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1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题11 用一元二次方程解决问题的十类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一元二次方程的应用—平均增长率问题 题型二、一元二次方程的应用—传播问题 题型三、一元二次方程的应用—数字问题 题型四、一元二次方程的应用—循环问题 题型五、一元二次方程的应用—图形面积问题 题型六、一元二次方程的应用—日历问题 题型七、一元二次方程的应用—航海问题 题型八、一元二次方程的应用—销售问题 题型九、一元二次方程的应用—规律问题 题型十、一元二次方程的应用—动态几何问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 具体内容 核心 知识 点 1. 列一元二次方程解应用题的一般步骤：审（审题找等量关系）→设（设未知数，分 直接设、间接设）→列（根据等量关系列方程）→解（解一元二次方程）→验（检验 根是否符合实际意义）→答（作答） 2. 常见应用题类型及核心等量关系： （1）增长率/降低率问题：增长后量=初始量×(1+增长率)n，降低后量=初始量×(1-降低 率)n（n 为增长/降低次数） （2）利润问题：总利润=（单件售价-单件成本）×销售量；总利润=总销售额-总成本 （3）面积问题：根据图形面积公式，结合平移、割补法找边长关系，列面积方程 （4）动点问题：用未知数表示动点运动后线段的长度，结合几何图形的面积、边长 关系列方程 （5）传播/循环问题：单轮传播后总数=初始数×(1+传染数)，两轮传播后为初始数×(1+ 目 录 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 传染数)2；握手/单循环赛：总次数= 1 2x(x-1)，双循环赛：总次数=x(x-1) 3. 间接设未知数的适用场景：当直接设所求量为未知数导致方程复杂时，选择中间量 设未知数简化计算 4. 实际问题的根的取舍：一元二次方程通常有两个根，需要结合实际问题的定义域（如 长度、人数、增长率不能为负，销售量不能为负）对根进行筛选，舍去不符合题意的 根 5. 数形结合思想：解决面积、动点问题时，通过画示意图明确各量之间的位置与数量 关系，辅助找等量关系 常见 易错 点 1. 审题不清，等量关系找错：混淆增长率问题中的“连续两次增长”和“两年累计增长”， 错误将连续两次增长方程列为初始量+初始量(1+x)+初始量(1+x)2=总目标，而非初始量 (1+x)2=增长后量 2. 设未知数不规范：忘记带单位，或者设未知数时表述歧义，导致后续列方程错误 3. 面积问题中边长计算错误：计算矩形中间开辟道路后的种植面积时，错误遗漏道路 宽度的重复扣除部分，或者道路平移后边长计算错误 4. 忽略根的检验：解出方程的两个根后直接全部保留，没有考虑实际意义，保留了负 的长度、负的增长率、大于原有量的降低率等不符合题意的根 5. 循环问题模型混淆：分不清单循环（每两队赛一次）和双循环（每两队主客场各赛 一次），总场次公式用错 6. 动点问题中漏考虑动点的运动范围：没有考虑动点运动到线段端点后就停止运动， 错误保留超出运动范围的未知数解 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 3 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一、一元二次方程的应用—平均增长率问题 典例1 某商店今年春季热销解渴饮品，三月份该饮品销量为200 杯，随着气温不断回升，若连续两个月的 销量逐月匀速上涨，预计五月份的销量能达到338 杯．设四、五这两个月每月销量的平均增长率均为x ，那 么x 满足的方程为（ ） A． ( ) 200 200 1 338 x + + = B． ( ) 2 200 200 1 200(1 ) 338 x x + + + + = C． 2 200(1 ) 338 x + = D． 2 200 200 200 338 x x + + = 变式1-1 某商品每件的售价为121 元，经过两次降价后每件的售价为81 元，设该商品两次降价的平均下降 率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ） A． ( ) 2 121 1 81 x − = B． ( ) 121 1 2 81 x − = C． ( ) 2 81 1 121 x + = D． ( ) 2 121 1 81 x − = 变式1-2 近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长．某 新能源汽车今年3 月份销售量为1 万台，5 月份销售量为1.21 万台，则该新能源汽车月平均增长率为______． 变式1-3 我市某楼盘准备以每平方米10000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台，购 房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方米8100 元的 均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是________． 类型二、一元二次方程的应用—传播问题 典例2 有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120 个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数 为（ ） A．10 B．11 C．12 D．15 变式2-1 秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一 个人患了流感，经过两轮传染后共有81 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染 中平均一个人传染了x 个人，根据题意，列方程为（ ） 4 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． ( ) 1 81 x x + + = B． 2 1 81 x x + + = C． ( ) 1 1 81 x x x + + + = D． ( ) 1 81 x x x + + = 变式2-2 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的 总数是91，每个支干长出______个小分支． 变式2-3 某人患有甲型H3N2流感，经过两轮传染后共有36 个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x 个 人，则根据题意可列方程_____． 题型三、一元二次方程的应用—数字问题 典例3 小明在算一个数的2 倍时，误算成了这个数的平方，他发现两个结果的和为8，则这个数为（ ） A．