专题08二次函数及其应用（5年汇编）（浙江专用）（解析版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新好题汇编_2027新好题汇编2022-2026年中考数学真题分类汇编（浙江专用）

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专题08 二次函数及其应用
5 年真题1 年模拟
考点分类
浙江考情（2022-2026）
命题规律
考点01 二次函数的
图象与性质
2025·浙江·中考
2023·浙江杭州·中考
2023·浙江宁波·中考
2023·浙江衢州·中考
2023·浙江台州·中考
2022·浙江宁波·中考
2022·浙江温州·中考
2022·浙江杭州·中考
2022·浙江嘉兴·中考
2022·浙江绍兴·中考
2022·浙江衢州·中考
2022·浙江绍兴·中考
2022-2025 年浙江中考对二次函数图象与性质考查较为
集中，内容包括开口方向、对称轴、顶点和最值、函数
增减性、图象与坐标轴交点，以及图象上点的函数值大
小比较。命题常设置参数或限定区间，要求利用对称性、
增减性和数形结合进行判断，而不是机械代入。2025 年
省统考以运动点到固定点距离的平方为背景，将几何距
离转化为二次函数图象，体现情境化和模型意识。现有
题目中区间最值、参数范围和图象辨析占比较高。复习
时应形成“开口—对称轴—顶点—增减区间—最值—交
点”的完整知识链。
考点02 二次函数解
析式、图象变换与综
合
2025·浙江·中考
2024·浙江·中考
2023·浙江宁波·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2023·浙江湖州·中考
2023·浙江金华·中考
2022·浙江杭州·中考
2022·浙江嘉兴·中考
2022·浙江丽水·中考
2022-2025 年浙江中考在本考点主要以解答题考查待定
系数法、顶点式和交点式的灵活选择，以及抛物线平移、
对称、区间最值和参数范围。2024、2025 年省统考连续
将第23 题设置为二次函数综合题：2024 年突出解析式、
点的平移和区间内极差；2025 年突出平行于x 轴的直
线与抛物线交点关系及横坐标差的最值。题目通常由基
础求式逐步过渡到分类讨论和最值探究，层次清晰。复
习时应根据已知条件合理选择函数表达式，并熟练处理
对称轴是否位于给定区间内的分类问题。
考点03 二次函数建
模及实际应用
2026·浙江·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2023·浙江温州·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2023·浙江衢州·中考
2023·浙江湖州·中考
2022·浙江宁波·中考
本考点现实情境丰富，涉及新能源汽车续航、球类运动、
龙舟训练、商品利润、蔬菜种植、拱桥灯饰、滑雪轨迹
和灌溉装置等。命题通常要求从数据、图象或几何条件
中建立二次函数模型，再利用顶点、增减性或区间最值
解决实际问题，并解释结果的合理性。2026 年省统考进
一步要求学生从一次函数、反比例函数和二次函数中选
择恰当模型，经历“建模—解模—验证反思”的完整过
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2022·浙江金华·中考
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2022·浙江台州·中考
程。复习时不仅要会求最大值或最小值，还要重视定义
域、整数条件、单位、实际取舍及模型适用范围。
考点01
二次函数图象与性质
1．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如
图1，点P 是一个固定观测点，运动点Q 从A 处出发，沿笔直公路ܣ⚐向目的地B 处运动．设ܣܳ
为x（单
位：km）ሺͲ ൑ݔ൑݊
晦䁪ܲܳ
ʹ为y（单位：kmʹ）．如图2，y 关于x 的函数图象与y 轴交于点C，最低点ܦሺ݉
䁪ͺǡ晦，
且经过ܧሺǡ䁪ʹʹͷ晦和ܨሺ݊䁪ʹʹͷ晦两点．下列选项正确的是（
）
A．݉
㔠ǡʹ
B．݊
㔠ʹ⸶
C．点C 的纵坐标为240
D．点ሺǡͷ䁪ͺͷ晦在该函数图象上
【答案】D
【分析】作ܲ
ܩ٣ ܣ⚐，当ݔ㔠ǡ 时，动点ܳ
