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专题08 图形变换、投影与视图
1 年真题1 年模拟
考点分类
四川考情（2026）
命题规律
考点01 轴对称图
形与中心对称图形
2026 年巴中、甘孜、内
江、自贡、宜宾中考真
题
全部为选择题，自贡试题结合本地灯会灯组特色
命题；核心考查两类对称图形区分，常搭配五角
星、奥运五环、正方形内嵌圆形等经典图案；基
础概念辨析，无复杂计算，是试卷开篇送分小题，
陷阱集中在仅单一对称的图形判断。
考点02 平移、轴对
称、旋转、折叠的
性质与线段角度计
算
2026 年凉山、遂宁、内
江、宜宾、甘孜、泸州、
广元中考真题
覆盖选择、填空、解答全题型；融合正方形折叠、
函数图像旋转、折纸制作五角星实践探究；常联
动反比例、一次函数综合设问，依托旋转全等求
线段、角度，折纸实操类综合题为特色大题，侧
重图形等量转化。
考点03 最短路径
（将军饮马、折叠
最值）
2026 年南充、宜宾、乐
山中考真题
以填空结论辨析、函数几何解答题为主；依托正
方形、一次与反比例函数组合构图，结合轴对称
转化线段求周长、线段最小值；搭配翻折分类讨
论取值范围，综合度较高，是本专题中档区分题
型。
考点04 位似图形、
变换后的坐标变化
2026 年达州、巴中、自
贡、成都、凉山、广安、
甘孜中考真题
以坐标变换填空、选择为主，涵盖对称、旋转、
平移、位似坐标改写；创新平行四边形连杆机械
模型探究大题，结合旋转、平移综合求图形面积，
将坐标变换与生活机械模型结合，跨情境探究特
征明显。
考点05 三视图识
2026 年泸州、攀枝花、
凉山、广元、遂宁、甘
全省广泛考查，统一为选择题；素材包含化学漏
斗、螺栓、良渚玉器等实物模型，考查主/左/俯
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别、简单几何体 孜、广安、成都、乐山、
自贡、达州中考真题
视图识别、立体展开图、几何体判断；仅基础识
图，计算量极低，稳定作为基础送分题型。
考点01 轴对称图形与中心对称图形
1．（2026·四川巴中·中考真题）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：A 选项，五角星是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B 选项，太极图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C 选项，奥运五环是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D 选项，该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意．
2．（2026·四川甘孜·中考真题）下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形（沿一条直线折叠，直线两侧部分能完全重合）以及中心对称图形（绕中心点旋
转180后，能与原图完全重合）的定义，对四个选项的图案逐一进行判断．
【详解】解：选项A、图案是五角星，存在对称轴，是轴对称图形；绕中心旋转180后角的位置发生改变，
无法和原图重合，不是中心对称图形，不符合题意；
选项B、图案整体呈正六边形结构（中间为六角星，周围为六个六边形），存在多条对称轴，是轴对称图
形；绕图案中心旋转180，图案各部分均能和原图完全重合，是中心对称图形，符合题意；
选项C、图案是三叶螺旋形状，找不到对称轴，不是轴对称图形；绕中心旋转180后叶片位置错位，无法
和原图重合，不是中心对称图形，不符合题意；
选项D、图案是圆内S 形，绕中心旋转180后能和原图重合，是中心对称图形；找不到一条直线使折叠后
两侧完全重合，不是轴对称图形，不符合题意．
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3．（2026·四川内江·中考真题）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形.
4．（2026·四川自贡·中考真题）自贡灯会素有“天下第一灯”的美誉．下面四幅灯组图案中，属于轴对称图
形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图
形就叫做轴对称图形，对各选项进行判断即可．
【详解】A. 该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B. 该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C. 该图形能找到一条竖直的对称轴，沿对称轴折叠后左右两部分能完全重合，是轴对称图形，故本选项符
合题意；
D. 该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
5．（2026·四川宜宾·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形
B．梯形
C．正方形
D．正五边形
【答案】C
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；
把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对
称图形，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、梯形不一定是轴对称图形，且所有的梯形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
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D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
考点02 平移、轴对称、旋转、折叠的性质与线段角度计算
1．（2026·四川凉山·中考真题）下列各组图形，可以通过平移变换，由一个图形得到另一个图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据平移的性质：平移变换不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置，进行判断即可．
【详解】解：∵平移变换不改变图形的形状、大小和方向
∴观察各组图形可知：A 选项中图形方向发生了改变，不符合题意；
C 选项中图形大小发生了改变，不符合题意；
D 选项中图形方向发生了改变，不符合题意；
B 选项中图形的形状、大小和方向都没有发生变化，符合题意．
2．（2026·四川凉山·中考真题）如图，将ABC在平面内绕点B 逆时针旋转到
A BC
△
的位置，AC 与A C
交于点E ，AC 与BC交于点F ，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．AE
EF
=
B．
ABA
CBC
=
C．ABC
A BC
≌
D．BCF
EC F
∽
【答案】A
【详解】解：由旋转的性质可得，ABC
A BC
≌
，
ABA
CBC
=
，
∴选项B 与选项C 不符合题意，
∵ABC
A BC
≌
，
∴
C
C
= ，
又∵
BFC
EFC
=
，
∴BCF
EC F
∽
，故选项D 不符合题意，
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在旋转的过程中，AE
EF
=
不一定成立，故A 符合题意．
3．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
5,
12
B
AB
BC
=
=
=
，点M 是边AC 的中点．将
ABC绕着点A 逆时针旋转到ADE 的位置，点D 恰好在边AC 上，点M 是点M 的对应点，则M
M
、
两
点间的距离为（ ）
A．2 5
B．2 13
C．4 5
D．4 13
【答案】B
【分析】过点M 作M N
AD
⊥
，由题意易得
2
2
13
AC
AB
BC
=
+
=
，则有
5
12
cos
,sin
13
13
AB
BC
BAC
BAC
AC
AC
=
=
=
=
，然后根据旋转的性质可知
13,
2
AM
AM
BAC
MAM
=
=
=
，进
而根据三角函数及勾股定理可进行求解．
【详解】解：过点M 作M N
AD
⊥
，如图所示：
∵
90 ,
5,
12
B
AB
BC
=
=
=
，
∴
2
2
13
AC
AB
BC
=
+
=
，
∴
5
12
cos
,sin
13
13
AB
BC
BAC
BAC
AC
AC
=
=
=
=
，
∵点M 是边AC 的中点，
∴
1
13
2
2
AM
CM
AC
=
=
=
，
由旋转可知：
13,
2
AM
AM
BAC
MAM
=
=
=
，
∴
13
5
5
cos
,
sin
6
2
13
2
AN
AM
MAM
M N
AM
MAM
=
=
=
=
=
，
∴
4
MN
AM
AN
=
−
=
，
∴
2
2
2 13
MM
M N
MN
=
+
=
．
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4．（2026·四川内江·中考真题）如图，将反比例函数
k
y
x
=
（
0
k ，
0
x
）的图象绕点O 顺时针旋转45，
旋转后的图象与x 轴交于点(
)
6,0
A
，则k =_________．
【答案】18
【分析】作出点A 旋转前的对应点B ，根据旋转的性质可得
6
OB
OA
=
=
，过点B 作BC
x
⊥
轴于点C ，
根据勾股定理求出
3 2
BC
OC
=
=
，即可得出点B 的坐标，再用待定系数法求解即可．
【详解】解：如图，作出点A 旋转前的对应点B ，
45
BOA
=
，
∵(
)
6,0
A
，
∴
6
OB
OA
=
=
，
过点B 作BC
x
⊥
轴于点C ，
∴
2
3 2
2
BC
OC
OB
=
=
=
，
∴(
)
3 2,3 2
B
，
把(
)
3 2,3 2
B
代入
k
y
x
=
，得
3 2 3 2
18
k =
=
．
5．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，
135
ABC
=
，
8
AB
BC
+
= ，将AC 绕点A 逆时针旋转90得到AD ．连
接BD ，则BD 的最小值为________．
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【答案】8 6
3
/ 8
6
3
【分析】首先构造辅助线与全等三角形，将BD 转化为CE ；再用代数表达式表示CE 的长度；最后通过二次
函数的性质求CE的最小值，即BD 的最小值．
【详解】解：过A 作AE
AB
⊥
，使AE
AB
=
，连接CE 、BE ．
∴
45
ABE
AEB
=
=
,
∵
135
ABC
=
，
∴
90
CBE
ABC
ABE
=
−
=
；
又
8
AB
BC
+
= ，
设AB
m
=
，则
8
BC
m
=
−
．
由旋转性质，得AD
AC
=
，
90
DAC
=
，
90
BAD
CAE
BAC
=
=
−
，
又AE
AB
=
,
(
)
SAS
DAB
CAE
≌
，
∴BD
CE
=
．
在Rt BAE中，
=
+
=
=
2
2
2
2
BE
AB
AE
AB
m ，
在Rt
CBE
△
中，由勾股定理得，
2
2
2
CE
BC
BE
=
+
代入
8
BC
m
=
−
、
2
BE
m
=
，
化简得：
2
2
2
2
2
8
128
(8
)
2
3
16
64
3
3
3
CE
m
m
m
m
m
=
−
+
=
−
+
=
−
+
，
∵3
0
，
∴抛物线开口向上，
故当
8
3
m =
时，
2
CE 取最小值128
3 ，故
128
8 6
3
3
CE
=
=
最小
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，即
8 6
3
BD
=
最小
．
6．
（2026·四川甘孜·中考真题）如图，将边长为3 的正方形ABCD绕点A 逆时针旋转30，得到正方形AEFG ，
EF 交CD于点H ，则四边形ADHE 的面积为______．
【答案】3 3
【分析】连接AH ，根据旋转的性质可得AE
AD
=
，
90
E
D
=
=
，利用HL 证明Rt
Rt
AEH
ADH
≌
，
从而得出
EAH
DAH
=
，结合旋转角求出
DAH
的度数，在Rt ADH 中利用三角函数求出DH 的长，最
后根据四边形面积等于两个三角形面积之和求解即可.
