1 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
专题10 一元二次方程的根与系数关系的十四类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、根与系数求值（相加、相乘）
题型二、根与系数变形（多项式乘法）
题型三、根与系数变形（绝对值）
题型四、根与系数变形（完全平方）
题型五、根与系数变形（分式）
题型六、根与系数变形（根式）
题型七、与等腰三角形结合
题型八、与直角三角形结合
题型九、与降次结合
题型十、与方程实数根结合
题型十一、最值问题
题型十二、特殊方程—一元三次方程
题型十三、根与系数的对称式
题型十四、倍根方程
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移
类别
具体内容
提示说明
核心知识点1：韦
达定理（根与系数
关系基本形式）
对于一元二次方程 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0 (𝑎≠0)，
若方程有两个实数根𝑥1, 𝑥2，则根与系数满足：
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎
仅适用于一元二次方程
（二次项系数𝑎≠0），且方
程存在实根（判别式𝛥≥0）
核心知识点2：特
殊形式韦达定理
对于二次项系数为1 的方程𝑥2 + 𝑝𝑥+ 𝑞= 0，
若有实根𝑥1, 𝑥2，则满足：𝑥1 + 𝑥2 = −𝑝，𝑥1𝑥2 = 𝑞
由一般形式推导得到，简
化计算
核心知识点3：常
见代数式变形
1.
1
𝑥1 +
1
𝑥2 =
𝑥1+𝑥2
𝑥1𝑥2
2. 𝑥1
2 + 𝑥2
2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2
所有变形均以𝑥1 + 𝑥2和𝑥1𝑥2
为基础，无需单独求根
目 录
2 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
3. (𝑥1 −𝑥2)2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2
4. |𝑥1 −𝑥2| = √(𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2
5. 𝑥1
2𝑥2 + 𝑥1𝑥2
2 = 𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2)
核心知识点4：韦
达定理的应用场景
1. 已知一个根，求另一个根与未知参数
2. 求关于两根的对称代数式的值
3. 已知两根关系，求方程中参数的值
4. 构造新的一元二次方程（以两个数为根的
方程：𝑥2 −(𝑥1 + 𝑥2)𝑥+ 𝑥1𝑥2 = 0）
5. 判断根的符号（同号/异号、正负个数）
应用时必须先满足𝑎≠0且
𝛥≥0两个前提条件
核心知识点5：根
的符号判定
1. 两正根：𝛥≥0，𝑥1 + 𝑥2 > 0，𝑥1𝑥2 > 0
2. 两负根：𝛥≥0，𝑥1 + 𝑥2 < 0，𝑥1𝑥2 > 0
3. 一正一负根：𝛥> 0，𝑥1𝑥2 < 0（此时𝛥恒大
于0，只需满足𝑥1𝑥2 < 0）
4. 有一根为0：𝑥1𝑥2 = 0即𝑐= 0
只要涉及存在实根，就不
能忽略判别式非负的要求
易错点1：忽略二
次项系数不为0
已知方程含参数，应用根与系数关系时，忘记
𝑎≠0的限制，导致参数范围出错
只要是一元二次方程，必
须优先考虑二次项系数不
等于0
易错点2：忽略判
别式非负的前提
直接使用韦达定理计算参数，没有验证方程是
否存在实根，得到增根
所有涉及根的存在性问
题，必须先要求𝛥= 𝑏2 −
4𝑎𝑐≥0
易错点3：和的公
式记错符号
错记为𝑥1 + 𝑥2 =
𝑏
𝑎，遗漏负号
对比一次项系数为0 时，
两根和为0，可验证公式正
确性
易错点4：非对称
式误用韦达定理
遇到𝑎𝑥1
2 + 𝑏𝑥2 + 𝑐这类非对称代数式，直接套
用韦达定理导致计算错误
非对称式需要结合根的定
义𝑎𝑥1
2 + 𝑏𝑥1 + 𝑐= 0先变形，
再结合韦达定理计算
易错点5：求参数
后忘记检验
根据根的关系求出参数值后，不检验是否满足
𝛥≥0，保留不符合题意的解
求出参数后代回原方程计
算判别式，排除使方程无
实根的参数值
易错点6：构造方
错将构造方程写为𝑥2 −𝑥1𝑥2𝑥+ (𝑥1 + 𝑥2) = 0，
构造方程牢记：一次项系
3 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
程出错
混淆一次项系数和常数项
数是两根和的相反数，常
数项是两根的积
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、根与系数求值（相加、相乘）
典例1 下列方程的两个实数根的和为4
−的是（ ）
A．
2
2
4
0
x
x
+
−
=
B．
2
4
4
0
x
x
−
+
=
C．
2
4
5
0
x
x−
+
=
D．
2
4
5
0
x
x
+
+
=
【答案】C
【分析】根据判别式判断方程是否有两个实数根，再根据根与系数的关系求解即可．
【详解】解：A．
2
2
4
0
x
x
+
−
=
，
2
4
4 16
20
0
b
ac
=
−
=
+
=
，该方程有实根，
1
2
2
+
b
x
x
a
=
= −
−
，不符合
题意；
B．
2
4
4
0
x
x
−
+
=
，
2
4
16 16
0
b
ac
=
−
=
−
=
，该方程有实根，且
1
2
+
4
b
x
x
a
= −
=
，不符合题意；
C．
2
4
5
0
x
x−
+
=
，
2
4
16
20
36
0
b
ac
=
−
=
+
=
，该方程有实根，且
1
2
4
+
b
x
x
a
=
= −
−
，符合题意；
D．
2
4
5
0
x
x
+
+
=
，
2
4
16
20
4
0
b
ac
=
−
=
−
= −
，该方程无实根，不符合题意
变式1-1 已知一元二次方程
2
3
5
0
x
x
−
−
=
的两根为
1x ，
2x ，则
1 2
1
2
x x
x
x
−
−
的值为（ ）
A．8
−
B．2
−
C．8
D．2
【答案】A
【分析】利用一元二次方程求根公式得到两根，计算出两根之和与两根之积，再变形所求代数式代入计算
即可．
【详解】解：对于一元二次方程
2
3
5
0
x
x
−
−
=
，其中
1
a = ，
3
b = −，
5
c = −，
则
1
2
3
b
x
x
a
+
= −
= ，
1
2
5
c
x x
a
=
= −，
故
(
)
1
2
1
2
1
2
1
2
5
3
8
x x
x
x
x x
x
x
−
−
=
−
+
= −−
= −．
4 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
变式1-2 请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是1
−和1，这个方程可以是__________．
【答案】
2
1
x = （答案不唯一）
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，计算得到方程的系数，即可写出符合要求的方程．
【详解】解：∵两根分别为1
−和1，
∴两根之和为：
1
2
1 1
0
x
x
+
= −+ =
，
两根之积为：
(
)
1
2
1
1
1
x x = −
= −，
对于一元二次方程
2
0
x
bx
c
+
+
=
，根据根与系数的关系得：
1
2
x
x
b
+
= −，
1
2
x x
c
=
，
代入得：
0
b
−=
，
1
c
−
=
，即
0
b =
，
1
c
−
=
，
∴这个方程可以是：
2
1
0
x −=
．
变式1-3 已知
1x ，
2x 是方程
2
3
8
0
x
x
−
−
=
的两个根，则
1 2
1
2
x x
x
x
+
+
= __________．
【答案】5
−
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出
1
2
x
x
+
、
1
2
x x ，整体代入代数式求值．
【详解】解：
1x ，
2x 是方程
2
3
8
0
x
x
−
−
=
的两个根，
则
1
2
3
x
x
+
=
，
1
2
8
x x = −，
故
1 2
1
2
8 3
5
x x
x
x
+
+
= −+ = −．
类型二、根与系数变形（多项式乘法）
典例2 已知，是方程
2
2024
1
0
x
x
+
+ =
的两个根，则(
)(
)
2
2
1 2026
1 2026
+
+
+
+
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，结合根与系数的关系代入求值．
【详解】解：∵，是方程
2
2024
1
0
x
x
+
+ =
的两个根，
∴
2
2024
1
0
+
+ =
，
2
2024
1
0
+
+ =
，
1
= ，
∵
(
)
2
2
1 2026
2024
1
2
2
+
+
=
+
+
+
=
，
5 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
同理可得
2
1 2026
2
+
+
=
，
∴(
)(
)
2
2
1 2026
1 2026
2
2
4
4 1
4
+
+
+
+
=
=
= =
．
变式2-1 已知m ，n 是方程
2
2025
7
0
x
x
+
+
=
的两个根，则(
)(
)
2
2
2024
6
2026
8
m
m
n
n
+
+
+
+
=（ ）
A．2017
B．2018
C．2019
D．2020
【答案】A
【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求式子降次化简，再结合根与系数的关系计算最终结果．
【详解】解：∵m ，n 是方程
2
2025
7
0
x
x
+
+
=
的两个根，
∴由根的定义得
2
2025
7
0
m
m
+
+
=
，
2
2025
7
0
n
n
+
+
=
，
由根与系数的关系得
2025
m
n
+
= −
，
7
mn =
，
化简第一个因式：
(
)
2
2
2024
6
2025
7
1
1
m
m
m
m
m
m
+
+
=
+
+
−
−= −
−，
化简第二个因式：
(
)
2
2
2026
8
2025
7
1
1
n
n
n
n
n
n
+
+
=
+
+
+
+ =
+ ，
∴原式(
)(
)
(
)
1
1
1
1
m
n
mn
m
n
mn
m
n
= −
−
+
= −
−
−
−= −
−
+
−，
代入
2025
m
n
+
= −
，
7
mn =
得：原式
(
)
7
2025
1
2017
= −−−
−=
．
变式2-2 已知m ，n 是方程
2
2026
1
0
x
x
−
+ =
的两个实数根，则(
)(
)
2
2
2025
2
2025
2
m
m
n
n
−
+
−
+
的值为
________．
【答案】2028
【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到
2
2026
1
0
m
m
−
+ =
，
2
2026
1
0
n
n −
+ =
，
1,
2026
mn
m
n
=
+
=
，代入所求代数式进行解答即可．
【详解】解：∵m ，n 是方程
2
2026
1
0
x
x
−
+ =
的两个实数根，
∴
2
2026
1
0
m
m
−
+ =
，
2
2026
1
0
n
n −
+ =
，
1,
2026
mn
m
n
=
+
=
，
∴
2
2025
1
m
m
m
−
=
−，
2
2025
1
n
n
n
−
=
−，
∴(
)(
)
2
2
2025
2
2025
2
m
m
n
n
−
+
−
+
(
)(
)
1
2
1
2
m
n
=
−+
−+
(
)(
)
1
1
m
n
=
+
+
6 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(
)
1
mn
m
n
=
+
+
+
1 2026 1
= +
+
2028
=
变式2-3 已知
1x ，2x 是关于x 的方程
2
4
0
x
x
m
+
+
=
的两个根，满足(
)(
)
1
2
1
1
2
x
x
−
−
=
，则m 的值是________．
【答案】3
−
【分析】将给定等式展开后代入计算得到m 的值，再验证方程存在两个实根，即可得到最终结果．
【详解】解：∵
1x ，
2x 是方程
2
4
0
x
x
m
+
+
=
的两个根 ，
∴由一元二次方程根与系数的关系得
1
2
4
x
x
+
= −，
1
2
x x
m
=
，
∵(
)(
)
1
2
1
1
2
x
x
−
−
=
，
∴
1 2
1
2
1
2
x x
x
x
−
−
+ =
，
∴
1
2
1
2
(
) 1
2
x x
x
x
−
+
+ =
，
将
1
2
4
x
x
+
= −，
1
2
x x
m
=
代入上式得
(
)
4
1
2
m −−
+ =
，
解得
3
m
−
=
，
此时方程的判别式
2
Δ
4
4
16 12
28
0
m
=
−
=
+
=
，满足方程有两个根的条件，
因此m 的值为3
−．
题型三、根与系数变形（绝对值）
典例3 在目前的八年级数学下册第二章《一元二次方程》中新增了一节选学内容，其中有这样的知识点：
如果方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
的两根是
1x ，
2x ，那么
1
2
b
x
x
a
−
+
=
，
1
2
c
x
x
a
=
，若关于x 的方程
(
)
2
2
1
1
0
x
k
x
k
−
−
+
+ =
的两个实数根满足关系式
1
2
1
x
x
−
= ，则k 的值为（ ）
A．11
B．1
−
C．11或1
−
D．11或1
−或1
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式变形求解k，再验证方程有两个实数根，即
可得到结果．
【详解】解：∵方程
(
)
2
2
1
1
0
x
k
x
k
−
−
+
+ =
的两根为
1
2
,
x x
7 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴根据根与系数的关系得
1
2
1
2
k
x
x
−
+
=
，
1
2
1
2
k
x x
+
=
∵
1
2
1
x
x
−
=
∴两边平方得
2
1
2
(
)
1
x
x
−
=
由完全平方公式变形得
2
1
2
1
2
(
)
4
1
x
x
x x
+
−
=
代入得
2
1
1
4
1
2
2
k
k
−
+
−
=
整理得
2
10
11
0
k
k
−
−
=
解得
1
2
11,
1
k
k
=
= −
∵方程有两个实数根，
∴判别式
(
)
2
2
(
1)
4 2
1
10
7
k
k
k
k
=
−
−
+
=
−
−
当
11
k =
时，
2
11
10 11 7
4
0
=
−
−
=
，符合要求
当
1
k = −时，
(
)
2
( 1)
10
1
7
4
0
= −
−
−
−
=
，符合要求
∴k 的值为11或1
−．
变式3-1 已知关于x 的一元二次方程
2
3
0
2
x
x
m +
−
−
=
的两个实数根为
1x 、
2x ，且满足
1
2
4
x
x
+
，则m 的
取值范围是（）
A．3
2
m
−≤
≤
B．2
3
m
−
C．2
6
m
D．
3
m
−
或
3
m
【答案】C
【分析】先根据方程有两个实根得判别式
0
，结合韦达定理，根据两根之和为正，分两根均非负和一正
一负两类讨论；分别化简
1
2
|
|
|
|
x
x
+
，结合不等式求解m 的范围；合并两类结果，得到最终取值范围．
【详解】方程有两个实数根
0
1,
2,
3
a
b
c
m
=
= −
= −
+
2
( 2)
4 1 (
3)
m
= −
−−
