专题08二次函数及其应用（5年汇编）（浙江专用）（原卷版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新好题汇编_2027新好题汇编2022-2026年中考数学真题分类汇编（浙江专用）

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专题08 二次函数及其应用
5 年真题1 年模拟
考点分类
浙江考情（2022-2026）
命题规律
考点01 二次函数的
图象与性质
2025·浙江·中考
2023·浙江杭州·中考
2023·浙江宁波·中考
2023·浙江衢州·中考
2023·浙江台州·中考
2022·浙江宁波·中考
2022·浙江温州·中考
2022·浙江杭州·中考
2022·浙江嘉兴·中考
2022·浙江绍兴·中考
2022·浙江衢州·中考
2022·浙江绍兴·中考
2022-2025 年浙江中考对二次函数图象与性质考查较为
集中，内容包括开口方向、对称轴、顶点和最值、函数
增减性、图象与坐标轴交点，以及图象上点的函数值大
小比较。命题常设置参数或限定区间，要求利用对称性、
增减性和数形结合进行判断，而不是机械代入。2025 年
省统考以运动点到固定点距离的平方为背景，将几何距
离转化为二次函数图象，体现情境化和模型意识。现有
题目中区间最值、参数范围和图象辨析占比较高。复习
时应形成“开口—对称轴—顶点—增减区间—最值—交
点”的完整知识链。
考点02 二次函数解
析式、图象变换与综
合
2025·浙江·中考
2024·浙江·中考
2023·浙江宁波·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2023·浙江湖州·中考
2023·浙江金华·中考
2022·浙江杭州·中考
2022·浙江嘉兴·中考
2022·浙江丽水·中考
2022-2025 年浙江中考在本考点主要以解答题考查待定
系数法、顶点式和交点式的灵活选择，以及抛物线平移、
对称、区间最值和参数范围。2024、2025 年省统考连续
将第23 题设置为二次函数综合题：2024 年突出解析式、
点的平移和区间内极差；2025 年突出平行于x 轴的直
线与抛物线交点关系及横坐标差的最值。题目通常由基
础求式逐步过渡到分类讨论和最值探究，层次清晰。复
习时应根据已知条件合理选择函数表达式，并熟练处理
对称轴是否位于给定区间内的分类问题。
考点03 二次函数建
模及实际应用
2026·浙江·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2023·浙江温州·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2023·浙江衢州·中考
2023·浙江湖州·中考
2022·浙江宁波·中考
本考点现实情境丰富，涉及新能源汽车续航、球类运动、
龙舟训练、商品利润、蔬菜种植、拱桥灯饰、滑雪轨迹
和灌溉装置等。命题通常要求从数据、图象或几何条件
中建立二次函数模型，再利用顶点、增减性或区间最值
解决实际问题，并解释结果的合理性。2026 年省统考进
一步要求学生从一次函数、反比例函数和二次函数中选
择恰当模型，经历“建模—解模—验证反思”的完整过
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2022·浙江金华·中考
2022·浙江温州·中考
2022·浙江衢州·中考
2022·浙江台州·中考
程。复习时不仅要会求最大值或最小值，还要重视定义
域、整数条件、单位、实际取舍及模型适用范围。
考点01
二次函数图象与性质
1．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如
图1，点P 是一个固定观测点，运动点Q 从A 处出发，沿笔直公路ܣ虸向目的地B 处运动．设ܣܳ
为x（单
位：km）ሺͲ ൑ݔ൑݊
晦䁪ܲܳ
ʹ为y（单位：kmʹ）．如图2，y 关于x 的函数图象与y 轴交于点C，最低点ܦሺ݉
䁪ͺǡ晦，
且经过ܧሺǡ䁪ʹʹͷ晦和ܨሺ݊䁪ʹʹͷ晦两点．下列选项正确的是（
）
A．݉
R ǡʹ
B．݊
R ʹm
C．点C 的纵坐标为240
D．点ሺǡͷ䁪ͺͷ晦在该函数图象上
2．（2023·浙江杭州·中考真题）设二次函数ݕRࢧݔെ݉
ݔെ݉
െ݇
