第三中学2024-2025学年九年级10月月考数学试题答案解析_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_九上月考_初三上十月考

广州市第三中学 2024-2025 学年九年级上学期阶段性测试数学试卷 一、单选题 1. 将一元二次方程 3x2 x20 化成一般形式后，常数项是2，则二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3 ，2 B. 3 ，1 C. 3 ，1 D. 3 ， 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程一般形式的相关概念是解题的关 3x2 x20 键．一元二次方程 就是一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可． 【详解】解：∵ 3x2 x20 是一般形式，常数项是2， ∴二次项系数和一次项系数分别是 3 和1， 故选：C． x2 8x10 2. 用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是（ ） x42 5 x42 16 A. B. x43 7 x42 15 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法．利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答． x2 8x10 【详解】解： ， x2 8x1 ， x2 8x16116 ， x42 15 ， 故选：D． 3. 关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 第1页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的判别式的值即可作出判断． m2 41(1)m2 40 【详解】∵ ∴一元二次方程有两个不相等的实数根 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式的值与一元二次方程根的个 数的关系是关键． y 2x2 1 4. 将抛物线 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得到的抛物线为（ ） y 2x12 1 y 2x12 3 y 2x12 1 y 2x12 3 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的平移方法即可得到答案． y 2x2 1 【详解】解：将抛物线 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得到的抛物线为 y2(x1)2 122(x1)2 3 ， 故选：B． y x22 4 5. 关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ） 2，4 A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数的最大值是4 D. 当 x2 时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 y axh2 k h，k xh 【分析】本题考查了 的图象性质，根据顶点坐标为 ，对称轴 ，开口方向， 进行逐项分析，即可作答． y x22 4 a10 【详解】解：A、因为 中的 ，函数图象的开口向上，故该选项是错误的； y x22 4 2，4 B、因为 ，所以函数图象的顶点坐标是 ，故该选项是错误的； C、因为 a10 ，函数图象的开口向上，该函数的最小值是4，故该选项是错误的； 第2页/共21页 学科网（北京）股份有限公司x  2 a10 x2 D、因为对称轴 ， ，函数图象的开口向上，当 时，y随x的增大而增大，故该选项 是正确的； 故选：D 6. 某中学有一块长 30m，宽 20m 的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计 方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为 xm，则可列方程为（ ） 2 A. （30﹣x）（20﹣x）＝3 ×20×30 1 302x20x B. ＝3 ×20×30 2 C. 30x+2×20x＝3 ×20×30 1 D. （30﹣x）（20﹣x）＝3 ×20×30 【答案】B 【解析】 1 【分析】根据等量关系：空白区域的面积= 3矩形空地的面积，列方程即可求解； 1 302x20x 2030 x 3 【详解】设花带的宽度为 ，则可列方程为： 故选：B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理清题意找准等量关系是解题的关键. x (k 2)x2 2x10 k 7. 若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根,则实数 的取值范围是( ) A. k 1 B. k 1 且k  2 C. k 1 D. k…1且k  2 【答案】B 【解析】 第3页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【分析】根据关于x的一元二次方程（k-2）x2+2x-1=0有两个不相等的实数根，可得出判别式大于0，再 求得k的取值范围． 【详解】∵关于x的一元二次方程（k-2）x2+2x-1=0有两个不相等的实数根， ∴△=4+4（k-2）＞0， 解得k＞1， ∵k-2≠0， ∴k≠2， ∴k的取值范围k＞1且k≠2， 故选B． 【点睛】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 1 y  (x2)2 1 A1,m 2 8. 如图，将函数 的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象其中点 ， B4,n 平移后的对应点分别为点A、B．