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专题09 统计与概率
1 年真题1 年模拟
考点分类
四川考情（2026）
命题规律
考点01 统计基础
与数据特征量计算
2026 年眉山、甘孜、内
江、南充、自贡、凉山、
达州、广安、乐山中考
真题
全部为选择、填空小题，依托诗词比赛、射击、
跳高校园场景命题；核心考查平均数、中位数、
众数、方差辨析，常搭配全面/抽样调查概念辨
析，方差越小数据越稳定是高频易错点，计算量
小，属于开篇基础送分题型。
考点02 统计图表、
样本估计总体与数
据分析决策
2026 年成都、广元、遂
宁、泸州、攀枝花、达
州、甘孜中考真题
以填空、中档解答为主，素材涵盖光伏销售、课
间操、交通安全、社团选课；综合条形、折线、
扇形、频数直方图，要求补全图表、计算统计量、
用样本估算整体人数，结合方差做参赛人员选
择，侧重数据读取与实际决策应用。
考点03 事件类型
判断与简单概率计
算
2026 年乐山、巴中、攀
枝花、达州中考真题
均为选择题，结合布袋摸球、钥匙开锁、理化常
识命题；区分必然、随机、不可能事件，直接套
用古典概型公式计算单一抽取概率，无复杂列
举，题型简单，用来巩固概率基础概念。
考点04 列表、树状
图（放回、不放回）
求概率
2026 年泸州、南充、攀
枝花、甘孜、成都中考
真题
以填空小题为主，融合化学物质、电路开关、卡
片裁剪跨学科情境；分放回、不放回两类抽取模
型，要求枚举所有等可能结果计算概率，电路、
跨学科素材是 2026 四川创新特色。
考点05 统计图表
与概率综合解答题
2026 年南充、凉山、巴
中、宜宾、内江、广安、
眉山、乐山、遂宁、自
贡、广元中考真题
本专题固定压轴解答大题，全省覆盖；前半段解
读双统计图完成统计计算、样本估算，后半段用
列表/树状图求抽取概率，结合四川水果、本土
文化、劳动课程等乡土素材，分多小问梯度设问，
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是必考中档大题。
考点01 统计基础与数据特征量计算
1．
（2026·四川眉山·中考真题）我市举行“东坡诗词”朗诵比赛，决赛中五位评委给某位选手的评分分别为90，
91，86，88，90，则这组数据的众数和中位数是（ ）
A．90，86
B．90，88
C．91，86
D．90，90
【答案】D
【详解】解：∵这组数据中，90出现2 次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为90，
将这组数据从小到大重新排列，得：86，88，90，90，91，
∵第3个数为90，
∴这组数据的中位数为90．
2．（2026·四川甘孜·中考真题）某人在一轮射击训练中共射击7 次，成绩为（单位：环）：7，8，8，9，9，
10，10．则该轮射击训练成绩的中位数是（ ）
A．7 环
B．8 环
C．9 环
D．10 环
【答案】C
【分析】本题考查中位数的概念，解题思路是根据中位数的定义，确定中位数的位置后得到结果．
【详解】解：∵ 7 次射击成绩已经按从小到大顺序排列，数据个数7 是奇数，
∴ 中位数为排序后第7
1
4
2
+
=
个数据，
∵ 第4 个数据为9，
∴ 该轮射击成绩的中位数是9 环．
3．（2026·四川内江·中考真题）某校开展主题为“防溺水，保安全”的演讲比赛活动，六名参赛者的得分情
况如下：9.0、9.2、9.4、9.2、9.2、8.9，这组数据中的众数是（ ）
A．8.9
B．9.0
C．9.2
D．9.4
【答案】C
【分析】一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数，据此可得答案．
【详解】解：∵8.9出现1次，9.0出现1次，9.2出现3次，9.4 出现1次，
∴9.2是这组数据中出现次数最多的数，
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∴这组数据的众数是9.2．
4．（2026·四川南充·中考真题）已知甲、乙、丙、丁四位射击运动员10 次射击平均成绩相同，其方差如右
表，如果选择一名射击成绩最稳定的运动员参加比赛，应选择( )
运动员
甲
乙
丙
丁
方差
2.1
5.2
4.3
1.1
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【答案】D
【分析】方差越小，数据波动越小，射击成绩越稳定，只需比较四名运动员的方差大小即可得到结论．
【详解】∵1.1
2.1
4.3
5.2
，
∴丁的方差最小，即丁的射击成绩最稳定．
5．（2026·四川自贡·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况应采用全面调查
B．“经过两点有且只有一条直线”是必然事件
C．任意一组数据的众数都只有一个
D．甲、乙两人跳高成绩的方差分别为
2
4
S
=
甲
，
2
3
S
=
乙
，说明甲的跳高成绩比乙的跳高成绩更稳定
【答案】B
【分析】根据全面调查的、事件发生的可能性大小、众数的概念以及方差的意义进行分析判断．
【详解】A、全国中学生数量庞大，全面调查难度大，应采用抽样调查，故A 错误；
B、“经过两点有且只有一条直线”是直线的基本公理，该事件一定发生，属于必然事件，故B 正确；
C、一组数据的众数可以有多个，例如数据1,1,2,2,3 的众数为1和2 ，故C 错误；
D、方差越小，成绩越稳定，
2
2
S
S
甲
乙，故乙的跳高成绩比甲更稳定，D 错误．
6．（2026·四川凉山·中考真题）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15 名运动员的成绩如下表所
示：
成绩
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
3
2
3
4
2
1
对于这15 名运动员的成绩，下列说法正确的是（ ）
A．众数是1.70
B．中位数是1.675
C．平均数是1.68
D．方差是0.2
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【答案】A
【详解】解：∵共有15 个数据
求众数：成绩1.70出现的次数最多，共4 次，
∴众数是1.70，A 选项正确；
求中位数：将数据从小到大排列，15 个数据的中位数是第15 1
8
2
+
=
个数据，
累计人数得：前两个成绩共3 2
5
+
=
个数据，第6 到第8 个数据都是1.65，
∴中位数是1.65，B 选项错误；
求平均数：
1.50 3 1.60 2 1.65 3 1.70 4 1.75 2 1.80 1
24.75
1.65
15
15
x
+
+
+
+
+
=
=
=
，
∴平均数是1.65，C 选项错误；
求方差：
(
2
2
2
2
2
2
2
1 [3(1.50 1.65)
2(1.60 1.65)
3(1.65 1.65)
4(1.70 1.65)
2(1.75 1.65)
1 1.80 1.65)
0.0083
0.2
15
s
=
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
，
∴D 选项错误．
7．（2026·四川达州·中考真题）下列命题为真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．三角形的一个外角等于它的两个内角之和
C．带根号的数都是无理数
D．一般而言，一组数据的方差越大，这组数据就越稳定
【答案】A
【分析】本题考查命题真假判断，根据对顶角相等，三角形的外角的性质，无理数的定义，方差的意义，
逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵对顶角的性质为对顶角相等，
∴A 是真命题；
∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
选项B 未说明“不相邻”，
∴B 是假命题；
∵4
2
=
是有理数，说明带根号的数不一定是无理数，
∴C 是假命题；
∵一组数据的方差越大，数据波动越大，这组数据越不稳定，
∴D 是假命题．
8．（2026·四川广安·中考真题）下列说法正确的是（ ）
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A．若
A
B
=
+
90 ，则
A
与
B
互余
B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
C．数据1，2，3，2，1 的中位数是3，众数是2
D．关于x 的分式方程
2
2
4
1
1
x
x
=
−
−的根为
1
x =
【答案】A
【分析】根据互余的定义、特殊四边形的判定、中位数众数的求解、分式方程的根四个初中数学知识点，
只需逐个判断选项正误即可得到答案．
【详解】解：选项A、根据互余的定义：和为90的两个角互余，∵
90
A
B
+=
，∴
A
与
B
互余，故
A 正确；
选项B、根据平行四边形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形才
