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专题08 二次函数的实际应用问题
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、二次函数实物建模--拱桥问题
题型2、二次函数实物建模--投球、喷水问题
题型3、二次函数营销问题
题型4、二次函数其它实际应用问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
解决二次函数的实际应用问题，关键在于把现实情境抽象为数学模型；要根据问题特点建立恰当的坐
标系，利用已知数据求出二次函数解析式；建模后通过顶点、对称轴、区间端点等求最大利润、最大高度、
射程、能通过的高度等实际量；解题中必须注意自变量的实际取值范围，把数学结果还原为实际意义，并
检验其合理性．
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、二次函数实物建模--拱桥问题
典例1 新区公园为迎接端午节，准备设计一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为
，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案
中的拱门图形放入平面直角坐标系中．要在拱门中设置高为
的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细
忽略不计）．如图所示：
目 录
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方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度
，拱高
．其中，点G 在x 轴上，
，
．
方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度
，拱高
．其中，点G 在x 轴上，
，
．
方案一中，矩形框架
的面积记为
，点A，D 在抛物线上，边
在
上；方案二中，矩形框架
的面积记为
，点
，
在抛物线上，边
在
上．
根据以上提供的相关信息，下列选项中错误的是（ ）
A．图1 解析式：
B．图2 解析式：
C．
D．
【答案】C
【分析】运用待定系数法求解即可判断A，B 选项，把
分别代入两个解析式，进而求得
的长，
进而判断C，D 选项，即可求解．
【详解】解：由题意得，
，
，
设解析式为：
，
代入
得：
，
解得：
，
∴方案一抛物线的函数表达式为：
，故A 正确，
由题意得，
，
，
设解析式为：
，
代入
得：
，
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解得：
，
，故B 正确，
把
代入
得：
，
解得：
，
∴
，
∴
，故C 错误
把
代入
得：
，
解得：
，
∴
∴
，故D 正确
题型模版
1.特征：把拱桥轮廓抽象为抛物线，已知跨度、拱高等条件求解析式或判断船只、车辆能否通过．
2.方法：建立合适坐标系，设抛物线解析式；利用关键点坐标求参数；将实际问题转化为求函数值或最值，
注意单位与实际意义．
变式1-1 综合与实践
【问题背景】浙江台州神仙居景区内有两座著名的景观桥——如意桥与圆梦桥．
如意桥由“鸟巢”设计师何云昌团队设计，两侧下沉的为主拱，两侧上升的为副拱，整体造型宛如一柄悬
空的玉如意．主拱和副拱轮廓近似抛物线．
综合实践小组的同学研究这两座桥的对称美学时发现：将如意桥主拱抽象为一条抛物线绕某点旋转
，
得到的抛物线可以用来模拟如意桥的副拱．这种中心对称变换在桥梁设计中既能满足力学要求，又能形成
和谐的视觉平衡．
【模型建立】
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(1)如图1，实践小组记主拱所在抛物线为
，副拱所在抛物线为
，以它们的对称中心为原点
建立平面
直角坐标系，它们的交点所在直线为
轴，即
和
关于原点中心对称．通过测量得知
和
的顶点间距
离为32 米，
和
的左右交点
、
间距离为
米，则
的顶点
的坐标为（
____），左交点
的
坐标为（____
），抛物线
的解析式为________，抛物线
的解析式为________；
【模型应用】
(2)实践小组参考如意桥的对称美，设计了一座新的桥梁，主拱
不变的情况下，改成两条关于
轴对称的
副拱
和
，如图2，
和
所在抛物线关于点
对称，且
恰好经过
的顶点
，请
求出左副拱
所在抛物线的解析式；
(3)在（2）的条件下，为了提高安全性，小组拟增加一段斜拉索
，所在直线为
，如图3，要求
斜拉索
和每一个主副拱至少要有一个连接点，即直线
至少要与
，
和
各有一个交点，求
出
的取值范围．
【答案】(1)16，
，
，
(2)
(3)
【分析】（1）由题意和对称性质即可求出顶点坐标和交点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线
，
的
解析式；
（2）由
和
所在抛物线关于点
对称可得
和
，再将
代入解析式即可得解；
（3）先确定直线
与
交于最高点时
，由此确定此时直线
与
必有交点，最后再确
定
和直线
有交点时
，进而即可得解．
【详解】（1）解：∵
和
的顶点间距离为32 米，
和
的左右交点
、
间距离为
米，
顶点在
轴上，
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∴
即
，
即
，
设抛物线
的解析式为
，
∴
，解得
，
∴抛物线
的解析式为
，
∵
和
关于原点中心对称，
∴抛物线
的顶点坐标为
，
∴可设抛物线
的解析式为
，
∴
，解得
，
∴抛物线
的解析式为
，
（2）解：设
所在抛物线为
和
所在抛物线关于点
对称，
，
且
的顶点
和
顶点
也关于点
对称，
即
，
恰好经过
的顶点
，
，即
，
解得
，
在
轴左侧，
，
所在抛物线为
；
（3）解：观察图3 可知，
和直线
至少要有一个交点，
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直线
与
最高可交于点
，
和直线
的交点坐标满足方程组，
，
消
得
，即
，
当
时，
，
，
当
时，
和直线
必有交点，
和直线
的交点坐标满足方程组，
，
消
得
，即
，
，解得
，
的取值范围为
．
变式1-2 阅读下列素材，并完成任务：
背景
中国的石拱桥，是刻在大地上的诗行，每一道弧线都是古人写给山河的情诗．
素材1
已知河面上的拱桥形状为抛物线，在正常水位时，水位线
与拱桥最高点的
距离为3 米，水位线
宽为6 米．
素材2
如图1，现有一艘长为10 米，宽
米的货船（可近似看成长方体）正从拱
桥下方通过，露出水面的横截面为长方形
，
米．（假设船体货物接
触到拱桥时，可以通过拱桥）
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素材3
船行走时一般不会导致水位的变化．
(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出拱桥所在抛物线的函数表达式．
(2)如图2，如果
上方的货物横截面为
，
，
米，请通过计算判断此时小船能
否通过拱桥？若不能，请说明理由，若能，求出水面上升高度最多不能超过多少米？
(3)船面
上方装有如图3 所示的货物（可近似看成直五棱柱），横截面为五边形
，其中
，
，且E、A、B 共线，F、D、C 共线，已知当同一种货物的体积每增加50 立方米时，船会下沉0.1
米，请求出最多能装多少体积的货物？
【答案】(1)以
的中点为原点建立平面直角坐标系：
∵水位线
与拱桥最高点的距离为3 米，
米，
∴抛物线的顶点为
，
，
，
设抛物线解析式为
，
将
代入得：
，解得：
，
∴抛物线解析式为
．
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(2)能通过拱桥，水面上升高度最多不能超过
米
(3)
【分析】（1）根据题意作出对应的平面直角坐标系，再结合图象和已知条件利用待定系数法即可求出结果；
（2）根据已知条件结合图象作出船只通过拱桥的临界点，通过计算得出临界点的坐标，再与
比较得出
结果；要使水面上升后船能正常通过拱桥，则点A 和点E 需恰好在抛物线上，设
，则
，将点
代入抛物线解析式求出t 的值，从而得出最终结果；
（3）通过设未知数结合图象求出五边形的面积，再得出货物的体积，根据题意列出列出方程即可得出最终
结果．
【详解】（1）略
（2）解：由题意知，如图，
令
，则
，
解得：
，
，
∴
，
，
∵
米，
∴
，
令
，则
，
∴
,
∵
，
∴能通过拱桥，
要使水面上升后船能正常通过拱桥，则点A 和点E 需恰好在抛物线上，
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如图，设
，则
，
将点
代入抛物线得：
，
解得：
，
∴
，
∴水面上升高度最多不能超过
（米）．
（3）解：如图，当船未装货物时，点G 位于抛物线的顶点，即
，设
与y 轴交点H，
∵
米，
∴
，
，
令
，则
，
∴
，
设船会下沉x 米，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵同一种货物的体积每增加50 立方米时，船会下沉0.1 米，
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∴
，
解得：
，
∴
．
变式1-3 综合与实践
问题背景：二连跨拱形仓库采用抛物线形拱顶设计，为双跨一体式结构，内部无立柱，空间开阔．采光通
风良好，坚固耐用，可适配各类仓储场景．其纵切面如图1 所示．
建立模型：如图2，
表示水平直线（地面），
，
表示立柱，且
，
均垂直于
，过点A 的
竖直直线与
交于点O，此时构成拱顶的两段抛物线
和
、立柱
和
均关于直线
对称．以O
为原点，水平直线
为x 轴，
所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系（单位长度为
）．
测量数据：
，跨度
，拱顶最高点距离地面
的高度为
．
(1)求抛物线
的函数表达式，并直接写出抛物线
的函数表达式．
问题解决：储物箱纵切面为矩形，长为
，高为
．以
为对称轴向两侧摆放一排储物箱，为保障
存放安全，相邻两列储物箱之间的距离均为
．
(2)若每列放置两个储物箱，请计算最右侧储物箱的右上顶点M 与抛物线
在竖直方向上的距离．
(3)根据安全要求，储物箱上表面任意一点到拱顶的竖直距离不得小于
，请问：在保证安全的前提下，
这一排最多可以放置多少个这样的储物箱？请直接写出结果．
【答案】(1)抛物线
的函数表达式为
；抛物线
的函数表达式为
(2)
(3)28 个
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【分析】（1）运用待定系数法可求出抛物线
的函数表达式为
，根据对称性可得出抛物
线
的函数表达式为
；
（2）设y 轴右侧可以摆放m 列储物箱，根据题意列不等式求解即可；
（3）由（2）知，右边仓库可放4 列储物箱，求出每列数量分别为3，4，4，3，共14 个，同理可求左边仓
库也可放14 个，共计可放28 个．
【详解】
（1）解：由题意，得抛物线
的对称轴为直线
，拱顶最高点距离地面
的高度为
，
∴抛物线
的顶点坐标为
；
设抛物线
的函数表达式为
，
由题意得，点A 的坐标为
，且点A 在抛物线
上，
∴
，
解得
∴抛物线
的函数表达式为
，
由对称得抛物线
的函数表达式为
；
（2）解：设y 轴右侧可以摆放m 列储物箱，由题意,得
，
解得
，
∵m 为正整数，且取最大值，
∴
，
此时点M 的横坐标为
，
将
代入
，
得
，
∴点M 与抛物线
在竖直方向上的距离为
；
（3）解：由（2）知，右边仓库可放4 列储物箱，
由题意得，第一列储物箱离
的距离为
，
当
时，
，
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（个）余1.08 米，
同理可求第二列4 个，
根据对称性，第三列4，第四列3 个，
所以，这个仓库可摆放
（个），
同样左边的仓库也可摆放14 个储物箱，
共计可摆放
（个）储物箱．