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象 的函数表达式是（ ） 1 1 y  (x2)2 2 y = (x- 2)2 +7 2 2 A. B. 1 1 y  (x2)2 5 y  (x2)2 4 2 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数 第4页/共21页 学科网（北京）股份有限公司与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．曲线段AB扫过的面积 x x AA3AA9 AA3 B A ，则 ，即可求解． x x AA3AA9 【详解】解：曲线段AB扫过的面积 B A ， AA3 则 ， 1 y  x22 4 故抛物线向上平移3个单位，则 2 ， 故选：D． y kxb y bxk2 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数 的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题的关键是对参数 k 和b进行分类讨论．分当k 0， b0 时，当k 0，b0时，当 k 0 ， b0 时，当 k 0 ，b0时，四种情况讨论即可． y kxb y bxk2 【详解】解：对于一次函数 和二次函数 的图象， ①当k 0， b0 时，一次函数 y kxb 的图象过第一、二、三象限，二次函数 y bxk2 的图象开 y 口向上，对称轴在 轴左侧，没有选项符合； ②当k 0，b0时，一次函数 y kxb 的图象过第一、三、四象限，二次函数 y bxk2 的图象开 y 口向下，对称轴在 轴左侧，没有选项符合； k 0 b0 y kxb y bxk2 ③当 ， 时，一次函数 的图象过第一、二、四象限，二次函数 的图象 第5页/共21页 学科网（北京）股份有限公司y 开口向上，对称轴在 轴右侧，选项B符合； ④当 k 0 ，b0时，一次函数 y kxb 的图象过第二、三、四象限，二次函数 y bxk2 的图象 y 开口向下，对称轴在 轴右侧，没有选项符合； 故选：B． k 10. 若A（－4，y ）、B（－2，y ）、C（2，y ）三点都在反比例函数y＝ x （k<0）的图象上，则 1 2 3 y 、y 、y 的大小关系为 ( ) 1 2 3 A. y 8.6 所以按照（1）中藏书的年平均增长率，该校期望2022年底藏书量达到8.6万册目标能实现． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． y=a(x3)2+2 (1，6) 18. 已知抛物线 的图象经过点 ． （1）求a的值及顶点坐标； A(m，y，)、B(n y )(mn3) y y （2）若点 1 2 都在该抛物线上，请直接写出 1与 2的大小． 【答案】（1）a的值是2，顶点坐标是 (3，2) ； y  y （2） 1 2 【解析】 第9页/共21页 学科网（北京）股份有限公司(1，6) 【分析】（1）根据题目中的解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，把点 代入，可以求得a的值； （2）根据二次函数的性质可以解答本题． 【小问1详解】 y=a(x3)2+2 解：∵ ， (3，2) ∴该抛物线的顶点坐标是 ； y=a(x3)2+2 (1，6) ∵ 经过点 ， 6=a(13)2+2 ∴ ， 解得，a 2， 即a的值是2； 【小问2详解】 解：∵ y=2(x3)2+2 ，a 2， x3 x3 ∴该抛物线的图象在 时，y随x的增大而增大，在 时，y随x的增大而减小， A(m，y，)、B(n y )(mn3) 在 ∵点 1 2 都 该抛物线上， y  y ∴ 1 2． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所 求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答． x x2 5x6 p2 0 19. 已知关于 的一元二次方程 ． p （1）求证：无论 取何值时，方程总有两个不相等的实数根； x ,x x 4x p （2）若方程的两实数根为 1 2，且满足 1 2，试求出 的值．  2 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系； （1）将原式整理为一元二次方程的一般式，然后根据根的判别式进行解答即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求值即可． 【小问1详解】 第10页/共21页 学科网（北京）股份有限公司x2 5x6 p2 0 证明：方程为： ， Δb2 4ac(5)2 4  6 p2 4p2 10, 方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 x2 5x6 p2 0 解：由（1）得 ， b c x  x   5, x x  6 p2, 1 2 a 1 2 a Qx 4x , 1 2 4x  x 5,4x 2 6 p2, 2 2 2 x 1, p2 2, 2 p 2 解得： ， 实数 p 的值为  2 ． 20. 解下列方程 x2 4x10 （1） (2x1)2 6x3 （2） x  52,x  52 【答案】（1） 1 2 ； 1 x   ,x  2 （2） 1 2 2 ． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 x2 4x10 解： x2 4x414 则 ， x22 5 ∴ ， 第11页/共21页 学科网（北京）股份有限公司x2 5 ∴ ， x  52,x  52 解得 1 2 ； 【小问2详解】 (2x1)2 6x3 解： ， (2x1)2  3(2x1) ∴ ， (2x1)2 3(2x1)0 则 ， (2x1)(2x13)0 ∴ ， 则2x10或 2x40 ， 1 x   ,x  2 解得 1 2 2 m 1 x2 mx  0 21. 已知：矩形 ABCD 的两边AB，BC的长是关于方程 2 4 的两个实数根． ABCD （1）当m为何值时，矩形 是正方形？