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专题10 概率的计算
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、等可能事件
题型2、用概率公式计算概率
题型3、几何概率
题型4、用列表法求概率
题型5、用树状图求概率
题型6、三步及以上的树状图问题
题型7、概率与其它数学知识的综合
题型8、放回与不放回的对比问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
解决概率计算问题，首先要准确判断事件的类型与试验步骤；对于等可能事件，直接利用概率公式
P(A)=m/n，关键是完整列举所有基本事件；多步试验优先选用列表法或树状图，注意区分放回与不放回、
有序与无序的差异；几何概率则需把问题转化为长度、面积或体积之比；综合题要先把其它数学知识转化
为概率模型，再按上述方法求解，并解释实际意义．
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
目 录
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题型1、等可能事件
典例1 （25-26 九年级下·福建厦门·阶段检测）飞行棋是一种玩法简单的竞技游戏，玩家投掷一个骰子得
到正面朝上的点数，确定前进的步数，刚好走到终点则胜利；若所得点数超过到达终点所需的步数则需要
往回走所超点数的步数．如图所示，在一次飞行棋游戏的最后阶段，如果小明投掷骰子的次数不超过两次
就能刚好到达终点，则到达终点的方式有（ ）
A．4 种
B．5 种
C．6 种
D．7 种
【答案】C
【分析】根据题意列举即可．
【详解】解：根据题意，投掷一次6 点，
投掷两次，
，
综上共6 种．
题型模版
1.特征：每个结果发生机会相等，判断是否为等可能并计算相应概率．
2.方法：确认所有基本事件及等可能性；用 m/n 计算，列举要完整有序，避免重复或遗漏．
变式1-1 （25-26 七年级下·四川遂宁·期末）小王和小李玩象棋比赛（每局必分胜负），七局四胜，已知
小李全程没有领先过小王，最终小王获胜，问一共有______种不同情况
【答案】
【分析】本题要求小王最终获胜且小李全程未领先，按比赛结束的不同局数分类，计算每类符合条件的情
况数再求和即可得到结果．
【详解】解：由题意，小王最终胜4 局，小李胜局不超过3 局，且任意时刻小李胜场数不超过小王胜场数，
分情况讨论：
①比赛4 局结束：小王连胜4 局，符合条件，共1 种情况；
②比赛5 局结束：第5 局小王胜，前4 局小王胜3 局，小李胜1 局，第一局必须为小王胜（否则小李开局
领先），剩余3 局选1 局小李胜即可，共种，均满足条件，共种情况；
③比赛6 局结束：第6 局小王胜，前5 局小王胜3 局，小李胜2 局，第一局必须为小王胜，若第二局小李
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胜，则第三局小王胜，第四、五局小李选1 局胜即可，共2 种情况；若第二局小王胜，则第三、四、五局
小李选2 局胜即可，共3 种情况；因此，一共有5 种情况；
④比赛7 局结束：第7 局小王胜，前6 局小王胜3 局，小李胜3 局，第一局必须为小王胜，在剩余五局中，
小李可以胜第二、四、六局，或第二、五、六局或第三、五、六局或第三、四、六局或第四、五、六局，
共5 种情况；
综上所述， 总情况数为：
．
变式1-2 （24-25 九年级下·湖北襄阳·自主招生）现有五个乒乓球和五个盒子，它们分别标号、
、、
、，小明同学打算将所有的小球都放入到盒子中，但要求：（1）每个盒子只能放一个小球；（2）小球号
码与盒子号码均不相同．根据上述信息，小明同学一共有______种不同的放法．
【答案】44
【分析】本题考查排列、组合的应用，考查学生分析转化问题的能力，每个小球都不放入相同号码的盒子
中，对于5 个元素，错位排列即可．
【详解】解：∵每个盒子只能放一个小球；小球号码与盒子号码均不相同，
∴第一个盒子放2 的放法有21453；21534；23154；23451；23514；24153；24513；24531；25134；25413；
25431，共11 种；
第一个盒子放3 的放法有31254；31452；31524；34152；34251；34512；34521；35124；35214；35421；
35412，共11 种；
第一个盒子放4 的放法有41253；41532；41523；43152；43251；43512；43521；45123；45132；45213；
45231，共11 种；
第一个盒子放5 的放法有51234；51423；51432；53124；53214；53412；53421；54123；54132；54213；
54231，共11 种；
∴一共有
种
故答案为：44．
变式1-3 某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D 四家经销商销售，当一家经销商将分
配到的n 台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n 的对应关系如表：
…
A
40
60
B
30
55
75
90
100
105
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C
20
40
60
70
80
90
…
D
14
38
62
86
110
134
…
（1）如果企业将5 台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1 台设备，为使5 台设备都
售出后企业获得的总利润最大，应向经销商___________分配2 台设备（填“A”“B”“C”或“D”）；
（2）如果企业将7 台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么7 台设备都售出后，企业可获得
的总利润的最大值为___________万元．
【答案】
B
181
【分析】根据表格得到每增加一台设备的利润增量，分类讨论所有分配情况，计算总利润后比较即可得到
最大值．
(1) 5 台设备分给四家经销商，每家至少1 台，因此仅有一家分得2 台，其余三家各分得1 台，只需比较各
经销商分得第二台时的利润增量即可得到结果；
(2) 将7台设备按分配的经销商数量分类讨论，分别计算不同分配情况下的最大总利润，比较后得到最大值．
【详解】
解： 5 台设备分给四家经销商，每家至少1 台，因此一家分得2 台，其余三家各分得1 台．
计算各经销商第二台设备的利润增量：
的增量：
（万元），
的增量：
（万元），
的增量：
（万元），
的增量：
（万元），
，
应向经销商
分配2 台设备．
解：按分配经销商的数量分类讨论：
① 分配给1 家经销商：最大利润为
经销商7 台的利润，即
（万元）；
② 分配给2 家经销商：最大总利润为
1 台加
6 台，即
（万元）；
③ 分配给3 家经销商：最大总利润为
1 台，
2 台，
4 台，即
（万元）；
④ 分配给4 家经销商：四家各分1 台，剩余3 台选择增量最大的3 台，总利润为
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（万元）；
比较所有情况的总利润：
，
因此总利润最大值为
万元．
题型2、用概率公式计算概率
典例2 （2025 九年级下·浙江·学业考试）现有三个正方体形的公正骰子，每个骰子的六个面上分别标有
点数1，2，3，4，5，6．投掷这三个骰子，则其中两个骰子的点数之和恰好等于余下的一个骰子的点数的
概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求得总的可能情形，根据题意得出有9 种可能，按照不同方式可得共有45 种符合题意的情形，
进而根据概率公式，即可求解．
【详解】解：根据树状图法可得第一个数字有6 种情形，第二个数字可以选6 个数字，第三个数字也可以
选6 个数字，故总可能结果有
种可能
依题意，
，
，共有9 种可能，每
种有6 种排列方式，
其中
，
，
每种可能有3 种不同排列
；
和
， 共9 种可能；
的排列有
6 种可能，同理
....，6 种可能
则符合题意的共有
种，
∴其中两个骰子的点数之和恰好等于余下的一个骰子的点数的概率是
，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，根据题意找出符合题意的可能数是解题的关键．
题型模版
1.特征：直接利用 P(A)=m/n 的古典概型问题，涉及摸球、掷骰子、抽卡片等情境．
2.方法：求出总的基本事件数和事件 A 包含的基本事件数；注意“放回”“不放回”“有序”“无序”的区别．
变式2-1 （多选）小明进行投篮练习，共投了20 次，已知第一次没投中，总共投中了17 次，现依次计算
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小明投完前n 次时的命中率
，则
，在下列数字中，一定会在
中出
现的是（ ）
A．0.5
B．0.6
C．0.7
D．0.8
【答案】AD
【分析】本题考查概率问题，分类讨论思想的应用，正确的对没进的球进行讨论是解题的关键．根据第一
个没进，依次对后面的投篮情况进行讨论即可．
【详解】解：因为第一个没进，
所以若第二个进了，则有
．
若第二个没进，第三个没进，则有
，
，
．
若第二个没进，第四个没进，则有
，
，
，
．