运动到点ܪ的位置，得到ܲ
ܪʹ 㔠ʹʹͷ，当点ܳ
运动到点ܩ
的时候，ܲܳ
ʹ最小为ͺǡ，ܪܩ㔠݉
െǡ，勾股定理求出݉
的值，判断A；当ݔ㔠݊
时，点ܳ
运动到点⚐，根
据三线合一，得到⚐ܩ㔠ܪܩ，进而求出݊
的值，判断B；连接ܣܲ，勾股定理求出ܣܲ
ʹ的长，确定ܥ的纵坐
标，判断C，求出ݔ㔠ǡͷ 时，点ܳ
的位置，再利用勾股定理求出ܲ
ܭʹ，判断D，即可．
【详解】解：如图，作ܲ
ܩ٣ ܣ⚐，当ݔ㔠ǡ 时，动点ܳ
运动到点ܪ的位置，则由题意和图象可知ܲ
ܪʹ 㔠ʹʹͷ，
当点ܳ
运动到点ܩ的时候，ܲܳ
ʹ最小，即：ܲܩʹ 㔠ͺǡ，ܪܩ㔠݉
െǡ，
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在Rt ᇞܲ
ܩܪ中，由勾股定理，得：ʹʹͷ 㔠ͺǡ ൅݉
െǡ ʹ，
解得：݉
㔠ǡ͵，故选项A 错误；
∴ܣܩ㔠݉
㔠ǡ͵，ܪܩ㔠݉
െǡ 㔠ǡʹ，
当ݔ㔠݊
时，点ܳ
运动到点⚐，则ܲ
⚐ʹ 㔠ʹʹͷ 㔠ܲ
ܪʹ，
∴ܲ⚐㔠ܲ
ܪ，
∵ܲܩ٣ ܣ⚐，
∴⚐ܩ㔠ܪܩ㔠ǡʹ，
∴ܣ⚐㔠ǡ͵ ൅ǡʹ 㔠ʹͷ，故选项B 错误；
∴当ݔ㔠Ͳ，即点ܳ
在ܣ点时，
∴ܣܲ
ʹ 㔠ܣܩʹ ൅ܲ
ܩʹ 㔠ǡ͵ʹ ൅ͺǡ 㔠ʹͷͲ；
∴点ܥ的纵坐标为ʹͷͲ；故选项C 错误；
当ݔ㔠ǡͷ 时，点ܳ
运动到点ܭ，则：ܣܭ㔠ǡͷ，
∴ܩܭ㔠ܣܭെܣܩ㔠ʹ，
∴ܲܭʹ 㔠ܭܩʹ ൅ܲ
ܩʹ 㔠⸶൅ͺǡ 㔠ͺͷ，
∴点ሺǡͷ䁪ͺͷ晦在该函数图象上，故选项D 正确；
故选D．
2．（2023·浙江杭州·中考真题）设二次函数ݕ㔠ۉݔെ݉
ݔെ݉
െ݇
ሺͲ൐ ۉ䁪݉
䁪݇
是实数晦，则（
）
A．当݇
㔠ʹ 时，函数ݕ的最小值为െۉB．当݇
㔠ʹ 时，函数ݕ的最小值为െʹۉ
C．当݇
㔠⸶时，函数ݕ的最小值为െۉD．当݇
㔠⸶时，函数ݕ的最小值为െʹۉ
【答案】A
【分析】令ݕ㔠Ͳ，则Ͳ 㔠ۉݔെ݉
ݔെ݉
െ݇
，解得：ݔǡ 㔠݉
，ݔʹ 㔠݉
൅݇
，从而求得抛物线对称轴
为直线ݔ㔠݉
൅݉
൅݇
ʹ
㔠
ʹ݉
൅݇
ʹ ，再分别求出当݇
㔠ʹ 或݇
㔠⸶时函数y 的最小值即可求解．
【详解】解：令ݕ㔠Ͳ，则Ͳ 㔠ۉݔെ݉
ݔെ݉
െ݇
，
解得：ݔǡ 㔠݉
，ݔʹ 㔠݉
൅݇
，
∴抛物线对称轴为直线ݔ㔠݉
൅݉
൅݇
ʹ
㔠
ʹ݉
൅݇
ʹ
当݇
㔠ʹ 时，抛物线对称轴为直线ݔ㔠݉
൅ǡ，
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把ݔ㔠݉
൅ǡ 代入ݕ㔠ۉݔെ݉
ݔെ݉
െʹ ，得ݕ㔠െۉ，
∵Ͳ൐ ۉ
∴当ݔ㔠݉
൅ǡ，݇
㔠ʹ 时，y 有最小值，最小值为െۉ．
故A 正确，B 错误；
当݇
㔠⸶时，抛物线对称轴为直线ݔ㔠݉
൅ʹ，
把ݔ㔠݉
൅ʹ 代入ݕ㔠ۉݔെ݉
ݔെ݉
െ⸶，得ݕ㔠െ⸶ۉ，
∵Ͳ൐ ۉ
∴当ݔ㔠݉
൅ʹ，݇
㔠⸶时，y 有最小值，最小值为െ⸶ۉ，
故C、D 错误，故选：A．
3．（2023·浙江宁波·中考真题）已知二次函数ݕ㔠ۉݔʹ െሺ͵൅ ۉǡ晦ݔ൅͵ሺۉ്
Ͳ晦，下列说法正确的是(
)
A．点ሺǡ䁪ʹ晦在该函数的图象上
B．当ۉ㔠ǡ 且െǡ ൑ݔ൑͵ 时，Ͳ ൑ݕ൑ͺ
C．该函数的图象与x 轴一定有交点
D．当Ͳ൐ ۉ时，该函数图象的对称轴一定在直线ݔ㔠
͵
ʹ的左侧
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵ݕ㔠ۉݔʹ െሺ͵൅ ۉǡ晦ݔ൅͵ሺۉ്
Ͳ晦，
当ݔ㔠ǡ 时：ݕ㔠ۉെሺ͵൅ ۉǡ晦൅͵ 㔠ʹ െʹۉ，
∵ۉ്
Ͳ，
∴ʹ െʹۉ്
ʹ，
即：点ሺǡ䁪ʹ晦不在该函数的图象上，故A 选项错误；
当ۉ㔠ǡ 时，ݕ㔠ݔʹ െ⸶ݔ൅͵ 㔠ݔെʹ ʹ െǡ，
∴抛物线的开口向上，对称轴为ݔ㔠ʹ，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵െǡ ൑ݔ൑͵，െǡ െʹ ൐͵ െʹ ൐ʹ െʹ ，
∴当ݔ㔠െǡ 时，ݕ有最大值为െǡ െʹ ʹ െǡ 㔠ͺ，
当ݔ㔠ʹ 时，ݕ有最小值为െǡ，
∴െǡ ൑ݕ൑ͺ，故B 选项错误；
∵Δ 㔠െሺ͵൅ ۉǡ晦ʹ െ⸶ൈ͵ۉ㔠‴ۉʹ െ͸൅ ۉǡ 㔠͵ۉെǡ ʹ ൒Ͳ，
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∴该函数的图象与x 轴一定有交点，故选项C 正确；