题型2、二次函数实物建模--投球、喷水问题
典例2 某课外实践小组用
模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图
所示．跳弹在空
中飞行的高度
与水平距离
之间的关系如图
所示．飞机在距水面垂直高度为
的
处投放跳弹，跳弹
与水面接触于点
开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为
，
，
，与水面分别接触于点
，点
．
（演示过程在同一平面内，
其他因素忽略不计）
(1)已知点
与点
所在直线
的表达式为
，分别求出
，
两点的坐标；
(2)若水面上
处有一个高为
（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽
的暗礁，抛物线
在
时距水面最高，请判断跳弹沿路径
运动时能否避开障碍物和暗礁；
(3)在
的条件下，若跳弹从水面上点
弹起后，沿路径
撞击对方目标截面
处时，启动跳弹内部回弹
装置，避开暗礁沿直线
加速飞向水面，接触水面后沿直线
撞向目标，该过程始终保持
．且目标露出水面的垂直高度
，点
的坐标
，打击点
距水面的距离为
，
且
，求抛物线
中
的取值范围．
【答案】(1)
，
；
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(2)能避开障碍物和暗礁；
(3)
．
【分析】
将
，代入
，求得
的坐标，将
，代入
，即可求得
的
坐标；
先根据对称轴为
得出
，代入
求得
，得出
，分别计算
和
的函数值，结合题意，即可求解；
设
，根据已知得出
，将
代入
，得出
，将
代入，得出
，进而解不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：∵飞机在距水面垂直高度为
的
处投放跳弹，直线
的表达式为
，
∴当
时，
，
解得：
，
∴
，
∵
，
当
时，
，
解得：
，
，
∴
；
（2）解：∵
，抛物线
在
时距水面最高，
∴
，
解得：
，
∴
，
∵
过点
，
∴当
时，
，
解得：
，
∴
，
当
时，
，
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解得：
，
，
∴
，
∵水面上
处有一个高为
（宽忽略不计）的障碍物，
∴当
时，
，
∵
，
∴跳弹能避开障碍物，
∵暗礁的一个截面宽
，
，
∴
，
∴当
时，
，
∵
，
∴跳弹能避开暗礁，
综上所述，跳弹沿路径
运动时能避开障碍物和暗礁；
（3）解：∵点
的坐标
，
设
，
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵要避开暗礁，
∴
，
∴
，即
，
∵
过点
，
当
时，
，即
，
∴当
时，
，
，
即
，
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∵
，
∴
，
解得：
．
题型模版
1.特征：物体运动或喷水轨迹为抛物线，涉及最大高度、射程、落点等实际量．
2.方法：建立坐标系，用顶点式或一般式建模；根据起点、顶点、落点等条件求解析式；通过顶点或解方程
回答高度、距离问题．
变式2-1 （25-26 八年级下·福建莆田·期末）“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定
距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投
壶者所站位置为原点，地面为
轴，
为1 个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点
的
运动路径可看作抛物线
的一部分，点
从点
处出手
，矩形
为壶，
，
，
．
(1)如图1，
，若点
为抛物线的顶点，
，且抛物线经过点
．
①求抛物线的解析式；
②竖直提高点
的出手位置（点
），使点
落在
上（不含边界），求
的取值范围．
(2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点
处到达最高点．若点
经过点
正上方
处，求出点
在点
正上方的距离（用含
的式子表示）．
【答案】(1)①
②
(2)
【分析】（1）①运用待定系数法求解即可；②根据函数值求自变量的值即可；
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（2）根据题意得到抛物线解析式为
，抛物线过点
，则
，
抛物线解析式为
，且抛物线过
，
，当
时，代入计
算即可．
【详解】（1）解：①
，
为顶点，
则抛物线
，
∵过点
代入得：
，
∴
，
抛物线解析式为
；
②解：抛物线经过点
时，
，
，
抛物线经过点
时，
，
，
当
时，点
落在
上．
（2）解：
顶点
，
抛物线解析式为
，
抛物线过点
，
，
，
，且抛物线过
，
，
，
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当
时，
，
，
点
在点
正上方
处．
变式2-2 （25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．科
学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为
（单位：
），如果在离水面竖直距离为
（单位：
）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离） （单
位：
）与
的关系式为
．
应用思考：现用高度为
的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满
水，在离水面竖直距离
处开一个小孔．
(1)写出
与
的关系式；并求出当
为何值时，射程有最大值，最大射程是多少？
(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为
，要使两孔射出水的射程相同，求
之
间的关系式；
(3)如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加
，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．
【答案】(1)
，当
时，射程最远为
；
(2)
或
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(3)垫高的高度为
，小孔离水面的竖直距离为
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出二次函数的解析式，是解题的关键：
（1）把
代入函数关系式，即可得出
与
的关系式，利用二次函数求最值即可；
（2）根据两孔射出水的射程相同，得到
，利用因式分解变形即可得出答案；
（3）设垫高的高度为
，列出函数关系式，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵
，
∴当
时，
，
∵
，
∴当
时，函数值最大为900，
∴的最大值为
；
故当
时，射程最远为
；
（2）由（1）知：
，
由题意，得
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
或
，
∴
或
；
（3）设垫高的高度为
，由题意，得
，
∴当
时，
最大为
，此时最大为
，
∴
，
∴
，
答：垫高的高度为
，小孔离水面的竖直距离为
．
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变式2-3 随着“湖北省城市足球联赛”（简称“楚超”）的开赛，点燃了大家对足球的热情，如图是某场球
赛中的截面示意图，进攻球员甲位于点
处起脚射门，防守球员乙位于点
，
的延长线与球门线交于点
且点
，
均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知球门离O 点的水平距离为
，
球门的高度为
，足球距离点
的水平距离
（单位：m）与离地高度
（单位：m）的部分数据如下
表：
水平距离
…
6
9
12
15
…
离地高度
…
3.6
4.5
4.8
4.5
…
以点
为坐标原点，直线
为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)根据表中数据预测，足球飞行过程中，离地最大高度
_____m，并直接写出
关于
的函数解析式_____；
(2)若乙不防守，甲的这次射门是否成功？
(3)当乙位于足球正下方，足球离地高度不大于乙的最大防守高度
时，乙可以防守成功．若乙距离点
水平距离
时，是否可以防守成功，如果不可以，乙需要向球门方向至少移动多少米，才能防守成功？
【答案】(1)
，
；
(2)若乙不防守，甲的这次射门成功；
(3)乙防守不成功，乙需要向球门方向至少移动
才能防守成功．
【分析】（1）根据表中的数据，先求出对称轴，再根据数据得到离地最大高度即可；设函数解析式为
，代入数据，求解即可；
（2）根据题意，将
代入函数解析式，求得函数值，与
进行比较，即可求解；
（3）根据题意，将
代入函数解析式，求得函数值，与
进行比较，即可判定是否防守成功，然后
将
代入函数解析式，求得
，即可求解．
【详解】（1）解：根据表中数据，当
和
时，离地高度
，
可知对称轴为
，
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根据表中数据，当
时，离地高度
，则离地最大高度
m；
设
关于
的函数解析式为
，
由题意可得，顶点为
，
则
，
将
代入函数解析式可得，
，解得
，
则解析式为
；
（2）解：根据题意可得，将
代入函数解析式
，可得
，
∵
，
∴若乙不防守，甲的这次射门成功；
（3）解：根据题意，将
代入函数解析式
，可得，
，
∵
，
∴乙防守不成功，
将
代入
可得
，
解得
或
，
根据题意可得，
舍去，
，即乙需要向球门方向至少移动
才能防守成功．
答：乙防守不成功，乙需要向球门方向至少移动
才能防守成功．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，能够将实际问题转化为二次函数的模
型，来进行求解．
变式2-4 （25-26 九年级上·浙江杭州·期中）某广场设有观赏性音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向
随音乐变化而上下移动，不同高度的喷头喷出的水呈抛物线型（或其中一部分），但形状相同，水柱离地面
的最高高度也相同，水都落在喷水管的同侧．当喷头在地面上时，其抛物线水柱如图1，水落地点离喷水口
的距离
米，水柱最高点离地面3 米；当喷头升高时，水柱形状如图2，
为喷水管，B 为落水点，
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记
的长为喷泉跨度．
(1)在图1 中，以O 为原点，
所在直线为
轴建立平面直角坐标系，求出该抛物线的函数表达式；
(2)若喷水管
最高可升到
米，求出喷泉跨度
的最小值；
(3)如图3，安全通道
在线段
上，无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入
上方的矩形区域，则
称这个矩形区域为安全区域．若该安全区域的宽
为
米，为了保证安全，进入该通道的人最高身高为
多少？（精确到
米）
【答案】(1)
(2)喷泉跨度
的最小值为3
(3)能够进入该安全通道的人的最大身高为
米
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数图象的不同特点设出相关函数解析式是解题的关键．
（1）抛物线过原点，可设抛物线解析式为：
，易得抛物线的顶点坐标为
，抛物线经
过（
，把这两点代入可得抛物线的解析式；
（2）两个抛物线的形状相同，则二次项的系数相同，抛物线的最高高度相同，那么两个抛物线顶点的纵坐
标也相等，设抛物线解析式为顶点式，当喷水管
最高时，
的值最小，把
代入抛物线解析式
可得抛物线的解析式，进而求解；
（3）设点
的坐标为
，则点
的坐标为
，根据点
在过点
的抛物线上，点
在过点
的
抛物线上，求得纵坐标相等时
的值，代入过点
的抛物线可得纵坐标的值，即为能够进入该安全通道的