若第二个没进，第五个没进，则有
，
，
后续情况无需讨论，
由此可见0.5 一定会在
中出现；
因为
，
如果前五次有三次没进，则
，
，
，……
由此可见这一种情况中0.6 没有出现；
因为
，
如果前10 次有一次或二次没进，则
或
，
由此可见这种情况下0.7 没有出现；
因为
，
如果前五次只有第一次没进，则
，
如果前五次有二次没进，同时前十次也是二次没进，则
，
如果前五次有二次没进，前十次是三次没进，则
，
如果前五次有三次没进，则
，
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由此可见0.8 一定会在
中出现．
故选AD．
变式2-2 小亮有黑、白各10 张卡片，分别写有数字0~9．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四
行，排列规则如下：
①从左至右按从小到大的顺序排列：
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
小亮每行翻开了两张卡片，如图所示：
其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行
最后一张白色卡片上数字只能是______有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上
数字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是______．
【答案】
【分析】本题考查概率问题，图形类规律探索，根据规则确定数值，然后根据不能确定的数字进行求概率
即可．
【详解】解：
黑卡8 在左边，
白卡数字可能为8 或9，
又
白卡9 排在第一行，
第四行最后一张白色卡片上数字只能是8；
每行能确定的数字为：
第一行：1 5 6 7 9
第二行：
3 4 5
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第三行：0
6 7 9
第四行：0 2
8 8
不能确定的是黑色2，3 和4，共有三种填法，是等可能性的，填对的有一种，即概率为
，
故答案为：8；
．
变式2-3 某班准备购买“国风书签”和“校徽钥匙扣”作为校园文化节奖品．已知购买1 枚国风书签和2
个校徽钥匙扣需要8 元，购买2 枚国风书签和3 个校徽钥匙扣需要13 元．
(1)求每枚国风书签和每个校徽钥匙扣的价格；
(2)班委准备用33 元全部购买这两种奖品，每种奖品至少买一件．
①写出
枚国风书签和
个校徽钥匙扣的数量满足的等量关系，并直接写出可能购买方案的个数；
②若从所有可能的购买方案中随机选取一种，直接写出买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率．
【答案】(1)每枚国风书签的价格为2 元，每个校徽钥匙扣的价格为3 元；
(2)①
，符合条件的方案有5 个；②买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率为
．
【分析】（1）设每枚国风书签的价格为x 元，每个校徽钥匙扣的价格为y 元，根据“购买1 枚国风书签和2
个校徽钥匙扣需要8 元，购买2 枚国风书签和3 个校徽钥匙扣需要13 元”列出方程组，解方程组即可；
（2）①根据购买m 枚国风书签和n 个校徽钥匙扣的总费用列出m，n 的数量关系，再根据m，n 为正整数
写出方案；
②根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：设每枚国风书签的价格为x 元，每个校徽钥匙扣的价格为y 元．
根据题意列方程组：
，
解得
，
答：每枚国风书签的价格为2 元，每个校徽钥匙扣的价格为3 元；
（2）解：①由（1）可知，国风书签单价2 元，校徽钥匙扣单价3 元，总费用33 元，
可得：
，
∴
，
因为m，n 都是正整数，
所以
必须是正偶数，
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∴
时，
；
时，
；
时，
；
时，
；
时，
；
时，
（舍去，因为每种奖品至少买一件）．
所以符合条件的方案有5 个；
②校徽钥匙扣数量多于国风书签数量，即
，
∴
，
和
，
，
∵满足条件的方案有2 个，总方案数为5 个，
∴概率为：
．
题型3、几何概率
典例3 （24-25 九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是
个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现
分别连接大、小正方形的四组顶点得到图
的“风车”图案（阴影部分）．若图中的四个直角三角形的较长
直角边为，较短直角边为，现随机向图
大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______．
【答案】
【分析】此题考查了几何概率，根据题意易得
，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三
角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可求解，求出阴影区域的面积是解题的关键．
【详解】解：如图，
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由题意可知，
，
，
∴
，
∴
，
则中间小正方形的面积为
，
小正方形的外阴影部分的
，
∴阴影部分的面积为
，
∴针尖落在阴影区域的概率为
，
故答案为：
．
题型模版
1.特征：试验结果对应区域（长度、面积、体积），求某事件发生的概率．
2.方法：计算事件对应区域测度与总区域测度之比；注意边界是否包含及图形的准确刻画．
变式3-1 （24-25 九年级上·北京·期末）将一个表面涂满红色的正方体的每条棱
等分（
，n 为整数），
分割成若干个小正方体，在这些小正方体中任取一个小正方体，只有一面为红色的概率为_____．
【答案】
【分析】本题考查了简单几何概率，熟练掌握正方体体积公式，面积公式，概率意义，几何概率计算，是
解题的关键．
小正方体总个数为
，只有一面涂红色的小正方体个数为
，概率为两者之比．
【详解】解：将正方体每条棱
等分后，小正方体总个数为
．
只有一面涂红色的小正方体位于每个面的中心部分，
每个面有
个，共6 个面，
∴总数为
．
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故任取一个小正方体，只有一面为红色的概率为
．
故答案为：
．
变式3-2 （25-26 九年级上·重庆黔江·期末）如图，在平面直角坐标系中，
三个顶点的坐标分别为
．
(1)若
与
关于y轴对称，
；
；
，并画出
；
(2)求
的面积；
(3)从
内部格点（不含边界上的点）中随机抽取一个点记为点D，连接
，求
的面积等
于3 时点D 的概率．
【答案】(1)
，，
，
，
，
，
，如图
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(2)
(3)
【分析】本题考查坐标与图形变换—轴对称，一次函数，网格求三角形的面积，简单的概率计算--几何概率，
掌握知识点是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质，画出
即可；
（2）利用分割法求
的面积即可；
（3）先求出线段
的解析式为
，设
，过点D 作
轴，交
于点E，推导
出
，由
的面积等于，得到
，继而推导出
内部格点共有7 个
点，每个点被抽到的机会是相等的，其中满足
的只有两个点
、
，即可解答．
【详解】（1）解：点
关于y 轴对称的点分别为
，
，
，顺次
连接成
（2）解：
（3）解：设线段
的解析式
，
将
分别代入，得
，
解得
，
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∴线段
的解析式
，
设
，过点D 作
轴，交
于点E，如图
当
时，
，
∴
，即
，
∵
的面积等于，
∴
，
解得
，
∵
内部格点共有7 个点，每个点被抽到的机会是相等的，其中满足
的只有两个点
、
，
∴
．
变式3-3 （24-25 七年级下·全国·课后作业）在综合与实践课上，同学们想运用数学知识设计一个寻宝游
戏．同学们将一张正方形纸片按照图①所示的方式折叠，然后打开，得到如图②所示的图形．同学们按照
图②画线，然后沿实线将正方形分割成如图③所示的七块区域并进行编号，随后将一个“宝藏”埋藏在某
个区域内．
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(1)如果区域⑥对应的周长为3，那么区域⑦的周长为____________．
(2)下列说法正确的是____________．
A．找到宝藏的概率跟所选择区域的形状有关 B．在区域③不可能找到宝藏
C．在区域①一定能找到宝藏 D．在区域④⑥⑦找到宝藏的概率相同
【答案】(1)3
(2)D
【分析】（1）通过图2 的折叠与分割，确定区域⑥的边长和区域⑦的边长关系，进而推出两者的周长关系；
（2）根据概率与区域面积的关联，逐一判断各选项的正确性．
【详解】（1）解：由图2 可知，区域⑥是平行四边形，该平行四边形相邻两边中，较短的边长是区域⑦斜
边长的一半，较长的边长是区域⑦直角边的长，
∴区域⑦的周长等于区域⑥的周长：
∵区域⑥对应的周长为3，
∴区域⑦对应的周长为3.
