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1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题10 一元二次方程的根与系数关系的十四类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根与系数求值（相加、相乘） 题型二、根与系数变形（多项式乘法） 题型三、根与系数变形（绝对值） 题型四、根与系数变形（完全平方） 题型五、根与系数变形（分式） 题型六、根与系数变形（根式） 题型七、与等腰三角形结合 题型八、与直角三角形结合 题型九、与降次结合 题型十、与方程实数根结合 题型十一、最值问题 题型十二、特殊方程—一元三次方程 题型十三、根与系数的对称式 题型十四、倍根方程 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 具体内容 提示说明 核心知识点1：韦 达定理（根与系数 关系基本形式） 对于一元二次方程 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0 (𝑎≠0)， 若方程有两个实数根𝑥1, 𝑥2，则根与系数满足： 𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑏 𝑎，𝑥1𝑥2 = 𝑐 𝑎 仅适用于一元二次方程 （二次项系数𝑎≠0），且方 程存在实根（判别式𝛥≥0） 核心知识点2：特 殊形式韦达定理 对于二次项系数为1 的方程𝑥2 + 𝑝𝑥+ 𝑞= 0， 若有实根𝑥1, 𝑥2，则满足：𝑥1 + 𝑥2 = −𝑝，𝑥1𝑥2 = 𝑞 由一般形式推导得到，简 化计算 核心知识点3：常 见代数式变形 1. 1 𝑥1 + 1 𝑥2 = 𝑥1+𝑥2 𝑥1𝑥2 2. 𝑥1 2 + 𝑥2 2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −2𝑥1𝑥2 所有变形均以𝑥1 + 𝑥2和𝑥1𝑥2 为基础，无需单独求根 目 录 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3. (𝑥1 −𝑥2)2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2 4. |𝑥1 −𝑥2| = √(𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2 5. 𝑥1 2𝑥2 + 𝑥1𝑥2 2 = 𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2) 核心知识点4：韦 达定理的应用场景 1. 已知一个根，求另一个根与未知参数 2. 求关于两根的对称代数式的值 3. 已知两根关系，求方程中参数的值 4. 构造新的一元二次方程（以两个数为根的 方程：𝑥2 −(𝑥1 + 𝑥2)𝑥+ 𝑥1𝑥2 = 0） 5. 判断根的符号（同号/异号、正负个数） 应用时必须先满足𝑎≠0且 𝛥≥0两个前提条件 核心知识点5：根 的符号判定 1. 两正根：𝛥≥0，𝑥1 + 𝑥2 > 0，𝑥1𝑥2 > 0 2. 两负根：𝛥≥0，𝑥1 + 𝑥2 < 0，𝑥1𝑥2 > 0 3. 一正一负根：𝛥> 0，𝑥1𝑥2 < 0（此时𝛥恒大 于0，只需满足𝑥1𝑥2 < 0） 4. 有一根为0：𝑥1𝑥2 = 0即𝑐= 0 只要涉及存在实根，就不 能忽略判别式非负的要求 易错点1：忽略二 次项系数不为0 已知方程含参数，应用根与系数关系时，忘记 𝑎≠0的限制，导致参数范围出错 只要是一元二次方程，必 须优先考虑二次项系数不 等于0 易错点2：忽略判 别式非负的前提 直接使用韦达定理计算参数，没有验证方程是 否存在实根，得到增根 所有涉及根的存在性问 题，必须先要求𝛥= 𝑏2 − 4𝑎𝑐≥0 易错点3：和的公 式记错符号 错记为𝑥1 + 𝑥2 = 𝑏 𝑎，遗漏负号 对比一次项系数为0 时， 两根和为0，可验证公式正 确性 易错点4：非对称 式误用韦达定理 遇到𝑎𝑥1 2 + 𝑏𝑥2 + 𝑐这类非对称代数式，直接套 用韦达定理导致计算错误 非对称式需要结合根的定 义𝑎𝑥1 2 + 𝑏𝑥1 + 𝑐= 0先变形， 再结合韦达定理计算 易错点5：求参数 后忘记检验 根据根的关系求出参数值后，不检验是否满足 𝛥≥0，保留不符合题意的解 求出参数后代回原方程计 算判别式，排除使方程无 实根的参数值 易错点6：构造方 错将构造方程写为𝑥2 −𝑥1𝑥2𝑥+ (𝑥1 + 𝑥2) = 0， 构造方程牢记：一次项系 3 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 程出错 混淆一次项系数和常数项 数是两根和的相反数，常 数项是两根的积 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根与系数求值（相加、相乘） 典例1 下列方程的两个实数根的和为4 −的是（ ） A． 2 2 4 0 x x + − = B． 2 4 4 0 x x − + = C． 2 4 5 0 x x− + = D． 2 4 5 0 x x + + = 变式1-1 已知一元二次方程 2 3 5 0 x x − − = 的两根为 1x ， 2x ，则 1 2 1 2 x x x x − − 的值为（ ） A．8 − B．2 − C．8 D．2 变式1-2 请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是1 −和1，这个方程可以是__________． 变式1-3 已知 1x ， 2x 是方程 2 3 8 0 x x − − = 的两个根，则 1 2 1 2 x x x x + + = __________． 