ሺͲ൐ࢧ䁪݉
䁪݇
是实数晦，则（
）
A．当݇
R ʹ 时，函数ݕ的最小值为െࢧB．当݇
R ʹ 时，函数ݕ的最小值为െʹࢧ
C．当݇
R m 时，函数ݕ的最小值为െࢧD．当݇
R m 时，函数ݕ的最小值为െʹࢧ
3．（2023·浙江宁波·中考真题）已知二次函数ݕRࢧݔʹ െሺ͵ࢧܽǡ晦ݔܽ
͵ሺࢧ്
Ͳ晦，下列说法正确的是(
)
A．点ሺǡ䁪ʹ晦在该函数的图象上
B．当ࢧR ǡ 且െǡ ൑ݔ൑͵ 时，Ͳ ൑ݕ൑ͺ
C．该函数的图象与x 轴一定有交点
D．当Ͳ൐ࢧ时，该函数图象的对称轴一定在直线ݔR
͵
ʹ的左侧
4．
（2023·浙江衢州·中考真题）已知二次函数ݕRࢧݔʹ െmݔࢧ（a是常数，ࢧ′ Ͳ）的图象上有ܣ݉
䁪ݕǡ 和虸ʹ݉
䁪ݕʹ
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两点．若点ܣ，虸都在直线ݕRെ͵ࢧ的上方，且ݕǡ ൐ݕʹ，则݉
的取值范围是（
）
A．ǡ ′݉
′
͵
ʹ
B．
m
͵ ′݉
′ ʹ
C．
m
͵ ′݉
′
͵
ʹ
D．m൐ʹ
5．（2023·浙江台州·中考真题）抛物线ݕRࢧݔʹ െࢧࢧ്
Ͳ 与直线ݕR݇
ݔ交于ܣݔǡ䁪ݕǡ ，虸ݔʹ䁪ݕʹ 两点，若
ݔǡܽ
ݔʹ ′ Ͳ，则直线ݕR݇ܽݔࢧ一定经过（
）．
A．第一、二象限
B．第二、三象限
C．第三、四象限
D．第一、四象限
6．（2022·浙江宁波·中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n 的图象上．若y1
＜y2，则m 的取值范围为（
）
A．݉
൐ʹ
B．݉
൐
͵
ʹ
C．݉
′ ǡ
D．
͵
ʹ ′݉
′ ʹ
7．（2022·浙江温州·中考真题）已知点ܣሺࢧ䁪ʹ晦䁪虸ሺሻ䁪ʹ晦䁪ܥሺܿ䁪͹晦都在抛物线ݕR ሺݔെǡ晦ʹ െʹ 上，点A 在点B
左侧，下列选项正确的是（
）
A．若ܿ
′ Ͳ，则ࢧ′ܿ
′ ሻ
B．若ܿ
′ Ͳ，则ࢧ′ ሻ′ܿ
C．若ܿ
൐Ͳ，则ࢧ′ܿ
′ ሻ
D．若ܿ
൐Ͳ，则ࢧ′ ሻ′ܿ
8．（2022·浙江杭州·中考真题）已知二次函数ݕR ݔʹܽܽݔࢧሻ（a，b 为常数）．命题①：该函数的图像经
过点(1，0)；命题②：该函数的图像经过点(3，0)；命题③：该函数的图像与x 轴的交点位于y 轴的两侧；
命题④：该函数的图像的对称轴为直线ݔR ǡ．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是
（
）
A．命题①
B．命题②
C．命题③
D．命题④
9．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知点ܣሺࢧ䁪ሻ晦，虸ሺm䁪ܿ晦在直线ݕR݇
ݔܽ
͵（k 为常数，്݇
Ͳ）上，若ࢧሻ的
最大值为9，则c 的值为（
）
A．
ͷ
ʹ
B．2
C．
͵
ʹ
D．1
10．
（2022·浙江绍兴·中考真题）已知抛物线ݕR ݔʹܽ݉
ݔ的对称轴为直线ݔR ʹ，则关于x 的方程ݔʹܽ݉
ݔR ͷ
的根是（
）
A．0，4
B．1，5
C．1，－5
D．－1，5
11．（2022·浙江衢州·中考真题）已知二次函数ݕRࢧሺݔെǡ晦ʹ െࢧሺࢧ്
Ͳ晦，当െǡ ൑ݔ൑m 时，ݕ的最小值
为െm，则ࢧ的值为（
）
A．
ǡ
ʹ或4
B．
m
͵或െ
ǡ
ʹ
C．െ
m
͵或4
D．െ
ǡ
ʹ或4
12．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知函数ݕRെݔʹܽ
ሻݔܽܿ
（b，c 为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣
6，﹣3）．
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(1)求b，c 的值．
(2)当﹣4≤x≤0 时，求y 的最大值．
(3)当m≤x≤0 时，若y 的最大值与最小值之和为2，求m 的值．
考点02
二次函数解析式、图象变换与综合
1．（2025·浙江·中考真题）已知抛物线ݕR ݔʹ െܽݔࢧ
ͷ（a 为常数）经过点ǡ䁪Ͳ ．
(1)求a 的值．
(2)过点ܣͲ䁪䁠与x 轴平行的直线交抛物线于虸䁪ܥ两点，且点B 为线段ܣܥ的中点，求t 的值．
(3)设݉
′ ͵ ′݊
，抛物线的一段ݕR ݔʹ െܽݔࢧ
݉ሺͷ൑ݔ൑݊