人的最大身高．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为：
，如图，
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∵抛物线经过点
和
，
∴抛物线的对称轴是直线
，
∵水柱最高点离地面
，
∴抛物线的顶点坐标为：
，
∴
，
解得：
，
∴抛物线的函数表达式为：
；
（2）解：以
为原点，
所在直线为
轴，建立平面直角坐标系，如图，
∵不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，形状相同，最高高度也相同，
∴图3 中抛物线的顶点的坐标可设为：
，
∴抛物线解析式为：
，
∵喷水管
最高时，
的值最小，
∴抛物线经过点
，即
，
∴
，
解得：
（负值舍去），
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∴
，
当
时，
，
解得：
（负值舍去），
∴
；
答：喷泉跨度
的最小值为3；
（3）解：设点
的坐标为
，则点
的坐标为
，
由题意可知：点
在抛物线
上，点
在抛物线
上，
则
，
∴
，
，
，
，
解得：
，
∴
．
答：能够进入该安全通道的人的最大身高为
米．
变式2-5 问题背景：某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水
滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水
滴距离地面的竖直高度为y（单位：m），水平距离为x（单位：m），建立如图1 所示的平面直角坐标系．
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信息1：通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为t（单位：s）时的多组数据，其中
几组数据如下：
时间
0
0.10
0.20
0.30
水平距离
0
0.10
0.20
0.30
竖直线高度
0.80
0.75
0.60
0.35
信息2：小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离x 与时间t 的关系为
（v 为水滴离开出水点时
的速度，单位
）
根据以上信息，解决下列问题：
(1)v 的值是______；
(2)水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过多长时间？
(3)将如图2 所示的一个高为
，直径为
的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N 在图1 所示的x
轴上，且
．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），水喷出后运动路径的形状不变，
要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f 的取值范围为____________
．
【答案】(1)1；
(2)
；
(3)
．
【分析】（1）依据题意，由水平距离x 与时间t 的关系为
，结合表格中的数据求解即可；
（2）依据题意，利用待定系数法求出对应的抛物线解析式，再求出
时，x 的值，然后根据时间
距离
速度，即可得到答案；
（3）设平移后的抛物线解析式为
，由题意得，当
时，
，当
时，
，
分别求出
的值，最后下结论即可．
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【详解】（1）解：由题意得，
；
（2）解：设抛物线解析式为
，
由表格得
，
解得
，
∴抛物线解析式为
，
当
时，
解得
或
（舍去），
∴水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过
；
（3）解：设平移后的抛物线解析式为
，
∵一个高为
，直径为
的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N 在图1 所示的x 轴上，且
，
∴当水落在花盆最左边时，
，此时
，解得
；
当水落在花盆最右边时，
时，
，解得
；
∴要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f 的取值范围为
．
变式2-6 综合与实践
某公园计划建造一座“彩虹门”喷泉景观．喷泉由两侧对称的水柱组成，水柱呈抛物线形，在最高点相遇
形成完整的“彩虹门”．公园设计团队需要对喷泉进行精确设计．
任务一：建立模型
(1)如图1，设计团队测得喷泉场地宽度
米，在A，B 处各安装一个喷水装置，将出水口高度
，
都设为
米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点C 处相遇，组成
一条完整的抛物线形“彩虹门”，且点C 到地面的距离为
米．以线段
所在的直线为x 轴，
的垂直
平分线为y 轴建立平面直角坐标系，请求出“彩虹门”喷泉中抛物线的表达式（不要求写出自变量的取值范
围）；
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任务二：游客通道设计
(2)如图2，设计团队计划在“彩虹门”下方地面上建造一条与
垂直的笔直游客通道，并在游客通道上绘
制7 条平行的地面标志线（宽度忽略不计），每两条标志线之间间距相等，为了避免游客被淋湿，团队需要
在
所在直线与标志线交点处安装挡雨伞，伞的顶端离地面的距离保持3 米．为保证“彩虹门”的水柱不
被破坏，要求最外侧挡雨伞顶端与水柱间的垂直高度为
米．请你求出每相邻两条标志线的间距应为多
少米；
任务三：灯光设计
(3)设计团队通过进一步分析发现，为使下一次“彩虹门”的设计更具创意．首先将两个喷水装置同时向外
侧移动m 米（在
所在直线上），此时两个水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动1 米，如图3，接
着在两个喷水装置的外侧各安装一盏射灯（在
所在直线上左右对称安装），每盏射灯与同侧喷水装置底
端的水平距离均为n 米（左右相同），射灯射出的光线与地面的夹角为
且两条光线相交于一点，若光线
与水柱之间的最小距离为
米，求m，n 的值．
【答案】(1)抛物线解析式为
；
(2)每相邻两条标志线的间距为
米；
(3)
，
【分析】（1）根据已知条件，抛物线顶点在
，且经过
，利用顶点式求解解析式；
（2）根据挡雨伞顶端的高度和与水柱的垂直高度，求出水柱在该点的高度，代入解析式求出横坐标，再根
据7 条标志线的间距相等，计算间距；
（3）根据喷水装置移动后的位置和顶点移动的情况，设出新的抛物线解析式，利用交点向下移动1 米的条
件求出
的值；再根据射灯的位置和光线的夹角，求出光线的解析式，通过抛物线上的点与直线上对应点
的坐标差求出最小距离，进而求出
的值．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线顶点为
，
设抛物线解析式为
，
将
代入得，
解得
，
∴抛物线解析式为
；
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（2）解：由题意，挡雨伞顶端离地面3 米，最外侧挡雨伞顶端与水柱的垂直高度为
米，
水柱在该位置的纵坐标为
，
将
代入抛物线解析式得：
解得
，
最外侧挡雨伞的水平位置为
米，
∵7 条标志线将
到
的距离平均分为6 段，
∴每段间距为
（米），
∴每相邻两条标志线的间距为
米；
（3）解：过点
作
于点
，如图，
由题意，左侧新抛物线顶点E 为
，形状不变，
∴设解析式为
，
当
时，
，
交点向下移动1 米，
解得
（舍去负值），
此时，左侧抛物线解析式为
，
∴点A 为
，
∴点C 为
，
∵光线与地面夹角为
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
∴
，
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∴点D 为
，
设
的解析式为
，
将点C、D 代入得，
，
解得
，
∴
的解析式为
，
在左侧抛物线上任取一点
，则
，
在直线
上取点
正上方的点
，
∴
，
，
∴
，
又∵
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
，
∴
，
∴
随
的增大而增大，
，
∵
，
∴开口向上，
当
时，纵坐标之差最小，为
，
解得
．
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综上所述，
，
．
变式2-7 （25-26 九年级上·浙江宁波·期末）如图1 是某款正在研发的无人机的一个操作按钮，当输入不
同的a，b，c 数值时，无人机会沿着
对应的图象飞行．
(1)输入a，b，c 的值，使得无人机飞行的轨迹是一条以
为起点，过点
的射线．你输入的值是：
______，
______，
______．
(2)某次无人机按钮输入一组数，
，
，
．
①求无人机飞行的最大高度；
②如图2 是一个建筑物，它的主视图可以看成由3 个矩形拼成的图形，其中
，
，
，
，建筑物一侧
距离飞行起点的水平距离为
，若要求无人机飞行过程
中距离建筑物示意图的顶点E、F、G、H 的水平距离不少于
，竖直距离不少于
，按钮设置的这条曲
线符合条件吗？请通过计算作出判断并说明理由．
【答案】(1)
，
，
(2)①无人机飞行的最大高度为
；
②按钮设置的这条曲线符合条件，理由：
由题可得，在平面直角坐标系中，点
，
，
而点E 与点F，点G 与点H 均关于抛物线的对称轴直线
对称．
所以只需验证点E，G 即可．
当
时，
，
，
当
时，
，
，
．
当
时，
，
，
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而点G 到抛物线的水平距离大于
长，即大于5．
所以按钮设置的这条曲线符合条件．
【分析】（1）根据题意
，再利用待定系数法求解即可；
（2）①化成顶点式，利用二次函数的性质即可求解；
②求得点E 与点F，点G 与点H 均关于抛物线的对称轴直线
对称，只需验证点E，G 即可．
【详解】（1）解：∵无人机飞行的轨迹是一条射线，
∴
，则解析式为
，
∵以
为起点，且过点
，
∴
，
解得
，
故答案为：
，
，
；
（2）解：①当
，
，
时，
则
，
当
时，无人机飞行的最大高度为
；
②略
题型3、二次函数营销问题
典例3 受疫情影响，去年1 至7 月，某进口
奶粉的进价一路直线攀升，每罐
奶粉的进价
与月份
（
，且
为整数）之间的函数关系式如下表：
月份
1
2
3
4
5
6
7
（元/
千克）
230
240
250
260
270
280
290
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去年下半年，随着我国对一些国家进出口关税的调整，该奶粉的进价涨势趋缓，在8 至12 月份每罐
奶粉
的进价
与月份
（
，且
为整数）之间存在如右上图所示的变化趋势．
(1)请根据表格和图象，写出
与
和
与
的函数表达式；
(2)某超市去年
奶粉的售价为每罐360 元，且销售该奶粉每月必须支出（除进价外）的固定支出为4000 元，
已知该奶粉在1 月至7 月的销量
（罐）与月份
满足：
；8 月至12 月的销量
（罐）与月
份
满足：
；则该奶粉在去年第几月销售所获得的利润最大？并求出该月的最大利润；
(3)今年1 月到4 月，受国内外疫情的影响，该进口奶粉的进价再次上涨，每罐进价均比去年12 月的进价上
涨15 元，且每月的固定支出（除进价外）也均增加了15%．已知该奶粉的售价在去年的基础上提高了
，与此同时每月的销量均在去年12 月的基础上减少了
，若超市今年1 至4 月的销售总
利润为122000 元，试求出
的值．
（
取整数值）
（参考数据：
，
，
，
）
【答案】(1)
（
，且
为整数），
（
，且为整数）
(2)在第3 月时，可获最大利润32300．
(3)
【分析】（1）根据每月增加10 千克可知
与x 是一次函数关系，设
，利用待定系数法求一次函
数解析式解答即可；设