是矩形，故B 错误；
选项C、将原数据从小到大排序得1，1，2，2，3，中位数是中间位置的2 ，众数是出现次数最多的1和2 ，
故C 错误；
选项D、分式方程分母不能为0，当
1
x = 时，原方程分母
1
0
x −= ，
2
1
0
x −=
，则
1
x = 是增根，原方程无解，
故D 错误．
9．（2026·四川乐山·中考真题）一组数据3，7 ，9，12，15的中位数是_________．
【答案】9
【分析】根据中位数的定义，将数据从小到大排列后，找出最中间的数即可得到结果．
【详解】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为3，7 ，9，12，15，这组数据共有5个数，个数为奇
数，处在最中间的数是9，因此这组数据的中位数是9．
10．（2026·四川自贡·中考真题）每天适量饮水有利于身体健康．生活老师想了解全班学生饮水情况，随机
抽取该班5 名学生进行调查，他们每天的饮水量分别为：1，1.5，1.2，2.2，2（单位：L ）．这组数据的中
位数为_____．
【答案】1.5
【分析】先将数据从小到大排序，根据数据个数为奇数，取中间位置的数即可得到中位数．
【详解】将这组数据从小到大排序为：1，1.2，1.5，2 ，2.2 ，
本组数据共有5个，个数为奇数，中位数为排序后第3个数，即1.5．
考点02 统计图表、样本估计总体与数据分析决策
1．（2026·四川成都·中考真题）为了估计瓶中豆子的数量，先从瓶中取出100 颗豆子，并给这些豆子做上
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记号，然后把这些豆子放回瓶中，充分摇匀，再从瓶中随机取出60 颗豆子，发现其中有5 颗豆子带有记号，
则瓶中豆子的颗数约为（ ）
A．300
B．600
C．1000
D．1200
【答案】D
【分析】设瓶中豆子的颗数约为x 颗，根据总体中带记号豆子的频率与样本中带记号豆子的频率相等建立方
程求解即可．
【详解】解：设瓶中豆子的颗数约为x 颗，
由题意得：100
5
60
x =
，
解得
1200
x =
，经检验，是所列分式方程的解，
则瓶中豆子的颗数约为1200 颗．
2．（2026·四川广元·中考真题）四名同学参加1 分钟跳绳测试，每人10 次跳绳成绩的平均数及方差如表所
示：
甲
乙
丙
丁
平均数（个）
185
188
188
186
方差
18.5
15.4
12.6
32.2
根据10 次测试成绩，从这四名同学中选择一人参加比赛，应选（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【答案】C
【分析】根据平均数和方差的意义解题，平均数越大代表平均成绩越好，方差越小代表成绩波动越小，发
挥越稳定，先选出平均成绩更高的同学，再从中选出方差最小的即可
【详解】解：∵乙和丙的平均数最大，为188，大于甲的185和丁的186，
因此只需从乙和丙中选择，
又∵乙的方差为15.4，丙的方差为12.6，12.6 15.4
，
∴丙满足成绩好且发挥稳定的要求
3．（2026·四川遂宁·中考真题）某班甲、乙、丙3 名同学参加实心球测试，每人投掷实心球5 次成绩的平
均数（单位：米）及方差如下表：
项目
甲
乙
丙
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x
9.56
10.25
10.25
2s
0.15
0.36
0.15
根据表中信息，选择1 名成绩好且发挥稳定的同学参加运动会掷实心球比赛，应选择参赛的同学是________．
【答案】
丙
【分析】要选择成绩好且发挥稳定的同学参赛，需结合平均数和方差的意义判断，平均数越大平均成绩越
好，方差越小波动越小发挥越稳定，先比较平均数，再比较方差得到结果．
【详解】解：由表格数据可得：
9.56
x =
甲
，
10.25
x
x
=
=
乙
丙
，9.56
10.25
，
因此乙和丙的平均成绩优于甲
又
2
2
0.15
0.36
S
S
=
=
乙
丙
，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定，
因此丙的发挥比乙更稳定
综上，丙的成绩好且发挥稳定．
4．（2026·四川泸州·中考真题）为了解甲、乙两名射击运动员射击训练的情况，随机抽取了他们10 次射击
训练成绩（单位：环）作为样本进行整理、描述和分析，并绘制成以下条形统计图和不完整的折线图、统
计表格．根据题中已有信息，解答下列问题：
运动员
平均数
中位数
众数
甲
m
n
8
乙
7.3
7.5
t
(1)m=_________，n =_________；
(2)求乙运动员第3 次的射击成绩，并求出t 的值；
(3)若射击环数超过7 环为优秀，试估计甲运动员射击80 次的优秀次数为多少？
【答案】(1)7.4 ，7.5
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(2)乙的设第三次成绩为6 环，t 的值为9
(3)40 次
【分析】（1）根据平均数与中位数的含义求解即可；
（2）根据平均数的含义建立方程求解第三次的成绩，再根据众数的含义求解t ；
（3）根据样本估计总体的思想求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：
1 5
2 6
2 7
3 8
1 9
1 10
74
7.4
1
2
2
3
1
1
10
m
?
?
?
?
?
?
=
=
=
+
+
+
+ +
（环），
∵第5个，第6 个数据为7 ，8，
∴
7
8
7.5
2
n
+
=
=
（环）．
（2）解：设第三次成绩为x ，
∴乙的成绩为4 ，6 ，x ，8，9，7 ，7 ，9，8，9，
∴
(
)
1 4
6
8
9
7
7
9
8
9
7.3
10
x
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
，
解得
6
x =
，
∴乙的设第三次成绩为6 环．
∵9出现的次数最多，为3次，
∴
9
t =
（环）．
（3）解：∵射击环数超过7 环为优秀，甲射击环数超过7 环有5次，
5
80
40
10
=
（次），
∴甲运动员射击80 次的优秀次数为40 次．
5．（2026·四川攀枝花·中考真题）我国光伏产业技术全球领先，光伏组件产品出口到全球200 多个国家和
地区，成为中国制造的一张“亮丽名片”．某光伏组件销售公司为了调动销售员工的积极性，决定设置一个
适当的季度销售额目标，若完成目标，可获得奖励．现有20 名销售员工一季度的销售额如下：（单位：万
元）
43，50，67，64，40，42，51，62，58，75，
34，61，42，73，62，72，56，36，50，62．
（注：数据分组时，每组的起点值属于本组，终点值属于下一组）
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(1)这组数据的众数为__________，中位数为__________．若将众数作为季度销售额目标，则一季度有
__________名员工可获得奖励；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)销售部对数据进行分析后，决定对一半的销售员工进行奖励，某销售员工一季度的销售额为56 万元，他
能获得奖励吗？请说明理由．
【答案】(1)62；57；8
(2)40
50
组的频数为20 2 5 6 3
4
−−−−=
，补全频数分布直方图如下：
(3)该员工不能获得奖励，理由如下：
∵决定对一半的销售员工进行奖励，即奖励销售额最高的
1
20
10
2
=
名员工，由（1）可知，这组数据的中
位数为57 万元，
∴销售额高于57 万元的有10 名员工，
∵56 万元57 万元，
∴该员工不能获得奖励．
【分析】（1）根据数据中个数最多的即为众数可得众数为62，将数据从小到大排列后，取第10 个和第11
个数据的平均数即为中位数，根据数据中高于62 万元的个数即可得获奖人数；
（2）由数据可得40
50
组的频数为4，即可补全频数分布直方图；
（3）由奖励一半的员工，可得以中位数为奖励目标，由中位数为57 万元，即可判断．
【详解】（1）解：由数据可得个数最多的是62，则众数为62；
∵共有20 个数据，将数据从小到大排列后，第10 个与第11 个数据分别为56，58，
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∴中位数为56
58
57
2
+
=
；
∵将众数作为季度销售额目标，数据中销售额
62
万元的有8 个，
∴一季度有8 名员工可获得奖励．
（2）略
（3）略
6．（2026·四川成都·中考真题）为践行“健康第一”的教育理念，某校开展了创意课间操比赛，甲、乙两个
参赛队进入决赛，决赛由5 位教师评委和20 位学生评委给两队打分（单位：分），该校将按最终成绩择优
推广其中一队的创意课间操．赛后对评委打分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
①教师评委给甲队的打分分别为：80，84，84，86，91
