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专题09 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、二次函数中的平行四边形存在性问题
题型二、二次函数中的矩形存在性问题
题型三、二次函数中的菱形存在性问题
题型四、二次函数中的正方形存在性问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
- 题型特征：在抛物线背景下，探究满足平行四边形、矩形、菱形或正方形的动点是否存在，需分类讨论。
- 解题方法：利用对角线互相平分（中点坐标公式）列方程；矩形附加对角线相等或垂直条件；菱形附加
邻边相等或对角线垂直条件；设参代入，按顺序分类讨论顶点位置。
- 易错提醒：分类讨论时遗漏顶点顺序导致重复或漏解；平行四边形只考虑一组对边相等而忽略对边平行；
利用向量或斜率时未检验三点共线情况；计算中点坐标时符号错误。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、二次函数中的平行四边形存在性问题
典例1（2026·宁夏银川·二模）如图，二次函数
的图象与
轴交于
，
两点，
与
轴交于点
．
目 录
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(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)点
是直线
下方的抛物线上一动点，连接
，
，当
的面积最大时，求点
的坐标．
(3)点
是抛物线上一动点，在
轴上是否存在点
，使得以
为顶点的四边形是平行四边形？若存
在，请直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
或
或
或
【分析】（1）将
、
代入求出抛物线解析式；
（2）设
，过
作
轴交
于
，用表示
，利用二次函数的性质求点
的坐标；
（3）设
，
，
，
，分三种平行四边形对角线情况讨论求解．
【详解】（1）解：∵抛物线
过
、
，
∴
，
解得：
，
．
（2）解：
时，
，
，
设
，代入
，得
，
设
，过
作
轴交
于
，则
，
，
，
当
时，面积最大，
，
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．
（3）解：设
，
，
，
，分三种平行四边形对角线情况：
①当
为对角线时，
中点为
，
根据平行四边形性质，
同时也为
中点，
∴
，
整理第二个方程得，
，
解得
（舍去，与
重合），
，
∴
，
，
∴
；
②当
为对角线时，
中点与
中点为同一点，
同理可得，
，
整理第二个方程得，
，
解得
(舍)，
，
∴
，
，
；
③当
为对角线时，
中点与
中点为同一点，
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，
整理第二个方程得，
，
解得
，
∴当
时，
，此时
；
当
时，
，此时
，
综上，
点坐标为
或
或
或
．
题型模版
1.特征：抛物线上动点与已知三点构成平行四边形，求动点坐标，常分三类（对角线不同）。
2.方法：利用平行四边形对角线互相平分，设动点坐标，分三种对角线情况用中点公式列方程求解。
变式1-1（2026·宁夏固原·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴交于
，
两点，与
轴交于点
．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点
是抛物线上位于第一象限的动点，当
时，求此时点
的坐标；
(3)如图2，将原抛物线水平向右平移，使点
落在点
处，点
是原抛物线对称轴上任意一点，在平
移后的新抛物线上确定一点
，使得以点
、
、
、
为顶点的四边形为平行四边形，求出所有符合条
件的点
的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
或
或
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【分析】
（1）将
，
代入
，解方程组即可；
（2）设
，则
，
，确定
，根据
得
，继而得
到
，求解即可；
（3）由
得原抛物线对称轴是直线
，根据将原抛物线水平向右平移，使点
落在
点
处，可得原抛物线水平向右平移了
个单位，平移后的抛物线是
，设
，
，分三种情况：①以
、
为对角线，则
的中点即是
中点；②以
、
为对
角线，则
的中点即是
中点；③以
、
为对角线，则
的中点即是
中点；分别画图求解即
可．
【详解】（1）
解：∵抛物线
与
轴交于
，
两点，
∴
，解得：
，
∴抛物线的解析式为
；
（2）
解：如图，设
，
∵点
是抛物线
上位于第一象限的动点，
∴
，
，
∵抛物线
与
轴交于点
，
当
时，
，
∴
，
∵
，
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∴
，
∴
，
解得：
或
（不符合题意，舍去），
∴
；
（3）
解：∵原抛物线的解析式为
，
，
，
∴原抛物线的对称轴是直线
，
∵将原抛物线水平向右平移，使点
落在点
处，
∴原抛物线水平向右平移了
个单位，
∴平移后的抛物线是
，
设
，
，
①以
、
为对角线，则
的中点即是
中点，如图，
∴
，解得：
，
此时点
的坐标为
；
②以
、
为对角线，则
的中点即是
中点，如图，
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∴
，
解得：
，
此时点
的坐标为
；
③以
、
为对角线，则
的中点即是
中点，如图，
∴
，
解得：
，
此时点
的坐标为
；
综上所述，点
的坐标为
或
或
．
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变式1-2（25-26 八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
经过
，
两点，交
轴于点
．动点M 沿x 轴从点A 向点B 运动，过点M 作x 轴的垂线交
于点N，交抛
物线于点P．
(1)求抛物线解析式；
(2)抛物线的对称轴交
于点E，顶点是点D，以D、E、N、P 四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求
点N 的坐标；
(3)在y 轴右侧的抛物线上有一点Q，Q 的横坐标为m，设该抛物线在点C 与点Q 之间（包含点C 和点Q）
的部分的最高点和最低点到x 轴的距离分别为s，t，当
时，直接写出m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果；
（2）将抛物线解析式化为顶点式得出
，求出
，从而可得直线
的解析式为
，进而
得出
，
，设
，则
，
，求出
，由题意可得
，要使以D、E、N、P 四个点为顶点的四边形为平行四边形，则
，得出
，由
此计算即可得出结果；
（3）由（2）可得抛物线的顶点坐标为
，点
的坐标为
，分三种情况：当
时，当
时，当
时，分别结合二次函数的性质计算即可得出结果．
【详解】（1）解：∵抛物线
