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专题07 圆
1 年真题1 年模拟
考点分类
四川考情（2026）
命题规律
考点01 垂径定理、
圆心角、圆周角、
圆内接多边形性质
2026 年宜宾、南充、泸
州、内江、广安、甘孜
中考真题
选择填空为基础送分题型，常结合等边、正五边
形内接圆构图；依托圆柱形水管实景考查垂径定
理弦长计算，解答题搭配切线综合设问；核心考
查同弧圆周角相等、直径所对直角、圆内接四边
形对角互补，角度换算为核心考法。
考点02 点、直线与
圆位置关系，切线
判定证明、切线性
质
2026 年泸州、宜宾、攀
枝花、乐山、巴中、广
安、凉山、广元、甘孜、
南充、达州、眉山、遂
宁中考真题
本专题核心中档解答大题，全省地市全覆盖；固
定两至三小问，第一问求证切线，第二、三问结
合相似、勾股计算线段；融合直角三角形内切圆、
三角形内心、图形折叠背景，切线垂直半径是证
明核心依据。
考点03 弧长、扇形
面积、圆锥侧面积
与全面积计算、阴
影面积
2026 年遂宁、凉山、内
江、达州、自贡中考真
题
以选择、填空为主，结合手工锥形帽、自贡剪纸、
正六边形几何情境；分为圆锥展开图计算、多边
形内多扇形拼接、不规则图形割补求阴影三类题
型，公式直接运用为主，割补转化是解题关键，
计算难度偏低。
考点04 圆与三角
形、四边形、相似
简单综合计算
2026 年广元、眉山、自
贡、广安、成都中考真
题
多为填空压轴与综合探究大题，融合矩形、正方
形折叠、动点最值、图形旋转；串联内心、相似
三角形、最短路径、分类讨论等腰三角形，综合
性强，需联动圆基础定理与勾股、相似，是区分
中档与高分学生的题型。
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考点01 垂径定理、圆心角、圆周角、圆内接多边形性质
1．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，
O 是ABC的外接圆，连接OA、OC ．若AOC 为等边三角形，
则
ABC
的度数是（ ）
A．20
B．30
C．50
D．60
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质得到
AOC
的度数，再由圆周角定理即可得到
ABC
的度数．
【详解】解：∵AOC 为等边三角形，
∴
60
AOC
=
，
∵AC
AC
=
，
∴
1
30
2
ABC
AOC
=
=
．
2．（2026·四川南充·中考真题）如图，AB 为
O 直径，弦CD
AB
⊥
于E，
2
OB
CD
=
=
，则OE 长为（ ）
A．1
B．3
C．2
D．5
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出CE 的长，再在Rt OCE 中利用勾股定理求出OE
的长即可．
【详解】解：
AB 为
O 直径，CD
AB
⊥
，
2
OC
OB
CD
=
=
= ，
1
1
2
CE
CD
=
= ，
在Rt OCE 中，
2
2
2
2
2
1
3
OE
OC
CE
=
−
=
−
=
．
3．（2026·四川泸州·中考真题）如图，
O 的直径AB 与弦CD相交于点E ，连接AC ，AD ，BD ，BC ，
若
40
ACD
=
，
65
AEC
=
，则
CBD
=（ ）
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A．45
B．55
C．60
D．65
【答案】B
【分析】由题意易得
90
ADB
=
，
40
ABD
ACD
=
=
，然后可得
90
50
DAB
ABD
BCD
=
−
=
=
，进
而根据三角形外角的性质进行求解即可．
【详解】解：∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ADB
=
，
∵
40
ABD
ACD
=
=
，
∴
90
50
DAB
ABD
BCD
=
−
=
=
，
∵
65
AEC
BCD
CBE
=
+
=
，
∴
65
15
CBE
BCD
=
−
=
，
∴
55
CBD
ABD
CBE
=
+
=
．
4．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形ABCDE 内接于
O ，P 为BC 上的一点（点P 不与点C 重
合），则
CPD
的度数为（ ）
A．36
B．45
C．60
D．72
【答案】A
【分析】先求得中心角
72
COD
=
，进而根据圆周角定理，即可求解．
【详解】解：∵正五边形ABCDE 内接于
O ，
∴
1
360
72
5
COD
=
=
，
∵
CPD
与
COD
分别是CD所对的圆周角和圆心角，
∴
1
36
2
CPD
COD
=
=
．
5．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，点A ，B ，C 在
O 上，若
28
A
=
，则
O
=______度．
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【答案】56
【分析】本题考查了圆周角定理，即在同圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2 倍．根据图形可知
A
是弧
BC 所对的圆周角，
BOC
（即
O
）是弧BC 所对的圆心角，利用定理直接计算即可．
【详解】解：
A
是
O 中弧BC 所对的圆周角，
BOC
是弧BC 所对的圆心角，
2
BOC
A
= ．
28
A
=
，
2 28
56
BOC
=
=
．即
56
O
=
．
6．
（2026·四川广安·中考真题）水平放置的圆柱形排水管道的截面是半径为0.5 m 的圆，其中水面宽为0.8 m ，
则水面高为_____m．
【答案】0.2 或0.8/或0.8 或0.2
【分析】分水面在圆心下方和水面在圆心上方两种情况讨论，利用垂径定理结合勾股定理计算圆心到水面
的距离，进而得到水面高度．
【详解】解：设截面圆的圆心为O，弦AB 为水面，已知
0.5
OA
m
=
，
0.8
AB
m
=
．
过点O作OC
AB
⊥
于点C ，直线OC 交AB 下面圆弧于点D，
根据垂径定理可得：
1
0.4
2
AC
AB
m
=
=
在
Δ
Rt OAC中，由勾股定理得：
( )
2
2
2
2
0.5
0.4
0.09
0.3
OC
OA
AC
m
=
−
=
−
=
=
分两种情况讨论：
当水面在圆心下方时，
水面高度为
( )
0.2
CD
OD OC
m
=
−
=
；
当水面在圆心上方时，
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水面高度为
( )
0.8
CD
OD
OC
m
=
+
=
．
故答案为0.2 或0.8．
7．（2026·四川泸州·中考真题）如图，AB 是
O 的直径，点C ，E 在
O 上，过点C 作
O 的切线交AB 的
延长线于点D ，CE交AB 于点F ，连接AC ，AE ，BC ．
(1)求证：
CAD
BCD
=
；
(2)若AE
CD
∥
，
3
BD =
，
2
sin
3
D =
，求EF 的长．
【答案】(1)证明：连接OC ，则OC
OB
=
，
∴
OCB
OBC
=
，
∵过点C 作
O 的切线交AB 的延长线于点D ，
∴OC
CD
⊥
，
∴
90
BCD
OCB
+
=
，
∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ACB
=
，
∴
90
CAD
ABC
+
=
，
∵
OCB
OBC
=
，即：
OCB
ABC
=
，
∴
CAD
BCD
=
；
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(2) 8 30
7
【分析】（1）连接OC ，切线的性质得到
90
OCD
=
，圆周角定理得到
90
ACB
=
，根据等边对等角，
以及等角的余角相等，即可得出结论；
（2）设
O 的半径为r ，在Rt OCD中，根据
2
sin
3
OC
D
OB
BD
=
=
+
，求出r 的值，进而求出
,
OD CD 的长，
延长CO交AE 于点G ，根据平行线的性质，垂径定理，推出
1
2
AG
EG
AE
=
=
，CA
CE
=
，证明AOG
DOC
∽
，
求出
,
AG OG 的长，进而得到
,
AE CG 的长，勾股定理求出AC 的长，再证明CFD
EFA
∽
，推出
4
7
EF
CE
=
，
即可得出结果.
【详解】（1）略
（2）解：设
O 的半径为r ，则OB
OC
r
=
= ，
在Rt OCD中，
2
sin
3
OC
D
OB
BD
=
=
+
，
∵
3
BD =
，
∴
2
3
3
r
r
=
+
，
∴
6
r =
，
∴
9
OD
OB
BD
=
+
=
，
∴
2
2
3 5
CD
OD
OC
=
−
=
，
如图，连接CO并延长交AE 于点G ，
∵
//
AE CD，OC
CD
⊥
，
∴OG
AE
⊥
，
∴
1
2
AG
EG
AE
=
=
，
∴CG 垂直平分AE ，
∴CA
CE
=
，
∵
//
AE CD，
∴AOG
DOC
∽
，
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∴
6
2
9
3
AG
OG
OA
CD
OC
OD
=
=
=
=
，
∴
2
2
2 5,
4
3
3
AG
CD
OG
OC
=
=
=
=
，
∴
2
4 5
AE
AG
=
=
，
10
CG
OC
OG
=
+
=
，
∴
2
2
2 30
CE
AC
AG
CG
=
=
+
=
，
∵
//
AE CD，
∴CFD
EFA
∽
，
∴
4
3
EF
AE
CF
CD
=
=
，
∴
4
4
8 30
2 30
7
7
7
EF
CE
=
=
=
.
考点02 点、直线与圆位置关系，切线判定证明、切线性质
1．（2026·四川泸州·中考真题）若一个直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程
2
6
2
0
x
x
−
+
=
的两个
实数根，则该直角三角形的内切圆半径的长为（ ）
A．3
2 2
−
B．3
2
2 −
C．6
4 2
−
D．2
2
2
−
【答案】A
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两直角边的和与积，再利用勾股定理求出斜边长，最后
代入直角三角形内切圆半径公式计算即可得到结果.
【详解】设该直角三角形的两直角边长为a 、b ，斜边长为c ，
∵a，b 是一元二次方程
2
6
2
0
x
x
−
+
=
的两个实数根，
∴
6
a
b
+
= ，
2
ab =
，由勾股定理得：
2
2
2
2
(
)
2
6
2 2
32
4 2
c
a
b
a
b
ab
=
+
=
+
−
=
−
=
=
，
∵三角形的面积
1
1
1
1
2
2
2
2
S
ab
ar
br
cr
=
=
+
+
，
∴直角三角形的内切圆半径公式为
ab
r
a
b
c
=
+
+
，代入得：
2
3
2 2
6
4 2
r =
=
−
+
．
2．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，已知ABC中，
3
AB =
，
5
AC = ，
7
BC =
，点P 在BC 边上运动，
连接AP ．当ABP 和
APC
△
的内切圆半径相等时，设BP
t
= ，则AP = ________（用含t 的代数式表示）．
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【答案】21
8
2
7
t
t
−
−
【分析】设左边圆的圆心为O，过点O分别作OD
AB
⊥
，OE
BP
⊥
，OF
AP
⊥
，垂足分别为点
,
,
D E F ，则
可设AP
x
=
，OD
OE
OF
r
=
=
=
，根据
ABP
BOP
AOP
AOB
S
S
S
S
=
+
+
，得到
(
)
1
3
2
ABP
S
t
x
r
=
+
+
△
，同理可得
(
)
1 12
2
ACP
S
t
x r
=
−+
△
，则
(
)
(
)
1
3
3
2
1
12
12
2
ABP
ACP
t
x
r
S
t
x
S
t
x
t
x r
+
+
+
+
=
=
−+
−+
△
△
，而
7
ABP
ACP
S
BP
t
S
CP
t
=
=
−
△
△
，即可得到
3
12
7
t
x
t
t
x
t
+
+
=
−+
−，
即可求解．
【详解】解：设左边圆的圆心为O，过点O分别作OD
AB
⊥
，OE
BP
⊥
，OF
AP
⊥
，垂足分别为点
,
,
D E F ，
∵
O 为ABP 的内切圆，
∴OD
OE
OF
=
=
设AP
x
=
，OD
OE
OF
r
=
=
=
∵
ABP
BOP
AOP
AOB
S
S
S
S
=
+
+
∵
3
AB = ，BP
t
= ，
5
AC = ，
7
BC =
，
∴
7
PC
t
−
=
∴
(
)
(
)
1
1
1
1
1
3
2
2
2
2
2
ABP
S
BP
r
AP
r
AB
r
BP
AP
AB r
t
x
r
=
+
+
=
+
+
=
+
+
△
，
∵ABP 和
APC
△
的内切圆半径相等
∴同理可得，
(
)
(
)
(
)
1
1
1
5
7
12
2
2
2
ACP
S
AC
PC
AP r
t
x r
t
x r
=
+
+
=
+
−+
=
−+
△
∴
(
)
(
)
1
3
3
2
1
12
12
2
ABP
ACP
t
x
r
S
t
x
S
t
x
t
x r
+
+
+
+
=
=
−+
−+
△
△
又∵
7
ABP
ACP
S
BP
t
S
CP
t
=
=
−
△
△
∴
3
12
7
t
x
t
t
x
t
+
+
=
−+
−
解得
21 8
2
7
t
x
t
−
=
−
，即
21 8
2
7
t
A
t
P
−
=
−
．
3．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，AB 是
O 的直径，弦CD
AB
⊥
，垂足为H ．E 为BD上一点，连
接AE 交CD于点F ，EF 的垂直平分线交CD的延长线于点G ，连接GE ．
