（2024·广西柳州·二模）小东在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补
的四边形四个顶点共圆．小东继续利用上述结论进行探究．
【提出问题】
如图1，在线段AC 同侧有两点B，D，连接AD
AB
BC
CD
，
，
，
，如果
B
D
Ð
= Ð
，那么A，B，C，D 四点在
同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点A，C，D 的
O
e
，在劣弧AC 上取一点E（不与A，C 重合），
连接AE
CE
，
，则
180
AEC
D
Ð
+ Ð
=
°，
又∵
B
D
Ð
= Ð
，
∴___________，
∴点A，B，C，E 四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），
∵点B，D 在点A，C，E 所确定的
O
e
上，
∴点A，B，C，D 四点在同一个圆上．
【反思归纳】
（1）上述探究过程中的横线上填的内容是________；
【拓展延伸】
（2）如图3，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
AC
BC
Ð
=
°
=
，
，将
ABC
V
绕点A 逆时针旋转得ANM
V
，连接CM 交
BN 于点D，连接BM AD
，
．小东发现，在旋转过程中，
CDB
Ð
永远等于45°，不会发生改变．
①根据
45
CDB
Ð
=
° ，利用四点共圆的思想，试证明ND
DB
=
；
②当BDM
V
为直角三角形，且
4
BN =
时，直接写出BC 的长．
5．（2026·陕西咸阳·二模）探究圆内接四边形的性质与圆相关动态几何问题的关系，并完成以下问题
(1)【问题提出】
如图1，四边形ABCD 内接于
O
e
，
70
B
Ð
=
°，则
D
Ð
的度数为_____°；
(2)【问题探究】
如图2，在四边形ABCD 中，
90
BAD
Ð
=
° ，连接AC ，AC
BC
^
，过点C 作CE
CD
^
交AB 于点E ，
9
BC =
，
12
AC
AE
=
=
，求AD 的长；
(3)【问题解决】
如图3，
ABC
V
是某公园的一个三角形水池，现要对该水池进行重新规划与扩建，在AC 边上修一个入水口
M ，再修一个经过点B 、C 、M 的圆形水池
O
e
，MN 为
O
e
的直径，沿BM 、BN 和MN 架设木桥，在BMN
V
区域内种植荷花，已知
90
ABC
Ð
=
°，
20m
AB =
，
60m
BC =
，设AM 的长为
m
x
，BMN
V
区域的面积为
2
m
S
．（木桥的宽度及入水口的大小均忽略不计）
①求S 与x 之间的函数关系式；
②由于预算有限，要求BMN
V
区域的面积尽可能的小，求种植荷花面积的最小值（即BMN
V
面积S 的最小
值）．
技巧10 最值模型之将军饮马
条件：A，B 为定点，m 为定直线，P 为直线m 上的一个动点，求AP+BP 的最小值。
模型（1）点A、B 在直线m 两侧：
模型（2）点A、B 在直线同侧：
模型（1）点A、B 在直线m 两侧：
模型（2）点A、B 在直线同侧：
m
A
B
m
A
B
图（1）
图（2）
模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP 的最小值即为：线段AB 的长度。
模型（2）：如图（2），作点A 关于定直线m 的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP 的最
小值即为：线段A’B 的长度。
1.如图所示，在等边
ABC
V
中，E 是AC 边的中点，AD
BC
^
于点D，P 是AD 上的动点，若
3
AD =
，则EP
CP
+
的最小值为 ．
2.如图，点
3,0
A
在x 轴上，直线
6
y
x
= - +
与两坐标轴分别交于B，C 两点，D，P 分别是线段OC ，BC
上的动点，则PD
DA
+
的最小值为
．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标是
1,0
-
，点B 的坐标是
2 0
，，长为2 的线段CD 在y 轴上移动，
则AC
BD
+
的最小值是______．
P
m
A
B
P
m
A
B
A'
4．如图，在边长为2 的正方形ABCD 中，点M、N 分别是边BC 、DC 上的动点，且BM
CN
=
，连接BN ，
DM ，则BN
DM
+
的最小值为
．
5.几何模型：
条件：如图1，A、B 是直线l 同侧的两个定点．
问题：在直线l 上确定一点P，使PA
PB
+
的值最小，
方法：作点B 关于直线l 的对称点B¢，连接AB¢交l 于点P，则PA
PB
AB¢
+
=
的值最小．
直接应用：
（1）如图2，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且
2
DM =
，N 是AC 上一动点，则DN
MN
+
的最小
值为 ．
变式练习：
（2）如图3，点A 是半圆上（半径为1）的三等分点，B 是弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，求PA
PB
+
的最小值．
深化拓展：
（3）如图4，在锐角△ABC 中，
4 2
AB =
，
45
BAC
Ð
=
° ，
BAC
Ð
的平分线交BC 于点D，M、N 分别是
AD 和AB 上的动点，求BM
MN
+
的最小值．
技巧11 最值模型之将军遛马模型
将军遛马模型：已知A、B 是两个定点，P、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧，且PQ 间长度恒定，
在直线m 上要求P、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
点A、B 在直线m 异侧（图1-1）；点A、B 在直线m 同侧 （图1-2）；
图1-1
图1-2
将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A 点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m 于Q，Q 向左平移