类型二、根与系数变形（多项式乘法） 典例2 已知，是方程 2 2024 1 0 x x + + = 的两个根，则( )( ) 2 2 1 2026 1 2026 + + + + 的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2-1 已知m ，n 是方程 2 2025 7 0 x x + + = 的两个根，则( )( ) 2 2 2024 6 2026 8 m m n n + + + + =（ ） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 变式2-2 已知m ，n 是方程 2 2026 1 0 x x − + = 的两个实数根，则( )( ) 2 2 2025 2 2025 2 m m n n − + − + 的值为 ________． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式2-3 已知 1x ，2x 是关于x 的方程 2 4 0 x x m + + = 的两个根，满足( )( ) 1 2 1 1 2 x x − − = ，则m 的值是________． 题型三、根与系数变形（绝对值） 典例3 在目前的八年级数学下册第二章《一元二次方程》中新增了一节选学内容，其中有这样的知识点： 如果方程 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = 的两根是 1x ， 2x ，那么 1 2 b x x a − + = ， 1 2 c x x a = ，若关于x 的方程 ( ) 2 2 1 1 0 x k x k − − + + = 的两个实数根满足关系式 1 2 1 x x − = ，则k 的值为（ ） A．11 B．1 − C．11或1 − D．11或1 −或1 变式3-1 已知关于x 的一元二次方程 2 3 0 2 x x m + − − = 的两个实数根为 1x 、 2x ，且满足 1 2 4 x x + ，则m 的 取值范围是（） A．3 2 m −≤ ≤ B．2 3 m − C．2 6 m D． 3 m − 或 3 m 变式3-2已知 1x ，2x 是关于x的方程 2 6 3 0 x x k − + + = 的两个不等实数根，且满足 1 2 5 6 x x = + ，则k的值为_____ ． 变式3-3 已知关于x 的方程 2 2 2 2 x mx m x − = − + 的两个实数根 1x ， 2x 满足 1 2 x x = ，则实数m 的值为 ___________________ ． 题型四、根与系数变形（完全平方） 典例4 设 1x ， 2x 是一元二次方程 2 4 4 0 x x − − = 的两个根，则 2 2 1 2 x x + =（ ） A．4 B．8 C．24 D．26 变式4-1 一元二次方程 2 5 4 0 x x + − = 的两个实数根为m 和n，则代数式 2 2 m n + 的值为（ ） A．17 B．6 C．33 D．26 变式4-2 设 1x 、 2x 是方程 2 2 1 0 x x + −= 的两个根，则 2 2 1 2 x x + 的值为______． 5 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式4-3 已知关于x 的一元二次方程 2 1 0 x bx + + = 有两个不相等的实数根m 和n ，且 2 2 6 m n + = ，则b = ______． 题型五、根与系数变形（分式） 典例5 设 1x ， 2x 是一元二次方程 2 3 2 1 0 x x + −= 的两个根，则代数式 1 2 1 1 x x + 的值为（ ） A．2 B．2 − C．2 3 D． 2 3 − 变式5-1 已知a ，b 是一元二次方程 2 2 2 0 x x + − = 的两个根，则b a a b + 的值为（ ） A．4 B．0 C．4 − D．5 2 变式5-2 已知一元二次方程 2 2 5 0 x x − − = 的两根为 1x 、 2x ，则 1 2 1 2 2 2 3x x x x − + = _____． 变式5-3 已知关于x 的方程 ( ) ( ) 2 4 4 0 0 x k x k k + + − = 的两实数根为 1x ， 2x ，若 1 2 2 2 5 x x + = ，则k = ____________． 题型六、根与系数变形（根式） 典例6 已知a，b 是一元二次方程 2 3 1 0 x x + + = 的两个实数根，则 b a a b + 的值为（ ） A．3 − B．3 C．1 3 D．3 ± 变式6-1 已知a ，b 是一元二次方程 2 2025 1 0 x x + + = 的两个实数根，则 b a a b + 的值是（ ） A．2025 − B．2025 C． 1 2025 D． 1 2025 − 变式6-2 已知一元二次方程 2 0 x ax b − + = 的两个根分别为2 和1，则 2a b + =______． 6 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式6-3 已知a ，b 是一元二次方程 2 2025 1 0 x x + + = 的两个实数根，则 b a a b a b + =__________. 题型七、与等腰三角形结合 典例7 已知等腰三角形三边分别为a ，b ，4 ，且a ，b 是关于x 的一元二次方程 2 12 0 x x m − + = 的两根， 则m 的值为（ ） A．32 B．36 C．32 或36 D．无法确定 变式7-1 关于x 的一元二次方程 2 8 0 x x m − + = 的两个实数根分别是 1x ， 2x ，且以 1x ， 2x ，6 为三边的三角形 恰好是等腰三角形，则m 的值为（ ） A．