然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）设利润为W 元，然后分①当
时，根据总利润每千克的利润销量列式整理，再根据二次函数
的最值问题解答；②当
时，根据总利润每千克的利润销量列式整理，再根据二次函数的增减性
求出最大值；
（3）根据4 个月的总利润每罐的销售利润销售量固定支出列出方程，然后设
，换元后解一元
二次方程即可得解．
【详解】（1）解：设
，当
时，
，当
时，
，
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则
，
解得
，
∴
（
，且为整数），
设
，
∵函数图象经过点
，
∴
，
解得
，
∴
（
，且为整数），
（2）解：设利润为
，
当
时，
，
∵
，
当
时，
有最大值32300，
当
时，
．
，又
，
随增大而减小，
时，
有最大值，
．
在第3 月时，可获最大利润32300．
（3）解：根据题意可得
，
令
，原方程化为
．
整理得
，
．
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解得：
，
．
，
（舍）．
．
题型模版
1.特征：售价、销量、利润之间的关系可用二次函数表示，求最大利润或最优定价．
2.方法：根据题意写出销量与售价的关系、利润函数；化为二次函数顶点式求最值；结合实际约束确定最优
方案．
变式3-1 （24-25 九年级上·浙江温州·期中）某企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，甲产品
的利润
与投资金额成正比；乙产品的利润
与投资金额成二次函数关系，其关系如图：其中点
、、
的坐标分别为
，
，
．
(1)分别求出甲，乙两种产品的利润与投资之间的关系式；
(2)若该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入多少资金才能使企业获利；
(3)该企业准备筹集万元投入甲，乙两种产品的生产，且该企业计划两种产品最小利润不低于资金额的
，
那么该企业至少要筹集到多少资金？
【答案】(1)
；
(2)该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入超过12 万元资金才能使企业获利
(3)该企业至少要筹集到80 万元资金
【分析】本题考查了正比例函数、二次函数的应用；
（1）由待定系数法即可求解；
（2）当
时，解方程
，即可求解；
（3）设该企业准备筹集万元投入乙两种产品的生产，则投入甲种产品的资金为
万元，设总利润为
万元，进而求得
，根据二次函数的性质，即可求解．
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【详解】（1）解：由题意，设甲产品的利润为：
，
∵
在函数图象上，
∴
，解得：
，
∴甲产品的利润与投资之间的关系式为
；
设乙产品的利润
与投资金额的函数关系为：
将
代入得，
解得：
∴
，
（2）当
时，
，
解得：
．
∴该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入超过
万元资金才能使企业获利；
（3）设该企业准备筹集万元投入乙两种产品的生产，则投入甲种产品的资金为
万元，设总利润为
万元，
∴
函数y 的对称轴为直线
，
当
时，
，
∴
，
解得：
，
答：该企业至少要筹集到80 万元资金．
变式3-2 某手工饺子馆主打特色鲜肉饺子，日均销量：
，售价：
元
，原料成本：肉馅30 元
，
饺子皮5 元
．
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(1)若每千克饺子的原料成本为17.5 元，求每千克饺子中肉馅和饺子皮的含量分别为多少千克？
(2)为进一步提升利润，饺子馆计划调整（1）问中求出的肉馅比例以优化口感．经市场调研发现：在售价不
变的情况下，每千克饺子的肉馅含量每增加
（同时饺子皮含量相应减少
），单日销量可增加
，
为保障饺子成型度，每千克饺子中饺子皮的含量不得少于
．请问当每千克饺子的肉馅含量增加多少
千克时，单日销售利润最大（不计其它成本）？最大单日销售利润为多少元？
【答案】(1)
每千克饺子中肉馅含量为
，饺子皮含量为
(2)
当每千克饺子的肉馅含量增加
时，单日销售利润最大，最大单日销售利润为
元
【分析】（1）根据每千克饺子总重量为
和原料总成本为
元，列二元一次方程组求解即可；
（2）设每千克饺子的肉馅含量增加千克，单日销售利润为
元，根据题意表示出单日总销量和每千克利
润，得到总利润的二次函数表达式，结合自变量取值范围，利用二次函数性质求解最大值即可；
【详解】（1） 解：设每千克饺子中肉馅含量为千克，饺子皮含量为
千克，
根据题意列方程组得
，
解得
，
答：每千克饺子中肉馅含量为
，饺子皮含量为
；
（2）解：设每千克饺子的肉馅含量增加千克，单日销售利润为
元，
由题意得，饺子皮含量为
千克，单日总销量为
千克，
每千克饺子的成本为
，每千克利润为
元，
根据饺子皮含量要求得
，
解得
，
结合实际得
，
总利润
，整理得
，
，二次函数开口向下，对称轴为
，
又
，对称轴在自变量取值范围右侧，
当
时，
取得最大值，代入计算得
，
答：当每千克饺子的肉馅含量增加
时，单日销售利润最大，最大单日销售利润为
元．
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变式3-3 （25-26 九年级上·山东淄博·期末）函数是中学数学中最基本、最重要的内容之一．某数学兴趣
小组在学习函数内容时，受到启发．开展了名为“利润最优”的数学建模探究．探究过程如下：
【问题提出】
经调查．桓台某酒店有200 间客房．经过一段时间的市场调研，小组得到一些数据：以一天为单位，如果
每间客房定价为600 元．住房率为
；每间客房定价为500 元．住房率为65%；每间客房定价为400 元，
住房率为75%；每间客房定价为300 元，住房率为85%．欲使每天收入最高，问每间客房的定价应为多少？
【模型假设】
为了便于建立酒店的收入模型，特作如下假设：
假设一：在无其他信息时，不妨假设每间客房的最高定价为600 元；
假设二：根据小组提供的数据，设随着房价的下降，住房率呈线性增长（即下降的房价与增长的住房率为
一次函数关系）；
假设三：酒店每间客房定价相等．
根据题意，设酒店一天的总收入为
元，而为与600 元相比降低的房价．
【模型建立与求解】
（1）的取值范围为_____；
（2）求（与600 元相比降低的房价）与
（酒店一天的总收入）的函数关系式；
（3）求该酒店以一天为单位的最大收入．
【模型反思】
当定价为513 元/间时，其收入为65356.2．这实际上是不可能实现的．因为入住房间数必须为整数，而模型
中计算的入住房间数（
）可能为小数，所以该模型与实际情况存在误差．
【答案】（1）
（2）
（3）66125 元
【分析】本题主要考查了函数模型的实际应用；
（1）根据已知求出住房率与房价降低量的函数关系，再根据每间客房的最高定价以及房价下降的情况来
确定的取值范围即可；
（2）住房率与房价降低量的函数关系，再结合总收入=客房数×住房率×（定价-降低房价），即可求解；
（3）根据二次函数的性质，通过配方或公式法求出函数的最大值，即可求解．
【详解】解：（1）设住房率与降低的房价的函数关系式为
，
当
时，
，即
，可得
，
当
时，
，即
，解得
，
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∴住房率与降低的房价的函数关系式为
，
∵
，解得
，
故答案为：
；
（2）∵酒店有200 间客房，每间客房定价为600 元，降低的房价为元，则实际定价为
元，住房
率为
，
∴
，
，
，
∴与
的函数关系式为
；
（3）对于二次函数
，
∵
，
，
，
∴
，
把
代入函数
中，可得
，
∴该酒店以一天为单位的最大收入为66125 元．
题型4、二次函数其它实际应用问题
典例4 （25-26 八年级上·浙江宁波·期中）综合与实践
如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．
条件：观众进场立即排队安检，任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数；
条件：若该演出场地最多可开放条安检通道，平均每条通道每分钟可安检人．
若该演出前
分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数
与安检时间之间满足关系式：
．
结合上述信息，请完成下述问题：
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(1)当开通条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为___________，排队人数
与安检时间的函
数关系式为___________
(2)在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
(3)已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始
分钟内（包含
分钟）减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？
【答案】(1)
，
；
(2)排队人数在第
分钟达到最大值，最大人数是
人
(3)开通条通道
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是根据排队人数现场总人数已入场人数，得
到二次函数的解析式．
根据平均每条通道每分钟可安检人，开通条安检通道时，安检时间
分钟时，已入场人数为
人；
根据排队人数现场总人数已入场人数，可得函数关系式；
把
整理成顶点坐标式，可得：
，根据二次函数的性质即可求出结
果；
设开通了
条安检通道，可得：
，可知二次函数的对称轴为
，根据
主办方的要求，可知
，求出
的取值范围，再根据实际情况确定
的值．
【详解】（1）解：
平均每条通道每分钟可安检人，
开通条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为
人；
排队人数现场总人数已入场人数，
；
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故答案为：
，
；
（2）解：把
整理成顶点坐标式，
可得：
，
当
时，
达到最大值，最大值是
，
答：排队人数在第
分钟达到最大值，最大人数是
人；
（3）解：设开通了
条安检通道，
根据题意可得：
，
整理得：
，
对称轴为
，
排队人数在安检开始
分钟内（包含
分钟）减少，
，
解得：
，
最多可以开通条通道，
，
尽量少安排安检通道，以节省开支，
其中
为整数且
，
取
，
最少开设条安检通道．
题型模版
1.特征：面积、周长、产量、增长率等其它实际问题可抽象为二次函数模型．
2.方法：分析问题中的变量关系，建立函数模型；利用二次函数性质求最值或特定值；解释结果的实际意义
并检验合理性．
变式4-1 （25-26 九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务．
素材1
生活中常见的炒菜锅，其锅和
锅盖可近似地看作抛物线面，
经过锅心和盖心的纵断面是
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两段抛物线组合而成的封闭
图形．
素材2
某学校食堂有一口炒菜锅（如
图），其锅口直径
为
，
锅深
为
，锅盖
高
（锅口直径与锅盖直径
相同）．
问题解决
任务1
确定锅和锅盖纵断面的形状
以
为坐标原点建立平面直角坐标
系，求锅和锅盖纵断面抛物线的表
达式．
任务2
探索水面的直径
当烹饪时锅内的水位高度是
时，求此时水面的直径．
任务3
判断锅盖能否盖上
若将一个底面直径为
，高度为
的圆柱形器皿（不计壁厚）
放入炒菜锅内蒸食物，试判断锅盖
能否正常盖上？并说明理由．
【答案】任务1：
，
；任务2：
；任务3：不能正常盖上；
理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐
标特征等，注意数形结合思想在解题中的应用.