PQ 长，即为P 点，此时P、Q 即为所求的点。
∵PQ 为定值，∴求PA+PQ+QB 的最小值，即求PA+QB 的最小值+PQ。
∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC 为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB，
再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB 的最小值为CB，故PA+PQ+QB 的最小值=PQ+CB.
图1-1
图1-2
将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A 点作AE∥m,且AE=PQ，作B 关于m 的对称点B’，连接B’E，交
直线m 于Q，Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P、Q 即为所求的点。
∵PQ 为定值，∴求PA+PQ+QB 的最小值，即求PA+QB 的最小值+PQ。
∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE 为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB，
根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’，
再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB 的最小值=PQ+EB’。
1.（2025·陕西榆林·一模）如图，在菱形ABCD 中，
5
AB =
，
8
BD =
，点E ，F 在BD 上，连接AE ，
CF ．若
2
EF =
，则AE
CF
+
的最小值为
．
2.如图，抛物线
2
2
3
y
x
x
= -
+
+ 与x 轴分别交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，PQ为抛物线对称轴上的线段，
m
A
B
Q
P
m
A
B
Q
P
m
A
B
C
Q
P
m
A
B
B'
E
Q
P
且
2
PQ =
，连接AC 、CP 、AQ ，则四边形ACPQ 周长的最小值为
．
3.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
4
1
3
3
y
x
x
=
-
-
与x 轴交于点M ，N （点M 在点N 的左侧），与y
轴交于点C ．点A ，B 是抛物线对称轴上两点（点A 在点B 的上方）且
2
AB =
，则CA
BM
+
的最小值为
．
4.数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最
终转化为“两点之间线段最短问题”去解决．
(1)如图1，已知菱形ABCD ，
60
A
Ð
=
°，
2
AB =
，点E 是BC 边中点，点F 是对角线BD 边上的动点．连接
EF ，CF ，则EF
CF
+
的最小值为________；
(2)如图2，已知矩形ABCD ，
6
AB =
，
3
BC = ．点E 是BC 上的点，且
1
CE = ，点F，G 是CD 上的动点，
且
1
FG = ，连接AG ．则EF
FG
AG
+
+
的最小值为________；
(3)如图3，已知正方形ABCD ，
2
AB =
，E 是AC 上的动点，F 是BC 上的动点，且AE
CF
=
．连接AF ，
DE ，求AF
DE
+
的最小值．
5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
2
y
ax
x
b
=
+
+
的图像与一次函数
1
y
x
= - + 的图像交于A，B 两点，
已知
6, 5
B
-
．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点C 是直线AB 上方抛物线上的一动点，连接AC ，BC ．点M，N 是y 轴上的两动点（M 在N 上方），
且满足
3
MN = ，连接CM ，BN ，当
ABC
V
的面积取得最大值时，求CM
MN
BN
+
+
的最小值；
(3)当（2）中CM
MN
BN
+
+
取得最小值时，若Q 是抛物线对称轴上位于直线MC 上方的一动点，是否存在
以C、M、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请
说明理由．
技巧12 最值模型之将军造桥（过桥）模型
将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建
造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。
图2-1
图2-2
将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B，
∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N，
∵MN 为定值，∴求AM+MN+NB 的最小值，即求AM+NB 的最小值+MN。
再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB 的最小值为A’B，故AM+MN+NB 的最小值=A’B+MN。
1.河的两岸成平行线，A，B 是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并
且使A，B 间的路程最短．确定桥的位置的方案如下：作从A 到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN 于F，
G．在AG 上取
=
AE
FG ，连接EB ，EB 交MN 于D．在D 处作到对岸的垂线DC ，那么DC 就是造桥的位
河
B 军营
A
将军
N
M
A'
河
B 军营
A
将军
N
M
置，请你对方案可行性给出证明．
2.综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的