12 B．12 或16 C．16 D．14 变式7-2 若一个等腰三角形三边的长分别为m ，n ，4 ，且m ，n 是关于x 的一元二次方程 2 8 0 x ax − + = 的 两个根，则该等腰三角形的周长为______． 变式7-3 已知等腰三角形ABC 的底边长为3，另两边长恰好是关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 3 12 0 kx k x − + + = 的两根，则ABC 的周长为_________． 题型八、与直角三角形结合 典例8 直角三角形两直角边是方程 2 8 14 0 x x − + = 的两根，则它的斜边为（ ） A．8 B．7 C．6 D．2 7 变式8-1 如果直角三角形的两条直角边都是整数，且总是方程 2 2 1 0 mx x m − − + = 的两根（m 为整数），则这 样的直角三角形（ ） A．有1 个 B．有2 个 C．有无数个 D．不存在 变式8-2 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程 2 7 12 0 x x − + = 的两个实数根，则这个直角 三角形斜边的长是___________． 7 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式8-3 若一元二次方程 2 4 2 0 x x − + = 的两个实数根是某直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形 的周长为 ____ ． 题型九、与降次结合 典例9 已知实数a、b 是方程 2 2 1 0 x x − −= 的两个根，则 3 6 a a b + + 的值是（ ） A．14 B．14 − C．17 2 D．10 变式9-1 已知 1x ， 2x 是方程 2 5 0 + − = x x 的两个实数根，则 3 2 1 2 6 40 x x − + 的值是（ ） A．1 B．1 − C．2 D．2 − 变式9-2 已知 1x ， 2x 是方程 2 3 0 x x − − = 的两个实数根，则代数式 3 2 1 1 2 3 x x x − + 的值是___________． 变式9-3 若a，b 是一元二次方程 2 3 2 0 x x − − = 的两个实数根，则 3 2 2 5 1 a a b − + −= _______． 题型十、与方程实数根结合 典例10 关于x 的一元二次方程 2 1 0 x kx− + = 的根的情况描述正确的是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．两实数根互为倒数 D．没有实数根 变式10-1 已知关于x 的一元二次方程 2 0 x bx c + + = 的两个不相等的实数根分别为 , ；关于x 的一元二次 方程 2 0 x cx b + + = 的两个实数根分别为 1, 1 − −．则下列方程中，其两实数根分别为 1, 1 + + 的是（ ） A． 2 5 3 0 x x − − = B． 2 5 3 0 x x − + = C． 2 5 3 0 x x + − = D． 2 3 5 0 x x + − = 变式10-2 已知关于x 的方程 ( ) 2 2 2 1 0 x m x m + − + = 有实数根．且 ， 是方程的两个实数根，实数m 使得 2 2 13 + − = 成立，则m = ______________． 8 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式10-3 已知关于x 的方程 ( ) 2 2 2 1 2 0 x k x k − + + − = 有两个实数根 1x ， 2x ． (1)求实数k 的取值范围； (2)若方程的一个实数根为2 ，求另一个实数根； (3)若方程的两个实数根 1x ， 2x 满足 1 2 1 1 1 2 x x + = − ，求k 的值． 题型十一、最值问题 典例11 关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 2 2 2 0 − + + + = x k x k k 有两个实数根 1 2 , x x ，则代数式 2 2 1 2 1 2 1 x x x x + − + 的 最小值是（ ） A．8 − B．5 − C．1 D．2 变式11-1 已知实数m ，n 满足 2 2 2 2 4 0 m am a a − + − + = ， 2 2 2 2 4 0 n an a a − + − + = ，则( ) ( ) 2 2 1 1 m n + + + 的最 小值是（ ） A．18 B．16 C．6 − D．14 − 变式11-2 若a，b，c 均为正实数，且 3 a b c abc a + + = = ，则a 的最小值为__________． 变式11-3 已知关于x 的一元二次方程 2 1 (1 4 ) 4 0 8 kx k x k − − + − = 有两实数根 1x 、 2x ． （1）求k 的取值范围； （2）若 ( ) 1 2 3 y k x x = + −，当k 取何值时，y 有最小值，并求出最小值； （3）若等腰三角形ABC 的一边长为2，另两边是 1x ， 2x ，求k 的值． 