【详解】解：连接AH ，
四边形ABCD是边长为3 的正方形，
3
AB
AD
=
=
，
90
BAD
D
=
=
，
由旋转的性质可知：
3
AE
AB
=
= ，
30
BAE
=
，
90
AEF
B
=
=
，
点H 在EF 上，
90
AEH
=
，
AE
AD
=
，
90
AEH
D
=
=
，
90
BAD
=
，
30
BAE
=
，
90
30
60
DAE
BAD
BAE
=
−
=
−
=
；
在Rt AEH 和Rt ADH 中，
{𝐴𝐻= 𝐴𝐻
𝐴𝐸= 𝐴𝐷，
∴
(
)
Rt
Rt
AEH
ADH HL
≌
，
1
30
2
EAH
DAH
DAE
=
=
=
，
在Rt ADH 中，tan
DH
DAH
AD
=
，
3
tan30
3
3
3
DH
AD
=
=
=
，
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四边形ADHE 的面积
2
AEH
ADH
ADH
S
S
S
=
+
=
1
2
2 AD DH
=
3
3
=
3 3
=
.
7．（2026·四川泸州·中考真题）如图，一次函数
3
6
y
x
=
−
的图象与反比例函数
(
0)
m
y
m
x
=
的图象交于第
一象限的点A，且点A 到y 轴的距离为4．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)将点A 向上平移4 个单位长度得到点B，点D 在y 轴上，BD 与反比例函数的图象交于点C，若
3
CD
BC
=
，
求点D 的坐标．
【答案】(1)
24
y
x
=
(2)
(
)
0,2
D
【分析】（1）先求解(
)
4,6
A
，再代入反比例函数解析式求解m 即可；
（2）先求解(
)
4,10
B
，过C 作CE
y
⊥
于点E ，过B 作BF
y
⊥
轴于点F ，证明DCE
DBF
V
V
∽
，可得
DC
CE
DE
DB
BF
DF
=
=
，求解
3
CE =
，可得
(
)
3,8
C
，求解直线BC 为
2
2
y
x
=
+
，进一步可得答案．
【详解】（1）解：∵一次函数
3
6
y
x
=
−
的图象与反比例函数
(
0)
m
y
m
x
=
的图象交于第一象限的点A，且
点A 到y 轴的距离为4．
∴
4
A
x =
，
3 4
6
6
A
y =
?
=
，即(
)
4,6
A
，
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∴6
4
m
=
，
解得：
24
m =
，
∴反比例函数的解析式为
24
y
x
=
．
（2）解：∵点A 向上平移4 个单位长度得到点B，
∴(
)
4,10
B
，
如图，过C 作CE
y
⊥
于点E ，过B 作BF
y
⊥
轴于点F ，
∴CE
BF
∥
，
∴DCE
DBF
V
V
∽
，
∴DC
CE
DE
DB
BF
DF
=
=
，
∵
3
CD
BC
=
，
4
BF =
，
∴
3
4
DC
DB =
，
∴
3
4
4
CE =
，
∴4
12
CE =
，
∴
3
CE =
，
∴
3
C
x =
，
24
8
3
C
y =
=
，即
(
)
3,8
C
，
设直线BC 为y
kx
b
=
+
，
∴
4
10
3
8
k
b
k
b
ì
+
=
ïïíï
+
=
ïî
，
解得：
2
2
k
b
=
=
，
∴直线BC 为
2
2
y
x
=
+
，
当
0
x =
，
2
y =
，
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∴
(
)
0,2
D
．
8．（2026·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数
1
2
y
x
b
=
+
的图象与x 轴，y 轴
分别交于A ，B 两点，与函数
(
)
4
0
y
x
x
=
的图象交于点(
)
,2
C a
．
(1)求a，b 的值；
(2)将线段AB 绕点A 逆时针旋转90到AD ，连接BD ，将ABD 沿直线AB 平移，当点D 的对应点E 恰好落
在函数
(
)
4
0
y
x
x
=
的图象上时，求点E 的坐标．
【答案】(1)
2,
1
a
b
=
=
(2) (
)
1,4
E
【分析】（1）先利用反比例函数的解析式求出a 的值得到点C 的坐标，将点C 的坐标代入一次函数的解析
式中，求出b 的值；
（2）先求出点A、B 的坐标，过点D 作DE
x
⊥
轴于点E，证明
(
)
ADE
BAO AAS
≌
，由此求出点D 的坐
标，由平移知
//
DE AB ，可求出直线DE 的解析式，再求出直线DE 与反比例函数
(
)
4
0
y
x
x
=
的图象交点即
为点E 的坐标．
【详解】（1）解：将点(
)
,2
C a
代入
4
y
x
=
中，得2
4
a =
，
解得
2
a =
，
∴
(
)
2,2
C
，
将
(
)
2,2
C
代入
1
2
y
x
b
=
+
中，得
1
b = ；
（2）由（1）知
1
1
2
y
x
=
+ ，
令
0
x =
得
1
y = ；令
0
y =
得
2
x = −，
∴(
)
(
)
0,1 ,
2,0
B
A −
，
∴
1,
2
OB
OA
=
=
，
过点D 作DE
x
⊥
轴于点E，
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由旋转得
,
90
AD
AB
DAB
=
=
，
∴
90
ADE
BAO
DAE
=
=
−
，
又∵
90
AED
BOA
=
=
，
∴
(
)
ADE
BAO AAS
≌
，
∴
1,
2
AE
OB
DE
OA
=
=
=
=
，
∴
(
)
3,2
D −
，
∵直线AB 的解析式为
1
1
2
y
x
=
+ ，平移后
//
DE AB ，
∴设直线DE 解析式为
1
2
y
x
m
=
+
，
将点
(
)
3,2
D −
代入，得
3
2
2
m
−
+
=
，
解得
7
2
m =
，
∴直线DE 解析式为
1
7
2
2
y
x
=
+
，
令1
7
4
2
2
x
x
+
=
，
解得
1
x = 或
8
x = −（舍去），
∴
4
4
1
y =
=
，
∴
(
)
1,4
E
．
9．（2026·四川遂宁·中考真题）综合与实践——探索五角星的奥秘
节日前夕，有时需要制作许多五角星．我们用折纸的方法，探索五角星的制作过程．
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(1)如图1，先将一张正方形的纸片沿MN 对折，再找到MN 的中点O，将平角
MON
五等分，得到图2，
接着沿图中的虚线依次对折，得到图3，然后过点N 作NQ
OP
⊥
于点Q，得到图4，最后沿NQ 把图4 中
的阴影部分剪掉，将余下部分展开，就得到图5 所示的一个正五边形．请直接写出正五边形的内角和为
________．
(2)连接图5 中正五边形的对角线，得到图6．请根据图6，完成下列问题：
①求1
2
3
4
5
++++ 的度数；
②求CD
AD 的值．
(3)把图4 剪掉阴影部分后，得到图7，然后沿NR 把图7 中的阴影部分剪掉，展开余下部分，将得到一个
五角星．例如，当
25
RNQ
=
时，得到的五角星如图8 所示；若使展开后的五角星如图6 所示，则
RNQ
的度数为________．
【答案】(1)540
(2)①180 ；②
5
1
2
−
(3)36
【分析】（1）根据n 边形的内角和为(
)
2 180
n−
，解答即可．
（2）①利用三角形内角和，三角形外角性质，求解即可；
②证明ANE
AED
∽
，构造方程求解即可．
（3）根据折叠的性质，正五边形的内角求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得正五边形的内角和为：(
)
5 2 180
540
−
=
;
（2）解：①设AC ，BE 的交点为
1
M ，AD ，BE 的交点为
1
N ，
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根据题意，得
1
1
1
1
3
5,
2
4
AM N
AN M
= +
= + ，
1
1
1
1
1
180
AM N
AN M
++
=
，
1
2
3
4
5 180
++++=
；
②解：设AB
BC
CD
DE
AE
x
=
=
=
=
=
，
BAC
BCA
EAD
EDA
CBD
CDB
=
=
=
=
=
，
BAE
AED
EDC
DCB
CBA
=
=
=
=
，
BAE
DAE
CAB
AED
AEB
CED
−
−
=
−
−
,
1
5
= ,
同理可证，
1
2,
2
3,
3
4,
4
5
=
=
=
= ，
1
2
3
4
5
36
= = = = =
，
在ABE 中，
540
108
5
BAE
=
=
，AB
AE
=
∴
36
AEN
=
同理可得
36
CED
=
1
1
5
N AE
N EA
ADE
CED
=
=
=
= ，
1
1
1
5
DN E
N AE
N EA
CED
NED
=
+
=
+=
，
1
AB
BC
CD
DE
AE
DN
x
=
=
=
=
=
=
，
∵
1
1
,
EAN
DAE
AEN
ADE
=
=
，
∴
1
AN E
AED
∽
，
∴
1
AN
AE
AD
AE
=
，
1
AD
DN
AE
AD
AE
−
=
，
∴x
AD
x
AD
x
−
=
，
∴
2
2
0
AD
xAD
x
−
−
=
，
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解得
5
1
2
AD
x
+
=
，
5
1
2
AD
x
−
+
=
（不能为负，舍去）
∴
5
1
2
5
1
2
CD
x
AD
x
−
=
=
+
．
（3）解：根据题意，将正方形对折，再将平角分成五份，则
180
36
5
QON
=
=
，则
54
ONQ
=
，
如图，将ONQ 放入图5，
由（2）可得
5
36
=
，
由图6 得
5
36
RNS
= =
，
ON 为折痕，根据折叠的性质可得
1
36
18
2
RNO
=