数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点A 出发，到一条笔直的河边l 饮马后再回到点B 宿
营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】小亮：如图（2），作点B 关于直线l 的对称点B¢ ，连接AB¢与直线l 交于点C ，点C 就是饮马
的地方，此时按路线走的路程就是最短的．
小慧：你能详细解释为什么吗？
小亮：如图（3），在直线l 上另取不同于点C 的任一点C¢，连接AC¢，BC¢ ，B C
¢ ¢．
∵点B 、B¢关于直线l 对称，点C 、C¢ 在直线l 上，
∴CB =______，C B¢ = ______，
∴AC
CB
AC
CB
+
=
+
¢ ______．
∵在AC B¢ ¢
V
中，AB
AC
C B
<
¢
¢+
¢ ¢，
∴______
AC
C B
<
+
¢
¢ ¢ ，即
+
AC
CB 最小．
【解决问题】
任务一
请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上）
任务二
如图（4），将军从A 地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到B 处，请在
图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹）
任务三
如图（5），在P 、Q 两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从P 村前往Q 村，要经
过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥MN ，则这座桥MN 造在何处可使由P 村到
Q 村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置）
3.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．(1)求抛物线的解析
式及顶点M 的坐标；(2)连接AC、BC，N 为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC 时，求N 点的坐
标；(3)在（2）问的条件下，过点C 作直线l∥x 轴，动点P（m，3）在直线l 上，动点Q（m，0）在x 轴上，
连接PM、PQ、NQ，当m 为何值时，PM+PQ+QN 最小，并求出PM+PQ+QN 的最小值．
4.（1）问题提出如图①，在ABC
V
中，
6,
120
AB
AC
BAC
=
=
Ð
=
° ，点D，E 分别是
,
AB AC 的中点．若点
M，N 分别是DE 和BC 上的动点，则AM
MN
+
的最小值是______．
（2）问题探究：如图②，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，
才能使从A 到B 的路径A
M
N
B
®
®
®
最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A 作河
岸的垂线，使AA
MN
¢ =
，MN 为河宽，连接A B
¢ ，A B
¢ 与河的一岸交于点N，此时在点N 处建桥，可使从A
到B 的路径A
M
N
B
®
®
®
最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．（3）问题解决：如图③，在
矩形ABCD 中，
60,
80
AB
BC
=
=
．E、F 分别在
,
AB CD 上，且满足EF
BC
∥
，
20
BE =
．若边长为10 的正
方形MNPQ 在线段EF 上运动，连接BM
DP
、
，当BM
DP
+
取值最小时，求EN 的长．
5.如图，在平面直角坐标系中，拋物线
2
4
0
y
ax
bx
a
=
+
+
¹
经过点
1,6
-
，与y 轴交于点C，与x 轴交于
A，B 两点（A 在B 的左侧），连接AC ，BC ，tan
4
Ð
=
CBA
．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P 是射线CA 上方抛物线．上的一动点，过点P 作PE
x
^
轴，垂足为E，交AC 于点D．点M 是线段
DE ．上一动点，MN
y
^
轴，垂足为N，点F 为线段BC 的中点，连接AM ，NF ．
①求线段PD 长度的最大值
②当线段PD 长度取最大值时，求AM
MN
NF
+
+
的最小值；
③将该抛物线沿射线CA 方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PD 长度取得最大值时的点D，且与直
线AC 相交于另一点K．点Q 为新抛物线上的一个动点，当
QDK
ACB
Ð
Ð
=
时，直接写出所有符合条件的
点Q 的坐标．
技巧13 最值模型之胡不归模型
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，
虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小
伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的
一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
1.（2025·安徽黄山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
2
3
3
3
2
2
y
x
x
=
-
-
的图象与x 轴交
于点A，C 两点，与y 轴交于点B，对称轴与x 轴交于点D，若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则1
2 PB
PD
+
的最小值为（ ）
V1
V2
V1
驿道
砂石地
A
B
C
A．3 3
4
B．
3
2
C．
3
D．5
3
4
2.（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，平行四边形ABCD 中，
60
DAB
Ð
=
°，
8
AB =
，
2
BC =
，P 为边CD
上的一动点，则
3
2
PB
PD
+
最小值等于
.