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(1)若
O 的半径为3，
2
AH = ，求CD的长；
(2)求证：EG 是
O 的切线．
【答案】(1)4 2 ；
(2)证明：连接OE ，
∵点G 在EF 的垂直平分线上，
∴GE
GF
=
，
∴
GEF
GFE
=
，
∵
GFE
AFH
=
，
∴
GEF
AFH
=
，
∵CD
AB
⊥
，
∴
90
AHF
=
，
∴
90
A
AFH
+
=
，
∵OA
OE
=
，
∴
A
OEA
=
，
∴
90
OEA
GEF
+
=
，
∴
90
OEG
=
，
∴OE
EG
⊥
，
∵OE 是
O 半径，
∴EG 是
O 的切线。
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【分析】（1）连接OC ，先求出OH 长度，利用垂径定理得
1
2
CH
DH
CD
=
=
，再在Rt OCH 中由勾股定理
算出CH ，进而求出CD；
（2）连接OE ，由垂直平分线性质得GE
GF
=
，等边对等角得
GEF
GFE
=
，结合CD
AB
⊥
推出
90
A
AFH
+
=
，再利用OA
OE
=
得
A
OEA
=
，等量代换证明
90
OEG
=
，依据切线判定定理证EG 为
切线。
【详解】（1）解：连接OC ，
∵
O 半径为3，
∴
3
OC
OA
=
= ，
∵
2
AH =
，
∴
3 2
1
OH
OA
AH
=
−
= −
= ，
∵CD
AB
⊥
，AB 为直径，
∴
90
OHC
=
，
2
CD
CH
=
，
在Rt OCH 中，
2
2
2
2
3
1
2 2
CH
OC
OH
=
−
=
−
=
，
∴
2 2 2
4 2
CD =
=
；
（2）略
4．（2026·四川乐山·中考真题）如图，AB 为
O 的直径，点C 为圆上一点，点D 在BA 延长线上，连接CD，
且
ACD
B
= ．
(1)求证：CD为
O 的切线；
(2)若
3
tan
4
D =
，
O 的半径为3，求AD 的长．
【答案】(1)证明：如图所示，连接OC ，
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OB
OC
=
，
B
BCO
=
，
ACD
B
= ，
ACD
BCO
=
．
AB 为
O 的直径，
90
ACB
=
，
90
ACO
BCO
+
=
．
90
ACD
ACO
+
=
，即
90
OCD
=
，
又
OC 是
O 的半径，
CD
为
O 的切线；
(2) 2
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到
B
BCO
=
，则可证明
ACD
BCO
=
，由直径所对的圆周角是
直角得到
90
ACO
BCO
+
=
，则可证明
90
ACD
ACO
+
=
，即
90
OCD
=
，据此可证明CD为
O 的
切线；
（2）解直角三角形得到
4
CD =
，由勾股定理可得
5
OD = ，再由线段的和差关系可得答案．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）得
90
OCD
=
，
3
tan
4
D =
，
O 的半径为3，
3
4
OC
CD
=
，即3
3
4
CD =
，
∴
4
CD =
，
2
2
2
2
3
4
5
OD
OC
CD
=
+
=
+
=
,
5 3
2
AD
OD OA
=
−
= −=
．
5．（2026·四川巴中·中考真题）如图，AB 是
O 的直径，点C、D 在圆上，D 是AC 的中点，DE
AB
⊥
于
点E，交AC 于点F ，AC 、DB 交于点G ，H 在AB 延长线上且
BCH
CAB
=
．
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(1)求证：CH 为
O 的切线；
(2)求证：AF
DF
=
；
(3)若
2
DG =
，
3
GB = ，求AD 的长．
【答案】(1)证明：连接OC ，如图所示：
∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ACB
=
，
∴
90
CAB
ABC
+
=
，
∵
BCH
CAB
=
，
∴
90
BCH
ABC
+
=
，
∵OC
OB
=
，
∴
OCB
OBC
=
，
∴
90
BCH
OCB
+
=
，即
90
OCH
=
，
∴OC
CH
⊥
，
∵OC 是
O 的半径，
∴CH 为
O 的切线．
(2)证明：∵D 是AC 的中点，
∴AD
CD
=
，
∴
ABD
DAC
=
，
∵DE
AB
⊥
，AB 是
O 的直径，
∴
90
ADB
AED
=
=
，
∴
90
ADE
DAE
DAE
ABD
+
=
+
=
，
∴
ADE
ABD
DAC
=
=
，
∴AF
DF
=
．
(3)
10
AD =
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【分析】
（1）连接OC ，由题意易得
90
ACB
=
，则有
90
BCH
ABC
+
=
，然后可得
90
BCH
OCB
+
=
，
进而问题可求证；
（2）由题意易得
DAC
ABD
=
，然后可得
90
ADE
DAE
DAE
ABD
+
=
+
=
，则有
ADE
ABD
DAC
=
=
，进而问题可求证；
（3）由题意易得ABD
GAD
∽
，然后可得AD
DB
GD
DA
=
，进而问题可求解．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：∵
2
DG =
，
3
GB =
，
∴
5
DB
DG
BG
=
+
=
，
∵
ABD
GAD
=
，
ADB
GDA
=
，
∴ABD
GAD
∽
，
∴AD
DB
GD
DA
=
，
∴
2
10
AD
DG DB
=
=
，
∴
10
AD =
．
6．（2026·四川广安·中考真题）如图，ABC内接于
O ，AD 是
O 的直径，过点A 作射线AE 交BC 的延
长线于点E ，使
EAB
ECA
=
．
(1)求证：AE 是
O 的切线；
(2)过点C 作CF
AE 交AB 于点F ，若
2
AF =
，
9
AB = ，求AC 的长．
【答案】(1)证明：连接DC ，
ECA
B
BAC
=
+
，
EAB
CAE
BAC
=
+
，
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∵
ECA
EAB
=
，
B
BAC
CAE
BAC
+
=
+
，
B
CAE
=
，
AD 是
O 的直径，
90
ACD
=
，
90
D
DAC
+
=
，
B
D
=
，
CAE
D
=
，
90
CAE
DAC
+
=
，
DA
AE
⊥
，
AE
是
O 的切线．
(2)3 2
【分析】（1）连接DC ，由题意易得
B
CAE
=
，
90
ACD
=
，则有
90
D
DAC
+
=
，然后可得DA
AE
⊥
，
进而问题可求证；
（2）由题意易得
FCA
CAE
=
，则有
FCA
B
= ，然后可得ACF
ABC
∽
，进而可得
2
AC
AB AF
=
，
则问题可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵CF
AE ，
FCA
CAE
=
，
CAE
B
=
Q
，
FCA
B
= ，
在
ACF
△
和ABC中，
FCA
B
CAF
BAC
=
=
，
ACF
ABC
△
∽△
，
AC
AF
AB
AC
=
，
2
AC
AB AF
=
，
9
AB =
，
2
AF =
，
2
9
2
18
AC
=
=
，
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∴
3 2
AC =
．
7．（2026·四川凉山·中考真题）如图，四边形ABCD内接于
O ，BD 是
O 的直径，连接AC 交BD 于点F，
且AC
BC
=
，过点C 作AD 的垂线交AD 的延长线于点E．
(1)求证：DC 平分
BDE
；
(2)求证：CE是
O 的切线；
(3)若
O 的半径为5，
4
CE =
，求DF 的长．
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD内接于
O ，
∴
180
ADC
ABC
+
=
，
∵
180
ADC
EDC
+
=
，
∴
EDC
ABC
=
，
∵AC
BC
=
，
∴
BAC
ABC
=
，
BDC
BAC
=
，
∴
BDC
EDC
=
，
∴DC 平分
BDE
．
(2)证明：连接OC ，
∵OC
OD
=
，
∴
ODC
OCD
=
，
由（1）可知，
ODC
EDC
=
，
∴
OCD
EDC
=
，
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∴OC
DE ，
∵CE
DE
⊥
，
∴OC
CE
⊥
，
∵OC 是
O 的半径，
∴CE是
O 的切线．
(3)
30
11
DF =
【分析】（1）由四边形ABCD内接于
O ，可得
EDC
ABC
=
，再由AC
BC
=
与圆周角的性质可得
BDC
EDC
=
，则DC 平分
BDE
．
（2）先证明OC
DE ，由CE
DE
⊥
，可得OC
CE
⊥
，即可证明CE 是
O 的切线；
（3）过点O作OG
AD
⊥
于点G ，可求得
6
AD =
，再证明COF
ADF
∽
，即可求解．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：如图，过点O作OG
AD
⊥
于点G ，
由（1）可知，OC
CE
⊥
∵CE
AD
⊥
，OG
AD
⊥
，
∴四边形OCEG 是矩形，
∴
4
OG
CE
=
=
，
∵BD 是
O 的直径，
∴
2
BD
OD
=
，
90
BAD
=
，即BA
AD
⊥
，
∴OG
BA，
∴DGO
DAB
∽
，
∴
1
2
2
OG
DO
DO
BA
DB
DO
=
=
=
，
∴
2
2 4
8
BA
OG
=
= = ，
∵
O 的半径为5，即
5
OD
OC
OB
=
=
= ，
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∴
2
10
BD
OD
=
=
，
在Rt ABD中，
2
2
2
2
10
8
6
AD
BD
AB
=
−
=
−
=
，
由（2）可知，OC
AD
∥
，
∴COF
ADF
∽
，
∴OC
OF
DA
DF
=
，
∵
5
OF
OD
DF
DF
=
−
= −
，
∴5
5
6
DF
DF
−
=
，
∴
30
11
DF =
．
8．（2026·四川广元·中考真题）如图，在ABC中，
90
ABC
=
，以AB 为直径作半圆O交AC 于点E ，F
为半圆O上一点，连接BF 交AC 于点G ，连接CF ，且CF
CB
=
．
(1)求证：CF 为半圆O的切线；
(2)连接EF ，若
1
tan
2
AEF
=
，
10
AB =
，求AG的长．
【答案】(1)证明：如图，连接
,
OC OF ，
在BOC和FOC中，
∵
,
,
OC
OC OB
OF BC
FC
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
BOC
FOC
≌
，
∴
OFC
OBC
=
，
∵
90
ABC
=
，
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∴
90
OFC
=
，
∵OF 为半径，
∴CF 为半圆O的切线；
(2)10 2
3
【分析】（1）连接
,
OC OF ，证明
(
)
SSS
BOC
FOC
≌
，可得
90
OFC
=
，即可求证；
（2）连接OC ，交BF 于点K，过点G 作GH
AB
⊥
于点H，根据切线长定理可得BC
CF
=
，从而得到OC 垂
直平分BF ， 进而得到
1
tan
tan
tan
2
BCO
OBF
AEF
=
=
=
，设GH
x
=
，则
2
BH
x
=
，再证明ABC 为等
腰直角三角形，可得AGH 为等腰直角三角形，从而得到AH
GH
x
=
=
，
2
AG
x
=
，进而得到
3
10
AB
AH
BH
x
=
+
=
=
，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接OC ，交BF 于点K，过点G 作GH
AB
⊥
于点H，
∵
90
ABC
=
，AB 为半圆O 的直径，
∴BC 为半圆O 的切线，
90
AFB
=
，
90
BOC
BCO
+
=
，
∵CF 为半圆O的切线，
∴BC
CF
=
，
∵OB
OF
=
，
∴OC 垂直平分BF ，即
90
OKB
=
，
1
2
BK
BF
=
，
∴
90
OBF
BOC
+
=
，
∴
OBF
BCO
=
，
∵
OBF
AEF
=
，
1
tan
2
AEF
=
，
∴
1
tan
tan
tan
2
BCO
OBF
AEF
=
=
=
，
∴
1
tan
2
GH
OBF
BH
=
=
，
设GH
x
=
，则
2
BH
x
=
，
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∵
10
AB =
，
∴
1
5
2
OB
AB
=
= ，
∴
10
tan
OB
BC
BCO
=
=
，
∴ABC为等腰直角三角形，
∴
45
BAC
=
，
∴AGH 为等腰直角三角形，
∴AH
GH
x
=
=
，
2
AG
x
=
，
∴
3
10
AB
AH
BH
x
=
+
=
=
，
∴
10
3
x =
，
∴
10 2
2
3
AG
x
=
=
．
9．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，AB ，BC ，CD分别与
O 相切于E ，F ，G 三点，且AB CD ．
(1)判断OB 与OC 的位置关系，并说明理由；
(2)若
3
BO =
，
3
tan
4
=
OCD
，求
O 的半径．
【答案】(1)解：OB
OC
⊥
，理由如下：
如图所示，连接
,
,
OE OF OG ，
，
∵AB ，BC ，CD分别与
O 相切于E ，F ，G 三点，
∴