=
，
∴
54
18
36
RNQ
ONQ
RNO
=
−
=
−
=
．
考点03 最短路径（将军饮马、折叠最值）
1．（2026·四川南充·中考真题）如图，点P 在正方形ABCD内，且
1
AP
AB
=
= ，将PB 绕点B 顺时针旋转90
得到P B
，连接PC 、P C
、PP，PP交BC 于点M ．下列结论：①
1
CP= ；②PC 的最小值为2
2
−
；③
D ，P ，P三点共线；④当
MCP
△
为等腰三角形时，BP的长为
6
3
−
．其中正确结论为_________（填
写序号）
【答案】①③
【分析】对于①，容易证明
(
)
ABP
CBP SAS
≌
，则
1
CP
AP
=
= ；对于②，由
2
1
PC
AC
AP
−
=
−
可
得，当A 、P 、C 三点共线时，PC 取得最小值2 1
−；对于③，利用等腰三角形的性质可得
135
BPD
=
，
进而得到∠
∠
180
BPP
DPB
+
=
，因此D ，P ，P三点共线；对于④，设CM
x
=
，容易证明△
∽△
MCP
CDP
，
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则
1
DP
x
=
，
1
DM
x
x
=
−
，在Rt CDM 中，利用勾股定理构造方程，解得
3
3
x =
，进而得到
30
CDM
=
．容
易证明ADP 是等边三角形，在
1
DP
AD
=
= ，进而计算出
3
1
PP =
−
，在Rt BPP中，利用三角函数计算
出BP即可．
【详解】解：对于①，∵四边形ABCD是正方形，
∴
90
ABC
BCD
ADC
=
=
=
，
1
AB
BC
CD
AD
=
=
=
= ，
由旋转的性质可得，
90
PBP
=
，BP
BP
=
，
∵
90
ABP
CBP
+
=
，∠
∠
90
CBP
CBP
+
=
，
∴
ABP
CBP
=
，
在ABP 和CBP中，
AB
BC
ABP
CBP
BP
BP
=
=
=
，
∴
(
)
ABP
CBP SAS
≌
，
∴
1
CP
AP
=
= ，故①正确；
对于②，如图，连接AC ，
在Rt ABC中，
2
2
2
AC
AB
BC
=
+
=
，
∵
2
1
PC
AC
AP
−
=
−
，
∴当A 、P 、C 三点共线时，PC 取得最小值2 1
−，故②错误；
对于③，如图，连接DP ，设
BAP
=
，则
90
DAP
=
−
，
∵AB
AP
=
，
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∴
180
∠
1
∠
∠
90
2
2
BAP
APB
ABP
−
=
=
=
−
，
∵AB
AD
=
，
∴AD
AP
=
，
∴
180
1
45
2
2
DAP
APD
ADP
−
=
=
=
+
，
∴∠
∠
∠
135
DPB
APD
APB
=
+
=
，
∵
90
PBP
=
，BP
BP
=
，
∴
45
BPP
BP P
=
=
，
∵∠
∠
180
BPP
DPB
+
=
，
∴D ，P ，P三点共线，故③正确；
对于④，如图，设CM
x
=
，
∵∠
∠
∠
90
∠
90
CMP
DCM
CMD
CMD
=
+
=
+
，
又∵
MCP
△
为等腰三角形，
∴CM
MP
x
=
=
，
∴∠
∠
CP M
MCP
=
，
∵
1
CP
CD
=
=
，
∴∠
∠
∠
CDP
CP M
MCP
=
=
，
∴△
∽△
MCP
CDP
，
∴MP
CP
CP
DP
=
，即
1
1
x
DP
=
，
∴
1
DP
x
=
，
∴
1
DM
DP
MP
x
x
=
−
=
−
，
在Rt CDM 中，
2
2
2
CM
CD
DM
+
=
，
∴
2
2
1
1
x
x
x −
+ =
，
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整理，得
2
1
3
x =
，
解得
3
3
x =
（负值舍去），
∴
3
3
CM
MP
=
=
，
1
3
DP
x
=
=
，
在Rt CDM 中，
3
tan ∠
3
CM
CDM
CD
=
=
，
∴
30
CDM
=
，
∴∠
∠
∠
60
ADP
ADC
CDM
=
−
=
，
又∵AD
AP
=
，
∴ADP 是等边三角形，
∴
1
DP
AD
=
= ，
∴
3
1
PP
DP
DP
=
−
=
−
，
在Rt BPP中，
(
)
6
2
sin
3
1 sin45
2
BP
PP
BPP
=
−
=
−
=
，故④错误；
综上，正确的结论为①③．
2．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数
(
0)
y
x
b b
=
+
的图象与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，
并与反比例函数
m
y
x
=
的图象交于横坐标为1的点P ，过点P 作PA
x
⊥
轴于点A．已知
8
PAB
S
=
△
．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若Q 是A 点关于y 轴的对称点，M 、N 分别是y 轴和线段BC 上的动点，求
MNQ
△
周长的最小值．
【答案】(1)一次函数和反比例函数的表达式分别为
3
y
x
=
+ ，
4
y
x
=
(2) 2 5
【分析】（1）先求出(
)
1,1
P
b
+
，(
)
1,0
A
，则
1
PA
b
= +
，然后求出一次函数与x 轴的交点(
)
,0
B
b
−
，则
(
)
1
1
AB
b
b
= −−
= +
，再由三角形面积建立方程求解b ，再根据待定系数法求解函数表达式即可；
（2）过点Q 作直线BC 的对称点T ，连接
,
,
,
AM BT AT TN ，则
MNQ
C
QM
QN
MN
AM
TN
MN
AT
=
+
+
=
+
+
△
，
那么当点,
,
,
A M N T 共线时，
MNQ
△
的周长取得最小值，即为AT ，然后证明
ABT
△
为直角三角形，再由
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勾股定理求解最小值即可．
【详解】（1）解：由题意得，将
1
x = 代入
(
0)
y
x
b b
=
+
，则
1
y
b
= +
，
∴(
)
1,1
P
b
+
∵PA
x
⊥
轴
∴(
)
1,0
A
，
1
PA
b
= + ，
对于一次函数
(
0)
y
x
b b
=
+
，当
0
y =
时，
0
x
b
+
=
，解得x
b
−
=
∴(
)
,0
B
b
−
∴
(
)
1
1
AB
b
b
= −−
= +
，
∵PA
x
⊥
轴
∴
1
8
2
PAB
S
AB
PA
=
=
△
∴
(
)
2
1 1
8
2
b
+
=
，
解得
1
3
b =
，
2
5
b = −（舍去）
∴一次函数表达式为
3
y
x
=
+ ，1
1 3
4
b
+
= + =
∴(
)
1,4
P
，
将点(
)
1,4
P
代入
m
y
x
=
，则
1 4
4
m = =
，
∴反比例函数表达式为
4
y
x
=
；
（2）解：对于直线
3
y
x
=
+ ，当
0
y =
时，
3
0
x +
=
，解得
3
x
−
=
；当
0
x =
时，
3
y =
∴(
)
(
)
3,0 ,
0,3
B
C
−
∴
3
OB
OC
=
= ，
∵
90
BOC
=
∴
45
OBC
OCB
=
=
∵Q 是A 点关于y 轴的对称点，(
)
1,0
A
∴
(
)
1,0
Q −
，
∴
3 1
2
BQ
BO
OQ
=
−
=
−=
过点Q 作直线BC 的对称点T ，连接
,
,
,
AM BT AT TN ，
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∴
2,
45
BT
BQ
TBN
QBN
=
=
=
=
，
,
QN
TN QM
AM
=
=
∴
MNQ
C
QM
QN
MN
AM
TN
MN
AT
=
+
+
=
+
+
△
，
90
ABT
TBN
QBN
=
+
=
∴当点,
,
,
A M N T 共线时，
MNQ
△
的周长取得最小值，即为AT ，
∵
1 3
4
AB
OB OA
=
+
= + =
∴
2
2
2
2
4
2
2 5
AT
AB
BT
=
+
=
+
=
，
∴
MNQ
△
的周长最小值为2 5 ．
3．（2026·四川乐山·中考真题）如图，在矩形ABCD中，
3
AB =
、
1
AD = ，点P 在线段CD上（点P 不与
点D 重合），连结AP ，将ADP 沿AP 翻折得到、点D 的对应点为D．
(1)求AD的长度；
(2)求证：当
1
DP = 时，四边形AD PD
为正方形；
(3)若点Q 在线段AB 上，且
(
)
0
3
BQ
DP
a
a
=
=
，连接CQ 、将BCQ 沿CQ 翻折得到B CQ
、点B 的对
应点为B，设点B与点D之间的距离为d ，求d 的取值范围．
【答案】(1)1
(2)证明：法一：
ADP 沿AP 翻折得到
AD P
△
，
∴
1
AD
AD
=
= ，
1
D P
DP
=
=
∴AD
AD
D P
DP
=
=
=
∴四边形AD PD
是菱形，
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又∵四边形ABCD是矩形，
∴
90
D
=
，
∴四边形AD PD
是正方形；
法二：
∵四边形ABCD是矩形，
∴
90
D
=
．
又∵△ADP 沿AP 翻折得到
AD P
△
，
∴
90
ADP
D
=
=
，
DAP
D AP
=
，
∵
1
DP
AD
=
= ，
∴
45
DAP
=
，
∴
45
DAP
DAP
=
=
，
∴
2
90
DAD
DAP
=
=
，
∴四边形AD PD
是矩形，
又∵DP
AD
=
，
∴四边形AD PD
是正方形；
(3) 0
2
d
【分析】（1）根据翻折得到
1
AD
AD
=
= ；
（2）根据翻折得到
1
AD
AD
=
= ，
1
D P
DP
=
= ，则AD
AD
D P
DP
=
=
=
推出四边形AD PD