②学生评委给甲队的打分的频数分布直方图如图（分数用x 表示，数据分为4 组，第1 组：60
70
x
，第
2 组：70
80
x
，第3 组：80
90
x
，第4 组：90
100
x
）：
③评委对甲队打分数据的平均数、中位数、众数如下：
平均数
中位数
众数
教师评委
a
84
b
学生评委
82
m
85
根据以上信息，回答下列问题：
(1)a 的值为____，b 的值为____；
(2)m 的值位于学生评委对甲队打分数据分组的第____组，若教师评委、学生评委对甲队打分数据的方差分
别记为
2
1s ，
2
2s ，则
2
1s ______
2
2s （填“”或“”）；
(3)学校将教师评委、学生评委打分的平均分按3:2的比例确定两队的最终成绩．已知乙队的最终成绩为83
分，试判断该校将推广哪个队的创意课间操，并说明理由．
【答案】(1)85，84
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(2)3，<
(3)甲队，
理由：教师评委给甲队打分的平均数为85，学生评委给甲队打分的平均数为82，甲队的最终成绩为：
85 3
82
2
83.8
3
2
+
=
+
，
乙队的最终成绩为83 分，
∵83.8
83
，
∴该校将推广甲队的创意课间操．
【分析】（1）根据平均数和众数定义求解；
（2）根据中位数定义求解，根据方差的意义判断大小；
（3）通过计算加权平均数确定大小，进而确定结果．
【详解】（1）解：教师评委的平均数为
80
84
84
86
91
85
5
a
+
+
+
+
=
=
，
教师评委给甲队的打分分别为：80，84，84，86，91，∴众数
84
b =
；
（2）解：共有20 位学生评委，中位数应该是第10、11 位学生评委打分的平均数，由频数分布直方图可知，
第1 组：60
70
x
有2 人，第2 组：70
80
x
有7 人，此时共9 人，第3 组：80
90
x
有6 人，此时
共15 人，∴第10、11 位学生评委的打分落在第3 组，即中位数m 在第3 组；
教师评委对甲队打分数据分别为80，84，84，86，91，数据比较集中，且方差为：
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
1
80
85
84
85
84
85
86
85
91 85
12.8
5
s
−
+
−
+
−
+
−
+
−
=
=
，
学生评委对甲队打分数据分为四组，分布范围从60 到100，数据比较分散，根据方差反映数据的波动程度，
数据越分散，波动越大，方差越大，数据越集中，波动越小，方差越小，因此
2
2
1
2
s
s
；
（3）略
7．（2026·四川达州·中考真题）为了增强学生的交通安全意识，某校对七、八年级学生开展了交通安全知
识竞赛活动．以下是本次竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）的数据收集、整理、分析过程．
【收集数据】从七、八年级学生中各随机抽取30 名学生的竞赛成绩进行记录数据．
【整理数据】将收集的60 名学生的竞赛成绩进行整理（成绩均不低于60 分，用x 表示），将成绩分为四
个等级：A 等级（90
100
x
）；B 等级（80
90
x
）；C 等级（70
80
x
）；D 等级（60
70
x
）．
下面给出了部分数据：
七年级30 名学生竞赛成绩的数据是：
65、65、69、72、73、74、74、75、75、78、78、79、82、83、84，
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84、85、85、85、86、87、88、89、93、94、96、97、97、98、100．
八年级30 名学生竞赛成绩在B 等级中的数据是：
89、88、87、87、85、85、83、88、82、83．
【描述数据】根据整理的数据、绘制出如下统计图表：
所抽取学生竞赛成绩得分统计表
统计量年级
七年级
八年级
平均数
83
83
中位数
a
b
众数
c
83
【分析数据】根据以上信息，回答下列问题．
(1)表格中的a =________，b = ________，c = ________；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对交通安全知识掌握得更好？请说明理由；（言
之有理即可）
(3)该校八年级有学生600 人，请估计该校八年级参加此次竞赛成绩不低于90 分的学生人数．
【答案】(1)84，86，85
(2)解：我认为八年级的学生对交通安全知识掌握得更好，理由如下：
∵七年级与八年级的平均数相同，都为83 分，而八年级学生成绩的中位数为86 分，大于七年级学生成绩
的中位数为84 分，
∴八年级的学生对交通安全知识掌握得更好；
(3)220 人
【分析】（1）根据中位数，众数的定义进行求解即可；
（2）根据平均数，中位数进行分析求解即可；
（3）根据竞赛成绩不低于90 分的学生人数的百分比，再乘以总人数即可解答．
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【详解】（1）解：七年级从低到高排列后第15 名，16 名学生的竞赛成绩是84 分，84 分，
∴
84
84
84
2
a
+
=
=
，
∵七年级30 名学生竞赛成绩出现次数最多的为85，
∴众数
85
c =
，
∵八年级A 组有11 人，
∴八年级30 名学生竞赛成绩从高到低排列，第15 名，16 名学生的竞赛成绩是87 分，85 分，
即八年级中位数
87
85
86
2
b
+
=
=
；
（2）略
（3）解：
11
600
220
30
=
（人）．
答：估计该校八年级参加此次竞赛成绩不低于90 分的学生人数有220 人．
8．（2026·四川甘孜·中考真题）某校为下一学期更好地开展丰富多样的社团活动，现对该校学生就“社团活
动的喜爱情况”进行抽样调查．设计如下调查问卷．
调查问卷
在下面四类社团活动项目中，你最喜爱的是（ ）．（每人只选一项）
A．舞蹈 B．篮球 C．书法 D．AI 知识学习
所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的条形统计图和扇形统计图（不完整）．
请根据图中的信息，解决下列问题：
(1)此次调查一共抽取了 名学生，补全条形统计图；
(2)若该校共有1500 名学生，请估计喜爱“ AI 知识学习”的学生人数；
(3)为了更好地开展下一学期的社团活动，请根据上述统计图中的信息，向学校提出一条合理的建议．
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【答案】(1)60，
(2)600
(3)根据统计图中的信息，喜欢“ AI 知识学习”的学生最多，可以扩大社团规模，更多地提供这方面的条件资
源
【分析】（1）由舞蹈社团在两个统计图中的信息即可求解；
（2）用学校总人数乘以样本中喜爱“ AI 知识学习”的学生人数与样本总数的比值即可；
（3）建议合理即可；
【详解】（1）解：由舞蹈社团信息可知，总人数为：12 20%
60
=
（人），
则喜欢篮球的人数为：60 12 6
24
18
−
−−
=
（人），
条形统计图略；
（2）解：
24
1500
600
60
=
（人）；
（3）解：略．
考点03 事件类型判断与简单概率计算
1．（2026·四川乐山·中考真题）一个布袋里放着3个红球和2 个白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他
区别．从布袋中任取1个球，取出红球的概率是（ ）
A．3
5
B．2
5
C．1
3
D．2
3
【答案】A
【分析】根据概率公式，用红球个数除以布袋中球的总个数即可求解．
【详解】解：
布袋中球的总个数为 3 2
5
+
=
，红球个数为3，
从布袋中任取1 个球，取出红球的概率是 3
5 ．
2．（2026·四川巴中·中考真题）一个布袋中放着8 个红球和16 个黑球，这两种球除了颜色不同外没有其他
区别，布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取一个球，取出红球的概率为（ ）
A．1
2
B．1
3
C．2
3
D．3
4
【答案】B
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【分析】本题考查概率的计算，根据概率公式，随机事件的概率等于所求情况数除以所有可能的总情况数，
代入计算即可．
【详解】解：∵布袋中有8 个红球和16 个黑球，
∴球的总个数为8 16
24
+
=
，
∴取出红球的概率为8
1
24
3
=
．
3．（2026·四川攀枝花·中考真题）以下说法错误的是（ ）
A．“一粒种子在土壤里会发芽”是一个随机事件
B．“铁制品在潮湿的地方会生锈”是一个必然事件
C．“地球不停地自西向东自转，昼夜也就不断交替”是一个不可能事件
D．“当一块磁铁的南极和另一块磁铁的北极靠近时会相互吸引”是一个必然事件
【答案】C
【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断各选项的事件类型即可.