晦夹在两条均与x 轴平行的直线݈ǡ䁪݈ʹ之间．若直
线݈ǡ䁪݈ʹ之间的距离为16，求݊
െ݉
的最大值．
2．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数ݕR ݔʹܽ
ሻݔܽܿ
（b，c 为常数）的图象经过点ܣሺെʹ䁪ͷ晦，对
称轴为直线ݔRെ
ǡ
ʹ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点虸ሺǡ䁪͹晦向上平移2 个单位长度，向左平移m（݉
൐Ͳ）个单位长度后，恰好落在ݕR ݔʹܽ
ሻݔܽܿ
的
图象上，求m 的值；
(3)当െʹ ൑ݔ൑݊
时，二次函数ݕR ݔʹܽ
ሻݔܽܿ
的最大值与最小值的差为
ͻ
m，求n 的取值范围．
3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数ݕR ݔʹܽ
ሻݔܽܿ
图象经过点ܣሺǡ䁪െʹ晦和虸ሺͲ䁪െͷ晦．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当ݕ൑െʹ 时，请根据图象直接写出x 的取值范围．
4．（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知点െ݉
䁪Ͳ 和͵݉
䁪Ͳ 在二次函数ݕRࢧݔʹܽ
ሻݔܽ
͵ሺࢧ䁪ሻ是常数，ࢧ്
Ͳ晦
的图像上．
(1)当݉
Rെǡ 时，求ࢧ和ሻ的值；
(2)若二次函数的图像经过点ܣ݊
䁪͵ 且点A 不在坐标轴上，当െʹ ′݉
′െǡ 时，求݊
的取值范围；
(3)求证：ሻʹܽ
mࢧR Ͳ．
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5．（2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系ݔRݕ中，二次函数ݕR ݔʹ െmݔܽܿ
的图象与y
轴的交点坐标为Ͳ䁪ͷ ，图象的顶点为M．矩形ܣ虸ܥܦ的顶点D 与原点O 重合，顶点A，C 分别在x 轴，y
轴上，顶点B 的坐标为ǡ䁪ͷ ．
(1)求c 的值及顶点M 的坐标，
(2)如图2，将矩形ܣ虸ܥܦ沿x 轴正方向平移t 个单位Ͳ ′ 䁠′ ͵ 得到对应的矩形ܣԢ虸ԢܥԢܦԢ．已知边ܥԢܦԢ，ܣԢ虸Ԣ
分别与函数ݕR ݔʹ െmݔܽܿ
的图象交于点P，Q，连接ܲܳ
，过点P 作ܲ
ܩ٣ ܣԢ虸Ԣ于点G．
①当䁠R ʹ 时，求ܳ
ܩ的长；
②当点G 与点Q 不重合时，是否存在这样的t，使得ᇞܲ
ܩܳ
的面积为1？若存在，求出此时t 的值；若不存
在，请说明理由．
6．（2023·浙江金华·中考真题）如图，直线ݕR
ͷ
ʹ ݔܽ
ͷ与ݔ轴，ݕ轴分别交于点ܣ䁪虸，抛物线的顶点ܲ
在直线ܣ虸上，与ݔ轴的交点为ܥ䁪ܦ，其中点ܥ的坐标为ʹ䁪Ͳ ．直线虸ܥ与直线ܲ
ܦ相交于点ܧ．
(1)如图2，若抛物线经过原点R．
①求该抛物线的函数表达式；②求
虸ܧ
ܧܥ的值．
(2)连接ܲ
ܥ䁪סܥܲܧ与ס虸ܣR 能否相等？若能，求符合条件的点ܲ
的横坐标；若不能，试说明理由．
7．（2022·浙江杭州·中考真题）设二次函数ݕǡ R ʹݔʹܽ
ሻݔܽܿ
（b，c 是常数）的图像与x 轴交于A，B 两点．
(1)若A，B 两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数ݕǡ的表达式及其图像的对称轴．
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(2)若函数ݕǡ的表达式可以写成ݕǡ R ʹ ݔെ݄
ʹ െʹ（h 是常数）的形式，求ሻܽܿ
的最小值．
(3)设一次函数ݕʹ R ݔെ݉
（m 是常数）．若函数ݕǡ的表达式还可以写成ݕǡ R ʹ ݔെ݉
ݔെ݉
െʹ 的形式，
当函数ݕR ݕǡ െݕʹ的图像经过点ݔͲ䁪Ͳ 时，求ݔͲ െ݉
的值．
8．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)．
(1)求抛物线L1 的函数表达式．
(2)将抛物线L1 向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2 的顶点关于坐标原点O 的对称点在
抛物线L1 上，求m 的值．
(3)把抛物线L1 向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3 上，且y1＞
