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1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题06 角平分线的性质与判定 常考题型·精准突破 题型1 利用角平分线性质求解（重） 题型2 角平分线的实际应用 题型3 角平分线性质和判定的综合问题（高频） 题型4 作垂线与角平分线（尺规作图） 题型5 与角平分线有关的新定义型问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 利用角平分线性质求解 1．（25-26 八年级上·吉林长春·期末）如图，在 ABC 中， 90 ACB = ，BE 平分 ABC ，交AC 于点E， DE AB ⊥ 于点D，如果 3 AE = ， 5 AC = ，那么DE 的长是 ． 2．（25-26 八年级上·北京·期末）如图，AD是 ABC 的角平分线，BE 是 ABD △ 边AD上的中线，若 ABC 的面积是18． 6, 3 AB AC = = ，则ABE 的面积是 ． 3．（25-26 八年级上·安徽合肥·期末）如图，AD为 ABC 的中线，BE 为 ABD △ 的角平分线，在BED 中作 BD边上的高EM ． （1）若 40 BED = ， 25 BAD = ， ABD 的度数为 ； 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）在（1）的条件下，若 ABC 的面积为40， 5 BD = ，则EM 的长为 ． ◆题型2 角平分线的实际应用 4．（25-26 八年级上·上海金山·期末）上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示， ABC 是一个正在修建 的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭H ，使该凉亭到公路AB AC BC 、 、 的距离都相等，则凉亭H 是 ABC 的（ ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 5．（25-26 七年级下·贵州毕节·阶段检测）如图所示的是一块三角形草坪ABC ，现要在草坪上建一凉亭供 大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（ ） A．ABC 三条中线的交点处 B．ABC 三条角平分线的交点处 C．ABC 三条高所在直线的交点处 D．ABC 三边的垂直平分线的交点处 6．（24-25 九年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图，直线a b c 、、表示三条公路，现要建一个货物中转站，要 求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 ◆题型3 角平分线性质和判定的综合问题 7． （25-26八年级下·广东河源·阶段检测）如图，在ABC 中， 90 C = ，D是BC 上一点，若过点D作DF AB ⊥ ， 垂足为F，点E 在AC 上，DE BD = ，CE FB = ． 3 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证：AD 平分 BAC ； (2)请你判断AE AF BF ， ， 之间的数量关系，并说明理由． 8．（25-26 九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，在ABC 中，点D 在BC 边上， 100 BAD = ， ABC 的平 分线交AC 于点E，过点E 作EF AB ⊥ ，垂足为F，且 50 AEF = ，连接DE ． (1)求 CAD 的度数； (2)求证：DE 平分 ADC ； (3)若 6 AB = ， 4 AD = ， 8 CD = ，且 12 ACD S = ，求ABE 的面积． 9．（25-26 八年级上·福建厦门·期中）如图，在 ABC 中, , AB AC BAC = = ，点D 在AC 的右侧且满足 , BC BD DBC = = ，连接 , AD CD ，其中2 180 + = ． (1)求证： BAC BDC = ； (2)如备用图，延长CD至点M，使得CM BC = ． 求证：①AD平分 BDM ； ②点M 在线段BA的延长线上． ◆题型4 作角平分线（尺规作图） 10．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）如图，在Rt ABC △ 中， 90 , 50 BAC B = = ，AD BC ⊥ 于点D． 4 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)利用圆规和无刻度直尺作出 BAC 的平分线AE 交BC 于点E；（保留作图痕迹） (2)求 DAE 的度数． 11．（25-26 七年级下·广东清远·期末）如图，在Rt ABC △ 中， 90 A = ， 8 BC = ． (1)请用尺规作出 ABC 的平分线，交AC 于点D （保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)若 4 AD = ，求BCD 的面积． 12．