故答案为：．
（2）解：A：找到宝藏的概率与区域面积有关，与形状无关，故错误，不符合题意；
B：区域③是存在的区域，有找到宝藏的可能，故错误，不符合题意；
C：宝藏藏在哪个区域是随机的，区域①不一定能找到，故错误，不符合题意；
D：区域④⑥⑦的面积相等，因此找到宝藏的概率相同，故正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了图形折叠的性质、周长计算及概率的概念，掌握利用折叠的全等性分析线段长度，以
及概率与区域面积相关的特点是解题的关键．
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题型4、用列表法求概率
典例4 （2025·浙江宁波·模拟预测）一个人在直角坐标系上从
走到
，每次他可以往上走一
个单位长度或往右走一个单位长度且它的横坐标和纵坐标的绝对值至少有一个大于等于二，则这个人有
_______种走法．
【答案】74
【分析】本题考查了列表法求事件的种数，
问题核心：从
走到
，每次只能往右或往上走
格，且不能经过 “禁区”（横坐标
，0，1
且纵坐标
，0，1 的点，这些点横、纵坐标绝对值都小于 2）．
解题方法：用 “标数法”—— 每个点的走法数 = 从左边过来的走法数 + 从下边过来的走法数（因只能
右 / 上走）．
【详解】点的坐标
解：基础标数：
（1）起点
标 “1”（只有 1 种到起点的方法）；
（2）（
）和（
）只能单向走，全标 “ ”．
逐点计算（重点标关键位置）：
x\y
0
1
2
3
3
1
7
13
19
25
37
2
1
6
6
6
6
12
37
1
1
5
（禁区）
（禁区）
（禁区）
6
25
0
1
4
（禁区）
（禁区）
（禁区）
6
19
1
3
（禁区）
（禁区）
（禁区）
6
13
1
2
3
4
5
6
7
起点
1
1
1
1
1
1
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结果：终点
的走法数为 74．
故填：74．
题型模版
1.特征：两步试验（如掷两枚骰子、摸球两次），适合用表格枚举所有结果．
2.方法：画行列表格，横纵分别表示两步的所有等可能结果；数出目标结果数，代入概率公式．
变式4-1 如图是一个电路图，电灯
和
的规格相同．现从电阻值分别为
，
，
，
的四个电阻
中，随机选取两个放置在
，
的位置上，则电灯
比
更亮的概率为__________．
【答案】
【分析】当
时，电灯
比
更亮，列出树状图，找到所有等可能情况和符合题意的情况数，利
用概率公式进行解答即可．
【详解】解：根据题意可得，当
时，电灯
比
更亮，画树状图如下：
根据列表可知，
共有12 种等可能情况，其中
的情况共有4 种，
故电灯
比
更亮的概率为
．
变式4-2 （25-26 九年级下·四川绵阳·期中）现有编号为①、②、③、④的四种化学试剂，分别是：
、
、
溶液、
溶液，装在了4 个不透明的化学试剂瓶中．某同学从这四种化学试剂中随机不放
回地先后抽取两种，规定：若两种物质之间能发生化学反应，则称为“有效反应组合”，则该同学抽到有效
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反应组合的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先列表求出所有等可能的抽取结果数，再求出有效反应组合的结果数，最后根据概率公式计算即
可．
【详解】解：列表：
第一次
第二次
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即总共有12 种不同组合，每种组合出现的可能性相同，能发生反应的组合为
与
、
与
、
与
，共6 种有效反应组合。
根据概率公式可得：
因此抽到有效反应组合的概率为
．
变式4-3 有4 个球和写有1、2、3 号的盒子，进行如下游戏：①从装有3 张卡片（分别写着1、2、3）的盒
子里随机抽取一张，记数字为k；②若
，则在1 号和3 号盒子中各放入1 个球；若
，则在1 号和
2 号盒子中各放入1 个球；若
，则在2 号和3 号盒子中各放入1 个球；③将卡片放回，重复以上操作
两次．则3 号盒子恰好比2 号盒子多1 个球的概率为_________．
【答案】
【分析】先确定两次操作的所有等可能基本事件总数，再根据题意推导3 号盒子恰好比2 号盒子多1 个球
的条件，求出符合条件的基本事件个数，最后利用古典概型概率公式计算概率．
【详解】解：由题意，每次抽取卡片有种等可能结果，重复操作两次，
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1
2
3
1
2
3
∴共有种等可能的结果，
对单次操作，设抽取数字为
时，2 号盒子球的增量为
，3 号盒子球的增量为
，
当
时，
，
；当
时，
，
；当
时，
，
.
∵两次操作后，3 号盒子恰好比2 号盒子多个球，即满足
.
∴设两次抽取中，抽的次数为
，抽
的次数为
，抽的次数为
，
∴
，且：
，
，
代入条件得：
.
联立方程
，
其中
为非负整数，
∴
，
，
，
即符合条件的事件结果为
和
，
∴所求概率为
．
题型5、用树状图求概率
典例5 《生物多样性公约》第十五次缔约大会（
）于2021 年10 月11 日在云南昆明举行，为了提高
吉祥物的协调性、艺术性和代表性，拟确定
大会吉祥物由“孔雀、金丝猴、山茶花、大熊猫
和民族女孩”5 个吉祥物形成的组合图案．
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小昆同学将以上五幅图分别做成五张小卡片（卡片大小和背面花纹一样），随机将五张小卡片背面向上放置
在桌子上．
(1)从这五张卡片中随机挑选一张，是“金丝猴”的概率是__________；
(2)小明同学先随机抽取一张卡片，放回洗匀，再抽取第二张卡片，请用树状图法或列表法求抽到的两张卡
片上的图形至少有一张是“民族女孩”卡片的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有25 种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上的图形至少有一张是“民族女孩”卡片
的结果有9 种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵有五张小卡片：孔雀；金丝猴；山茶花；大熊猫；民族女孩，
∴从这五张卡片中随机挑选一张，是“金丝猴”的概率是
；
（2）解：用字母A、B、C、D、E 分别表示卡片孔雀；金丝猴；山茶花；大熊猫；民族女孩；
画树状图如下：
共有25 种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上的图形至少有一张是“民族女孩”卡片的结果有9 种，
∴抽到的两张卡片上的图形至少有一张是“民族女孩”卡片的概率为
．
题型模版
1.特征：多步试验，逐步分支列举，适合用树状图表示．
2.方法：按试验步骤画树状图，每个分支标明结果；沿路径统计满足条件的结果数并计算概率．
变式5-1 （25-26 八年级上·湖南邵阳·期末）一椭圆形地块，打算分
、
、
、
四个区域栽种观赏植
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物，要求同一区域种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有
种不同的植物可供选择，那么有（ ）
种栽种方案．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了画树状图，掌握分类讨论思想以及正确画出树状图是解题的关键．
根据
，
所种的种数相同和不同来分类，然后分别根据题意画出树状图，然后统计即可解答．
【详解】解：设4 种不同的植物分别为甲、乙、丙、丁，
当
，
种同一种植物，根据题意画树状图如下：
共有36 种栽种方案；
当
，
种不同的植物，
则有48 种栽种方案．
综上，共有
种．
故选：D．
变式5-2 某班开展“互助学习接力”活动，将班级学习小组划分为
、
、
、
四个小组，对应如图所
示三棱锥
的四个顶点，规则为：小球（代表学习任务）在三棱锥的顶点间传递，每传递一次，任务
随机传给相邻的小组．若任务初始在
组，连续传递两次后，任务回到
组的概率为________．
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【答案】
【分析】先画出树状图，统计出所有可能的结果总数，然后判定符合条件的结果数，利用概率公式计算即
可．
【详解】解：根据如下树状图可得结果总数为9 个，符合连续传递两次后，任务回到
组的结果数为3 个，
所以概率为
．
变式5-3 周末，小辰、小苏、小彦、小夏四人准备开车出去游玩，四人中只有小夏不会开车，车辆座位如
图所示，则小夏和小彦坐在同一排的概率为______．
【答案】
【分析】利用树状图法求解即可．
找到同一排的所有情况，再除以总的情况数即可求解．
【详解】解：画出树状图，如图：
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总的情况数为9，二人在同一排的情况数为3，
故小夏和小彦坐在同一排的概率为：
．
题型6、三步及以上的树状图问题
典例6 （24-25 九年级下·江苏盐城·阶段检测）甲、乙、丙3 人间相互传球．假设他们相互间传球是等可
能的，并且由甲开始传球．
(1)经过1 次传球后，球在乙手中的概率是______；
(2)经过3 次传球后，球在乙手中的概率是多少？请画树状图解决问题．
(3)猜想：经过
次传球后，球传到甲、乙、丙3 人手中的概率之间的大小关系（直接写出结果，不用说明
理由）．
【答案】(1)
(2)
(3)
当
为奇数时，
；当
为偶数时，
【分析】（1）画树状图展示所有4 种等可能的结果数，再找出球在乙手中的结果数，然后根据概率公式求
解；