当Ͳ൐ ۉ时，抛物线的对称轴为：ݔ㔠
͵൅ۉǡ
ʹۉ㔠
͵
ʹ ൅
ǡ
ʹۉ൐
͵
ʹ，
∴该函数图象的对称轴一定在直线ݔ㔠
͵
ʹ的右侧，故选项D 错误；故选C．
4．
（2023·浙江衢州·中考真题）已知二次函数ݕ㔠ۉݔʹ െ⸶ݔۉ（a是常数，ۉ′ Ͳ）的图象上有ܣ݉
䁪ݕǡ 和⚐ʹ݉
䁪ݕʹ
两点．若点ܣ，⚐都在直线ݕ㔠െ͵ۉ的上方，且ݕǡ ൐ݕʹ，则݉
的取值范围是（
）
A．ǡ ′݉
′
͵
ʹ
B．
⸶
͵ ′݉
′ ʹ
C．
⸶
͵ ′݉
′
͵
ʹ
D．m൐ʹ
【答案】C
【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与ݔ轴的交点和二次函数的性质，即可解答．
【详解】解：׶ۉ′ Ͳ，
׵ ݕ㔠െ͵Ͳ൐ ۉ，
׶点ܣ，⚐都在直线ݕ㔠െ͵ۉ的上方，且ݕǡ ൐ݕʹ，
可列不等式：⸶ۉ݉
ʹ െͺۉ݉
൐െ͵ۉ，
׶ۉ′ Ͳ，
可得⸶݉
ʹ െͺ݉
൅͵ ′ Ͳ，
设抛物线ݕǡ 㔠⸶݉
ʹ െͺ݉
൅͵，直线ݔǡ 㔠Ͳ，
׵ ⸶݉
ʹ െͺ݉
൅͵ ′ Ͳ 可看作抛物线ݕǡ 㔠⸶݉
ʹ െͺ݉
൅͵ 在直线ݕǡ 㔠Ͳ 下方的取值范围，
当ݕǡ 㔠Ͳ 时，可得Ͳ 㔠⸶݉
ʹ െͺ݉
൅͵，
解得݉
ǡ 㔠
ǡ
ʹ 䁪݉
ʹ 㔠
͵
ʹ，
׶ ⸶൐Ͳ，
׵ ݕǡ 㔠⸶݉
ʹ െͺ݉
൅͵ 的开口向上，
׵ ⸶݉
ʹ െͺ݉
൅͵ ′ Ͳ 的解为
ǡ
ʹ ′݉
′
͵
ʹ，
根据题意还可列不等式：ۉ݉
ʹ െ⸶ۉ݉
ۉ⸶൐݉
ʹ െͺۉ݉，
׶ۉ′ Ͳ，
׵可得݉
ʹ െ⸶݉
′ ⸶݉
ʹ െͺ݉
，
整理得െ͵݉
ʹ ൅⸶݉
′ Ͳ，
设抛物线ݕʹ 㔠െ͵݉
ʹ ൅⸶݉
，直线ݔʹ 㔠Ͳ，
׵ െ͵݉
ʹ ൅⸶݉
′ Ͳ 可看作抛物线ݕʹ 㔠െ͵݉
ʹ ൅⸶݉
在直线ݕʹ 㔠Ͳ 下方的取值范围，
当ݕʹ 㔠Ͳ 时，可得Ͳ 㔠െ͵݉
ʹ ൅⸶݉
，
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解得݉
ǡ 㔠Ͳ䁪݉
ʹ 㔠
⸶
͵，
׶െ͵ ′ Ͳ，
׵抛物线ݕʹ 㔠െ͵݉
ʹ ൅⸶݉
开口向下，
׵െ͵݉
ʹ ൅⸶݉
′ Ͳ 的解为݉
′ Ͳ 或݉
൐
⸶
͵，
综上所述，可得
⸶
͵ ′݉
′
͵
ʹ，
故选：C．
5．（2023·浙江台州·中考真题）抛物线ݕ㔠ۉݔʹ െۉ ۉ്
Ͳ 与直线ݕ㔠݇
ݔ交于ܣݔǡ䁪ݕǡ ，⚐ݔʹ䁪ݕʹ 两点，若
ݔǡ ൅ݔʹ ′ Ͳ，则直线ݕ㔠݇൅ݔۉ一定经过（
）．
A．第一、二象限
B．第二、三象限
C．第三、四象限
D．第一、四象限
【答案】D
【分析】根据已知条件可得出ۉݔʹ െ݇
ݔെۉ㔠Ͳ，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案．
【详解】解：׶抛物线ݕ㔠ۉݔʹ െۉ ۉ്
Ͳ 与直线ݕ㔠݇
ݔ交于ܣݔǡ䁪ݕǡ ，⚐ݔʹ䁪ݕʹ 两点，
׵݇
ݔ㔠ۉݔʹ െۉ，
׵ۉݔʹ െ݇
ݔെۉ㔠Ͳ．
׵ ݔǡ ൅ݔʹ 㔠݇ۉ，
∵ݔǡ ൅ݔʹ ′ Ͳ，
׵݇ۉ′Ͳ．
当ۉ൐Ͳ，݇′Ͳ 时，直线ݕ㔠݇൅ݔۉ经过第一、三、四象限，
当ۉ′Ͳ，݇൐Ͳ 时，直线ݕ㔠݇൅ݔۉ经过第一、二、四象限，
综上所述，ݕ㔠݇൅ݔۉ一定经过一、四象限．
故选：D．
6．（2022·浙江宁波·中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n 的图象上．若y1
＜y2，则m 的取值范围为（
）
A．݉
൐ʹ
B．݉
൐
͵
ʹ
C．݉
′ ǡ
D．
͵
ʹ ′݉
′ ʹ
【答案】B
【分析】根据y1＜y2 列出关于m 的不等式即可解得答案．
【详解】解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n 的图象上，
∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n，
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y2=（m-1）2+n，
∵y1＜y2，
∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n，
∴（m-2）2-（m-1）2＜0，
即-2m+3＜0，
∴m＞
͵
ʹ，
故选：B．