3.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，
6
AB
AC
=
=
，点M 在线段AC 上，且
2
AM =
，点
P 为线段BD 上的一个动点．
（1）
OBC
Ð
=
° ；
（2）
1
2
MP
PB
+
的最小值为
．
4.已知抛物线
2
3
0
y
ax
bx
a
=
+
-
¹
经过点
3,0 ,
1,0
A
B
-
两点，与y 轴交于点C ，顶点为D ．
(1)求a
b
，的值及顶点D 的坐标；
(2)点E 为直线AC 下方抛物线上的一点，当
ECA
DAC
Ð
= Ð
时，求点E 的坐标；
(3)点M 为y 轴上的一动点，连接BM ，当
2
2
BM
CM
+
取得最小值时，求点M 的坐标，并求出这个最小值．
5.（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+
关于直线
3
x = - 对称，与
x 轴交于
1,0
A -
、B 两点，与y 轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P 为抛物线对称轴上一点，连接BP ，将线段BP 绕点P 逆时针旋转90°，使点B 的对应点D 恰好落在
抛物线上，求此时点P 的坐标；
(3)在线段OC 上是否存在点Q，使2
2
AQ
CQ
+
存在最小值？若存在，请直接写出点Q 的坐标及最小值；
若不存在，请说明理由．
技巧14 最值模型之阿氏圆模型
动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P 满足 PA/PB=k（k 为常数，且k≠1）），
那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯
圆，简称为阿氏圆。
如图 1 所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知r=k·OB（即OP
k
OB =
），
连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？最小值是多少呢？
A
B
P
O
如图2，在线段OB 上截取OC 使OC=k·r（即OC
k
OP =
），∵OP
k
OB =
，∴OP
OC
OB
OP
=
，
∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴PC
k
PB =
，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。
其中与A 与C 为定点，P 为动点，故当A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3 所示。
阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在
于如何构造母子相似。
阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一
内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P 点
轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
1.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C 为圆心、3 为半径作⊙C，P 为⊙C 上一动点，
连接AP、BP，则1
3 AP＋BP 的最小值为（ ）
A．7
B．5 2
C．4
10
+
D．2 13
2.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点O 是BC 边的中点，G 为正方形内一动点，且
1
GO = ．点P 是CD
边上另一动点，连接PG 、PA ，则PA
PG
+
的最小值为
．
3.（2025·广东清远·模拟预测）如图，抛物线
2
5
y
ax
bx
=
+
+
与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，
4
AB =
．抛物线的对称轴直线
3
x =
与经过点A 的直线
1
y
kx
=
- 交于点D，与x 轴交于点E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若在抛物线上存在点M，使得
ADM
△
是以AD 为直角边的直角三角形，求出所有点M 的坐标；
(3)以点B 为圆心，画半径为2 的圆，P 为
B
☉
上一个动点，请求出
1
2
+
PC
PA的最小值．
4.（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数
2
y
x
bx
c
=
+
+
的图象交x 轴于