（2）画树状图展示所有8 种等可能的结果数，再找出球在乙手中的结果数，然后根据概率公式求解；
（3）利用（1）、（2）的结论讨论推广：当n 为奇数时，
；当n 为偶数时，
．
【详解】（1）解：经过1 次传球后，等可能结果数为2 种（甲传乙或甲传丙），球在乙手的结果数为1，
∴球在乙手中的概率是
．
（2）画树状图，
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共有8 种等可能的结果数，其中球在乙手中的结果数为3，
∴球在乙手中的概率
；
（3）若经过2 次传球，画出树状图，
共有4 种等可能的结果数，其中球在甲手中的结果数为2，其中球在乙手中的结果数为1，其中球在丙手中
的结果数为1，
∴球在甲手中的概率
；球在乙手中的概率
；球在丙手中的概率
；
若经过4 次传球，画出树状图，
共16 种等可能结果，球在甲手中的结果有6 种，在乙手中的结果有5 种，在丙手中的结果有5 种，
∴球在甲手中的概率为
，在乙手中的概率为
，在丙手中的概率为
．
……，
∴经过1 次传球，
，
，
；
；
经过2 次传球，
，
，
；
；
经过3 次传球，
，
，
；
；
经过4 次传球，
，
，
；
；
经过5 次传球，
，
，
；
；
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经过6 次传球，
，
，
；
；
……，
经过n 次传球，当n 为奇数时，
，
，
；
∴
；
当n 为偶数时，
，
，
；
∴
．
题型模版
1.特征：试验步骤超过两步，列表法不易表达，树状图更清晰．
2.方法：用多层树状图逐层展开，注意每一步条件变化（尤其不放回）；统计满足条件的路径数．
变式6-1 金华创建文明城市，推行垃圾分类．小区里有可回收、不可回收、有害垃圾和厨余垃圾四种垃圾
箱．一天小林把家里分好类的四袋垃圾拿去投放，他不小心放错了其中的三个垃圾袋，则小林将四个垃圾
袋中的三个垃圾袋投放错误的概率是________．
【答案】
【分析】画树状图（用A、B、C、D 表示可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾投放位置，用a、b、
c、d 表示装有可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾的袋子）展示所有24 种等可能的结果，再找出
把三个袋子都放错位置的结果数，然后根据概率公式求解．
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【详解】解：画树状图（用A、B、C、D 表示可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾投放位置，用a、
b、c、d 表示装有可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾的袋子）；
共有24 种等可能的结果，其中把三个袋子都放错位置的结果数为8 种，
所以把三个袋子都放错位置的概率为：
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符
合事件A 或B 的结果数目m,然后根据概率公式计算事件A 或事件B 的概率．
变式6-2 小明每天骑自行车上学，都要通过安装有红、绿灯的3 个十字路口．假设每个路口红灯和绿灯亮
的时间相同．
(1)小明从家到学校，求通过前2 个十字路口时都是绿灯的概率（请用“画树状图”或“列举”等方法给出
分析过程）；
(2)小明从家到学校，通过这3 个十字路口时至少有2 个绿灯的概率为 ．（请直接写出答案）
【答案】(1)解：设红灯为红，绿灯为绿，
列举通过前2 个十字路口的所有等可能结果如下： 红红，红绿，绿红，绿绿
∵共有4 种等可能的结果，其中两个路口都是绿灯的结果有1 种
∴通过前2 个十字路口时都是绿灯的概率为
．
(2)
【详解】（1）略
（2）解：画树状图如图，
表示红灯，
表示绿灯，
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∵至少有2 个绿灯的结果共有4 种，总共有8 种等可能结果
∴通过3 个十字路口时至少有2 个绿灯的概率为
．
变式6-3 盐城市鹿鸣路初级中学初一年级学生于五月初正式进入西校区，开始了新的学习与生活．为庆祝
这一美好的日子，初一（1）班同学在操场上举行了击鼓传花的游戏．甲、乙、丙三位同学在操场上互相传
递手中的花环，假设他们相互间传递是等可能的，并且由甲首先开始传递．
(1)经过1 次传递后，花环传到乙手中的概率是_________；
(2)请画树状图或列表求经过2 次传递后，花环传到乙手中的概率；
(3)猜想并直接写出：经过2022 次传递后，传到_________同学手中（填甲、乙、丙）的可能性最大．
【答案】(1)
(2)
(3)甲
【分析】（1）列举1 次传递的所有等可能结果，直接计算概率；
（2）通过树状图列出2 次传递的所有等可能结果，统计传到乙手中的结果数，计算概率；
（3）通过列举前几次传递的结果找规律，判断2022 次传递后可能性最大的对象．
【详解】（1）解：∵ 第1 次传递从甲出发，有乙、丙2 种等可能结果，传到乙手中的结果有1 种，
∴ 经过1 次传递后，花环传到乙手中的概率为
．
（2）解：画树状图可得所有等可能结果：
第1 次传递：甲→乙，甲→丙； 第2 次传递：乙→甲，乙→丙；丙→甲，丙→乙，
共有4 种等可能的结果，其中经过2 次传递后花环传到乙手中的结果有1 种，
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∴
（传到乙手中）
；
（3）解：列举前几次传递的结果规律：
传递1 次（奇数）：乙、丙可能性相同且最大；
传递2 次（偶数）：甲可能性最大；
传递3 次（奇数）：乙、丙可能性相同且最大；
传递4 次（偶数）：甲可能性最大.
由此可猜想：当传递次数为偶数时，花环在甲手中的可能性最大；
当传递次数为奇数时，花环在乙、丙手中的可能性相同且最大．
∵ 2022 是偶数，
∴经过2022 次传递后，传到甲同学手中的可能性最大．
题型7、概率与其它数学知识的综合
典例7 张老师在带领同学们进行折
角的探究活动中，按步骤进行了折纸：
①对折矩形
，使
与
重合，得到折痕
，并把纸展平．
②再一次折叠纸片，使点
落在
上，并使折痕经过点
，得到折痕
，同时得到线段
．
③可得到
．老师请同学们讨论说明理由．
三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接
，可证
为等边三角形，从而得证；小如说：
利用平行线分线段成比例性质，可证
，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用
的边
角关系可证．
(1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树
状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率．
(2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明
理由．
【答案】(1)
(2)
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选择小彤的方法说明
，理由如下：
连接
，如下图，
由折叠的性质可得，
，
，
，
，
∴
垂直平分
，
∴
，
∴
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∴
，
∵四边形
为矩形，
∴
，
∴
，
∴
．
【分析】（1）用
表示三种解题方法，根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案；
（2）连接
，由折叠的性质可得，
，
，
，
，由垂直平分线
的性质可得
，即可证明
为等边三角形，得到
，由矩形的性质可得
，可求出
，即可证明结论．
【详解】（1）解：用
表示三种解题方法，根据题意，作出树状图如下，
由树状图可知，共有9 种等可能的结果，其中小明和小峰选择同一种方法的结果有3 种，
∴小明和小峰选择同一种方法的概率为
；
（2）略
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【点睛】本题主要考查了列举法求概率、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知
识，解题关键是结合折叠的性质和垂直平分线的性质证明
为等边三角形．
题型模版
1.特征：概率与函数、方程、几何、统计等其它数学知识结合．
2.方法：先用相应数学知识求出基本量，再转化为概率模型；注意多条件的正确转化与分类讨论．
变式7-1 在某次选举中，每位同学将自己心中的候选人（仅选一人）写在小纸条上．选举结果如表：
候选人
小华
小丽
小明
票数
24
16
8
将这48 张选票做成48 支签，放在不透明的盒子中摇匀．
(1)从盒子中任意抽出1 支签，抽到候选人是小华的概率是_____；
(2)从盒子中任意抽出1 支签，记录候选人的名字后，放回摇匀，再从中任意抽出1 支签．
①如何求两次抽到候选人都是小华的概率呢？
【分析】
若直接用画树状图或列表的方法计算其概率，则树状图或表格将会极其复杂．为此，小聪设计了图1 所示
的转盘（将转盘二等分
．．．），将原问题转化成“任意转动转盘2 次，求指针均落在标有“小华”区域的概率”，
再用画树状图或列表的方法计算两次抽到候选人都是小华的概率是______．
②先在图2 中设计恰当的转盘，再用画树状图或列表的方法，求两次抽到候选人都是小丽的概率．
【答案】(1)
(2)①
②
【分析】（1）由题意知，共有48 种等可能的结果，其中抽到“小华”的结果有24 种，利用概率公式可得
答案．
（2）①画树状图可得出所有等可能的结果数以及其中两次都抽到“小华”的情况有1 种，再利用概率公式
可得出答案．