90
OEB
OFC
OGC
=
=
=
，
在Rt
OBE
△
和Rt
OBF
△
中，
OE
OF
OB
OB
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
OBE
OBF
≌
，
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∴
EOB
FOB
=
，
同理可证Rt
Rt
OFC
OGC
≌
，
∴
FOC
GOC
=
，
∵
2
2
2
180
EOB
FOB
FOC
GOC
FOB
FOC
BOC
+
+
+
=
+
=
=
，
∴
90
BOC
=
，
即OB
OC
⊥
．
(2)
O 的半径为12
5
【分析】（1）利用圆的切点的性质证得Rt
Rt
OBE
OBF
≌
和Rt
Rt
OFC
OGC
≌
，得出
EOB
FOB
=
，
FOC
GOC
=
，再根据这四个角相加为180求解；
（2）由（1）可得
90 ,
BOC
OCD
OCB
=
=
，利用
3
tan
tan
4
OCD
OCB
=
=
求出OC 的长度，再根据勾
股定理求出BC 的长度；再根据已知条件证明BOC
BFO
∽
，利用相似求解．
【详解】（1）解：OB
OC
⊥
，理由见答案
（2）解：由（1）知，OB
OC
⊥
，Rt
Rt
OFC
OGC
≌
，
∴
90 ,
BOC
OCD
OCB
=
=
，
∵
3
tan
4
=
OCD
，
∴
3
tan
4
BO
OCB
OC
=
=
，
∵
3
BO =
，
∴
4
OC =
，
在Rt OCB中，
2
2
2
2
3
4
5
BC
OB
OC
=
+
=
+
=
；
∵
90
BOC
OFB
=
=
，
OBF
CBO
=
，
∴BOC
BFO
∽
，
∴OB
OF
BC
OC
=
，即3
5
4
OF
=
，解得
12
5
OF =
，
∴
O 的半径为12
5 ．
10．（2026·四川南充·中考真题）如图，在
O 中，AB 为直径，AC 为切线，点D 在
O 上，
2
180
C
B
+ =
．
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(1)求证：CD是
O 的切线．
(2)若
10
AC =
，
3
cos
5
C =
，求AB 的长．
【答案】(1)证明：连接OD，
AOD
与
B
分别是弧AD 所对的圆心角和圆周角，
2
AOD
B
= ，
又
2
180
C
B
+ =
，
180
AOD
C
+
=
，
在四边形OACD中，
360
OAC
C
ODC
AOD
++
+
=
，
360
180
180
OAC
ODC
+
=
−
=
，
AC 为
O 的切线，AB 为直径，
OA
AC
⊥
，即
90
OAC
=
，
180
90
ODC
OAC
=
−
=
，即OD
CD
⊥
，
又
OD 为
O 的半径，
CD
是
O 的切线．
(2)10
【分析】（1）连接OD，由同弧所对圆心角是圆周角的2 倍，得
2
AOD
B
= ，结合已知
2
180
C
B
+ =
，
推出
180
AOD
C
+
=
，再利用四边形OACD的内角和为360，得到
180
OAC
ODC
+
=
，而AC 为切线，
90
OAC
=
，于是
90
ODC
=
，从而CD为切线．
（2）连接OC 、AD ，OC 交AD 于点E ，作AH
CD
⊥
于点H ，利用余弦的定义求CH ，进而求出
,
AH HD
和AD ，利用面积法求出CE，再证明
(ASA)
AEC
BDA
≌
，可得AC 等于直径AB ．
【详解】（1）略
（2）解：连接OC 、AD ，OC 交AD 于点E ，
由（1）知CA、CD是
O 的两条切线，
CA
CD
=
，
OA
OD
=
OC
是AD 的垂直平分线，
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OC
AD
⊥
，即
90
AEC
=
，且
1
2
AE
ED
AD
=
=
，
作AH
CD
⊥
于点H ，
在Rt AHC 中，
90
AHC
=
，
10
AC =
，
3
cos
5
ACD
=
，
∴
3
cos
10
6
5
CH
AC
ACD
=
=
=
，
2
2
8
AH
AC
CH
=
−
= ，
10
CD
CA
=
=
，
10 6
4
HD
CD CH
=
−
=
−=
，
在Rt
AHD
△
中，
2
2
2
2
8
4
4 5
AD
AH
HD
=
+
=
+
=
，
1
2 5
2
AE
AD
=
=
，
又
1
1
2
2
ACD
S
CE AD
AH CD
=
=
，
8 10
80
CE AD
AH CD
=
=
=
，
80
4 5
CE
AD
=
=
，
AB 为
O 的直径，
90
ADB
=
，
90
AEC
BDA
=
=
，
90
EAC
BAD
+
=
，
90
EAC
ACE
+
=
，
BAD
ACE
=
，
∵
4 5
AD
CE
=
=
，
∴
(ASA)
AEC
BDA
≌
，
AC
BA
=
，
10
AC =
，
10
AB
=
．
11．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，ABC是等腰三角形，AC
BC
=
，
120
ACB
=
，点D 是AB 中点，
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CE平分
ACD
交AB 于点E ．
(1)求
BCE
的度数；
(2)求证：AC 与BCE 的外接圆相切；
(3) P 为BCE 外接圆上任意一点，试探究PD 与PA 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)90
(2)证明：由（1）知
90
BCE
=
，
∴EB 是BCE 的外接圆的直径，设圆心为点O，连接OC ，
∵AC
BC
=
，
120
ACB
=
，
∴
180
30
2
ACB
B
CAB
−
=
=
=
∵OC
OB
=
，
∴
30
OCB
B
= =
∴
90
ACO
ACB
OCB
=
−
=
，
∵OC 为半径，
∴AC 与BCE 的外接圆相切；
(3)解：
2
PA
PD
=
，理由如下：
连接OP ，设OP
OE
OC
R
=
=
=
，
∵
30 ,
90
CAB
ACO
=
=
∴
2
2
AO
CO
R
=
=
，
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∵CE
CE
=
∴
2
60
COE
B
= =
∵CA
CB
=
，点D 是AB 中点，
∴CD
AB
⊥
∴
90
30
DCO
COE
=
−
=
，
∴
1
1
2
2
OD
OC
R
=
=
，
∴
2
2
1
2
2
OD OA
R
R
R
OP
=
=
=
∴OD
OP
OP
OA
=
∵
DOP
POA
=
∴
DOP
POA
△
∽△
∴
1
2
2
PD
OP
R
PA
OA
R
=
=
=
，
∴
2
PA
PD
=
．
【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”性质以及角平分线的定义求解即可；
（2）可得EB 是BCE 的外接圆的直径，设圆心为点O，连接OC ，先由等腰三角形的性质以及三角形内角
和定理得到
30
B
CAB
=
=
，再由OC
OB
=
，得到
30
OCB
B
= =
，则
90
ACO
ACB
OCB
=
−
=
，
即可证明；
（3）连接OP ，设OP
OE
OC
R
=
=
=
，导角证明
DOP
POA
△
∽△
即可求解．
【详解】（1）解：∵AC
BC
=
，
120
ACB
=
，点D 是AB 中点，
∴
1
60
2
BCD
ACD
ACB
=
=
=
∵CE平分
ACD
∴
3
1
2
0
A
DCE
CD
=
=
∴
90
BCE
BCD
DCE
=
+
=
（2）略
（3）略
12．（2026·四川达州·中考真题）已知：如图，P 为
O 外一点，PA 与
O 相切于点A．连接OP ，AC OP ，
BC 为
O 的直径、连接PB ．
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(1)试判断PB 与
O 的位置关系，并说明理由；
(2)若
O 的半径为6 、
4
AC =
，求PB 的长．
【答案】(1) PB 与
O 相切，理由如下：
连接AO，
∵PA 与
O 相切，
∴
90
PAO
=
．
∵AC
OP
∥
，
∴
,
AOP
OAC
ACO
POB
=
=
．
∵OA
OB
OC
=
=
，
∴
OAC
ACO
=
，
∴
AOP
POB
=
．
∵OP
OP
=
，
∴PAO
PBO
≌
，
∴
90
PBO
PAO
=
=
，
∴PB
BO
⊥
，
∴PB 与
O 相切；
(2)
3
【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得
90
PAO
=
，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质说明
AOP
POB
=
，然后根据“边角边”证明PAO
PBO
≌
，可得
90
PBO
=
，进而得出答案；
（2）作OD
AC
⊥
，根据垂径定理得
2
AD =
，再根据勾股定理求出
2
OD =
，然后说明ADO
OBP
∽
，可
得AD
OD
OB
PB
=
，则此题可解．
【详解】（1）略
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（2）解：如图所示，过点O 作OD
AC
⊥
于点D，
∴
1
2
2
AD
CD
AC
=
=
=
．
在Rt AOD中，
6,
2
OA
OB
AD
=
=
=
，
根据勾股定理，得
2
2
2
2
( 6)
2
2
OD
OA
AD
=
−
=
−
=
．
∵
,
90
CAO
POB
PBO
ADO
=
=
=
，
∴ADO
OBP
∽
，
∴AD
OD
OB
PB
=
，
即2
2
6
PB
=
，
解得
3
PB =
．
13．（2026·四川眉山·中考真题）如图，四边形ABCD是
O 的内接四边形，AB 是
O 的直径，对角线AC
平分
BAD
交BD 于点E ，点F 在AB 的延长线上，且满足
BCF
BAC
=
．
(1)求证：CF 是
O 的切线；
(2)若
3
CE =
，
5
BE =
，求
O 的半径．
【答案】(1)证明：连接OC ，
∵OA
OC
=
∴
OAC
OCA
=
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∵
BCF
BAC
=
∴
BCF
OCA
=
∵AB 是
O 的直径
∴
90
ACB
=
∴
90
OCA
OCB
+
=
∴
90
BCF
OCB
OCF
+
=
=
又∵点C 在
O 上
∴CF 是
O 的切线；
(2)10
3
【分析】（1）连接OC ，由OA
OC
=
，得到
OAC
OCA
=
，然后由圆周角定理得到
90
ACB
=
，再结合
已知条件进行等量代换证明
90
BCF
OCB
OCF
+
=
=
即可；
（2）先由勾股定理求解BC ，然后根据圆周角定理得到
4
CD
CB
=
=
，再由DEC
AEB
∽
求出AB ，即可求
解半径．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）得
90
ACB
=
，
∵
3
CE =
，
5
BE =
∴
2
2
4
BC
BE
CE
−
=
=
∵AC 平分
BAD
∴
CAD
CAB
=
∴CD
CB
=
∴
4
CD
CB
=
=
∵
BAC
BDC
=
，
ABD
ACD
=
∴DEC
AEB
∽
∴DC
CE
AB
BE
=
∴4
3
5
AB =
∴
20
3
AB =
∴
1
1
20
10
2
2
3
3
OA
AB
=
=
=
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∴
O 的半径为10
3 ．
14．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，AB 是
O 的直径，弦CD
AB
⊥
于点E，连接AC ，过点D 的直线分
别与AB
AC
、
的延长线交于点F
G
、
，且
1
2
A
CDG
=
．
(1)求证：DG 是
O 的切线；
(2)若
,
AB
10 CD
6
=
=
，求BF 的长．
【答案】(1)证明：连接OD
AB 是
O 的直径，弦CD
AB
⊥
于点E，
BC
BD
=
，
90
BOD
ODE
+
=
，
2
BOD
A
= ，
2
90
A
ODE
+
=
，
1
2
A
CDG
=
，
2
CDG
A
= ，
90
CDG
ODE
+
=
，
90
ODG
=
，
DG
是
O 的切线；
(2) 5
4
【分析】（1）连接OD，证明
90
ODG
=
即可证明DG 是
O 的切线；
（2）设BF
x
=
，得到
(
)
5
,
1
OF
OB
BF
x
EF
BE
BF
x
=
+
=
+
=
+
=
+ ，根据勾股定理得到
2
2
2
2
2
OF
OD
DF
DE
EF
−
=
=
+
，解答即可．
【详解】（1）略
（2）解：设BF
x
=
，
AB 是
O 的直径，弦CD
AB
⊥
于点E，
,
AB
10 CD
6
=
=
，
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5,
3
OB
OD
DE
=
=
=
，
2
2
4
OE
OD
DE
=
−
= ，
1
BE
OB OE
=
−
= ，
(
)
5
,
1
OF
OB
BF
x
EF
BE
BF
x
=
+
=
+
=
+
=
+ ，
CD
AB
⊥
∵
，
90
ODG
=
，
2
2
2
2
2
OF
OD
DF
DE
EF
−
=
=
+
，
(
)
(
)
2
2
2
2
5
5
3
1
x
x
+
−
=
+
+
，
解得
5
4
x =
，
故BF 的长为5
4 ．
考点03 弧长、扇形面积、圆锥侧面积与全面积计算、阴影面积
1．（2026·四川遂宁·中考真题）某校五四文艺汇演，需用扇形纸片制作锥形帽（不考虑接缝处损耗），若
锥形帽底面圆的直径为32cm，母线长为30cm，则扇形纸片的圆心角为（ ）
A．86 ?