7．（2022·浙江温州·中考真题）已知点ܣሺۉ䁪ʹ晦䁪⚐ሺሻ䁪ʹ晦䁪ܥሺܿ䁪͹晦都在抛物线ݕ㔠ሺݔെǡ晦ʹ െʹ 上，点A 在点B
左侧，下列选项正确的是（
）
A．若ܿ
′ Ͳ，则ۉ′ܿ
′ ሻ
B．若ܿ
′ Ͳ，则ۉ′ ሻ′ܿ
C．若ܿ
൐Ͳ，则ۉ′ܿ
′ ሻ
D．若ܿ
൐Ͳ，则ۉ′ ሻ′ܿ
【答案】D
【分析】画出二次函数的图象，利用数形结合的思想即可求解．
【详解】解：当ܿ
൐Ͳ 时，画出图象如图所示，
根据二次函数的对称性和增减性可得ۉ′ ሻ′ܿ，故选项C 错误，选项D 正确；
当ܿ
′ Ͳ 时，画出图象如图所示，
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根据二次函数的对称性和增减性可得ܿ＜ۉ′ ሻ，故选项A、B 都错误；
故选：D
8．（2022·浙江杭州·中考真题）已知二次函数ݕ㔠ݔʹ ൅൅ݔۉሻ（a，b 为常数）．命题①：该函数的图像经
过点(1，0)；命题②：该函数的图像经过点(3，0)；命题③：该函数的图像与x 轴的交点位于y 轴的两侧；
命题④：该函数的图像的对称轴为直线ݔ㔠ǡ．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是
（
）
A．命题①
B．命题②
C．命题③
D．命题④
【答案】A
【分析】根据对称轴为直线ݔ㔠െ
ۉ
ʹ 㔠ǡ，确定a 的值，根据图像经过点（3，0），判断方程的另一个
根为x=-1，位于y 轴的两侧，从而作出判断即可．
【详解】假设抛物线的对称轴为直线ݔ㔠ǡ，
则ݔ㔠െ
ۉ
ʹ 㔠ǡ，解得a= -2，
∵函数的图像经过点(3，0),
∴3a+b+9=0，
解得b=-3，
故抛物线的解析式为ݕ㔠ݔʹ െʹݔെ͵，
令y=0，得ݔʹ െʹݔെ͵ 㔠Ͳ，
解得ݔǡ 㔠െǡ䁪ݔʹ 㔠͵，
故抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（3，0），
函数的图像与x 轴的交点位于y 轴的两侧；
故命题②，③，④都是正确，命题①错误，故选A．
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9．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知点ܣሺۉ䁪ሻ晦，⚐ሺ⸶䁪ܿ晦在直线ݕ㔠݇
ݔ൅͵（k 为常数，്݇
Ͳ）上，若ۉሻ的
最大值为9，则c 的值为（
）
A．
ͷ
ʹ
B．2
C．
͵
ʹ
D．1
【答案】B
【分析】把ܣሺۉ䁪ሻ晦代入ݕ㔠݇
ݔ൅͵ 后表示出ۉሻ，再根据ۉሻ最大值求出k，最后把⚐ሺ⸶䁪ܿ晦代入ݕ㔠݇
ݔ൅͵
即可．
【详解】把ܣሺۉ䁪ሻ晦代入ݕ㔠݇
ݔ൅͵ 得：ሻ㔠݇͵൅ ۉ
∴ۉሻ㔠͵൅ ۉ݇ሺۉ晦㔠݇ۉʹ ൅͵ۉ㔠݇
ሺ൅ ۉ
͵
ʹ݇晦ʹ െ
‴
⸶݇
∵ۉሻ的最大值为9
∴݇
′ Ͳ，且当ۉ㔠െ
͵
ʹ݇时，ۉሻ有最大值，此时ۉሻ㔠െ
‴
⸶݇㔠‴
解得݇
㔠െ
ǡ
⸶
∴直线解析式为ݕ㔠െ
ǡ
⸶ݔ൅͵
把⚐ሺ⸶䁪ܿ晦代入ݕ㔠െ
ǡ
⸶ݔ൅͵ 得ܿ
㔠െ
ǡ
⸶ൈ⸶൅͵ 㔠ʹ
故选：B．
10．
（2022·浙江绍兴·中考真题）已知抛物线ݕ㔠ݔʹ ൅݉
ݔ的对称轴为直线ݔ㔠ʹ，则关于x 的方程ݔʹ ൅݉
ݔ㔠ͷ
的根是（
）
A．0，4
B．1，5
C．1，－5
D．－1，5
【答案】D
【分析】根据抛物线ݕ㔠ݔʹ ൅݉
ݔ的对称轴为直线ݔ㔠ʹ 可求出m 的值，然后解方程即可．
【详解】׶抛物线ݕ㔠ݔʹ ൅݉
ݔ的对称轴为直线ݔ㔠ʹ，
׵െ݉ʹൈǡ 㔠ʹ，解得݉
㔠െ⸶，
׵关于x 的方程ݔʹ ൅݉
ݔ㔠ͷ 为ݔʹ െ⸶ݔെͷ 㔠Ͳ，
׵ ሺݔെͷ晦ሺݔ൅ǡ晦㔠Ͳ，
解得ݔǡ 㔠ͷ䁪ݔʹ 㔠െǡ，故选：D．
11．（2022·浙江衢州·中考真题）已知二次函数ݕ㔠ۉሺݔെǡ晦ʹ െۉሺۉ്
Ͳ晦，当െǡ ൑ݔ൑⸶时，ݕ的最小值
为െ⸶，则ۉ的值为（
）
A．
ǡ
ʹ或4
B．
⸶
͵或െ
ǡ
ʹ
C．െ
⸶
͵或4
D．െ
ǡ
ʹ或4
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【答案】D
【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：二次函数ݕ㔠ۉݔെǡ ʹ െۉ ۉ്
Ͳ 的对称轴为：直线ݔ㔠ǡ，
（1）当Ͳ൐ ۉ时，当െǡ ൑ݔ൑ǡ 时，ݕ随ݔ的增大而减小，当ǡ ൑ݔ൑⸶，ݕ随ݔ的增大而增大，