经过
，
两点，
∴
，
解得
，
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∴抛物线解析式为
；
（2）解：∵
，
∴
，
在
中，当
时，
，即
，
设直线
的解析式为
，
将
，
代入解析式
得
，
解得
，
∴直线
的解析式为
，
当
时，
，即
，
∴
，
∵动点M 沿x 轴从点A 向点B 运动，过点M 作x 轴的垂线交
于点N，交抛物线于点P，
∴设
，则
，
，
∴
，
由题意可得
，
∴要使以D、E、N、P 四个点为顶点的四边形为平行四边形，则
，
∴
，
解得
（此时点
与点
重合，不符合题意，舍去）或
，
∴当
时，
，
∴
；
（3）解：由（2）可得抛物线的顶点坐标为
，点
的坐标为
，
∵在y 轴右侧的抛物线上有一点Q，Q 的横坐标为m，
∴当
时，抛物线在点C 与点Q 之间（包含点C 和点Q）的部分单调递增，最高点为
点，最低点
为
点，即
，
，则
，不满足条件；
当
时，抛物线在点C 与点Q 之间（包含点C 和点Q）的部分的最高点为顶点
，由对称性可得
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最低点的
值为，即
，
，则
，满足条件；
当
时，抛物线在点C 与点Q 之间（包含点C 和点Q）的部分的最高点为顶点
，最低点为
点，
且
点的
值小于，即
，
，则
，不满足条件；
综上所述，当
时，m 的取值范围为
．
题型二、二次函数中的矩形存在性问题
典例2（2026·江苏苏州·一模）如图①，已知抛物线
的图象与
轴的负半轴交于点
，
与
轴的正半轴交于点
，与
轴交于点
，直线
与
轴交于点
，
是第四象限抛物线上
一点，连接
，
，过点
作
轴交
于点
，设
点横坐标为
．
(1)求抛物线的函数表达式：
(2)当
为何值时，
的面积有最大值，并求出此时的最大值；
(3)作
轴，且
点横坐标为
，以
，
为邻边构造矩形
．若矩形
的边与抛物
线有三个交点，且其中的一个交点为矩形一边的中点，求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
或
【分析】（1）将
，
坐标代入解析式即可求出解析式；
（2）利用△
的面积减去△
的面积得出△
的面积，分析关于
的二次函数的最值；
（3）根据矩形
的顶点坐标，结合矩形的边与抛物线的交点情况，分三种情况讨论矩形各边中点在抛
物线上的情形，分别列方程求解并检验，确定
的值．
【详解】（1）解：将
，
代入
，
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得
，解得
，
抛物线的函数表达式：
；
（2）解：设直线
的解析式
将
，
代入得
，解得
，
直线
的解析式为
，
点
，
，
，
的面积减去
的面积得出
的面积，
，
，二次函数开口向下，
当
时，有最大值是
；
（3）解：
点
位于第四象限，
，
，即点
位于点
右侧，
矩形
与抛物线有三个交点，
点
位于抛物线对称轴左侧，
，
点
的对称点为
，
则必有
，
即
，
，
由题意得，
，
，
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①当中点位于
上时，如图，
中点坐标为
，
，
又
中点在抛物线上，
，
，
解得：
（舍去），
；
②当中点位于
上时，如图，
同理可得，
中点坐标为
，
代入抛物线解析式得，
，
解得：
（舍去），
（舍去）；
③当中点位于
上时，如图，
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同理可得，
中点坐标为
，
代入抛物线解析式得，
，
解得：
（舍去），
；
综上所述，
或
．
题型模版
1.特征：抛物线上动点与已知三点构成矩形，求动点坐标，需满足对角线相等且互相平分。
2.方法：利用平行四边形条件先求第四点，再验证对角线相等；或用向量垂直与相等列方程求解并验证。
变式2-1（2026·湖北黄石·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线
交x 轴于点B，交y 轴于点C，
抛物线
经过B、C 两点且与x 轴交于另一点A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D 是直线
下方抛物线上的一点，若
，求点D 的坐标；
(3)若点H 是抛物线上一动点，且横坐标为m，
、
为平面内两点，连结
、
，
以
、
为边构造矩形
．
①求点N 的坐标（用含m 的式子表示）；
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②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而变化时，直接写出m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)①
；②
或
【分析】（1）先求出点
，再将两个点的坐标代入二次函数关系式，求出答案即可；
（2）分两种情况：当
轴时，
，此时直线
与直线
下方的抛物线没有交点；
当
时，
，结合点
，可知点D 的纵坐标是
，再代入函数关系式得出答案；
（3）①根据点
可得答案；
②当点H，M 重合时，求出
．
再分两种情况：当点M 在点H 下方时，当
时，矩形内没有函数y 的图象；当
时，矩
形区域内的函数y 随着x 的增大而减小，可得取值范围；
当点M 在点H 上方时，有两种可能：当
时，此时点Q 在对称轴左侧，矩形内的抛物线y 随着x
的增大而增大；当
时，此时点H 在对称轴的右侧，矩形内没有函数y 的图象，综合以上情况
可得答案．
【详解】（1）解：当
时，
，
解得
；
当
时，
，
∴点
．
∵点B，C 在抛物线
上，
∴
，
解得
，
∴二次函数关系式
；
（2）解：∵点
，
∴
，且
，
∴
．
当
轴时，
，此时直线
与直线
下方的抛物线没有交点；
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当
时，
，
∵点
，
∴点D 的纵坐标是
，
令
，
，
解得
，
∴点
；
（3）解：①当
时，
，
∴点
，则点
．
②抛物线
，顶点坐标为
．
当点H，M 重合时，则
解得
．
当点M 在点H 下方时，如图所示，
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即
，
由题意，得
．
当点H，N 达到对称轴两侧对称的位置时，则
，则当
时，矩形内没有函数y 的图象；
当
时，矩形区域内的函数y 随着x 的增大而减小，即
；
当点M 在点H 上方时，如图，
即
或
，
当
时，
，即
，
此时点Q 在对称轴左侧，矩形内的抛物线y 随着x 的增大而增大；
当
时，此时点H 在对称轴的右侧，矩形内没有函数y 的图象，则
．
综上所述，
或
．
变式2-2（25-26 九年级上·广西崇左·期末）如图，抛物线
的对称轴是直线
，与x 轴交
于点A、B 两点，且A 点的坐标为
，与y 轴交于点
．
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(1)求抛物线解析式及顶点D 坐标；
(2)点E 为抛物线上一点，且
，则点E 的坐标为 ；
