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专题07 圆
1 年真题1 年模拟·答案版
考点01 垂径定理、圆心角、圆周角、圆内接多边形性质
1．B
2．B
3．B
4．A
5．56
6．0.2 或0.8/或0.8 或0.2
7．(1)证明：连接OC ，则OC
OB
=
，
∴
OCB
OBC
=
，
∵过点C 作
O 的切线交AB 的延长线于点D ，
∴OC
CD
⊥
，
∴
90
BCD
OCB
+
=
，
∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ACB
=
，
∴
90
CAD
ABC
+
=
，
∵
OCB
OBC
=
，即：
OCB
ABC
=
，
∴
CAD
BCD
=
；
(2) 8 30
7
考点02 点、直线与圆位置关系，切线判定证明、切线性质
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1．A
2．21
8
2
7
t
t
−
−
3．(1)4 2 ；
(2)证明：连接OE ，
∵点G 在EF 的垂直平分线上，
∴GE
GF
=
，
∴
GEF
GFE
=
，
∵
GFE
AFH
=
，
∴
GEF
AFH
=
，
∵CD
AB
⊥
，
∴
90
AHF
=
，
∴
90
A
AFH
+
=
，
∵OA
OE
=
，
∴
A
OEA
=
，
∴
90
OEA
GEF
+
=
，
∴
90
OEG
=
，
∴OE
EG
⊥
，
∵OE 是
O 半径，
∴EG 是
O 的切线。
4．(1)证明：如图所示，连接OC ，
OB
OC
=
，
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B
BCO
=
，
ACD
B
= ，
ACD
BCO
=
．
AB 为
O 的直径，
90
ACB
=
，
90
ACO
BCO
+
=
．
90
ACD
ACO
+
=
，即
90
OCD
=
，
又
OC 是
O 的半径，
CD
为
O 的切线；
(2) 2
5．(1)证明：连接OC ，如图所示：
∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ACB
=
，
∴
90
CAB
ABC
+
=
，
∵
BCH
CAB
=
，
∴
90
BCH
ABC
+
=
，
∵OC
OB
=
，
∴
OCB
OBC
=
，
∴
90
BCH
OCB
+
=
，即
90
OCH
=
，
∴OC
CH
⊥
，
∵OC 是
O 的半径，
∴CH 为
O 的切线．
(2)证明：∵D 是AC 的中点，
∴AD
CD
=
，
∴
ABD
DAC
=
，
∵DE
AB
⊥
，AB 是
O 的直径，
∴
90
ADB
AED
=
=
，
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∴
90
ADE
DAE
DAE
ABD
+
=
+
=
，
∴
ADE
ABD
DAC
=
=
，
∴AF
DF
=
．
(3)
10
AD =
6．(1)证明：连接DC ，
ECA
B
BAC
=
+
，
EAB
CAE
BAC
=
+
，
∵
ECA
EAB
=
，
B
BAC
CAE
BAC
+
=
+
，
B
CAE
=
，
AD 是
O 的直径，
90
ACD
=
，
90
D
DAC
+
=
，
B
D
=
，
CAE
D
=
，
90
CAE
DAC
+
=
，
DA
AE
⊥
，
AE
是
O 的切线．
(2)3 2
7．(1)证明：∵四边形ABCD内接于
O ，
∴
180
ADC
ABC
+
=
，
∵
180
ADC
EDC
+
=
，
∴
EDC
ABC
=
，
∵AC
BC
=
，
∴
BAC
ABC
=
，
BDC
BAC
=
，
∴
BDC
EDC
=
，
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∴DC 平分
BDE
．
(2)证明：连接OC ，
∵OC
OD
=
，
∴
ODC
OCD
=
，
由（1）可知，
ODC
EDC
=
，
∴
OCD
EDC
=
，
∴OC
DE ，
∵CE
DE
⊥
，
∴OC
CE
⊥
，
∵OC 是
O 的半径，
∴CE是
O 的切线．
(3)
30
11
DF =
8．(1)证明：如图，连接
,
OC OF ，
在BOC和FOC中，
∵
,
,
OC
OC OB
OF BC
FC
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
BOC
FOC
≌
，
∴
OFC
OBC
=
，
∵
90
ABC
=
，
∴
90
OFC
=
，
∵OF 为半径，
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∴CF 为半圆O的切线；
(2)10 2
3
9．(1)解：OB
OC
⊥
，理由如下：
如图所示，连接
,
,
OE OF OG ，
，
∵AB ，BC ，CD分别与
O 相切于E ，F ，G 三点，
