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1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题12 圆的相关概念与确定圆的条件 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆的有关概念 题型二、点与圆的位置关系及求参 题型三、弦的个数 题型四、根据圆的性质求角度 题型五、根据圆的性质求长度 题型六、求外心的坐标 题型七、求三角形外接圆的半径 题型八、外心的性质求解 题型九、尺规作图—三角形的外接圆 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 知识点 易错点 圆的相关概念 1. 圆：平面内到定点（圆心）的 距离等于定长（半径）的所有点 组成的图形 2. 弦与直径：连接圆上任意两点 的线段叫做弦，经过圆心的弦是 直径，直径是圆中最长的弦 3. 弧：圆上任意两点间的部分叫 做圆弧，分为优弧（大于半圆）、 劣弧（小于半圆）和半圆 4. 等圆/同圆：能够重合的两个圆 叫做等圆，圆心相同的圆叫做同 心圆，同圆或等圆的半径相等 5. 等弧：在同圆或等圆中，能够 互相重合的弧叫做等弧 1. 误认为“直径是弦，弦就是直 径”，实际上弦不一定经过圆心， 只有过圆心的弦才是直径 2. 忽略等弧的前提条件“同圆或 等圆中”，误认为长度相等的弧就 是等弧 3. 误将半圆当成“周长”，混淆半 圆既是弧也是特殊圆弧，不是封 闭图形 确定圆的条件 1. 过一点：无数个圆，圆心为该 点外任意一点，半径为该点与圆 心的距离 2. 过两点：无数个圆，圆心都在 1. 直接说“三点确定一个圆”，漏 掉“不在同一直线上”的前提条件 2. 混淆外心位置：误认为外心一 定在三角形内部，实际锐角三角 目 录 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 两点连线的垂直平分线上 3. 过不在同一直线上的三点：有 且只有一个圆，圆心是这三点构 成三角形三边垂直平分线的交点 （外心），这个圆叫做三角形的外 接圆，这个三角形叫做圆的内接 三角形 形外心在内部，直角三角形外心 在斜边中点，钝角三角形外心在 三角形外部 3. 过两点确定圆时，误认为圆心 唯一，实际上圆心在垂直平分线 上，有无数种可能 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆的有关概念 典例1 下列说法中，不正确的是（ ） A．圆是中心对称图形 B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合 C．圆的对称中心只有一个 D．圆的对称中心有无数个 变式1-1 下列说法正确的个数是（ ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 变式1-2 平面上到点 的距离为 的点的轨迹是______________． 变式1-3 如图，在 中，弦有________，直径有________，劣弧有________，优弧有________． 3 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 类型二、点与圆的位置关系及求参 典例2 已知 的半径为 ，点P 到圆心O 的距离为 ，则点P 与 的位置关系是（ ） A．点P 在圆上 B．点P 在圆内 C．点P 在圆外 D．无法确定 变式2-1 点 是 外一点， 的半径是 ，则 的长可能是（ ） A． B． C． D． 变式2-2 若点 到 上的点的最小距离是4，最大距离是6，则 的半径为________ ． 变式2-3 如图，在 中， ， ， ， ，且 ，当以点C 为圆心、 长为半径的圆C 与以点E 为圆心的圆相交且点A 在圆E 外，则圆E 的半径的取值范围是 _______________． 题型三、弦的个数 典例3 如图， 四点在 上，点 ，点 分别共线，则图中弦的 条数为（ ） 4 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．2 B．3 C．4 D．5 变式3-1 如图，在 中，弦的条数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 变式3-2 如图，在 中，点A、O、D 和点B、O、C 分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分 别是_____________． 变式3-3 如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有______条． 5 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型四、根据圆的性质求角度 典例4 如图， 为 的弦， ，则 所对的圆心角等于（ ）． A． B． C． D． 变式4-1 如图，扇形 ，点C 在 上．若 ，则 的度数是（ ） A． B． C． D． 