②画树状图可得出所有等可能的结果数以及其中两次都抽到“小丽”的情况有1 种，再利用概率公式可得
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出答案．
【详解】（1）解：总票数为
，小华的票数为24；
所以，抽到“小华”的概率为
；
（2）解：①画树状图如下：
由树状图可得一共有4 种等可能的结果，其中两次都抽到“小华”的情况有1 种，
所以，两次都抽到“小华”的概率为
；
②小丽的票数为16，总票数为48，
所以，抽到小丽的概率为
，
可以把转盘三等分，分别标上“小丽”“小华”“小明”，如图，
画树状图如下：
共有9 种等可能的结果数，其中两次抽到“小丽”的结果只有1 种，
所以，两次抽到“小丽”的概率为
．
变式7-2 武侯祠景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区5 月份的游客中随机抽取50 人对景区的服
务质量进行评分，评分结果用x 表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，
部分信息如下：
组别
A
B
C
D
E
分组
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人数
3
3
15
a
10
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)
______；这50 名游客对该景区服务质量评分的中位数落在_____组；
(2)若游客评分的平均数不低于75，则认定该景区的服务质量良好．分别用：50，60，70，80，90 作为A，
B，C，D，E 这五组评分的平均数，估计该景区5 月份的服务质量是否良好，并说明理由．
(3)该景区计划从A（2 男1 女），B（1 男2 女）两组六位游客中，各随机抽取1 人参加抽奖活动，请用画树
状图或列表的方法求出恰好抽到1 男1 女的概率．
【答案】(1)解：
；D
(2)解：该景区5 月份的服务质量良好，理由是：
，
，
该景区月份的服务质量良好．
(3)解：恰好抽到1 男1 女的概率为
．
【分析】
（1）根据抽查的总人数和其余
组的人数计算出D 组的人数，即为
的值；根据中位数的定义可知，
把这
人的评分结果按照从小到大的顺序排列，第
和
个评分结果的平均数是这组数据的中位数，根据
A，B，C 组的人数和D 组的人数判断中位数在D 组；
（2）利用加权平均数的公式可以求出
名游客评分的平均数为
分，所以该景区月份的服务质量良好．
（3）用列表法求出概率即可．
【详解】（1）解：
，
一共抽查了
人，
把这
人的评分结果按照从小到大的顺序排列，第
和
个评分结果的平均数是这组数据的中位数，
又
，
，
第
和
个评分结果在D 组，
这
名游客对该景区服务质量评分的中位数落在D 组；
（2）略
（3）解：设A（2 男1 女）组的三为游客分别记为
B（1 男2 女）组三位游客分别记为
根据题意列表如下；
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共有种等可能的结果，其中恰好抽到1 男1 女的情况为
，
，
，
，
，共5 种情况，故恰好抽到1 男1 女的概率为
．
变式7-3 某水果生产基地为了解同一批柑橘装箱后每箱的重量情况，从全部装箱的柑橘中随机选出100 箱，
分A、B、C、D、E 五组来测量每箱的重量（单位：
），并分别测算出各组柑橘每箱重量的平均数，结果
如下表，
小组编号
A
B
C
D
E
个数（单位：箱）
25
20
15
25
15
平均重量（单位：
）
30
25
20
32
20
其中E 组中15 箱柑橘每箱的重量（单位：
）分别是：
12 14 16 17 17 17 18 18 20 21 24 24 24 28 30
根据以上信息，解决下面的问题．
(1)E 组中15 箱柑橘重量的中位数是_____，众数是______；
(2)下面是晓强同学求这100 箱柑橘平均重量的做法：
这100 箱柑橘的平均重量为
，请你判断他的做法是否正确，若正确请说
明理由；若不正确，请你求出这100 箱柑橘的平均重量．
(3)现需要用载重量为5 吨的卡车运送1000 箱该批柑橘，请你估计至少需要几辆卡车，才能一次将这批柑橘
运送完?并通过计算进行说明．
(4)若该水果生产基地对这五组柑橘随机抽出两组，再次称重检测每组的平均重量，用画树状图或列表的方
法，求同时抽到A 组和E 组的概率，
【答案】(1)
，
和
(2)不正确，这100 箱柑橘的平均重量是
(3)6 辆
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(4)
【分析】（1）根据中位数和众数的概念解答即可；
（2）晓强同学做法错误，运用加权平均数的方法解答即可；
（3）运用除法计算，结果进一即可；
（4）列表，得20 种等可能的结果，同时抽到A 组和E 组有2 种等可能得结果，再根据概率公式进行计算
即可．
【详解】（1）解：E 组中15 个数据按从小到大的顺序排列为：
12 14 16 17 17 17 18 18 20 21 24 24 24 28 30，最中间的一个数据为18，
所以，中位数是
；
数据出现最多的是17 和24，各出现3 次，
故众数为
和
；
（2）解：晓强的做法不正确．
这100 箱柑橘的平均重量为：
．
答：这100 箱柑橘的平均重量是
．
（3）解：估计这批柑橘的重量为
（吨）．
∵
，
（辆），
∴至少需要6 辆载重量为5 吨的卡车．
（4）解：列表如下：
A
B
C
D
E
A
B
C
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D
E
ED
∵一共有20 种等可能的结果，同时抽到A 组和E 组有2 种等可能的结果，
∴P（同时抽到A 组和E 组）
．
变式7-4 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公
司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快
递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10 家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、
分析如图：
配送速度和服务质量得分统计表：
项目统计量快递
公司
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
平均数
方差
甲
8
m
7
乙
8
8
7
(1)表格中的
______，
______
．（填“>”“=”或“<”）；
(2)补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角
的度数；
(3)如果A，B，C 三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用列表法或树状图
求三家种植户选择同一快递公司的概率．
【答案】(1)8.5；；
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(2)
；
；
(3)
【分析】（1）一共有10 家种植户的评分，中位数是从小到大排列，第五名，第六名的平均分，观察甲快递
公司配送速度的直方图，可知第五名8 分，第六名9 分，求平均数即可得到
；分别计算服务质量的方差
、
，即可比较大小；
（2）算出甲快递公司评分为9 的商家数量，即可补全直方图；先求出7 分所占的比例，
乘以这个比例，
即可求出
；
（3）用树状图展示所有等可能的结果数，然后利用概率公式求解．
【详解】（1）解：观察甲快递公司配送速度的直方图，可知10 家种植户中，给出评分6 的两家，评分7 的
两家，评分8 的一家，评分10 的一家，
给出评分9 的：
（家），
甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10，
甲快递公司的中位数，是第五名，第六名的平均分，即
，
，
，
．
（2）①略；
②解：7 分所占的比例为：
，
．
（3）解：画树状图，列出所有可能结果，如下：
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由树状图可知共有8 种可能结果，其中三家种植户选择同一快递公司的有2 种结果，
三家种植户选择同一快递公司的概率
．
变式7-5 中国快递越来越“科技范儿”，某快递公司为了让快递“跑”得更快，新购进
型号分拣机器人2
台，
型号分拣机器人3 台．已知
型机器人每分钟分拣快递的数量是
型机器人每分钟分拣数量的1.5
倍，且
型机器人分拣900 件快递所用时间比
型机器人分拣800 件所用时间少2 分钟．
(1)随机抽取一台机器人分拣快递，则抽取到
型号分拣机器人的概率为________；
(2)随机抽取两台机器人分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣
机器人的概率；
(3)求
型机器人每分钟分拣快递多少件？
(4)已知每台
型机器人售价3 万元，每台B 型机器人售价2 万元，该分拣仓库计划再采购
，
两种型号
的机器人共50 台，且必须要保证这50 台机器人每分钟分拣快递的总数量不少于6500 件，请根据以上要求，
求出采购
种型号的机器人多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)150 件
(4)采购A 型号机器人30 台时所需费用最低，最低费用为130 万元
【分析】（1）由题意可直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有20 种等可能的结果，再找出抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的结果
数，然后根据概率公式求解；