(3)点F 为线段
上任意一点，过点F 作
轴于点M，直线
交抛物线于点N，求线段
的最大
值；
(4)点P 是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使以点A、C、P、Q 为顶点的四边
形为矩形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
，
(2)
或
(3)
(4)存在，
或
或
或
【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可；
（2）根据题意，得
，然后根据二次函数的解析式，确定一元二次方程，解方程即
可；
（3）先确定直线
的解析式为：
．设
，则
， 则
， 根据抛物线性质解答即可．
（4）设
，
，
，
，故
，分
或
或
为对角线时，
利用中点坐标公式解答即可．
此题属于二次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的最值，中点坐标公式，矩形
的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质并能利用分类讨论思想求解点N 的坐标是解答此题
的关键．
【详解】（1）解：由题意得：
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，
解得：
，
则抛物线的表达式为：
；
，
故抛物线的顶点
．
（2）解：
，
，
解得
，
故
，
根据题意，得
，
∵
，
，
即
，
则
，
或
，
或
，
解得
或无解，
故
或
，
故答案为：
或
．
（3）解：设直线
的解析式为
，
将
，
代入直线解析式得：
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，
解得
，
∴直线
的解析式为：
，
设
，则
，
则
，
故
，
∵
，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当
，
最大，且最大值为
．
（4）解：存在，理由：
设
，
，
，
，
故
，
当
为对角线时，
由中点坐标公式得：
解得：
或
，
，
故
或
；
当
为对角线时，
由中点坐标公式得：
，
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解得
，
故
；
当
为对角线时，
由中点坐标公式得：
，
解得
，
故
；
故存在点Q，使得A，C，P，Q 为顶点的四边形是矩形且坐标为
或
或
或
．
题型三、二次函数中的菱形存在性问题
典例3（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
经过点
，
与
轴交于点
，且关于直线
对称．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点
是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点
作
轴的垂线交直线
于点
，在
轴上是否存在点
，使得以
，
，
，
为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在以
，
，
，
为顶点的四边形是菱形，边长为
或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论
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的思想进行求解，是解题的关键．
（1）根据对称轴，求出
，把点
代入函数解析式，求出
，即可得到函数解析式；
（2）令
，得
，求出
，设直线
的解析式为：
，根据待定系数法，求出函数解
析式，设
，则
，得到
，
，
，分类讨论：①当
为边时，
，②当
为对角线时，
，求出
，
即可得到菱形的边长．
【详解】（1）解：
对称轴为直线
，
，即
．
．
将
代入，得
，
解得
．
抛物线的函数表达式为
．
（2）解：存在．
令
，得
，
，
设直线
的函数表达式为
，
将
代入，得
，
解得
，
直线
的函数表达式为
，
设
，则
，
，
，
，
当以
，
，
，
为顶点的四边形是菱形时，分为以下两种情况：
①当
为边时，
，即
，
解得
（不合题意，舍去），
，
此时菱形的边长为
；
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②当
为对角线时，
，即
，
解得
（不合题意，舍去），
，
此时菱形的边长为
，
综上所述，存在以
，
，
，
为顶点的四边形是菱形，边长为
或
．
题型模版
1.特征：抛物线上动点与已知三点构成菱形，求动点坐标，需满足四边相等且对角线垂直平分。
2.方法：先利用平行四边形求第四点，再验证四边相等；或用距离公式列邻边相等方程，解出后验证对角线
垂直。
变式3-1（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图，已知二次函数
的图象经过点
，与x 轴
分别交于点A，点
．点P 是直线
上方的抛物线上一动点．
(1)求二次函数
的表达式；
(2)连接
，
，并把
沿y 轴翻折，得到四边形
．若四边形
为菱形，请求出此时点P
的坐标；
(3)当点P 运动到什么位置时，
的面积最大？求出此时P 点的坐标和
的最大面积．
【答案】(1)
(2)
(3)当点
的坐标为
时，最大面积值为
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由题意可得
，连接
，由菱形的性质可得
垂直平分
，从而可得点
的纵坐标为
，
令
，则
，计算即可得解；
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（3）过点P 作
轴，交
于点Q，求出直线
的解析式为
，设
，
则
，
，表示出
，再由二次函数的性质计算即可得解．
【详解】（1）解：将点
和点
的坐标代入函数解析式得：
，
解得
，
二次函数的解析式为：
；
（2）解：∵
，
∴
，
如图，连接
，
∵四边形
为菱形，
∴
垂直平分
，
∴点
的纵坐标为
，
∵点P 是直线
上方的抛物线上一动点，
∴令
，则
，
解得：
，
（不符合题意，舍去），
∴
；
（3）解：如图，过点P 作
轴，交
于点Q，
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设直线
的解析式为
，
将
，
代入
可得：
，
解得：
，
∴直线
的解析式为
，
∵点P 是直线
上方的抛物线上一动点，
∴设
，则
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴当
时，
最大，最大为
，
当
时，
，即
．
变式3-2（2026 九年级下·海南海口·专题练习）如图，在平面直角坐标系
中，已知抛物线
经过点
，与
轴交于点
，且关于直线
对称．
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(1)求该抛物线的解析式；
(2)当
时，
的取值范围是
，求的值；
(3)点
是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点