+
4
4
12
m
=
+
−
4
8
m
=
−
8 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
0
4
8
0
m
−
2
m
1
2
,
x x
是方程的两根
1
2
2
b
x
x
a
+
= −
=
1 2
3
c
x x
m
a
=
= −
+
1
2
2
0
x
x
+
=
两根不可能同为负数
只有两根均为非负数和一正一负两种情况
情况一：两根均为非负数
1
2
0,
0
x
x
，
1
2
0
x x
，
3
0
m
−
+
，
3
m
，
1
2
1
2
|
|
|
|
2
x
x
x
x
+
=
+
=
，
2
4
恒成立，
又
2
m
，
2
3
m
，
情况二：两根一正一负
1
2
0
x x
，
3
0
m
−
+
，
3
m
，
两根一正一负，
1
2
1
2
|
|
|
| |
|
x
x
x
x
+
=
−
，
2
1
2
1
2
1
2
|
|
(
)
4
x
x
x
x
x x
−
=
+
−
，
2
1
2
|
|
|
|
2
4(
3)
x
x
m
+
=
−
−
+
，
9 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
1
2
|
|
|
|
4
8
x
x
m
+
=
−
，
1
2
|
|
|
| 4
x
x
+
，
4
8
4
m
−
，
4
8 16
m
−
，
4
24
m
，
6
m
，
又
3
m
，
3
6
m
，
2
3
m
或3
6
m
，
2
6
m
，
∴m 的取值范围是2
6
m
．
变式3-2已知
1x ，2x 是关于x的方程
2
6
3
0
x
x
k
−
+
+
=
的两个不等实数根，且满足
1
2
5
6
x
x
=
+ ，则k的值为_____ ．
【答案】5或30
−
/ 30
−
或5
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，结合判别式大于0 得到k 的取值范
围，再根据已知条件分
1
0
x
和
1
0
x
两种情况求解，验证后得到符合题意的k 的值．
【详解】解：
1x
，
2x 是关于x 的方程
2
6
3
0
x
x
k
−
+
+
=
的两个不等实数根，
由根与系数的关系得：
1
2
6
x
x
+
=
，
1
2
3
x x
k
=
+ ，
∵方程
2
6
3
0
x
x
k
−
+
+
=
有两个不等实数根，
∴判别式
(
)
(
)
2
6
4
3
24
4
0
k
k
= −
−
+
=
−
，解得k
6
，
1
2
5
6
x
x
=
+
，
∴将
2
1
6
x
x
=
−
代入等式得：
1
1
5
12
x
x
=
−
，分两种情况讨论：
当
1
0
x
时，
1
1
x
x
=
，原等式可化为：
1
1
5
12
x
x
=
−
，解得
1
2
x =
，则
2
6
2
4
x =
−
=
，
1 2
2 4
8
3
x x
k
=
=
=
+ ，
解得
5
k =
，满足k
6
，符合题意；
当
1
0
x
时，
1
1
x
x
= −
，原等式可化为：
1
1
5
12
x
x
−
=
−
， 解得
1
3
x = −，则
(
)
2
6
3
9
x =
−−
=
，
10 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(
)
1
2
3
9
27
3
x x
k
= −
= −
=
+
，解得
30
k = −
，满足k
6
，符合题意．
综上，k 的值为5或30
−
．
变式3-3 已知关于x 的方程
2
2
2
2
x
mx
m
x
−
= −
+
的两个实数根
1x ，
2x 满足
1
2
x
x
=
，则实数m 的值为
___________________ ．
【答案】
1
2
−
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键．
首先将方程化为标准形式，利用判别式求m 的取值范围，再根据条件
1
2
x
x
=
分两种情况讨论，结合根与
系数的关系求解．
【详解】解：原方程可化为
(
)
2
2
2
1
0
x
m
x
m
−
+
+
=
，
∵方程有两个实数根，
∴判别式
0
，
即：
(
)
2
2
2
2
[ 2
1 ]
4 1
4(
1)
4
8
4
0
m
m
m
m
m
−
+
−
=
+
−
=
+
，
解得
1
2
m
−
，
∵
1
2
x
x
=
，
∴
1
2
x
x
=
或
1
2
x
x
= −
，
若
1
2
x
x
=
，则 Δ
0
=
，即 8
4
0
m+
=
，解得
1
2
m
−
=
，
若
1
2
x
x
= −
，则
1
2
0
x
x
+
=
，由根与系数的关系，
(
)
1
2
2
1
0
x
x
m
+
=
+
=
，解得
1
m = −，
但
1
m = − 时，
(
)
Δ
8
1
4
4
0
= −
+
= −
，无实数根，故舍去，
∴
1
2
m
−
=
，
故答案为：
1
2
−
．
题型四、根与系数变形（完全平方）
典例4 设
1x ，
2x 是一元二次方程
2
4
4
0
x
x
−
−
=
的两个根，则
2
2
1
2
x
x
+
=（ ）
11 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
A．4
B．8
C．24
D．26
【答案】C
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再利用完全平方公式将所求式子
变形，代入计算即可得到结果．
【详解】解：∵
1x ，
2x 是一元二次方程
2
4
4
0
x
x
−
−
=
的两个根，
∴
1
2
4
x
x
+
=
，
1
2
4
x x
−
=
，
又∵
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
x
x
x
x
x x
+
=
+
−
，
∴ 代入得
(
)
2
2
2
1
2
4
2
4
16
8
24
x
x
+
=
−−
=
+
=
．
变式4-1 一元二次方程
2
5
4
0
x
x
+
−
=
的两个实数根为m 和n，则代数式
2
2
m
n
+
的值为（ ）
A．17
B．6
C．33
D．26
【答案】C
【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程
2
5
4
0
x
x
+
−
=
的两个实数根为m 和n ，
∴由一元二次方程根与系数的关系可得：
5
b
m
n
a
+
= −
= −，
4
c
mn
a
=
= −，
(
)
(
)
2
2
2
2
(
)
2
5
2
4
25
8
33
m
n
m
n
mn
+
=
+
−
= −
−−
=
+
=
．
变式4-2 设
1x 、
2x 是方程
2
2
1
0
x
x
+
−=
的两个根，则
2
2
1
2
x
x
+
的值为______．
【答案】6
【分析】利用根与系数的关系，以及完全平方公式变形计算即可.
【详解】解：
1x
、
2x 是方程
2
2
1
0
x
x−
+
=
的两个根，
1
2
2
b
x
x
a
+
= −
= −，
1 2
1
c
x x
a
=
= −，
∴
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
x
x
x
x
x x
+
=
+
−
(
)
2
( 2)
2
1
4
2
6
= −
−−
=
+
=
.
变式4-3 已知关于x 的一元二次方程
2
1
0
x
bx
+
+ =
有两个不相等的实数根m 和n ，且
2
2
6
m
n
+
=
，则b =
12 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
______．
【答案】2 2
【分析】先根据一元二次方程的判别式求出
2
b 的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得到两根
和与两根积，利用完全平方公式变形，结合已知条件得到关于b 的方程，检验根后求解即可．
【详解】∵关于x 的一元二次方程
2
1
0
x
bx
+
+ =
的两个不相等实数根是m 和n ，
∴
2
4 1 1
0
b
=
−
，即
2
4
b ，
∴根据根与系数的关系得：m
n
b
+
= −，
1
mn = ，
∵
2
2
6
m
n
+
=
，且
2
2
2
(
)
2
m
n
m
n
mn
+
=
+
−
∴(
)
2
2 1
6
b
−
−=
，即
2
8
b =
，
∵
2
8
4
b =
，
∴
2 2
b =
．
题型五、根与系数变形（分式）
典例5 设
1x ，
2x 是一元二次方程
2
3
2
1
0
x
x
+
−=
的两个根，则代数式
1
2
1
1
x
x
+
的值为（ ）
A．2
B．2
−
C．2
3
D．
2
3
−
【答案】A
【分析】关于x 的一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
的两个实数根
1x ，
2x 和系数a ，b ，c ，有如下关系：
1
2
b
x
x
a
+
= −
，
1
2
c
x
x
a
=
．
【详解】解：∵
1x ，
2x 是一元二次方程
2
3
2
1
0
x
x
+
−=
的两个根，
1
2
2
3
x
x
+
= −，
1
2
1
3
x x = −
．
1
2
1
2
1
2
1
1
2
x
x
x
x
x x
+
+
=
=
．
变式5-1 已知a ，b 是一元二次方程
2
2
2
0
x
x
+
−
=
的两个根，则b
a
a
b
+
的值为（ ）
A．4
B．0
C．4
−
D．5
2
【答案】C
13 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系，先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后整
体代入计算即可．
【详解】解：∵a ，b 是一元二次方程
2
2
2
0
x
x
+
−
=
的两个根，
∴由根与系数的关系可得：
2
a
b
+
= −，
2
ab
−
=
，
∴
2
2
2
(
)
2
b
a
a
b
a
b
ab
a
b
ab
ab
+
+
−
+
=
=
，
将
2
a
b
+
= −，
2
ab
−
=
代入得：
(
)
2
( 2)
2
2
4
4
4
2
2
−
−−
+
=
= −
−
−
．
变式5-2 已知一元二次方程
2
2
5
0
x
x
−
−
=
的两根为
1x 、
2x ，则
1
2
1
2
2
2
3x x
x
x
−
+
= _____．
【答案】
71
5
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到方程两根之和、两根之积的值，再代入算式
化简计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程
2
2
5
0
x
x
−
−
=
的两根为
1x 、
2x ，
∴
1
2
1
2
2,
5
x
x
x x
+
=
= −，
∴
1
2
1
2
2
2
3x x
x
x
−
+
=
1
2
1
2
2
2
3x x
x
x
+
−
= (
)
1
2
1
2
1
2
2
3
x
x
x x
x x
+
−
=
(
)
2 2
3
5
5
−−
−
= 71
5 ．
变式5-3 已知关于x 的方程
(
)
(
)
2
4
4
0
0
x
k
x
k
k
+
+
−
=
的两实数根为
1x ，
2x ，若
1
2
2
2
5
x
x
+
=
，则k =
____________．
【答案】4
9
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到
1
2
x
x
+
与
1
2
·
x x ，再由分式方程求解即可．
14 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：关于x 的方程
(
)
(
)
2
4
4
0
0
x
k
x
k
k
−
+
+
=
的两实数根为
1x ，
2x ，
则
(
)
(
)
2
2
4
4 1 4
4
0
k
k
k
=
+
−
=
−
，
1
2
4
x
x
k
+
=
+
，
1
2
4
x x
k
=
，
(
)
(
)
1
2
1
2
1
2
2
2
4
2
2
5
4
x
x
k
x
x
x x
k
+
+
+
=
=
=
．
即(
)
2
4
5 4
k
k
+
=
，解得
4
9
k =
．
经检验，
4
9
k =
是原方程的解．
题型六、根与系数变形（根式）
典例6 已知a，b 是一元二次方程
2
3
1
0
x
x
+
+ = 的两个实数根，则
b
a
a
b
+
的值为（ ）
A．3
−
B．3
C．1
3
D．3
±
【答案】B
【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，先判断a，b 的符号，再化简所
求二次根式，最后代入计算即可．
【详解】解：∵a ，b 是一元二次方程
2
3
1
0
x
x
+
+ = 的两个实数根，
∴由根与系数的关系可得
3
a
b
+
= −，
1
ab = ，
∵
3
0
a
b
+
= −
，
1
0
ab =
，
∴
0
a
，
0
b
，
∴
(
)
(
)
1
3
1
1
3
1
ab a
b
b
a
ab
ab
ab
a
b
a
b
a
b
ab
−
+
−
−
+
=
+
= −
+
=
=
=
−
−
．
变式6-1 已知a ，b 是一元二次方程
2
2025
1
0
x
x
+
+ =
的两个实数根，则
b
a
a
b
+
的值是（ ）
A．2025
−
B．2025
C．
1
2025
D．
1
2025
−
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，二次根式的运算，熟练掌握一元二次
方程根与系数的关系和完全平方公式的变形是解题的关键．利用根与系数的关系得
2025
a
b
+
= −
，
1
ab = ，
15 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
再利用
(
)
2
2
2
2
a
b
ab
b
a
a
b
ab
+
−
+
=
+
，即可求解．
【详解】解：∵a ，b 是一元二次方程
2
2025
1
0
x
x
+
+ =
的两个实数根，
∴
2025
a
b
+
= −
，
1
ab = ，
∵
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
ab
b
a
b
a
b
a
a
b
a
b
ab
ab
+
−
+
+
=
+
+
=
+
=
+
，
∴
(
)
2
2
2
2025
2
2
2025
1
b
a
a
b
−
−
+
=
+
=
，
∵
0
0
b
a
a
b
，
，
∴
0
b
a
a
b
+
，
∴
2025
b
a
a
b
+
=
（负值舍去），
故选：B．
变式6-2 已知一元二次方程
2
0
x
ax
b
−
+
=
的两个根分别为2 和1，则
2a
b
+
=______．
【答案】
2 2
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关于x 的一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
有两根为
1x 和
2x ，则
1
2
b
x
x
a
+
= −
，
1
2
c
x
x
a
=
．根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程
2
0
x
ax
b
−
+
=
的两个根分别为 2 和 1，
∴由根与系数的关系，得
2 1
3
a =
+ =
，
2 1
2
b = =
．
于是 2
2 3 2
8
a
b
+
= +
= ．
所以
2
8
2 2
a
b
+
=
=
．
故答案为 2 2 .