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，AB CD ∥ ，以点A为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ， AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F 为圆心，大于1 2 EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，作射线AP ， 交CD于点M ． (1)求证：AP 平分 CAB ； (2)若 114 ACD = ，求 MAB 的度数； (3)若CN AM ⊥ ，垂足为N ，求证： CAN CMN △ ≌△ ． ◆题型5 与角平分线有关的新定义型问题 13．（24-25 八年级上·上海·期中）定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等， 我们就称这两个三角形为友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们______（填是或不是）友谊三角形； (2)如图，在四边形ABCD中，AC 平分 BAD ，AD AB ，ABC 与ACD 是友谊三角形，请探究 D 与 B 之间的关系． 14．（25-26 八年级上·山东德州·期中）【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形，如图1，在四边形ABCD中，AB AD = ， 5 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 180 B D + = ，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． (1)如图2，李明发现，连接CA ，则CA 为 BCD 的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； (2)如图3，王红发现，在等补四边形ABCD中，当AB BC ⊥ ，AD CD ⊥ ， 1 2 EAF BAD = 时，BE EF ， 与 FD之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 15．（25-26 八年级上·全国·期中）我们定义：如图1，在四边形ABCD中，如果 A = ， 180 C = − ， 对角线BD平分 ABC ，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形” ABCD中，当 90 = 时，根据教材中一个重要性质直接可得 DA DC = ，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理． (2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想DA与DC 的数量关系，并给予证明； (3)探究应用：如图3，在等腰ABC 中， 100 BAC = ，BD平分 ABC ，求证：BD AD BC + = ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1． （25-26 七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在ABC 中， 90 B = ，AD平分 BAC 交BC 于点D ， 10 BC = ， 点D到AC 的距离为4 ，则CD的长为（ ） 6 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．3 B．4 C．6 D．10 2．（25-26 七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，ABC 的三边 , , AB BC CA 的长分别为40，50，60，其三条角平 分线交于点O，则 : : ABO BOC CAO S S S （ ） A．1:1:1 B．4:5:6 C．3:4:5 D．5:4:6 3． （25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形ABCD中， 90 B C = = ，ADC 的平分线DE 与 DAB 的平分线AE 交于BC 边上的点E 处，EF AD ⊥ 于点F ．若 12 BC = ，则EF 的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（25-26 八年级下·河北保定·期末）如图，Rt ABC △ 中， 90 C = ， 38 B = ，以点A为圆心，适当长为 半径画弧，交AB 于点E ，交AC 于点F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于1 2 EF 的长为半径画弧，两弧（所 在圆的半径相等）在 BAC 的内部相交于点P ，画射线AP 与BC 相交于点D ， 3 CD = ，下列结论正确的是 （ ） A．AC BD = B． 64 ADC = C． CAD B = D．B 到AD的距离是3 7 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5．（25-26 八年级下·河南郑州·期中）如图，在ABC 中， BAC 和 ABC 的平分线 , AE BF 相交于点O，过 点O 作OD BC ⊥ 于D，下列三个结论：① 1 90 2 AOB C = + ；②当 60 C = 时，AF BE AB + = ；③若 OD a = ， 2 AB BC CA b + + = ，则 ABC S ab = ．．其中正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 二、填空题 6．