2 B．2 或4 C．2 或4 − D．2 −或4 变式3-1 一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（ ） A．25 B．36 C．25 或36 D．无法确定 变式3-2 若两数的和是2 ，两数的平方和是74 ，则这两数为________． 变式3-3“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在3 3 积幻方中，9个小方格中的正整数互不相等，且每行、 每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“3 3 积幻方”只呈现了4 个小方格中的数，则其 中x 的值是_________． 5 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型四、一元二次方程的应用—循环问题 典例4 为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计 比赛36 场．设共有x 个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A． ( ) 1 1 36 2 x x − = B．( ) 1 36 x x − = C． ( ) 1 1 36 2 x x + = D．( ) 1 36 x x + = 变式4-1 在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环 赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56 场，则参加小组赛的球队有（ ） A．6 支 B．7 支 C．8 支 D．9 支 变式4-2 某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果 一共进行了132场比赛，参加比赛的足球队有_____支． 变式4-3 某校举行中学生篮球联赛，若某小组有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛一共进行了28 场， 则该小组参加比赛的队伍共有_______支． 题型五、一元二次方程的应用—图形面积问题 典例5 由于部分汽车车型较大，为了扩大每个车位的面积，小区物业打算重新划分某处的10 个大小相同的 矩形车位．现在每个矩形车位的长和宽分别为52dm ，25dm，重新划分后车位数不变，每个矩形车位的长 和宽增加了相同的长度，且10个车位的总面积增大了 2 2400dm ．求重新划分后每个矩形车位的长和宽分别 是多少？ 变式5-1 如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长10m、宽8m 的矩形劳动实践基地ABCD扩建为矩形 AEFG ，使其总面积达到 2 110m ．经规划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为1:2（即 : 1:2 DG BE = ）． 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求长和宽各增加了多少米？ (2)扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为1m的十字形小路，剩余部分为试验园地， 求试验园地的面积． 变式5-2 综合与实践 如图，某农户计划利用已有的一堵墙（墙足够长），用篱笆围成一个矩形菜园ABCD．现有可用的篱笆总长 为20m．设边AB 长为m x ，请列方程解决下列问题． (1)若矩形菜园的面积为 2 48m ，求AB 的长； (2)矩形菜园的面积有可能是 2 55m 吗？若有，求x 的值；若无，说明理由； (3)当x 取何值时，矩形菜园的面积最大，并求出最大面积． 变式5-3 如图，用长为22 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14 米），围成中间隔有一道篱笆的 长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 上用其他材料做了宽为1 米的两扇小门． (1)设花圃的一边AB 长为x 米，请你用含x 的代数式表示另一边AD的长； (2)若此时花圃的面积刚好为 2 45m ，求此时花圃的长与宽； (3)能否围成面积为 2 50m 的花圃？请说明理由． 7 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型六、一元二次方程的应用—日历问题 典例6 月历中的奥秘（九年级版）：如图是2025年10月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列 的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列9个数中，若最小的数设为x ，那么最中间的数可用x 表示为________，最大 的数可用x 表示为________； (2)若矩形圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，这9个数的和是多少？（请列方程解决） 变式6-12026 年4 月5 日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4 月4 日至6 日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然 与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统 节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4 个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘 积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 变式6-2 如图，这是一张2026 年1 月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4 个数（如2， 3，9，10）． 8 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图，若圈出的4 个数a 、b 、c 、d 中，最小的数a x = ，则 1 b x = + ，c = ________，d =________．（用 含x 的代数式表示） (2)在小组活动中，小轩通过计算，发现ad bc − 的差恒为常数，请你证明． (3)若圈出的4 个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4 个数中最小的数． 