任务1：已知
、
、
、
四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式；
任务2：烹饪时锅内的水位高度是
，即
，列方程求得x 的值即可得答案；
任务3：底面直径为
、高度为
圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当
时，
、
中的
值的
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差与
比较大小，从而可得答案．
【详解】任务1：解：如图，
设锅和锅盖纵断面抛物线分别为
、
由于抛物线
、
都过点
、
，
设
、
的解析式为：
，
；
抛物线
还经过
，
则有：
，
解得：
，
即：抛物线
；
抛物线
还经过
，
则有：
，
解得：
，
即：抛物线
，
∴锅和锅盖纵断面抛物线的表达式分别为：
，
．
任务2：解：当烹饪时锅内的水位高度是
时，则
，
∴
，
解得：
，
∴此时水面的直径为
．
任务3：解：锅盖不能正常盖上，理由如下：
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当
时，抛物线
，
抛物线
，
而
，
∴锅盖不能正常盖上．
变式4-2 （24-25 九年级上·浙江台州·期末）综合实践小组研究某个篮球自由落地和反弹现象．
实验探索：该小组把该篮球从不同的高度放开，让其自由落下，测量其落地后反弹的高度，得到数据如下
表：
试次
第1
次
第2
次
第3
次
第4
次
第5
次
下落高度
80
90
100
110
120
反弹高度
40
45
50
56
60
任务1：请选择适当的函数模型描述该篮球反弹高度与下落高度之间的关系，设出变量，求出函数解析式；
解决问题：该小组进一步提出研究篮球各次反弹的最高点出现的时间间隔规律，经查阅资料发现，篮球第
一次从高度为
（单位：
）处落下到达地面的运动过程中，其高度
（单位：
）与运动时间（单位：
s）的函数关系是
，其中为重力加速度．第一次自由下落及以后每次反弹再落地的过程中，篮
球离地高度都是运动时间的二次函数，且它们的二次项系数相同．
任务2：根据任务1 中发现的规律，求篮球从高为
（单位：
）处下落到第一次反弹到最高点所用的时间
（用只含已知量
，
的式子表示）；
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任务3：篮球从
处下落，的值取
．当篮球反弹高度小于
时，下次不再反弹．直接写出
篮球反弹的总次数，并用式子表示篮球从第次反弹最高点运动到第
次反弹最高点间隔的时间（用只
含反弹次数的式子表示）．
【答案】任务：
；任务：所用时间是
；任务：篮球从第次反弹最高点运动到
第
次反弹最高点间隔的时间为
【分析】任务：由表格可知该篮球反弹高度与下落高度之间的关系满足一次函数关系，再利用待定系数法
求解析式即可；
任务：当
时和
时，求出的值即可；
任务：根据规律求出第次反弹到最高点的时间和第
次反弹到最高点的时间即可；
本题考查了一次函数和二次函数的应用，二次根式的运算，找规律，掌握函数的性质及应用是解题的关键．
【详解】解：任务：设下落高度为，反弹高度为
，
由表格可知该篮球反弹高度与下落高度之间的关系满足一次函数关系，
设
，
当
，
；
，
时，
，
得
，
∴函数解析式为
；
任务：当
时，
，
∴
，
当
时，
，
∴
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∴所用时间是
；
任务：由
，
则反弹次，
最开始从最高点到落地的时间
，
第次反弹到最高点的时间
，
第次反弹到最高点的时间
，
第
次反弹到最高点的时间
，
∴篮球从第次反弹最高点运动到第
次反弹最高点间隔的时间为
．
变式4-3 根据以下素材，探索完成任务．
如何制定大棚间作方案？
素
材
1
通过分垄交替种植农作物的方
法叫大棚分垄间作，分垄间作通
过减少光能浪费、作物间的互补
作用来提高产量.如图1 是一个
长
米，宽
米的大棚，如图2，
每一垄的宽度叫作垄宽，木薯垄
与花生垄垄宽比为
，两种作
物交替（垄与垄之间没有空隙）
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布满整个大棚．
素
材
2
经调查，大棚分垄间作时，木薯
的单位产量基本稳定在素
，花生的单位产量y
（
）与垄宽x（m）有近似
的二次函数关系如图3 所示. 种
植时，要求花生单位产量不低于
．
问题解决
任
务
1
确定函数关系
求花生单位产量y 关于花生垄宽x 的函数表达式．
任
务
2
探究垄宽范围
根据要求，分别计算木薯垄和花生垄的垄宽范围．
任
务
3
拟定分垄方案
请你结合评价标准设计一种符合要求的分垄方案，填写木薯垄、花
生垄的数量及产量之和．
花生垄个数： ；
木薯垄个数： ；
产量之和：
．
【答案】任务1：
；
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任务2：木薯垄宽范围为大于等于
米，小于等于
米；
任务3：设木薯垄垄宽为
米，则花生垄垄宽为
米，一个木薯垄与一个花生垄垄宽和
米，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴共3 种方案：
方案一：花生6 垄，木薯6 垄，此时
，
，
，
此时花生垄宽
，总产量为
，这是良好方案；
方案二：花生5 垄，木薯6 垄，此时
，
，
，
此时花生垄宽
，总产量为
，这是优秀方案；
方案三：花生6 垄，木薯5 垄，此时
，
，
，
此时花生垄宽
，总产量
，这是合格方案．
【分析】任务1：用待定系数法可得花生单位产量y 关于花生垄宽x 的函数表达式；
任务2：当
时，得
，
，故要使
，需满足
，即可得花生垄宽范围和木薯
垄宽范围；
任务3：设木薯垄垄宽为
米，则花生垄垄宽为
米，一个木薯垄与一个花生垄垄宽和
米，结合任务2
可知
，由
，
，可知有3 种方案，即可得到答案．
【详解】解：任务1：设
，
把
，
，
代入得，
解得
∴花生单位产量y 关于花生垄宽x 的函数表达式：
，
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任务2：当
时，
，
解得
，
，
∴要使
，需满足
，
∴
，即花生垄宽范围为大于等于
米，小于等于2 米，
那么木薯垄宽范围为大于等于
米，小于等于
米；
任务3：略
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能将实际问题转化为数学问题求解．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
21．（25-26 九年级上·浙江湖州·期末）有一艘船在海上自西向东匀速行驶的过程中（如图1），在某一时
刻观测到了一座灯塔，10 分钟后测得灯塔位于船的北偏东
方向处，已知该灯塔的可视范围为20 海里．经
过持续测量船只与灯塔之间距离d（海里），发现
与船行路程x（海里）之间满足二次函数的数量关系（如
图2），其中最低点为点B，以下说法正确的是（ ）
A．
B．点
在函数图象上
C．船行速度为25 海里/小时
D．船只可以观测到灯塔的持续时间可达2 小时
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质与判定，由点A
的坐标和点B 的坐标可得这艘船初始位置与灯塔的距离为20 海里，当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯
塔的距离为12 海里，利用勾股定理即可判断A；当
时，设此时这艘船的位置用点F 表示，连接
，
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则
海里，利用勾股定理求出
即可判断B；求出航行10 分钟时这艘船的路程，即可判断C；根
据对称性可求出这艘船航行32 海里后，船只不可以观测到灯塔，据此可判断D．
【详解】解：∵
在该函数图象上，
∴当
时，
，即
或
（舍去）；
∴当
时，这艘船与灯塔的距离为20 海里，即这艘船初始位置与灯塔的距离为20 海里，
∵二次函数的最低点B 的坐标为
，
∴这艘船航行距离为m 海里时，该船与灯塔的距离最近，且为
海里，
∴当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯塔的距离为12 海里，
如图所示，设灯塔的位置用点E 表示，船的初始位置用点O 表示，
过点E 作船行进路线所在的直线的垂线，垂足为H，则
海里，
海里，
∴由勾股定理得
，即
，故A 说法错误；
当
时，设此时这艘船的位置用点F 表示，连接
，则
海里，
∴
海里，
∴
，
∴点
在函数图象上，故B 说法正确；
设10 分钟后这艘船的位置用G 点表示，连接
，则
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
海里，
∴
海里，
∴船行速度为
海里/小时，故C 说法错误；
由点B 的坐标可知，对称轴为直线
，
∴由对称性可知点
在函数图象上，
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∴这艘船航行32 海里后，船只不可以观测到灯塔，
∴船只可以观测到灯塔的持续时间可达
小时，故D 说法错误；
故选：B．
22．（24-25 九年级上·浙江舟山·期中）图1 是一个瓷碗，图2 是其截面图，碗体
呈抛物线状（碗体
厚度不计），碗口宽
，此时面汤最大深度
．如图3，把瓷碗绕点
缓缓倾斜倒出部分面
汤，当
时停止，此时碗中液体最大深度为________．
【答案】
/
厘米
【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、勾股定理，以
为原点，点
所在直线为轴，直
线
为
轴，建立平面直角坐标系，则点
的坐标为
，则抛物线的表达式为
，由题意得出
，求出抛物线的解析式为
，由题意得出旋转前
与水平方向夹角为
，设直线
的解析
式为
，待定系数法求出直线
的解析式为
，把直线
向下平移
个单位可得：
，
当
与抛物线
有1 个交点时，两直线之间的距离为最大深度，记平移后的直线与
轴交于
点
，过作
平移后的直线于
，再利用勾股定理即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是
解此题的关键．
【详解】解：如图，以
为原点，点
所在水平直线为轴，直线
为
轴，建立平面直角坐标系，记
与
轴的交点为，
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则点
的坐标为
，则抛物线的表达式为
，
∵碗口宽
，此时面汤最大深度
，
∴
，
将
代入抛物线解析式得
，
解得：
，
∴抛物线的解析式为
，
∵把瓷碗绕点B 缓缓倾斜倒出部分面汤，当
时停止，
∴旋转前
与水平方向夹角为
，
设直线
的解析式为
，
将
代入解析式得
，
解得
，
∴直线
的解析式为
，
当
时，
，
∴
，
把直线
向下平移
个单位可得：
，
当
与抛物线
有1 个交点时，两直线之间的距离为最大深度，
∴
，即
，
∴
，
解得：
，
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∴平移后的直线为：
，
如图，记平移后的直线与
轴交于点
，过作
平移后的直线于
，
同理可得：
，
，
∴
，
，
∴碗中液体最大深度为
．
故答案为：
．
23．（25-26 八年级下·福建福州·期末）某城市建设调研小组发现，广州部分公交站台的遮阳棚在风雨天
气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构．以下为该小组调研报
告的部分记录，请认真阅读，并解决问题．