׵ 当ݔ㔠ǡ 时，ݕ取得最小值，
׵ ݕ㔠ۉǡ െǡ ʹ െۉ㔠െ⸶，
׵ۉ㔠⸶；
（2）当ۉ′ Ͳ 时，当െǡ ൑ݔ൑ǡ 时，ݕ随ݔ的增大而增大，当ǡ ൑ݔ൑⸶，ݕ随ݔ的增大而减小，
׵ 当ݔ㔠⸶时，ݕ取得最小值，
׵ ݕ㔠ۉ⸶െǡ ʹ െۉ㔠െ⸶，
׵ۉ㔠െ
ǡ
ʹ．故选：D．
12．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知函数ݕ㔠െݔʹ ൅ሻݔ൅ܿ（b，c 为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣
6，﹣3）．
(1)求b，c 的值．
(2)当﹣4≤x≤0 时，求y 的最大值．
(3)当m≤x≤0 时，若y 的最大值与最小值之和为2，求m 的值．
【答案】(1)b＝-6，c=-3
(2)x＝－3 时，y 有最大值为6
(3)m＝－2 或െ͵ െ
ǡͲ
【分析】（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y＝െݔʹ ൅ሻݔ൅ܿ，即可求解；
（2）先求出抛物线的顶点坐标为（-3，6），再由-4≤x≤0，可得当x＝-3 时，y 有最大值，即可求解；
（3）由（2）得当x＞-3 时，y 随x 的增大而减小；当x≤-3 时，y 随x 的增大而增大，然后分两种情况：
当-3＜m≤0 时，当m≤-3 时，即可求解．
【详解】（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y＝െݔʹ ൅ሻݔ൅ܿ，得∶ܿ
㔠െ͵
െ͵͸ െ͸ሻ൅ܿ
㔠െ͵ ，解得：ሻ㔠െ͸ܿ
㔠െ͵ ；
（2）解：由（1）得：该函数解析式为y＝െݔʹ െ͸ݔെ͵＝െሺݔ൅͵晦ʹ ൅͸，
∴抛物线的顶点坐标为（-3，6），
∵-1＜0
∴抛物线开口向下，
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又∵-4≤x≤0，
∴当x＝-3 时，y 有最大值为6．
（3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3，
∴当x＞-3 时，y 随x 的增大而减小；当x≤-3 时，y 随x 的增大而增大，
①当-3＜m≤0 时，
当x＝0 时，y 有最小值为-3，
当x＝m 时，y 有最大值为െ݉
ʹ െ͸݉
െ͵，
∴െ݉
ʹ െ͸݉
െ͵+（-3）＝2，
∴m＝-2 或m＝-4（舍去）．
②当m≤-3 时，
当x＝-3 时，y 有最大值为6，
∵y 的最大值与最小值之和为2，
∴y 最小值为-4，
∴െሺ݉
൅͵晦ʹ ൅͸=-4，
∴m＝െ͵ െ
ǡͲ或m＝െ͵ ൅
ǡͲ（舍去）．
综上所述，m＝-2 或െ͵ െ
ǡͲ．
考点02
二次函数解析式、图象变换与综合
1．（2025·浙江·中考真题）已知抛物线ݕ㔠ݔʹ െͷ൅ݔۉ（a 为常数）经过点ǡ䁪Ͳ ．
(1)求a 的值．
(2)过点ܣͲ䁪䁠与x 轴平行的直线交抛物线于⚐䁪ܥ两点，且点B 为线段ܣܥ的中点，求t 的值．
(3)设݉
′ ͵ ′݊
，抛物线的一段ݕ㔠ݔʹ െ݉ሺͷ൅ݔۉ൑ݔ൑݊
晦夹在两条均与x 轴平行的直线݈ǡ䁪݈ʹ之间．若直
线݈ǡ䁪݈ʹ之间的距离为16，求݊
െ݉
的最大值．
【答案】(1)ۉ㔠͸ (2)䁠㔠െ͵
(3)8
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是
解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出对称轴，由题意，可知，⚐䁪ܥ关于对称轴对称，⚐䁪ܥ的纵坐标均为䁠，中点得到ݔܥ㔠ʹݔ⚐，
对称性得到
ݔ⚐൅ݔܥ
ʹ
㔠
͵
ʹ ݔ⚐㔠͵，求出ݔ⚐，再代入函数解析式求出䁠的值即可；
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（3）根据题意，易得要使݊
െ݉
最大，则，݉
䁪݊
为一条直线与抛物线的交点，ݔ㔠݉
和ݔ㔠݊
关于对
称轴对称，根据直线݈ǡ䁪݈ʹ之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点͵䁪െ⸶，即：ݕ㔠െ
⸶时，݊െ݉
最大，此时另一条直线的解析式为ݕ㔠ǡ͸ െ⸶㔠ǡʹ，令ݔʹ െ͸ݔ൅ͷ 㔠ǡʹ，求出ݔ的值，进而