B．144
C．150
D．192
【答案】D
【详解】解：
圆锥底面圆直径为32cm，
圆锥底面圆周长
π 32
32πcm
C =
=
，
扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长30cm
设扇形圆心角为n，根据扇形弧长公式
180
n R
l
=
，可得：
π 30
32π
180
n
=
解得
192
n =
，
扇形纸片的圆心角为192．
2．（2026·四川凉山·中考真题）如图，
A，
B ，
C ，
D两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇
形（即阴影部分）的面积之和为（ ）
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A．4
B．2
C．
D．2
【答案】C
【分析】观察图形可知，四个阴影扇形的圆心角之和即为四边形ABCD的内角和，利用四边形内角和为360
及扇形面积公式即可求解．
【详解】解：
四边形ABCD的内角和为360，
四个扇形的圆心角之和为360
四个圆的半径都是1，
四个扇形的面积之和
2
360 π 1
π
360
=
=
．
3．（2026·四川内江·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图的弧长为10π，若该圆锥的高OA为12，则该圆锥
母线AB 的长为_________．
【答案】13
【分析】圆锥的侧面展开图的弧长为该圆锥的底面圆的周长，据此根据圆的周长公式求出OB 的长，再利用
勾股定理可求出AB 的长．
【详解】解：设OB
x
=
，
∵圆锥的侧面展开图的弧长为10π，
∴该圆锥的底面圆的周长为10π，
∴2π
10π
x =
，
∴
5
x = ，
∴
5
OB = ，
在Rt ABO中，由勾股定理得
2
2
2
2
12
5
13
AB
OA
OB
=
+
=
+
=
．
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4．（2026·四川达州·中考真题）如图，已知正六边形ABCDEF 的中心为O、边心距
3
OM =
，分别以F 、
C 为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边AB ，DE 所围成的阴影部分面积是________．
【答案】
8
6 3
3
−
【分析】连接AD 、BE 、CF ，由题意可得AD 、BE 、CF 交于点O，得出ODE 是等边三角形，利用等
边三角形的性质和三角函数可计算出
2
DE =
．由正多边形的内角公式可得
120
BCD
AFE
=
=
，用正六边
形的面积减去两个扇形的面积即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：如图，连接AD 、BE 、CF ，
在正六边形ABCDEF 中，
(
)
6
2
180
120
6
BCD
AFE
−
=
=
=
，AF
BC
DE
=
=
，
∵点O为正六边形ABCDEF 的中心，
∴AD 、BE 、CF 交于点O，
∴
360
6
60 ,
DOE
DO
EO
=
=
=
，
∴ODE 是等边三角形，
∴DE
OD
=
，
60
ODE
=
，
根据题意，OM
DE
⊥
，
在Rt ODM 中，
3
2
sin ∠
sin 60
OM
OD
ODE
=
=
=
，
∴
2
AF
BC
DE
OD
=
=
=
=
，
∵
正六边形
△
1
6
6
6 3
2
ABCDEF
ODE
S
S
DE
OM
=
=
=
，
∴
阴影
正六边形
扇形
扇形
ABCDEF
FAE
CBD
S
S
S
S
=
−
−
2
2
120π 2
120π 2
6 3
360
360
=
−
−
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4
4
6 3
3
3
=
−
−
8
6 3
3
=
−
．
5．（2026·四川自贡·中考真题）“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为2 dm
的圆
形纸片剪出如图所示的图案，其内部4 个小圆的半径都为1dm
，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____
2
dm ．
【答案】
(
)
4π
8
−
/(
)
8
4
−+
【分析】根据题意，分别算出
2
1
2
AOB
S
dm
=
扇形
，
2
1
AOB
S
dm
=
，
4
ABCD
S
=
正方形
，4 个空白半圆的面积为
(
)
2
2
dm
，
结合图形即可求解．
【详解】解：根据题意，半径为
2
R
dm
=
的圆形纸片的面积为
(
)
2
4
dm
，内部4 个小圆的半径都为
1
r
dm
=
，
则内部4 个小圆的面积为
(
)
2
4
dm
，
如图所示，
根据剪纸中折叠的性质得到，AC
BD
⊥
，垂足为点O，四边形ABCD是正方形，过点O 作OE
AB
⊥
于点E，
圆心为点E，
∴
2
2
AB
r
dm
=
=
，则
1
AE
OE
dm
=
=
，
∴
2
2
1
1
π 1
2
2
AOB
S
dm
=
=
扇形
，
2
1
1
2 1
1
2
2
AOB
S
AB OE
dm
=
=
=
，
2
2
4
ABCD
S
=
=
正方形
，4 个空白半圆的面积
为
(
)
2
2
1
4
π 1
2
2
dm
=
，
∴大圆内不规则的阴影部分的面积为：
(
)
2
4π
4
2π
2π
4 dm
−
−
=
−
，
∴在
E 中，弓形
,
OA OB 的面积为
(
)
2
1 π
1
2
AOB
AOB
S
S
dm
−
=
−
扇形
，
同理，大圆内4 个花瓣的面积和为
(
)
2
1
4
π 1
2π
4
2
dm
−
=
−
，
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∴阴影部分的面积为
(
)
(
)
2
2π
4
2π
4
4π
8 dm
−
+
−
=
−
，即剪去空白部分，则剩下部分面积为
(
)
2
4π
8 dm
−
．
6．（2026·四川内江·中考真题）如图，在ABC中，AB
AC
=
，以边AB 为直径作
O ，交BC 于点D ，
交CA的延长线于点E ，连接DE 交AB 于点F ．
(1)如图1，过点D 作DM
AC
⊥
于点M ．
①求证：DM 是
O 的切线；
②若
30
CED
=
，
6
AB =
，求阴影部分的面积；
(2)如图2，连接BE ，若
1
2
EF
FD =
，
2 15
BE =
，求AE 的值．
【答案】(1)①证明：如图1 所示，连接
,
AD OD ，
∵AB 为
O 的直径，
∴
90
ADB
=
，即AD
BC
⊥
，
∵AC
AB
=
，
∴CD
BD
=
，即点D 为BC 的中点，
又∵点O 为AB 的中点，
∴OD是ABC的中位线，
∴OD
AC ，
∵DM
AC
⊥
，
∴DM
OD
⊥
，
∵OD是
O 的半径，
∴DM 是
O 的切线；
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②
9 3
3π
4
−
(2) 2
【分析】（1）①连接
,
AD OD ，可证明AD
BC
⊥
，得到点D 为BC 的中点，则OD是ABC 的中位线，进而
可证明OD
AC ，进一步可证明DM
OD
⊥
，则可证明DM 是
O 的切线；②由圆周角定理可得
60
AOD
=
，则可证明AOD是等边三角形，得到
3
AD = ，
60
OAD
=
，解直角三角形得到
3 3
BD =
，
可求出
1
9 3
2
4
BOD
ADB
S
S
=
=
，根据
BOD
BOD
S
S
S
=
−
阴影
扇形
列式求解即可；
（2）取AC 的中点T，连接DT ，可证明DT 为ABC的中位线，则DT
AB ，由平行线分线段成比例定理
得到
1
2
AE
EF
AT
FD
=
=
；设AE
x
=
，则
4
AB
AC
x
=
=
，由勾股定理得(
)
(
)
2
2
2
4
2 15
x
x
=
+
，解方程即可得到答
案．
【详解】（1）①略；
②解：如图1 所示，连接
,
AD OD ，
∵AB 为
O 的直径，
∴
90
ADB
=
；
∵AD
AD
=
，
∴
2
60
AOD
AED
=
=
，
∵OA
OD
=
，
∴AOD是等边三角形，
∴
1
3
2
AD
OA
OB
AB
=
=
=
=
，
60
OAD
=
，
∴
sin
6 sin60
3 3
BD
AB
DAB
=
=
=
，
∴
1
1
9 3
3 3 3
2
2
2
ADB
S
AD BD
=
=
=
，
∵点O 为AB 的中点，
∴
1
9 3
2
4
BOD
ADB
S
S
=
=
，
∵
180
120
BOD
S
AOD
−
=
=
，
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∴
2
120π 3
9 3
9 3
3π
360
4
4
BOD
BOD
S
S
S
−
=
−
=
−
=
阴影
扇形
；
（2）解：如图2 所示，取AC 的中点T，连接DT ，
由（1）可得点D 为BC 的中点，
∴DT 为ABC的中位线，
∴DT
AB ，
∴
1
2
AE
EF
AT
FD
=
=
；
设
2
AE
x
AT
CT
x
=
=
=
，
，则
4
AC
AT
CT
x
=
+
=
，
∴
4
AB
AC
x
=
=
；
∵AB 是
O 的直径，
∴
90
AEB
=
；
在Rt
ABE
△
中，由勾股定理得
2
2
2
AB
AE
BE
=
+
，
∴(
)
(
)
2
2
2
4
2 15
x
x
=
+
，
解得
2
x =
或
2
x = −（舍去），
∴
2
AE =
．
考点04 圆与三角形、四边形、相似简单综合计算
1．（2026·四川广元·中考真题）如图，AB 为
O 的直径，点C 在
O 上，点E 为ABC 的内心，CE 的延
长线交
O 于点F ，连接AF ，若
5
AC = ，
13 2
2
AF =
，则CE 的长为（ ）
A．3 2
2
B．2 2
C．5
2
−
D．1
2
+
【答案】B
【分析】连接
,
,
AE BE BF ，则
90 ,
90
ACB
AFB
=
=
， 由内心的定义可得CF 平分
ACB
， 可得
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45
ACF
BCF
=
=
， 进一步可证明AF
BF
=
，利用勾股定理可得
13,
12
AB
BC
=
=
，设ABC 的内切圆
半径为r ， 根据
ABC
ACE
ABE
CBE
S
S
S
S
=
+
+
，可求出
2
r =
， 过点E 作EG
AC
⊥
于点G ，则
2
EG =
，解直
角三角形即可求出CE的长．
【详解】解：如图所示，连接
,
,
AE BE BF ，
AB 为
O 的直径，
90 ,
90
ACB
AFB
=
=
，
点E 为ABC的内心，
CF
平分
ACB
，
45
ACF
BCF
=
=
，
弧AF = 弧BF ，
AF
BF
=
，
在 Rt AFB 中，由勾股定理得
2
2
13 2
2
2
13
2
AB
AF
BF
AF
=
+
=
=
=
，
在 Rt ABC 中，由勾股定理得
2
2
2
2
13
5
12
BC
AB
AC
=
−
=
−
=
；
设ABC的内切圆半径为r ，
点 E 为ABC的内心，
点E 到ABC的三边的距离都等于r ，
ABC
ACE
ABE
CBE
S
S
S
S
=
+
+
，
1
1
1
1
2
2
2
2
AC r
AB r
BC r
AC BC
+
+
=
，
1
1
1
1
5
13
12
5 12
2
2
2
2
r
r
r
+
+
=
，
2
r
=
；
如图所示， 过点E 作EG
AC
⊥
于点G ，
则
2
EG =
，
在Rt CGE中，
45
GCE
=
，
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CGE
是等腰直角三角形 ，
2
2 2
sin
sin 45
EG
CE
GCE
=
=
=
．
2．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在矩形ABCD中，
9
AB = ，
12
AD =
，点E 在AB 边上，且
3
BE =
，
点F 是BC 边上的一个动点，将BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为点B，连接AB．点G 在线段AB上，
若
2
3
AG
AB
=
，连接DG ，则DG 的最小值为_______．
【答案】4 10
2
−
【分析】根据翻折的性质可知
3
EB
EB
=
= ，即点B在以E 为圆心，3为半径的圆上运动，由
2
3
AG
AB
=
，
联想到位似变换，在AE 上取点H 使得
2
3
AH
AE
=
，构造AHG
AEB
∽
，从而确定点G 的轨迹是以H 为
圆心，2 为半径的圆，连接DH ，当
,
,
D G H 三点共线时，DG 取得最小值，利用勾股定理求出DH 的
长即可求解．
【详解】解：
四边形ABCD是矩形，
90
A
=
，
12
AD =
，
9
AB =
，
点E 在AB 边上，
3
BE =
，
9 3
6
AE
AB
BE
=
−
= −=
，
由翻折的性质可知，
3
EB
EB
=
= ，
在AE 上取一点H ，使得
2
3
AH
AE
=
，连接HG ，
2
6
4
3
AH
=
=
，
在AHG 和
AEB
△
中，
2
3
AG
AH
AB
AE
=
=
，
HAG
EAB
=
，
AHG
AEB
∽
，
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2
3
HG
AH
EB
AE
=
=
，
2
2
3
2
3
3
HG
EB =
=
=
，
点H 是定点，HG 长为定值2 ，
点G 在以点H 为圆心，2 为半径的圆上运动，
连接DH ，当点G 在线段DH 上时，DG 的值最小，最小值为DH
HG
−
，
在Rt DAH 中，
12
AD =
，
4
AH =
，
根据勾股定理得：
2
2
2
2
12
4
144 16
160
4 10
DH
AD
AH
=
+
=
+
=
+
=
=
，
DG
的最小值为4 10
2
−
．
3．（2026·四川自贡·中考真题）如图，正方形ABCD中，点E 为CD的中点，作
45
EBF
=
，交AD 于点F ．点
G ，H 分别在等腰Rt DFQ 的直角边DQ 和斜边FQ 上，且
2
GQ
FH
=
，FG 与DH 交于点P ．连接BP ，若
2
AF =
，则BP 的最小值为_____．
【答案】4 5
2 2
−
【分析】根据题意，四边形ABCD是正方形，设边长为a ，如图所示，将