题型十二、特殊方程—一元三次方程 典例12 小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如 果 1x ， 2x ， 3x 是一元三次方程 ( ) 3 2 0 0 ax bx cx d a + + + = 的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程 9 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为 1x ， 2x 是方程的根，根据方程根的定义 得到 2 1 2 ( )( ) ax bx c a x x x x + + = − − 展开右边得到 2 2 1 2 1 2 ( ) ax bx c ax a x x x ax x + + = − + + 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 1 2 1 2 ( ) , bx a x x x c ax x = − + = 整理后得到 1x + 2x b a = − ， 1x 2x c a = 则 1 2 3 x x x 用系数可以表示为（ ） A．b a B． b a − C．d a D． d a − 变式12-1 我们知道一元二次方程 2 2 1 0 0 a x a x a + + = 可以变形为 ( )( ) 2 1 2 0 a x x x x − − = ，展开后对应项易得到 韦达定理，那么类比推理过程，在一个一元三次方程 3 2 2 4 3 0 x x x a − + + + = ，则下列关于此一元三次方程的 根的式子不正确的是（ ） A． 1 2 3 2 x x x + + = B． 1 2 2 3 1 3 3 2 x x x x x x + + = C． 1 2 3 2 a x x x = D． 2 2 2 1 2 3 7 x x x + + = 变式12-2 韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = 的两实数根分别为 1x ， 2x ，则方程可写成( )( ) 1 2 0 a x x x x − − = ，即 ( ) 2 1 2 1 2 0 ax ax x x ax x − + + = ，容易发现根与系数的关系： 1 2 b x x a + = − ， 1 2 c x x a = ，设一元三次方程 ( ) 3 2 0 0 ax bx cx d a + + + = 三个非零实数根分别为 1x ， 2x ， 3x ，现给出以下结论：① 1 2 3 b x x x a + + = − ；② 1 2 3 d x x x a = − ；③ 1 2 2 3 1 3 c x x x x x x a + + = ，其中正确的是_____ 变式12-3 小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方 10 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他 完成相应任务： 探究一元三次方程根与系数的关系 素 材 1 一元三次 方程的定 义 我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 3 次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为 3 2 0 ax bx cx d + + + = （b c d 、、为常数，且 0 a ）． 素 材 2 一元三次 方程的解 法 若一元三次方程 3 2 0( 0) ax bx cx d a + + + = 的左边在实数范围内可因式 分解为( )( )( ) a x p x q x r − − − （p q r 、、为实数），即原方程化为： ( )( )( ) 0 a x p x q x r − − − = ，则得方程的根为 1 2 3 x p x q x r = = = ， ， ． 素 材 3 一元二次 方程根与 系数的关 系的探究 过程 设一元二次方程 2 0( 0) ax bx c a + + = 有两个根 1 2 , x x ，则方程可化为 ( )( ) 1 2 a x x x x 0 − − = ，即 ( ) 2 1 2 1 2 0 ax a x x x ax x − + + = ，与原方程系数 进行比较，可得根与系数的等量关系为： 1 2 1 2 b c a x x x x a + = − = ， ． 问题解决 任 务 1 感受新知 若关于x 的三次方程 3 2 0 ax bx cx d + + + = （a b c d 、、、为常数）的左 边可分解为( 1)( 2)( 3) a x x x − + − ，则方程 3 2 0 ax bx cx d + + + = 的三个根 分别为 1x =__________， 2x = __________， 3x =__________． 任 务 2 探索新知 若关于x 的三次方程 3 2 0 ax bx cx d + + + = 的三个根为 1 2 3 x x x ，，，请探 究 1 2 3 1 2 3 x x x x x x + + ， 与系数a b c d 、、、之间的等量关系． 任 务 3 应用新知 利用上一任务的结论解决：若方程 3 2 2 7 6 0 x x x + − − = 的三个根为 、、 ，求1 1 1 + + 的值． 11 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型十三、根与系数的对称式 典例13 如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足 2 3 m m − = ， 2 3 n n − = ，那么代数式 2 2 2 14 n mn m − + + 的 值是（ ） A．23 B．24 C．25 D．26 变式13-1 若实数m ，n 满足 2 3 0 m m + − = ， 2 3 0 n n + − = ，且m n ，则m n mn + − 的值为（ ） A． 1 2 − B．1 2 C．2 − D．