（3）设B 型机器人每分钟分拣快递件，则A 型机器人每分钟分拣快递
件，利用时间关系列方程，然
后解分式方程即可；
（4）设采购A 种型号的机器人
台，则采购B 种型号的机器人
台，所需总费用为
万元，总费用
表示为
，再确定
的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题．
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【详解】（1）解：随机抽取一台机器人分拣快递，抽取到B 型号分拣机器人的概率为
；
（2）解：画树状图：
共有20 种等可能的结果，其中抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的结果数为8；
因此抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的概率为：
；
（3）解：设B 型机器人每分钟分拣快递件，则A 型机器人每分钟分拣快递
件，
列方程：
，
解方程得：
；
经检验，
为原方程的解；
当
时，
；
答：A 型机器人每分钟分拣快递150 件．
（4）解：设采购A 种型号的机器人
台，则采购B 种型号的机器人
台，所需总费用为
万元，
总费用表示为
，
根据题意列不等式组：
，且
；
解得：
，且
为整数；
由于
中，
随
的增大而增大，
因此当
时，
取得最小值，最小值为130．
答：采购A 种型号的机器人30 台时，所需费用最低，最低费用是130 万元．
题型8、放回与不放回的对比问题
典例8 一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2 个，蓝
球1 个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为
．
(1)求口袋中黄球的个数；
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(2)甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次
摸出都是红球的概率；
【答案】(1)1 个
(2)概率为
【分析】（1）设口袋中黄球的个数为x 个，根据概率公式得到
，然后利用比例性质求出x 即可；
（2）画树状图展示所有12 种等可能的结果数，再找出两次摸出都是红球的结果数，然后根据概率公式求
解即可．
【详解】（1）解：设口袋中黄球的个数为x 个，
根据题意得：
，
解得：
，
经检验：
是原分式方程的解，
∴口袋中黄球的个数为1 个；
（2）解：画树状图得：
∵共有12 种等可能的结果数，两次摸出都是红球的有2 种结果数，
∴两次摸出都是红球的概率为：
．
题型模版
1.特征：同一情境分别按放回、不放回摸球，比较概率变化或分别求值．
2.方法：放回时每次总球数不变，各次独立；不放回时总球数减少且条件相关；用树状图或列表法分别计算
并对比．
变式8-1 （2025 九年级·全国·专题练习）一个不透明袋中装有五个形状大小完全相同的球，球的编号分
别为1，2，3，4，5．
(1)从袋中随机一次取两个球，求取出的球的编号之和不大于6 的概率．
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号记为n，将球放回袋中摇匀，然后再从袋中随机取一个球，该球的编
号为m．求
的概率．
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【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了古典概型概率的知识点，解题关键是准确列举所有基本事件，并逐一分析符合条件的
事件数，确保不重不漏．
（1）先确定从袋中随机一次取两个球的所有可能结果（基本事件数），再找出编号之和不大于
的结果数，
最后根据概率公式计算；
（2）确定两次取球的所有可能结果数，再逐一分析满足
的结果数，进而计算概率．
【详解】（1）解:画树状图如图．
由树状图可知，共有
种等可能的结果，其中取出的球的编号之和不大于的结果有
种，
取出的球的编号之和不大于的概率为
．
（2）解：画树状图如图．
由树状图可知，共有
种等可能的结果，其中
的结果有
种，
∴
的概率为
．
变式8-2 （25-26 七年级下·福建漳州·期末）在一个不透明的袋子里有除颜色外其它都相同的5 个红球和
2 个白球．
(1)先从袋子里取出
（
）个白球，不放回，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件
．
①如果事件
是必然事件，则
的值为__________；
②如果事件
是随机事件，则
的值为__________．
(2)先从袋子中取出个红球，不放回，再放入除颜色外其它都相同的
个黑球并摇匀，若随机摸出一个
球是红球的可能性大小是
，求的值．
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【答案】(1)①2；②1
(2)3
【分析】（1）根据事件的分类，进行作答即可；
（2） 根据可能性大小的计算公式，列出方程进行求解即可.
【详解】（1）解：①如果事件
是必然事件，则袋子里全是红球，没有白球，故
；
②如果事件
是随机事件，则袋子里有红球，也有白球，故只能取出1 个白球，即
；
（2）解：依题意得：
．
解得：
．
答：的值是3．
变式8-3 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：
变式8-4 抽奖方案有以下两种：
方案A，从装有1 个红球、2 个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1 个球，若是红球，则获得奖金15
元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；
方案B，从装有2 个红、1 个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1 个球，若是红球则获得奖金10 元，
否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．
变式8-5 抽奖条件是：
顾客购买商品的金额每满100 元，可根据方案A 抽奖一次：每满足150 元，可根据方案B 抽奖一次（例如
某顾客购买商品的金额为310 元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A 抽奖三次或方案B
抽奖两次或方案A，B 各抽奖一次）．
已知某顾客在该商场购买商品的金额为250 元．
(1)若该顾客只选择根据方案A 进行抽奖，求其所获奖金为15 元的概率；
(2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由．
【答案】(1)
；
(2)解：选择方案A、方案B 各抽1 次的方案，更为合算．理由如下：
①由（1）可得，只选择方案A，抽奖2 次，获得15 元的概率为
，获得30 元（2 次都是红球）的概率为
，
两次都不获奖的概率为
，
所以只选择方案A 获得奖金的平均值为：15×
+30×
=10（元），
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②只选择方案B，则只能摸奖1 次，摸到红球的概率为
，因此获得奖金的平均值为：10×
≈6.7（元），
③选择方案A1 次，方案B1 次，所获奖金的平均值为：15×
+10×
≈11.7（元），
因此选择方案A、方案B 各抽1 次的方案，更为合算．
【分析】（1）利用列表法表示获得奖金15 元所有可能出现结果情况，进而求出相应的概率即可；
（2）由种抽奖方案，即：2 次都选择方案A，1 次方案A1 次方案B，1 次方案B，分别求出各种情况下获
得奖金的平均值即可．
【详解】（1）解：由于某顾客在该商场购买商品的金额为250 元，只选择方案进行抽奖，因此可以抽2 次，
由抽奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15 元，
从1 个红球，2 个白球中有放回抽2 次，所有可能出现的结果情况如下：
共有9 种等可能出现的结果，其中一红一白，即可获奖金15 元的有4 种，
所以该顾客只选择根据方案A 进行抽奖，获奖金为15 元的概率为
；
（2）略
【点睛】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答
的前提．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．如图，在
的正方形网格中有36 个格点（小正方形的顶点），
的顶点都在格点上，在余下的33
个格点中任取1 个格点，能画出和
有一条公共边且全等的三角形的概率为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：和
有一条公共边且全等的三角形共有五个，
∴和
有一条公共边且全等的三角形的概率为
．
2．
（25-26 七年级下·甘肃白银·期末）如图，将
的边
分别延长至点
，连接
，
使得
分别为
的中点．现随机向
内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是
_______．
【答案】
【详解】解：如图，连接
，
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分别为
的中点，
，
，
，
，
，
，
，
．
3．（24-25 九年级下·安徽宣城·自主招生）从1，2，3，4 四个数中任选两个不同的数分别记为
，，
则不等式组
有且只有两个整数解的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，概率公式求概率．简化不等式组得到解集范围，求整数解个数
为
，令其等于2 得