作
轴的垂线交直线
于点
，
①求线段
的最大值，
②在
轴上是否存在点
，使得以
为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不
存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)①
；②存在，边长为
或2
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分
和
，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可．
（3）①根据题意求出
点坐标，得到直线
的解析式，设
，则
，
进而可得
即可；②分
为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求
解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线
经过点
，与y 轴交于点B，且关于直线
对称，
∴
，解得：
，
∴
；
（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线
，
∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，
∵
时，
，
①当
时，则：当
时，函数有最大值，即：
，
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解得：
或
，均不符合题意，舍去；
②当
时，则：当
时，函数有最大值，即：
，
解得：
，
故
；
（3）①当
时，解得：
，当
时，
，
∴
，
，
设直线
的解析式为
，把
代入，得：
，
∴
，
设
，则：
，
∴
，
故线段
的最大值为
；
②存在；
由①知
，
，
，
当B，C，D，E 为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当
为边时，则：
，即
，
解得：
（舍去）或
，
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此时菱形的边长为
；
②当
为对角线时，则：
，即：
，
解得：
或
（舍去）
此时菱形的边长为：
；
综上：存在以B，C，D，E 为顶点的四边形是菱形，边长为
或2．
题型四、二次函数中的正方形存在性问题
典例4（26-27 九年级上·江苏·寒假作业）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 经过
点
(3,0)
A
，与y 轴交于点B ，且关于直线
1
x = 对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当1
x
t
−
时，y 的取值范围是0
2
1
y
t
−，求t 的值；
(3)若点P 、Q 在直线AB 上，问：在该二次函数图象上是否存在点M ，N ，使得四边形PQMN 是正方形？
若存在，请直接写出PQ 的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+
(2)
5
2
t =
(3)存在，2 或9 2
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分
1
t 和
1
t ，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可．
（3）先求出直线
:
3
AB y
x
= −+
，设
2
2
PQ
m
=
，直线MN 与y 轴交点为T ，当MN 在AB 上方时，过点B 作
BG
NM
⊥
于点G ，可得
2
BT
BG
m
=
=
，设直线
:
3
MN y
x
m
= −+ +
，与抛物线表达式联立得，
2
2
3
3
y
x
x
y
x
m
= −
+
+
= −+ +
，得到
2
3
0
x
x
m
−
+
=
，设
(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，那么由韦达定理可得
1
2
1 2
3,
x
x
x x
m
+
=
=
，
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则(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
1
2
4
9
4
x
x
x
x
x x
m
−
=
+
−
=
−
，而
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
MN
x
x
y
y
x
x
=
−
+
−
=
−
，则得到
(
)
2
2 9
4
2 m
m
=
−
，解得
2
m =
或
18
m = −
（舍），故
2
2
2
2
PQ =
=
；当MN 在AB 下方时，同理求解即
可．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 经过点(
)
3,0
A
，与y 轴交于点B，且关于直线
1
x = 对称，
∴
1
2
9
3
3
0
b
a
a
b
−
=
+
+
=
，解得：
1
2
a
b
= −
=
，
∴
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ；
（2）解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线
1
x = ，
∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，
∵1
x
t
−
时，0
2
1
y
t
−，
①当
1
t 时，则：当x
t
= 时，函数有最大值，即：
2
2
1
2
3
t
t
t
−= −
+
+ ，
解得：
2
t
−
=
或
2
t =
，均不符合题意，舍去；
②当
1
t 时，则：当
1
x = 时，函数有最大值，即：
2
2
1
1
2
3
4
t −= −
+
+
=
，
解得：
5
2
t =
；
故
5
2
t =
；
（3）解：存在，理由如下：
对于
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ，当
0
x =
时，
3
y =
，
∴
(
)
0,3
B
，
设直线
:
AB y
mx
n
=
+
∵点
(
)
3,0
A
，
∴
3
0
3
m
n
n
+
=
=
，
解得
1
3
m
n
−
=
=
，
∴直线
:
3
AB y
x
= −+
，
设
2
2
PQ
m
=
，直线MN 与y 轴交点为T ，
当MN 在AB 上方时，过点B 作BG
NM
⊥
于点G ，如图：
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∵正方形PQMN ，
∴
2
,
90
2
PN
PQ
MN
m
PNM
PNT
=
=
=
=
=
，MN
AB
∥
，
∴
2
2
BG
PN
m
=
=
∵
3,
90
OA
OB
AOB
=
=
=
，
∴
45
ABO
=
，
∴由MN
AB
∥
得
45
ABO
BTN
=
=
，
∴BTG
为等腰直角三角形，
∴
2
2