2 变式13-2 已知实数m、n 满足 2 5 1 m m − = ， 2 5 1 n n − = ，m n ，则1 1 m n + 的值为________________． 变式13-3 请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程 2 0 ax bx c + + = （ 0 a ， 2 4 0 b ac − ）的两根 1x ， 2x 有如下的关系： 1 2 b x x a + = − ， 1 2 c x x a = ； 材料2：如果实数m 、n 满足 2 1 0 m m − −= 、 2 1 0 n n − −= ，且m n ，则可利用根的定义构造一元二次方程 2 1 0 x x − −= ，将m 、n 看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数m 、n 满足m n p + = − 、mn q = ，则可利用韦达定理构造一元二次方程 2 0 x px q + + = ，则 此方程一定有m 、n 两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程 2 1013 0 x x − − = 的两根分别为a 、b ，求 2 2 a b + 的值． (2)已知不相等的两个实数p 、q 满足 2 2 4 6 4 6 0 p p q q + − + + − = ，求 2 5 p pq p q − + + 的值． (3)已知实数a 、b 、c 满足 2 0 a b c + + = 、 2 2 0 ab c c − −+ = ，求c 的最大值． 题型十四、倍根方程 典例14 如果关于x 的一元二次方程 2 0 x bx c + + = 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2 倍，则称 这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（ ） ①方程 2 2 0 x x − − = 是倍根方程； ②( )( ) 2 0 x mx n − + = 是倍根方程，则 2 2 4 5 0 m mn n + + = ； 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ③若p ，q 满足 2 pq = ，则关于x 的方程 2 3 0 px x q + + = 是倍根方程； A．①②③ B．② C．③ D．②③ 变式14-1 如果关于x 的一元二次方程 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2 倍， 则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（ ） ①方程 2 6 8 0 x x − + = 是倍根方程； ②若( )( ) 2 1 0 x mx − + = 是倍根方程，则 1 4 m − = ； ③若,p q满足 8 pq = ，则关于x 的方程 2 6 0 px x q − + = 是倍根方程； ④若关于x 的方程 2 0 ax bx c + + = 是倍根方程，则 2 2 9 b ac = A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 变式14-2 如果关于x 的一元二次方程 2 0 ax bx c + + = 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2 倍，则称 这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有__________(填序号)． ①方程 2 9 18 0 x x − + = 是倍根方程； ②若( )( ) 2 0 x mx n + + = 是倍根方程：则 2 2 4 5 0 m mn n + + = ； ③若,p q满足 2 pq = ，则关于x 的方程 2 3 0 px x q + + = 是倍根方程； ④若关于x 的一元二次方程 2 0 ax bx c + + = 是倍根方程，则必有 2 2 9 b ac = ． 变式14-3 如果关于x 的一元二次方程 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = 有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根 的2 倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程 2 6 8 0 x x − + = 的两个根是 1 2 2, 4 x x = = ，则方 程 2 6 8 0 x x − + = 是“倍根方程”． (1)方程 2 2 0 x x −− = ① ； 2 3 2 0 x x − + = ② ； 2 2 3 1 0 x x + + = ③ ，这几个方程中，是“倍根方程”的是______（填 序号）； (2)若关于x 的方程( )( ) 2 0 x x m − − = 是“倍根方程”，求代数式 2 2 2 m m + + 的值； (3)若一元二次方程 2 2 ( ) 0 4 0 ax bx c b ac + + = − 是“倍根方程”，求a、b、c 之间的等量关系． 13 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若关于x 的一元二次方程 2 6 0 x x m − + = 两根为 1x ， 2x ，且 1 2 2 x x = ，则m 的值为（ ） A．10 B．8 C．6 D．4 2．若 1 2 , x x 是方程 2 2 5 0 x x + − = 的两个根，则 1 1 2 2 2 2 x x x x − + 的值为（ ） A．