发现问
题确定
目标
遮阳棚抗风加固
公交车安全停靠
模型抽
象与图
形表示
遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线
的一部分如图2 所示．
公交车停靠示意图如图3 所示（忽
略公交车车顶的实际弧度、空调装
置等微小起伏，假设车厢顶部在车
辆全长范围内是完全平坦且水平
的．）
条件与
规范整
理
如图4 当风力较大时，需在棚内侧安装钢
架
（
为线段）加固，且在棚顶与
钢架
之间安装一根垂直钢架
（
在棚顶，
在
上，
轴）．
车身完全覆盖要求：
公交车需完全停入遮阳棚下方，即
车辆整体（包括车厢最高点）均位
于遮阳棚的横向覆盖范围内．
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垂直安全间隙要求：
车厢最高点与棚顶之间需保持一
定的安全间隙，以避免因车辆振
动、风载或路面不平等因素发生碰
撞．
实测数
据采集
棚顶最高点
到地面距离为4 米，棚顶与
立柱交点
到地面距离为2 米，、两
点水平距离为12 米．
已知车身长约8 米，公交车车厢最
高点距地面约
米，车身宽度与
站台停靠都匹配，不考虑宽度影
响．
问题解决：
(1)如图2，以地面为轴，过点
的竖直直线为
轴建立平面直角坐标系，求抛物线
的解析式：
(2)如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方；
(3)如图4，根据安全规范，垂直钢架的长度不低于
米．请问钢架加固后遮阳棚是否存在安全隐患或遮挡不
足的问题．
【答案】(1)
(2)解：当
时，
，
解得
或
（舍去）
∵
，且
，
∴该公交车能够完全停入遮阳棚正下方；
(3)钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患或遮挡不足的问题
【分析】（1）建立平面直角坐标系，确定点的坐标，然后利用待定系数法求解；
（2）当
时，求出点的横坐标，然后根据车身长度进行比较即可；
（3）求出直线
的解析式，设
，则
，得出
的最大值，然后根据临界
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点求值进行判断．
【详解】（1）解：根据题意得，
，抛物线顶点坐标为
，
假设抛物线
解析式为
，
将
代入解析式得，
，
解得
，
∴抛物线
解析式为
；
（2）解：略；
（3）解：设
的解析式为
，
将
，
代入解析式得，
，
解得
，
∴
的解析式为
，
设
，则
，
∴
，
∵
，
∴当
时，
的最大值为
，
∴钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患，
当
时，
，
解得
，
∵
，
∴不存在遮挡不足问题
∴钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患或遮挡不足的问题．
24．综合与实践
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【问题情境】
小明热爱数学与建筑，梦想长大后成为一名建筑设计师．他想以抛物线为创作灵感，运用绘图软件设计一
个造型别致又富有数学美感的创意建筑——山岚之眼（图1）．请你帮他一起设计，解决相关问题．
【建立模型】
整座建筑分为上下两部分，上部是一条抛物线的造型，其最高点
到水平地面的距离为
，左右两端
，
两点到水平地面的距离均为
，且两点相距
．
如图2，以水平地面所在直线为轴，垂直于水平地面且经过左端
点的直线为
轴，建立平面直角坐标系．
(1)求建筑上部抛物线造型对应的函数表达式；
【问题解决】
(2)将建筑上部的抛物线造型沿直线
折叠得到一条新的抛物线，其与水平地面交于
，
两点（点
在点
的左侧）．抛物线在水平地面之上的部分与线段
共同组成了建筑的下部．
①求线段
的长；
②小明带着这份设计方案虚心请教了相关老师，老师建议增设两根竖直的圆柱形装饰杆
，
（
在
的左侧），其中点
，在建筑的上部，点
，在建筑的下部．小明只记得两根装饰杆的高度均为
，
却忘记了它们的具体位置，请你直接写出点
，
的坐标．
【答案】(1)
(2)①线段
的长为
；②
，
【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可；
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（2）①先求出抛物线的解析式为：
，然后求出
，
，
再求出
的长度即可；
②先判断圆柱形装饰杆应该安装在点D 的左边，点E 的右侧，然后根据函数解析式得出
，求出x 的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
，
，
设抛物线的解析式为：
，把
代入得：
，
解得：
，
∴抛物线的解析式为：
；
（2）解：①根据题意得：抛物线的顶点坐标为：
，
设抛物线的解析式为：
，把
代入得：
，
∴抛物线的解析式为：
，
把
代入得：
，
解得：
，
，
∵点
在点
的左侧，
∴
，
，
∴
；
②把
代入
得：
，
∵
，
∴圆柱形装饰杆应该安装在点D 的左边，点E 的右侧，
∴
，
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解得：
，
，
把
代入
得：
，
把
代入
得：
，
∴
，
．
25．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点
处的正上方，假设每次发出的乒乓球
的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点
的水平距离为（米），与桌面
的高度为
（米），运行时间为（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：
（秒）
0
0.16
0.2
0.4
0.6
0.64
0.8
…
（米）
0
0.4
0.5
1
1.5
1.6
2
…
（米）
0.25
0.378
0.4
0.45
0.4
0.378
0.25
…
(1)探究与，
与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．求出关于的函数解析式和
关于
的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）
(2)求发出的乒乓球经过多少秒落在桌面上？
(3)球网高度为0.14 米，球桌长（
）米，若乒乓球弹起后，其运动路线仍是抛物线且与原抛物线形状
相同，若球弹起后在最高点击球，球沿直线擦网而过扣杀到原点，直接写出乒乓球落在桌面上弹起后的抛
物线顶点的横坐标．
【答案】(1)
，
(2) 秒
(3)
【分析】（1）观察表格数据，与的比值恒为2.5，故关于为一次函数．
与的数据关于
对称，
顶点为
，故
关于为二次函数，用顶点式求解．
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（2）令
求出乒乓球落在桌面上时与端点
的水平距离，再由
求出时间．
（3）形状相同"即二次项系数
不变．设弹起后抛物线顶点为
，击球路线为过原点
和球网
上端中点
的直线，由此得与的关系．再利用抛物线过落地点
列方程求．
【详解】（1）解：由表格数据可知，
，
关于的函数解析式为
．
由表格数据可知，
关于的函数图象关于直线
对称，顶点为
，
可设
，
将
代入
，
得
，
解得：
，
关于的函数解析式为
．
（2）解：当
时，
，
，
，
解得
，
（舍去），
乒乓球落在桌面上时，与端点
的水平距离为2.5 米．
，
，
，
发出的乒乓球经过秒落在桌面上．
（3）解：
弹起后抛物线与原抛物线形状相同，
二次项系数为
．
设弹起后抛物线的顶点坐标为
，
则
．
球在最高点（即顶点处）击球，沿直线擦网而过扣杀到原点
，
扣杀路线为过点
和
的直线．
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设直线解析式为
，
将
代入，得
，
解得
，
扣杀路线为
．
顶点
在直线
上，
．
由（2）知乒乓球落在桌面上时的坐标为
，
将
代入
，
得
，
解得：
，
球从
处弹起后向原点方向运动，顶点横坐标应满足
，
（舍去），
，符合题意，
乒乓球落在桌面上弹起后的抛物线顶点的横坐标为
．
26．某校数学小组开展以“10 米跳台跳水路线”为主题的综合实践活动．
研究背景：跳水路线所在的平面与水面垂直，且不考虑空气阻力．
建立方法： 以水面所在直线为x 轴，跳台最前端点A 垂直水面的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标
系．
收集信息：①某次训练中运动员的重心相对于水面的高度
与水平距离
的对应值如下表：
水平距离
0
1
1.1
1.2
1.5
…
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高度
10
10
9.78
9.52
8.5
…
②数学小组借助计算机画图软件，发现此次跳水路线是抛物线
的一部分．
③运动员起跳后达到最高点时的重心相对水面的高度为
且
．从达到最高点开始计时，他的重心
相对水面的高度
与时间
之间满足
．
建立模型
(1)求y 与x 的函数解析式（不要求写自变量取值范围）；
应用模型
(2)从达到最高点开始计时，求他的重心相对水面的高度为
所用的时间；
(3)运动员进行第二次跳水训练，此次他的重心相对于水面的高度
与水平距离
的关系为
．若他从达到最高点开始，至他的重心入水前需要
完成某个动作，求n 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据表格中的数据及抛物线
，将
，
代入抛物线的解析式即可；
（2）首先，将
转化为顶点式，得到当
时，
，进而得到
，再由
，
得到
，解得
，
，(舍去)，即可得出答案；
（3）根据题意得到
，可知当
时，
，进而得
，再由当
时，
，得到
，当
时，
，
得
，综上，即可得出结论．
【详解】（1）解：将
，
代入
，得
，解得
．
与的函数解析式是
；
（2）解：
，
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，
抛物线开口向下，
当
时，
．
．
当
时，
，解得
，
，(舍去)
他的重心相对水面的高度为
所用的时间是
；
（3）解：
，
，
当
时，
．
．
当
时，
，
，
当
时，
，
．
∴n 的取值范围为
．
27．某蔬菜大棚的横截面如图1 所示，顶棚呈抛物线形，两侧保温墙面
，
与地面垂直，且
米，
米，宽度
米，顶棚最高点到墙面
的水平距离为4 米．左侧人行道
米，蔬菜种植区
米．以
为原点，
所在直线为
轴，建立平面直角坐标系．
(1)求顶棚所在抛物线的解析式．
(2)如图2，喷灌喷头
安装在顶棚最高点下方0.5 米处，当水压一定时，喷头喷出的水流呈形状相同的抛物
线形，且
为水流所在抛物线的顶点．
①当水压最小时，水流左、右端分别落在地面上的点
，
处．求
的长．
②当水压最大时，水流右端恰好落在地面上的点
处，左端落在保温墙面
上的点
处，故需要在保温
墙面上做防水处理，求需要做防水处理区域的高度（线段
的长）．
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【答案】(1)
(2)①米；②需要做防水处理区域的高度为2.5 米
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①设水压最小时，水流所在抛物线的解析式为
．利用待定系数法求出
．令
，则
，解方程即可得到答案；②设水压最大时，水流所
在抛物线的解析式为
．待定系数法求出
．令
即可求出答案．