ABF
△
绕点 B 顺时针旋转 90
得到
CBK ，点 K 在 DC 的延长线上，则
1
2
2
EF
EK
a
=
=
+
，有勾股定理列式求解得到
6
a =
，再证明
DFH
FQG
∽
，结合角度的计算得到点 P 在以 DF 为弦，含 135 圆周角的圆弧上运动，设该圆圆心
为 O，半径为R ，得到
2 2
2
DF
R
O D =
=
=
，如图，建立平面直角坐标系，以B 为原点，BC 所在直线为
x 轴，BA 所在直线为y 轴，结合图形，两点之间距离的计算即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，设边长为a ，
∴
,
90
AB
BC
CD
AD
a
ABC
BCD
CDA
DAB
=
=
=
=
=
=
=
=
，
∵点E 为CD的中点，
∴
1
2
DE
CE
CD
=
=
，
∵
2,
AF
AD
a
=
=
，且DFQ是等腰直角三角形，
∴
2
DF
DQ
AD
AF
a
=
=
−
=
−
，
45
DFQ
DQF
=
=
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∵
45
EBF
=
，
∴
90
45
45
CBE
ABF
ABC
EBF
+
=
−
=
−
=
，
如图所示，将
ABF
△
绕点 B 顺时针旋转 90 得到
CBK ，点 K 在 DC 的延长线上，
∴ABF
CBK
≌
，
∴
,
,
BF
BK AF
CK
ABF
CBK
=
=
=
，则
45
CBK
CBE
ABF
CBE
EBF
+
=
+
=
=
，且BE
BE
=
，
∴
(
)
EBF
EBK SAS
≌
，
∴
1
2
2
EF
EK
EC
CK
EC
AF
a
=
=
+
=
+
=
+
，
在Rt
DEF
△
中，
2
2
2
EF
DF
DE
=
+
，
∴
(
)
2
2
2
1
1
2
2
2
2
a
a
a−
+
=
+
，
整理得，
2
6
0
a
a
−
= ，
解得，
1
2
6,
0
a
a
=
=
（舍去），
∴
6
AB
BC
CD
AD
=
=
=
=
，
∴
6
2
4
DF
DQ
=
=
−
=
，
3
DE = ，
∴
2
4 2
FQ
DF
=
=
，
∴
2
FQ
DF =
，
∵
2
GQ
FH
=
，
∴
2
GQ
FH =
，
∴FQ
GQ
DF
FH
=
，且
45
DFH
FQG
=
=
，
∴DFH
FQG
∽
，
∴
FDH
QFG
=
，
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在PDF 中，
(
)
180
DPF
PDF
PFD
−
=
+
，
∵
45
45
PFD
QFD
QFG
QFG
FDH
=
−
=
−
=
−
，
∴
45
45
PDF
PFD
FDH
FDH
+
=
+
−
=
，
∴
180
45
135
DPF
=
−
=
，
∴点 P 在以 DF 为弦，含 135 圆周角的圆弧上运动，设该圆圆心为 O，半径为R ，
∵圆心角
(
)
2
180
135
90
DO F
−
=
=
，
4
DF = ，
∴DO F
是等腰直角三角形 ，
∴
2 2
2
DF
R
O D =
=
=
，
如图，建立平面直角坐标系，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，
∴
(0,0),
(0,6),
(6,6),
(2,6)
B
A
D
F
，
∵DF 在直线
6
y =
上，且P 在正方形内部（
6
y
），
∴ 圆心O在DF 的上方，且O到DF 的距离为
1
2
2
O J
DF
=
=
，
∵ DF 的中点坐标为(
)
4,6
J
，
∴ 圆心O的坐标为(4,8) ，连接BO，交圆弧于点P ，此时BP 取得最小值
2
2
(4
0)
(8
0)
16
64
80
4 5
BO =
−
+
−
=
+
=
=
，
∴
min
4 5
2 2
BP
BO
R
−
=
=
−
．
4．（2026·四川广安·中考真题）如图，在矩形ABCD中，已知
3
AB =
，
4
BC =
，点E 是射线BC（不与点B
重合）上的一个动点，连接AE 并延长交直线CD于点F ，将ABE 沿射线AE 翻折，点B 的对应点为点B，
延长AB交直线CD于点G ．有下列结论：
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①AG
GF
=
；②
2
DGA
BAE
=
；③若点B恰好落在对角线AC 上时，则
5
2
CE =
；④若
3
2
BE
CE =
时，则
54
41
AB D
S
=
△
或18
5 ；⑤B D
的取值范围为1
5
B D
．其中正确的结论有_____．（填序号）
【答案】①③⑤
【分析】①②分类讨论，当E 在C 的左侧和E 在C 的右侧（含点C ），根据矩形性质和折叠的性质即可推
出结论；③先判断E 在C 的左侧，根据矩形的性质结合勾股定理求出AC 的长，再根据折叠的性质结合勾股
定理求出CE的长，④分类讨论，当E 在C 的左侧和E 在C 的右侧（含点C ），分别作过点D 作DM
AG
⊥
交
AG于点M ，过点D 作DN
AG
⊥
交AG于点N ，运用矩形的性质证明ABE
FCE
∽
，得出FC 的长，再结
合①的结论算出DG 的长，根据等面积法求出DM 、DN ，最后运用三角形的面积求解即可；⑤先判断B在
以A 为圆心，半径为3的圆上运动，即可求解．
【详解】解：关于①，如图，当E 在C 的左侧、，
∵ABE 关于AE 折叠为
AB E
△
，
∴
1
2
BAE
B AE
BAB
=
=
，
∵矩形ABCD，
∴AB CD ，
∴
BAE
AFD
=
，
∴
AFD
B AE
=
，
∴AG
GF
=
，
如图，E 在C 的右侧（含点C ），
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与当E 在C 的左侧同理，
综上，AG
GF
=
，
∴①符合题意；
关于②，如图，当E 在C 的左侧，
∵ABE 关于AE 折叠为
AB E
△
，
∴2
2
BAE
B AE
BAB
=
=
，
∵矩形ABCD，
∴AB CD ，
∴
2
AGD
BAB
BAE
=
=
，
如图，E 在C 的右侧（含点C ），
∵AB CD ，
∴
2
180
AGD
BAB
AGD
BAE
+
=
+
=
，即
180
2
AGD
BAE
=
−
，
∴②不符合题意；
关于③，∵点B恰好落在对角线AC 上，
∴如图，E 在C 的左侧，
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∵矩形ABCD，
∴
90
B
=
，
∵在Rt
ABC
△
中，
3
AB =
，
4
BC =
，
∴根据勾股定理，
2
2
5
AC
AB
BC
=
+
=
，
∵ABE 关于AE 折叠为
AB E
△
，
∴BE
B E
=
，AB
AB
=
，
90
B
AB E
=
=
，
∴
90
AB E
CB E
=
=
，
2
BC
AC
AB
=
−
=
，
∵在Rt
CB E
△
中，
2
B C
=
，
4
B E
BE
BC
CE
CE
=
=
−
= −
，
∴根据勾股定理，
2
2
2
CE
B E
B C
=
+
，即
(
)
2
2
4
4
CE
CE
=
−
+
，
解得:
5
2
CE =
，
∴③符合题意；
关于④，如图，当E 在C 的左侧，过点D 作DM
AG
⊥
交AG于点M ，
∵ABE 关于AE 折叠为
AB E
△
，
∴
3
AB
AB
=
= ，
∵矩形ABCD，
∴AB CD ，
90
ADC
=
，
3
AB
CD
=
=
，
4
AD
BC
=
=
，
∴ABE
FCE
∽
，
∴
3
2
AB
BE
FC
CE
=
=
，即3
3
2
FC =
，
解得：
2
FC =
，
∴
5
GF
CD
DG CF
DG
=
−
+
= −
，
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∵在Rt ADG中，
4
AD =
，
∴根据勾股定理，
2
2
2
2
4
AG
AD
DG
DG
=
+
=
+
，
∵由①得AG
GF
=
，
∴
2
2
AG
GF
=
，即
(
)
2
2
16
5
DG
DG
+
=
−
，解得：
9
10
DG =
，
∴
41
10
AG
GF
=
=
，
∵
1
1
2
2
AGD
S
AG DM
AD DG
=
=
，即41
9
4
10
10
DM =
∴
36
41
DM =
，
∴
1
1
36
54
3
2
2
41
41
AB D
S
AB DM
=
=
=
，
如图，当E 在C 的右侧（含点C ），过点D 作DN
AG
⊥
交AG于点N ，
∵ABE 关于AE 折叠为
AB E
△
，
∴
3
AB
AB
=
= ，
∵矩形ABCD，
∴AB CD ，
90
ADC
=
，
3
AB
CD
=
=
，
4
AD
BC
=
=
，
∴ABE
FCE
∽
，
∴
3
2
AB
BE
FC
CE
=
=
，即3
3
2
FC =
，解得：
2
FC =
，
∴
1
GF
CD CF
DG
DG
=
−
+
= +
，
∵在Rt ADG中，
4
AD =
，
∴根据勾股定理，
2
2
2
2
4
AG
AD
DG
DG
=
+
=
+
，
∵由①得AG
GF
=
，
∴
2
2
AG
GF
=
，即
(
)
2
2
16
1
DG
DG
+
=
+
，解得：
15
2
DG =
，
∴
17
2
AG
GF
=
=
，
∵
1
1
2
2
AGD
S
AG DN
AD DG
=
=
，即17
15
4
2
2
DN =
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∴
60
17
DN =
，
∴
1
1
60
90
3
2
2
17
17
AB D
S
AB DN
=
=
=
，
综上，
54
41
AB D
S
=
△
或90
17 ；
∴故④不符合题意；
关于⑤，
∵ABE 关于AE 折叠为
AB E
△
，
∴
3
AB
AB
=
= ，
∴如图，B在以A 为圆心，半径为3的圆上运动，
∵点E 是射线BC （不与点B 重合）上的一个动点，
∴0
90
BAE
，即0
180
BAB
，
∴B在BT 上运动，
当B在K 点时，B D
有最小值，最小值为4 3 1
−= ，
当B接近T 时停止，B D
趋近于
2
2
4
3
5
DT =
+
=
，
∴B D
的取值范围为1
5
B D
，
故⑤符合题意；
综上，符合题意的有①③⑤．
6．（2026·四川成都·中考真题）如图，点C 在以AB 为直径的
O 上，连接AC ，BC ，过点C 作CD
AB
⊥
，
垂足为D ，在圆上取一点E ，使CE
CB
=
连接CE，BE ．
(1)求证：
90
ACD
CBE
+
=
；
(2)若
5
sin
,
7
6
A
OD
=
=
，求
O 的半径和BE 的长．
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【答案】(1)证明：∵AB 为的
O 直径，
∴
90
ACB
=
，即
90
ACD
BCD
+
=
又∵CD
AB
⊥
，
∴
90
BCD
ABC
CAB
=
−
=
∵CE
CB
=
∴
CBE
CAB
=
∴
90
ACD
CBE
+
=
；
(2)
O 的半径为18，
10 11
BE =
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出
90
ACD
BCD
+
=
，进而根据同角的余角相等得出
BCD
CAB
=
，结合已知得出
CBE
CAB
=
，进而可得
90
ACD
CBE
+
=
；
（2）设
O 的半径为r ，由（1）可得
BCD
CAB
=
，根据正弦的定义，可得
7
5
2
6
r
BC
BC
r
+
=
=
，求得
18
r =
，
30
BC =
，勾股定理求得AC ，进而求得
11
cos
6
A =
，证明CE
CB
=
，过点C 作CF
BE
⊥
于点F ，则EF
BF
=
，
进而解Rt
CBF
△
，求得BF ，进而求得BE 的长，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：设
O 的半径为r ，
由（1）可得
BCD
CAB
=
∴
5
sin
6
sin
BCD
A =
=
∴
7
5
2
6
r
BC
BC
r
+
=
=
解得：
18
r =
，
30
BC =
∴
2
36
AB
r
=
=
，
在Rt
ABC
△
中，
∴
2
2
2
2
36
30
6 11
AC
AB
BC
=
−
=
−
=
∴
6 11
11
cos
=
36
6
AC
A
AB =
=
∵CE
CB
=
∴CE
CB
=
如图，过点C 作CF
BE
⊥
于点F ，则EF
BF
=
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∵
CBE
CAB
=
∴cos
cos
CBE
CAB
=
∴
11
6
BF
BC =
∴
11
30
5 11
6
BF =
=
∴
2
10 11
BE
BF
=
=
7．（2026·四川广元·中考真题）在学习图形旋转时，“智慧小组”将两个三角形纸片固定一个顶点，然后将
其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的规律．
在AOB 与
COD
△
中，
90
ABO
CDO
=
=
，
30
AOB
COD
=
=
，
6
OA=
，
4
OC =
，将
COD
△
绕点O
顺时针旋转，旋转角为(
)
0
180
，直线BD 与直线AC 相交于点E ．
【初步探究】
(1)如图2，
AEB
的度数为__________；
【尝试应用】
(2)如图2，若BE
OA
∥
，求CE 的长；
【创新提升】
(3)若C ，D ，E 三点构成以CD为腰的等腰三角形，请直接写出AC 的长．
【答案】(1)30
(2) 7
(3) 4 2
2 3
−
或2 6
2
+
【分析】（1）先证明
OBA
ODC
△
∽△
，再证明AOC
BOD
∽
，则
OAC
OBD
=
，然后根据三角形的外
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角性质求解即可；
（2）连接OE ，证明
(
)
SAS
ATB
OTE
△
≌△
，则可得
90
TEO
TBA
=
=
，然后对Rt
COE
△
运用勾股定理
求解即可；
（3）连接OE ，由（1）知
OAC
OBD
=
，记直线AE 与BO交于点T ，证明
90
OET
CDO
=
=
，则C ，
O，E ，D 四点共圆，可得
180
CDE
COE
+
=
，然后分CD
DE
=
和CD
CE
=