是菱形，最后
根据
90
D
=
得到四边形AD PD
是正方形；
（3）①当B' 与D重合时，此时
0
d =
最小．②当点P 与点C 重合（点Q 与点A 重合）时，根据折叠证明四
边形AB CD
是矩形，得到
2
d
B D
AC
=
=
=
，此时最大，即可得到点B与点D之间的距离为d 的取值范围
0
2
d
．
【详解】（1）解：
ADP 沿AP 翻折得到
AD P
△
，
∴AD
AD
=
，
又∵
1
AD = ，
∴
1
AD= ；
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（2）略
（3）解：①当B' 与D重合时，
此时
0
d =
．
②当点P 与点C 重合（点Q 与点A 重合）时，
∵四边形ABCD是矩形，
3
AB =
、
1
AD = ，
∴
90
ADC
ABC
=
=
，
3
CD
AB
=
=
，
1
AD
BC
=
= ，
∴
(
)
2
2
2
2
3
1
2
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
，
由折叠可得
1
AD
AD
=
= ，
3
AB
AB
=
=
，
3
CD
CD
=
=
，
1
CB
CB
=
= ，
90
ADC
ADC
=
=
，
90
AB C
ABC
=
=
，
∴
1
CB
AD
=
= ，
3
AB
CD
=
=
，
∴四边形AB CD
是平行四边形，
∵
90
ADC
ADC
=
=
，
∴平行四边形AB CD
是矩形，
∴B D
AC
=
，
∴
2
d
B D
AC
=
=
=
．
∴0
2
d
．
考点04 位似图形、变换后的坐标变化
1．（2026·四川达州·中考真题）点(
)
3,2
A
关于y 轴对称的点A的坐标是（ ）
A．(
)
3,2
B．(
)
3,2
−
C．(
)
3, 2
−
D．(
)
3, 2
−−
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【答案】B
【分析】根据平面直角坐标系中点关于y 轴对称的坐标变化规律，纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数，
求解即可．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点(
)
,x y 关于y 轴对称的点的坐标为(
)
,x y
−
，
又∵点A 的坐标为(
)
3,2 ，
∴ 对称点A的横坐标变为3
−，纵坐标保持2 不变，
∴ A的坐标为(
)
3,2
−
．
2．（2026·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，点(
)
2,3
P −
关于x 轴对称的点P的坐标为（ ）
A．(
)
2, 3
−
−
B．(
)
2, 3
−
C．(
)
3, 2
−
D．(
)
3,2
−
【答案】A
【分析】本题考查平面直角坐标系中关于x 轴对称的点的坐标规律，利用“关于x 轴对称的点，横坐标不变，
纵坐标互为相反数”即可求解．
【详解】解：∵关于x 轴对称的点的坐标特征为：横坐标相等，纵坐标互为相反数，
已知点(
)
2,3
P −
，
∴点P 关于x 轴对称的点'P 的横坐标为2
−，纵坐标为3
−，即
(
)
2, 3
P−
−
．
3．（2026·四川自贡·中考真题）如图，Rt OAB 中，
30
B
=
，
2
OA=
，AB 平行于x 轴，将Rt OAB 绕原
点O顺时针旋转180到OCD位置，CD交y 轴于点P ，则点P 的坐标为（ ）
A．(
)
0,
3
−
B．(
)
0, 3
C．(
)
0, 1
−
D．(
)
3,0
−
【答案】A
【分析】根据旋转的性质，可得到对应边、对应角相等，再结合平行线的性质，推导出CD与y 轴的位置关
系，进而利用直角三角形的三角函数关系求出OP 的长度，确定点P 的坐标．
【详解】解：在Rt AOB中，
30
B
=
，
90
AOB
=
，
60
A
=
，
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由旋转的性质得，
90
COD
=
，
30
D
=
，
60
C
=
，
2
OC =
，CD
x
∥轴，
CD
OP
⊥
，
90
60
30
COP
=
−
=
，
Rt OCP中，
sin60
3
OP
OC
=
=
，
P 在y 轴的负半轴，
P
的坐标为(
)
0,
3
−
．
4．（2026·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点(
)
3, 5
P
−
关于y 轴对称的点的坐标为_____．
【答案】(
)
3, 5
−
−
【分析】关于y 轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此解答即可．
【详解】解：在平面直角坐标系xOy 中，点(
)
3, 5
P
−
关于y 轴对称的点的坐标为(
)
3, 5
−−
．
5．（2026·四川凉山·中考真题）点(
)
3,2
P −
关于原点的对称点P坐标是_______．
【答案】(
)
3, 2
−
【分析】根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，即可得到答案．
【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标特点，可知两个点关于原点对称时，横纵坐标符号相反，
因此点(
)
3,2
P −
关于原点的对称点P的坐标为(
)
3, 2
−
．
6．（2026·四川广安·中考真题）已知OAB在平面直角坐标系中，(
)
2,0
A
，(
)
4,2
B
，将OAB绕点O逆时
针旋转90得到OCD，连接CA 交OB 于点E ，将点E 向左平移2 个单位长度得到点E，则点E的坐标为
_____．
【答案】
2 2
,
3 3
−
【分析】由旋转的性质求出点C 的坐标，用待定系数法分别求出直线OB 、AC 的函数解析式，联立求出点
E 的坐标，利用坐标平移的规律：左减右加，上加下减，求出E的坐标．
【详解】解：由旋转的性质可知：(
)
0,2
C
，
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设直线OB 的函数解析式为
OB
y
mx
=
，
把(
)
4,2
B
代入得4
2
m =
，解得
1
2
m =
，
直线OB 的函数解析式为
1
2
OB
y
x
=
设直线AC 的函数解析式为
AC
y
kx
b
=
+
，
把(
)
2,0
A
，(
)
0,2
C
代入得
2
0
2
k
b
b
+
=
=
，
解得
1
2
k
b
= −
=
，
直线AC 的函数解析式为
2
AC
y
x
= −+
，
联立
1
2
2
y
x
y
x
−
=
=
+
，解得
4
3
2
3
x
y
=
=
，
4 2
,
3 3
E
，
将点E 向左平移2 个单位长度得到点E，
2 2
,
3 3
E
−
．
7．（2026·四川甘孜·中考真题）平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件．这种连杆在移动时，两对
边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动．如图，四边形AFDE 是平行四边形，
CE
AF
k
AE
BF
=
=
．
【初步感知】
(1)如图1，连接BD ，CD，则1
2
3
++= 度；
【变化探寻】
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(2)如图2，
10
AB =
，
15
AC =
，固定点D ，当k 为何值时，在移动点B 的过程中，始终有
AEF
与
B
相等．
【深入探究】
(3)如图3，固定点D ，若移动点B 到点B，则点C 随之移动到点C．
①判断线段CC与BB的位置关系与数量关系，并说明理由；
②在点B 处安装一支描图针，在点C 处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2 的等腰直角三角
形
1
L 描摹时，绘图针随之绘出一个平面几何图形
2
L ，求图形
2
L 的面积．（用含k 的代数式表示）
【答案】(1)180
(2)
9
4
k =
(3)①BB
CC
∥
，
1
BB
CC
k
=
，理由如下：
如图，连接
,
BC B C
，
同（1）可得
180
BDF
EDF
CDE
+
+
=
∴
,
,
B C D ，
,
,
B D C
三点共线，
∵F D
A C
∥
，
∴B F D
B A C
∽
，
∴
1
B D
B F
DC
A F
k
=
=
，
∵FD
AC
∥
，
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∴
1
BD
BF
DC
AF
k
=
=
，
1
BD
B D
DC
DC
k
=
=
，
又∵
BDB
CDC
=
，
∴BB D
CC D
∽
，
∴
DBB
DCC
=
，
1
BB
BD
CC
DC
k
=
=
，
∴BB
CC
∥
，
1
BB
CC
k
=
；
②
2
2k ．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得
,
AE
DF AF
DE
=
=
，
AED
AFD
=
，根据CE
AF
k
AE
BF
=
=
可得
CE
ED
k
DF
FB
=
=
，进而证
CED
DFB
△
∽△
，可得1
C
= ，又
2
CED
=
，可得1
2
3 180
++=
；
（2）设AE
DF
x
=
=
，BF
y
=
，则CE
kx
=
，AF
DE
ky
=
=
，证明EDC
AEF
∽
，得出
2
x
k
y
=
，证明
BFD
BAC
∽
得出
3
2
x
y =
，即可求解；
（3）①连接
,
BC B C
，证明B FD
B A C
∽
，BB D
CC D
∽
，根据相似三角形的性质，即可得出结论；
②依题意，
1
L 与
2