【详解】解：∵对于选项A，一粒种子可能发芽也可能不发芽，因此“一粒种子在土壤里会发芽”是随机事件，
∴A 说法正确；
∵对于选项B，铁制品在潮湿环境中一定会生锈，因此“铁制品在潮湿的地方会生锈”是必然事件，
∴B 说法正确；
∵对于选项C，地球自西向东自转，昼夜交替是一定会发生的事件，属于必然事件，不是不可能事件，
∴C 说法错误；
∵对于选项D，磁铁异极相互吸引，因此“当一块磁铁的南极和另一块磁铁的北极靠近时会相互吸引”是必然
事件，
∴D 说法正确；
4．（2026·四川达州·中考真题）6 把钥匙中只有一把能打开门锁，从中随机选择一把钥匙，能打开门锁的
概率是________．
【答案】1
6
【分析】随机事件的概率等于该事件包含的等可能结果数除以所有等可能的结果总数，本题只需确定总结
果数和符合条件的结果数，代入计算即可．
【详解】解：由题意可知，所有等可能的结果总数为6 ，能打开门锁的结果数为1，
因此能打开门锁的概率是1
6 ．
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考点04 列表、树状图（放回、不放回）求概率
1．（2026·四川泸州·中考真题）4 张形状、大小完全相同的卡片上分别写着数字1，2 ，3，4 ．从中随机
抽取2 张，抽取的两张卡片上的数字之和是3的整数倍的概率是___________．
【答案】1
3
【分析】画树状图，.由树状图可知，随机抽取2 张卡片，两张卡片上数字之和共有12种等可能的情况，其
中抽取的两张卡片上的数字之和是3的整数倍的结果有4 种，根据概率公式可知两张卡片上的数字之和是3
的整数倍的概率为1
3 ．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，随机抽取2 张卡片，两张卡片上数字之和共有12种等可能的情况，其中抽取的两张卡片上
的数字之和是3的整数倍的结果有4 种，分别为(
)
1,2 、(
)
2,1 、(
)
2,4 、(
)
4,2 ，对应和为3、3、6 、6 ，根据
概率公式，两张卡片上的数字之和是3的整数倍的概率为4
1
12
3
=
．
2．（2026·四川南充·中考真题）现有3 张无差别的卡片，上面分别写有化学式
2
CO ，
2
H O ，Fe ．随机抽取
2 张，那么这2 张卡片上化学式对应的物质都是化合物的概率为_______．
【答案】1
3
【分析】先确定三种物质中化合物的个数，再列举出抽取2 张卡片的所有等可能结果，找出2 张均为化合
物的结果个数，根据概率公式计算概率即可．
【详解】解：根据化合物的定义，可知
2
CO ，
2
H O ，是化合物，Fe 是单质，共有2 种化合物，1 种单质．
将三张卡片
2
CO ，
2
H O ，Fe 依次记为A，B，C，随机抽取2 张，所有等可能的结果为：AB ，AC，BC ，
共3 种．
其中2 张卡片对应的物质都是化合物的结果有1 种．
根据概率公式得
1
3
P =
．
3．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡组成了一个电路图，
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现任意闭合其中两个开关，则灯泡发光的概率为_______．
【答案】
2
3
【分析】分析电路通路条件：因为电路是A、B 并联部分与C、D 并联部分串联，所以当A、B 中至少闭合
1 个，且C、D 中至少闭合1 个时，灯泡发光，据此统计符合条件的情况数．用古典概型概率公式，将符合
条件的情况数除以总情况数得到所求概率．
【详解】解：任意闭合4 个开关中的2 个，所有等可能的闭合情况为：AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD，
共6种．
由电路图可知，左侧A、B 为并联，右侧C、D 为并联，两部分串联；要让灯泡发光，需要一个开关在左侧、
一个开关在右侧闭合，才能形成通路．
满足条件的情况为：AC 、AD 、BC 、BD ，共4 种．
所以灯泡发光的概率为4
2
6
3
=
．
4．（2026·四川甘孜·中考真题）某设备的电路图如图所示，随机闭合三个开关
1
S ，
2
S ，
3
S 中的两个，则灯
泡
3
L 亮的概率为______．
【答案】2
3
【分析】本题考查了利用树状图法或列表法求概率，正确分析电路图得出灯泡
3
L 发光的条件是解题的关键，
先画出树状图展示所有等可能的结果，再确定使灯泡
3
L 发光的结果数，最后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图，如图，
一共有6 种等可能的结果，分别为
1
2
(
,
)
S S
，
1
3
(
,
)
S S
，
2
1
(
,
)
S
S
，
2
3
(
,
)
S S
，
3
1
(
,
)
S S ，
3
2
(
,
)
S S
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由电路图可知，开关
3
S 在干路上，灯泡
3
L 也在干路上，要使灯泡
3
L 亮，必须闭合开关
3
S ，且
1S 与
2
S 中至
少闭合一个
符合条件的结果有
1
3
(
,
)
S S
，
2
3
(
,
)
S S
，
3
1
(
,
)
S S ，
3
2
(
,
)
S S
，共4 种
灯泡
3
L 亮的概率是4
2
6
3
=
．
5．（2026·四川成都·中考真题）现有两张除颜色外完全相同的卡片，分别从中间剪开，共分成全等的四片，
洗匀后放在口袋里．从这四片中随机同时取出两片，则取出的两片颜色相同的概率为_____．
【答案】1
3
【分析】先画出树状图，则可得从这四片中随机同时取出两片的所有等可能的结果，再找出取出的两片颜
色相同的结果的数量，利用概率公式计算即可得．
【详解】解：设原来的两张卡片为A 和B ，剪开后得到的四张卡片分别记为
1
2
1
2
,
,
,
A A B B ，其中
1
2
,
A A 的颜色
相同，
1
2
,
B B 的颜色相同，画出树状图如下：
由图可知，从这四片中随机同时取出两片共有12 种等可能的结果，其中，取出的两片颜色相同的结果有4
种，
则取出的两片颜色相同的概率为
4
1
12
3
P =
=
．
考点05 统计图表与概率综合解答题
1．（2026·四川南充·中考真题）为落实五育并举，培养学生良好的审美情趣和艺术素养，某校举办了“庆五
四”系列艺术展演活动．现对歌唱比赛成绩进行统计，将参赛的m 名队员的成绩，分成以下五组
A 组（50
60
x
），B 组（60
70
x
），C 组（70
80
x
），D 组（80
90
x
），E 组（90
100
x
）．
并绘制出了两幅不完整的统计图（如图）．根据以上信息，解答下列问题：
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(1)填空：m=_______；m 名队员比赛成绩的中位数能在_______组（选填组名）．
(2)从E 组的甲、乙、丙、丁四名队员中随机选择两名担任校园合唱队领唱，请用列表或画树状图的方法，
求甲、乙两名队员恰好被选中的概率．
【答案】(1)20 ；C
(2) 1
6
【分析】（1）用C 组人数除以C 组占比就可以求出总人数；根据中位数定义，该次比赛共20 人，中位数
是第10位和第11位队员的平均成绩，找出该两名的分组位置即可判断出中位数在哪一组；
（2）列表统计出所有可能的结果计算即可．
【详解】（1）解：
7 35%
20
m =
=
，
参赛队员人数是20 人，所以比赛成绩的中位数是第10 位和第11 位队员的平均成绩，由直方图可知，成绩
排名第10 位和第11 位队员均在C 组，
所以m 名队员比赛成绩的中位数能在C 组．
（2）解：根据题意，列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
甲乙
甲丙
甲丁
乙
甲乙
乙丙
乙丁
丙
甲丙
乙丙
丙丁
丁
甲丁
乙丁
丙丁
由上表可知，共有12 种可能的结果，其中甲、乙两名队员恰好被选中的结果有2 种，
所以甲、乙两名队员恰好被选中的概率：2
1
12
6
=
．
2．（2026·四川凉山·中考真题）五彩凉山，气候宜人，物产丰富，尤其水果深受广大消费者喜爱．为了解
时令水果受喜爱情况，随机抽取部分消费者对最喜爱的时令水果进行调查，（A 类为樱桃，B 类为蓝莓，C
类为葡萄，D 类为枇杷，E 类为其他，每人只能选择一项）．根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：
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请根据以上信息回答：
(1)本次调查的总人数为______人；
(2)补全条形统计图，并求出扇形统计图中a =______，及B 类对应扇形的圆心角度数为______．
(3)质检员从A、B、C、D 四类水果中随机选择两类检测含糖量，用列表或画树状图的方法，求选择的两类
水果恰好是B 类和D 类的概率．
【答案】(1)50
(2)
36，72
(3) 1
6
【分析】（1）用A 类人数除以所占的比例求出总人数即可；
（2）求出D 类人数，补全条形图，用C 类人数除以总人数求出a ,用360乘以B 类人数所占的比例求出圆
心角的度数即可；
（3）根据题意，画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：本次调查的总人数为8 16%
50
=
人；
（2）解：D 类人数为50 20% 10
=
人，
补图见答案，
% 18 50 100%
36%
a
=
=
，
故
36
a =
，
由统计图知：B 类人数为10 人，则B 类对应扇形的圆心角度数为10
360
72
50
=
；
（3）解：画树状图如下
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共12 种等可能的结果，其中选择的两类水果恰好是B 类和D 类的结果有2 种，
∴选择的两类水果恰好是B 类和D 类的概率为2
1
12
6
=
3．（2026·四川巴中·中考真题）学校为了解七年级学生对校园艺术节活动的喜欢程度（喜欢程度分为四类：
A．非常喜欢，B．喜欢，C．一般，D．不喜欢），对该年级学生进行抽样调查，并将结果绘制成如图所示
的两幅不完整的统计图．