y2，求n 的取值范围．
9．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，已知点ܯݔǡ䁪ݕǡ 䁪ܰ
ݔʹ䁪ݕʹ 在二次函数ݕRࢧሺݔെʹ晦ʹ െǡሺͲ൐ࢧ晦的图
像上，且ݔʹ െݔǡ R ͵．
(1)若二次函数的图像经过点ሺ͵䁪ǡ晦．
①求这个二次函数的表达式；
②若ݕǡ R ݕʹ，求顶点到ܯܰ
的距离；
(2)当ݔǡ ൑ݔ൑ݔʹ时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N 在对称轴的异侧，求a 的取值范围．
考点03
二次函数建模及实际应用
1．（2026·浙江·中考真题）我国新能源汽车产销量连续多年位居全球第一．某公司测试一款新型电动汽
车的续航能力，在匀速行驶等理想状态下，收集到的数据如下：
行驶速度ݔ（km h）50
60
70
80
90
基础能耗ݕ（kW ڄ hȀ
ǡͲͲ km）
12.35
11.75
11.55
11.75
12.35
该款电动汽车的电池容量为͸ͲǤmͺ kW ڄ h，考虑到各种因素，实际能耗是基础能耗的1.2 倍
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实际续航里程R
电池容量（kWڄh）
实际能耗（kWڄhȀǡͲͲ km）ൈǡͲͲ．
(1)根据上述表格中的数据，在答题纸的坐标系中画出相应的点，
(2)请你根据（1）中点在坐标系中的分布特征，从一次函数、反比例函数、二次函数中，选出最符合基础能
耗ݕ与行驶速度ݔ之间关系的函数，并求出该函数表达式；
(3)当该款电动汽车匀速行驶时的速度在͸Ͳ kmȀh 和ͺͷ kmȀh 之间（含͸Ͳ kmȀh 和ͺͷ kmȀh）时，求其实际
续航里程的最小值．
2．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10 米/秒，经过䁠（秒）时球距
离地面的高度݄
（米）适用公式݄
R ǡͲ䁠െͷ䁠ʹ，那么球弹起后又回到地面所花的时间䁠（秒）是（
）
A．5
B．10
C．1
D．2
3．（2023·浙江温州·中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方ͺm 的A 处射门，球射向球门的路
线呈抛物线．当球飞行的水平距离为͸m 时，球达到最高点，此时球离地面͵m．已知球门高R虸为2.44m，
现以O 为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少
米射门，才能让足球经过点O 正上方2.25m 处？
4．（2023·浙江嘉兴·中考真题）根据以下素材，探究完成任务．
如何把实心球掷得更远？
素材1
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小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A 处被抛出，其路线是抛物线．点A 距离
地面ǡǤ͸m，当球到Rܣ的水平距离为ǡm 时，达到最大高度为ǡǤͺm．
素材2
根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方ǡm 处（如图）架起距离地面高为ʹǤmͷm 的横线．球从
点A 处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离RܥR ͺm．
问题解决
任务1
计算投掷距离
建立合适的直角坐标系，求素材1 中的投掷距离R虸．
任务2
探求高度变化
求素材2 和素材1 中球的最大高度的变化量
任务3
提出训练建议
为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．
5．（2023·浙江衢州·中考真题）某龙舟队进行500 米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图
1，图2 分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程ݏm 与时间䁠s 的近似函数图象．启航阶段的函数表
达式为ݏR݇
䁠ʹ്݇