变式6-3 已知a ，b 是一元二次方程
2
2025
1
0
x
x
+
+ =
的两个实数根，则
b
a
a
b
a
b
+
=__________.
【答案】2
−
【分析】由根与系数的关系，得
2025
a
b
+
= −
，
1
ab = ，可得
0
a
，
0
b
，然后化简代入求值．
16 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：∵a ，b 是一元二次方程
2
2025
1
0
x
x
+
+ =
的两个实数根，
∴
2025
a
b
+
= −
，
1
ab = ，
∴
0
a
，
0
b
，
∴
2
2
b
a
ab
ab
a
b
a
b
ab
ab
ab
a
b
a
b
+
= −
−
= −
−
= −
= −，
故答案为：2
−．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及二次根式的化简，熟练掌握一元二次方程根与系数
的关系是解题的关键．
题型七、与等腰三角形结合
典例7 已知等腰三角形三边分别为a ，b ，4 ，且a ，b 是关于x 的一元二次方程
2
12
0
x
x
m
−
+
=
的两根，
则m 的值为（ ）
A．32
B．36
C．32 或36
D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、三角形的三边关系，分三种情况讨论：当
4
a =
时，
当
4
b =
时，当a
b
=
时．
【详解】解：（Ⅰ）当
4
a =
时，即a 为腰时．
因为a ，b 是关于x 的一元二次方程
2
12
0
x
x
m
−
+
=
的两根，可得
12
a
b
+
=
解得
8
b =
因为4
4
8
+
=
，
所以，当
4
a =
时，a ，b ，4 不能围成三角形．
（Ⅱ）当
4
b =
时，即b 为腰时．
同（Ⅰ）可知，当
4
b =
时，a ，b ，4 不能围成三角形．
（Ⅲ）当a
b
=
时，即a ，b 为腰时．
因为a ，b 是关于x 的一元二次方程
2
12
0
x
x
m
−
+
=
的两根，且a
b
=
，可得
12
a
b
a
b
+
=
=
解得
17 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
6
6
a
b
=
=
因为4
6
6
+
，
所以，当a
b
=
时，a ，b ，4 可以围成等腰三角形．
因为a ，b 是关于x 的一元二次方程
2
12
0
x
x
m
−
+
=
的两根，可得
ab
m
=
所以
36
m =
．
故选：B
变式7-1 关于x 的一元二次方程
2
8
0
x
x
m
−
+
=
的两个实数根分别是
1x ，
2x ，且以
1x ，
2x ，6 为三边的三角形
恰好是等腰三角形，则m 的值为（ ）
A．12
B．12 或16
C．16
D．14
【答案】B
【分析】此题考查解一元二次方程及根的判别式，等腰三角形的性质，分6 为底边和6 为腰两种情况讨论，
利用一元二次方程根的性质和三角形三边关系求解即可
【详解】解：①当6 为底边时，则
1
2
x
x
=
，
∵
(
)
2
8
4 1
64
4
0
m
m
= −
−
=
−
=
，
∴
16
m =
此时方程化为
2
8
16
0
x
x
−
+
=
，解得
1
2
4
x
x
=
=
，
三边为4, 4, 6，满足4
4
6
+
，故成立；
②当6 为腰时，设
1
6
x =
，
则
2
6
8 6
0
m
−+
=
，即36 48
0
m
−
+
=
，
∴
12
m =
此时方程化为
2
8
12
0
x
x
−
+
=
，解得
1
2
6,
2
x
x
=
=
，
三边为6, 2, 6，满足2
6
6
+
，故成立；
综上，m 的值为12 或16，
故选：B
18 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
变式7-2 若一个等腰三角形三边的长分别为m ，n ，4 ，且m ，n 是关于x 的一元二次方程
2
8
0
x
ax
−
+
=
的
两个根，则该等腰三角形的周长为______．
【答案】10或4 2
4
+
【分析】分类讨论m ，n 的取值情况，根据方程根情况确定a 的取值，然后计算三角形周长．
【详解】解：①当腰长为4 时，此时
4
m =
或
4
n =
，
把
4
x = 代入
2
8
0
x
ax
−
+
=
，得16 4
8
0
a
−
+ =
，解得
6
a =
，
方程为
2
6
8
0
x
x
−
+
=
，解得
1
2
x =
，
2
4
x =
，
此时等腰三角形的周长为10．
②当底边长为4 时，此时m
n
=
，∴方程有相等的实数根，
∴
2
32
0
a
=
−
=
，解得
4 2
a =
，
当
4 2
a =
时，方程为
2
4 2
8
0
x
x
−
+ =
，解得
1
2
2 2
x
x
=
=
，
此时
2 2
m
n
=
=
，等腰三角形的周长为4 2
4
+
．
当
4 2
a = −
时，方程为
2
4 2
8
0
x
x
+
+ =
，解得
1
2
2 2
x
x
=
= −
（不合题意，舍去），
综上所述，等腰三角形的周长为10或4 2
4
+
．
变式7-3 已知等腰三角形ABC 的底边长为3，另两边长恰好是关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
3
12
0
kx
k
x
−
+
+
=
的两根，则ABC
的周长为_________．
【答案】7
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质以及三角形三边关系的应用，先根据判
别式和等腰三角形两腰相等得到
(
)
2
4
3
0
k
=
−
=
，解得k 的值代入方程求出腰长，验证腰长是否满足三角
形三边关系，最终计算周长即可．
【详解】另两边长恰好是关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
3
12
0
kx
k
x
−
+
+
=
的两根，且这两边是等腰三角形的
腰，
(
)
(
)
2
2
2
3
4
12
4
3
0
k
k
k
= −
+
−
=
−
=
，
解得：
3
k = ，
将
3
k = 带入原方程：
(
)
2
3
2 3
3
12
0
x
x
−
+
+
=
，
解得：
2
x =
，
19 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
腰长为2 ，底为3，
2
2
3,2
3
2
+
+
，
满足三角形的三边关系，
ABC
的周长为：2
2 3
7
+ + =
．
答案为：7 ．
题型八、与直角三角形结合
典例8 直角三角形两直角边是方程
2
8
14
0
x
x
−
+
=
的两根，则它的斜边为（ ）
A．8
B．7
C．6
D．2 7
【答案】C
【分析】设直角三角形的斜边为c ，两直角边分别为a 与b ．根据一元二次方程根与系数关系可得
8
a
b
+
=
，
14
ab =
．再根据勾股定理即可求．
【详解】解：设直角三角形的斜边为c ，两直角边分别为a 与b ，
直角三角形两直角边是方程
2
8
14
0
x
x
−
+
=
的两根，
8
a
b
+
= ，
14
ab =
，
根据勾股定理可得：
2
2
2
2
(
)
2
64
28
36
c
a
b
a
b
ab
=
+
=
+
−
=
−
=
，
6
c
=
．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，一元二次方程根与系数关系，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的
关键．
变式8-1 如果直角三角形的两条直角边都是整数，且总是方程
2
2
1
0
mx
x
m
−
−
+ =
的两根（m 为整数），则这
样的直角三角形（ ）
A．有1 个
B．有2 个
C．有无数个
D．不存在
【答案】D
【分析】设直角三角形的两条直角边为a 、b ，利用根与系数的关系可得
2
a
b
m
+
=
，由a 、b 是正整数，可
得2
m 也为正整数，从而得到m 的值，再分情况计算结果即可．
20 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：∵直角三角形的两条直角边都是整数，且总是方程
2
2
1
0
mx
x
m
−
−
+ =
的两根（m 为整数），
设两条直角边为a 、b ，由根与系数的关系可得
2
a
b
m
+
=
，
∵a 、b 是正整数，
∴2
m 是正整数，
∴
1
2
m = 或；
当
1
m = 时，方程化为
2
2
0
x
x
−
=
，解得
1
2
x =
，
2
0
x =
，不符合题意；
当
2
m =
时，方程化为
2
2
2
1
0
x
x
−
−=
，解得
1
1
3
2
x
+
=
，
2
1
3
2
x
−
=
，不符合题意；
故不存在这样的直角三角形；
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程整数根的情况，根据数字的特点找到范围并进行分类求解是解题的关键．
变式8-2 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程
2
7
12
0
x
x
−
+
=
的两个实数根，则这个直角
三角形斜边的长是___________．
【答案】5
【分析】此题考查一元二次方程的根与系数的关系和勾股定理，解题关键是一元二次方程的根与系数的关
系为
1
2
1 2
,
b
c
x
x
x x
a
a
+
= −
=
．
根据直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程
2
7
12
0
x
x
−
+
=
的两个实数根，可直接设出,a b ，根据
韦达定理和勾股定理求解即可．
【详解】解：设两条直角边的长分别是,a b ，
7,
12
a
b
ab
+
=
=
，
2
2
2
2
(
)
2
7
2 12
25
a
b
a
b
ab
+
=
+
−
=
−
=
，
∴直角三角形斜边的长是25
5
=
．
故答案为：5．
变式8-3 若一元二次方程
2
4
2
0
x
x
−
+
=
的两个实数根是某直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形
的周长为 ____ ．
【答案】4
2 3
+
21 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】此题考查一元二次方程的根与系数的关系、勾股定理，解题关键是一元二次方程的根与系数的关
系为
1
2
b
x
x
a
+
= −
，
1 2
c
x x
a
=
．根据直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程
2
4
2
0
x
x
−
+
=
的两个实数
根，可直接设出
1x ，
2x ，根据一元二次方程根与系数的关系、勾股定理求解即可．
【详解】解：设两条直角边的长分别是
1x ，
2x ，
则
1
2
4
x
x
+
=
，
1
2
2
x x
=
，
2
2
2
1
2
1
2
1 2
(
)
2
16
4
12
x
x
x
x
x x
+
=
+
−
=
−
=
，
直角三角形斜边的长是12
2 3
=
，
这个直角三角形的周长为：4
2 3
+
．
故答案为：4
2 3
+
．
题型九、与降次结合
典例9 已知实数a、b 是方程
2
2
1
0
x
x
−
−=
的两个根，则
3
6
a
a
b
+
+
的值是（ ）
A．14
B．14
−
C．17 2
D．10
【答案】A
【详解】解：∵a 是方程
2
2
1
0
x
x
−
−=
的根，
∴
2
2
1
0
a
a
−
−=
，
∴
2
2
1
a
a
=
+ ，
∴
(
)
2
2
1
a
a
a
a
=
+
，
∴
3
2
2
=
+
a
a
a，
∴
(
)
3
2 2
1
5
2
a
a
a
a
=
+
+
=
+
，
∴
(
)
3
6
5
2
6
6
2
a
a
b
a
a
b
a
b
+
+
=
+
+
+
=
+
+
．
∵a ，b 是方程
2
2
1
0
x
x
−
−=
的两根，
∴由根与系数的关系得
2
a
b
+
=
，
∴原式
6 2
2
14
= +
=
．
变式9-1 已知
1x ，
2x 是方程
2
5
0
+
−
=
x
x
的两个实数根，则
3
2
1
2
6
40
x
x
−
+
的值是（ ）
22 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
A．1
B．1
−
C．2
D．2
−
【答案】B
【分析】先利用一元二次方程根的定义对所求式子的高次项降次，再结合一元二次方程根与系数的关系即
可计算出结果．
【详解】解：
1x
，
2x 是方程
2
5
0
+
−
=
x
x
的两个实数根，
2
1
1
5
x
x
=
−
，
2
2
2
5
x
x
=
−
，且由根与系数的关系可得
1
2
1
x
x
+
= −，
对
3
1x 降次：
(
)
(
)
3
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
5
5
5
6
5
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
=
−
=
−
=
−
−
=
−，
对
2
2
6x 变形得：
(
)
2
2
2
2
6
6 5
30
6
x
x
x
=
−
=
−
，
将上述结果代入原式：
(
) (
)
(
)
3
2
1
2
1
2
1
2
6
40
6
5
30
6
40
6
5
x
x
x
x
x
x
−
+
=
−
−
−
+
=
+
+
，
把
1
2
1
x
x
+
= −代入得：
(
)
6
1
5
1
−
+
= −，
所以
3
2
1
2
6
40
x
x
−
+
的值为1
−．
变式9-2 已知
1x ，
2x 是方程
2
3
0
x
x
−
−
=
的两个实数根，则代数式
3
2
1
1
2
3
x
x
x
−
+
的值是___________．
【答案】7
【分析】根据
1x ，
2x 是方程
2
3
0
x
x
−
−
=
的两个实数根，利用一元二次方程解的定义得到降次关系式，再利
用根与系数的关系得到两根之和，将所求代数式逐步降次变形，代入计算即可．
【详解】解：∵
1x ，
2x 是方程
2
3
0
x
x
−
−
=
的两个实数根，
∴
2
1
1
3
0
x
x
−
−
=
，
2
2
2
3
0
x
x
−
−
=
，且
1
2
1
x
x
+
= ，
整理得
2
1
1
3
x
x
=
+ ，
2
2
2
3
x
x
=
+
，
则
3
2
1
1
2
3
x
x
x
−
+
2
2
1
1
1
2
3
x
x
x
x
=
−
+
1
1
1
2
(
3)
3
(
3)
x x
x
x
=
+
−
+
+
2
1
1
1
2
3
3
3
x
x
x
x
=
+
−
+
+
2
1
2
3
x
x
=
+
+
23 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
1
2
(
3)
3
x
x
=
+
+
+
1
2
6
x
x
=
+
+
1 6
7
= +
=
．
变式9-3 若a，b 是一元二次方程
2
3
2
0
x
x
−
−
=
的两个实数根，则