根据上述信息，解答下列问题：
(1)本次抽样调查中，学校一共抽取了_____________名学生，并补全条形统计图；
(2)该年级共有学生400 人，请估计对活动“非常喜欢”的学生人数；
(3)学校决定对学生进一步访谈，先从C 类学生中抽取1 名学生，再从D 类学生中抽取1 名学生，请用列表
格或画树状图的方法，求抽取的2 名学生恰好是1 名男生和1 名女生的概率．
【答案】(1)25，补全条形统计图如下：
(2)112 人
(3) 1
2
【分析】（1）根据统计图先求出被抽查的总人数，然后根据题意得到B 类男生人数和A 类女生人数，进
而问题可求解；
（2）根据题意可直接列式进行求解；
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（3）由题意可设C 类学生中男生为
1
2
A ,A ，女生为
1
2
B ,B ，D 类学生中男生为
3
4
A ,A ，女生为
3
B ，然后根
据列表法进行求解概率即可．
【详解】（1）解：由统计图可知：本次抽样调查中，学校一共抽取了学生人数为(
)
2 1
12%
25
+
=
（名），
∴25 44% 11
=
（名），即B 类男生人数为11 6
5
−
= （名），
A 类女生人数为25 3 11 4 3
4
−−
−−=
（名），
补全条形统计图略；
（2）解：由（1）可得：
3
4
400
112
25
+
=
（人），
答：对活动“非常喜欢”的学生人数112 人；
（3）解：由题意可设C 类学生中男生为
1
2
A ,A ，女生为
1
2
B ,B ，D 类学生中男生为
3
4
A ,A ，女生为
3
B ，则
可列表如下：
1
A
2
A
1
B
2
B
3
A
3
1
A ,A
3
2
A ,A
3
1
A ,B
3
2
A ,B
4
A
4
1
A ,A
4
2
A ,A
4
1
A ,B
4
2
A ,B
3
B
3
1
B ,A
3
2
B ,A
3
1
B ,B
3
2
B ,B
一共有12 种等可能的结果，其中抽取的2 名学生恰好是1 名男生和1 名女生的有6 种等可能的结果，所以
抽取的2 名学生恰好是1 名男生和1 名女生的概率为
6
1
12
2
P =
=
．
4．（2026·四川宜宾·中考真题）某校组织全校1000 名学生进行“爱祖国，爱家乡”知识竞赛．从中随机抽取
了m 名学生，并按竞赛成绩分成A、B、C、D 四组，绘制出以下不完整的统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
(1)m=________，补全条形统计图；
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(2)根据竞赛成绩，C、D 组的学生被评为优秀，估算全校优秀的人数；
(3)竞赛中有2 名女生和1 名男生获得满分，从这三名学生中随机抽取2 名学生代表学校参加下一轮竞赛．请
用列表或画树状图的方法，求抽到1 名男生和1 名女生的概率．
【答案】(1)50，
(2)680 人
(3) 2
3
【分析】（1）根据B 组的人数除以占比求得m 的值，进而求得C 组的人数，并补全统计图；
（2）根据样本估计总体，用1000乘以C、D 组的占比，即可求解；
（3）用A 表示女生，用B 表示男生，根据题意画出树状图，根据树状图求概率，即可求解．
【详解】（1）解：
10 20%
50
m =
=
，C 组的人数为：50 6 10 16 18
−−
−
=
补全条形统计图略
（2）解：
18 16
1000
680
50
+
=
，
答：全校优秀的人数为680 人；
（3）解：用A 表示女生，用B 表示男生，根据题意画树状图为：
由树状图可知：共有6 种等可能的结果数，其中1 名男生和1 名女生的结果数为4 ，
∴抽到1 名男生和1 名女生的概率为4
2
6
3
=
．
5．（2026·四川内江·中考真题）为弘扬内江本土文化，某校开展了以“了解内江，热爱家乡”为主题的知识
竞赛活动，组织学生学习内江糖业文化、大千艺术、非遗技艺等本土文化知识，并进行了答题测评．学校
从参与测评的学生中，随机抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A．优秀；B．良好；
C．一般；D．不合格．根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
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请根据图中信息，解答下列问题：
(1)本次随机抽样调查一共抽取了_________名学生，请把条形统计图补充完整；
(2)在扇形统计图中，表示成绩等级为C 的扇形圆心角为_________度；
(3)现从成绩等级为A 的甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽取2 名学生，担任学校的“内江本土文化宣讲员”，
请用列表法或画树状图的方法，求恰好同时抽中甲和乙两名学生的概率．
【答案】(1)50；
(2)72
(3) 1
6
【分析】（1）用B 等级的学生人数除以其人数占比可求出参与调查的学生人数，再求出C 等级的人数，进
而补全条形统计图即可；
（2）用360 度乘以C 等级的人数占比即可得到答案；
（3）画树状图得到所有等可能性的结果，再确定恰好同时抽中甲和乙两名学生的结果数，最后根据概率公
式求解即可．
【详解】（1）解：20 40%
50
=
名，
∴本次随机抽样调查一共抽取了50 名学生；
∴C 等级的学生人数为50 15 20 5 10
−
−
−=
名，
补全条形统计图见答案；
（2）解：由（1）得，
10
360
72
50
=
=
；
（3）解：画树状图如下：
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由树状图可知，一共有12 种等可能的结果，其中恰好同时抽中甲和乙两名学生的结果有2 种，
∴恰好同时抽中甲和乙两名学生的概率为2
1
12
6
=
．
6．（2026·四川广安·中考真题）为弘扬中华传统文化，增强民族文化自信．某校组织学生去某市文创小镇
研学，参加该镇开发的四个项目：A ．参加烟花秀表演，B ．体验造纸过程，C ．制作印刷模板，D ．自
制指南针．学校为了更好组织本次研学，随机调查了部分学生“最感兴趣的一个项目”，绘制了如图所示的
两幅不完整的统计图：
(1)本次抽取的样本容量是 ，扇形统计图中A 对应圆心角的度数是 ；
(2)请补全条形统计图；
(3)在这次研学中，有两名男生和两名女生都希望参加烟花秀表演，现从他们中随机选取两名学生参加，请
用列表或画树状图的方法，求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)300；144；
(2)如图所示，
(3)
P
(一名男生一名女生参加)
2
3
=
【分析】（1）先根据选择A 项目的人数除以其占比即可求解样本容量，再用360乘以选择A 项目的占比即
可求解圆心角；
（2）先求出选择B 项目的人数，即可补全条形统计图；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数和一男一女参加同一个项目的结果数，再利用概率公式可得出答案．
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【详解】（1）∵条形图中选择A 项目人数为120人，扇形图中A 占40%，
∴本次抽取的样本容量是120 40%
300
=
，A 对应圆心角的度数为360
40% 144
=
；
（2）∵样本容量为300，选择A 项目人数为120人，选择C 项目人数为90人，选择D 项目人数为60 人，
∴选择B 项目人数为300 120 90 60
30
−
−
−
=
（人）
据此数据补充条形统计图，图略；
（3）法一：画树状图如下：
共有12种等可能结果，其中一男一女参加的共有8种结果．
P
(一名男生一名女生参加)
2
3
=
．
法二：列表如下：
男1
男2
女1
女2
男1
（男2 ，男1）
（女1，男1）
（女2 ，男1）
男2
（男1，男2 ）
（女1，男2 ）
（女2 ，男2 ）
女1
（男1，女1）
（男2 ，女1）
（女2 ，女1）
女2
（男1，女2 ）
（男2 ，女2 ）
（女1，女2 ）
共有12种等可能结果，其中一男一女参加的共有8种结果．
P
(一名男生一名女生参加)
2
3
=
．
7．（2026·四川眉山·中考真题）为激发学生热爱劳动的兴趣，培养学生尊重劳动成果的意识，某校计划利
用课后服务时间以“我劳动·我快乐”为主题开展系列劳动教育活动，为学生提供“组装维修”“手工烹饪”“整理
收纳”和“蔬菜种植”四种课程（依次用A，B，C，D 表示）．为了解学生对这四种课程的喜欢情况，学校随
机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种劳动课程（必选且只选一种）”的问卷调查，并根据调查结果绘制
了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息）．
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根据图中信息，解答下列问题：
(1)参加问卷调查的学生人数是______人，扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角大小为_____°，估计全校2400
名学生中最喜欢C 课程的人数约为______人；
(2)补全条形统计图；
(3)现从喜欢“组装维修”的甲，乙，丙，丁四位同学中任选两人，合作展示组装维修小技巧，请用画树状图
或列表的方法，求恰好选到甲和乙两位同学的概率．
【答案】(1)120，36，720
(2)
(3) 1
6
【分析】（1）由喜欢B 种课程的人数及其所占百分比可得总人数，用360乘以喜欢D 种课程人数所占比
例即可得出其对应圆心角度数，求出喜欢C 种课程的人数所占百分比后，再乘以总人数2400 即可求出全校
2400 名学生中最喜欢C 种课程的人数；
（2）分别求出喜欢A 种课程的人数和喜欢C 种课程的人数，再补全条形统计图即可．
（3）画表格得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵参加问卷调查的学生中喜欢B 种课程的有42 人，占被调查人数的35%，