Ͳ ；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速
期龙舟划行总路程ݏm 与时间䁠s 的函数表达式为ݏR݇
䁠െ͹Ͳ ʹ്݄ܽ݇
Ͳ ．
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(1)求出启航阶段ݏm 关于䁠s 的函数表达式（写出自变量的取值范围），
(2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s．
①当䁠R ͻͲs 时，求出此时龙舟划行的总路程，
②在距离终点125 米处设置计时点，龙舟到达时，䁠൑ͺͷǤʹͲs 视为达标，请说明该龙舟队能否达标；
(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s 将速度从5m/s 提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成
训练所需时间（精确到0.01s）．
6．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每千克30 元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可
知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）͵Ͳ ൑ݔ′ ͸Ͳ 存在一次函数关系，部分数据
如下表所示：
销售价格x（元/千克）
50
40
日销售量y（千克）
100
200
(1)试求出y 关于x 的函数表达式．
(2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W 元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x 为多少时，日
销售利润W 最大？最大的日销售利润是多少元？
7．（2022·浙江宁波·中考真题）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，
经过试验，其平均单株产量y 千克与每平方米种植的株数x（ʹ ൑ݔ൑ͺ，且x 为整数）构成一种函数关系．每
平方米种植2 株时，平均单株产量为4 千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1 株，单株
产量减少0.5 千克．
(1)求y 关于x 的函数表达式．
(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
8．（2022·浙江金华·中考真题）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与
需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量ݕǡ（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成
抛物线，其表达式为ݕǡ Rࢧݔʹܽܿ
，部分对应值如表：
售价x（元/千克）
…
2.5
3
3.5
4
…
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需求量ݕǡ（吨）
…
7.75
7.2
6.55
5.8
…
②该蔬菜供给量ݕʹ（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为ݕʹ R ݔെǡ，函数图象见图1．
③1~7 月份该蔬菜售价ݔǡ（元/千克），成本ݔʹ（元/千克）关于月份t 的函数表达式分别为ݔǡR
ǡ
ʹ 䁠ܽ
ʹ，ݔʹ R
ǡ
m 䁠ʹ െ
͵
ʹ 䁠ܽ
͵，函数图象见图2．
请解答下列问题：
(1)求a，c 的值．
(2)根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．
(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．
9．（2022·浙江温州·中考真题）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素
材
1
图1 中有一座拱桥，图2 是其抛
物线形桥拱的示意图，某时测得