9 − B．1 − C．1 D．0 3．若点 ( ) 2, 1 A − 与点 ( ) , 1 B m − 关于y 轴对称，则下面关于x 的一元二次方程 2 3 0 x mx− + = 根的说法正确的 是（ ） A．有两个相等的实数根 B． 1 x = 是原方程的一个根 C．两根之和为2 − D．两根之积为 3 − 4．已知关于x 的一元二次方程 2 1 0 ax bx + + = 的两根之差为2，则代数式 2 12a b − 的最大值为（ ） A．8 − B．2 − C．4 D．10 5．已知m ，n 是一元二次方程 2 1 0 x kx + + = 的两个实数根，p ，q 是一元二次方程 2 0 x x k + + = 的两个实数 根，则 2 2 2 m n p q k n m + + + − 的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知 1x ， 2x 分别是关于x 的方程 2 2 3 0 x kx − + = 的两个根，且满足 1 2 1 1 4 x x + = ，则k 的值为______． 7．已知互不相等的实数a，b 满足 2 3 1009 0 a a − − = ， 2 3 1009 0 b b − − = ，则 2 2 a b + 的值为 _____． 8．设m、n 是方程( )( ) 1 4 5 x x + − = −的两实数根，则n m m n + ＝_____． 9．已知关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 2 3 0 x m x m + + + = 有两个实数根 1 2 , x x ，且 2 2 1 2 9 x x + = ，则m 的值为______． 10．已知实数x 、y 满足 2 3 x x = + ， 2 3 y y = + 且x y ，则 4 4 x y + =_____． 11．已知关于x 的一元二次方程 2 2 1 0 x x m − + −= 有两个不相等的实数根 1x ， 2x ． (1)求m 的取值范围； (2)若 ( ) 2 1 2 1 2 15 x x x x m − + = − ，求m 的值． 12．已知关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 5 1 0 x x m − − − = 有两个不相等的实数根． (1)求m 的取值范围； 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)记此方程的两个根为 1x ， 2x ．当m 取满足条件的最小整数时，求 2 2 1 2 x x + 的值． 13．若关于x 的一元二次方程 ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = 的两根为 1 2 x x 、 ，则 1 2 1 2 , . b c x x x x a a + = − = 这就是一元二 次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程 2 2 5 1 0 x x − −= 的两根为 1 2 x x 、 ，则 1 2 x x + = _____ 1 2 , x x = ； (2)已知关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 1 2 1 2 0. 2 x k x k − + + − = ①求证：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为 1 2 x x 、 ，满足 1 2 1 2 2 5 x x x x + = + ，求k 的值． 14．已知关于x 的一元二次方程 2 0 ax bx c + + = 有两个实数根 1x ，2x ，若满足 1 2 1 x x − = ，则此类方程叫做“差 根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ① 2 0 x x − = ；② 2 4 5 0 x x− − = (2)已知关于x 的方程 2 2 0 x ax + = 是“差根方程”，求a 的值． (3)已知ABC 是直角三角形，斜边BC 的长为7 ，若ABC 的两边AB 、AC 的长是一个二次项系数为1 的 “差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 15．阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程 的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n 满足 2 1 0 m m − −= ， 2 1 0 n n − −= ，且m n ，则可将m， n 看作方程 2 1 0 x x − −= 的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b 满足 3 a b + = ， 2 ab = ，则可以将a，b 看作方程 2 3 2 0 x x − + = 的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程 2 3 3 0 x x − − = 的两根 1x ， 2x ，则 1 2 x x + = ______， 1 2 x x =______； (2)已知实数m，n 满足 2 3 2 0 m m − − = ， 2 3 2 0 n n − − = ，求n m m n + 的值； (3)已知实数a，b，c 满足 5 a b c − = −， 16 5 ab c = − ，且 5 c ，求c 的最大值．