2
2
2
2
BT
TG
BG
BG
m
m
=
+
=
=
=
，
∵MN
AB
∥
，
∴设直线
:
3
MN y
x
m
= −+ +
，
与抛物线表达式联立得，
2
2
3
3
y
x
x
y
x
m
= −
+
+
= −+ +
，
∴
2
3
0
x
x
m
−
+
=
，
设
(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
∴
1
2
1 2
3,
x
x
x x
m
+
=
=
，
∴(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
1
2
4
9
4
x
x
x
x
x x
m
−
=
+
−
=
−
∵
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
3
2
MN
x
x
y
y
x
x
x
m
x
m
x
x
=
−
+
−
=
−
+ −
+ +
−−
+ +
=
−
，
∴
(
)
2
2 9
4
2 m
m
=
−
，
解得
2
m =
或
18
m = −
（舍），
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∴
2
2
2
2
PQ =
=
；
当MN 在AB 下方时，过点B 作BG
NM
⊥
于点G ，如图：
同理可得，
2
2
BG
PN
m
=
=
，
2
BT
BG
m
=
=
，
∵MN
AB
∥
，
∴设直线
:
3
MN
y
x
m
= −+ −
，
与抛物线表达式联立得，
2
2
3
3
y
x
x
y
x
m
= −
+
+
= −+ −
，
∴
2
3
0
x
x
m
−
−
= ，
设
(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
∴
1
2
1 2
3,
x
x
x x
m
+
=
= −
，
∴(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
1
2
4
9
4
x
x
x
x
x x
m
−
=
+
−
=
+
∵
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
3
2
MN
x
x
y
y
x
x
x
m
x
m
x
x
=
−
+
−
=
−
+ −
+ −
−−
+ −
=
−
，
∴
(
)
2
2 9
4
2 m
m
=
+
，
解得
18
m =
或
2
m = −（舍），
∴
2
18
9 2
2
PQ =
=
；
综上：PQ 的长为2 或9 2 ．
题型模版
1.特征：抛物线上动点与已知三点构成正方形，求动点坐标，需满足四边相等且对角线垂直相等。
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2.方法：先利用平行四边形求第四点，再验证四边相等且对角线相等且垂直；或列向量垂直且长度相等方程
求解。
变式4-1（2026·辽宁阜新·一模）如图，已知二次函数
2
y
x
bx
c
= −
+
+ 的图象交x 轴于点
(
)
1,0
A −
，
(
)
2,0
B
，
交y 轴于点C ，P 是抛物线上一点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，当点P 在直线BC 上方时，求PBC
面积的最大值；
(3)直线PE
x
轴，交直线BC 于点E ，点D 在x 轴上，点F 在坐标平面内，是否存在点P ，使得以D ，E ，
F ，P 为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
y
x
x
−
=
+
+
(2) PBC
面积的最大值为1；
(3)存在点P ，使以D，E ，F ，P 为顶点的四边形是正方形，点P 的坐标为
1 5
,
2 4
−
或
2 8
,
3 9
−
或(
)
2, 4
−
−
．
【分析】（1）把
(
)
1,0
A −
，
(
)
2,0
B
代入
2
y
x
bx
c
= −
+
+ ，可得b ，c ，即可得二次函数的表达式；
（2）设(
)
2
,
2
P a
a
a
−
+
+
，作PH
x
⊥
轴于点H ，则OH
a
=
，
2
2
PH
a
a
= −
+
+
，利用割补法，可得
(
)
2
1
1
PBC
S
a
= −
−
+
，即可得PBC
面积的最大值；
（3）由待定系数法，可得直线BC 的解析式为
2
y
x
= −+
，设(
)
2
,
2
P m
m
m
−
+
+
，由PE
x
轴，可得
(
)
2
2
,
2
E m
m
m
m
−
−
+
+
，根据题意进行分类讨论，结合正方形的性质，即可得点P 坐标．
【详解】（1）解：∵二次函数
2
y
x
bx
c
= −
+
+ 的图象交x 轴于点
(
)
1,0
A −
，
(
)
2,0
B
，
∴
(
)
2
2
1
0
2
2
0
b
c
b
c
−−
−
+
=
−
+
+
=
，
解得
1
2
b
c
=
=
，
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∴
2
2
y
x
x
= −
+
+ ．
（2）解：在
2
2
y
x
x
= −
+
+
中，令
0
x =
，得
2
y =
，
∴
(
)
0,2
C
，
设(
)
2
,
2
P a
a
a
−
+
+
，
∵点P 在直线BC 上方，
(
)
2,0
B
，
(
)
0,2
C
，
∴0
2
a
，
2
OB
OC
=
=
，
作PH
x
⊥
轴于点H ，则OH
a
=
，
2
2
PH
a
a
= −
+
+
，
用割补法求面积：
∵PBC
的面积等于梯形PHOC 的面积加PHB
的面积减去COB
的面积，
梯形PHOC 的面积
(
)
(
)
2
1
1
·
2
2
2
2
PH
CO OH
a
a
a
=
+
=
−
+
+ +
，
PHB
的面积
(
)(
)
2
1
1
·
2
2
2
2
PH BH
a
a
a
=
=
−
+
+
−
，
COB
的面积
1
1
·
2 2
2
2
OBOC
=
=
，
∴PBC
面积
(
)
(
)(
)
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2 2
2
2
2
a
a
a
a
a
a
=
−
+
+ +
+
−
+
+
−
−
2
2
a
a
= −
+
(
)
2
1
1
a
= −
−
+ ，
∵(
)
2
1
0
a −
，
∴(
)
2
1
0
a
−
−
，
∴(
)
2
1
1 1
a
−
−
+ ，
∴PBC
面积的最大值为1．
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（3）解：存在点P ，使以D ，E ，F ，P 为顶点的四边形是正方形，
设直线BC 的解析式为y
kx
b
=
+
，
∵
(
)
2,0
B
，
(
)
0,2
C
，
∴
2
0
2
k
b
b
+
=
=
，
解得
1
2
k
b
= −
=
，
∴直线BC 的解析式为
2
y
x
= −+
，
设(
)
2
,
2
P m
m
m
−
+
+
，
(
)
,
2
E n
n
−+
，
∵PE
x
轴，
∴
2
2
2
m
m
n
−
+
+
= −+
，
∴
2
n
m