∴参加问卷调查的学生人数是42 35% 120
=
（人）．
∵喜欢D 种课程的有12 人，占被调查人数的百分比为12
100%
10%
120
=
∴扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角大小为360
10%
36
=
，
∴喜欢C 种课程的人数占被调查人数的百分比为1 25% 35% 10%
30%
−
−
−
=
，
∴估计全校2400 名学生中最喜欢C 种课程的人数约为2400 30%
720
=
（人）
（2）解：喜欢A 种课程的人数为120 25%
30
=
（人），
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喜欢C 种课程的人数120 30%
36
=
（人），
补全条形统计图如图所示
：
（3）列表格如下：
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）
共12 种情况，其中恰好选到甲和乙两位同学的有2 种情况，
∴恰好选到甲和乙两位同学的概率为2
1
12
6
=
．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概
率，正确读懂统计图是解题的关键．
8．（2026·四川乐山·中考真题）某校开展“典籍里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择：A．《论语》，
B．《史记》，C．《天工开物》，D．《九章算术》．刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况
（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图表，如图所示．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生共有________人，表中m 的值为________；
(2)现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课程
A 和课程B 的概率．
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【答案】(1)60 ；18
(2) 1
6
【分析】（1）根据样本容量等于频数除以所占百分比，扇形统计图的意义求解即可；
（2）利用画树状图法或列表法求解即可；
【详解】（1）解：根据题意，得学生一共有12 20
60
=
％
（人），
故表中m 的值为60 21 9 12 18
−
−−
=
．
（2）解：解法一：由题可画树状图：
由图可知，共有12 种等可能情况，其中恰好选到课程A 和课程B 共2 种，
P
（恰好选到课程A 和课程B）
1
6
=
．
解法二：由题可列表：
第一次
第二次
A
B
C
D
A
(
)
,
B A
(
)
,
C A
(
)
,
D A
B
(
)
,
A B
(
)
,
C B
(
)
,
D B
C
(
)
,
A C
(
)
,
B C
(
)
,
D C
D
(
)
,
A D
(
)
,
B D
(
)
,
C D
由表可知，共有12 种等可能情况，其中恰好选到课程A 和课程B 共2 种，
P
（恰好选到课程A 和课程B）
1
6
=
．
9．（2026·四川遂宁·中考真题）某校团委计划在“心理健康日”组织学生开展心理健康活动，根据活动形式
分为四组：A．心理专题讲座、B．心理健康电影、C．心理疗愈音乐会、D．心理健康情景剧．为了了解学
生对这四种活动的喜爱情况，在全校随机抽取学生，对其进行“我最喜欢的一种心理健康活动”问卷调查，
依据样本数据绘制了如下两幅统计图．请结合调查信息，完成下列问题：
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(1)本次调查共抽取了________名学生，扇形统计图中m=________，心理疗愈音乐会对应扇形圆心角的度
数为________度；
(2)被调查学生最喜欢的心理健康活动是________；（请选择填写A
B
C
D
、、、
）
(3)请估计全校1000 名学生中喜欢心理专题讲座的人数；
(4)学校从B
D
、小组选了4 名代表（每组各两名），决定从这4 名代表中选2 名作活动感悟分享．请用画树
状图或列表的方法，求选出的2 名代表来自不同组的概率．
【答案】(1)50，24 ，28.8
(2) B
(3)估计全校1000 名学生中喜欢心理专题讲座的人数为240 人；
(4) 2
3
【分析】（1）利用喜欢心理健康电影的人数除以其所占百分比即可得到被调查总人数，再用喜欢心理专题
讲座的人数除以被调查总人数即可得到m 的值，利用360乘以喜欢心理疗愈音乐会所占被调查总人数的比
例即可得到心理疗愈音乐会对应扇形圆心角的度数；
（2）根据条形统计图数据即可解答；
（3）用1000乘以被调查人数中喜欢心理专题讲座所占比例即可求解；
（4）用
1
2
1
2
,
,
,
B B D D 表示4 名代表，画出树状图，得到总的情况数和2 名代表来自不同组的情况数，利用概
率公式计算即可．
【详解】（1）解：18 36%
50
=
（人），
则本次调查共抽取了50名学生；
12
%
100%
24%
50
m
=
=
，
则
24
m =
；
4
360
28.8
50
=
，
则心理疗愈音乐会对应扇形圆心角的度数为28.8 度；
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（2）解：18 16
12
4
，
被调查学生最喜欢的心理健康活动是B ．心理健康电影；
（3）解：
12
1000
240
50
=
（人），
答：估计全校1000 名学生中喜欢心理专题讲座的人数为240 人；
（4）解：用
1
2
1
2
,
,
,
B B D D 表示4 名代表，
画出树状图如下：
则一共有12 等可能性的结果数，其中选出的2 名代表来自不同组的结果数有8 种，
∴选出的2 名代表来自不同组的概率为8
2
12
3
=
．
10．（2026·四川自贡·中考真题）为促进学生积极参加体育活动，某校准备在八年级开展球类比赛．从“羽
毛球”“排球”“乒乓球”“篮球”四类中，通过投票选出最受欢迎的项目．投票结果的条形统计图与扇形统计图
如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)本次投票共_____人参与，其中“乒乓球”所占百分比为_____，并补全条形统计图；
(2)某班最喜欢乒乓球且又具实力的有4 名同学（两男两女），从这4 人中随机抽取两人参加比赛，请用列
表或画树状图的方法，计算所抽取的两人为“一男一女”的概率．
【答案】(1)500，40%，
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(2) 2
3
【分析】（1）根据占比求人数，由此得到“乒乓球”的人数和占比，即可补全图形；
（2）运用列表法或画树状图法表示所有等可能结果，再根据概率求解即可．
【详解】（1）解：羽毛球有150 人，占比为30%，
∴150 30%
500
=
，
∴本次投票共有500 人，
∴“乒乓球”有500 150 60 90
200
−
−
−
=
（人），
∴“乒乓球”所占百分比为200 100%
40%
500
=
，
补全图形：略；
（2）解：用列表法或画树状图法表示所有等可能结果如下，分别用男1，男2，女1，女2 表示，
∴共有12 种等可能结果，其中“一男一女”的结果有8 种，
∴所抽取的两人为“一男一女”的概率
8
2
12
3
=
=
．
11．（2026·四川广元·中考真题）某校“人工智能”社团开展“AI 模型设计”大赛，统计参赛学生成绩，并分成
A、B、C、D、E 五个等级，现对数据进行整理和分析，部分信息如下：
成绩频数分布表
等级
成绩x （分）
频数
A
90
100
x
n
B
80
90
x
18
C
70
80
x
m
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D
60
70
x
4
E
60
x
2
统计B 等级测试成绩（单位：分）如下：80，81，83，83，83，83，85，85，86，86，87，88，88，88，
88，89，89，89，请根据以上信息，解答下列问题：
(1)参赛学生总人数为__________人，成绩频数分布表中m = __________，n =__________；
(2)参赛学生此次成绩的中位数是__________；
(3)若从A 等级中抽取两名学生作经验分享，小佳和小亮恰好在其中，请用画树状图或列表的方法计算同时
抽到小佳和小亮的概率．
【答案】(1)40，12，4
(2)82
(3) 1
6
【分析】（1）由B 等级学生人数除以其占参赛总人数的百分比可求出参赛学生总人数，总人数乘以C 等级的
百分比求出m，总人数减去其他等级的人数求出n；
（2）根据中位数的定义解答即可；
（3）画出树状图，根据树状图得到总的结果数与该事件的结果数，利用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：参赛学生总人数为18 45%
40
=
人，
40 30% 12
m =
=
，
40 18 12 4 2
4
n =
−
−
−−=
；
（2）解：∵4 18
22
+
=
，
∴40 个数据中的第20，21 个数据分别为83，81，
∴参赛学生此次成绩的中位数是83
81
82
2
+
=
；
（3）设另外两名学生分别为a，b，小佳用c 表示，小亮用d 表示，
列树状图如下：
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共有12 种等可能的结果，其中同时抽到小佳和小亮的有2 种，
∴同时抽到小佳和小亮的概率是2
1
12
6
=
1．（2026·四川眉山·一模）二氧化碳灭火器是一种常用的消防器材．实验课上小文将一根燃着的木条伸入
充满二氧化碳的集气瓶中，该木条熄灭是（ ）
A．不可能事件
B．随机事件
C．必然事件
D．无法确定
【答案】C
【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件指一定条件下一定不发生的事件，随机事
件指一定条件下可能发生也可能不发生的事件.