∴
90
OEB
OFC
OGC
=
=
=
，
在Rt
OBE
△
和Rt
OBF
△
中，
OE
OF
OB
OB
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
OBE
OBF
≌
，
∴
EOB
FOB
=
，
同理可证Rt
Rt
OFC
OGC
≌
，
∴
FOC
GOC
=
，
∵
2
2
2
180
EOB
FOB
FOC
GOC
FOB
FOC
BOC
+
+
+
=
+
=
=
，
∴
90
BOC
=
，
即OB
OC
⊥
．
(2)
O 的半径为12
5
10．(1)证明：连接OD，
AOD
与
B
分别是弧AD 所对的圆心角和圆周角，
2
AOD
B
= ，
又
2
180
C
B
+ =
，
180
AOD
C
+
=
，
在四边形OACD中，
360
OAC
C
ODC
AOD
++
+
=
，
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360
180
180
OAC
ODC
+
=
−
=
，
AC 为
O 的切线，AB 为直径，
OA
AC
⊥
，即
90
OAC
=
，
180
90
ODC
OAC
=
−
=
，即OD
CD
⊥
，
又
OD 为
O 的半径，
CD
是
O 的切线．
(2)10
11．(1)90
(2)证明：由（1）知
90
BCE
=
，
∴EB 是BCE 的外接圆的直径，设圆心为点O，连接OC ，
∵AC
BC
=
，
120
ACB
=
，
∴
180
30
2
ACB
B
CAB
−
=
=
=
∵OC
OB
=
，
∴
30
OCB
B
= =
∴
90
ACO
ACB
OCB
=
−
=
，
∵OC 为半径，
∴AC 与BCE 的外接圆相切；
(3)解：
2
PA
PD
=
，理由如下：
连接OP ，设OP
OE
OC
R
=
=
=
，
∵
30 ,
90
CAB
ACO
=
=
∴
2
2
AO
CO
R
=
=
，
∵CE
CE
=
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∴
2
60
COE
B
= =
∵CA
CB
=
，点D 是AB 中点，
∴CD
AB
⊥
∴
90
30
DCO
COE
=
−
=
，
∴
1
1
2
2
OD
OC
R
=
=
，
∴
2
2
1
2
2
OD OA
R
R
R
OP
=
=
=
∴OD
OP
OP
OA
=
∵
DOP
POA
=
∴
DOP
POA
△
∽△
∴
1
2
2
PD
OP
R
PA
OA
R
=
=
=
，
∴
2
PA
PD
=
．
12．(1) PB 与
O 相切，理由如下：
连接AO，
∵PA 与
O 相切，
∴
90
PAO
=
．
∵AC
OP
∥
，
∴
,
AOP
OAC
ACO
POB
=
=
．
∵OA
OB
OC
=
=
，
∴
OAC
ACO
=
，
∴
AOP
POB
=
．
∵OP
OP
=
，
∴PAO
PBO
≌
，
∴
90
PBO
PAO
=
=
，
∴PB
BO
⊥
，
∴PB 与
O 相切；
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(2)
3
13．(1)证明：连接OC ，
∵OA
OC
=
∴
OAC
OCA
=
∵
BCF
BAC
=
∴
BCF
OCA
=
∵AB 是
O 的直径
∴
90
ACB
=
∴
90
OCA
OCB
+
=
∴
90
BCF
OCB
OCF
+
=
=
又∵点C 在
O 上
∴CF 是
O 的切线；
(2)10
3
14．(1)证明：连接OD
AB 是
O 的直径，弦CD
AB
⊥
于点E，
BC
BD
=
，
90
BOD
ODE
+
=
，
2
BOD
A
= ，
2
90
A
ODE
+
=
，
1
2
A
CDG
=
，
2
CDG
A
= ，
90
CDG
ODE
+
=
，
90
ODG
=
，
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DG
是
O 的切线；
(2) 5
4
考点03 弧长、扇形面积、圆锥侧面积与全面积计算、阴影面积
1．D
2．C
3．13
4．
8
6 3
3
−
5．(
)
4π
8
−
/(
)
8
4
−+
6．(1)①证明：如图1 所示，连接
,
AD OD ，
∵AB 为
O 的直径，
∴
90
ADB
=
，即AD
BC
⊥
，
∵AC
AB
=
，
∴CD
BD
=
，即点D 为BC 的中点，
又∵点O 为AB 的中点，
∴OD是ABC的中位线，
∴OD
AC ，
∵DM
AC
⊥
，
∴DM
OD
⊥
，
∵OD是
O 的半径，
∴DM 是
O 的切线；
②
9 3
3π
4
−
(2) 2
考点04 圆与三角形、四边形、相似简单综合计算
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1．B
2．4 10
2
−
3．4 5
2 2
−
4．①③⑤
6．(1)证明：∵AB 为的
O 直径，
∴
90
ACB
=