变式6-3 如图，这是一张2026 年1 月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4 个数（如2， 3，9，10）． (1)若圈出的4 个数中最小的数为x，则最大的数为________．（用含x 的代数式表示） (2)在小组活动中，小丽通过计算，得到框出的4 个数之和为45．小颖认为小丽一定算错了．小颖的说法正 确吗？说明理由． (3)若圈出的4 个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4 个数中最小的数． 题型七、一元二次方程的应用—航海问题 典例7 如图，某海军基地位于A处，在其正南方向20 海里处有一重要目标B ，在B 的正西方向20 海里处 有一重要目标C ，小岛D位于AC 的中点，岛上有一补给码头；一艘军舰从A出发，经B 到C 匀速直线巡航． 9 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)为提前完成第一次巡航任务，军舰调整速度为原来的1.5 倍，结果提前2 h 3 到达目标C 处，求军舰原来的 速度是多少？ (2)在第二次军舰巡航时，一艘补给船同时从D 出发，沿南偏东方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已 知军舰航行的总路程是补给船的3 倍，军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处，那么相遇时补给船航行 了多少海里？ 变式7-1 一敌方军舰以20 海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30 海里/时的速度由北向南航行，它 能侦察出周围50 海里（包括50 海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至A处时，我方侦察 船正位于A处正北方向的B 处，且 90 AB = 海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行， 那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 变式7-2 如图，小岛D 在码头A正东方向的80 海里处．已知当轮船甲从码头A出发以40 海里/ 小时的速度 向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛D 出发以50海里/ 小时的速度向码头A行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为50海里？ 10 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)若轮船甲给正南方向的小岛B 运送物质，当轮船甲到达小岛B 后，发现运送物质不足，此时行驶到C 处 的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿CB 方向前往小岛B 进行物质补充．若两艘轮船在上午7 时 出发，轮船乙在上午9时到达小岛B ，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 变式7-3 1l 是一条东西方向的道路，2l 是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点O．小明和小丽分别从 十字路口O点处同时出发，小丽沿着1l 以4 千米/时的速度由西向东前进，小明沿着2l 以5 千米/时的速度由 南向北前进，有一棵百年古树位于图中点P 处，古树与1l 、2l 的距离分别为3 千米和2 千米．问离开路口后 经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 题型八、一元二次方程的应用—销售问题 典例8 一款服装每件进价为70 元，销售价为120 元时，每天可售出20 件．经市场调查发现，如果每件服 装每降价1 元，那么平均每天可多售出2 件．设每件服装降价x 元． (1)每天销售量增加____________件，每件服装盈利_______________元（用含x 的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1600 元？ 变式8-1 长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80 元，销售价为120 元时，每天可售出 20 件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120 元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量， 增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1 元，那么平均可多售出2 件．设每件童装降价x 元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x 的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200 元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 变式8-2 综合与实践 11 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30 元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50 元时，每天可卖出100 个，在此基础上，售价每降低1 元，该玩偶每天可多卖出10 个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 (1)若该玩偶的售价定为40 元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元； (2)已知商店每天销售该玩偶的利润是2240 元，求该玩偶的售价； (3)商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500 元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 变式8-3 商场某种商品平均每天可销售40 件，每件盈利60 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降 价措施，经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2 件． (1)当每件盈利50元时，每天可销售多少件？ (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？ (3)商场日盈利能否达到3300元？ 题型九、一元二次方程的应用—规律问题 典例9 活动主题：三角点阵中前n 行的点数计算． 