【详解】解：∵二氧化碳不支持燃烧，将燃着的木条伸入充满二氧化碳的集气瓶中，木条一定熄灭，该事
件满足必然事件的定义，
∴该事件是必然事件.
2．（2026·四川成都·二模）2025 年12 月4 日是我国第十二个国家宪法日．为加强对学生的法治教育，弘
扬法治精神，维护宪法权威，某校开展了“宪法宣传周”系列教育活动．活动结束后，进行了“法治知识”测评，
下面是随机抽取的6 名学生的测试成绩（分）：95，92，88，92，86，87．则这6 名学生成绩的众数为
（ ）
A．92
B．90
C．89
D．88
【答案】A
【分析】根据众数的定义，找出这组数据中出现次数最多的数即可得到答案．
【详解】解：统计题干中每个成绩的出现次数：
95出现1 次，92出现2 次，88出现1 次，86出现1 次，87出现1 次，
∵92出现的次数最多，
∴这6 名学生成绩的众数为92．
3．（2026·四川绵阳·二模）一个不透明的袋子中装有红球10 个，白球6 个，黑球4 个，从中随机摸出一个
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球，以下说法正确的是（ ）
A．摸出白球概率最小
B．摸出红球概率最大
C．不可能摸出黑球
D．可能摸出黄球
【答案】B
【分析】本题考查随机事件与概率的计算，先计算总球数，得到各颜色球被摸出的概率，再逐一判断选项．
【详解】解：总球数为 10 6
4
20
+ +
=
（个），
∴摸出红球的概率为10
1
20
2
=
，摸出白球的概率为6
3
20
10
=
，摸出黑球的概率为4
1
20
5
=
，
∵1
3
1
2
10
5
，
∴摸出红球概率最大，摸出黑球概率最小，A 错误，B 正确，
∵袋中有黑球，
∴可能摸出黑球，C 错误，
∵袋中没有黄球，
∴不可能摸出黄球，D 错误．
4．（2026·四川南充·一模）在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物
进行试验的是（ ）
A．一枚均匀的正方体骰子
B．两张不同的扑克
C．两张不同的卡片
D．一枚图钉
【答案】D
【分析】替代物需要满足和原抛硬币试验一致，即能产生两种概率相等的结果，据此判断各选项即可．
【详解】原抛硬币试验中，有正面向上、反面向上两种等可能结果，每种结果发生的概率为1
2 ，替代物需
满足两种结果发生概率相等．
选项A，均匀正方体骰子，点数为奇数、偶数的结果各3 种，概率均为1
2 ，可分别对应硬币正反，能用作
替代物；
选项B，两张不同扑克，任意抽取一张，抽到每张的概率均为1
2 ，可对应硬币正反，能用作替代物；
选项C，两张不同卡片，任意抽取一张，抽到每张的概率均为1
2 ，可对应硬币正反，能用作替代物；
选项D，抛掷图钉时，钉尖朝上与钉帽朝上的概率不相等，不满足两种结果等可能的要求，因此不能作为
替代物．
5．（2026·四川成都·一模）第十五届全国运动会于2025 年11 月9 日至21 日在广东、香港、澳门三地共同
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举办．某校为了解学生对本届全运会游泳项目（蝶泳、仰泳、蛙泳）的知晓情况，随机调查了200 名学生，
其中对本届全运会新增游泳项目了解的学生有110 名，则估计该校2400 名学生中，对本届全运会新增游泳
项目了解的学生有（ ）
A．880 名
B．1100 名
C．1210 名
D．1320 名
【答案】D
【分析】先求出样本中了解全运会新增游泳项目的学生频率，再用总人数乘以该频率得到估计值．
【详解】解：∵抽查的200 名学生中，了解项目的学生有110 名，
∴样本中了解项目的学生频率为 110
0.55
200 =
，
∴估计该校2400 名学生中，了解项目的学生人数为2400 0.55 1320
=
（名）．
6．（2026·四川雅安·二模）名山区创建国家卫生城市．我们每一位公民的应该掌握必备知识．为此某中学
进行了创卫知识竞赛，五位评委给小明的分数分别为90，80，86，90，94，则这组数据的中位数和众数分
别是（ ）
A．90，90
B．80，90
C．86，90
D．90，94
【答案】A
【分析】先将数据按从小到大排序，再根据定义分别求出中位数和众数即可得到答案
【详解】解：∵原数据为 90, 80, 86, 90, 94,
将数据从小到大排序得: 80, 86, 90, 90, 94, 数据总个数为5，是奇数，
因此中位数是排序后最中间的数,
∴中位数为90.
又∵90出现次数最多，共出现2 次，其余数各出现1次,
∴众数为90
7．（2026·四川泸州·二模）已知一组数据1,4,6,8, x 的平均数为5，则此组数据的中位数是（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【分析】根据平均数确定出x 后，再根据中位数的定义作答．
【详解】解：由平均数的公式得：1 4
6 8
5
5
x
+ + + +
=
（
）
，
解得
6
x =
．
这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，4，6，6，8，
则中位数为6．
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故选：B．
8．（2026·四川南充·三模）一个不透明的袋中装有大小质感等相同的1个红球，2 个黄球．先从袋中随机摸
出1个，放回摇匀，再从袋中随机摸出1个．第一次摸到红球，第二次摸到黄球的概率是（ ）
A．1
9
B．2
9
C．1
3
D．2
3
【答案】B
【分析】画出树状图，由树状图可知，共有9种等可能的情况出现，其中第一次摸到红球，第二次摸到黄球
的情况共有2 种，所以第一次摸到红球，第二次摸到黄球概率为2
9 ．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的情况出现，其中第一次摸到红球，第二次摸到黄球的情况共有2 种，
第一次摸到红球，第二次摸到黄球概率为2
9 ．
9．（2026·四川广元·二模）下列说法正确的是（ ）
A．一个游戏的中奖率是1% ，做100 次这样的游戏一定会中奖
B．了解某班同学的身高情况适合用全面调查
C．数据2、3、4、2、3 的众数是2
D．甲、乙两组数据的平均数相同，方差分别是
2
3.2
S
=
甲
，
2
2.9
S
=
乙
，则甲组数据更稳定
【答案】B
【分析】根据概率意义、调查方式选择、众数定义、方差性质逐项判断即可解答．
【详解】解：A．中奖率1% 反映的是每次抽奖中奖的可能性大小，做100 次游戏也不一定会中奖，即选项
A 错误；
B．一个班的同学数量较少，全面调查可以得到准确的身高数据，适合用全面调查，即选项B 正确；
C．数据2、3、4、2、3 中，2 和3 都出现2 次，众数是2 和3，即选项C 错误；
D．当平均数相同时，方差越小数据越稳定，又
2
2
3.2
2.9
S
S
=
=
甲
乙
，即乙组数据更稳定，故选项D 错误．
10．（2026·四川内江·二模）据统计，威远2025 年8 月1 日至10 日的最高气温如下（单位：℃）：37、37、
38、39、39、34、34、34、33、31．对这组数据的分析，以下说法正确的是（ ）
A．这组数据的众数是34℃
B．这组数据的中位数是34℃
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C．这组数据的极差是6℃
D．这组数据的平均数是34℃
【答案】A
【分析】根据众数、中位数、极差、平均数定义整理数据后，分别计算各统计量即可判断选项．
【详解】解：先将数据从小到大排序得31,33,34,34,34,37,37,38,39,39 ，共10 个数据，
∵34出现次数最多，为3次，∴众数是34℃，A 选项正确；
∵中位数是排序后第5 个和第6 个数据的平均数，∴中位数为34
37
35.5
2
+
=
℃，B 选项错误；
∵极差=最大值- 最小值，∴极差为39 31 8
−
= ℃，C 选项错误；
计算得数据总和为31 33 34 3 37 2 38 39 2
356
+
+
+
+
+
=
，∴平均数为356
35.6
10 =
℃，D 选项错误．
11．（2026·四川南充·二模）某校学生体育素质总评成绩由平时、期中、期末成绩按权重比2:3:5组成，若
小王平时得90 分，期中得80 分，他想期末总评不低于85 分，则小王期末成绩不低于（ ）
A．87 分
B．86 分
C．85 分
D．84 分
【答案】B
【分析】根据给定权重比计算加权总评成绩，结合总评不低于85 分的要求列不等式求解即可．
【详解】解：设小王期末成绩为x 分，根据题意得：
90 2
80 3
5
85
2
3
5
x
+
+
+ +
解得：
86
x
小王期末成绩不低于86 分．
12．（2026·四川成都·二模）如图，正方形纸片的边长为1，以各边为直径在正方形内作四个半圆，中间阴
影部分形成了一朵花瓣的形状．小明利用这张纸片做“投针实验”：随机向这张纸片投掷一枚钢针，针尖扎
在纸片上完成一次实验，未扎中则重投．钢针扎在花瓣上的概率为______．
【答案】
2
2
−
【分析】用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求得答案．
【详解】解：∵阴影部分可看作是以正方形边长为直径的两个圆的面积减去正方形的面积，
∴阴影部分的面积1
1
2 −，正方形的面积为1，
∴随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为
2
1
2
2
1
−
−
=
．