m
=
−
，
∴(
)
2
2
,
2
E m
m
m
m
−
−
+
+
，
①如图，四边形PDFE为正方形，则PE
PD
=
，
∴
2
2
2
m
m
m
m
m
−
−
= −
+
+
，
解得
1
2
m = −
或
2
m =
（不合题意，舍去），
∴
2
2
1
1
5
2
2
2
2
4
m
m
−
+
+
= −−
−
+
=
，
∴
1 5
,
2 4
P
−
，
②如图，四边形PDEF 为正方形，点F 在PE上方，
连接PE，DF ，交于点M ，则MD
PE
⊥
，
2
PE
MD
=
，
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∴
(
)
2
2
2
2
m
m
m
m
m
−
−
=
−
+
+
，
解得
2
3
m = −
或
2
m =
（不合题意，舍去），
∴
2
2
2
2
8
2
2
3
3
9
m
m
−
+
+
= −−
−
+
=
，
∴
2 8
,
3 9
P
−
，
③如图，四边形PFED是正方形，点F 在PE下方，
连接PE，DF ，交于点N ，则ND
PE
⊥
，
2
PE
ND
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
m
m
m
m
m
−
−
=
−−
+
+
，
解得
2
m = −或
2
m =
（不合题意，舍去），
∴
(
)
2
2
2
2
2
2
4
m
m
−
+
+
= −−
−
+
= −，
∴
(
)
2, 4
P −
−
，
∴点P 的坐标为
1 5
,
2 4
−
或
2 8
,
3 9
−
或(
)
2, 4
−
−
．
变式4-2（25-26 九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线
2
y
x
c
=
+ 与直线y
kx
=
交于A，B 两点，与y 轴交
于点C，已知B 点的坐标是(
)
2,2 ．
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(1)求直线AB 及抛物线的解析式．
(2)求ABC
的面积．
(3)点P 在抛物线上，点Q 在直线AB 上，在坐标平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M 为顶点的四边
形是正方形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】(1)直线AB 的解析式为y
x
=
，抛物线的解析式是
2
2
y
x
=
−；
(2)3
(3)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
3
4
1 1, 1
0
2
11
1
3
M
M
M
M
−
,
,-
,
- , ,
- ,-
【分析】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图象及性质，三角形和正方形的性质，熟练掌握相关
知识是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据题意得出，
2
OC =
，连接AC
BC
、
，然后结合图形得出
ABC
AOC
BOC
S
S
S
=
+
即可求解；
（3）分AQ 是正方形的边和AQ 是正方形的对角线两种情况分析，再根据正方形的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：∵直线y
kx
=
与抛物线
2
y
x
c
=
+ 交于点
(
)
2,2
B
∴2
2
k =
，4
2
c
+
=
，
∴
1
k = ，
2
c
−
=
∴直线AB 的解析式为y
x
=
，抛物线的解析式是
2
2
y
x
=
−；
（2）解：联立方程组
2
2
y
x
y
x
=
=
−
，
解得
2
2
x
y
=
=
或
1
1
x
y
= −
= −
，
∴点A 的坐标是(
)
1, 1
−−
，
当
0
x =
时，
2
2
2
y
x
=
−
= −，
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∴点C 的坐标是(
)
0, 2
−
，
∴
2
OC =
，
连接AC
BC
、
，如图所示：
∴
1
1
1
2 (1 2)
3
2
2
2
ABC
AOC
BOC
A
B
S
S
S
OC
x
OC
x
=
+
=
+
=
+
=
；
（3）解：当AQ 是正方形的边时，PQ 为对角线，连接AM ，如图所示：
此时M 点与A 点关于y 轴对称，点Q 与点O 重合，点P 与点Q 关于AM 对称，
∴
(
)
1, 1
M
−
，
(
)
0, 2
P
−
，
∴
(
)
1, 1
A −
−
，
(
)
1, 1
M
−
，
(
)
0, 2 ,
(0,0)
P
Q
−
，
∴当
(
)
0, 2
P
−
，
(
)
1, 1
M
−
时，四边形APMQ 为正方形；
同理，当点M 与顶点C 重合，点Q 与点O 重合时，如图所示：
∴当
(
)
1, 1
P
−
，
(
)
0, 2
M
−
时，四边形APMQ 为正方形；
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当AQ 是正方形的边时，PQ 为对角线，连接AM ，如图所示：作点A 关于PQ 的对称点M，
∴
(
)
1, 3
M −−
，
(
)
(
)
2, 2 ,
0, 2
Q
P
−
−
−
，
∴当
(
)
0, 2
P
−
，
(
)
1, 3
M −−
时，，四边形APMQ 为正方形；
如图，当AQ 是正方形的对角线时，如图所示：
∴点P 的纵坐标为1
−
∴
(
)
1, 1
P
−
∴
2
AP =
∵AM
AP
⊥
∴
(
)
1,1
M −
综上所述：M 点坐标为
(
)
(
)
(
)
(
)
2
3
4
1 1, 1 ,
0, 2 ,
1,1 ,
1, 3
M
M
M
M
−
−
−
−−
．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、解答题
1．（2026 九年级下·青海西宁·学业考试）如图，抛物线
与
轴交于
，
两点（点
在点
的左侧），与
轴交于点
，点
是
轴右侧抛物线上一动点．
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(1)请直接写出点
的坐标和直线
的函数解析式；
(2)若点
是
轴上一点，连接
，当
交
于点
，且
时，求线段
的长；
(3)在
轴上是否存在点
，使以
，
，
，
为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
；
(2)2
(3)存在，点
的坐标为
或
或
【分析】（1）分别将
、
代入抛物线，求出点A、B、C 的坐标，再利用待定系数法求出
解析式
即可；
（2）连接
，则
，易证得
、
、
是等腰直角三角形，进而得到
点的纵
坐标为
，从而求出点
的坐标，根据
进行求解即可；
（3）设点
，点
，分情况讨论：当
为平行四边形的对角线或
为平行四边形
的对角线或
为平行四边形的对角线时，根据两条对角线的中点坐标相同，列方程求解即可．
【详解】（1）解：当
时，
，
解得
或
，
点
在点