活动过程：如图是一个三角形点阵，从上往下数有无数多行． (1)探究点数与行数的规律 第一行有______个点，第二行有______个点，……，第n 行有______个点； (2)探究点数和与行数的规律 前4 行的点数和为______，前n 行的点数和为______； 12 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)根据规律解决问题 这个三角点阵中前n 行的点数之和能是300 吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理． 变式9-1 下面是一组按照一定的规律排列的图案，每个图案都由若干个“◎”和若干个“●”组成． (1)按照上面的排列规律，第5 个图案中有“◎”_____个，有“●”_____个； (2)按照上面的排列规律，在第n 个图案中，“◎”的个数比“●”的个数少29 个，试求n 的值． 变式9-2【观察思考】 如图，春节期间，广场上用红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点）组成“中国结”图案． 【规律总结】 请用含n 的式子填空： （1）第n 个图案中黄梅花的盆数为 ； （2）第n 个图案中红梅花的盆数可表示为 ； 【问题解决】 （3）已知按照上述规律摆放的第n 个“中国结”图案中红梅花比黄梅花多68 盆，结合图案中红梅花和黄梅花 的排列方式及上述规律，求n 的值． 变式9-3【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000 多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如 图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 13 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第n （n 为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________ 个；（用含n 的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第n 个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求n 的值． 题型十、一元二次方程的应用—动态几何问题 典例10 如图，在ABC 中， 90 B = ， 5 AB cm = ， 7 BC cm = ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 / cm s 的 速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 / cm s 的速度移动．若P，Q 两点同时出发，当点Q 运动到 点C 时，P，Q 两点同时停止运动． 求： (1)几秒后，PBQ 的面积等于 2 4cm ？ (2) PBQ 的面积能否等于 2 7cm ？说明理由． 变式10-1 如图：在直角坐标系中，长方形OABC中， 10 OA= ， 5 OC = ，点D 从点C 出发，沿射线CO方向 以每秒2 个单位长的速度移动，点E 从点O出发，沿射线OA方向以每秒1个单位长的速度运动，设点E 的 运动时间为t 秒． 14 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，当t 为何值时， CDE △ 的面积为1； (2)当CE 是 OEB 的角平分线时，求出此时点E 的坐标； (3)当t 为何值时， CDE △ 是等腰三角形？ 变式10-2 如图A，B ，C ，D 为矩形的四个顶点， 16cm AB = ， 6cm AD = ，动点P ，Q 分别从点A，C 同 时出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 移动，一直到达B 点为止，点Q 以2cm/s的速度向D 点移动，当点P 到 达B 点时点Q 随之停止运动，设运动时间为st ． (1)t 为多少时，四边形PBCQ 的面积为 2 33cm ； (2)t 为多少时，点P 和点Q 的距离为10cm． (3) P ，Q 同时出发，直接写出t 为何值时，以P ，Q ，D 为顶点的三角形为等腰三角形． 变式10-3 如图，在矩形ABCD中， 6cm AB = ， 12cm BC = ，点P 从点A 出发沿AB 以1cm/s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm/s的速度向点C 移动．设运动时间为t 秒． 15 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)当 2 t = 时， DPQ △ 的面积为____ 2 cm ； (2)在运动过程中 DPQ △ 的面积能否为 2 26cm ？如果能，求出t 的值，若不能，请说明理由； (3)运动过程中，当PQD 恰好是直角三角形时，求t 的值； 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商的该品牌电动 汽车今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了2000辆．设每个 月销量的平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）． A． ( ) 2 1000 1 2000 x + = B． ( ) 1000 1 2000 x + = C． ( ) 1000 1 1000 2000 x + = + D． ( ) 2 1000 1 1000 2000 x + = + 2．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程 2 8 48 x x + = 为例，赵爽的《勾股圆方图 注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为 2 x 的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为 2x 的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为 2 48 4 2 64 + = ，则该方程的正数解为8 2 2 4 −= ．小美尝试 用此方法解关于x 的方程 2 12 0 x x c + + = ，构造如图2 所示的图形．若图2 中大正方形的面积为100，则方程 2 12 0 x x c + + = 的正数解是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，在ABC 中， 90 ABC = ， 8cm AB = ， 6cm BC = ，动点P，Q 分别从点A，B 同时开始移动（移 动方向如图所示），点P 的速度为1cm/s ，点Q 的速度为2cm/s，点Q 移动到点C 后停止，点P 也随之停止 运动，若使PBQ 的面积为 2 15cm ，则点P 运动的时间是（ ） 16 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．