3
2
2
5
1
a
a
b
−
+
−= _______．
【答案】16
【分析】由a ，b 是一元二次方程
2
3
2
0
x
x
−
−
=
的两个实数根，则
3
a
b
+
=
、
2
3
2
0
a
a
−
−
=
，再化简得
(
)
3
2
2
2
5
1
3
5
1
a
a
b
a
a
a
b
−
+
−=
−
+
+
−，然后进行计算即可解答．
【详解】解：a，b 是一元二次方程
2
3
2
0
x
x
−
−
=
的两个实数根，
3
a
b
+
= ，
2
3
2
0
a
a
−
−
=
，
2
3
2
a
a
−
=
，
3
2
3
2
a
a
a
−
=
，则
3
2
2
2
2
a
a
a
a
−
=
+
，
∴
3
2
2
5
1
a
a
b
−
+
−
2
2
5
1
a
a
b
=
+
+
−
2
3
3
2
5
1
a
a
a
a
b
=
−
+
+
+
−
(
)
2
3
5
1
a
a
a
b
=
−
+
+
−
2 5 3 1
=
+ −
16
=
．
题型十、与方程实数根结合
典例10 关于x 的一元二次方程
2
1
0
x
kx−
+
=
的根的情况描述正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．两实数根互为倒数
D．没有实数根
【答案】A
【详解】解：
2
1
0
x
kx−
+
=
，
其中，
1
a = ，b
k
=
，
1
c
−
=
，
(
)
2
2
2
Δ
4
4 1
1
4
b
ac
k
k
=
−
=
−−
=
+
，
∵对任意实数 k ，都有
2
0
k
，
24 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
2
4
0
k
=
+
，
∴ 方程有两个不相等的实数根，故A 正确，B，D 错误；
方程两根的乘积为
1
c
a = −，可知两实数根互为负倒数，不是互为倒数，故C 错误．
变式10-1 已知关于x 的一元二次方程
2
0
x
bx
c
+
+
=
的两个不相等的实数根分别为
,
；关于x 的一元二次
方程
2
0
x
cx
b
+
+
=
的两个实数根分别为
1,
1
−
−．则下列方程中，其两实数根分别为
1,
1
+
+ 的是（ ）
A．
2
5
3
0
x
x
−
−
=
B．
2
5
3
0
x
x
−
+
=
C．
2
5
3
0
x
x
+
−
=
D．
2
3
5
0
x
x
+
−
=
【答案】B
【分析】先根据已知条件，利用根与系数的关系列方程求出b 和c 的值，再计算所求方程两根的和与积，构
造出一元二次方程即可得到答案．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
2
0
x
bx
c
+
+
=
的两个根为，
∴由根与系数的关系得
b
+
= −，
c
=
∵关于x 的一元二次方程
2
0
x
cx
b
+
+
=
的两个根为
1
−，
1
−
∴(
) (
)
1
1
c
−
+
−
= −，(
)(
)
1
1
b
−
−
=
，
∴
2
c
+
−
= −，
(
) 1
b
−
+
+ =
，
将
b
+
= −代入
2
c
+
−
= −得：
2
b
c
−−
= −，
整理得
2
c
b
=
+
．
将
c
=
代入
(
) 1
b
−
+
+ =
得：
1
c
b
b
+ + =
，
化简得
1
c
−
=
把
1
c
−
=
代入
2
c
b
=
+
，
解得
3
b = −
∵(
) (
)
(
)
(
)
1
1
2
2
3
2
5
b
+
+
+
=
+
+
= −+
= −−
+
=
，
(
)(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
1
3
1
3
c
b
+
+
=
+
+
+ =
−
+ = −−−
+ =
，
∴所求一元二次方程为
2
5
3
0
x
x
−
+
=
．
变式10-2 已知关于x 的方程
(
)
2
2
2
1
0
x
m
x
m
+
−
+
=
有实数根．且
，
是方程的两个实数根，实数m 使得
25 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2
2
13
+
−
=
成立，则m = ______________．
【答案】2
−
【分析】本题考查了根与系数的关系：若
1
2
,
x x 是一元二次方程
2
0(
0)
ax
bx
c
a
+
+
=
的两根时，
1
2
1 2
,
b
c
x
x
x x
a
a
+
= −
=
，反过来也成立，也考查了根的判别式．
根据判别式的意义得到
2
2
(2
1)
4
0
m
m
=
−
−
，然后解不等式；根据根与系数的关系得到
2
(2
1),
m
m
+
= −
−
=
，利用
2
2
13
+
−
=
得到
2
(
)
3
13
+
−
=
，则
2
2
(2
1)
3
13
m
m
−
−
=
，然后解方程后利用m 的范围确定m 的值．
【详解】根据题意得
2
2
(2
1)
4
0,
m
m
=
−
−
解得
1
4
m
；
根据题意得
(2
1)
m
+
= −
−
，
2,
m
=
2
2
13,
+
−
=
2
(
)
3
13,
+
−
=
2
2
(2
1)
3
13
m
m
−
−
−
=
即
2
2
(2
1)
3
13,
m
m
−
−
=
整理得
2
4
12
0
m
m
−
−
=
，解得
1
2
m = −，
2
6,
m =
1 ,
4
m
∴m 的值为2
−．
故答案为：2
−．
变式10-3 已知关于x 的方程
(
)
2
2
2
1
2
0
x
k
x
k
−
+
+
−
=
有两个实数根
1x ，
2x ．
(1)求实数k 的取值范围；
(2)若方程的一个实数根为2 ，求另一个实数根；
(3)若方程的两个实数根
1x ，
2x 满足
1
2
1
1
1
2
x
x
+
= −
，求k 的值．
【答案】(1)
9
4
k −
(2) 1
−或7
(3)
0
k =
26 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】（1）根据
0
列出不等式解答即可求解；
（2 ）把
2
x =
代入方程可求出
0
k =
或
4
k =
，再把k 的值代回方程，解方程求出另一个实数根即可；
（3）根据一元二次方程根和系数的关系得
1
2
2
1
x
x
k
+
=
+ ，
2
1
2
2
x x
k
=
−
，即得
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
2
x
x
k
x
x
x x
k
+
+
+
=
=
= −
−
，
解方程求出k 的值，再结合（1）k 的取值范围即可求解；
本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程及一元二次方程解的定义，一元二次方程根和系数
的关系，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，
(
)
(
)
2
2
Δ
2
1
4 1
2
0
k
k
= −
+
−
−
，
解得
9
4
k −
；
（2）解：∵方程的一个实数根为2 ，
∴
(
)
2
4
2 2
1
2
0
k
k
−
+
+
−
=
，
整理得，
2
4
0
k
k
−
=
，
解得
0
k =
或
4
k =
，
当
0
k =
时，方程为
2
2
0
x
x
−
−
=
，
解得
1
2
x =
，
2
1
x = −，
∴方程的另一个实数根为1
−；
当
4
k =
时，方程为
2
9
14
0
x
x
−
+
=
，
解得
1
2
x =
，
2
7
x =
，
∴方程的另一个实数根为7 ；
综上，另一个实数根为1
−或7 ；
（3）解：由一元二次方程根和系数的关系得，
1
2
2
1
x
x
k
+
=
+ ，
2
1
2
2
x x
k
=
−
，
∴
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
2
x
x
k
x
x
x x
k
+
+
+
=
=
= −
−
，
整理得，
2
4
0
k
k
+
=
，
解得
0
k =
或
4
k = −，
∵
9
4
k −
，
∴
4
k = −不合题意，舍去，
∴
0
k =
．
27 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
题型十一、最值问题
典例11 关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
2
2
2
0
−
+
+
+
=
x
k
x
k
k
有两个实数根
1
2
,
x x ，则代数式
2
2
1
2
1
2
1
x
x
x x
+
−
+ 的
最小值是（ ）
A．8
−
B．5
−
C．1
D．2
【答案】C
【分析】先根据
0
得到k 的范围；再将所求式子变形，用一元二次方程的根与系数关系把它表示成k 的
代数式；最后根据k 的范围得到所求代数式的最小值．本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关
系，涉及到二次函数的图象性质，比较综合．
【详解】解：
2
2
2(
2)
2
0
x
k
x
k
k
−
+
+
+
=
有两个实数根，
∴
0
，
即
2
2
4(
2)
4(
2 )
0
k
k
k
+
−
+
，
解得
2
k −；
1x
、
2x 是
2
2
2(
2)
2
0
x
k
x
k
k
−
+
+
+
=
的两个实数根，
1
2
2
4
x
x
k
+
=
+
，
2
1
2
2
x
x
k
k
=
+
，
则
2
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
+
−
+
2
1
2
1
2
(
)
3
1
x
x
x
x
=
+
−
+
2
2
(2
4)
3(
2 ) 1
k
k
k
=
+
−
+
+
2
10
17
k
k
=
+
+
(
)
2
5
8
k
=
+
−，
令
(
)
2
5
8
y
k
=
+
−，
则开口向上，对称轴为直线
5
k
−
=
，
当
2
k −时，
2
(
5)
8
k +
−的值随k 的增大而增大，
2
k
= −时，
2
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
+
−
+ 的值最小为
2
( 2
5)
8
1
−+
−= ．
故选：C．
28 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
变式11-1 已知实数m ，n 满足
2
2
2
2
4
0
m
am
a
a
−
+
−
+
=
，
2
2
2
2
4
0
n
an
a
a
−
+
−
+
=
，则(
)
(
)
2
2
1
1
m
n
+
+
+
的最
小值是（ ）
A．18
B．16
C．6
−
D．14
−
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，配方的应用，由实数m ，n 满足
2
2
2
2
4
0
m
am
a
a
−
+
−
+
=
，
2
2
2
2
4
0
n
an
a
a
−
+
−
+
=
，则m ，n 是方程
2
2
2
2
4
0
x
ax
a
a
−
+
−
+
=
的两个实数根，则有
2
a
，
2
m
n
a
+
=
，
2
2
4
m
a
a
n =
−
+
，然后代入(
)
(
)
2
2
1
1
m
n
+
+
+
可得(
)
2
2
2
14
a +
−
，又
2
a
，故(
)
2
2
2
14
18
a +
−
，从而求解，
熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵实数m ，n 满足
2
2
2
2
4
0
m
am
a
a
−
+
−
+
=
，
2
2
2
2
4
0
n
an
a
a
−
+
−
+
=
，
∴m ，n 是方程
2
2
2
2
4
0
x
ax
a
a
−
+
−
+
=
的两个实数根，
∴
(
)
(
)
2
2
2
4
8
16
0
2
4 a
a
a
a
+
−
−
−
= −
=
，
2
m
n
a
+
=
，
2
2
4
m
a
a
n =
−
+
，
∴
2
a
，
∴(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
m
m
m
n
n
n
+
+
+
=
+ +
+
+
+
(
)
2
2
2
2
m
n
m
n
=
+
+
+
+
(
)
(
)
2
2
2
2
m
n
mn
m
n
=
+
−
+
+
+
(
)
2
2
2
2
4
2
4
4
a
a
a
a
−
+
=
−
+
+
2
2
8
6
a
a
=
+
−
(
)
2
2
2
14
a
=
+
−
∵
2
a
，
∴(
)
2
2
2
14
32 14
18
a +
−
−
=
，
即(
)
(
)
2
2
1
1
m
n
+
+
+
的最小值是18，
故选：A ．
变式11-2 若a，b，c 均为正实数，且
3
a
b
c
abc
a
+
+
=
=
，则a 的最小值为__________．
【答案】3
29 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】本题考查因式分解和一元二次方程的判别式．解题的关键是将待求代数式，用一个字母进行表示，
构造出一元二次方程．根据
3
a
b
c
abc
a
+
+
=
=
，得到
3
b
c
a
a
+
=
−
，
2
bc
a
=
，构造一个以b，c 为两个根的一
元二次方程，再转化为含字母a 的一元二次方程，根据方程有两个根，得到
0
，求出a 的取值范围，即
可得解．
【详解】解：∵a，b，c 均为正实数，且
3
a
b
c
abc
a
+
+
=
=
，
∴
3
b
c
a
a
+
=
−
，
2
bc
a
=
，
∴b，c 是方程
2
(
)
0
−
+
+
=
x
b
c x
bc
的两根，
∵方程
(
)
2
3
2
0
x
a
a x
a
−
−
+
=
有两个实数根，
∴
3
2
2
(
)
4
0
a
a
a
=
−
−
，即
6
4
2
2
3
0
a
a
a
−
−
∵
2
0
a
，
∴
4
2
2
3
0
a
a
−
−
，即
2
2
0
(
3)(
1)
a
a
−
+
，
∵
2
(
)
0
1
a +
，
∴
2
3
0
a −
，即
2
3
a
，即正实数a 的最小值为3 ．
故答案为：3 ．
变式11-3 已知关于x 的一元二次方程
2
1
(1 4 )
4
0
8
kx
k x
k
−
−
+
−
=
有两实数根
1x 、
2x ．
（1）求k 的取值范围；
（2）若
(
)
1
2
3
y
k x
x
=
+
−，当k 取何值时，y 有最小值，并求出最小值；
（3）若等腰三角形ABC 的一边长为2，另两边是
1x ，
2x ，求k 的值．
【答案】（1）
1
6
k
且
0
k
；（2）当
1
6
k =
时
min
8
3
y
= −
；（3）
5
32
k =
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得到关于k 的不等式，然后求解即可；
（2）根据根与系数的关系求得
1
2
x
x
+
，得到
4
2
y
k
= −
−
，再根据一次函数的增减性即可得解；
（3）分两种情况求出k 的值，然后判断其是否符合题意即可.