两种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵
90
ABO
CDO
=
=
，
30
AOB
COD
=
=
，
∴
OBA
ODC
△
∽△
，
AOB
COB
COD
COB
−
=
−
，即
AOC
BOD
=
，
∴OB
OA
OD
OC
=
，
∴OA
OC
OB
OD
=
，
∵
AOC
BOD
=
，
∴AOC
BOD
∽
，
∴
OAC
OBD
=
，
如图，记AE ，BO交于点T ，
∵
OTE
OAC
AOB
OBD
AEB
=
+
=
+
，
∴
30
AEB
AOB
=
=
；
（2）解：∵
6
OA=
，
30
AOB
=
，
∴
1
3
2
AB
OA
=
=
，
如图，连接OE ，
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∵BE
OA
∥
，
∴
30
OBE
AOB
=
=
，
30
OAE
AEB
=
=
，
∴
OAE
AOB
=
，
OBE
AEB
=
，
∴TA
TO
=
，TE
TB
=
，
∵
ATB
OTE
=
，
∴
(
)
SAS
ATB
OTE
△
≌△
，
∴
90
TEO
TBA
=
=
，
3
OE
AB
=
= ，
∵
4
OC =
，
∴
2
2
2
2
4
3
7
CE
OC
OE
=
−
=
−
=
；
（3）解：连接OE ，
由（1）知
OAC
OBD
=
，记直线AE 与BO交于点T ，
∵
ATO
BTE
=
，
∴
ATO
BTE
△
∽△
，
∴AT
OT
BT
ET
=
，
∴AT
BT
OT
ET
=
，
∵
ATB
OTE
=
，
∴
ATB
OTE
△
∽△
，
∴
90
OET
ABT
=
=
，
∴
90
OET
CDO
=
=
，
∴C ，O，E ，D 四点共圆，
∴
180
CDE
COE
+
=
，
当CD
DE
=
时，
30
ECD
CED
=
=
，
∴
180
120
CDE
CED
ECD
=
−
−
=
，
∴
60
=
COE
，
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∴
3
sin
4
2 3
2
CE
OC
COE
=
=
=
，
1
cos
4
2
2
OE
OC
COE
=
=
=
，
∴
2
2
2
2
6
2
4 2
AE
AO
OE
=
−
=
−
=
，
∴
4 2
2 3
AC
AE
CE
=
−
=
−
；
在Rt
CDO
△
中，
4
OC =
，
30
COD
=
，
∴
1
2
2
CD
CO
=
=
，
当
2
CD
CE
=
=
时，同理可得
90
OET =
∠
，
∴
2
2
2
2
4
2
2 3
OE
OC
CE
=
−
=
−
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
6
2 3
2 6
AE
OA
OE
=
−
=
−
=
，
∴
2 6
2
AC
AE
CE
=
+
=
+ ；
综上：若C ，D ，E 三点构成以CD为腰的等腰三角形，AC 的长为4 2
2 3
−
或2 6
2
+
．
8．（2026·四川自贡·中考真题）如图1，等边ABC内接于
O ，D 为BC 中点，连接OD 并延长交
O 于
点E ，作EM
BC ．
(1)求证：EM 是
O 的切线．
(2)如图2，点F 为射线EM 上的动点，连接FB 并延长与
O 的优弧BAC 交于点P （与点B ，C 不重合），
连接PA ，PC ．
①在点F 运动过程中，请探究线段PA ，PB ，PC 的数量关系并说明理由：
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②连接CE，若
2 3
AB =
，当点P 到CE 的距离最大时，请直接写出PA
BF
PB
+
的值．
【答案】(1)证明：∵D 为BC 中点，E 在OD的延长线上，
∴OE
BC
⊥
，
∵EM
BC ，
∴OE
EM
⊥
，
∴EM 是
O 的切线；
(2) PC
PA PB
=
+
或PC
PB
PA
=
−
，理由如下：
当点P 在AB 上时，如图，在PC 上取点T 使得，PT
PA
=
∵ABC是等边三角形，
∴
60
ABC
ACB
=
=
，AB
AC
=
，
∵AC
AC
=
，
∴
60
APC
ABC
=
=
，
∴
APT
△
是等边三角形，
∴AT
AP
=
，
60
PTA
=
，
∴
120
ATC
=
，
∵四边形APBC是
O 的内接四边形，
∴
180
APB
ACB
+
=
，
∴
120
APB
=
，
∴
APB
ATC
=
，
又∵AP
AP
=
，
∴
ABP
ACT
=
，
∴
(
)
ABP
ACT AAS
≌
，
∴PB
TC
=
，
∴PC
PT
TC
PA
PB
=
+
=
+
；即PC
PA PB
=
+
，
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当点P 在AC 上时，如图所示，在CP 的延长线上取PS
PA
=
，
同理可得
60
APB
ACB
=
=
，
∵四边形APBC是
O 的内接四边形，
∴
180
APB
ACB
+
=
，
∴
120
APB
=
，
∴
60
APS
=
，
∴
APS
△
是等边三角形，
∴
S
APB
=
，
又∵AB
AC
=
，
ABP
ACP
=
，
∴
(
)
SAC
PAB AAS
≌
，
∴PB
SC
PC
PS
PC
PA
=
=
+
=
+
，即PC
PB
PA
=
−
；
【分析】（1）根据垂径定理可得OE
BC
⊥
，根据EM
BC 得出OE
EM
⊥
，即可得证；
（2）分情况讨论，当点P 在AB 上时，在PC 上取点T 使得，PT
PA
=
，证明
(
)
ABP
ACT AAS
≌
，得出
PB
TC
=
，进而根据线段的和差关系，即可得出结论；当点P 在AC 上时，如图所示，在CP 的延长线上取
PS
PA
=
，证明
(
)
SAC
PAB AAS
≌
，进而根据线段的和差关系，即可得出结论；
②根据题意得出当点P 到CE 的距离最大时，PO
CE
⊥
，设
,
PO CE 的交点为M ，连接OC ，OB ，解直角三
角形，分别求得PA ，BF ，PB 的长，再求比值，即可求解．
【详解】（1）略
（2）①略
②∵点P 在优弧BAC 上，
∴当点P 到CE的距离最大时，PO
CE
⊥
，如图所示，设
,
PO CE 的交点为M ，连接OC ，OB ，
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∵ABC是等边三角形，
2 3
AB =
，
∴
2 3
BC
AB
=
=
，
60
BAC
=
，
∴
2
120
BOC
BAC
=
=
，
∵OE
BC
⊥
，
∴
1
3
2
DC
BC
=
=
，
1
60
2
=
=
EOC
BOC
，
又∵OE
OC
=
，
∴
OCE
△
是等边三角形，
∴
1
30
2
OCD
OCE
=
=
，
∴
1
2
OD
OC
=
，
2
2
3
DC
OC
OD
OD
=
−
=
，
∴
1
OD = ，则
2
OC =
，
2
EC
OC
=
=
，
∵
,
OM
EC CD
OE
⊥
⊥
，
∴
sin60
2
3
OM
CD
=
=
=
，
∴
1
1
2
CM
EC
=
= ，
∴
2
3
PM
OP
OM
=
+
=
+
，
在Rt PCM 中，
(
)
2
2
2
2
2
3
1
2
6
PC
PM
CM
=
+
=
+
+
=
+
，
∵
120
BOC
=
，OB
OC
=
，
∴
30
OBC
OCB
=
=
，
∴
30
OBC
BCE
=
=
，
∴OB
EC
∥
，
∵PO
EC
⊥
，
∴PO
OB
⊥
，
又∵OB
OP
=
，
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∴
45
PBO
BPO
=
=
，
2
2 2
PB
PO
=
=
，
由（1）可得P 在AB 上，PC
PA PB
=
+
，
∴
2
6
2 2
6
2
PA
PC
PB
=
−
=
+
−
=
−
，
如图，过点
,
P B 分别作
,
BC EF 的垂线，垂足分别为
,
G H ，则四边形BHED 是矩形，
2 1 1
BH
DE
OE
OD
=
=
−
=
−= ，
∵
60
BPC
BAC
=
=
，OP
OC
=
，
∴
60
45
15
OPC
BPC
BPO
=
−
=
−
=
，
∴
90
75
PCE
OPC
=
−
=
，
∴
75
30
45
PCB
PCE
BCE
=
−
=
−
=
，
∴
2
sin
1
3
2
PG
PC
PCB
PC
=
=
= +
，
∴
1
3
2
6
sin
4
2 2
PG
PBG
PB
+
+
=
=
=
，
∵BC
ME
∥
，
∴
BFH
PBG
=
，
∴
1
6
2
sin
sin
2
6
4
BH
BH
BF
BFH
PBG
=
=
=
=
−
+
，
∴
6
2
6
2
3
1
2 2
PA
BF
PB
+
−
+
−
=
=
−．
9．（2026·四川达州·中考真题）综合与探究
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【方法探究】
(1)如图1，直线1
2
l
l ，A，B 两点在直线1l 上，
1
C ，
2
C ，
3
C 三点在直线2l 上，连接
1
AC ，
2
AC ，
3
AC ，
1
BC ，
2
BC ，
3
BC ，我们发现
1
ABC ，
2
ABC ，
3
ABC
△
面积的数量关系是______，理由是______
(2)如图2，AB 是
O 的直径，C 是
O 上的动点（C 不与A 重合）、D 是AC 的中点，用圆规和无刻度直尺
在图2 中作出点D 的运动路径（不写作法、保留作图痕迹），简要说明理由；
(3)【问题解决】如图3，直线AB
CD
∥
，M 是AB 上一点，MN
CD
⊥
，垂足为N，
4
MN =
、E 是射线NC
上的动点，连接EM ，过点M 在AB 上方作射线MF
ME
⊥
，G 是MF 上的一点，连接EG ，
12
EMG
S
=
△
，
求线段NG 的最大值．
【答案】(1)相等，等底等高的三角形面积相等
(2)
点D 的运动路径是以线段OA为直径的圆（不包含点A ）．
证明：连接OD，
∵O是AB 中点，D 是AC 的中点，
∴OD是ABC的中位线
∴OD
BC ．
又∵AB 是直径
∴
90
ACB
=
，
∴
90
ADO
ACB
=
=
，
∴点D 在以OA为直径的圆上．
又∵点A 、C 不重合，故点D 不与点A 重合，
∴点D 的运动路径是以线段OA为直径的圆（不包含点A ）．
(3)8
【分析】（1）根据平行线间的距离处处相等即可得出结论；
（2）根据三角形中位线性质可得OD
BC ，由此得出
90
ADO
ACB
=
=
，根据90角所对弦是直径，可
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得点D 的运动路径是以线段OA为直径的圆（不包含点A ）；
（3）过点G 作GK
ME ，交CD于K ，交AB 于P ，利用（1）可得
12
EMG
EMK
S
S
=
=
，根据
1
12
2
EMG
S
KE MN
=
=
求得
6
KE =
，再由四边形KEMP 是平行四边形，可得
6
PM
KE
=
=
，由MG
ME
⊥
可
得MGP 是直角三角形，取PM 中点O，则
1
3
2
OG
OM
PM
=
=
=
，根据点到圆上一点的距离最值即可得
OG
NG
NG
+
，即当点G 在ON 延长上时，NG 最大，最大值为OG
NG
+
．
【详解】（1）解：
1
ABC 、
2
ABC 、
3
ABC
△
面积相等．
理由：它们共底边AB ，且由于1
2
l
l
∥，顶点
1
2
3
,
,
C C C 到直线1l 的距离（即高）相等，故面积相等．
（2）略
（3）解：过点G 作GK
ME ，交CD于K ，交AB 于P ，
由（1）可得：
EMG
EMK
S
S
=
，
∵MN
CD
⊥
，
4
MN =
，
12
EMG
S
=
△
，
∴
1
12
2
EMG
S
KE MN
=
=
，即1
4
12
2 KE
=
，
解得：
6
KE =
，
∵GK
ME ，AB CD ，
∴四边形KEMP 是平行四边形，
∴
6
PM
KE
=
=
，
又∵MG
ME
⊥
，即
90
GME
=
，
∴
90
MGP
=
，
∴点G 在以PM 为直径的半圆弧（AB 上方，不含P 、M 两点）上运动，
取PM 中点O，则
1
1
6
3
2
2
OG
OM
PM
=
=
=
=
，连接ON 、OG ，
∴OG
NG
NG
+
，
当点G 在ON 延长上时，NG 最大，最大值为OG
NG
+
，
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∵AB CD ，MN
CD
⊥
，
∴MN
AB
⊥
，即
90
OMN
=
，
∴
2
2
2
2
3
4
5
ON
OM
MN
=
+
=
+
=
，
∴
5 3
8
ON
OG
+
= + = ，
即NG 最大值为8．
【点睛】解题关键是利用平行转化三角形面积，抓“定角对定弦”构造辅助圆，化“动”为“静”；利用“圆外一
点到圆上点的最大距离(
)
d
r
+
”模型，巧解线段最值．
1．（2026·四川德阳·二模）把半径为2 的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（ ）
A．3
B．2
C．2
D．1
【答案】A
【分析】利用半圆弧长等于圆锥底面周长的关系，先求出圆锥底面半径，再结合勾股定理计算圆锥的高即
可．
【详解】解：∵半圆的半径
2
R =
，
∴半圆的弧长为
1
2
2
2
l
R
R
=
=
=
，
∴圆锥的底面周长为2
设圆锥底面半径为r ，则2
2
=
r
，
解得：
1
r = ，
∴圆锥的高
2
2
2
1
3
h =
−
=
．
2．（2026·四川成都·二模）如图，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径
2
OD =
，OG
DE
⊥
，垂足为G，
这个正六边形的边心距OG的长为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．2
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【答案】C
【分析】利用正多边形的内角公式，求出
CDE
，根据圆内接多边形的性质，可知OD 平分
CDE
，最后
利用特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：由正多边形的内角公式，得
(
)
6
2
180
120
6
CDE
−
=
=
，
由圆内接多边形的性质，得
1
60
2
ODG
CDE
=
=
，
∴
3
sin
?