【详解】（1）解：由题意，得
，
，顶棚所在抛物线的顶点的横坐标为4．
故可设顶棚所在抛物线的解析式为
．
将
，
分别代入
，
得
解得
顶棚所在抛物线的解析式为
．
（2）解：①
抛物线
的顶点坐标为
，
．
故可设水压最小时，水流所在抛物线的解析式为
．
将
代入，得
，
解得
，
．
令
，则
，
解得
，
，
（米）．
②设水压最大时，水流所在抛物线的解析式为
．
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将
代入，得
，解得
，
．
令
，则
，
米，即需要做防水处理区域的高度为2.5 米．
28．项目式学习以解决实际问题为核心，结合二次函数知识，聚焦城市绿化灌溉中的精准设计问题，开展
实践探究．
项目主题：合理设计，智慧泉源——基于城市绿化灌溉的数学实践探究
项目背景：为响应“绿色城市”建设号召，洒水车作为城市绿化灌溉的核心设备，承担着道路清扫、降温
除尘、浇灌绿化带的重要职责，直接影响绿化带存活与城市风貌．如图1，如何科学把控洒水车行驶路线与
绿化带的距离，确保喷出的水能浇灌到整个绿化带、实现高效节水，是提升城市管理精细化水平的重要课
题．数学小组成员结合所学二次函数知识，围绕这一实际问题，开展了“合理设计 智慧泉源”为主题的项
目式学习．
任务一：测量建模
为精准分析洒水范围、解决“浇灌全覆盖”的核心问题，小组成员建立如图2 所示的平面直角坐标系，将
洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象．已知喷水口
离地面的竖直高度为
米，上
边缘拋物线的最高点
离喷水口的水平距离为2 米，且高出喷水口
米．
(1)求上边缘拋物线的函数解析式；
任务二：推理分析
经过进一步实践探究，小组成员发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状保持不变（即
抛物线的开口方向和开口大小不变），下边缘抛物线可由上边缘抛物线向左平移得到．为判断浇灌效果，将
绿化带横截面抽象为矩形
，其水平宽度
米，竖直高度
米，洒水车到绿化带的水平距
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离
为
米．
(2)求下边缘抛物线与轴交点
的坐标；
(3)若
米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
解：洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由如下，
当
米时，
米，
当
时，
，
∵
，
∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带．
【分析】（1）根据题意得到
，抛物线过点
，运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意，设上边缘抛物线向左平移，且抛物线过点
，代入计算得到平移后的解析式，再令
，
解一元二次方程即可求解；
（3）根据题意，当
米时，
米，把
代入上边缘抛物线计算出高度，再与绿化带横截面的
比较即可求解．
【详解】（1）解：喷水口
离地面的竖直高度为
米，上边缘拋物线的最高点
离喷水口的水平距离为
2 米，且高出喷水口
米，
∴
，抛物线过点
，
∴设抛物线解析式为
，
∴
，
解得，
，
∴抛物线的解析式为
；
（2）解：∵下边缘抛物线可由上边缘抛物线向左平移得到，
∴设上边缘抛物线向左平移，
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∴平移后的抛物线解析式为：
，
把
代入得，
，
整理得，
，
解得，
（舍去），
，
∴平移后的解析式为
，
令
时，
，
整理得，
，
解得，
（舍去），
，
∴
；
（3）略
29．综合与实践
【项目背景】点茶是中国古代的一种沏茶方法，始于唐，盛于宋，是宋代斗茶与文人雅士日常品饮的核心
沏茶技艺，其中“分茶”更是将沏茶升华为兼具实用性与观赏性的艺术．茶艺师复刻“分茶”技艺时，倒
茶的水流轨迹、茶壶壶嘴造型、茶碗的移动与承接，看似是行云流水的技艺展现，实则暗藏着丰富的数学
规律．
【项目准备】
模型抽象：在一次茶会上，我们将茶艺师表演“分茶”技艺时倒茶的情景抽象为如图所示的数学模型．已
知茶壶壶嘴由线段
与曲线
组成，壶口为点C，曲线
与茶水轨迹
在同一条抛物线上；点B、C
所在直线与x 轴（桌面）平行，茶碗边沿点E 与壶口C 的连线垂直于x 轴．
核心条件：
①
，
；
②壶柄与竖直方向夹角为
，
，线段AB 与壶柄平行；
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③茶碗的底面直径为
，碗口直径为
，高度为
，茶碗的侧内壁剖面图可以抽象为二次函数的部分
图象，茶碗底部中心初始坐标为
，茶碗碗口中心F 与底部中心的连线垂直于桌面；
④当点A 相对桌面的高度
时，点A 的横坐标为0，抛物线水流恰好经过F 点，且抛物线的顶点在
线段的垂直平分线上．
【项目任务】
(1)任务一：求曲线BC 所在抛物线的解析式；
(2)任务二：点茶时，前期调膏要低注慢淋，避免冲散茶末，因此要求茶艺师在前期注水时水流距离茶碗壁
的竖直高度不得超过
．判断此次倒茶过程中，水流距离茶碗壁的竖直高度是否符合要求；
(3)任务三：若为了节目效果，茶碗盛水后会匀速上浮，上浮速度为
，同时沿x 轴正方向以
的速
度平移．茶艺师手持茶壶竖直向上平移（横坐标不变），平移高度为
，平移后茶水轨迹为原抛物线竖直
平移后的图形．设茶碗移动时间为
，当茶水轨迹经过茶碗上沿点E 处时，分茶效果最佳，因此
要求茶水落点始终在茶碗边沿E，求h 与t 的函数关系式，并求出当
时，点A 距离桌面的高度．
【答案】(1)
(2)符合要求，
(3)
，当
时，
，此时A 距离桌面的高度为
．
【分析】（1）根据题意得到
和
，求出对称轴为
，求出
，将
和
代入，即可得到答案；
（2）由题意可知，
，
，求出EG解析式为
，得到
，
求出对称轴为
，即可得到答案；
（3）平移后的解析式为
，
，将
代入平移后抛物线解析
式，即可得到答案．
【详解】（1）解：
，
，
，线段AB 与壶柄平行，
的水平增量为
，竖直增量为
，
，
，
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，
中点横坐标为
，对称轴为
，
，
底面直径为
，碗口直径为
，高度为
，
，
设抛物线解析式为
，
将
和
代入，
，
解得
，
；
（2）解：由题意可知，
，
，
故茶碗内壁侧面抛物线EG 解析式为
．
，
对称轴为
，且
．
当
时，
，故符合要求；
（3）解：平移后的解析式为
，
，
将
代入平移后抛物线解析式为
，
得
，
当
时，
，此时A 距离桌面的高度为
．
30．跳跳球是小朋友很喜爱的一项活动．抛掷后的跳跳球与地面接触，会在空中近似的形成一组抛物线的
运动路径．小星在公园玩跳跳球，跳跳球在空中飞行的高度
与水平距离之间的关系如图所示．跳跳球第
一次与地面接触于点
，运动路径近似为抛物线
，且
：
，跳跳球在地面上弹起后第二次
与地面接触于点
，运动路径近似为抛物线
，且
：
．
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(1)如图，跳跳球第一次与地面接触前，当水平距离为
米时，小球达到最大高度
米，若点
坐标为
，
求抛物线
的表达式；
(2)在（1）的条件下，若
，在水平地面上有一个截面宽
米，高
米的矩形
的障碍物，
点
的坐标为
，判断此时跳跳球沿抛物线
运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
(3)小星在抛掷跳跳球时，若
的顶点在一个正方形
区域内（包括边界），第一次接触地面弹起后恰
好越过截面宽
米，高
米的矩形
的障碍物，点
的坐标为
，且第二次与地面接触
点
在
和
之间（包括这两点），其中
，
，
，直接写出的取值范围．
（在
抛掷过程中正方形与抛物线
在同一平面内）
【答案】(1)
(2)解：此时跳跳球沿抛物线
运动时不能越过障碍物，理由如下：
，
可得
，
∵点
的坐标为
米，高
米，
，
将
代入
得
，
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∴跳跳球不能越过障碍物；
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先得到
，然后求出
，然后将
代入求解判断即可；
（3）首先求出第一次与地面接触点
在
和，
之间（包括这两点），根据正方形的性质可得
，
然后由
越小开口越大，
越大开口越小，进而可得当抛物线顶点为点M，且经过点
时，开口最大，
此时a 最大，当抛物线顶点为点P，且经过点
时，开口最小，此时a 最小，然后分别利用待定系数法
求解即可．
【详解】（1）解：∵当水平距离为
米时，小球达到最大高度
米，
∴设
∵点
坐标为
∴
∴
∴抛物线
的表达式为
；
（2）略
（3）解：∵点
的坐标为
，
米，
∴
，
∵
∴
，
∵第二次与地面接触点
在
和，
之间（包括这两点）
，
代入
得，
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解得：
∴
∴对称轴为直线
，
设
坐标为
，则
，解得：
，
则
对应的点为
，
代入
得，
解得：
∴
∴对称轴为直线
，
设
坐标为
，则
，解得：
，
则
对应的点为
∴第一次与地面接触点
在
和，
之间（包括这两点）
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∵正方形
，
∴
∴如图所示，
∵抛物线开口向下
∴
∵
越小开口越大，
越大开口越小，点
在
和，
之间（包括这两点）
∴由图象可得，当抛物线顶点为点
，且经过点
时，开口最大，此时
最小，取得最大值，
∴设
的表达式为
将
代入得，
解得
；
∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点
时，开口最小，此时
最大，取得最小值，
∴设
的表达式为
将
代入得，
解得
；
∴的取值范围为
．
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31．某企业计划生产一种新型电子产品，进行自产自销，已知企业受人力、物力等各种因素影响，每月生
产数量不超过10 万件．经测算发现，每件生产成本y（元）与生产数量x（万件）满足某种函数关系，如下
表所示：
生产数量x
（万件）
…
1
3
4
7
…
每件生产成
本y（元）
…
9
8
7.5
6
…
企业决定将产品采取抖音销售和门店销售两种方式同时进行，保证每月生产的产品当月销售完，且抖音和
门店销售产品的数量按
分配销售．
抖音销售：售价12.5 元/件；
门店销售：根据销售经验，当售价每件降价2 元，销售数量将增加1 万件，当企业以16.5 元/件的销售单价
出售时，可以销售1 万件．
(1)判断每件生产成本y（元）与生产数量x（万件）的函数关系，并求出表达式；
(2)设门店的售价为m 元，则m 与x 的关系式为________________：
(3)你设计一种生产方案，使得每月销售完产品获得的收益最大，最大收益是多少？
【答案】(1)
一次函数，表达式为
(2)
(3)
生产6 万件时每月收益最大，最大收益为22.5 万元
【分析】 （1）观察表格数据可知y 随x 均匀变化，符合一次函数特征，用待定系数法即可求出函数表达式；
（2）根据门店销售量与降价幅度的关系，结合门店销售量为
，整理推导即可得到m 与x 的关系式；
（3） 分别表示出抖音销售额、门店销售额，相加后减去总成本得到总收益关于x 的二次函数，利用二次
函数的性质即可求出最大值，结合x 的取值范围得到生产方案.