【详解】解：（1）∵
2
1
(1 4 )
4
0
8
kx
k x
k
−
−
+
−
=
有两实数根
1x 、
2x ，
∴
2
1
(1
4 )
16
0
8
k
k k
=
−
−
−
，
30 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
解，得
1
6
k
，
又∵
0
k
，
∴
1
6
k
且
0
k
；
（2）∵
1
2
1 4k
x
x
k
−
+
=
，
∴
(
)
1
2
3
1
4
3
4
2
y
k x
x
k
k
=
+
−
= −
−
= −
−，
∴当
1
6
k =
时，
min
8
3
y
= −
；
（3）①当2 为腰时，
令
1
2
x =
，则
1
4
2(1 4 )
4
0
8
k
k
k
−
−
+
−
=
，
解得
5
32
k =
，
原方程为
2
5
3
1
0
32
8
8
x
x
−
+
=
，
1
2
x =
或
2
2
5
x =
，
满足题意，
∴
5
32
k =
，
②当2 为底时，
令
1
2
x
x
=
，
0
=
，则
1
6
k =
，
原方程为
2
1
1
1
0
6
3
6
x
x
−
+
=
，
1
2
1
x
x
=
= ，
1 1
2
+ =
不成立，
综上，
5
32
k =
.
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一次函数的性质等，解此题的关键在
于熟练掌握其知识点并灵活运用.
题型十二、特殊方程—一元三次方程
典例12 小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如
31 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
果
1x ，
2x ，
3x 是一元三次方程
(
)
3
2
0
0
ax
bx
cx
d
a
+
+
+
=
的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程
根与系数的关系．
一元二次方程根与系数的探究
因为
1x ，
2x 是方程的根，根据方程根的定义
得到
2
1
2
(
)(
)
ax
bx
c
a x
x
x
x
+
+
=
−
−
展开右边得到
2
2
1
2
1
2
(
)
ax
bx
c
ax
a x
x x
ax x
+
+
=
−
+
+
因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同
对比后得
1
2
1 2
(
) ,
bx
a x
x x c
ax x
= −
+
=
整理后得到
1x +
2x
b
a
= −
，
1x
2x
c
a
=
则
1
2
3
x x
x
用系数可以表示为（ ）
A．b
a
B．
b
a
−
C．d
a
D．
d
a
−
【答案】D
【分析】类比一元二次方程根与系数的探究方法，将三次方程因式分解为含根的乘积形式，对比常数项系
数求解．
【详解】解：∵
1x ，
2x ，
3x 是一元三次方程
(
)
3
2
0
0
ax
bx
cx
d
a
+
+
+
=
的三个根，
∴
(
)(
)(
)
3
2
1
2
3
ax
bx
cx
d
a x
x
x
x
x
x
+
+
+
=
−
−
−
，
展开右边得
(
)
(
)
3
2
1
2
3
1
2
1
3
2
3
1
2
3
ax
a x
x
x
x
a x x
x x
x x
x
ax x x
−
+
+
+
+
+
−
．
∵等式为恒等式，两边常数项对应相等，
∴
1
2
3
d
ax x x
= −
，
整理得
1
2
3
d
x x x
a
= −
．
变式12-1 我们知道一元二次方程
2
2
1
0
0
a x
a x
a
+
+
=
可以变形为
(
)(
)
2
1
2
0
a
x
x
x
x
−
−
=
，展开后对应项易得到
韦达定理，那么类比推理过程，在一个一元三次方程
3
2
2
4
3
0
x
x
x
a
−
+
+
+
=
，则下列关于此一元三次方程的
根的式子不正确的是（ ）
32 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
A．
1
2
3
2
x
x
x
+
+
=
B．
1 2
2
3
1 3
3
2
x x
x x
x x
+
+
=
C．
1 2
3
2
a
x x x =
D．
2
2
2
1
2
3
7
x
x
x
+
+
=
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，仿照题意所给的方法，将原方程变形为
(
)
(
)
3
2
1
2
3
1
2
1
3
2
3
1
2
3
0
a x
a
x
x
x
x
a
x x
x x
x x
x
a x x x
−
+
+
+
+
+
−
=
，则可得
(
)
1
2
3
b
a x
x
x
= −
+
+
，
(
)
1
2
1
3
2
3
c
a
x x
x x
x x
+
+
=
，
1
2
3
d
a x x x
= −
，据此可得答案．
【详解】解：设一元三次方程
(
)
3
2
0
0
a x
bx
cx
d
a
+
+
+
=
的三个实根分别为
1x ，
2x ，
3x ，
则方程可写成(
)(
)(
)
1
2
3
0
a x
x
x
x
x
x
−
−
−
=
，
∴
(
)
(
)
2
1
2
1
2
3
0
a
x
x
x
x x
x
x
−
+
+
−
=
，
∴
(
)
3
1
2
3
1
2
2
3
2
3
1
2
3
0
a
x
x
x
x
x
x x
x x
x x
x x x
−
+
+
+
+
+
−
=
∴
(
)
(
)
3
2
1
2
3
1
2
1
3
2
3
1
2
3
0
a x
a
x
x
x
x
a
x x
x x
x x
x
a x x x
−
+
+
+
+
+
−
=
．
对比可得，
(
)
1
2
3
b
a x
x
x
= −
+
+
，
(
)
1
2
1
3
2
3
c
a
x x
x x
x x
+
+
=
，
1
2
3
d
a x x x
= −
，
可得
1
2
3
4
2
2
b
x
x
x
a
+
+
= −
= −
=
−
，
1
2
2
3
1
3
3
2
c
x x
x x
x x
a
+
+
=
= −
，
1
2
3
2
2
d
a
a
x x x
a
= −
= −
=
−
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
3
1
2
2
3
1
3
3
2
2
2
7
2
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x x
+
+
=
+
+
−
+
+
=
−−
=
，
故选：B．
变式12-2 韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
的两实数根分别为
1x ，
2x ，则方程可写成(
)(
)
1
2
0
a x
x
x
x
−
−
=
，即
(
)
2
1
2
1
2
0
ax
ax x
x
ax x
−
+
+
=
，容易发现根与系数的关系：
1
2
b
x
x
a
+
= −
，
1 2
c
x x
a
=
，设一元三次方程
(
)
3
2
0
0
ax
bx
cx
d
a
+
+
+
=
三个非零实数根分别为
1x ，
2x ，
3x ，现给出以下结论：①
1
2
3
b
x
x
x
a
+
+
= −
；②
1
2
3
d
x x x
a
= −
；③
1
2
2
3
1 3
c
x x
x x
x x
a
+
+
=
，其中正确的是_____
【答案】①②③
【分析】仿照题干给出的一元二次方程根与系数关系的推导方法，将一元三次方程按因式形式展开后，对
33 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
比对应系数即可判断各结论．
【详解】解：一元三次方程
(
)
3
2
0
0
ax
bx
cx
d
a
+
+
+
=
三个非零实数根分别为
1x ，
2x ，
3x ，
原方程可写为(
)(
)(
)
1
2
3
0
a x
x
x
x
x
x
−
−
−
=
展开多项式得：
(
)
(
)
2
1
2
1
2
3
0
a x
x
x
x
x x
x
x
−
+
+
−
=
整理得
(
)
(
)
3
2
1
2
3
1
2
2
3
1
3
1
2
3
0
ax
a x
x
x
x
a x x
x x
x x
x
ax x x
−
+
+
+
+
+
−
=
将上式与原方程
3
2
0
ax
bx
cx
d
+
+
+
=
对比系数可得：
(
)
1
2
3
a x
x
x
b
−
+
+
=
，即
1
2
3
b
x
x
x
a
+
+
= −
，故①正确；
(
)
1
2
2
3
1
3
a x x
x x
x x
c
+
+
=
，即
1
2
2
3
1 3
c
x x
x x
x x
a
+
+
=
，故③正确；
1
2
3
ax x x
d
−
=
，即
1
2
3
d
x x x
a
= −
，故②正确．
综上所述，正确的是①②③．
变式12-3 小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方
程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他
完成相应任务：
探究一元三次方程根与系数的关系
素
材
1
一元三次
方程的定
义
我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
3 次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为
3
2
0
ax
bx
cx
d
+
+
+
=
（b
c
d
、、为常数，且
0
a
）．
素
材
2
一元三次
方程的解
法
若一元三次方程
3
2
0(
0)
ax
bx
cx
d
a
+
+
+
=
的左边在实数范围内可因式
分解为(
)(
)(
)
a x
p x
q x
r
−
−
−
（p
q
r
、、为实数），即原方程化为：
(
)(
)(
)
0
a x
p x
q x
r
−
−
−
=
，则得方程的根为
1
2
3
x
p
x
q
x
r
=
=
=
，
，
．
素
材
3
一元二次
方程根与
系数的关
系的探究
设一元二次方程
2
0(
0)
ax
bx
c
a
+
+
=
有两个根
1
2
,
x x ，则方程可化为
(
)(
)
1
2
a x
x
x
x
0
−
−
=
，即
(
)
2
1
2
1
2
0
ax
a x
x
x
ax x
−
+
+
=
，与原方程系数
进行比较，可得根与系数的等量关系为：
1
2
1 2
b
c
a
x
x
x x
a
+
= −
=
，
．
34 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
过程
问题解决
任
务
1
感受新知
若关于x 的三次方程
3
2
0
ax
bx
cx
d
+
+
+
=
（a
b
c
d
、、、为常数）的左
边可分解为(
1)(
2)(
3)
a x
x
x
−
+
−
，则方程
3
2
0
ax
bx
cx
d
+
+
+
=
的三个根
分别为
1x =__________，
2x = __________，
3x =__________．
任
务
2
探索新知
若关于x 的三次方程
3
2
0
ax
bx
cx
d
+
+
+
=
的三个根为
1
2
3
x
x
x
，，，请探
究
1
2
3
1
2
3
x
x
x
x x
x
+
+
，
与系数a
b
c
d
、、、之间的等量关系．
任
务
3
应用新知
利用上一任务的结论解决：若方程
3
2
2
7
6
0
x
x
x
+
−
−
=
的三个根为
、、
，求1
1
1
+
+
的值．
【答案】任务1：1，2
−，3；任务2 ：
1
2
3
b
x
x
x
a
+
+
= −
，
1
2
3
d
x x
x
a
= −
；任务3：
1
6
−
【分析】任务1：根据
0
abc =
时，
0
a =
或
0
b =
或
0
c =
，即可解决问题；
任务2 ：将方程改写成几个一次因式积的形式，展开后进行对比即可解决问题；
任务3：利用上述过程发现的结论即可解决问题；
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握整体思想的运用是解题的关键．
【详解】解：任务1：由题意可知，原方程可化为：(
)(
)(
)
1
2
3
0
a x
x
x
−
+
−
=
，
∴
1
0
x −= 或
2
0
x +
=
或
3
0
x −= ，
1
2
3
1
2
3
x
x
x
=
= −
=
，
，
，
故答案为：1，2
−，3；
任务2 ：由题意可知，原方程可化为：(
)(
)(
)
1
2
3
0
a x
x
x
x
x
x
−
−
−
=
，
展开整理得：
(
)
(
)
3
2
1
2
3
1
2
1
3
2
3
1
2
3
0
ax
a x
x
x
x
a x x
x x
x x
x
ax x x
−
+
+
+
+
+
−
=
，
与原方程
3
2
0
ax
bx
cx
d
+
+
+
=
比较可得，
1
2
3
b
x
x
x
a
+
+
= −
，
1
2
3
d
x x
x
a
= −
；
任务3：利用上题结论可知：
1
2
+
+
= −
，
6
3
2
−
= −
=
，
35 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
1
1
1
1
1
2
3
6
−
+
+
+
+
=
=
= −
．
题型十三、根与系数的对称式
典例13 如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足
2
3
m
m
−
=
，
2
3
n
n
−
=
，那么代数式
2
2
2
14
n
mn
m
−
+
+
的
值是（ ）
A．23
B．24
C．25
D．26
【答案】C
【分析】由题意可知，两个不相等的实数m ，n 都满足同一个二次关系式，因此m ，n 是一元二次方程
2
3
0
x
x
−
−
=
的两个不等实根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再对所求代数式降次变形，整体
代入计算即可．
【详解】解：
m
，n 是两个不相等的实数，且满足
2
3
m
m
−
=
，
2
3
n
n
−
=
，
m
，n 是一元二次方程
2
3
0
x
x
−
−
=
的两个不相等实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系得：
1
m
n
+
= ，
3
mn = −，
又
2
3
n
n
−
=
，
2
3
n
n
=
+
，
将
2
3
n
n
=
+ 代入所求代数式得：
2
2
2
14
n
mn
m
−
+
+
(
)
2
3
2
14
n
mn
m
=
+
−
+
+
2
2
20
m
n
mn