L 是关于点D 的位似图形，且位似比为1
k ，则面积比为
2
1
k ，求得
1
L 的面积，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形AFDE 是平行四边形，
∴
,
AE
DF AF
DE
=
=
，
AED
AFD
=
，AE
FD
∥
，
180 ,
180
AED
CED
AFD
DFB
+
=
+
=
°
°，
CED
DFB
=
，
∵CE
AF
k
AE
BF
=
=
，
∴CE
ED
k
DF
FB
=
=
，
∴
CED
DFB
△
∽△
，
∴1
C
= ，
∵AE
DF
∥
，
2
CED
=
，
∵
3 180
C
CED
+
+=
，
∴1
2
3 180
++=
；
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（2）解：∵四边形AFDE 是平行四边形，
∴
,
AE
DF AF
DE
=
=
，FD
AC
∥
，
设AE
DF
x
=
=
，BF
y
=
，则CE
kx
=
，AF
DE
ky
=
=
，
∵
A
A
= ，
AEF
B
=
，
∴
AEF
ABC
∽
，
∵DE
AF
∥
，
∴
,
EDC
B
DEC
A
=
= ，
∴
EDC
AEF
=
，
∴EDC
AEF
∽
，
∴AE
AF
DE
EC
=
，
即x
ky
ky
kx
=
，
∴
2
x
k
y
=
，
∵FD
AC
∥
，
∴BFD
BAC
∽
，
∴AC
DF
AB
BF
=
，
∵
10
AB =
，
15
AC =
，
∴
15
3
10
2
x
y =
=
，
∴
2
9
4
x
k
y
=
=
，
∴当
9
4
k =
时，在移动点B 的过程中，始终有
AEF
与
B
相等．
（3）①略
②由①可得
1
B D
DC
k
=
，
依题意，
1
L 与
2
L 是关于点D 的位似图形，且位似比为1
k ，则面积比为
2
1
k ，
∵等腰直角三角形
1
L 的边长为2 ，面积为1
2 2
2
2
=
，
∴图形
2
L 的面积为
2
2k ．
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考点05 三视图识别、简单几何体
1．（2026·四川泸州·中考真题）下列立体图形中，左视图是三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据左视图是从左面看到的图形，分别得出各选项中几何体的左视图，即可得出答案．
【详解】解：A．左视图是正方形，故该选项不符合题意，
B．左视图是三角形，故该选项符合题意，
C．左视图是矩形，中间带一条竖的实线，故该选项不符合题意，
D．左视图是梯形，故该选项不符合题意，
2．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图所示的几何体由六块相同的小正方体搭成，若移走一块小正方体，
几何体的左视图发生了改变，则移走的小正方体是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】B
【详解】解：通过左视图可知，②为单独的一块正方体，移走②则改变左视图．
3．（2026·四川凉山·中考真题）如图，由6 个相同的小正方体搭成的几何体的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：该几何体的主视图为：
．
4．（2026·四川广元·中考真题）如图，该几何体的主视图是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据主视图是从正面观察几何体得到的平面图形，看得见的轮廓线画实线、被遮挡看不见的轮廓
线画虚线，再结合组合体各部分从正面呈现的图形特征进行判断．
【详解】解：下方圆柱的主视图：圆柱从正面看是一个矩形，矩形的水平长度等于圆柱底面的直径，竖直
高度等于圆柱的高；
上方三棱柱的主视图：三棱柱的底面三角形内接在圆柱的上底面上，因此三棱柱的左右宽度小于圆柱的直
径，对应主视图中上方的矩形比下方的矩形更窄；
从正面观察时，正对我们的是三棱柱的一个侧面（矩形面），三棱柱后方的侧棱被自身遮挡，属于看不见
的轮廓，因此需要在上方矩形的中间画一条竖直虚线；
选项 A ：上下矩形宽度一致，不符合“上方更窄”的特点，错误；
选项 B ：上方矩形没有虚线，遗漏了后方看不见的侧棱，错误；
选项 C ：上方是两个实线矩形，对应“正对棱、两个侧面朝前”的观察角度，与立体图不符，错误；
选项 D ：下方宽矩形（圆柱）+ 上方带竖直虚线的窄矩形（三棱柱），符合分析，正确．
5．（2026·四川遂宁·中考真题）下图是一种常见的化学实验仪器——漏斗，它的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据俯视图的定义，从物体正上方观察所得到的平面图形即为俯视图，结合漏斗的几何特征，漏
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斗的上部是一个大的圆形口，下部是一个位于中心的细小圆柱形管口，进行判断即可．
【详解】解：从上往下看，能看到一个大圆和中间的一个小圆，即两个同心圆；
A、不符合题意；
B、符合题意；
C、不符合题意；
D、不符合题意．
6．（2026·四川甘孜·中考真题）如图是一个螺栓，工人可根据其三视图制造出这个螺栓，该螺栓的俯视图
．．．
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查简单组合体的三视图，俯视图是从物体上面看所得到的图形，根据几何体的特征进行判
断即可求解．
【详解】解：该螺栓上部是圆柱，下部是正六棱柱
∴从上往下看，圆柱的投影是一个圆，正六棱柱的投影是一个正六边形
∴该螺栓的俯视图是一个正六边形，中间有一个圆．
7．（2026·四川广安·中考真题）如图，由4 个小正方体组合而成的几何体的主视图为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【分析】根据简单组合几何体的三视图的定义即可判断．
【详解】
解：几何体的主视图为：
．
8．（2026·四川成都·中考真题）下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：A、图形经过折叠可以围成一个棱柱，符合题意；
B、底面图形的边数与侧面的个数不一致，不能围成棱柱，不符合题意；
C、两个底面图形不一致，不能围成棱柱，不符合题意；
D、两个底面都在同一侧，不能围成棱柱，不符合题意．
9．（2026·四川乐山·中考真题）下面几何体中，是球体的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：A、是柱体，不符合题意；
B、是锥体，不符合题意；
C、是球体，符合题意；
D、是锥体，不符合题意．
10．（2026·四川自贡·中考真题）下面几何体中，分别从正面、左面、上面观察到的图形都相同的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据主视图，左视图，俯视图的定义找出从正面，左面，上面看到的几何体的形状图都一样的几
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何体即可．
【详解】对于选项A（正方体）：从正面、左面、上面看都是正方形，图形都相同，符合题意；
对于选项B（三棱柱）：从正面和左面看是长方形，从上面看是三角形，图形不同，不符合题意；
对于选项C（圆锥）：从正面和左面看是三角形，从上面看是圆（含圆心），图形不同，不符合题意；
对于选项D（圆柱）：从正面和左面看是长方形，从上面看是圆，图形不同，不符合题意．
11．（2026·四川达州·中考真题）下图中的良渚文化神徽纹玉勒，它的外形可以近似地看作（ ）
A．圆柱
B．圆锥
C．棱柱
D．棱锥
【答案】A
【详解】解：它的外形可以近似地看作圆柱，A 选项符合．
1．（2026·四川内江·二模）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：从上面看是四个小正方形，
故俯视图为：
．
2．（2026·四川广元·二模）下列安全图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
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A．注意安全
B．禁止攀爬
C．水深危险
D．急救中心
【答案】D
【详解】解：A：是轴对称图形，但旋转 180 后感叹号方向相反，无法与原图重合，不是中心对称图形；
B：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形（内部图案旋转后方向改变，无法重合）；
C：是轴对称图形，但旋转 180 后图案方向相反，无法与原图重合，不是中心对称图形；
D：既是轴对称图形（横竖两条对称轴），又是中心对称图形（绕中心旋转 180 后与原图完全重合），符
合题目要求．
3．
（2026·四川广安·二模）在平面直角坐标系中，将点(
)
5,6
P
关于x 轴对称后，得到对应点Q 的坐标是（ ）
A．(
)
5,6
−
B．(
)
5, 6
−
C．(
)
6,5
−
D．(
)
6, 5
−
【答案】B
【分析】利用“关于x 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”的规律即可直接求解．
【详解】解： ∵点P 的坐标为(
)
5,6 ，
∴点P 关于x 轴对称的点Q 的坐标为(
)
5, 6
−
．
4．（2026·四川绵阳·二模）平面直角坐标系中，点(
)
2,3
−
关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．(
)
2,3
−
B．(
)
2, 3
−
−
C．(
)
2, 3
−
D．(
)
2,3
【答案】C
【详解】解：点(
)
2,3
−
关于原点对称的点的坐标是(
)
2, 3
−
.