【详解】（1）解：观察表格数据，y 随x 的增加均匀减少，符合一次函数关系，
设
，
将
代入得 { k + b = 9
3k + b = 8，
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解得{k = −0.5
b = 9.5 ，
验证：当
时，
，当
时，
，符合表格数据，
又每月生产数量不超过10 万件，
∴函数表达式为
；
（2）解：由题意，抖音和门店销售数量比为
，生产x 万件全部售出，故门店销售量为
万件；
由题意，得
，
整理，得
；
（3） 解：设每月总收益为w 万元，生产数量为x 万件，
，
∵抖音和门店销售数量比为
，
∴抖音销量为
万件，门店销售量为
万件，
由题意得
，
由
可知，
是关于的二次函数且开口向下，且
，
∴当
时，
最大，最大值为22.5 万元，
答：生产6 万件时，每月销售完产品获得的收益最大，最大收益是22.5 万元；
32．（25-26 九年级上·天津河东·期末）某生物科技发展公司投资5000 万元，研制出一种绿色保健食品．已
知该种绿色保健食品的成本为300 元/件，试销时，售价不低于成本价，又不高于800 元/件．经市场调查，
获得年销售量
（万件）与销售单价（元/件）的关系符合一次函数关系式
．请根据相关信
息，回答下列问题：
(1)销售单价的取值范围为_____；
(2)经测算：该种绿色保健食品年销售量不低于20 万件时，每件成本降低100 元，设销售该种绿色保健食品
年获利润为
（万元）（年获利润为
年销售额成本投资）．
①当年销售量为20 万件时，销售单价为_____元，每件成本为_____元，此时的年获利润为_____万元；
②填表：
销售单价（元/件）
．．．
400
500
550
600
650
700
．．．
年获利润
（万元）
．．．
—
2200
2700
3000
1300
—
．．．
③求出年销售量低于20 万件和不低于20 万件时，
与之间的函数关系式．
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【答案】(1)
(2)①600，200，3000； ②600，1400；③年销售量低于20 万件时，
；
年销售量不低于20 万件时，
【分析】本题考查用一次函数解决销售利润问题，理解题意是解题的关键．
（1）根据“售价不低于成本价，又不高于800 元/件”即可解答；
（2）①将
代入
求出，根据“年销售量不低于20 万件时，每件成本降低100 元”算
出成本，再由
计算得出答案；
②当
和
时，分别求出
值与20 比较，确定成本，再根据年获利润公式计算即可解答；
③由
值确定成本及取值范围，再根据年获利润公式计算即可解答．
【详解】
（1）解：根据“售价不低于成本价，又不高于800 元/件”可得销售单价的取值范围为
；
（2）解：①将
代入
得
，解得
，
由“年销售量不低于20 万件时，每件成本降低100 元”得每件成本为
（元），
当
时，
；
②当
时，
，则
，
当
时，
，则
；
③由①知
时
，根据
得y 随x 的增大而减小，
∴当
时，
，此时每件成本为300 元．
∴
，
，
当
时，
，此时每件成本为200 元．
∴
，
．
综上所述，年销售量低于20 万件时，
；年销售量不低于20 万件时，
．
33．（2025·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计
出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面
，起跳点
与落地点的距离为
．
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数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人
在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O 为原点，
所在直线为x 轴，过点O 与
所在水平地
面垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．
（1）请直接写出顶点N 的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．
（2）如图1，若仿青蛙机器人从点O 正上方的点P 处起跳，落地点为Q，点P 的坐标为
，点Q 在x
轴的正半轴上．求起跳点P 与落地点Q 的水平距离
的长；
（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于
，
才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形
，其中
，
．仿青蛙机器人从距离
左侧
处的地面起跳，发现不能安全通过
该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请
直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平
面内）．
【答案】（1）
，
；（2）起跳点P 与落地点Q 的水平距离
的长为
；（3）
【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）根据起跳点与落地点的距离为
，得到对称轴为直线
，根据运动路线的最高点距地面
，
得到顶点纵坐标为
，写出顶点坐标，列出顶点式，把
代入，求出函数解析式即可；
（2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令
，求出的值，进而求出
的
长即可；
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（3）设该平台的高度为
，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：
，根据仿
青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点
，代入求解即可；
【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线
，顶点纵坐标为
，
∴顶点坐标为
，
设抛物线的函数解析式为：
，
∵图象过原点，
∴
，解：
，
∴
；
（2）∵抛物线的形状不变，点
，
故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75 个单位长度，得到的，
∴新的抛物线的解析式为：
，
当
时，
，
解得：
，
（舍去）；
故起跳点P 与落地点Q 的水平距离
的长为
；
（3）设该平台的高度为
，由题意，设新的函数解析式为：
，
∵
，仿青蛙机器人从距离
左侧
处的地面起跳，
由题意，仿青蛙机器人经过
正上方
处，即抛物线经过点
，即：
，
∴把
代入
，得：
，解得：
；
故设该平台的高度为
．
34．根据以下素材，探索完成任务．
如何设置“绿波带”？
素材1：某市为新路段设置“绿波带”，车辆驶入绿波带后，若以一定速度行驶，到达下个路口时会遇到绿
灯，可节约能源．如图，
，两路口停车线之间距离为
米，两个交通信号灯的绿灯持续时间均为秒，
处绿灯亮起
秒后
处绿灯第一次亮起．
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素材2：第1 辆车的车头与停车线平齐，后面相邻两车的车头相距米，绿灯亮起时第一辆车立即启动，后
面每一辆车在前一辆车启动秒后再启动．车辆启动后，先加速，到一定速度后匀速行驶．在加速阶段，汽
车的速度
与时间
的关系如下表所示，行驶路程
与速度、时间的关系满足
．
（秒）
0
1
2
3
4
…
（米/秒）
0
3
6
9
12
…
素材3：
路口车流量显示：绿灯持续时间应少于
秒（为整数），每一次绿灯一个车道内能通过的等
候车辆数为
辆（车头超过停车线即为通过），且每辆车加速通过
路口．
任务1：用含的代数式表示，并求关于的函数表达式：
任务2：求第
辆车从启动到车头到达停车线的时间以及绿灯持续时间的值．
任务3：
路口绿灯亮起后，第一辆车的匀速车速处于什么范围时，可在
路口绿灯第一次亮起期间通过停
车线？
【答案】任务1：
，
；任务2：第
辆车从启动到车头到达停车线的时间为
秒，绿灯持
续时间的值为24；任务3：当
米/秒时，可在
路口绿灯第一次亮起期间通过停车线
【分析】任务１：根据题意可知
，代入
进行计算即可；
任务2：
，求出的值，再计算总时间即可；
任务3：设加速阶段时用为秒，则匀速阶段速度为
米/秒，令
，以及
，分别求解即可求出．
【详解】任务1：解：由表格可知，
，
∴
．
任务2：解：
，
∴加速时间
秒（
），
∵为整数，
，
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∴总时间为
秒
秒，
∴
，
∴第
辆车从启动到车头到达停车线的时间为
秒，绿灯持续时间的值为24．
任务3：解：由题意，第一辆车启动至到达
绿灯所需时间满足
秒
设加速阶段用时为秒，则匀速阶段速度为
米/秒
令
，
解得：
（舍去），
，
∴匀速阶段速度为
米/秒
令
，
解得：
（舍去），
∴匀速阶段速度为
米/秒
∴当
米/秒时，可在
路口绿灯第一次亮起期间通过停车线．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的求解，根据题意列出方程是解题的关键．
35．（2025·浙江·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务．
乒乓球发球机的运动路线
素
材
一
如图1，某乒乓球台面是矩形，长为
，宽为
，球网高度为
．乒
乓球发球机的出球口在桌面中线端点
正上方
的点
处．
素
材
二
假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度
关于运动的水平距离
的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点
水平距离为
的点
处达到最高高度，此时距桌面的高度为
，乒乓球落在桌面的点
处．以
为
原点，桌面中线所在直线为轴，建立如图2 所示的平面直角坐标系．
素
材
三
如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点
的水平距离为
的点
处达到
最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为
．
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问题解决
任
务
一
研究乒
乓球的
飞行轨
迹
（1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达
式（不要求写出自变量的取值范围）．
任
务
二
击球点
的确定
（2）当
时，运动员小亮想在点
处把球沿直线擦网击打到点
，
他能不能实现？请说明理由．
任
务
三
击球点
的距离
（3）若
，且弹起后球飞行的高度在离桌面
至
时，小
亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围．
【答案】任务一：
；
任务二：不能实现，理由如下：
由题意得，击球点
，设球网上方点
的坐标为
，
则设直线
解析式为：
，
则
解得：
，
∴直线
解析式为
，
当
时，
，
所以不能实现；
任务三：
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，正确理解题意， 建立函数模型是解题的关键．
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任务一：利用待定系数法即可求解；
任务二：由题意得，击球点
，设球网上方点
的坐标为
，可求直线
解析式为
，
当
时，
，故不能实现；
任务三：求出弹起后抛物线的表达式为：
，而弹起时最大高度为
，则弹起
高度范围为
时，当
时，
，解得：
，即可
确定取值范围．
【详解】解：任务一：由题意可知：抛物线的顶点坐标为：
设抛物线的解析式为
，
将
代入可得
，解得：
，
所以抛物线的解析式为
；
任务二：略；
任务三：设弹起后抛物线的表达式为：
，
对于
，
当
时，
解得：
或
，
∴
，
将
代入
得：
，
解得：
，
∴弹起后抛物线的表达式为：
，
∵
，
∴弹起时最大高度为
，
∴弹起高度范围为
，
当
时，
，
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解得：
，
∵
时，
，
，
∴击球点与发球机水平距离的取值范围为
．