1 0
A
B
- ，，
两点，
4
AB
C
= ，
为抛物线顶点．
(1)求b
c
，的值；
(2)点P 为直线AC 下方抛物线上一点，过点P 作PQ
x
^
轴，垂足为点Q ，交AC 于点M ，是否存在
3
QM
PM
=
？若存在，求出此时P 点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，以B 为圆心，2 为半径作圆，N 为圆B 上任一点，求
1
2
CN
AN
+
的最小值．
5.问题提出：如图1，在Rt
ABC
△
中，
90
C
Ð
=
° ，
4
CB =
，
6
CA =
，
C
e
的半径为2，P 为圆上一动点，连
接AP ，BP ，求
1
2
AP
BP
+
的最小值．
(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接CP ，在CB 上取一点D，使
1
CD = ，连接PD ，则
1
2
CD
CP
CP
CB
=
=
．又因为
PCD
BCP
Ð
= Ð
，所以
PCD
BCP
△
∽△
，所以
1
2
PD
CD
BP
CP
=
=
．所以
1
2
PD
PB
=
．所以
1
2
AP
BP
AP
PD
+
=
+
．请你完成余下的思考，并求出
1
2
AP
BP
+
的最
小值；
(2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求1
3 AP
BP
+
的最小值；
(3)拓展延伸：如图2，已知在扇形COD 中，
90
COD
Ð
=
° ，
6
OC =
，
3
OA =
，
5
OB =
，P 是
CD 上一点，求
2PA
PB
+
的最小值．
技巧15 最值模型之瓜豆直线轨迹原理模型
瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的
轨迹相同。
只要满足：
动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在
直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
模型1）如图，P 是直线BC 上一动点，A 是直线BC 外一定点，连接AP，取AP 中点Q，当点P 在直线上
运动时，则Q 点轨迹也是一条直线。
则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹
长度的比和它们到定点的距离比相同。
1、两“动”，一“定”
2、两动点与定点的连线夹角是定角
3、两动点到定点的距离比值是定值
证明：分别过A、Q 向BC 作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，
因为AP=2AQ，所以QN 始终为AM 的一半，即Q 点到BC 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线．
模型2）如图，在△APQ 中AP=AQ，∠PAQ=a 为定值，当点P 在直线BC 上运动时，则Q 点轨迹也是一
条直线。
证明：在BC 上任取一点P1，作三角形△AP1Q1，且满足∠P1AQ1=a ，AQ1=AP1，连结Q1Q 交BC 于点N，
∵AP=AQ，AQ1=AP1，∠P1AQ1=∠PAQ=a ，
1
1
APP
AQQ
，∴∠APP1=∠AQQ1，
∵∠AMP=∠NMQ，∴∠MNQ=∠PAQ=a ，即Q 点所在直线与BC 的夹角为定值，故Q 点轨迹是一条直线．
例1．（2025·江苏宿迁·三模）如图，在矩形ABCD 中，
4
AB =
，
2
BC =
，E 是对角线AC 上的一动点，连
接BE ，若以BE 为边向右上侧作等边BEG
V
；点E 从点A 运动到点C 的过程中，连接CG ，则线段CG 的最
小值是
．
例2．（24-25 八年级上·山东济宁·期末）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标是(0,8) ，点B 是x 轴上的一
个动点．以AB 为边向右侧作等边三角形ABC ，连接OC ，在运动过程中，OC 的最小值为
．
P
Q
A
B
C
N
C
B
A
Q
P
M
例3．（2024·山东泰安·校考一模）如图，矩形ABCD 的边
11,
3
2
AB
BC
=
=
，E 为AB 上一点，且
1
AE = ，F
为AD 边上的一个动点，连接EF ，若以EF 为边向右侧作等腰直角三角形
,
EFG EF
EG
=
，连接CG ，则CG
的最小值为（ ）
A．5
B．5
2
C．3
D．2 2
例4．（2024·四川达州·一模）如图，在矩形ABCD 中，
4
AB =
，
5 3
BC =
，点P 在线段BC 上运动（含B，
C 两点），连接AP ，以点A 为中心，将线段AP 逆时针旋转60°到AQ ，连接DQ ，则线段DQ 的最小值为
.