的左侧，
、
，
当
时，
，
，
设直线
的解析式为
，
将
、
代入
得：
，
解得
，
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直线
的解析式为
；
（2）解：如图，连接
，
、
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
、
，
是等腰三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
点的纵坐标为
，
令
，，
解得
或
（舍去），
、
；
（3）解：存在，点
的坐标为
或
或
，理由如下：
由（1）知
、
，
设点
，点
，
分情况讨论：
①当
为对角线时，如图：
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的中点坐标为
，
的中点坐标为
，
，
解得
或
(舍去)，
；
②当
为对角线时，如图：
的中点坐标为
，
的中点坐标为
，
，
解得
或
（舍去），
；
③当
为对角线时，如图：
的中点坐标为
，
的中点坐标为
，
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，
解得
或
(舍去)，
；
综上所述，点
的坐标为
或
或
．
2．
（25-26九年级下·宁夏银川·阶段检测）如图，抛物线
与x轴相交于
，
，
与y 轴交于点
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接
，点P 为抛物线上第一象限内一动点，当
面积最大时，求点P 的坐标；
(3)设点D 是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以点B，C，D，Q 为顶点的四边形为
平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标：若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
或
或
【分析】（1）设交点式
，然后把C 点坐标代入求出a 的值即可得到抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线
的解析式为
，作
轴交
于M，如图1，设
，则
，利用三角形面积公式得到
，然
后根据二次函数的性质求解；
（3）如图2，分类讨论：当四边形
为平行四边形，设
，利用点平移的坐标规律得到
，
然后把
代入
中求出a 即可得到Q 点坐标；当四边形
为平行四边形或四边形
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为平行四边形时，利用同样方法可求出对应Q 点坐标．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为
，
把
代入得
，
解得
，
所以抛物线解析式为
，即
；
（2）解：设直线
的解析式为
，
把
，
代入得
，
解得
，
所以直线
的解析式为
，
作
轴交
于M，如图1，
设
，则
，
∴
，
∴
，
当
时，
的面积最大，此时P 点坐标为
；
（3）解：如图2，抛物线的对称轴为直线
，
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当四边形
为平行四边形，设
，则
，
把
代入
得
，解得
，
∴
；
当四边形
为平行四边形时，设
，则
，
把
代入
得
，解得
，
∴
；
当四边形
为平行四边形时，设
，则
，
把
代入
得
，解得
，
∴
，
综上所述，满足条件的Q 点坐标为
或
或
．
3．（25-26 九年级下·山东济南·阶段检测）如图1，已知抛物线
与
轴交于
两点，与
轴交于
点，点
是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点
的横坐标为．
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(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴为，与
轴的交点为
．在直线上是否存在点
，使得四边形
是菱形？若
存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，连接
，
，
，设
的面积为．
①求关于的函数表达式：
②求
点到直线
的距离的最大值，并求出此时点
的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)①
；②
点到直线
的距离的最大值为
，
【分析】（1）把
代入
，解关于
、的二元一次方程组求出
、的值即可；
（2）连接
，交对称轴于
，根据菱形的性质得出
，
，根据（1）中解析式得出
，
对称轴为直线
，可得
，进而求出
，即可得答案；
（3）①过点
作
轴于
，交
于
，先利用待定系数法求出直线
解析式为
，得出
，
，
，利用三角形面积公式即可得出
；②利用勾股定
理求出
，利用
的面积求出
，得出
时，
的最大值为
，
把
代入
即可求出点
坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线
与
轴交于
两点，
∴
，
解得
，
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∴抛物线的表达式为
．
（2）解：如图，连接
，交对称轴于
，
∵
，
∴抛物线的对称轴为直线
，点
的横坐标为，
∵四边形
是菱形，
∴
，
，
轴，
∵抛物线解析式为
，
∴当
时，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
（3）解：①如图，过点
作
轴于
，交
于
，
设直线
的解析式为
，
∵
，
，
∴
，
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解得：
，
∴直线
的解析式为
，
∵点
的横坐标为，
∴
，
，
∴
，
∴
．
②如图，过点
作
于
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴当
时，
取得最大值，即
点到直线
的距离的最大值为
，
当
时，
，
∴
．
4．（25-26 九年级上·江苏徐州·期末）如图，抛物线
与
轴交于
、
两点（点
在点
的
左边），点
、
的坐标分别是
、
，与
轴交于点
，点
的坐标是
，点
和点
关于抛
物线的对称轴对称．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，直线
上方的抛物线上有一点
，过点
作
于点
，求线段
的最大值；
(3)点M 是抛物线的顶点，点
是
轴上一点，点Q 是坐标平面内一点，以A，M，P，Q 为顶点的四边形是
以
为边的矩形，求点
的坐标
【答案】(1)
(2)
(3)
或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）记
与y 轴的交点为
，证明
为等腰直角三角形， 过
作
轴交
于
，
为
等腰直角三角形， 则
，设
，则
， 再建立二次函数，利用二次函数
的性质解题即可；