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13．（2026·四川南充·三模）下表记录了数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学最近几次拓展训练数学成绩
的平均分与方差．要推选一名成绩好且发挥稳定的同学参加学校比赛，应推选________．
甲
乙
丙
丁
平均分
92
95
95
92
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
【答案】乙
【分析】平均数反映成绩的整体水平，方差反映成绩的稳定性，先比较平均数选出成绩较好的对象，再比
较方差选出发挥稳定的对象．
【详解】解：由表中数据可知，乙和丙的平均分高于甲和丁的平均分，因此乙和丙的成绩更好，
3.6
7.4
，即乙的方差小于丙的方差，
乙的发挥比丙更稳定，
因此应推选乙．
14．（2026·四川广元·二模）某文具店举行抽奖活动，盒子中装有5 支完全相同的中性笔，笔杆上分别刻有
数字：2
1012
−
−
，，，，．顾客随机抽取一支，记笔上的数字为a，求使得：以x 为自变量的正比例函数
(
)
3
5
y
a
x
=
+
经过第一、三象限，且关于x 的一元二次方程
2
2
3
0
ax
x
−
+
=
有实数解的概率是_______．
【答案】1
5
【分析】先根据正比例函数经过第一、三象限求出a 的取值范围，再根据一元二次方程有实数解求出a 的
取值范围，找出同时满足两个条件的a 值，最后利用概率公式求解．
【详解】解：
正比例函数
(
)
3
5
y
a
x
=
+
经过第一、三象限，
3
5
0
a
+
，
5
3
a
−
，
一元二次方程
2
2
3
0
ax
x
−
+
=
有实数解，
0
a
且
2
( 2)
4
3
0
a
= −
−
，
4 12
0
a
−
，
1
3
a
，
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5
1
3
3
a
−
且
0
a
，
笔上的数字为2
1012
−
−
，，，，，
符合条件的a 值只有1
−，
所求概率为1
5 ．
15．（2026·四川成都·一模）某校在体育节期间开展了丰富多彩的体育活动，活动结束后，学校计划从初一
（1）班、（2）班中评选出一个“体育节综合表现优秀班级”．以下是这两个班级的五项评比指标的得分统
计图：请根据统计图信息，解答下列问题：
(1)初一（1）班在体育节中得分的极差为 分；
(2)从平均数、中位数、众数中任选一个角度，试判断哪个班的表现更好？
(3)若学校将“开幕式表演”“团体操表现”“田径项目成绩”“精神文明”“观众参与度”这五项得分按2:2:4:1:1的
比例确定各班的综合成绩，请你通过计算判断应评选哪个班为“体育节综合表现优秀班级”．
【答案】(1)40
(2)从众数的角度，初一（1）班的表现更好（答案不唯一）
(3)评选初一（2）班为“体育节综合表现优秀班级”
【分析】（1）根据极差的定义计算即可；
（2）利用平均数、中位数、众数的意义做决策即可；
（3）根据加权平均数的计算公式求解即可．
【详解】（1）解：初一（1）班在体育节中得分最大值为100 分，最小值为60 分，
极差为100 60
40
−
=
（分）；
（2）解：从众数的角度来说，初一（1）班得分的众数为100 分，初一（2）班得分的众数为90 分，
初一（1）班得分的众数高于初一（2）班，
初一（1）班的表现更好（答案不唯一）；
（3）解：2
2
4 1 1 10
+ + + + =
，
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初一（1）班：
2
2
4
1
1
100
100
60
100
70
20
20
24 10
7
81
10
10
10
10
10
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
（分）；
初一（2）班：
2
2
4
1
1
90
100
80
70
90
18
20
32
7
9
86
10
10
10
10
10
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
（分），
81分
86
分，
应评选初一（2）班为“体育节综合表现优秀班级”．
16．（2026·四川成都·二模）4 月24 日是中国航天日．为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及
航天知识，某校在中国航天日当天组织了航天知识竞赛，组委会从竞赛成绩（用x 表示，满分100 分，均
不低于60 分）中随机抽取了部分数据，将其按数据大小分成四组：A 组（90
100
x
），B 组（80
90
x
），
C 组（70
80
x
），D 组（60
70
x
），并绘制了如图所示的统计图．已知B 组共有15 个数据，从高
到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80．
根据已知信息，解答下列问题：
(1)B 组15 个数据的中位数为______，众数为______，平均数为______；
(2)从竞赛成绩中共抽取了______个数据，抽取的所有数据的中位数为______；
(3)该校共有500 名学生参加竞赛，问竞赛成绩不低于80 分的学生约有多少人？
【答案】(1)85；85；84
(2)50；80
(3)270
【分析】（1）根据中位数，众数和平均数的定义求解即可．
（2）根据B 组的个数和占比求出抽取的总个数，然后再根据中位数的定义求解即可．
（3）用样本估计总体即可．
【详解】（1）解：把15 个数据从小到大排列：80，80，80，81，81，83，84，85，85，85，85，86，88，
88，89，
第8 个数是85，即中位数是85，
85 出现了4 次，即众数为85．
平均数
80 3
81 2
83
84
85 4
86
88 2
89
1260
84
15
15
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
．
（2）解：15
30%
50
=
个，
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A 组：50 24% 12
=
个，B 组15 个，
C 组：50 26% 13
=
个，D 组50 20% 10
=
个，
∵中位数是第25 个和第26 个数的平均数，10 13
23
+
=
个，
∴第25 个，26 个数在B 组，分别为80，80，
∴中位数为：80
80
80
2
+
=
，
（3）解：
(
)
500
30%
24%
270
+
=
（人）．
17．（2026·四川德阳·一模）随着人工智能的快速发展，初中生使用AI 大模型辅助学习快速普及，并呈现
出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用AI 大模型辅助学
习的时间（用 x 表示，单位：min ）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图：
抽取的学生一周使用AI 大模型辅助学习时间频率分布表：
组别
时间x（min）
频率
A
20
40
x
0.16
B
40
60
x
0.24
C
60
80
x
0.30
D
80
100
x
0.20
E
100
120
x
0.10
合计
1
根据提供的信息回答问题：
(1)请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）；
(2)调查所得数据的中位数落在 组（填组别）；
(3)该校九年级共有 750 名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用AI 大模型辅助学习的
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时间不少于60min 的学生人数．
(4)在此次调查中，从 E 组学生中，随机抽取2 名学生进行访谈，已知其中有 2 名男生和 3 名女生，请
用树状图或列表法求抽到的2 名学生恰好是 1 男 1 女的概率．
【答案】(1)
(2)C
(3)450 人
(4) 3
5
【分析】（1）利用总数，频数和频率之间的关系，求出D 组的人数为10，进而补全直方图即可；
（2）根据中位数的确定方法进行判断即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可；
（4）列出表格，利用概率公式进行计算即可.
【详解】（1）略
（2）解：总人数为5 0.1
50
=
，
将数据从小到大排列后，中位数为第25 人和26 人的学习时间的平均数，
∵A 组8 人，B 组12 人，C 组15 人，8 12
20
25,20 15
35
+
=
+
=
，
∴第25 人和26 人的数据落在C 组，即中位数落在C 组；
（3）解：
(
)
750
0.1 0.2
0.3
450
+
+
=
（人）；
答：估计该校九年级学生一周使用AI 大模型辅助学习的时间不少于60min 的学生有450 人；
（4）解：列表如下：
男
男
女
女
女
男
男，男
男，女
男，女
男，女
男
男，男
男，女
男，女
男，女
女
女，男
女，男
女，女
女，女
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女
女，男
女，男
女，女
女，女
女
女，男
女，男
女，女
女，女
共20 种等可能的结果，其中抽到的2 名学生恰好是 1 男 1 女的结果有12 种，
∴
12
3
20
5
P =
=
.