（25-26 七年级下·江苏常州·期末）如图，AB CD ，作一条直线，分别交AB ，CD于点E ，F ，以点F 为圆心，任意长为半径作弧，分别交FE，FD于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于1 2 MN 的长为 半径作弧，两弧相交于点G ，作射线FG ，交AB 于点H ．若1 30 = ，则 HEF 的大小为__________． 7．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在ABC 中，点D 在边BC 上，连接AD， 5 CD BD = ，CI 平分 ACB 交AD于点I ，IH AC ⊥ 于点H ，若 6, 8, 2 ABD BC AC S = = = ，则IH 的长为_____． 8．（25-26 七年级下·陕西汉中·期末）如图，BD是ABC 的角平分线，DE AB ⊥ 于点E ，AF 是ABD 的中 线，动点G 在BC 边上，连接DG ．若 6 AB = ， ABF △ 的面积是3，则DG 的最小值为______________． 8 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在ABC 中，AD是ABC 的角平分线，BE是ABD 的中 线，过点D分别作DF AB ⊥ ，DH AC ⊥ ，垂足分别为点F ，H ，若BED 的面积为2 ，AB 的长为4 ，则DH 的长为___________． 10．（25-26 七年级下·安徽宿州·期末）在锐角三角形ABC 中， 60 BAC = ，BE、CD分别为ABC 的角平 分线，BE、CD相交于点F ． （1）则 BFC 的度数为________； （2）若FG 平分 BFC ，当 3 BD = ， 2 CE = ，BFC 的面积为2.5 时，则BCD 的面积为________． 三、解答题 11． （25-26 七年级下·陕西渭南·期末）如图，AD为ABC 的中线，BE为ABD 的角平分线，过点E 作EN AB ⊥ 于点N ，EM 为BED 的高． (1)若 140 BEA = ， 25 BAD = ，求 ABD 的度数； (2)若 16 AB = ， 8 BD = ， 64 = ABC S ，求EM 的长． 12．（25-26 七年级下·江西吉安·期末）已知OM 是 AOB 的平分线，点P 是射线OM 上一点，点C ，D 分别 在射线OA，OB 上，连接PC ，PD． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【发现问题】 (1)如图①，当PC OA ⊥ ，PD OB ⊥ 时，则PC 与PD的数量关系相等吗？说明理由． 【探究问题】 (2)如图②，点C ，D 在射线OA，OB 上滑动，且 90 AOB = ，当PC PD ⊥ 时，PC 与PD在【发现问题】 中的数量关系还成立吗？说明理由． 13．（25-26 八年级上·江西赣州·期末）【课本再现】如图是人教版八年级上册数学教材第50 页的部分内容． 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 利用三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 【定理证明】 （1）请根据教材中的分析，结合图1，写出角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在角的平 分线上”完整的证明过程． 已知：点P 在OC 上，PD OA ⊥ ，PE OB ⊥ ，垂足分别为D 、E ，且______． 求证：OC 是 AOB 的平分线． 请根据上述已知和求证，写出证明过程． 【定理应用】 （2）如图2， 90 B C = = ，E 是BC 的中点，AE 平分 BAD ．求证：DE 是 ADC 的平分线． 【拓展提升】 （3）如图3，ABC 中，点D 在BC 边上，BE平分 ABC ，DE 平分 ADC ．若 6 AB = ， 3 AD = ， 5 CD = ， 16 ACD S = △ ，请求出ABE 的面积．( 提示：过点E 作AB 的垂线) 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14．（25-26 八年级上·全国·期末）如图，点M 为BC 的中点，DM 平分 ADC ． (1)若 90 B C = = ． ①求证：AM 平分 BAD ． ②猜想线段CD，AB ，AD之间的数量关系，并证明． (2)若 75 B = ，请你思考 C 应该满足什么条件，能使得（1）②中结论依然成立，并说明理由． 15．（24-25 八年级上·广东中山·期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“友好三角 形”． (1)如图1，ABC 和ADE 互为“友好三角形”， 其中 , , AB AC AD AE BAC DAE = = = ， 连接 , CE BD ， 求证：CE BD = ； (2)点D 是直线BC 上一动点（点D 不与点B，C 重合），以AD为边向右构造ADE ，使得ABC 和ADE 互 为“友好三角形”，其中 , , AB AC AD AE BAC DAE = = = ，连接EC ， 点F 在线段EC 右上方， 且点 E， C， F 三点共线． ①如图2， 当点 D 在线段BC 的左侧时， 求证： ACF ACB = ； ②如图3，当点D 在线段BC 上时， ACF 与 ACB 的数量关系是否发生改变，并说明理由．