5．（2026·四川成都·一模）在平面直角坐标系xOy 中，将点(
)
2,3
−
先向左平移2 个单位长度，再向下平移1
个单位长度后，得到的点的坐标为（ ）
A．(
)
4,2
−
B．(
)
4,3
−
C．(
)
0,2
D．(
)
0,3
【答案】A
【分析】利用“左减右加横坐标，下减上加纵坐标”的规律计算即可得到结果．
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【详解】∵原来点的坐标为(
)
2,3
−
，将该点先向左平移2 个单位长度，再向下平移1个单位长度，
∴平移后点的横坐标为2
2
4
−−
= −，纵坐标为3 1
2
−=
，
∴得到的点的坐标为(
)
4,2
−
．
6．（2026·四川成都·一模）如图所示，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照射正下方的球，当球竖直向上逐步
靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是（ ）
A．不变
B．变小
C．变大
D．先变小，再变大
【答案】C
【分析】此题主要考查了中心投影的性质，中心投影的性质：等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，
离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短．
根据中心投影的特点即可得出答案．
【详解】解：当点光源在物体上方，向下照射物体时，点光源离物体越近，影子越大，点光源离物体越远，
影子越小．
即当球竖直向上逐步靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是变大．
故选：C．
7．（2026·四川南充·二模）如图，将直角三角板ABC 绕点B 顺时针旋转120得
A BC
△
，已知
30
A
=
，
则
A BC
的度数为（ ）
A．30
B．45
C．60
D．90
【答案】C
【详解】解：由旋转可知：
120
ABA
=
，
∵
30
A
=
，
90
C
=
，
∴
60
ABC
=
，
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∴
60
A BC
ABA
ABC
=
−
=
．
8．（2026·四川南充·一模）如图，在
O 中，
60
AOB
=
，点C 为AB 的中点，点D 是半径OA上一动点．若
1
OA = ，则BD
CD
+
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
【答案】B
【分析】作点B 关于OA的对称点B，连接
,
,
B C OB OC
，连接BB交OA于点D，根据轴对称的性质得出
BD
CD
+
的最小值为B C
的长度，求出相关角的度数，最后利用勾股定理进行求解．
【详解】解：如图所示，作点B 关于OA的对称点B，连接
,
,
B C OB OC
，连接BB交OA于点D，
∴BD
B D
=
，
60
AOB
AOB
=
=
，
此时，BD
CD
+
的最小值为B C
的长度，
∵点C 为AB 的中点，
∴
30
AOC
=
，
∴
90
B OC
AOC
AOB
=
+
=
，
∴由勾股定理得
2
2
2
B C
OC
OB
=
+
=
，
即BD
CD
+
的最小值为2 ．
9．（2026·四川绵阳·一模）如图，将ABC绕点A 逆时针旋转100得到ADE ，若点D 在线段BC 的延长
线上，则
ADE
为（ ）
A．30
B．35
C．40
D．45
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【答案】C
【分析】利用旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行求解．
【详解】解：根据旋转的性质可得，
,
100 ,
AB
AD
BAD
ADE
B
=
=
= ，
∴
(
)
1
180
40
2
ADE
B
ADB
BAD
=
=
=
−
=
．
10．（2026·四川泸州·一模）如图，E ，F 是正方形ABCD的边AB 的三等分点，P 是对角线AC 上的动点，
当PE
PF
+
取得最小值时，AP
PC 的值是（ ）
A．1
3
B．3
4
C．5
6
D．2
7
【答案】D
【分析】作点F 关于AC 的对称点F，连接EF交AC 于点P，此时PE
PF
+
取得最小值，过点F作AD 的
垂线，交AC 于点K，根据题意可知点F落在AD 上，设正方形的边长为a ，求得AK 的边长，证明
AEP
KF P
△
∽△
，可得
2
KP
AP
=
，即可解答．
【详解】解：作点F 关于AC 的对称点F，连接EF交AC 于点P，过点F作AD 的垂线，交AC 于点K，
由题意得：此时F落在AD 上，且根据对称的性质，当P 点与P重合时PE
PF
+
取得最小值，
设正方形ABCD的边长为a，则
2
3
AF
AF
a
=
=
，
四边形ABCD是正方形，
45
F AK
=
，
45
P AE
=
，
2
AC
a
=
F K
AF
⊥
，
45
F AK
F KA
=
=
，
2 2
3
AK
a
=
，
F P K
EP A
=
，
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F KP
EAP
∽
，
2
F K
KP
AE
AP
=
=
，
1
2
2
3
9
AP
AK
a
=
=
，
7
2
9
CP
AC
AP
a
=
−
=
，
2
7
AP
CP
=
，
当PE
PF
+
取得最小值时，AP
PC 的值为2
7 ．
11．（2026·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，
90
AOB
=
，点(
)
0,6
A
，(
)
4,0
B
．C 为AB 的
中点，连接OC ．把线段OC 沿射线BO平移至DE ，使点D 落在y 轴上，则四边形OCDE 的面积是（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
【答案】B
【分析】根据题意可得OC
DE ，OC
DE
=
，
1
2
AC
AB
=
，
6
OA=
，
4
OB =
，根据平行四边形的判定和性
质得出CD BE
∥
，根据平行线分线段成比例得出
1
2
AD
AC
AO
AB
=
=
，即可得出点D 是AO的中点，
1
3
2
OD
AO
=
=
，
根据三角形中位线的定义和性质得出
1
2
2
CD
OB
=
=
，结合平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：根据题意可得，OC
DE ，OC
DE
=
，
1
2
AC
AB
=
，
6
OA=
，
4
OB =
，
∴四边形OCDE 是平行四边形，
∴CD BE
∥
，
∴
1
2
AD
AC
AO
AB
=
=
，
即点D 是AO的中点，
1
3
2
OD
AO
=
=
，
∴CD是AOB 的中位线。
∴
1
2
2
CD
OB
=
=
，
∴平行四边形OCDE 的面积为
2 3
6
CD OD
= =
．
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12．（2026·四川绵阳·一模）如图，矩形OABC中，点
(
)
0,0 ,
4,
O
AC
BO
=
与x 轴正半轴的夹角为45．若矩
形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45，则第2026 秒时，矩形的对角线交点D 的坐标为（ ）
A．(
)
2,
2
−
B．(
)
2,0
−
C．(
)
0,2
D．(
)
2, 2
−
【答案】D
【分析】求出OD，每秒旋转45，8 次一个循环，2026 8
253
2
=
，第2026 秒时，矩形的对角线交点
D 与第2 次的点D 的坐标相同，第2 次点D 落在第二象限的对角线上，由此可得结论．
【详解】解：∵四边形OABC是矩形，
∴
4
OB
AC
=
= ，
2
OD
BD
=
=
，
∵每秒旋转45，8 次一个循环，2026 8
253
2
=
，
∴此时点D 与第2 次的点D 的坐标相同，如图所示：
过点D作DE
x
⊥
轴于点E，由旋转的性质可知：
45
D OE
=
，
∴
2
2
2
OE
D E
OD
=
=
=
，
∴点D 的坐标为(
)
2, 2
−
．
13．（2026·四川南充·二模）如图，在等边ABC中，D 是边AB 上的动点（不与端点重合），将线段DC 绕
点C 顺时针旋转60到EC ，连接AE ．下列说法不正确的是（ ）
A．AD
AE
AC
+
=
B．AC 平分
BAE
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C．
ADE
AED
DCE
+
=
D．点E 到BC 的距离与点D 有关
【答案】D
【分析】根据旋转的性质可证DCE是等边三角形，利用SAS 可证BCD
ACE
≌
，根据全等三角形的对应
边相等可证AC
AD
AE
=
+
；根据全等三角形的对应角相等可证
60
BAC
EAC
=
=
，可证AC 平分
BAE
；
根据
60
BAC
EAC
=
=
可知
120
DAE
=
，根据三角形内角和定理可证
60
ADE
AED
DCE
+
=
=
；
根据全等三角形的对应角相等可证
60
EAC
ACB
=
=
，可证
//
AE BC ，根据平行线间的距离处处相等，可
证点E 到BC 的距离与点D 无关．
【详解】解：
ABC 是等边三角形，
AB
BC
AC
=
=
，
60
ABC
BAC
ACB
=
=
=
，
由旋转可知CD
CE
=
，
60
DCE
=
，
DCE
是等边三角形，
CD
CE
DE
=
=
，
60
CDE
DEC
DCE
=
=
=
，
BCD
ACE
=
，
在BCD和ACE中，
BC
AC
BCD
ACE
CD
CE
=
=
=
，
BCD
ACE
≌
，
BD
AE
=
，
AB
AD
BD
AD
AE
=
+
=
+
，
AC
AD
AE
=
+
，
故A 选项正确；
BCD
ACE
≌
，
60
EAC
B
= =
，
又
60
BAC
=
，
BAC
EAC
=
，
AC
平分
BAE
，
故B 选项正确；
60
BAC
EAC
=
=
，
120
BAE
BAC
EAC
=
+
=
，
(
)
180
60
ADE
AED
BAC
EAC
+
=
−
+
=
,
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60
DCE
=
，
ADE
AED
DCE
+
=
，
故C 选项正确；
无论点D 在AB 边的任何位置，
均可证明BCD
ACE
≌
，
60
EAC
B
= =
，
又
60
ACB
=
，
EAC
ACB
=
，
AE
BC
，
点E 到BC 的距离与点D 无关．
14．（2026·四川南充·二模）已知抛物线
2
1 :
2
3
C
y
x
x
=
+
−与抛物线
2
C 关于y 轴对称，点(
)
,
P m n 为抛物线
2
C
上的一点，若存在实数k，使得m 取任意实数时，点
(
)
2
4
Q m
k n
m
+
+
,
也在抛物线
2
C 上，则k 的值为（ ）
A．4
−
B．4
C．1
−
D．1
【答案】D
【分析】先利用关于y 轴对称的抛物线的坐标变换规律求出
2
C 的解析式，再根据两点都在抛物线上得到关
于m 的恒等式，利用恒等式对任意m 成立的条件，对应系数相等求解k ，即可作答．
【详解】解：∵抛物线
1
C 与
2
C 关于y 轴对称，关于y 轴对称的抛物线横坐标变号纵坐标不变，
∴将
2
1 :
2
3
C
y
x
x
=
+
−中x 替换为x
−，得
2
C 的解析式：
(
)
(
)
2
2
2
3
2
3
y
x
x
x
x
= −
+
−
−
=
−
− .
∵点(
)
,
P m n 在
2
C 上，
∴
2
2
3
n
m
m
=
−
− .
∵点(
)
2 ,
4
Q m
k n
m
+
+
也在
2
C 上，
∴将Q 坐标代入
2
C 解析式得：
(
)
(
)
2
4
2
2
2
3
n
m
m
k
m
k
+
=
+
−
+
−① ，
把
2
2
3
n
m
m
=
−
−代入等式①左边，得：左边
2
2
2
3
4
2
3
m
m
m
m
m
=
−
−+
=
+
− .