确定݉
䁪݊
的值，进行求解即可．
【详解】（1）解：把ǡ䁪Ͳ 代入ݕ㔠ݔʹ െͷ൅ݔۉ，得：ǡ െͷ൅ ۉ㔠Ͳ，解得：ۉ㔠͸；
（2）由（1）知：ݕ㔠ݔʹ െ͸ݔ൅ͷ，
∴对称轴为直线ݔ㔠െ
െ͸
ʹൈǡ 㔠͵，
∵点ܣͲ䁪䁠在ݕ轴上，过点ܣͲ䁪䁠与x 轴平行的直线交抛物线于⚐䁪ܥ两点，
∴⚐䁪ܥ关于对称轴对称，⚐䁪ܥ的纵坐标均为䁠，
又∵点B 为线段ܣܥ的中点，
∴ݔܥ㔠ʹݔ⚐，∴
ݔ⚐൅ݔܥ
ʹ
㔠
͵
ʹ ݔ⚐㔠͵，
∴ݔ⚐㔠ʹ，∴ݔ㔠ʹ 代入ݕ㔠ݔʹ െ͸ݔ൅ͷ，得：ݕ㔠ʹʹ െ͸ ൈʹ ൅ͷ 㔠െ͵，
∴䁠㔠െ͵；
（3）∵ݕ㔠ݔʹ െ͸ݔ൅ͷ 㔠ݔെ͵ ʹ െ⸶，
∴抛物线的顶点坐标͵䁪െ⸶，
当抛物线的一段ݕ㔠ݔʹ െ݉ሺͷ൅ݔۉ൑ݔ൑݊
晦夹在两条均与x 轴平行的直线݈ǡ䁪݈ʹ之间时，݉
䁪݊
为直线与抛物线的交点，
∴要使݊
െ݉
最大，则，݉
䁪݊
为一条直线与抛物线的交点，ݔ㔠݉
和ݔ㔠݊
关于对称轴对称，
又∵直线݈ǡ䁪݈ʹ之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点͵䁪െ⸶，即：ݕ㔠െ⸶时，݊െ݉
最大，此时另一条直线的解析式
为ݕ㔠ǡ͸ െ⸶㔠ǡʹ，如图：
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∴当ݔʹ െ͸ݔ൅ͷ 㔠ǡʹ 时，解得：ݔǡ 㔠͹䁪ݔʹ 㔠െǡ，
即：݊
㔠͹䁪݉
㔠െǡ，
∴݊
െ݉
的最大值为：͹ െെǡ 㔠ͺ．
2．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数ݕ㔠ݔʹ ൅ሻݔ൅ܿ（b，c 为常数）的图象经过点ܣሺെʹ䁪ͷ晦，对
称轴为直线ݔ㔠െ
ǡ
ʹ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点⚐ሺǡ䁪͹晦向上平移2 个单位长度，向左平移m（݉
൐Ͳ）个单位长度后，恰好落在ݕ㔠ݔʹ ൅ሻݔ൅ܿ
的
图象上，求m 的值；
(3)当െʹ ൑ݔ൑݊
时，二次函数ݕ㔠ݔʹ ൅ሻݔ൅ܿ
的最大值与最小值的差为
‴
⸶，求n 的取值范围．
【答案】(1)ݕ㔠ݔʹ ൅ݔ൅͵ (2)݉
㔠⸶
(3)െ
ǡ
ʹ ൑݊
൑ǡ
【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，
（1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式；
（2）先求出平移后点B 的坐标，然后把坐标代入解析式即可；
（3）分为݊
′െ
ǡ
ʹ，െ
ǡ
ʹ ൑݊
′ ǡ 时，݊
൐ǡ 时，建立方程解题即可．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为ݕ㔠ሺݔ൅
ǡ
ʹ 晦ʹ ൅݇，把ܣሺെʹ䁪ͷ晦代入得ሺെʹ ൅
ǡ
ʹ 晦ʹ ൅݇
㔠ͷ，
解得݇
㔠
ǡǡ
⸶，
∴ݕ㔠ሺݔ൅
ǡ
ʹ 晦ʹ ൅
ǡǡ
⸶㔠ݔʹ ൅ݔ൅͵；
（2）解：点B 平移后的点的坐标为ሺǡ െ݉
䁪‴晦，
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则‴ 㔠ሺǡ െ݉
晦ʹ ൅ሺǡ െ݉
晦൅͵，解得݉
㔠⸶或݉
㔠െǡ（舍），
∴m 的值为⸶；
（3）解：当݊
′െ
ǡ
ʹ时，
∴最大值与最小值的差为ͷ െሾሺ݊൅
ǡ
ʹ 晦ʹ ൅
ǡǡ
⸶ሿ㔠
‴
⸶，解得：݊
ǡ 㔠݊
ʹ 㔠െ
ǡ
ʹ不符合题意，舍去；
当െ
ǡ
ʹ ൑݊
൑ǡ 时，
∴最大值与最小值的差为ͷ െ
ǡǡ
⸶㔠
‴
⸶，符合题意；
当݊
൐ǡ 时，
最大值与最小值的差为ሺ݊൅
ǡ
ʹ 晦ʹ ൅
ǡǡ
⸶െ
ǡǡ
⸶㔠
‴
⸶，解得݊
ǡ 㔠ǡ 或݊
ʹ 㔠െʹ，不符合题意；
综上所述，n 的取值范围为െ
ǡ
ʹ ൑݊
൑ǡ．
3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数ݕ㔠ݔʹ ൅ሻݔ൅ܿ
图象经过点ܣሺǡ䁪െʹ晦和⚐ሺͲ䁪െͷ晦．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当ݕ൑െʹ 时，请根据图象直接写出x 的取值范围．
【答案】(1)ݕ㔠ݔʹ ൅ʹݔെͷ，顶点坐标为െǡ䁪െ͸ ；
(2)െ͵ ൑ݔ൑ǡ