=
+
−
+
(
)
2
20
m
n
mn
=
+
−
+
(
)
2 1
3
20
=
−−
+
25
=
．
变式13-1 若实数m ，n 满足
2
3
0
m
m
+
−
=
，
2
3
0
n
n
+
−
= ，且m
n
，则m
n
mn
+
−
的值为（ ）
A．
1
2
−
B．1
2
C．2
−
D．2
【答案】D
【分析】把
,
m n看作一元二次方程
2
3
0
x
x
+
−
=
的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系
36 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
进行解答即可．
【详解】∵
2
3
0
m
m
+
−
=
，
2
3
0
n
n
+
−
=
，m
n
，
∴可以把
,
m n看作一元二次方程
2
3
0
x
x
+
−
=
的两个不相等的实数根，
∴
1
3
1,
3
1
1
m
n
mn
−
+
= −= −
=
= −，
∴
(
)
1
3
2
m
n
mn
+
−
= −−−
=
．
变式13-2 已知实数m、n 满足
2
5
1
m
m
−
= ，
2
5
1
n
n
−
= ，m
n
，则1
1
m
n
+
的值为________________．
【答案】5
−
【分析】由已知条件可知，m ，n 满足同一个一元二次方程，因此m ，n 可看作一元二次方程
2
5
1
0
x
x
−
−
=
的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子通分后整体代入计算即
可得到结果．
【详解】解：实数m ，n 满足
2
5
1
m
m
−
= ，
2
5
1
n
n
−
= ，且m
n
，
m
，n 是一元二次方程
2
5
1
0
x
x
−
−
=
的两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系可得，
5
m
n
+
= ，
1
mn
−
=
，
1
1
5
5
1
m
n
m
n
mn
+
+
=
=
= −
−
．
变式13-3 请认真阅读材料
材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
（
0
a
，
2
4
0
b
ac
−
）的两根
1x ，
2x 有如下的关系：
1
2
b
x
x
a
+
= −
，
1
2
c
x
x
a
=
；
材料2：如果实数m 、n 满足
2
1
0
m
m
−
−=
、
2
1
0
n
n
−
−=
，且m
n
，则可利用根的定义构造一元二次方程
2
1
0
x
x
−
−=
，将m 、n 看作是此方程的两个不相等的实数根；
材料3：如果实数m 、n 满足m
n
p
+
= −
、mn
q
=
，则可利用韦达定理构造一元二次方程
2
0
x
px
q
+
+
=
，则
此方程一定有m 、n 两个实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)已知一元二次方程
2
1013
0
x
x
−
−
=
的两根分别为a 、b ，求
2
2
a
b
+
的值．
(2)已知不相等的两个实数p 、q 满足
2
2
4
6
4
6
0
p
p
q
q
+
−
+
+
−
=
，求
2
5
p
pq
p
q
−
+
+
的值．
(3)已知实数a 、b 、c 满足
2
0
a
b
c
+ +
=
、
2
2
0
ab
c
c
−
−+
=
，求c 的最大值．
37 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】(1)
2
2
2027
a
b
+
=
(2)
2
5
8
p
pq
p
q
−
+
+
=
(3)c 的最大值为2
【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系与完全平方公式的变形求解；
（2）利用二次根式的被开方数的非负性得到
2
2
4
6
0
4
6
0
p
p
q
q
+
−
=
+
−
=
，根据两个一元二次方程的二次项系数，一次
项系数以及常数项都相等判断出,p q是一元二次方程
2
4
6
0
x
x
+
−
=
的两个不相等的实数根，再根据根与系数
的关系求解；
（3）根据材料3 构造一元二次方程，再根据判别式求解即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程
2
1013
0
x
x
−
−
=
的两根分别为a 、b ，
∴由根与系数的关系可知：
1
1013
a
b
ab
+
=
= −
，
(
)
2
2
2
2
2
1
2 1013
2027
a
b
a
b
ab
+
=
+
−
=
+
=
；
（2）解：
2
2
4
6
4
6
0
p
p
q
q
+
−
+
+
−
=
，
2
4
6
0
p
p
+
−
，
2
4
6
0
q
q
+
−
，
2
2
4
6
0
4
6
0
p
p
q
q
+
−
=
+
−
=
，
∵p
q
，
∴实数p 、q 可看作是方程
2
4
6
0
x
x
+
−
=
的两个不相等的实数根
由根与系数的关系可知：
4
6
p
q
pq
+
= −
= −
，
(
)
(
)
(
)
2
2
5
4
6
6
4
8
p
pq
p
q
p
p
pq
p
q
−
+
+
=
+
−
+
+
=
−−
−
=
．
（3）解：∵实数a 、b 、c 满足
2
0
a
b
c
+ +
=
、
2
2
0
ab
c
c
−
−+
=
，
2
2
2
a
b
c
ab
c
c
+
= −
=
+ −
，
∴实数a 、b 可看作是方程
2
2
2
2
0
x
cx
c
c
+
+
+
−
=
的两个实数根 ，
(
)
2
2
Δ
(2 )
4
2
0
c
c
c
=
−
+ −
，
解得：
2
c
，
c
的最大值为2．
38 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
题型十四、倍根方程
典例14 如果关于x 的一元二次方程
2
0
x
bx
c
+
+
=
有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2 倍，则称
这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（ ）
①方程
2
2
0
x
x
−
−
=
是倍根方程；
②(
)(
)
2
0
x
mx
n
−
+
=
是倍根方程，则
2
2
4
5
0
m
mn
n
+
+
=
；
③若p ，q 满足
2
pq =
，则关于x 的方程
2
3
0
px
x
q
+
+
=
是倍根方程；
A．①②③
B．②
C．③
D．②③
【答案】D
【分析】本题属于新定义题，掌握解一元二次方程的方法、理解新定义是解题的关键．
①是求出方程的两个根，根据倍根方程的定义进行判断即可，求出②中方程的两个根，根据倍根方程的定
义，分两种情况求出m 和n 的关系，代入后面的式子即可判断，③根据
2
pq =
，得出
2
2
3
0
px
x
p
+
+
=
，解
方程即可判断对错．
【详解】解：①方程
2
2
0
x
x
−
−
=
的解为
1
2
x =
，
2
1
x = −，此方程不是倍根方程，此结论错误；
②∵(
)(
)
2
0
x
mx
n
−
+
=
是倍根方程，且
1
2
2
n
x
x
m
=
= −
，
，
∴
1
n
m = −或
4
n
m = −，
∴
0
m
n
+
=
或4
0
m
n
+
= ，
∴
(
)(
)
2
2
4
5
4
0
m
mn
n
m
n
m
n
+
+
=
+
+
=
，此结论正确．
③关于x 的一元二次方程
2
3
0
px
x
q
+
+
=
是“倍根方程”，理由如下：
∵
2
pq =
，
∴方程
2
3
0
px
x
q
+
+
=
可变为：方程
2
2
3
0
px
x
p
+
+
=
，
解方程
2
2
3
0
px
x
p
+
+
=
得：
1
2
1
2
x
x
p
p
= −
= −
，
，
∴
2
1
2
x
x
=
，此结论正确；
故选D．
变式14-1 如果关于x 的一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2 倍，
则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（ ）
39 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
①方程
2
6
8
0
x
x
−
+
=
是倍根方程；
②若(
)(
)
2
1
0
x
mx
−
+
=
是倍根方程，则
1
4
m
−
=
；
③若,p q满足
8
pq =
，则关于x 的方程
2
6
0
px
x
q
−
+
=
是倍根方程；
④若关于x 的方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
是倍根方程，则
2
2
9
b
ac
=
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．①②③④
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，根与的关系，新定义的倍根方程的意义．①求出方程的解，
再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n 之间的关系，
即可判断；③当p，q 满足
8
pq =
，设两根为和2，利用根与系数的关系判断；④设根为和2，利
用根与系数的关系，消去得出关系式，进行判断即可．
【详解】解：①解方程
2
6
8
0
x
x
−
+
=
，
(
)(
)
2
4
0
x
x
−
−
=
，
∴
2
0
x−
=
或
4
0
x−
=
，
解得，
1
2
x =
，
2
4
x =
，得，
1
2
2x
x
=
，
∴方程
2
6
8
0
x
x
−
+
=
是倍根方程，故①正确；
②若(
)(
)
2
1
0
x
mx
−
+
=
是倍根方程，
1
2
x =
，
因此
2
1
x = 或
2
4
x =
，
当
2
1
x = 时，
1
0
m+ =
，∴
1
m = −；
当
2
4
x =
时，4
1
0
m+ =
，∴
1
4
m
−
=
；故②错误；
③∵
8
pq =
，假设关于x 的方程
2
6
0
px
x
q
−
+
=
是倍根方程，
∴设两根为和2，则两根和为
6
3
p
=
，两根根积为
2
2
q
p
=
，
代入
8
q
p
=
，得
2
2
8
2
p
=
，解得
2
p
=
，满足两根根和为 6
p ，故③正确；
④对于倍根方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
，设根为和2，则两根和为 3
b
a
= −
，
两根积为
2
2
c
a
=
，消去得
2
2
9
b
ac
=
，故④正确；
综上，①③④均正确，
40 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
故选：B．
变式14-2 如果关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2 倍，则称
这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有__________(填序号)．
①方程
2
9
18
0
x
x
−
+
=
是倍根方程；
②若(
)(
)
2
0
x
mx
n
+
+
=
是倍根方程：则
2
2
4
5
0
m
mn
n
+
+
=
；
③若,p q满足
2
pq =
，则关于x 的方程
2
3
0
px
x
q
+
+
=
是倍根方程；
④若关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
是倍根方程，则必有
2
2
9
b
ac
=
．
【答案】①③④
【分析】本题考查了“倍根方程”的概念，根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键．
①根据倍根方程定义即可得到方程
2
9
18
0
x
x
−
+
=
是倍根方程；②解方程求得方程的根，然后根据倍根方
程的定义得到
2
2
n
m
−=
或4
n
m
= −
即
0
m
n
−
=
或4
0
m n
−
=
，则
(
)(
)
2
2
4
5
4
0
m
mn
n
m
n
m
n
+
+
=
+
+
；③根据
已知条件得到
2
pq =
，解方程
2
3
0
px
x
q
+
+
=
得到方程的根即可判断；④利用“倍根方程”的根与系数的关系
判断即可．
【详解】解：①
2
9
18
0
x
x
−
+
=
，
(
)(
)
3
6
0
x
x
−
−
=
，
解得：
1
2
3
6
x
x
=
=
，
，
方程
2
9
18
0
x
x
−
+
=
是倍根方程；
故①正确；
②解方程(
)(
)
2
0
x
mx
n
+
+
=
，
解得：
1
2
2,
n
x
x
m
= −
= −
(
)(
)
2
0
x
mx
n
+
+
=
是倍根方程，
0
m
2
2
n
m
−= −
或4
n
m
−= −
即m
n
=
或4m
n
=
，
0
m
n
+
，4
0
m
n
+
，
(
)(
)
2
2
4
5
4
0
m
mn
n
m
n
m
n
+
+
=
+
+
，
故②不正确；
41 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
③
2
pq =
，
解方程
2
3
0
px
x
q
+
+
=
得：
2
3
9
4
4
3 1
2
2
2
pq
b
b
ac
x
a
p
p
−
−
−
−
−
=
=
=
1
2
,
1
2
x
x
p
p
= −
= −
2
1
2
x
x
=
，
故③正确；
④设方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
的根为
1
2
x
x
，
，
1
2
1 2
,
b
c
x
x
x x
a
a
+
= −
=
关于x 的方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
是倍根方程，
令
2
1
2
x
x
=
，
1
1
1
1
,
2
2
b
c
x
x
x
x
a
a
+
= −
=
1
3
,2
b
c
x
a
a
= −
=
1
3
b
x
a
= −
2
2
3
b
c
a
a
−
=
2
2
9
b
ac
=
；故④正确．
故答案为：①③④．
变式14-3 如果关于x 的一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根
的2 倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程
2
6
8
0
x
x
−
+
=
的两个根是
1
2
2,
4
x
x
=
=
，则方
程
2
6
8
0
x
x
−