2
3
2
OG
ODG OD
=
=
=
．
3．（2026·四川成都·二模）如图，已知
O 的半径为2，在
O 上顺次取A B
C
D
，，，
四点，连接AB ，BC ，
CD，AD ．若
100
ABC
=
，则AC 的长为（ ）
A．8π
9
B．10π
9
C．16π
9
D．20π
9
【答案】C
【分析】根据圆的内接四边形的性质可得
80
ADC
=
，可得
160
AOC
=
，代入弧长公式
180
n r
l =
π 计算即可．
【详解】连接AO
CO
、
，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴
180
ABC
ADC
+
=
，
∵
100
ABC
=
，
∴
80
ADC
=
，，
∴
160
AOC
=
，
∴
160
2
16
180
9
AC
l
=
=
．
4．（2026·四川成都·模拟预测）如图，O 为正五边形ABCDE 的外接圆，过点C 作
O 的切线CF ，则
FCB
的度数为（ ）
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A．36
B．32
C．30
D．27
【答案】A
【分析】连接OB 、OC ，由题意可得OB
OC
=
，
72
BOC
=
，由等腰对等角并结合三角形内角和定理得
出
54
OCB
=
，由切线的性质可得
90
OCF
=
，即可得出结果．
【详解】解：连接OB 、OC ，
由题意可得OB
OC
=
，
360
5
72
BOC
=
=
，
∴
180
54
2
BOC
OCB
−
=
=
，
∵CF 为
O 的切线，
∴
90
OCF
=
，
∴
36
FCB
OCF
OCB
=
−
=
．
5．（2026·四川泸州·二模）如图，工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12 mm ，
测得钢珠顶端离零件表面的距离为9 mm ，则这个小孔的直径AB 是（）mm．
A．4 3
B．5 3
C．6 3
D．8 3
【答案】C
【分析】设钢珠的圆心为O，过O作OC
AB
⊥
于C ，交优弧AB 于D ，连OA，则
(
)
12 2
6 mm
OA =
=
，
9mm
CD =
，
(
)
9
6
3 mm
OC =
−
=
，根据垂径定理得到CA
CB
=
，在Rt AOC 中，利用勾股定理可计算出AC ，
即可得到这个小孔的直径AB ．
【详解】解：如图，设钢珠的圆心为O，过O作OC
AB
⊥
于C ，交优弧AB 于D ，连OA，
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直径是12mm
6mm
AO
OD
=
=
OC
AB
⊥
CA
CB
=
9mm
DC =
(
)
9 6
3 mm
OC
DC
OD
=
−
= −
=
在Rt AOC 中，
(
)
2
2
2
2
6
3
3 3 mm
AC
OA
OC
=
−
=
−
=
(
)
2
2 3 3
6 3 mm
AB
AC
=
=
=
．
6．（2026·四川雅安·二模）如图，ABC的三个顶点都在
O 上，AD 是直径，
56
CAD
=
，则
ABC
的
度数为（ ）
A．56
B．34
C．30
D．45
【答案】B
【分析】连接CD，根据直径所对的圆周角是直角可得
90
ACD
=
，利用三角形内角和定理求出
D
的度
数，再根据同弧所对的圆周角相等可得
ABC
D
=
，从而求解
【详解】解：连接CD，
AD 是
O 的直径，
90
ACD
=
，
56
CAD
=
，
90
56
34
D
=
−
=
，
ABC
与
D
所对的弧都是弧AC ，
34
ABC
D
=
=
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7．（2026·四川成都·一模）如图，AB 是
O 的直径，点C，D 在
O 上，BD
CD
=
，已知
40
D
=
，则
ABD
=
（ ）
A．20
B．40
C．50
D．70
【答案】A
【分析】由弧弦关系得BD
CD
=
,由等腰三角形性质得
(
)
1 180
70
2
CBD
D
=
−
=
，由直径性质得
90
ACB
=
，由直角三角形性质得
90
50
ABC
A
=
−=
，即得答案．
【详解】解：∵点C，D 在
O 上，BD
CD
=
，
∴BD
CD
=
，
∵
40
D
=
，
∴
(
)
1 180
70
2
CBD
D
=
−
=
,
∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ACB
=
，
∵
40
A
D
=
=
，
∴
90
50
ABC
A
=
−=
，
∴
20
ABD
CBD
ABC
=
−
=
．
8．（2026·四川广元·三模）如图，已知AB 是
O 的直径，弦AC 、BD 相交于P 点，若
120
APB
=
．则 CD
AB
的值为（ ）
A．1
2
B．1
4
C．
2
2
D．
3
2
【答案】A
【分析】连接AD ，证明
ABP
DCP
∽
△
△
，得到DC
DP
AB
AP
=
，再根据直径所对圆周角是90得到
60
APD
=
，
利用三角函数求解即可；
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【详解】连接AD ，
APB
DPC
=
，
ABP
DCP
=
，
ABP
DCP
\
∽
，
DC
DP
AB
AP
=
，
AB 是
O 的直径，
90
PDA
=
，
120
=
APB
，
60
APD
=
，
1
cos60
2
DP
AP
=
=
，
1
2
CD
AB
=
．
9．（2026·四川南充·一模）如图，MN 是
O 的直径，
1
3
AN
MN
=
，点B 是AN 的中点，点P 是直径MN 上
一动点．连接AB ，AP ，BP ．若
2 2
MN =
，则PA
PB
+
的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．2
D．2 2
【答案】C
【分析】作点A 关于MN 的对称点A，连接
,
AA A B
，A B
交MN 于点P ，连接
,
,
OA OA OB
，由轴对称性可
得PA
PA
=
，则PA
PB
PA
PB
A B
+
=
+
，故当
, ,
A P B
三点共线时，PA
PB
+
最小，最小值为A B
，由弧和
圆心角的关系可求
60 ,
30
A ON
AON
BON
=
=
=
，进而求出
90
A OB
=
，由勾股定理可求
2
A B
=
，
即可求解．
【详解】解：如图，作点A 关于MN 的对称点A，连接
,
AA A B
，A B
交MN 于点P ，连接
,
,
OA OA OB
，
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∵点A 与点A关于MN 对称，
,
PA
PA OA
OA
=
=
，
PA
PB
PA
PB
A B
+
=
+
，
则当
, ,
A P B
三点共线时，PA
PB
+
最小，最小值为A B
，
∵MN 是
O 的直径，
1
3
AN
MN
=
，点B 是AN 的中点，
1
1
180
60 ,
60
30
3
2
A ON
AON
BON
=
=
=
=
=
，
90
A OB
A ON
BON
=
+
=
，
又
1
2
2
OA
OA
MN
=
=
=
，
2
2
2
A B
OB
OA
=
+
=
，
∴PA
PB
+
的最小值为2．
10．（2026·四川遂宁·二模）半径为12cm，则圆心角为45的扇形周长是_____cm．
【答案】24 3
+
【详解】解：扇形周长
2r
=
+ 弧长
45 π 12
24
24
3
180
=
+
=
+
11．
（2026·四川成都·二模）如图，四边形ABCD内接于
O ，A 是BAC 的中点，BD 是
O 的直径，若
10
BD =
，
8
BC = ，则AD 的长为________．
【答案】2 5
【分析】连接AC ，连接AO并延长，交BC 于点E ，由题意可得AB
AC
=
，AB
AC
=
，则
1
4
2
BE
BC
=
=
，
AE
BC
⊥
，
B
ABC
AC
=
∠
，由勾股定理可得
3
OE = ，从而得出
8
AE = ，最后再由勾股定理计算即可得出
结果．
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【详解】解：如图，连接AC ，连接AO并延长，交BC 于点E ，
A是BAC 的中点，
AB
AC
=
，AB
AC
=
，
1
4
2
BE
BC
=
=
，AE
BC
⊥
，
B
ABC
AC
=
∠
．
10
BD =
，
8
BC = ，
5
OB
OA
=
= ，
在Rt
OBE
△
中，
90
OEB
=
，
由勾股定理，得
2
2
2
2
5
4
3
OE
OB
BE
−
=
=
−
= ，
5 3
8
AE
AO OE
=
+
= + = ．
在Rt
ABE
△
中，
90
AEB
=
，
由勾股定理，得
2
2
2
2
8
4
4 5
AB
AE
BE
=
+
=
+
=
．
BD 是
O 的直径，
90
BAD
=
，
由勾股定理，得
(
)
2
2
2
2
10
4 5
2 5
AD
BD
AB
=
−
=
−
=
．
12．（2026·四川绵阳·二模）中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成
果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，
25
OA
cm
=
，
5
OB
cm
=
，纸扇完全打开后，外侧两竹
条（竹条宽度忽略不计）的夹角
120
AOC
=
，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为
_______
2
cm ．
【答案】200
【分析】用大扇形面积减去小扇形面积即可得山水画所在纸面的面积．
【详解】解：
2
2
120 π 25
625
360
3
OAC
S
cm
=
=
扇形
，
2
2
120 π 5
25
360
3
OBD
S
cm
=
=
扇形
，
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∴山水画所在纸面的面积为
2
625
25
200
3
3
OAC
OBD
S
S
cm
−
=
−
=
扇形
扇形
．
13．
（2026·四川自贡·模拟预测）如图，四边形ABCD是
O 的内接四边形，
2
ABC
D
=
、
1
3
AOB
COB
=
，
O 的半径为3，连接AC 交OB 于点E ，则图中阴影部分的面积是___________．
【答案】9π
3 3
4
2
−
【分析】由圆内接四边形对角互补结合
2
ABC
D
=
求出
60
D
=
，再由圆周角定理得
120
AOC
=
，
结合
1
3
AOB
COB
=
解得
90
COB
=
，阴影部分面积用扇形面积减去Rt OEC 面积即可．
【详解】解：∵ 四边形 ABCD 内接于圆，
∴
180
ABC
D
+
=
，且
2
ABC
D
=
，
∴ 2
180
D
D
+
=
，解得
60
D
=
，
∵ AC
AC
=
，
∴
2
120
AOC
D
=
=
．
1
3
AOB
COB
=
，
AOB
COB
AOC
+
=
，
∴
3
90
4
BOC
AOC
=
=
°，
3
OA
OC
=
= ，
30
OCE
=
，
tan30
3
OE
OC
=
=
°
，
扇形 OBC 面积为
2
90
9π
π 3
360
4
=
，
Rt OEC 的面积为
3
3
3 3
2
2
2
OC OE
=
=
，
阴影部分的面积为9π
3 3
4
2
−
．
14．（2026·四川泸州·二模）定义：有三条直线与圆相切的图形称为“多切型”．如图多切型中，AB 、BC 、
CD分别与
O 切于E 、F 、G ，且AB
CD，连接CO并延长CO交
O 于点M ，过点M 作
O 的切线交
CD于N ，交AB 于P ，若
O 的直径为8，
10
BC =
．则PM = _________．
小学
初中
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【答案】2 5
2
−
/ 2
2 5
−+
【分析】分别过点
,
B P 作
,
BS
CD PT
CD
⊥
⊥
，连接
,
OE OG ，易证OE
OG ，即
,
,
E O G 三点共线，勾股定
理求出
6
CS =
，证明四边形BSGE 是矩形，四边形PTGE 是矩形，BF
BE
x
=
=
，由切线长定理求出
2
BE
SG
=
=
，得到
8
CG = ，再根据MN 是
O 的切线，得到
MCN
NPT
=
，解直角三角形求出
4
NT =
，
再求出
2
2
4 5
PN
PT
NT
=
+
=
，再根据sin
sin
MCN
NPT
=
，求出
2 5
2
MN =
+
，即可求解．
【详解】解：分别过点
,
B P 作
,
BS
CD PT
CD
⊥
⊥
，连接
,
OE OG ，
∵AB 、BC 、CD分别与
O 切于E 、F 、G ，
∴
,
BE
BF CF
CG
=
=
，
90
CGO
=
，
90
OEB
=
，
∴
,
OE
AB OG
CD
⊥
⊥
，
∵AB CD ，
∴
,
OE
CD OG
AB
⊥
⊥
，
∴OE
OG ，即
,
,
E O G 三点共线，
∴
8
EG = ，
∴
8
PT
BS
EG
=
=
=
，
∵
10
BC =
，
∴
2
2
6
CS
BC
BS
=
−
=
，
∵
90
BSG
EGS
GEB
=
=
=
，
∴四边形BSGE 是矩形，
∴BE
SG
=
，
同理，四边形PTGE 是矩形，
∴PE
TG
=
，
设BF
BE
x
=
=
，
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∴BC
BF
CF
CG
CS
SG
−
=
=
=
+
，即10
6
x
x
−
= +
，
解得
2
x =
，
∴
2
BE
SG
=
=
，
∴
8
CG = ，
∵MN 是
O 的切线，
∴
90
CMN
=
，PE
PM
=
，MN
NG
=
，
∵
90
MCN
CNM
NPT
CNM
+
=
+
=
，
∴
MCN
NPT
=
，
∴tan
tan
MCN
NPT
=
，即
1
2
OG
NT
CG
PT
=
=
，
∴
4
NT =
，
∴
2
2
4 5
PN
PT
NT
=
+
=
，
∵
MCN
NPT
=
，
∴sin
sin
MCN
NPT
=
，即MN
NT
CN
PN
=
，
∴
4
4 5
MN
NG
CG =
+
，即
4
8
4 5
MN
MN
=
+
，
∴
2 5
2
MN =
+
，
∴
2 5
2
PM
PN
MN
=
−
=
−
．
15．（2026·四川广元·二模）如图，在四边形ABCD中，
90
DAB
BCD
=
=
，AC
AB
=
，若
3
CD =
，
4
BC =
，
则四边形ABCD的面积_______．
【答案】11
【分析】由
90
DAB
BCD
=
=