，再计算满足条件的概率．
【详解】解：∵不等式组
简化得
和
∴解集为
整数解个数为
令
得
从
中选两个不同的数作为
和，
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总情况数
满足
的
对为
、
、
，共3 种
∴概率
故选：C．
4．（25-26 九年级上·浙江宁波·期中）从1、2、3、4 四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，
则二次函数
与x 轴有两个不同交点的概率为______．
【答案】
【分析】二次函数与轴有两个不同交点的条件是判别式大于零，即
，从1、2、3、4 中随
机选取两个不同的数作为和，考虑顺序，总共有12 种可能结果，找出满足条件的有序对，计算概率即
可．
本题主要考查了简单概率的计算，二次函数与轴的交点问题，熟练掌握“二次函数与轴有两个不同交点
的条件是判别式大于零”是解题的关键．
【详解】解：由于选取顺序不同，
和的有序对共有
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
共12 种；
二次函数
与轴有两个不同交点的条件是判别式
，
即
，
解得
，
满足的有序对有
、
、
、
共4 种，
则二次函数
与轴有两个不同交点的概率为
；
故答案为：
．
5．如图展示的是商场里的一组创意吊灯，若这组吊灯清洗时每次只能取下一个吊灯，且取下吊灯B 前必须
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先取下吊灯C，直到3 个吊灯都被取下为止，则清洗时吊灯B 第三个被取下的概率是______．
【答案】
【分析】先列举出所有满足取下吊灯
前必须先取下吊灯
这一条件的可能情况，然后找出吊灯
第三个被
取下的情况数，最后根据概率公式进行计算即可
【详解】解：由题意可知，取下吊灯
前必须先取下吊灯
，
所有可能的取下顺序为
，共种等可能的结果，
其中吊灯
第三个被取下的情况有
，共种，
清洗时吊灯
第三个被取下的概率是
．
6．（25-26 八年级下·四川成都·期末）已知关于的不等式
的整数解的个数为
，关于
的方
程
有整数解．若为整数，则点
在坐标轴上的概率为____________．
【答案】
【分析】先确定不等式
的整数解个数
的所有可能值，再解分式方程得到整数的所有可能值，
列出所有等可能的点
，根据坐标轴上点的坐标特征找出符合条件的点，最后用概率公式计算即可．
【详解】解：对于不等式
，区间长度为
，可知其整数解个数只能为或，即
或
，
解分式方程
，
方程两边同乘
得
，
整理得
，
解得
，
分式方程分母不为，
，即
，
得
，
方程的解
为整数，为整数，
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是的整数因数，
可得
，
，
当
时，
，符合条件，
当
时，
，符合条件，
当
时，
，此时
是增根，舍去，
当
时，
，符合条件，
因此的所有可能整数值为
，
，，
所有等可能的点
为：
，
，
，
，
，
，共种等可能结果，
其中坐标轴上的点满足横坐标为或纵坐标为，因此只有纵坐标为的
，
，共种符合条件的结
果；
根据概率公式，得所求概率为
．
7．西安是个好地方，这座被历史浸润的古都，以其深厚的文化底蕴、壮丽的古迹遗址和独特的西北风味，
吸引着八方来客．某天甲、乙、丙三人来西安旅游，他们分别从A、B 两个景点中随机选择一个景点游览．
(1)甲选择A 景点的概率为__________；
(2)请利用树状图求出甲、乙、丙三人中至少有一人选择B 景点的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）画树状图列举出所有可能的情况和甲、乙、丙三人中至少有一人选择B 景点的情况，然后利用概率公
式求解．
【详解】（1）解：∵分别从A、B 两个景点中随机选择一个景点游览，
∴甲选择A 景点的概率为
；
（2）解：画树状图如下：
共有8 种等可能的情况，其中甲、乙、丙三人中至少有一人选择B 景点的情况有7 种，
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∴甲、乙、丙三人中至少有一人选择B 景点的概率为
．
8．在一个9×9 的扫雷雷区中，随机埋藏了10 颗地雷，每个方格最多1 颗地雷，已翻开的安全方格无雷．有
以下规则：
（1）玩家翻开方格①，显示数字3，与它相邻的8 个方格记为A 区域，A 区域内共有3 颗地雷；
（2）玩家翻开方格②，显示数字2，与它相邻的8 个方格记为B 区域，A、B 两个区域有1 个方格互相重
叠，B 区域内一共有2 颗地雷；
（3）A、B 区域之外的所有未翻开方格统一记为C 区域．若在A、B、C 三个区域中随机点击一格，踩到地
雷概率最大的是区域___________（填A，B，C 即可）．
【答案】A
【分析】分别计算A，B，C 三个区域的方格总数和地雷数，利用概率公式求出在各区域点击一格踩到地雷
的概率，比较大小即可得出结果．
【详解】解：雷区总方格数为
个，地雷总数为
颗，
A 区域方格数为个，地雷数为颗，
则在A 区域随机点击一格，踩到地雷的概率
，
B 区域方格数为个，地雷数为颗，则在B 区域随机点击一格，踩到地雷的概率
，
A，B 两个区域重叠个方格，
则A，B 区域覆盖的未翻开方格总数为
个，
已翻开的方格和②共个，且无雷，
所以C 区域的方格数为
个，
设A，B 重叠的方格内地雷数为（为或），
则A，B 区域内的地雷总数为
，即颗或颗，
所以C 区域的地雷数为
颗或
颗，
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则在C 区域随机点击一格，踩到地雷的概率
或
，
因为
，
，且
，
所以
最大，故答案为
9．随着移动支付的普及，人们的支付方式越来越多样化．某校在开展“生活中的数学”实践活动时，让小
华和小丽模拟购物支付场景，两人需从微信、支付宝、银行卡、现金四种支付方式中各自随机选一种进行
支付．
(1)请用列表法或树状图法求小华和小丽恰好选择相同支付方式的概率；
(2)若该校共有1500 名学生，根据调查，全校约有
的学生常用移动支付（微信、支付宝），估计该校不常
用移动支付（银行卡、现金）的学生人数．
【答案】(1)
(2)不常用移动支付的学生人数约为600 人
【分析】（1）设微信为W、支付宝为Z、银行卡为Y、现金为X，列表求得所有可能的结果共16 种，其中
小华和小丽恰好选择相同支付方式的结果有4 种，即可求得概率；
（2）利用样本估计总体的思想计算即可．
【详解】（1）解：设微信为W、支付宝为Z、银行卡为Y、现金为X，
W
Z
Y
X
W
Z
Y
X
由列表可知，所有可能的结果共16 种，每种情况可能性相同．
其中两人选择相同支付方式的结果有：
，
，
，
，共4 种，
（选择相同支付方式）
；
（2）解：已知全校有1500 名学生，
的学生常用移动支付，
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则不常用移动支付的学生人数为
（人）．
∴不常用移动支付的学生人数约为600 人．
10．（25-26 九年级上·河北石家庄·期末）一个不透明的袋中装有4 个球，分别标有1、2、3、4 四个号码，
这些球除号码外都相同．甲同学每次从袋中搅匀后任意摸出一个球后再放回，并计划摸取球10 次，现已摸
取了8 次，取出的结果如表所列：
次数
第1
次
第2
次
第3
次
第4
次
第5
次
第6
次
第7
次
第8
次
第9
次
第10
次
号码
2
2
4
4
2
1
4
1
若每次取球时，且取出的号码即为得分，请回答下列问题：
(1)乙同学说：“甲同学前8 次摸球都没有得3 分，因此第9 次摸球一定得3 分．”请分析乙的说法是否正确，
说明理由．
(2)请求出第1 次至第8 次得分的平均数．
(3)甲同学依计划继续从袋中再取球2次，这两次取球得分之和为a，若发生“这10次得分的平均数不小于
，
且不大于
”的情况，
①a 的取值范围是：________；
②请通过列表法或树状图计算发生这种情况的概率．
【答案】(1)乙同学的说法错误．理由见解析
(2)
(3)①
；②
．
【分析】本题主要考查了列表法求概率、算术平均数的计算、一元一次不等式组的应用等知识点，根据题
意正确列出表格是解题的关键．
（1）由于有四种球，因此每次摸到3 为其中一种可能，虽然前8 次都没有摸到3，但是第9 次也不可能一
定摸到3，据此即可解答；
（2）根据算术平均数的计算公式求解即可；
（3）①根据题意列出关于a 的不等式组，再解不等式组即可；②先根据题意列出表格，然后根据概率计算
公式求解即可．
【详解】（1）解：乙同学的说法错误．理由：摸球共有四种可能，每种可能性相同，摸到3 为其中一种可
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能，故得3 分的概率为
，故乙同学的说法错误．
（2）解：第1 次至第8 次得分的平均数为
．
（3）解：①根据题意得：
，
解得：
．
故答案为：
．
②列表得
第10 次
第9 次
1
2
3
4
1
2
3
4
∵最后两次摸球得分共有16 种情况，每种情况可能性相同，符合要求的共有6 种情况，
∴发生这种情况的概率
．
11．（25-26 七年级下·四川成都·期末）在9 张完全相同的卡片上分别写上
这9 个数字，小明和小刚
用这9 张卡片做抽卡游戏：小明从中任意抽出一张卡片（不放回），小刚从剩余的卡片中任意抽取一张，谁
抽到的数字大谁就获胜．然后两人把抽到的卡片都放回，重新开始做游戏．
(1)现小明已经抽到的数字为4，然后小刚抽卡，那么小明获胜的概率和小刚获胜的概率分别是多少？
(2)小明抽出一张卡片后，立即对小刚说：“我获胜的概率肯定比你获胜的概率大．”那么，小明抽到的数字
可能是哪些？
【答案】(1)
小明获胜的概率为
，小刚获胜的概率为
(2)
小明抽到的数字可能是