水面宽ʹͲm，拱顶离水面ͷm．据
调查，该河段水位在此基础上再
涨ǡǤͺm 达到最高．
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素
材
2
为迎佳节，拟在图1 桥洞前面的
桥拱上悬挂mͲcm 长的灯笼，如
图3.为了安全，灯笼底部距离水
面不小于ǡm；为了实效，相邻
两盏灯笼悬挂点的水平间距均
为ǡǤ͸m；为了美观，要求在符
合条件处都挂上灯笼，且挂满后
成轴对称分布．
问题解决
任
务
1
确定桥拱形状
在图2 中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任
务
2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标
的最小值和横坐标的取值范围．
任
务
3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，
求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
10．（2022·浙江衢州·中考真题）如图1 为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线
Rܧ为ݔ轴，铅垂线Rܦ为ݕ轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度ݒሺmȀs晦从ܦ点滑出，运动轨迹近似
抛物线ݕRെࢧݔʹܽ
ʹݔܽ
ʹͲሺࢧ്
Ͳ晦．某运动员7 次试跳的轨迹如图2．在着陆坡ܥܧ上设置点ܭ（与ܦR 相
距32m）作为标准点，着陆点在ܭ点或超过ܭ点视为成绩达标．
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(1)求线段ܥܧ的函数表达式（写出ݔ的取值范围）．
(2)当ࢧR
ǡ
ͻ时，着陆点为ܲ
，求ܲ
的横坐标并判断成绩是否达标．
(3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度ݒ的大小有关，进一步探究，测算得7 组ࢧ与ݒʹ 的对应数据，在平面
直角坐标系中描点如图3．
①猜想ࢧ关于ݒʹ的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v 为多少m/s 时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s)？
（参考数据：͵ ൎǡǤ͹͵，ͷ ൎʹǤʹm）
11．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线݈
的方向行驶，为绿化带浇水．喷
水口ܪ离地竖直高度为݄（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系
中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形ܦܧܨܩ，其水平宽度ܦܧR ͵m，竖直高度为ܧܨ的
长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点ܣ离喷水口的水平距离为ʹm，高
出喷水口ͲǤͷm，灌溉车到݈
的距离Rܦ为݀
（单位：m）．
(1)若݄
R ǡǤͷ，ܧܨR ͲǤͷm；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程Rܥ；
②求下边缘抛物线与ݔ轴的正半轴交点虸的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求݀
的取值范围；
(2)若ܧܨR ǡm．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出݄
的最小值．
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1．
（2026·浙江绍兴·一模）在平面直角坐标系ݔRݕ中，点ܣെʹ䁪m ，虸͵䁪ͻ ，由线段ܣ虸与抛物线的一段ݕR ݔʹ
（െʹ ൑ݔ൑͵）组成的图形C，如图所示．若将图形C 上的一点P 先向右平移3 个单位，再向上平移1 个