，即
90
ACD
BCD
+
=
又∵CD
AB
⊥
，
∴
90
BCD
ABC
CAB
=
−
=
∵CE
CB
=
∴
CBE
CAB
=
∴
90
ACD
CBE
+
=
；
(2)
O 的半径为18，
10 11
BE =
7．(1)30
(2) 7
(3) 4 2
2 3
−
或2 6
2
+
8．(1)证明：∵D 为BC 中点，E 在OD的延长线上，
∴OE
BC
⊥
，
∵EM
BC ，
∴OE
EM
⊥
，
∴EM 是
O 的切线；
(2) PC
PA PB
=
+
或PC
PB
PA
=
−
，理由如下：
当点P 在AB 上时，如图，在PC 上取点T 使得，PT
PA
=
∵ABC是等边三角形，
∴
60
ABC
ACB
=
=
，AB
AC
=
，
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∵AC
AC
=
，
∴
60
APC
ABC
=
=
，
∴
APT
△
是等边三角形，
∴AT
AP
=
，
60
PTA
=
，
∴
120
ATC
=
，
∵四边形APBC是
O 的内接四边形，
∴
180
APB
ACB
+
=
，
∴
120
APB
=
，
∴
APB
ATC
=
，
又∵AP
AP
=
，
∴
ABP
ACT
=
，
∴
(
)
ABP
ACT AAS
≌
，
∴PB
TC
=
，
∴PC
PT
TC
PA
PB
=
+
=
+
；即PC
PA PB
=
+
，
当点P 在AC 上时，如图所示，在CP 的延长线上取PS
PA
=
，
同理可得
60
APB
ACB
=
=
，
∵四边形APBC是
O 的内接四边形，
∴
180
APB
ACB
+
=
，
∴
120
APB
=
，
∴
60
APS
=
，
∴
APS
△
是等边三角形，
∴
S
APB
=
，
又∵AB
AC
=
，
ABP
ACP
=
，
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∴
(
)
SAC
PAB AAS
≌
，
∴PB
SC
PC
PS
PC
PA
=
=
+
=
+
，即PC
PB
PA
=
−
；
9．(1)相等，等底等高的三角形面积相等
(2)
点D 的运动路径是以线段OA为直径的圆（不包含点A ）．
证明：连接OD，
∵O是AB 中点，D 是AC 的中点，
∴OD是ABC的中位线
∴OD
BC ．
又∵AB 是直径
∴
90
ACB
=
，
∴
90
ADO
ACB
=
=
，
∴点D 在以OA为直径的圆上．
又∵点A 、C 不重合，故点D 不与点A 重合，
∴点D 的运动路径是以线段OA为直径的圆（不包含点A ）．
(3)8
1．A
2．C
3．C
4．A
5．C
6．B
14 / 16
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7．A
8．A
9C
10．24 3
+
11．2 5
12．200
13．9π
3 3
4
2
−
14．2 5
2
−
/ 2
2 5
−+
15．11
16．(1)证明：如图，连接OD，
AB 是
O 的直径，
OA
OB
=
，
DC
AD
=
，
OD
是ABC的中位线，
OD
BC
∥
，
DE
BC
⊥
，
DE
OD
⊥
，
又
OD 是
O 的半径，
DE
是
O 的切线；
(2) 4π
3
3 −
17．(1)证明：∵BD 是
O 的切线，
∴AB
BD
⊥
，
∴
90
ABC
DBC
+
=
，
∵OF
BC
⊥
，
∴
90
D
DBC
+
=
，
∴
D
ABC
=
，
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又∵
ABC
AEC
=
，
∴
D
AEC
=
；
(2)证明：如图，连接AC ，
∵OF
BC
⊥
，
∴BE
CE
=
，
∴
ECB
EAC
=
，
又∵
CEH
AEC
=
，
∴CEH
AEC
∽
，
∴CE
HE
AE
CE
=
，
∴
2
CE
EH EA
=
．
18．(1)证明：
点D 是AB 的中点，
∴AD
BD
=
，
BCE
ACE
=
；
AC 是
O 的直径，
90
ABC
=
，
90
BEC
BCE
+
=
，
FC
FE
=
，
FCE
FEC
=
，
90
FCE
ACE
+
=
，
90
OCF
=
．
CO是
O 的半径，
CF
是
O 的切线．
(2)
10
AE =
；
2 5
DE =
19．(1)10
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(2) 4
3
(3)64
20．(1)证明：以AB 为直径的
O 交AC 于点D，M 是BC 的中点，如图1，连接OD 、BD 、OM ，
90
ADB
CDB
=
=
，
BM
DM
CM
=
=
，
MDB
MBD
=
，
OB
OD
=
，
ODB
OBD
=
，
90
MBD
OBD
ABC
+
=
=
Q
，
90
ODM
MDB
ODB
=
+
=
，
∵OD是
O 的半径，
∴MD 是
O 的切线；
(2)①7；②
10 2
DQ =