展开整理等式①右边得：右边
(
)
(
)
2
2
2
2
4
4
2
4
3
4
2
4
4
3
m
km
k
m
k
m
k
m
k
k
=
+
+
−
−
−
=
+
−
+
−
−
.
∵等式对任意实数m 都成立，
∴对应项系数相等，得2
4
2
=
−
k
，
解得
1
k = ，
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代入常数项验证得
2
2
4
4
3
4 1
4 1 3
3
k
k
−
−
=
−−
= − ，符合要求．
故
1
k = ．
15．（2026·四川绵阳·二模）如图，
,
60
4,
3
,
ABCD
DAB
AB
AD
=
=
=
，点E
F
、分别在边BC
DC
、
上，将
ABE 沿AE 翻折，点B 恰好落在线段AF 上的点G 处，延长BG 交DC 于点H ，若
2
BE
CE
=
，则HF 的长度
是（ ）
A．
3
8
B．1
5
C．
1
4
D．
3
10
【答案】B
【分析】由
2
BE
CE
=
及
3
BC
AD
=
=
得
2
BE =
，作垂线构造直角三角形后利用勾股定理求得AE ；由翻折性
质可知ABE
AGE
≌
，从而得到等腰ABG，进而求得BG 及点G 到AB 的距离；再利用平行线分线段成比
例及勾股定理依次求出AF 、BH ，最后得到HF ．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
60
DAB
=
，
4
AB =
，
3
AD = ，
∴
3
BC
AD
=
=
，
4
CD
AB
=
=
，
180
60
120
ABC
=
−
=
，
60
BCD
=
，
又∵
2
BE
CE
=
，
∴
2
BE =
，
1
CE = ，
过点E 作EK
AB
⊥
于点K ，
∵
120
ABC
=
，
∴
60
EBK
=
，
∵在Rt
BEK
△
中，
30
BEK
=
，
∴
1
1
2
BK
BE
=
= ，
∴
2
2
3
EK
BE
BK
=
−
=
，
∴
5
AK
AB
BK
=
+
= ，
∵在Rt
AKE
△
中，
2
2
2
25
3
28
AE
AK
EK
=
+
=
+
=
，
∴
2 7
AE =
，
∵ABE 沿AE 翻折得到AGE ，
∴ABE
AGE
≌
，
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∴
4
AG
AB
=
=
，
2
GE
BE
=
=
，
GAE
BAE
=
，
120
AGE
ABE
=
=
，
∴
2
BAG
BAE
=
，
∵AB
AG
=
，
∴ABG为等腰三角形，
∵AE 平分
BAG
，
∴AE
BG
⊥
于点M ，且M 为BG 中点，
∵
BAM
KAE
=
，
90
AMB
AKE
=
=
，
∴Rt
Rt
ABM
AKE
∽
，
∴
4
2 7
AM
BM
AB
AK
EK
AE
=
=
=
，
∴
4
10 7
7
2 7
AK
AM =
=
，
4
2 21
7
2 7
EK
BM =
=
，
∴
4 21
2
7
BG
BM
=
=
，
过点G 作GP
AB
⊥
于点P ，
∵
1
20 3
2
7
ABG
S
BG AM
=
=
，
又∵
1
2
ABG
S
AB GP
=
，
∴
10 3
7
GP =
，
过点A 作AN
DC
⊥
于点N ，
∵
120
ADC
=
，
∴
60
ADN
=
，
∵在Rt ADN 中，
30
DAN
=
，
∴
1
3
2
2
DN
AD
=
=
，
∴
2
2
3 3
2
AN
AD
DN
=
−
=
，
∵AB
DC ，
∴GP
AN ，
又∵A 、G 、F 三点共线，
∴
20
21
AG
GP
AF
AN
=
=
，
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∴
21
21
20
5
AF
AG
=
=
，
∵在Rt ANF 中，
2
2
2
441
27
1089
25
4
100
FN
AF
AN
=
−
=
−
=
，
∴
33
10
FN =
，
∴
33
3
9
10
2
5
DF
FN
DN
=
−
=
−
=
，
∴
11
5
FC
CD
DF
=
−
=
，
∵B 、G 、H 三点共线，且B 在AB 上，H 在DC 上，
∴
20
21
BG
GP
BH
AN
=
=
，
∴
21
3 21
20
5
BH
BG
=
=
，
过点B 作BR
DC
⊥
于点R ，
∴
3 3
2
BR
AN
=
=
，
∵在Rt
BRH
△
中，
2
2
2
189
27
81
25
4
100
RH
BH
BR
=
−
=
−
=
，
∴
9
10
RH =
，
∵AN
DC
⊥
，BR
DC
⊥
，
∴AN
BR ，
又∵AB
DC ，
∴四边形ABRN 为矩形，
∴
4
RN
AB
=
=
，
∴
3
5
4
2
2
RD
RN
DN
=
−
=
−
=
，
∴
5
3
4
2
2
RC
CD
RD
=
−
=
−
=
，
∴
3
9
12
2
10
5
HC
RC
RH
=
+
=
+
=
，
∴
12
11
1
5
5
5
HF
HC
FC
=
−
=
−
=
．
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16．（2026·四川成都·二模）如图，四边形ABCD与四边形EFGH 是位似图形，点O 是位似中心．若
2
3
OE
EA =
，
四边形ABCD的周长是25，则四边形EFGH 的周长为______．
【答案】10
【分析】根据题意得出四边形ABCD与四边形EFGH 相似，EF
OE
AB
OA
=
，确定
2
5
OE
OA =
，得出四边形EFGH 的
周长：四边形ABCD的周长
2
5
=
，即可求解．
【详解】解：
四边形ABCD与四边形EFGH 是位似图形，点O是位似中心，
四边形ABCD与四边形EFGH 相似，EF
OE
AB
OA
=
，
2
3
OE
EA =
，
2
5
OE
OA
=
，
四边形EFGH 的周长：四边形ABCD的周长
2
5
OE
OA
=
=
，
四边形EFGH 的周长
2
25
10
5
=
=
．
17．
（2026·四川成都·二模）如图，ABC绕点A 逆时针旋转得到ADE ，点D 正好在线段BC 上，
65
ABC
=
，
则
EAF
的度数为______．
【答案】50
【分析】根据旋转的性质得到 AB
AD
=
，EAC
BAD
=
，利用等边对等角及三角形内角和定理求出
BAD
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的度数即可．
【详解】解：由旋转的性质可知，AB
AD
=
，
EAC
BAD
=
，
∵点D 在线段BC 上，
∴在ABD 中，AB
AD
=
，
∴
65
ADB
ABC
=
=
，
∴
180
180
65
65
50
BAD
ABC
ADB
=
−
−
=
−
−
=
，
由图可知，点F 在AC 上，即
EAF
EAC
=
，
∴
50
EAF
BAD
=
=
．
18．
（2026·四川绵阳·二模）矩形ABCD中，
2
12
BC
AB
=
=
，连接BD ，将BCD绕点D 逆时针旋转得到EFD ，
连接
,
,
BF CF BF 与CD交于M，若
6
sin
6
CFE
=
，则MC =_____．
【答案】72 12 5
31
−
【分析】过点D 、F 分别作DH
CF
⊥
，FG
CD
⊥
，垂足为点
,
H G ，由旋转可得，
6,
90
DF
DC
DFE
DCB
=
=
=
=
，得到
HDF
CFE
=
，然后解DCF ，求出
,
FG CG ，再由
FGM
BCM
△
∽△
求解即可．
【详解】解：过点D 、F 分别作DH
CF
⊥
，FG
CD
⊥
，垂足为点
,
H G ，
∵矩形ABCD中，
2
12
BC
AB
=
=
∴
6
AB
CD
=
=
，
90
DCB
=
，
由旋转可得，
6,
90
DF
DC
DFE
DCB
=
=
=
=
∵DH
CF
⊥
，
∴
,
90
CH
FH
HDF
CFE
DFH
=
=
=
−
，
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∴
6
sin
sin
6
6
6
FH
DF
HDF
CD
CFE
=
=
=
=
∴
2
2 6
CF
FH
=
=
，
2
2
30
DH
DF
CH
=
−
=
∵1
1
2
2
DH
CF
CD
FG
=
，
∴
30
2 6
2 5
6
FG
=
=
∴
2
2
2
CG
CF
FG
=
−
=
，
∵FG
CD
⊥
，
∴
90
FGC
BCD
=
=
，
∴FG
BC
∥
，
∴
FGM
BCM
△
∽△
∴FG
GM
BC
MC
=
∴2 5
2
12
MC
MC
−
=
，
解得
72 12 5
31
MC
−
=
．
19．（2026·四川绵阳·二模）矩形ABCD中，
2
4
BC
AB
=
=
，连接BD ，将BCD绕点D 逆时针旋转得到EFD ，
连接BE ，CF ，若
5
sin
13
CFE
=
，则BE = ______．
【答案】20 5
13
【分析】过点D 作DH
CF
⊥
，垂足为点H ，利用勾股定理求得
2 5
BD =
，由旋转可得，
2
DF
DC
=
=
，
2 5
BD
DE
=
=
，得到
HDF
CFE
=
，然后解DCF ，求出
20
13
CF =
，再由BDE
CDF
∽
求解即可．
【详解】解：过点D 作DH
CF
⊥
，垂足为点H ，
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∵矩形ABCD中，
2
4
BC
AB
=
=
，
∴
2
AB
CD
=
=
，
90
DCB
=
，
2
2
2
4
2 5
BD =
+
=
，
由旋转可得，
2,
90
DF
DC
DFE
DCB
=
=
=
=
，
∵DH
CF
⊥
，
∴
,
90
CH
FH
HDF
CFE
DFH
=
=
=
−
，
∴
5
sin
sin
2 13
13
10
FH
DF
HDF
CD
CFE
=
=
=
=
，
∴
0
13
2
2
CF
FH
=
=
，
由旋转的性质知
BDE
CDF
=
，
2 5
BD