（3）如图，当
在
的右边，记直线
交y 轴于R，
，则
，求解
直线
的解析式为
， 可得
， 设
，而四边形
为矩形，可得
，
再利用勾股定理建立方程求解
；如图，当
在
的左边，同理可得：
．
【详解】（1）解： 把
，
，
分别代入
得
，解得
，
抛物线的解析式为
；
（2）解：由（1）知
，
抛物线对称轴为直线
，
点
和点
关于抛物线的对称轴对称，
，
设直线
的解析式为
，
把
，
分别代入得
，
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解得
，
直线
的解析式为
记
与
轴的交点为
，
当
时，
，则
，
，
为等腰直角三角形，
，
过
作
轴交
于
，
，
为等腰直角三角形，
，
设
，则
，
，
当
时，
有最大值
，
的最大值为：
；
（3）解：如图，当
在
的右边，
记直线
交
轴于
，
，则
，
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设直线
的解析式为
，
把
、
分别代入得
，解得
，
直线
的解析式为
，
当
时，
，则
，
设
，而四边形
为矩形，
，
∴
，
，
解得：
，即
；
如图，当
在
的左边，
同理可得：
，
解得：
，即
；
综上：
或
．
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5．（25-26 九年级上·吉林延边·期末）如图，抛物线
与x 轴的正半轴交于点
、与
轴交于
点
．点
在该抛物线上运动，设点
的横坐标为
，过点
作
轴于点
，
在
轴上，
以
，
为邻边作矩形
．
(1)求点
和点
的坐标．
(2)当点
与点
重合时，求
的值．
(3)当矩形
为正方形时，直接写出
的值．
(4)当抛物线在矩形
内的部分所对应的函数值
随
增大而减小时，直接写出
的取值范围．
【答案】(1)点A 的坐标为
，点B 的坐标为
(2)
(3) ；
；
；
(4)
或
【分析】本题主要涉及抛物线的性质，点的坐标计算，正方形的性质以及函数的增减性，合理分类讨论矩
形的变化情况是解题的关键．
（1）把
和
分别代入
运算求解即可；
（2）利用二次函数式子表达出
，从而得到
，令
和
的纵坐标相等列式
运算即可；
（3）分类讨论矩形的变化情况，再令一组邻边相等，列式运算即可；
（4）分类讨论矩形的变化情况，分析求解即可．
【详解】（1）解：把
代入
可得：
，
∴
，
解得：
，
，
小学
初中
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∴
；
把
代入
可得：
，
∴
；
（2）解：∵
的横坐标为
，
∴
，
∵
轴于点
，
∴
，
∵
，
∴当
重合时，则
，
解得：
；
（3）解：当有一组邻边相等时，矩形
为正方形，由（2）可得：当
时
重合；
①当
时，如图所示：
∴
，
，
令
可得：
，
解得：
或
（舍去）；
②当
时，如图所示：
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∴
，
，
令
可得：
，
解得：
或
（舍去）；
③当
时，如图所示：
∴
，
，
令
可得：
，
解得：
或
（舍去）；
④当
时，如图所示：
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∴
，
，
令
可得：
，
解得：
或
（舍去）；
综上，
的值为：；
；
；
；
（4）①解：当
时，如图所示：
此时抛物线在矩形
内的部分所对应的函数值
随
增大而减小，符合题意；
②当
时，如图所示：
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此时抛物线在矩形
内没有图像，不符合题意；
③当
时，如图所示：
此时抛物线在矩形
内的部分所对应的函数值
随
增大而减小，符合题意；
④当
时，如图所示：
此时抛物线在矩形
内的部分所对应的函数值既有
随
增大而减小，又有
随
增大而增大，不符合
题意；
综上，抛物线在矩形
内的部分所对应的函数值
随
增大而减小时，
的取值范围为：
或
．
6．
（25-26 九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与x 轴交于点
，
，与y 轴交于点C．
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(1)求此抛物线的解析式；
(2)点M、点N 均在这个抛物线上（点M 在点N 的左侧），点M 的横坐标为m，点N 的横坐标为
.将此
抛物线上M、N 两点之间的部分（含M、N 两点）记为图象G．
①当点M 与点C 重合时，求点N 的坐标；
②当点M 在x 轴上方，图象G 的最高点与最低点的纵坐标之差为6 时，求m 的值；
(3)设点
，点
，将线段
绕点D 顺时针旋转
后得到线段
，以
为边构造正方
形
，当正方形
的边与二次函数在
范围上的图象有且仅有一个公共点时，直接写出n 的取
值范围．
【答案】(1)
(2)①
；②
(3)
或
或
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题
的关键．
（1）利用待定系数法即可求出答案；
（2）①求出C 点坐标为
，得到
；则点N 的横坐标为
，即可求出答案；②由题意设
，
，分当
和
时两种情况讨论，再结合题意确定符
合条件的m 值即可；
（3）分情况讨论，结合图象求解即可．
【详解】（1）解：抛物线
与x 轴交于点
，
，
∴
解得
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∴抛物线解析式为
，
（2）解：①当
时，
，
∴C 点坐标为
；
∵点M 与点C 重合，
∴
；
∵点N 的横坐标为
∴点N 的横坐标为
，
当
时，
，
∴点N 的坐标为
；
②令
，得：
，
解得：
或
，
∴顶点坐标为
，A 点坐标为
，B 点坐标为
；
由题意得：抛物线对称轴为直线
，
∵当
时，
，
当
时，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
又∵点M 在x 轴上方，
∴
，
当
时，如图1，
此时，点
离对称轴最远，其纵坐标是最小值，顶点处取最大值，
，
解得：
或
（不合题意，舍去）；
当
时，如图2，
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点
离对称轴最远，其纵坐标是最小值，点
离对称轴最近，其纵坐标是最大值，
，
解得：
（不合题意，舍去），
综上所述：图象
的最高点与最低点的纵坐标差为6 时，
的值为
；
（3）解：如图3，当点D 在E 点上方时，
，
∴
，
只有F 在抛物线上满足要求，
∴
，
，
把F 点代入抛物线解析式得：
，
得
，
（舍），
当点E 在点D 上方时，
，
∴
，
如图4，当点G 在抛物线上时，满足要求，
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此点G 的纵坐标与上一情况的纵坐标相等
，
∴
，
如图5，当B 在
上时，有两个交点
，
∴
，
∴当
时，正方形
与抛物线只有一个交点，
综上：当
或
或
时，与抛物线有且只有一个交点．