【分析】（1）把ܣሺǡ䁪െʹ晦和⚐ሺͲ䁪െͷ晦代入ݕ㔠ݔʹ ൅ሻݔ൅ܿ，建立方程组求解解析式即可，再把解析
式化为顶点式，可得顶点坐标；
（2）把ݕ㔠െʹ 代入函数解析式求解ݔ的值，再利用函数图象可得ݕ൑െʹ 时ݔ的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数ݕ㔠ݔʹ ൅ሻݔ൅ܿ
图象经过点ܣሺǡ䁪െʹ晦和⚐ሺͲ䁪െͷ晦．
∴ܿ
㔠െͷ
ǡ ൅ሻ൅ܿ
㔠െʹ ，解得：ሻ㔠ʹܿ
㔠െͷ ，
∴抛物线为ݕ㔠ݔʹ ൅ʹݔെͷ 㔠ݔ൅ǡ ʹ െ͸，
∴顶点坐标为：െǡ䁪െ͸ ；
（2）当ݕ㔠െʹ 时，ݔ൅ǡ ʹ െ͸ 㔠െʹ，
∴ݔ൅ǡ ʹ 㔠⸶
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解得：ݔǡ 㔠ǡ，ݔʹ 㔠െ͵，
如图，当ݕ൑െʹ 时，
∴െ͵ ൑ݔ൑ǡ．
4．（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知点െ݉
䁪Ͳ 和͵݉
䁪Ͳ 在二次函数ݕ㔠ۉݔʹ ൅ሻݔ൅͵ሺۉ䁪ሻ是常数，ۉ്
Ͳ晦
的图像上．
(1)当݉
㔠െǡ 时，求ۉ和ሻ的值；
(2)若二次函数的图像经过点ܣ݊
䁪͵ 且点A 不在坐标轴上，当െʹ ′݉
′െǡ 时，求݊
的取值范围；
(3)求证：ሻʹ ൅⸶ۉ㔠Ͳ．
【答案】(1)ۉ㔠െǡ䁪ሻ㔠െʹ
(2)െ⸶′݊
′െʹ
(3)
解：∵图像过点െ݉
䁪Ͳ 和͵݉
䁪Ͳ ，
∴根据图像的对称性得െ
ሻ
ʹۉ㔠݉
．
∴ሻ㔠െʹۉ݉，顶点坐标为݉
䁪ۉ݉
ʹ ൅ሻ݉
൅͵ ．
将点െ݉
䁪Ͳ 和͵݉
䁪Ͳ 分别代人表达式可得
Ͳ 㔠ۉ݉
ʹ െሻ݉
൅͵①
Ͳ 㔠‴ۉ݉
ʹ ൅͵ሻ݉
൅͵②
①ൈ͵ ൅②得ǡʹۉ݉
ʹ ൅ǡʹ 㔠Ͳ，
∴ۉ݉
ʹ 㔠െǡ．
∴ۉ݉
ʹ ൅ሻ݉
൅͵ 㔠ۉ݉
ʹ െʹۉ݉
ʹ ൅͵ 㔠െۉ݉
ʹ ൅͵ 㔠⸶．
∴
ǡʹۉെሻʹ
⸶ۉ㔠⸶．
∴ǡʹۉെሻʹ 㔠ǡ͸ۉ．
∴ሻʹ ൅⸶ۉ㔠Ͳ．
【分析】（1）由݉
㔠െǡ 可得图像过点ǡ䁪Ͳ 和െ͵䁪Ͳ ，然后代入解析式解方程组即可解答；
（2）先确定函数图像的对称轴为直线ݔ㔠݉
，则抛物线过点݊
䁪͵ 䁪Ͳ䁪͵ ，即݊
㔠ʹ݉
，然后再结合െʹ ′
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学科网（北京）股份有限公司݉
′െǡ 即可解答；
（3）根据图像的对称性得െ
ሻ
ʹۉ㔠݉
，即ሻ㔠െʹۉ݉，顶点坐标为݉
䁪ۉ݉
ʹ ൅ሻ݉
൅͵ ；将点െ݉
䁪Ͳ 和
͵݉
䁪Ͳ 分别代入表达式并进行运算可得ۉ݉
ʹ 㔠െǡ；则ۉ݉
ʹ ൅ሻ݉
൅͵ 㔠ۉ݉
ʹ െʹۉ݉
ʹ ൅͵ 㔠െۉ݉
ʹ ൅͵ 㔠⸶，
进而得到
ǡʹۉെሻʹ
⸶ۉ㔠⸶，然后化简变形即可证明结论．
【详解】（1）解：当݉
㔠െǡ 时，图像过点ǡ䁪Ͳ 和െ͵䁪Ͳ ，
∴
Ͳ 㔠൅ ۉሻ൅͵
Ͳ 㔠‴ۉെ͵ሻ൅͵ ，解得ۉ㔠െǡ
ሻ㔠െʹ ，
∴ݕ㔠െݔʹ െʹݔ൅͵，
∴ۉ㔠െǡ䁪ሻ㔠െʹ．
（2）解：∵函数图像过点െ݉
䁪Ͳ 和͵݉
䁪Ͳ ，
∴函数图像的对称轴为直线ݔ㔠݉
．
∵图像过点݊
䁪͵ 䁪Ͳ䁪͵ ，
∴根据图像的对称性得݊
㔠ʹ݉
．
∵െʹ ′݉
′െǡ，
∴െ⸶′݊
′െʹ．
（3）略
5．（2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系ݔRݕ中，二次函数ݕ㔠ݔʹ െ⸶ݔ൅ܿ
的图象与y
轴的交点坐标为Ͳ䁪ͷ ，图象的顶点为M．矩形ܣ⚐ܥܦ的顶点D 与原点O 重合，顶点A，C 分别在x 轴，y
轴上，顶点B 的坐标为ǡ䁪ͷ ．
(1)求c 的值及顶点M 的坐标，
(2)如图2，将矩形ܣ⚐ܥܦ沿x 轴正方向平移t 个单位Ͳ ′ 䁠′ ͵ 得到对应的矩形ܣԢ⚐ԢܥԢܦԢ．已知边ܥԢܦԢ，ܣԢ⚐Ԣ
分别与函数ݕ㔠ݔʹ െ⸶ݔ൅ܿ
的图象交于点P，Q，连接ܲܳ
，过点P 作ܲ
ܩ٣ ܣԢ⚐Ԣ于点G．
①当䁠㔠ʹ 时，求ܳ
ܩ的长；
②当点G 与点Q 不重合时，是否存在这样的t，使得ᇞܲ
ܩܳ
的面积为1？若存在，求出此时t 的值；若不存
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在，请说明理由．
【答案】(1)ܿ㔠ͷ，顶点M 的坐标是ʹ䁪ǡ
(2)①1；②存在，䁠㔠
ǡ
ʹ或
ͷ
ʹ