求出这时正方形的边长； （2）若AB的长为2，那么矩形 ABCD 的周长是多少？ 1 m1 ABCD 2 【答案】（1） ，矩形 是正方形，边长是 （2）5 【解析】 AB BC 【分析】（1）根据正方形的性质可得 ，则有关于x的方程有两个相等的实数根，然后根据一元 二次方程根的判别式可进行求解； x2 （2）根据题意把 代入方程求解m，然后再求解方程的解，进而问题可求解． 【小问1详解】 ABCD 解：四边形 是正方形， AB BC ∴ ． m 1 x2 mx  0 又∵ AB，BC的长是关于x的方程 2 4 的两个实数根， 第12页/共21页 学科网（北京）股份有限公司m 1 m2 4  m12 0    2 4 ∴ ， m1 ∴ ，此时四边形为正方形； 1 x2 x 0 当 m1 时，原方程为 4 ， 1 x  x  解得： 1 2 2 ， 1 ABCD 2 ∴正方形 的边长是 ． 【小问2详解】 ∵ AB的长为2， m 1 22 2m  0 ∴把 x2 代入原方程，得 2 4 ， 5 m 2 解得 ． 5 5 m x2  x10 将 2 代入原方程，得 2 ， 1 x 2，x = 解得 1 2 2 1 BC  ∴方程的另一根 2，  1 2 2 5   ABCD  2 ∴矩形 的周长是 ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及一元二次方程的应用，熟练掌握正方形的性质及一元二次方程的应 用是解题的关键． 22. 如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的 长方形花圃． 第13页/共21页 学科网（北京）股份有限公司（1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么AD的长为多少米？ （2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）AD的长为6米 90 （2）不能围成面积为 平方米的花圃．理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目设 AD的长为x 米，则 AB=27-3x，得x（27-3x）=54，解一元二次方程，按照条件， 解得AD的长； （2）根据题意得：x（27-3x）=90，通过判别式确定方程无根，可得不能围成面积为 90平方米的花圃． x273x54 【详解】（1）设AD的长为 x 米，则AB273x，根据题意，得 ， x2 9x180 整理，得 ， x 3 x 6 解得 1 ， 2 ， ∵墙的最大可用长度为12米， ∴273x12， x≥5 ∴ ， ∴ x6 ，即AD的长为6米； 90 （2）不能围成面积为 平方米的花圃． 理由如下： 根据题意，得 x273x90 ，整理，得x29x300． 92 4130390 ∵ ， ∴该方程无实数根， 90 ∴不能围成面积为 平方米的花圃． 【点睛】本题考查用一元二次方程解实际问题，按照题意列出方程，是解题的关键． 23. 我校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽20米．阴影部分 第14页/共21页 学科网（北京）股份有限公司设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为736平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出； 当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠 大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】（1）通道的宽是2米 （2）每个车位的月租金应上涨40元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系，正确列出方程． 502x 202x （1）设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为 米，宽为 米的矩形，再根据 喷漆面积列出方程求解即可； y 200 y （2）设每个车位 的 月租金上涨y元，则每个车位的月租金为 元，少租出10个车位，再根据月 租金列出方程求解即可． 【小问1详解】 502x 202x 解：设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为 米，宽为 米的长方形， 502x202x736 依题意得： ， x2 35x660 整理得： ， x 2 x 33 解得： 1 ， 2 （不符合题意，舍去）． 答：通道的宽是2米． 【小问2详解】 y 200 y 解：设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为 元，少租出10个车位，  y  200 y 64 14400    10 依题意得： ， 第15页/共21页 学科网（北京）股份有限公司y2 440y160000 整理得： ， y 40 y 400 解得： 1 ， 2 ， 又∵要优惠大众， y40． 答：每个车位的月租金应上涨40元． 24. 在 VABC中， ÐB=90° ， AB 6cm ， BC 8cm ，点P从点A开始沿AB边向终点B以 1cm s 的 速度移动，与此同时，点 Q 从点C开始沿 CB 边向终点B以 2cm s 的速度移动，如果P， Q 分别从A， C同时出发，设移动时间为 t 秒，分别解答下列问题： t 3 PQ （1）如图①，当移动时间 秒时，求 的长． （2）当P， Q 移动到能使线段 PQ 正好平分 VABC的面积时，这时时间 t 为多少秒？ AP m （3）如图②，连接A、 Q ，设 PB ，当点P关于 AQ 的对称点P 正好落在 AC 边上时求 m 的值． 13cm 【答案】（1） 5 13 （2） 秒 5 （3）7 【解析】 【分析】（1）根据速度乘以时间等于路程求出AP， CQ 的长，结合已知求出BP， BQ 的长，利用勾股定 理即可求解； （2）根据三角形面积列出一元二次方程进行求解，根据情况得出符合题意的答案即可； 82t 2t  （3）连接 PQ ，过点 Q 作 QD  AC 于点D，根据题意可证得 VCDQ∽VCBA ，从而得到 6 10 ， 求出时间进而求得AP，BP的长，即可得出最后结果． 