单位后仍在图形C 上，则这样的点P 的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2026·浙江温州·二模）如图1，汽车制动性能测试包含匀速行驶阶段和刹车阶段，图2 是某次测试中
汽车离点A 的距离S（米）关于行驶时间t（秒）的函数图象．
①匀速行驶阶段：汽车从点A 出发，以ݒͲ的速度沿ܣ虸方向匀速行驶，2 秒后到达点C．
②刹车阶段：汽车自点C 处开始刹车，6 秒后在点D 处停止，这个过程中S 与t 满足关系：ܵRെ
ǡ
ʹࢧ䁠ʹܽ
ݒͲܽ
ǡͲ 䁠െǡͲ（a 为常数且ࢧ്
Ͳ）．
下列选项中正确的是（
）
A．ݒͲ R ͸Ͳ 米/秒
B．汽车行驶总时间为10 秒
C．ࢧR ͸
D．݊
R ǡͷͲ 米
3．（2026·浙江舟山·一模）在平面直角坐标系ݔRݕ中，点ʹ䁪݉
，͵䁪݊
在抛物线ݕRࢧݔʹܽ
ሻݔܽܿͲ൐ࢧ
上，抛物线的对称轴是直线ݔR 䁠，若݉
′݊
′ܿ，则t 的取值范围是（
）
A．䁠൐
ͷ
ʹ
B．
͵
ʹ ′ 䁠′
ͷ
ʹ
C．ǡ ′ 䁠′ ͵
D．
ǡ
ʹ ′ 䁠′
͵
ʹ
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4．（2026·浙江·一模）如图1，ᇞܣ虸ܥ中，סܣR ͵Ͳι，点P 从A 点出发沿折线ܣെܥെ虸运动，点Q 从点
A 出发沿线段ܣ虸运动，P，Q 两点同时出发，当某一点运动到B 时，另一点同时停止运动，已知点P 的速
度为ʹ cm s，点Q 的速度为ǡ cm s，设P 点运动时间为ݔs ，ᇞܣܲܳ
的面积为ݕcmʹ ．如图2 是ݕ关于
ݔ的函数图象，下列选项正确的是（
）
A．݉
R m
B．虸ܥR ǡʹ
C．y 的最大值为2.75
D．点ͷ䁪
ͷ
m 在该函数图象上
5．
（2026·浙江杭州·一模）已知点ܣʹ䁪െ͸ ，虸͸䁪െm ，ܥ͵䁪݉
均在抛物线的图象上ݕRࢧݔʹܽ
ሻݔܽܿࢧ്
Ͳ ，
且െ͹ ൑݉
൑െ͸，点݊
䁪ݕǡ 和݊ܽ
ǡ䁪ݕʹ 也在此抛物线上，则下列说法正确的是（
）
A．若ݕǡ ′ ݕʹ恒成立，则݊
′ ʹ
B．若ݕǡ ′ ݕʹ恒成立，则݊
൐ʹ
C．若ݕǡ ൐ݕʹ恒成立，则݊
൐ʹ
D．若ݕǡ ൐ݕʹ恒成立，则݊
′ ʹ
6．（2026·浙江·模拟预测）若一个点的纵坐标是横坐标的2 倍，我们称这个点为二倍点．若二次函数ݕR ݔʹ െ
ʹݔܽܿ
（c 为常数）在െǡ ൑ݔ൑ʹ 的图象上有且仅有一个二倍点，则c 的取值范围是（
）
A．ܿR m
B．ܿ൒െͷ
C．െͷ ൑ܿ
൑m
D．ܿ൒m
7．（2026·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，ܣ，虸两点的坐标分别为ǡ䁪ǡ ，m䁪ǡ ．若二次函
数ݕR ݔെሻʹܽ
ሻെʹ 的图象与线段ܣ虸有交点，则该抛物线与ݕ轴交点的纵坐标݊
的取值范围是（
）．
A．െʹ ൑݊
൑͸
B．െʹ ൑݊
൑ǡͲ
C．െ
ͷ
ʹ ൑݊
൑ͻ
D．െ
ͻ
m ൑݊
൑ǡͲ
8．（2026·浙江·模拟预测）同一平面直角坐标系中，抛物线ݕR ݔെ
ǡ
ʹ
ʹܽ
ݔെ
͵
ʹ
ʹ
与ݕRെݔܽ݉
ʹ െݔܽ݊
ʹ关于原点成中心对称，则代数式݉ܽ
ʹ ʹܽ݊ܽ
ʹ ʹ的值为______．
9．（2026·浙江宁波·模拟预测）冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1 是实景照片，图2 是截面示意图）．一
名运动员在某次训练的技术分析如图（图3 所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4 是该段抛物
线在以着陆坡的最低点虸所在水平直线为ݔ轴、起跳点ܣ所在直线为ݕ轴建立的平面直角坐标系中的示意
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图）【注：ܣ虸的长为25 米，סܣ虸R R ͵͹ι，tan͵͹ι ൎͲǤ͹ͷ．】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着
陆坡的最低点虸处，设抛物线的函数表达式为ݕRࢧݔʹܽ
ሻݔܽܿ
，平行于ݕ轴的直线与抛物线、着陆坡分别
交于点ܥ，ܦ，则下列所作技术分析正确的是（
）
A．着陆坡的水平宽度R虸R ǡͺǤ͹ͷ 米
B．点ܣ的坐标为Ͳ䁪ǡʹ
C．ሻRെʹͲࢧെ
͵
m
D．当ܥܦ的最大值为10 米时，ࢧRെ
͵
ʹͲ