，推出A 、B 、C 、D 四点共圆，设圆心为O，连接BD ，根据勾股定理
求出
5
BD =
，过点A 作AE
BC
⊥
于点E ，连接OE ，利用等腰三角形性质（“三线合一”）及垂径定理的推
论证得OE
BC
⊥
，推出A 、O、E 共线，通过勾股定理求得OE 、AB 、AD ，最后根据
ABD
BCD
ABCD
S
S
S
=
+
四边形
求得结果．
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【详解】解：
在四边形ABCD中，
90
DAB
BCD
=
=
，
A
、B 、C 、D 四点共圆，
设圆心为O，则点O是BD 的中点
如图，连接BD ，则BD 为
O 的直径，
在Rt BCD中，
3
CD =
，
4
BC =
，
2
2
5
BD
CD
BC
=
+
= ，
1
5
2
2
OB
BD
=
=
过点A 作AE
BC
⊥
于点E ，
AC
AB
=
，
1
2
2
CE
BE
BC
=
=
=
，
连接OE ，则OE
BC
⊥
，
A
、O、E 共线，
2
2
3
2
OE
OB
BE
=
−
=
，
5
2
AO
BO
=
=
，
4
AE
AO OE
=
+
=
，
2
2
2 5
AB
AE
BE
=
+
=
，
2
2
5
AD
BD
AB
=
−
=
，
1
1
1
1
5
2 5
3 4
5
6
11
2
2
2
2
ABD
BCD
ABCD
S
S
S
AD AB
CD BC
=
+
=
+
=
+
=
+
=
四边形
．
16．（2026·四川绵阳·二模）如图，AB 是
O 的直径，AD 是一条弦，延长AD 至点C ，使DC
AD
=
，连
接BC ，过点D 作DE
BC
⊥
，垂足为点E ．
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(1)求证：DE 是
O 的切线；
(2)若
O 的直径
4
AB =
，
120
ABC
=
，求阴影部分图形的面积．
【答案】(1)证明：如图，连接OD，
AB 是
O 的直径，
OA
OB
=
，
DC
AD
=
，
OD
是ABC的中位线，
OD
BC
∥
，
DE
BC
⊥
，
DE
OD
⊥
，
又
OD 是
O 的半径，
DE
是
O 的切线；
(2) 4π
3
3 −
【分析】
（1）连接OD，易证OD是ABC的中位线，然后根据中位线的性质和平行线的性质可推出DE
OD
⊥
，
即可证得结论；
（2）先根据直径所对的圆周角为直角和线段垂直平分线的性质可知AB
CB
=
，从而
30
A
C
=
=
，然后
根据30 度直角三角形的性质和勾股定理求得BD 、AD ，再计算
1
2
AOD
ABD
S
S
=
和
AOD
S扇形
，进而可求得答案．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接BD ，
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AB 是
O 的直径，
90
ADB
=
，
AD
CD
=
，
BD
垂直平分AC ，
AB
CB
=
，
120
ABC
=
，
30
A
C
=
=
，
1
2
2
BD
AB
=
=
，
2
2
4
2
2 3
AD
=
−
=
，
1
2 2 3
2 3
2
ABD
S
=
=
，
1
3
2
AOD
ABD
S
S
=
=
，
由（1）得OD
BC
∥
，
120
AOD
ABC
=
=
，
2
120 π 2
4π
360
3
AOD
S
=
=
扇形
，
4π
3
3
AOD
AOD
S
S
S
=
−
=
−
阴影
扇形
△
．
17．（2026·四川遂宁·二模）已知：如图，AB 是
O 的直径，点C 为
O 上一点，OF
BC
⊥
于点F，交
O
于点E，AE 与BC 交于点H，连接CE ，BD 是
O 的切线，与OE 的延长线相交于点D．
(1)求证：
D
AEC
=
；
(2)求证：
2
CE
EH EA
=
．
【答案】(1)证明：∵BD 是
O 的切线，
∴AB
BD
⊥
，
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∴
90
ABC
DBC
+
=
，
∵OF
BC
⊥
，
∴
90
D
DBC
+
=
，
∴
D
ABC
=
，
又∵
ABC
AEC
=
，
∴
D
AEC
=
；
(2)证明：如图，连接AC ，
∵OF
BC
⊥
，
∴BE
CE
=
，
∴
ECB
EAC
=
，
又∵
CEH
AEC
=
，
∴CEH
AEC
∽
，
∴CE
HE
AE
CE
=
，
∴
2
CE
EH EA
=
．
【分析】
（1）由切线的性质得到AB
BD
⊥
，即
90
ABC
DBC
+
=
，然后由OF
BC
⊥
得到
90
D
DBC
+
=
，
推出
D
ABC
=
，等量代换证明即可；
（2）连接AC ，由垂径定理得到BE
CE
=
，
ECB
EAC
=
，证明CEH
AEC
∽
，得到CE
HE
AE
CE
=
，即可
得到
2
CE
EH EA
=
．
【详解】（1）略
（2）略
18．（2026·四川雅安·二模）如图，
O 上有A ，B ，C 三点，AC 是直径，点D 是AB 的中点，连接CD交
AB 于点E ，点F 在AB 延长线上且FC
FE
=
．
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(1)求证：CF 是
O 的切线；
(2)若
4
sin
5
F =
，
6
BE =
，求AE 和DE 的值．
【答案】(1)证明：
点D 是AB 的中点，
∴AD
BD
=
，
BCE
ACE
=
；
AC 是
O 的直径，
90
ABC
=
，
90
BEC
BCE
+
=
，
FC
FE
=
，
FCE
FEC
=
，
90
FCE
ACE
+
=
，
90
OCF
=
．
CO是
O 的半径，
CF
是
O 的切线．
(2)
10
AE =
；
2 5
DE =
【分析】（1）由点D 是AB 的中点，得到AD
BD
=
，从而
BCE
ACE
=
，由AC 是
O 的直径，得到
90
BEC
BCE
+
=
，又由FC
FE
=
，得到
FCE
FEC
=
，从而
90
FCE
ACE
+
=
，进而得证CF 是
O
的切线；
（2）设
4
BC
x
=
，
5
CF
EF
x
=
=
，由勾股定理得到
2
2
2
BC
BF
CF
+
=
，从而求出x，证明
A
FBC
FC
∽
，得
出FB
BC
FC
CA
=
，进而求出AF ，AE 的长，连接AD ，证明
AED
CEB
∽
△
△
，根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】（1）略
（2）解：∵在Rt
FBC
△
中，
4
sin
5
BC
F
CF
=
=
，
6
BE =
，
设
4
BC
x
=
，
5
CF
EF
x
=
=
，则
5
6
BF
EF
BE
x
−
−
=
=
，
∵在Rt
BCF
△
中，
2
2
2
BC
BF
CF
+
=
，
∴
2
2
2
(4 )
(5
6)
(5 )
x
x
x
−
+
=
，
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解得：
3
x = 或
3
4
x =
（舍去），
12
BC
=
，
15
CF
EF
=
=
，
9
BF =
，
90
CBF
ACF
=
=
，
F
F
=
，
FBC
FCA
∽
，
FB
BC
FC
CA
=
，即9
12
15
CA
=
，
20
AC
=
，
∵在Rt
ACF
△
中，
4
sin
5
AC
F
AF
=
=
，
20
4
5
AF
=
，
25
AF
=
，
25 15 10
AE
AF
EF
−
=
=
−
=
，
连接AD ，
DAE
BCE
=
，
AED
CEB
=
，
AED
CEB
∴△
∽△
，
AE
DE
EC
BE
=
，
∵在Rt BCE 中，
2
2
2
2
6
12
6 5
CE
BE
BC
=
+
=
+
=
，
10
6
6 5
DE
=
，
2 5
DE
=
．
19．（2026·四川绵阳·二模）如图1，线段AB 是圆O的直径，弦CD
AB
⊥
于点H ，点M 是弧CBD 上任意一
点，
4,
8
AH
CH
=
=
．
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(1)求圆O的半径r 的长度；
(2)求tan
CMD
；
(3)如图，直线BM 交直线CD于点E ，连接BN 交CE 于点F ，求
·
HE HF 的值．
【答案】(1)10
(2) 4
3
(3)64
【分析】（1）连接半径OC ，利用垂径定理和勾股定理，结合已知的
8
4
CH
OH
r
=
= −
、
，列方程求解出
圆的半径
10
r =
；
（2 ）先根据垂径定理得到弧的关系，再结合圆周角定理推出
CMD
AOC
=
，最后在Rt COH 中计算出
tan
CMD
的值；
（3）先利用直径所对圆周角为直角和已知线段长度算出
16
HB =
；再通过同角的余角相等、同弧所对圆周
角相等推导角相等，结合直角证明EHB
AHF
∽
；最后用相似三角形的比例关系，得到
·
·
64
HE HF
AH HB
=
=
．
【详解】（1）解：连接OC ，
∵CD
AB
⊥
于H ，AB 是圆O直径，
8
CH = ，
在Rt COH 中，
8,
4,
CH
OH
r
OC
r
=
=
−
=
，
由勾股定理，得(
)
2
2
2
4
8
r
r
−
+
=
，
解得
10
r =
．
（2）解：连接OC
OD
、
，则
1
2
CMD
COD
=
，
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∵弦CD与直径AB 垂直，
∴
1
2
AD
AC
CD
=
=
，
∴
1
2
AOC
COD
=
，
∵
1
2
CMD
COD
=
，
∴
CMD
AOC
=
，
∵
4,
8
AH
CH
=
=
，
10
r =
，
∴
10 4
6
OH
r
AH
= −
=
−=
，
∴
8
4
tan
tan
6
3
CH
CMD
AOC
OH
=
=
=
=
；
（3）解：连接AM
AF
、
，则
90
AMB
=
，
由题意得
4
AH =
，
2
20
AB
r
=
=
，
∴
16
HB
AB
AH
=
−
=
，
∵AB 是直径，
∴
90
AMB
=
，即
90
AME
=
，
∵CD
AB
⊥
，
90
EHB
=
，
∴
90
E
ABM
+
=
，
90
BAM
ABM
+
=
，
∴
E
BAM
=
，
∵同弧BM 所对圆周角
BAM
BNM
=
，
∴
E
BNM
=
，
连接AN ，则
90
ANB
=
，
∵
90
AHF
=
，
∴A、N、F、H 四点共圆，
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∴
FAH
HNF
E
=
= ，
∵
90
EHB
AHF
=
=
，
∴EHB
AHF
∽
，得：HE
HB
AH
HF
=
，
即
4 16
64
HE HF
AH HB
=
=
=
．
20．（2026·四川自贡·模拟预测）如图1，Rt ABC中，
90
ABC
=
，
20
AB =
，
15
BC =
，以AB 为直径的
O 交AC 于点D，M 是BC 的中点，连接DM ．
(1)求证：MD 是
O 的切线；
(2)如图2，过点B 作MD 的平行线交AC 于点E．
①求AE 的长；
②如图3，点P 在线段BE 上，连接DP 并延长交
O 于点Q，连接BD ，当
21
4
DPE
DPB
S
S
=
时，求DQ 的值．
【答案】(1)证明：以AB 为直径的
O 交AC 于点D，M 是BC 的中点，如图1，连接OD 、BD 、OM ，
90
ADB
CDB
=
=
，
BM
DM
CM
=
=
，
MDB
MBD
=
，
OB
OD
=
，
ODB
OBD
=
，
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90
MBD
OBD
ABC
+
=
=
Q
，
90
ODM
MDB
ODB
=
+
=
，
∵OD是
O 的半径，
∴MD 是
O 的切线；
(2)①7；②
10 2
DQ =
【分析】（1）连接OD、BD 、OM ，利用圆周角定理，直角三角形性质，以及等腰三角形性质得到
,
,
MDB
MBD
ODB
OBD
=
=
再利用等量代换得到
ODM
，即可证明MD 是
O 的切线；
（2）①连接BD ，利用勾股定理求出AC ，利用解直角三角形得到CD，由（1）可知DM
CM
=
，结合等腰
三角形性质和等量代换得到BE
BC
=
，再结合等腰三角形性质得到CE ，最后根据 AE
AC
CE
=
−
求解，即
可解题；
②过点D 作DH
BE
⊥
于H，连接BD ，结合题意得到EP ，利用解直角三角形得到DH ，EH ，进而得到PH ，
DP ， 连接AQ ，证明EDP
QDA
V
V
∽
，利用相似三角形性质求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：①在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，
20
AB =
，
15
BC =
，如图2， 连接BD ，
由勾股定理得：
2
2
25
AC
AB
BC
=
+
=
，
∵AB 为
O 的直径
∴
90
ADB
=
，
∵
A
ABD
CBD
ABD
+
=
+
，
∴
A
CBD
=
，
则
sin
sin
CD
BC
CBD
A
CB
AC
=
=
=
，
解得
9
CD =
，
BE
DM
∥
，
CDM
CEB
=
，
由（1）可知DM
CM
=
，
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∴
=
C
CDM ，
∴
C
CEB
=
，
∴
15
BE
BC
=
=
，
BD
AC
⊥
，
2
18
CE
CD
=
=
，
7
AE
AC
CE
=
−
=
；
②过点D 作DH
BE
⊥
于H，连结BD ，AQ ，
16
AD
AC CD
=
−
=
，
∵
21
4
DPE
DPB
S
S
=
，
21
4
EP
BP
=
，
21
21
63
15
25
25
5
EP
BE
=
=
=
，
在DEP 中，
90
ADB
=
，
20
4
9,tan
tan
15
3
DE
CD
DEB
C
=
=
=
=
=
，
4
9
3
BD
BD
CD
=
=
，
12
BD
=
，
36
3
27
,
5
4
5
DE BD
DH
DH
EH
BE
=
=
=
=
，
63
27
36
5
5
5
PH
=
−
=
，
36
2
5
DP
=
，
连接AQ ，
DEB
C
DBA
DQA
=
=
=
，
EDP
QDA
=
，
EDP
QDA
V
V
∽
，
DP
DE
DA
DQ
=
，
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9 16
144
DP DQ
DE DA
=
=
=
，
144
10 2
36 2
5
DQ
=
=
．