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【分析】（1）先确定小明抽到4 后剩余的所有等可能结果，再分别找出两人获胜的结果数计算概率；
（2）设小明抽到的数字为，分别表示出两人获胜的概率，根据条件列不等式求解，结合数字范围得到结
果；
【详解】（1）解：小明已经抽到数字4，不放回后小刚抽卡，剩余卡片共有8 种等可能的结果，
小明获胜需要小刚抽到的数字比4 小，比4 小的数字有1，2，3，共3 种结果，
因此小明获胜的概率为
；
小刚获胜需要小刚抽到的数字比4 大，比4 大的数字有5，6，7，8，9，共5 种结果，
因此小刚获胜的概率为
．
（2）解：设小明抽到的数字为（是1 到9 的整数），剩余共有8 种等可能结果，比小的数字有
个，
因此小明获胜的概率为
，
比大的数字有
个，因此小刚获胜的概率为
，
根据题意，小明获胜概率大于小刚获胜概率，可得
，
解得
，
因为是1 到9 的整数，所以的可能取值为
，
即小明抽到的数字可能是6，7，8，9．
12．近两年徐州凭借深厚的汉文化底蕴和优质的文旅服务吸引了全国游客．为了解游客对徐州文旅服务的
满意度，相关部门在某热门景区随机抽取了部分游客进行问卷调查．调查结果分为四个等级：A 类（非常
满意）；B 类（满意）：C 类（基本满意）：D 类（不满意）．将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请
根据图中信息解答下列问题：
(1)本次调查共随机抽取了 名游客；
(2)请补全条形统计图，并求出扇形统计图中B 类所对应的圆心角的度数；
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(3)若该景区当天接待游客约
人，请估计该景区当天对文旅服务评价为“满意”及以上（即A 类和B 类）
的人数；
(4)在D 类游客中，有2 名女游客和2 名男游客，现准备从这4 人中随机抽取2 人进行深度访谈以改进服务，
请用列表或画树状图的方法，求抽取的2 人恰好是“一女一男”的概率．
【答案】(1)
(2)
，
(3)
人
(4)
【分析】（1）利用A 类所占人数除以其所占百分比，即可得到抽取总人数；
（2）利用总人数算出B 类人数，补全条形统计图即可；再利用
乘以B 类所占比，即可得到圆心角；
（3）利用
乘以该景区当天对文旅服务评价为“满意”及以上（即A 类和B 类）的人数的占比，即可
解题；
（4）画树状图得出共有
种等可能的结果数，其中抽取的2 人恰好是“一女一男”的结果有种，再由概
率公式求解即可．
【详解】（1）解：
，即本次调查共随机抽取了
名游客；
（2）B 类的人数为
（名），
B 类所对应的圆心角的度数为
；
（3）解：
（人）
即估计该景区当天对文旅服务评价为“满意”及以上（即A 类和B 类）的人数为
人；
（4）解：画树状图如下：
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由图可知，共有
种等可能的结果，抽取的2 人恰好“一女一男”的结果有种，
∴抽取的2 人恰好是“一女一男”的概率为
．
13．【综合与实践】如图，直线上有
两定点，
，点
分别从点
以每秒个单位长度速
度相向移动，
分别到达
点，
点时停止移动，以
为一边的矩形
面积为．设
点运动
时间为
秒，
之间的距离为
，
长为
．
(1)分别写出
关于的函数解析式，并在坐标系中画出两函数图象；
(2)根据图象，直接写出当运动多少秒后，
（误差不超过
）；
(3)当
时，设
，
和直线
围成的封闭图形为
（包括边界），随机在
中选取一个格点（横、
纵坐标都是整数的点），则该格点恰好在函数
或
图象上的概率为________．
【答案】(1)
，
，
由描点法画出图象，如图所示：
；
(2)
(3)
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【分析】（1）由题意，分相遇前、相遇后两种情况求
；由矩形面积公式直接表示
；并利用描点法在同
一个平面直角坐标系中画出两个函数图象即可；
（2）数形结合，找出
图象在
图象下方对应的自变量的范围即可；
（3）数形结合，找出封闭图形
上的所有格点及函数
或
图象上，代入简单概率公式计算即可求解．
【详解】（1）解：
，点
分别从点
以每秒个单位长度速度相向移动，
点
相遇的时间为
（秒），
在相遇前，即
时，
；
在相遇后，即
时，
；
综上所述，
；
以
为一边的矩形
面积为，
，
；
图象略
（2）解：当
时，即
，
图象在
图象下方，
联立
，解得
或
（负值舍去）；
，
当
时，
；
（3）解：如图所示：
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则共有
个格点，其中恰好在函数
或
图象上有个，故概率为
．
14．小强与小伟都准备为某科技博览会做义务服务，博览会举办时间为5 月1 日至5 日共5 天，小强随机
选择连续2 天做服务，小伟随机选择连续3 天做服务．请解答下列问题：
(1)小强在2，3 日这两天做服务的概率是________；
(2)若小强、小伟能在同一天做服务，他俩就能一起合作，求他俩能一起合作2 天的概率是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）运用列举法求得小强选择的时间的所有等可能结果数以及选择2，3 日这两天做服务的结果数，
再运用概率公式求解即可；
（2）运用树状图法确定所有等可能结果数以及他俩能合作2 天的结果数，再运用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：小强选择的时间有以下几种可能：
，
，
，
，
所以小强选择2，3 日这两天做服务的概率
．
（2）解：画树状图如下：
共有12 种等可能结果，其中他俩能合作2 天的等可能结果有6 种，
∴他俩能合作2 天的概率
．
15．小明正在进行“关于生物遗传概率的探究”：
他从互联网上收集到了这些信息：
16．相对性状：同种生物同一性状的不同表现形式（如卷发、直发、双眼皮、单眼皮）；
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17．显隐性：题目中标注“显性”的性状，只要有1 个显性基因就会表现（如
表现卷发）；“隐性”性状必须有2 个隐性基因才会表现（如
表现直发）；
18．基因型：用字母表示基因组成，显性基因用大写（D、A、B），隐性基因用小写（d、a、b）；
显性性状基因型：2 种可能（纯合子：如
，2 个显性基因；杂合子：如
，1 显1 隐）；
隐性性状基因型：只有1 种（纯合子：如
，2 个隐性基因）；
19．遗传规律：亲代会将一对基因（例如：
）中的1 个（例如：D）传给子代，子代的一对基因来自父
亲和母亲；
20．独立遗传：本题三对性状的基因互不影响》
已知性状显隐性（均为常染色体遗传）
①毛发直卷：卷发（D）对直发（d）为显性（
表现卷发，
表现直发）；
②眼睑形状：双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性（
表现双眼皮，
表现单眼皮）；
③拇指形态：直拇指（B）对弯拇指（b）为显性（
表现直拇指，
表现弯拇指）．
小明的数学老师提出了下列问题：
(1)一对卷发夫妇，丈夫基因型为
，妻子基因型为
，求二人生育一个直发孩子的概率．
(2)一对双眼皮夫妇，生育了1 个单眼皮孩子，据此先判断夫妇的基因型，再求二人再生育一个双眼皮纯合
子孩子的概率．
(3)已知男性基因型为
（卷发、直拇指），女性基因型为
（直发、直拇指），求二人生育一个卷发、
弯拇指孩子的概率．
(4)一对卷发夫妇，男方父母均为“卷发、单眼皮”（且男方父亲为卷发纯合子，男方母亲为卷发杂合子），
女方母亲为“直发、单眼皮”、女方父亲为“卷发、双眼皮（纯合子）”．求这对夫妇生育一个直发、单眼皮
孩子的概率．
【答案】(1)
(2)夫妇基因型均为
，概率为
(3)
(4)
【分析】（1）根据题意，两人无法生出基因为
的孩子，即可得出结果；
（2）根据单眼皮为隐性，双眼皮为显性，进而得到夫妇的基因为
，列表法求出概率即可；
（3）根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可；
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（4）根据题意，得到男方的基因型为
或
，概率均为
，女方的基因型为
，再求出男方的
基因型为
时，生出一个直发、单眼皮孩子的概率，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵卷发（D）对直发（d）为显性，丈夫基因型为
，妻子基因型为
，
∴无法得到基因型为
的孩子，即二人不可能生育一个直发孩子，
∴
；
（2）解：∵双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性，且一对双眼皮夫妇，生育了1 个单眼皮孩子，
∴孩子的基因型为
，
∴夫妇的基因型均为
，
列表如下：
A
a
A
a
共有4 种等可能的结果，其中二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的结果有1 种，
∴
；
（3）解：由题意，列表如下：
共有8 种等可能的结果，其中二人生育一个卷发、弯拇指孩子的结果只有1 种，
∴
；
（4）解：由题意，男方父亲的基因型为
，母亲的基因型为
，女方父亲的基因型为
，母
亲的基因型为
，
∴男方的基因型为
或
，概率均为
，女方的基因型为
，
当男方的基因型为
时，孩子的头发不能是直发，
当男方的基因型为
时，列表如下：
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共有8 种等可能的结果，其中生育一个直发、单眼皮孩子的结果只有1 种，
∴
，
又∵男方的基因型为
的概率为
，
∴该对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率为
．