2s B．3s C．4s D．5s 4．如图，这是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1 个点，第二行有2 个点，……，第n 行有 n 个点，前n 行的点数之和不能是以下哪个结果（ ） A．28 B．44 C．55 D．66 5．如图，将边长为2cm 的正方形ABCD，沿其对角线AC 剪开．再把ABC 沿着AD方向平移，得到A B C ， 若两个三角形重叠部分的面积为 2 0.8cm ，则它移动的距离AA等于（ ） A．1 5 cm 5 + B．5 5 cm 5 − 或5 5 cm 5 + C．5 5 cm 5 − D．1cm 6．生成式AI 被认为将为全球经济贡献约7 万亿美元的价值，我国率先加大投入研究开发AI 技术，预计两 年内对这项技术的投入从300 亿美元增长到507 亿美元．设两年内我国平均每年投入增长的百分率为x ，则 可列方程为_________． 7．有一个人患了流感，两轮传染后共有121人患了流感，则平均每人传染_____人． 8．如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉， 且花圃的面积是 2 3600m ，则小路的宽是_______． 17 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9．如图，一块长16m、宽10m的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪， 石板小径的总面积占矩形地块面积的3 10 ，则石板小径的宽度为______ m ． 10．如图，在菱形ABCD中， 4 AB = ， 120 BCD = ，点E 是BC 边上一点，连接AE ，将ABE 沿AE 翻 折得到 AFE △ ；线段EF 所在直线与CD所在直线交于点G，当EF CD ⊥ 时，求线段BE的长______． 11．某商场销售一种商品，每件进价40 元．经市场调查发现，当售价定为50 元时，每天可售出100 件； 售价每提高1 元，日销售量减少2 件． (1)设售价为x( ) 50 x 元，日销售量为y 件，求y 与x 的函数关系式； (2)若商场希望日利润达到1800 元，则售价应定为多少元？ 12．小西家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN ，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂 场ABCD，已知木栏总长为20 米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2 米的门，门不消耗木栏，设AB 长为 x 米． (1)如图①，当AD MN 时， ①AD =___________米（用含x 的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为56平方米，求AB 的长． (2)如图②，当 AD MN 时，养蜂场的面积是否可以达到70 平方米？请说明理由． 18 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13．综合与探究：剪纸艺术中的数学问题 剪纸是我国传统民间艺术，某同学有一张长为40cm 、宽为30cm的长方形卡纸． 操作过程： 为制作花边图案，该同学在长方形卡纸的四个角各截去一个相同大小的小正方形，剩余中间的长方形剪纸 图案区域（阴影部分）面积为 2 816cm ． 探究问题： (1)设剪去的小正方形的边长为cm x ，请用含x 的代数式表示剩余图案阴影区域的长和宽；长为 _______________cm，宽为_______________cm． (2)求出剪去的小正方形的边长； (3)若剩余图案阴影区域需要再裁剪出边长为6cm的小正方形贴纸，直接写出最多可以裁剪多少个． 14．如图，矩形ABCD中， 6cm AB = ， 8cm BC = ，点P 从A开始沿AB 边向点B 以1cm / s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/ s 的速度移动，P ，Q 两点分别从A，B 同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，PBQ 的面积等于 2 8cm ？ ②PBQ 的面积能否等于 2 10cm ？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点P 到达B 后不停止，立即以原速沿BA返回；点Q 到达C 后不停止，继续以原速沿射线BC 方向运动， 直到点P 第一次回到A时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒PBQ 的面积等于 2 6cm ？ 15．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以 2 2 35 0 x x + − = 为例，构造方法如下： 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 首先将方程 2 2 35 0 x x + − = 变形为( ) 2 35 x x + = ，然后画四个长为 2 x+ ，宽为x 的矩形，按如图1 所示的方 式拼成一个“空心”大正方形，则图1 中大正方形的面积可表示为( ) 2 2 x x + + ，还可表示为四个矩形与一个边 长为2 的小正方形面积之和，即 ( ) 2 4 2 2 4 35 4 x x + + = + ．因此，可得新方程( ) 2 2 144 x x + + = ．因为x 表示 边长，所以2 2 12 x+ = ，即 5 x = ．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． (1)【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程 ( ) 2 4 21 0 0 x x x − − = 的正确构图是 ．(从序号①②③中选择) (2)【类比迁移】小颖根据以上解法解方程 2 2 3 2 0 x x + − = ，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为 2 3 1 0 2 x x + −= ，即x ( ) 1 = ； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ． (3)【拓展应用】一般地，对于形如 2x ax b + = 的一元二次方程可以构造图2 来解．已知图2 是由四个面积为 3 的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数a = ，b = ，求得方程的正根为 ．