DE
=
=
，
2
CD
DF
=
= ，
∴
5
BD
DE
CD
DF
=
=
，
∴BDE
CDF
∽
，
∴
5
BE
BD
CF
CD
=
=
，
∴
20
20 5
5
13
13
BE =
=
．
20．（2026·四川成都·二模）在
ABCD 中，P 是边BC 上一点，将APB 沿直线AP 翻折，点B 落在PD 上的
点E 处．AE 的延长线交射线BC 于点F．
(1)如图1，当四边形ABCD是矩形时，如果
4,
5
BP
PF
=
=
，求DE 的长；
(2)如图2，若
2,
4
BP
CP
=
=
，四边形CDEF 的面积是6，求
ADP
的正弦值；
(3)若AB
AP
=
，
1
CF
PF
n
=
，求AB
AD 的值．（用含有n 的式子表示）
【答案】(1)16
(2) 2
3
(3)
(
)
(
)
5
1
1
2
n
n
n n
n
+
−
+
或
(
)
(
)
5
1
1
2
n
n
n n
n
−
−
−
【分析】
（1）根据矩形的性质得到
90
ABP
C
=
=
，AD
BC ，AB
CD
=
，根据折叠的性质得到
90
AEP
=
，
4
BP
EP
=
=
，EA
AB
CD
=
=
，根据勾股定理得到
3
EF = ，证明
ADE
FPE
V
V
∽
、EPF
CPD
∽
，得到
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5
4
3
AD
DE
AE
=
=
、4
5
3
CP
PD
CD
=
=
，根据EA
CD
=
可知
4
5
5
4
AD
DE
CP
PD
=
=
=
，设
4
5
5
4
CP
PD
k
AD
DE =
=
=
=
，
则
4
4
5
PD
DE
PE
k
k
=
+
=
+
=
，求出
4
k =
，即可求解；
（2）根据折叠的性质得到
APB
APE
=
，
2
BP
EP
=
=
，根据平行四边形的性质得到AD
BC ，
6
AD
BC
=
=
，
进而得到
=
ADP
DPC ，
APE
DAP
=
，根据等角对等边得到
6
PD
AD
=
=
，则
4
DE =
，证明
ADE
FPE
V
V
∽
，得到AD
DE
FP
PE
=
，求出
3
FP = ，则
1
FC = ，连接CE ，设PEF 的面积是3S ，根据“三角形
高相等，面积比等于底的比”得到CEF 的面积是S ，
CED
△
的面积是8S ，根据四边形CDEF 的面积是6 得
到
CED
△
的面积是6
S
−
，列方程求出
2
3
S =
，则CDP的面积是8，作DG
BC
⊥
交BC 延长线于G，根据三
角形面积公式求出
4
DG =
，根据正弦的定义得到
2
sin
3
DG
DPC
DP
?
=
，即
2
sin
3
ADP
?
；
（3）点F 在线段PC 上，点F 在线段PC 的延长线上，两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴
90
ABP
C
=
=
，AD
BC ，AB
CD
=
，
∵将APB 沿直线AP 翻折，点B 落在PD 上的点E 处，
∴
90
AEP
=
，
4
BP
EP
=
=
，EA
AB
CD
=
=
，
∴
90
FEP
=
，
∵
5
PF = ，
∴
2
2
5
4
3
EF =
−
= ，
∵AD
BC ，
∴
ADE
FPE
V
V
∽
，
∴AD
DE
AE
PF
PE
FE
=
=
，即5
4
3
AD
DE
AE
=
=
，
∵
90
FEP
C
=
=
，
EPF
CPD
=
，
∴EPF
CPD
∽
，
∴CP
PD
CD
EP
PF
EF
=
=
，即4
5
3
CP
PD
CD
=
=
，
∵EA
CD
=
，
∴3
3
AE
CD
=
，即
4
5
5
4
AD
DE
CP
PD
=
=
=
，
设
4
5
5
4
CP
PD
k
AD
DE =
=
=
=
，
∴
5
AD
PD
k
=
=
，
4
DE
CP
k
=
=
，
∵
4
4
5
PD
DE
PE
k
k
=
+
=
+
=
，
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∴
4
k =
，
∴
4
16
D
CP
E
k
=
=
=
；
（2）解：∵将APB 沿直线AP 翻折，点B 落在PD 上的点E 处，
2
BP =
，
∴
APB
APE
=
，
2
BP
EP
=
=
，
∵
2
BP =
，
4
CP =
，
∴
6
BC =
，
∵
ABCD ，
∴AD
BC ，
6
AD
BC
=
=
，
∴
APB
DAP
=
，
=
ADP
DPC ，
即
APE
DAP
=
，
∴
6
PD
AD
=
= ，
∴
4
DE
DP
PE
AD
BP
=
−
=
−
=
，
∵AD
BC ，
∴
ADE
FPE
V
V
∽
，
∴AD
DE
FP
PE
=
，
即6
2
1
FP =
，
解得
3
FP = ，
∴
1
FC = ，
如图，连接CE，
设PEF 的面积是3S ，则CEF 的面积是S ，
∴
CEP
△
的面积是4S，
∵
2
EP =
，
4
DE =
，
∴
CED
△
的面积是8S ，
∵四边形CDEF 的面积是6 ，
∴
CED
△
的面积是6
S
−
，
即8
6
S
S
−
=
，
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解得：
2
3
S =
，
∴
CEP
△
的面积是
8
4
3
S =
，
CED
△
的面积是
16
8
3
S =
，
∴CDP的面积是8
16
8
3
3
+
=
，
作DG
BC
⊥
交BC 延长线于G，
则
1
1
4
8
2
2
CDP
S
PC
DG
DG
=
=
= ，
解得：
4
DG =
，
∵
6
PD =
∴
2
sin
3
DG
DPC
DP
?
=
，
∵
=
ADP
DPC ，
∴
2
sin
3
ADP
?
；
（3）解：∵将APB 沿直线AP 翻折，点B 落在PD 上的点E 处，
∴
APB
APE
=
，BP
EP
=
，
∵
ABCD ，
∴AD
BC ，AD
BC
=
，
∴
APB
DAP
=
，
∴
APE
DAP
=
，
∴PD
AD
=
，
∴PD
AD
BC
=
=
，
∵BP
PE
=
，
∴DP
PE
BC
PB
−
=
−
，
∴DE
CP
=
，
∵
1
CF
PF
n
=
，
设CF
b
=
，PF
nb
=
，
如图，当点F 在线段PC 上时，
∵AD
BC ，
∴
ADE
FPE
V
V
∽
，
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∴AD
DE
PF
PE
=
，
∴BP
nb
b
nb
b
nb
BP
+
+
+
=
，
∴
(
)
2
5
6
1
1
2
n
n
n
BP
b
+
+ −
+
=
（负值舍去），
∵AB
AP
=
，
APE
DAP
=
，
APB
APE
=
，
∴
APB
ABP
=
，
∴
APB
ABP
APE
DAP
=
=
=
，
∴ABP
DAP
∽
，
∴AB
AD
BP
AP
=
，即
2
AB
BP AD
=
，
∵
(
)
2
5
6
1
1
2
n
n
n
AD
BC
BP
PF
CF
b
+
+ +
+
=
=
+
+
=
∴
(
)
(
)
2
2
2
5
6
1
1
5
6
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
AB
b
b
n
nb
+
+ −
+
+
+ +
+
=
=
+
，
∴
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
) (
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
5
6
1
1
2
1
5
1
1
2
4
4
4
1
5
6
1
1
5
6
1
1
2
n
n
n
n
n
n n
n
n
AB
n
nb
n
n
AD
n
n
n n
n
n
n
n
n
n
b
+
+
+ −
+
+
+
+
−
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+ +
+
+
+ +
+
；
如图，当点F 在线段PC 的延长线上时，
同理，得
ADE
FPE
V
V
∽
，
∴PF
PE
AD
DE
=
，
∵CF
b
=
，PF
nb
=
，DE
CP
=
，BP
PE
=
，
∴
(
)1
AD
BP
PC
BP
PF
CF
BP
n
b
=
+
=
+
−
=
+
−
，
(
)1
DE
CP
PF
CF
n
b
=
=
−
=
−
，
∴
(
)
(
)
1
1
nb
BP
BP
n
b
n
b
=
+
−
−
，
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∴
(
)
2
5
6
1
1
2
n
n
n
BP
−
+ −
−
=
（负值舍去），
∵
(
)
2
5
6
1
1
2
n
n
n
AD
BC
BP
PF
CF
b
−
+ +
−
=
=
+
−
=
∴
(
)
(
)
2
2
2
5
6
1
1
5
6
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
AB
b
b
n
nb
−
+ −
−
−
+ +
−
=
=
−
，
∴
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
) (
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
5
6
1
1
2
1
5
1
1
2
4
4
4
1
5
6
1
1
5
6
1
1
2
n
n
n
n
n
n n
n
n
AB
n
nb
n
n
AD
n
n
n n
n
n
n
n
n
n
b
−
−
+ −
+
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
−
+ +
−
−
+ +
−
；
综上，AB
AD 的值为
(
)
(
)
5
1
1
2
n
n
n n
n
+
−
+
或
(
)
(
)
5
1
1
2
n
n
n n
n
−
−
−
．