+
=
是“倍根方程”．
(1)方程
2
2
0
x
x
−−
=
①
；
2
3
2
0
x
x
−
+
=
②
；
2
2
3
1
0
x
x
+
+ =
③
，这几个方程中，是“倍根方程”的是______（填
序号）；
(2)若关于x 的方程(
)(
)
2
0
x
x
m
−
−
=
是“倍根方程”，求代数式
2
2
2
m
m
+
+
的值；
(3)若一元二次方程
2
2
(
)
0
4
0
ax
bx
c
b
ac
+
+
=
−
是“倍根方程”，求a、b、c 之间的等量关系．
【答案】(1)②③
42 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(2)代数式
2
2
2
m
m
+
+
的值为26 或5
(3)
2
2
9
b
ac
=
【分析】本题主要考查解一元二次方程及根与系数的关系，熟练掌握解一元二次方程的方法及根与系数的
关系是解题关键．
（1）将题干中的一元二次方程求解，然后看是否符合题意即可；
（2）根据题意得出
4
m =
或
1
m = ，然后分情况代入求解即可；
（3）设方程的两根分别为2t ，t，根据根与系数的关系得出2
,2
b
c
t
t
t t
a
a
+ = −
=
，，即可得出结果．
【详解】（1）解：
2
2
0
x
x
−−
=
①
(
)(
)
2
1
0
x
x
−
+
=
解得：
1
2
2,
1
x
x
−
=
=
．
(
)
2
1
2
2
−
= −
，不是“倍根方程”；
2
3
2
0
x
x
−
+
=
②
(
)(
)
2
1
0
x
x
−
−
=
解得：
1
2
2,
1
x
x
=
= ．
2 1 2
=
，是“倍根方程”；
2
2
3
1
0
x
x
+
+ =
③
(
)(
)
2
1
1
0
x
x
+
+
=
解得：
1
2
0.5,
1
x
x
= −
= −，
(
) (
)
1
0.5
2
−
−
=
，是“倍根方程”．
故答案为：②③．
（2）解：∵(
)(
)
2
0
x
x
m
−
−
=
，
∴
2
0
x−
=
或
0
x
m
−
=
．
解得：
1
2
2,
x
x
m
=
=
．
(
)(
)
2
0
x
x
m
−
−
=
是“倍根方程”，
2 2
4
m
= =
或
2
2 1
m=
= ．
当
4
m =
时，
2
2
2
16
8
2
26
m
m
+
+
=
+ +
=
；
43 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
当
1
m = 时，
2
2
2
1
2
2
5
m
m
+
+
= +
+
=
．
综上所述，代数式
2
2
2
m
m
+
+
的值为26 或5；
（3）解：
2
2
9
b
ac
=
．理由如下：
∵一元二次方程
2
2
(
)
0
4
0
ax
bx
c
b
ac
+
+
=
−
是倍根方程，
∴设方程的两根分别为2t ，t，则2
,2
b
c
t
t
t t
a
a
+ = −
=
，
3
b
t
a
= −
．
2
2
2
2
3
b
c
t
a
a
−
=
=
．
∴
2
2
9
b
ac
=
．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．若关于x 的一元二次方程
2
6
0
x
x
m
−
+
= 两根为
1x ，
2x ，且
1
2
2
x
x
=
，则m 的值为（ ）
A．10
B．8
C．6
D．4
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和与已知条件先求出方程的两个根，再通过
两根之积计算m 的值．
【详解】∵ 方程
2
6
0
x
x
m
−
+
= 的两根为
1x 、
2x ，
∴ 根据根与系数的关系可得
1
2
6
x
x
+
=
，
1
2
x x
m
=
，
∵
1
2
2
x
x
=
，
∴
2
2
2
6
x
x
+
=
，
解得
2
2
x =
，
∴
1
2 2
4
x =
=
，
∴
1
2
4 2
8
m
x x
=
=
= ．
44 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2．若
1
2
,
x x 是方程
2
2
5
0
x
x
+
−
=
的两个根，则
1
1 2
2
2
2
x
x x
x
−
+
的值为（ ）
A．9
−
B．1
−
C．1
D．0
【答案】C
【分析】先对所求代数式变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可．
【详解】解：∵
1x ，
2x 是方程
2
2
5
0
x
x
+
−
=
的两个根，
∴
1
2
2
x
x
−
+
=
，
1
2
5
x x = −．
整理所求代数式得：
(
)
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
x
x x
x
x
x
x x
−
+
=
+
−
，
∴原式
(
) (
)
2
2
5
4
5
1
=
−
−−
= −+
= ．
3．若点
(
)
2, 1
A
−
与点
(
)
, 1
B m −
关于y 轴对称，则下面关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
mx−
+
=
根的说法正确的
是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．
1
x = 是原方程的一个根 C．两根之和为2
− D．两根之积为
3
−
【答案】D
【分析】先根据关于y 轴对称的点的坐标特征求出m 的值，再代入一元二次方程，结合一元二次方程根的
判别式和根与系数的关系判断各选项即可．
【详解】解：∵点
(
)
2, 1
A
−
与点
(
)
, 1
B m −
关于y 轴对称，关于y 轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数
∴
2
m = −
将
2
m = −代入方程得
2
2
3
0
x
x
−
−
=
方程中
1
a = ，
2
b = −，
3
c = −
∵
2
2
Δ
4
(
2)
4 1 (
3)
16
0
b
ac
=
−
= −
−−
=
∴方程有两个不相等的实数根，A 错误；
将
1
x = 代入方程，左边
21
2 1 3
4
0
=
−−
= −
∴
1
x = 不是原方程的根，B 错误；
对于一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
，两根之和为
b
a
−
∴两根之和为
2
2
1
−
−
=
，C 错误；
对于一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
，两根之积为c
a
45 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴ 两根之积为
3
3
1
−= −，D 正确．
4．已知关于x 的一元二次方程
2
1
0
ax
bx
+
+ =
的两根之差为2，则代数式
2
12a
b
−
的最大值为（ ）
A．8
−
B．2
−
C．4
D．10
【答案】C
【分析】结合两根差的条件与根与系数的关系，建立,a b 的等量关系，代入所求式后配方求最值即可．
【详解】解：设方程
2
1
0
ax
bx
+
+ =
的两根分别为
1x ，
2x ．
由根与系数的关系得
1
2
b
x
x
a
+
= −
，
1
2
1
x x
a
=
．
∵ 两根之差为2，
∴
2
1
2
(
)
4
x
x
−
=
．
又∵
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
4
x
x
x
x
x x
−
=
+
−
，
∴
2
1
4
4
b
a
a
−
−
=
．
整理，得
2
2
4
4
b
a
a
−
=
，即
2
2
4
4
b
a
a
=
+
．
将
2
2
4
4
b
a
a
=
+
代入
2
12a
b
−
，得
(
)
2
2
12
4
4
4
8
a
a
a
a
a
−
+
= −
+
，
配方得
2
2
4
8
4(
1)
4
a
a
a
−
+
= −
−
+
．
∵
2
(
1)
0
a −
，
∴
2
4(
1)
0
a
−
−
，
∴
2
4(
1)
4
4
a
−
−
+
．
∴代数式
2
12a
b
−
的最大值为4．
5．已知m ，n 是一元二次方程
2
1
0
x
kx
+
+ =
的两个实数根，p ，q 是一元二次方程
2
0
x
x
k
+
+
=
的两个实数
根，则
2
2
2
m
n
p
q
k
n
m
+
+
+
−
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】先根据两个方程都有实数根，用判别式求出k 的取值范围，再利用一元二次方程根与系数的关系化
简所求代数式，最后根据一次函数的性质求出代数式的最小值．
【详解】解：∵m ，n 是一元二次方程
2
1
0
x
kx
+
+ =
的两个实数根，
46 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴m
n
k
+
= −，
1
mn = ，
2
1
4
0
k
=
−
，即
2
4
k
，
∵p ，q 是一元二次方程
2
0
x
x
k
+
+
=
的两个实数根，
∴
1
p
q
+
= −，pq
k
=
，
2
1 4
0
k
= −
，即
1
4
k
，
∴k 的取值范围为
2
k −，
∴
2
2
2
m
n
p
q
k
n
m
+
+
+
−
2
2
2
2
2
2
2 q
m
n
p
q
k
mn
n
p
m
pq
=
−
+
+
+
+
−
(
)
2
2
2
2
2p
m
n
p
q
k
mn
q
+
=
−
+
+
−
(
)
(
)
2
2
2
2
2
p
m
n
mn
p
q
k
mn
q
+
−
=
−
+
+
−
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
1
k
k
k
−
−
=
−
+ −
−
2
2
2 1
2
k
k
k
=
−
−
+
−
2
1
k
= −
−
∵2
0
−
，
∴原式随k 的增大而减小，且
2
k −，
∴当k 取最大值2
−时，原式取得最小值，即
(
)
2
2
1
3
−−
−=
．
6．已知
1x ，
2x 分别是关于x 的方程
2
2
3
0
x
kx
−
+
=
的两个根，且满足
1
2
1
1
4
x
x
+
= ，则k 的值为______．
【答案】12
【分析】关于x 的一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
的两个实数根
1x ，
2x 和系数a ，b ，c ，有如下关系：
1
2
b
x
x
a
+
= −
，
1
2
c
x
x
a
=
．
【详解】解：∵
1x ，
2x 分别是关于x 的方程
2
2
3
0
x
kx
−
+
=
的两个根，
∴
1
2
2
k
x
x
+
=
，
1
2
3
2
x x =
，
∵
1
2
1
1
4
x
x
+
= ，
∴
1
2
1
2
4
x
x
x x
+
=
，
∴
4
2
3
2
k
= ，
小学
初中
47 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
12
k =
．
7．已知互不相等的实数a，b 满足
2
3
1009
0
a
a
−
−
=
，
2
3
1009
0
b
b
−
−
=
，则
2
2
a
b
+
的值为 _____．
【答案】2021
【详解】解：设a、b 是方程
2
3
1009
0
x
x
−
−
=
的两根，且a
b
，
∴
3
a
b
+
=
，ab＝1009
−
，
∴
(
)
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
+
=
+
−
，，
＝(
)
(
)
2
3
2
1009
−−
，
＝2021．
8．设m、n 是方程(
)(
)
1
4
5
x
x
+
−
= −的两实数根，则n
m
m
n
+
＝_____．
【答案】7
【分析】根据m、n是方程(
)(
)
1
4
5
x
x
+
−
= −的两实数根，得到
3
m
n
+
= ，
1
mn = ，n
m
m
n
+
变形得(
)
2
2
m
n
mn
mn
+
−
，
整体代入即可．
【详解】解：方程(
)(
)
1
4
5
x
x
+
−
= −可化为
2
3
1
0
x
x
−
+ =
，
∵m、n 是方程(
)(
)
1
4
5
x
x
+
−
= −的两实数根，
∴
3
m
n
+
= ，
1
mn = ，
∴
(
)
2
2
2
2
2
3
2 1
7
1
m
n
mn
n
m
n
m
m
n
mn
mn
+
−
+
−
+
=
=
=
=
．
9．已知关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
2
3
0
x
m
x
m
+
+
+
=
有两个实数根
1
2
,
x x ，且
2
2
1
2
9
x
x
+
= ，则m 的值为______．
【答案】0
【分析】先根据一元二次方程有两个实数根得到根的判别式的取值范围，再利用根与系数的关系得到两根
之和与两根之积，将
2
2
1
2
x
x
+
变形后代入建立关于m 的方程，求解后根据根的判别式的要求舍去不合理解，
得到m 的值．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
2
3
0
x
m
x
m
+
+
+
=
有两个实数根，
∴根的判别式
0
，
2
2
Δ
(2
3)
4 1
12
9
0
m
m
m
=
+
−
=
+
，
48 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
解得
3
4
m −
，
由根与系数的关系可得：
(
)
1
2
2
3
x
x
m
−
+
=
+
，
2
1
2
x x
m
=
，
∵
2
2
1
2
9
x
x
+
= ，
∴
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
9
x
x
x
x
x x
+
=
+
−
=
，
代入得：
(
)
2
2
2
3
2
9
m
m
−
+
−
=
，
整理得：
2
2
12
0
m
m
+
= ，
因式分解得：
(
)
6
0
m m +
=
，
解得
1
0
m =
，
2
6
m = −，
∵
3
4
m −
，
∴
6
m
−
=
舍去，
故
0
m =
．
10．已知实数x 、y 满足
2
3
x
x
=
+ ，
2
3
y
y
=
+
且x
y
，则
4
4
x
y
+
=_____．
【答案】31
【分析】由已知条件可得x ，y 是一元二次方程
2
3
0
t
t
−−
=
的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到
x
y
+
与xy的值，再将所求代数式变形后代入计算即可求解．