变式4-2 如图，直角 中， ， ，将点 放至量角器左侧 刻度位置．斜边 经 过量角器的中心 点，边 与量角器的交点为 ，连接 ，则 _________度． 6 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式4-3 如图， 是 的直径，E 是 上一点，A 为 延长线上一点，连接 与 交于点B，且 ，若 ，则 的度数是________． 题型五、根据圆的性质求长度 典例5 如图，在半径为4 的 中，圆心角 ，则弦 的长为（ ） A． B． C．4 D．8 变式5-1 如图，在 中， ，以点 为圆心， 长为半径画弧交 于点 ．以点 为圆心， 长为半径画弧，以点 为圆心， 长为半径画弧，两弧在直线 下方交于点 ，连接 交 于点 ．若 ， ， ，则 长为（ ） A． B． C． D． 变式5-2 如图，A 为 上一点，按以下步骤作图：①连接 ，②以点A 为圆心， 长为半径作弧，交 于点B；③在射线 上截取 ；④连接 ．若 ，则 的长为______． 7 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式5-3 如图， 是 的弦， ，若 ，则 的长为__________． 题型六、求外心的坐标 典例6 如图， 顶点都在网格格点上， 外接圆的圆心是（ ） A． B． C． D． 变式6-1 如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ， ，则 的外心坐标是（ ） A． B． C． D． 变式6-2 如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， ，写出 的外接圆的圆心 坐标为___________． 8 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式6-3 如图，在平面直角坐标系 中，点 ，点 ，点 ，则经画图操作可知， 的外心坐标应是________． 题型七、求三角形外接圆的半径 典例7 边长为 的等边三角形的外接圆的半径为（ ） A． B． C． D． 变式7-1 已知一个直角三角形两条直角边的长分别为6 和8，它的外接圆的半径是（ ） A．5 B．4 C．5 或 D．4 或5 变式7-2 如图，在 中， ， 能够将 完全覆盖的最小圆形纸片的面积是 _________． 9 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式7-3 如图，在正方形 中， ，点 为 边上的一个动点，连接 ， ，点 为 外 接圆的圆心．在点 从点 运动到点 的过程中，下列说法正确的是________．（填序号） ①在点 运动的过程中， 的面积不发生变化； ② 外接圆的最大半径为 ； ③ 外接圆的最小半径为 ； ④点 运动的路径长为． 题型八、外心的性质求解 典例8 如图， 中， ，则它的外心与顶点C 的距离为（ ） A． B． C． D． 变式8-1 如图，为 的外心， 为正三角形， 与 相交于 点，连接 ．若 ， ，则 为（ ） 10 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．110° B．90° C．85° D．80° 变式8-2 若点O 是等腰 的外心，且 ，底边 ，则 的面积为 ____________________． 变式8-3 如图，E 是 的外心，P，Q 分别是 ， 的中点，连接 ， ，交 于F，D 两点．若 ， ， ，则 的周长为______． 题型九、尺规作图—三角形的外接圆 典例9 如图，在 中， ， ． (1)作 的外接圆（只需作出图形，并保留作图痕迹）； (2)求它的外接圆半径． 变式9-1 如图，在 中，请用尺规作图法求作 ，使得圆心 在 边上，且 ， 在 上．（保留 作图痕迹，不写作法） 变式9-2 有一破损的水管，截面如图．请用直尺和圆规补全这个图（不写作法，保留作图痕迹） 11 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式9-3如图，在由边长为1 个单位长度的小正方形组成的网格中， 的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)用直尺和圆规作出 的外接圆 ，保留作图痕迹． (2)以边 的中点O 为旋转中心，将 按逆时针方向旋转 ，得到 ，请画出 ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．平面上有 及一点P，P 到 上一点的距离最长为 ，最短为 ，则 的半径为（ ） ． A．4 B．2 或4 C．3 或2 D．4 或3 2．如图，已知 是 的直径， 为 的弦， ，连接 ， ．分别以点 ， 为圆心， 以大于 的长为半径作弧，并使两弧交于一点 ．直线 交 于点 ，连接 ．若 ， 则 的度数为（ ） A． B． C． D． 3．如图，锐角三角形 中，点O 为 中点．