第16页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】 t 3 AP1t 3cm CQ2t 6cm 解：当 时， ， ， Q AB 6cm BC 8cm ， ， BP ABAP6t 3cm BQ BCCQ82t 2cm ， ， QB90 ， PQ BP2 BQ2  32 22  13cm ； 【小问2详解】 QBP 6t BQ82t ， ， 1 1 1 6t82t  68 根据题意可得：2 2 2 ， t2 10t120 ， t 5 13 6 t 5 13 解得： 1 （舍去）， 2 ， 当时间为 5 13 秒时，线段 PQ 正好平分 VABC的面积； 【小问3详解】 如图，连接 PQ ，过点 Q 作 QD  AC 于点D， QP，P 关于 AQ 对称， ∴ AQ 垂直平分PP， ∴ AQ 平分 CAB ， QQD AC QB AB ， ， QDQB82t ， QC C CDQB 90 ， ， VCDQ∽VCBA ， 第17页/共21页 学科网（北京）股份有限公司QD CQ   AB AC ， QB90 AB 6cm BC 8cm ， ， ， ∴ AC  AB2 BC2 10cm ， 82t 2t Q  6 10， 5 t  解得： 2， 5 5 7 AP  cm BP6  cm 2 ， 2 2 ， AP 5 m  PB 7 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的几何应用，勾股定理，相似三角形的判定与性质，角平分线性质，熟 练掌握相关定理性质并灵活运用是解答本题的关键． 1 y   x2 mxn 25. 如图，抛物线 2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点C，抛物线的对称轴交 x 轴 A-1,0,C0,2 于点D，已知 ． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的 坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点F 是第一象限抛物线上的一个动点，当点F 运动到什么位置时， VCBF 的面积最大？求出 VCBF 的最大面积及此时F 点的坐标． 1 3 y   x2  x2 2 2 【答案】（1） 第18页/共21页 学科网（北京）股份有限公司3  3 5 3 5 ,4 , ,       （2）存在点P， 2  或 2 2 或 2 2 2,1 E2,1 （3）当点E运动到 位置时， VCBF 的面积最大，最大面积为4，此时 【解析】 A(1,0) C(0,2) 【分析】（1）根据 ， ，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）可设出P点坐标，则可表示出 PC 、PD和 CD 的长，分 PDCD 、PC CD两种情况分别得到关 于P点坐标的方程，可求得P点坐标； （3）首先根据B、C的坐标求得直线BC的解析式，可设E点坐标，则可表示出F 点的坐标，从而可表 示出EF 的长，可表示出 CBF 的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点E的坐标． 【小问1详解】  1  3  mn0 m 1  2  2 解：将A (1,0) ，C (0,2) 代入 y   2 x2 mxn 得  n2 ，解得  n2 ， 1 3 y   x2  x2 抛物线的表达式为 2 2 ； 【小问2详解】 解：存在点P，使△PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形． 理由如下：根据等腰三角形性质，分两种情况讨论，如图所示： 1 3 1 3 25 Q y x2  x2 (x )2  2 2 2 2 8 ， 3 x 对称轴为直线 2 ， 3  D ,0   QC (0,2) ， 2  ， 第19页/共21页 学科网（北京）股份有限公司3 5 CD 22( )2  2 2， 3  P ,n 设 2 ， 5 9  (n2)2  ①当 CDCP 时， 2 4 ，解得 n4 或t 0（舍去）， 3  P ,4   2  ； 5 5 5  t t  t  ②当 CD DP 时，2 ，解得 2或 2 ， æ3 5ö 3 5 \ Pç ç çè2 , 2 ÷ ÷ ÷ ø  2 , 2   或 ； 3  3 5 3 5 ,4 , ,       综上所述：P点坐标为 2  或 2 2 或 2 2 ； 【小问3详解】 解：当点E运动到 (2,1) 位置时， VCBF 的面积最大． 理由如下： 1 3  x2  x20 令 y0 ，则 2 2 ，解得x4或 x=1 ， B(4,0) ，  1 k  4kb0  2  设直线BC的解析式为 y kxb ，得 b2 ，解得  b2 ， 1 y   x  2 直线BC的解析式为 2 ， 过点E作 EF  x 轴，交抛物线于点F ，如图所示： 第20页/共21页 学科网（北京）股份有限公司1 3 1 E(t, t2  t2) F(t, t2) 设 2 2 ，则 2 ， 1 3 1 1 1 EF  t2  t2 t2 t2 2t  (t2)2 2 2 2 2 2 2 ， 1 Q 0 2 ，抛物线开口向下，EF 有最大值， 当 t 2 时，EF 最大为2， 1 QS  4EF 2EF △CBF 2 ， E2,1 当 t 2 时， VCBF 的面积最大，最大值为4，此时 ． 答： VCBF 的最大面积为4，此时E (2,1) ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、等腰三角形 的判定与性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识，解决本题的关键是待定系数法的应用，用 P点的坐标表示出 PC 和PD，用E点坐标表示出 VCBF 的面积． 第21页/共21页 学科网（北京）股份有限公司