【详解】解：实数x ，y 满足
2
3
x
x
=
+ ，
2
3
y
y
=
+
，且x
y
．
x
，y 可看作一元二次方程
2
3
0
t
t
−−
=
的两个不相等的实数根．
由根与系数的关系得：
1
x
y
+
= ，
3
xy = −．
2
3
x
x
=
+
．
(
)
4
2
2
2
2
(
)
(
3)
6
9
3
6
9
7
12
x
x
x
x
x
x
x
x
=
=
+
=
+
+
=
+
+
+
=
+
．
同理可得：
4
7
12
y
y
=
+
．
∴
4
4
7
12
7
12
7(
)
24
7 1 24
31
x
y
x
y
x
y
+
=
+
+
+
=
+
+
= +
=
．
11．已知关于x 的一元二次方程
2
2
1
0
x
x
m
−
+
−=
有两个不相等的实数根
1x ，
2x ．
(1)求m 的取值范围；
(2)若
(
)
2
1
2
1
2
15
x x
x
x
m
−
+
=
−
，求m 的值．
49 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】(1)
2
m
(2)
3
m
−
=
【分析】（1）根据题意可知
0
，代入求解即可．
（2）根据根与系数的关系得出
1
2
2
x
x
+
=
，1
2
1
x x
m
=
−，代入到
2
1
2
1
2
(
)
15
x x
x
x
m
−
+
=
−
，得出关于m 的一元
二次方程，利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程
2
2
1
0
x
x
m
−
+
−=
有两个不相等的实数根，
∴
2
( 2)
4(
1)
0
m
= −
−
−
，
∴
2
m
．
（2）解：∵关于x 的一元二次方程
2
2
1
0
x
x
m
−
+
−=
有两个不相等的实数根
1x ，
2x ，
∴
1
2
2
x
x
+
=
，
1
2
1
x x
m
=
−，
将
1
2
2
x
x
+
=
，
1
2
1
x x
m
=
−，代入
2
1
2
1
2
(
)
15
x x
x
x
m
−
+
=
−
，
∴
2
1
2
15
m
m
−−
=
−
，即
2
12
0
m
m
−
−
=
，
∴(
)(
)
4
3
0
m
m
−
+
=
，
解得
1
2
4,
3
m
m
=
= −，
由（1）知
2
m
，
∴
3
m
−
=
．
12．已知关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
5
1
0
x
x
m
−
−
−
=
有两个不相等的实数根．
(1)求m 的取值范围；
(2)记此方程的两个根为
1x ，
2x ．当m 取满足条件的最小整数时，求
2
2
1
2
x
x
+
的值．
【答案】(1)
17
8
m −
(2)
2
m = −，
2
2
1
2
13
4
x
x
+
=
【分析】（1）利用一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式
2
4
0
b
ac
=
−
，解不等式即可得到m
的取值范围；
（2）根据m 的范围确定m 的最小整数值，再将所求代数式变形为
(
)
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
x
x
x
x
x x
+
=
+
−
，由一元二次方
程根与系数的关系可得
1
2
x
x
+
与
1
2
x x 的值，代入即可求解．
【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
5
1
0
x
x
m
−
−
−
=
有两个不相等的实数根，
50 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
(
)
(
)
2
2
Δ
4
5
4 2
1
25
8
8
8
17
0
b
ac
m
m
m
=
−
= −
−−
−
=
+
−
=
+
，
解得
17
8
m −
；
（2）解：由（1）可知
17
8
m −
且m 取满足条件的最小整数，
∴
2
m = −，
(
)
2
2
5
1
0
x
x
m
−
−
−
=
，即
2
2
5
3
0
x
x
−
+
=
，
1
2
5
5
2
2
b
x
x
a
−
+
= −
= −
=
，
1
2
3
2
c
x x
a
=
=
，
(
)
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
5
3
13
2
2
2
2
4
x
x
x
x
x x
+
=
+
−
=
−
=
．
13．若关于x 的一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
的两根为
1
2
x
x
、
，则
1
2
1 2
,
.
b
c
x
x
x x
a
a
+
= −
=
这就是一元二
次方程根与系数的关系．
(1)一元二次方程
2
2
5
1
0
x
x
−
−=
的两根为
1
2
x
x
、
，则
1
2
x
x
+
= _____
1
2
, x x = ；
(2)已知关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
1
2
1
2
0.
2
x
k
x
k
−
+
+
−
=
①求证：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
②若方程的两个实数根为
1
2
x
x
、
，满足
1
2
1 2
2
5
x
x
x x
+
=
+
，求k 的值．
【答案】(1) 5
2 ，
1
2
−
(2)①证明：∵关于x 的一元二次方程为
2
2
1
(2
1)
2
0
2
x
k
x
k
−
+
+
−
=
，
∴
1
a = ，
(2
1)
b
k
= −
+
，
2
1
2
2
c
k
=
−
，
∴根的判别式
2
2
2
1
Δ
4
(2
1)
4 1 (
2)
2
b
ac
k
k
=
−
=
+
−
−
，
展开化简得
2
2
2
Δ
4
4
1
2
8
2
4
9
k
k
k
k
k
=
+
+ −
+
=
+
+ ，
配方得
2
Δ
2(
1)
7
k
=
+
+
，
∵无论k 为任何实数，总有
2
(
1)
0
k +
≥，
∴
2
2(
1)
7
7
0
k +
+
，
即Δ
0
，
∴无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
②
0
k =
或
2
k =
51 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】（1）直接根据题干给出的根与系数关系代入, ,
a b c 计算即可；
（2）①通过计算根的判别式，证明判别式恒大于0 即可得证；②先根据根与系数关系得到两根和与两根
积关于k 的表达式，代入已知等式求解关于k 的一元二次方程即可得到k 的值.．
【详解】（1）解：对于一元二次方程
2
2
5
1
0
x
x
−
−=
，可得
2
a =
，
5
b = −，
1
c
−
=
根据根与系数的关系得
1
2
5
5
2
2
x
x
−
+
= −
=
，
1 2
1
1
2
2
x x
−
=
= −
；
（2）①略
②根据根与系数的关系，得
1
2
2
1
x
x
k
+
=
+ ，
2
1
2
1
2
2
x x
k
=
−
∵
1
2
1 2
2
5
x
x
x x
+
=
+ ，
代入得
2
1
2
1
2(
2)
5
2
k
k
+ =
−
+
，
化简得
2
2
1
1
k
k
+ =
+ ，
整理得
2
2
0
k
k
−
=
，
因式分解得
(
2)
0
k k −
= ，
解得
0
k =
或
2
k =
．
14．已知关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
有两个实数根
1x ，2x ，若满足
1
2
1
x
x
−
= ，则此类方程叫做“差
根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
(1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号）
①
2
0
x
x
−
=
；②
2
4
5
0
x
x−
−
=
(2)已知关于x 的方程
2
2
0
x
ax
+
=
是“差根方程”，求a 的值．
(3)已知ABC
是直角三角形，斜边BC 的长为7 ，若ABC
的两边AB 、AC 的长是一个二次项系数为1 的
“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”．
【答案】(1)①
(2)
1
2
a =
(3)
2
13
3
0
x
x
−
+ =
【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相
关知识，正确理解新的定义是解题的关键．
（1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可；
52 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可；
（3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数
为1 的方程即可．
【详解】（1）解：①
2
0
x
x
−
=
解得：
1
1
x = 或
2
0
x =
，
1
2
1
0
1
x
x
−
=
−
= ，
①是“差根方程”；
②
2
4
5
0
x
x−
−
=
解得：
1
5
x = ，
2
1
x = −，
(
)
1
2
5
1
6
1
x
x
−
=
−−
=
，
②不是“差根方程”；
（2）解：方程
2
2
0
x
ax
+
=
因式分解得：(
)
2
0
x x
a
+
=
，
解得：
1
0
x =
，
2
2
x
a
= −
，
方程
2
2
0
x
ax
+
=
是“差根方程”，
(
)
0
2
1
a
−−
= ，
2
1
a
= ，
2
1
=
a
或2
1
a = −，
解得：
1
2
a =
或
1
2
a
−
=
；
（3）解： 设
1
AB
x
=
、
2
AC
x
=
，
ABC
是直角三角形，斜边BC 的长为7 ，
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
，
2
2
1
2
7
x
x
+
=
，
1x
、
2x 是“差根方程”的两个实数根，
1
2
1
x
x
−
= ，
53 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(
)
2
1
2
1
x
x
−
= ，
2
2
1
2
1
2
2
1
x
x
x x
+
−
= ，
1 2
7
2
1
x x
−
= ，
1
2
3
x x
=
，
(
)
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
7
2 3
13
x
x
x
x
x x
+
=
+
+
=
+ =
，
1x
、
2x 是三角形的边长，均为正数，
1
2
13
x
x
+
=
，
方程二次项系数为1，
所求差根方程为
2
13
3
0
x
x
−
+ =
．
15．阅读材料：
有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程
的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法：
方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n 满足
2
1
0
m
m
−
−=
，
2
1
0
n
n
−
−=
，且m
n
，则可将m，
n 看作方程
2
1
0
x
x
−
−=
的两个不相等的实数根．
方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b 满足
3
a
b
+
=
，
2
ab =
，则可以将a，b 看作方程
2
3
2
0
x
x
−
+
=
的两个实数根．
根据上述材料解决下列问题：
(1)已知一元二次方程
2
3
3
0
x
x
−
−
=
的两根
1x ，
2x ，则
1
2
x
x
+
= ______，
1
2
x x =______；
(2)已知实数m，n 满足
2
3
2
0
m
m
−
−
=
，
2
3
2
0
n
n
−
−
=
，求n
m
m
n
+
的值；
(3)已知实数a，b，c 满足
5
a
b
c
−
=
−，
16
5
ab
c
=
−
，且
5
c ，求c 的最大值．
【答案】(1)3；3
−
(2)
13
6
−
或2
(3)1
【分析】（1）根据根与系数关系
1
2
b
x
x
a
+
= −
、
1 2
c
x x
a
=
，结合一元二次方程
2
3
3
0
x
x
−
−
=
直接求解即可得到
答案；
54 / 54
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）当m
n
时，m 、n 是方程
2
3
2
0
x
x
−
−
=
的两根，利用根与系数的关系可求得m
n
+
和mn 的值，然后
利用整体代入的方法计算原式的值；当m
n
=
时，易得原式
2
=
；
（3）将a 、b
−看作是方程
(
)
2
16
5
0
5
x
c
x
c
−
−
−
=
−
的两实数根；利用判别式的意义得到
(
)
2
16
Δ
5
4 1
0
5
c
c
= −
−
−−
−
，所以(
)
3
5
64
c −
−
，解得
1
c ，从而得到c 的最大值．
【详解】（1）解：一元二次方程
2
3
3
0
x
x
−
−
=
的两根为
1x ，
2x ，
1
2
3
3
1
b
x
x
a
−
+
= −
= −
= ，
1 2
3
3
1
c
x x
a
−
=
=
= −；
（2）解：当m
n
时，
实数m 、n 满足
2
3
2
0
m
m
−
−
=
，
2
3
2
0
n
n
−
−
=
，
m
、n 可看作方程
2
3
2
0
x
x
−
−
=
的两根，
1
3
m
n
+
=
，
2
3
mn = −
，
原式
(
)
2
2
2
1
2
2
2
13
9
3
2
6
3
m
n
mn
n
m
mn
mn
−−
+
−
+
=
=
=
= −
−
，
当m
n
=
时，则原式1 1
2
= + =
；
综上所述，原式的值为
13
6
−
或2；
（3）解：
5
a
b
c
−= −
，
16
5
ab
c
=
−
，
∴
(
)
5
a
b
c
+ −
=
−，
(
)
16
5
a
b
c
−
= −−
，
将a 、b
−看作是方程
(
)
2
16
5
0
5
x
c
x
c
−
−
−
=
−
的两实数根，
(
)
2
16
Δ
5
4 1
0
5
c
c
= −
−
−−
−
，
又∵
5
c ，即
5
0
c −
，
(
)
3
5
64
c
−
−
，
5
4
c
−−，即
1
c ，
c
的最大值为1．