例5．（24-25 九年级下·陕西西安·期中）【问题探究】
（1）如图 1，在
ABC
V
中， AB
AC
D
=
，
为 BC 的中点，连接 AD ，则 AD 与 BC 的位置关系
是_____．
（2）如图2，在
ABC
V
中，AB
AC
=
，
120
BAC
Ð
=
° ，E 是线段BC 上一动点(不与B 、C 重合)，连接
AE ，将线段AE 绕点A 逆时针旋转 120o 得到线段AF ，连接EF ，点M 和点N 分别是边 BC
EF
、
的中
点．试探究BE 和MN 的数量关系，并说明理由．
【问题解决】
（3）如图 3，正方形 ABCD 是一块蔬菜种植基地，边长为 3 千米，对角线 BD 为该基地内的一条小路，
管理人员计划在小路 BD 上确定一点 E (不与点 B D
、 重合)，连接 AE ，以线段 AE 为斜边，在 AE
右侧建等腰直角
AEF
△
区域(
90
EFA
Ð
=
° )，用来种植新品有机蔬菜，并在 F 处设立蔬菜仓库． G
点和 D 点为基地的两个蔬菜打包装运点， G 在 BD 上且
2
BG
DG
=
． 现要沿 GF
DF
、
修建蔬菜运
输轨道，请确定运输轨道 GF
DF
+
的最小值． 并求出当 GF
DF
+
最小时，有机蔬菜种植区域的面积 (即
AEF
△
的面积)．
技巧16 最值模型之瓜豆圆弧轨迹原理模型
“主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一
个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”
线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到
旋转、全等和相似。
模型（1）、运动轨迹为圆弧
模型（1-1）. 如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP，Q 为AP 中点．Q 点轨迹是？
分析：如图，连接AO，取AO 中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。
则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。
模型（1-2）. 如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP，作AQ⊥AP 且AQ=AP，当点P 在圆O 上
运动时，Q 点轨迹是？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。
则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。
模型（1-3）. 如图，△APQ 是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P 在圆O 运动时，Q 点轨迹是？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。
模型（1-4）.为了便于区分动点P、Q，可称P 为“主动点”，Q 为“从动点”。
此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值）；②主动点、从
动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ 是定值）。
A
O
P
Q
Q
P
O
A
M
O
P
Q
A
M
A
Q
P
O
O
P
Q
A
O
P
Q
M
A
例1．（24-25 九年级上·湖北荆州·期中）在矩形ABCD 中，
6
AB =
，点E 在BC 上，点F 在平面内，
2
BE =
，
3
EF = ，连按AF ，将线段AF 绕着点A 顺时针旋转90°得到AP ，则线段PE 的最大值为
．
例2．（2024 春·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD 为正方形，P 是以边AD 为直径的
O
e
上一动点，连接BP ，以BP 为边作等边三角形BPQ ，连接OQ ，若
2
AB =
，则线段OQ 的最大值为
．
例3．（2024·江苏南通·校考模拟预测）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，以点A 为圆心，1 为半径作
圆，E 是⊙A 上的任意一点，将线段DE 绕点D 顺时针方向旋转90°并缩短到原来的一半，得到线段DF，
连结AF，则AF 的最小值是
．
例4．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy 中，对于图形M 与图形N 给出如下定义：P 为图形N
上任意一点，将图形M 绕点P 顺时针旋转90°得到M ¢ ，将所有M ¢ 组成的图形记作M ¢ ，称M ¢ 是图形M 关
于图形N 的“关联图形”．(1)已知
( 2,0)
A -
，
(2,0)
B
，
(2, )
C
t ，其中
0
t ¹
．①若
1
t = ，请在图中画出点A 关
α
A
Q
P
O
α
α
O
P
Q
M
A
于线段BC 的“关联图形”；②若点A 关于线段BC 的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出t 的取值范围；
(2)对于平面上一条长度为a 的线段和一个半径为r 的圆，点S 在线段关于圆的“关联图形”上，记点S 的纵坐
标的最大值和最小值的差为d ，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出d 的取值范围（用含a 和r 的式子
表示）．
例5．（2025·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 、Q 和图形M ，将图形M 沿射线OQ 方
向平移，平移距离为线段OQ 的长，得到图形M ¢ ．若点P 在图形M ¢ 上，则称点P 为图形M 关于点Q 的“位
移点”．
如图，点
2,0
A
、
0,2
B
．
(1)若
O
e
半径为1，
①在
1(1,0)
P
、
2
5 ,0
2
P æ
ö
ç
÷
è
ø 、
3
3
3
,
2
2
P æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
中，
O
e
关于点A 的“位移点”是______；
②若在线段AB 上存在一点C ，使得点P 为
O
e
关于点C 的“位移点”，直接写出OP 的长的取值范围；
(2)已知点( ,0)
T t
，
T
e 半径为1，点E 在
T
e 上，点P 为线段AB 关于点E 的“位移点”．点
2,6
S
，
S
e 半径
为2 ，点D 在
S
e 上．若存在点D，P，使ODP
V
为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出t 的取
值范围．