10．（2026·浙江·模拟预测）已知二次函数ݕRࢧݔʹ െʹܽݔࢧ
ࢧെm（Ͳ൐ࢧ），其函数图象顶点为P．
(1)记与y 轴交点为A，求直线ܲ
ܣ的函数表达式（含a 的代数式表示）．
(2)若将点P 向上平移4 个单位，向右平移2 个单位，还是在该函数图象上．
①求a 的值．
②当݉
െʹ ൑ݔ൑݉
时，该函数的最大值与最小值的差为ʹ݉
，求m 的值．
11．（2026·浙江湖州·模拟预测）定义：对于y 关于x 的函数，在ࢧ൑ݔ൑ሻࢧ′ ሻ范围内，函数的最大值
记作M，最小值记作m．
(1)对于一次函数ݕR ʹݔܽ
ǡ，在Ͳ ൑ݔ൑͵ 的范围内，分别求出M 和m 的值．
(2)对于二次函数ݕR ݔʹ െʹݔെ͵，甲、乙两位同学有以下说法：
甲同学说：“在Ͳ ൑ݔ൑͵ 的范围内，ܯR Ͳ，݉
Rെ͵．”
乙同学说：“在Ͳ ൑ݔ൑䁠的范围内，若ܯെ݉
R m，则ܯR Ͳ，݉Rെm．”
甲、乙两位同学的说法正确吗?请分别作出判断
．．．．．．，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由
12．（2026·浙江杭州·模拟预测）【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运
动路线近似为抛物线．
【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI 分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了
实心球的几组水平距离ݔ（单位：m）和竖直高度ݕ（单位：m）的对应值，并建立直角坐标系，画出了部
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分图象如图．
设抛物线的表达式为ݕRࢧݔെ݉
ʹܽ݇
．
ݔ
…
ͲǤͺ
ʹǤ͵
͵Ǥͺ
ͷǤ͵
͸Ǥͺ
…
ݕ
…
ʹǤ͹
͵Ǥ͵͹ͷ
͵Ǥ͸
͵Ǥ͵͹ͷ
ʹǤ͹
…
(1)【建立模型】求出抛物线的函数表达式；
(2)【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离；
(3)【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项
系数变为
ͷ
͸ࢧ，顶点为݉
െͲǤǡ䁪݇െͲǤǡ ，通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10 米．
13．（2026·山东青岛·一模）请根据以下素材，完成探究任务．
汉服承载着华夏民族数千年的礼仪衣冠体系，其“交领右衽”“天人合一”的设计理念，凝结了东方美学的智慧
结晶．从盛唐气象到宋明风韵，不同形制的演变映射着时代精神风貌．今有某传统服饰工坊，以匠心复刻
唐制齐胸襦裙之飘逸、宋制褙子之雅致、明制袄裙之端庄，邀您共探传统工艺与现代经营的数学奥秘．
制定汉服加工方案
生
产
背
景
背
景
1
（1）某汉服工坊安排60 名工匠承接订单，主打三类经典形制：唐制·齐胸襦裙（象征开放包容
的盛世气度）、宋制·褙子套装（体现简约理性的文人审美）、明制·袄裙（彰显严谨庄重的礼制
规范）；
（2）根据非遗技艺要求，每位工匠每日仅能专精一种类型：唐制人均日产3 套，宋制人均日产
2 套，明制人均日产1 套；
（3）客户合同约定：宋制汉服至少交付15 套；明制与唐制产能需严格匹配，按套数ǡ套ǡ 供应高
端团购单．
背
景
当前市场行情下各款式获利情况如下：
①唐制布料成本低和走量销售，单套净利润30 元；
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②明制采用云锦面料和手工镶边，单套净利润90 元；
③宋制实行差异化定价：当每日生产15 套时，每套获利120 元；在此基础上，每多生产1 套，
平均每套获利减少3 元．
信息整
理
现规划x 名匠人主攻宋制，y 名匠人负责唐制，其余匠人负责明制，列表如下：
汉服类型
加工人数
人均日产量/套
单套净利润/元
唐制
y
3
30
宋制
x
2
明制
1
90
探究任务
任务1：探寻变量关系
(1)根据合同约束，求x，y 之间的数量关系．
任务2：建立数学模型
(2)设该汉服工坊每日总利润为W 元，求W 关于x 的函数表达式．
任务3：拟定最优方案
(3)确定使每日总利润最大的分配方案．