甲、乙二人想在 上找一点P，使得 的外心为点O， 其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（ ） 12 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 甲的作法 过点B 作与 垂直的直线，交 于点P，则P 即为 所求 乙的作法 以O 为圆心， 长为半径画弧，交 于点P，则P 即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 4．如图，在 中， ， ，按下列步骤作图：①以点A 为圆心，适当的长度为半径作 弧，分别交 于点E，F，再分别以点E，F 为圆心，大于 的长为半径作弧相交于点H，作射线 ；②分别以点A，B 为圆心，大于 的长为半径作弧相交于点M、N，作直线 ，交射线 于点 O；③以点O 为圆心，线段 长为半径作圆，则 的半径为（ ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 5．如图，在矩形 中， ， ，为矩形的边 上的一动点，点P 从点B 运动到点C， 的外接圆的圆心运动的路径长为（ ） 13 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 6．如图， 是⊙ 的一条弦，A 为圆上一点， ， ，则 的度数为____________． 7．如图，把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形，如下图所示．已知平 行四边形的底是 ，那么圆形茶杯垫片的面积是_______ ．（ 取 ） 8．如图，在平面直角坐标系中，，为 轴上两个动点，且坐标原点 为线段 的中点，点 在以 为圆心，1 为半径的 上运动，且始终满足 ，连接 ，当线段 的长为整数时，线段 的 长为______． 9．如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 的坐标分别是 、 、 是 的外接圆，则 的半径为_____． 10．如图，边长为 的正方形 外有一点 ， ， 为 的中点，连接 ，则 的最大 值为________． 14 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11．如图，在菱形 中，点E，F，G，H 分别为各边的中点．求证：E，F，G，H 四点在同一个圆上． 12．如图，点 是半圆的圆心， 是半圆的直径，请用尺规作图法分别在半圆上取点 和点 （点 在点 右侧），连接 、 、 ，使得四边形 是菱形．（不写作法，保留作图痕迹） 13．如图，在 中， 为直径，点 为圆内一点，连接 ． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出 的平分线 ，交 于点 （保留作图痕迹，不写作法）． (2)若 ，连接 ， ，求证：四边形 是菱形． 14． 【问题原型】如图①，在 中， ， ， ．点 是 边上一点， ， 连结 ，试探究线段 长度的最小值． 【问题探究】 如图②，小明发现点 的轨迹是以 的中点为圆心，半径为 的圆的一部分，因为 ，所以点 的 变化会导致点 的变化，于是将问题进一步转化为探究点 的轨迹问题：小明过点 作 ，使点 和 15 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 点 在直线 同侧，且 ，连结 ，则 ，可知 恒为直角，又因为点 和点 均为定点，可确定点 的轨迹． 以下是小明证明 的部分过程： 证明：过点 作 ，使点 和点 在直线 同侧，且 ，连结 ． 证明过程缺失 … 又 ， ， ， ． (1)请你补全缺失的证明过程． 【解决问题】 (2)在图③中，点 是线段 的中点，请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题 原型】中的点 ，使线段 长度的最小，此时线段 长度的最小值是________．（保留作图痕迹） 15．19 世纪英国著名文学家和历史学家托马斯卡莱尔在平面解析几何的基础上发展了一元二次方程的几何 解法．如图，关于一元二次方程 的解法是使用一个特殊的圆与 轴的交点，这个特殊的圆是 以 和 为直径的端点的圆，若方程有两个实数根，则这个圆与 轴就有两个交点，这两个交点的 横坐标就是方程的根，即 和 是 的根，假如方程有两个相等的实数解，则这个圆与 轴相切， 切点的横坐标为方程的根；假如方程无实数解，则这个圆与 轴无交点．现我们用尺规作图的方法作出一元 二次方程的根．如图 ，在 轴上作出以方程 两根为横坐标的点 ， （点 在点 的左 边）．作法如下： ①分别以点 ， 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧分别交于点 ， ； 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ②连接 ， ， 交 于点 ； ③以点 为圆心， 长为半径画圆，与 轴交于点 ， ； 则方程 的两个根即为点 ， 的横坐标． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出以方程 两根为横坐标的点 ， （保留作 图痕迹，不写作法）．