【分析】（1）把Ͳ䁪ͷ 代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；
（2）①先判断当䁠㔠ʹ 时，ܦԢ，ܣԢ的坐标分别是ʹ䁪Ͳ ，͵䁪Ͳ ，再求出ݔ㔠͵，ݔ㔠ʹ 时点Q 的纵坐标与
点P 的纵坐标，进而求解；
②先求出ܳ
ܩ㔠ʹ，易得P，Q 的坐标分别是䁠䁪䁠ʹ െ⸶䁠൅ͷ ，䁠൅ǡ䁪䁠ʹ െʹ䁠൅ʹ ，然后分点G 在点Q 的
上方与点G 在点Q 的下方两种情况，结合函数图象求解即可．
【详解】（1）∵二次函数ݕ㔠ݔʹ െ⸶ݔ൅ܿ
的图象与y 轴的交点坐标为Ͳ䁪ͷ ，
∴ܿ㔠ͷ，
∴ݕ㔠ݔʹ െ⸶ݔ൅ͷ 㔠ݔെʹ ʹ ൅ǡ，
∴顶点M 的坐标是ʹ䁪ǡ ．
（2）①∵A 在x 轴上，B 的坐标为ǡ䁪ͷ ，
∴点A 的坐标是ǡ䁪Ͳ ．
当䁠㔠ʹ 时，ܦԢ，ܣԢ的坐标分别是ʹ䁪Ͳ ，͵䁪Ͳ ．
当ݔ㔠͵ 时，ݕ㔠͵ െʹ ʹ ൅ǡ 㔠ʹ，即点Q 的纵坐标是2，
当ݔ㔠ʹ 时，ݕ㔠ʹ െʹ ʹ ൅ǡ 㔠ǡ，即点P 的纵坐标是1．
∵ܲܩ٣ ܣԢ⚐Ԣ，
∴点G 的纵坐标是1，
∴ܳܩ㔠ʹ െǡ 㔠ǡ．
②存在．理由如下：
∵ᇞܲ
ܩܳ
的面积为1，ܲܩ㔠ǡ，
∴ܳܩ㔠ʹ．
根据题意，得P，Q 的坐标分别是䁠䁪䁠ʹ െ⸶䁠൅ͷ ，䁠൅ǡ䁪䁠ʹ െʹ䁠൅ʹ ．
如图1，当点G 在点Q 的上方时，ܳܩ㔠䁠ʹ െ⸶䁠൅ͷ െ䁠ʹ െʹ䁠൅ʹ 㔠͵ െʹ䁠㔠ʹ，
此时䁠㔠
ǡ
ʹ（在Ͳ ′ 䁠′ ͵ 的范围内），
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如图2，当点G 在点Q 的下方时，ܳܩ㔠䁠ʹ െʹ䁠൅ʹ െ䁠ʹ െ⸶䁠൅ͷ 㔠ʹ䁠െ͵ 㔠ʹ，
此时䁠㔠
ͷ
ʹ（在Ͳ ′ 䁠′ ͵ 的范围内）．
∴䁠㔠
ǡ
ʹ或
ͷ
ʹ．
6．（2023·浙江金华·中考真题）如图，直线ݕ㔠
ͷ
ʹ ݔ൅
ͷ与ݔ轴，ݕ轴分别交于点ܣ䁪⚐，抛物线的顶点ܲ
在直线ܣ⚐上，与ݔ轴的交点为ܥ䁪ܦ，其中点ܥ的坐标为ʹ䁪Ͳ ．直线⚐ܥ与直线ܲ
ܦ相交于点ܧ．
(1)如图2，若抛物线经过原点R．
①求该抛物线的函数表达式；②求
⚐ܧ
ܧܥ的值．
(2)连接ܲ
ܥ䁪סܥܲܧ与ס⚐ܣR 能否相等？若能，求符合条件的点ܲ
的横坐标；若不能，试说明理由．
【答案】(1)①ݕ㔠െ
͵ ͷ
ʹ ݔʹ ൅͵ ͷݔ；②
ǡ
͵
(2)能，͸ 或
ʹ
͵或െ
͸
͹或െ
ǡ⸶
͵ ．
【分析】（1）①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；
②过点ܧ作ܧܪ٣ Rܥ于点ܪ．设直线⚐ܥ为ݕ㔠݇
ݔ൅
ͷ，把ܥʹ䁪Ͳ 代入，得Ͳ 㔠ʹ݇൅
ͷ，解得݇
㔠െ
ͷ
ʹ ，
直线⚐ܥ为ݕ㔠െ
ͷ
ʹ ݔ൅
ͷ．同理，直线Rܲ
为ݕ㔠
͵ ͷ
ʹ ݔ．联立两直线解析式得出ܧ
ǡ
ʹ 䁪
͵ ͷ
⸶
，根据ܧܪצ ⚐R，
由平行线分线段成比例即可求解；
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（2）设点ܲ
的坐标为䁠䁪
ͷ
ʹ 䁠൅
ͷ ，则点ܦ的坐标为ʹ䁠െʹ䁪Ͳ ．①如图2-1，当䁠൐ʹ 时，存在סܥܲܧ㔠
ס⚐ܣR．记סܥܲܧ㔠ס⚐ܣR 㔠ߙ䁪סܣܲܥ㔠ߚ，则סܣܲܦ㔠ߙ൅ߚ．过点ܲ
作ܲ
ܨ٣ ݔ轴于点ܨ，则ܣܨ㔠䁠൅ʹ．在
Rt ᇞܣܲܨ中，cosס⚐ܣR 㔠
ܣܨ
ܣܲ㔠
ʹ
͵，进而得出点ܲ
的横坐标为6．②如图2-2，当Ͳ ′ 䁠൑ʹ 时，存在סܥܲܧ㔠
ס⚐ܣR．记סܥܲܧ㔠ס⚐ܣܦ㔠ߙ䁪סܣܲܦ㔠ߚ．过点ܲ
作ܲ
ܨ٣ ݔ轴于点ܨ，则ܣܨ㔠䁠൅ʹ．在Rt ᇞܣܲܨ中，
cosס⚐ܣR 㔠
ܣܨ
ܣܲ㔠
ʹ
͵，得出点ܲ
的横坐标为
ʹ
͵．③如图ʹ െ͵，当െʹ ′ 䁠൑Ͳ 时，存在סܥܲܧ㔠ס⚐ܣR．记ס⚐ܣR 㔠
ߙ．过点ܲ
作ܲ
ܨ٣ ݔ轴于点ܨ，则ܣܨ㔠䁠൅ʹ．在Rt ᇞܣܲܨ中，
ܣܨ
ܣܲ㔠cosס⚐ܣR 㔠
ʹ
͵，得出点ܲ
的横坐标为
െ
͸
͹．④如图2-4，当䁠൑െʹ 时，存在סܥܲܧ㔠ס⚐ܣR．记ס⚐ܣR 㔠ߙ．过点ܲ
作ܲ
ܨ٣ ݔ轴于点ܨ，则
ܣܨ㔠െ䁠െʹ．在Rt ᇞܣܲܨ中，
ܣܨ
ܣܲ㔠cosסܲܣܨ㔠
ʹ
͵，得出点ܲ
的横坐标为െ
ǡ⸶
͵ ．
【详解】（1）解：①∵Rܥ㔠ʹ，
∴顶点ܲ
的横坐标为1．
∴当ݔ㔠ǡ 时，ݕ㔠
ͷ
ʹ ݔ൅
ͷ 㔠
͵ ͷ
ʹ ，
∴点ܲ
的坐标是ǡ䁪
͵ ͷ
ʹ
．
设抛物线的函数表达式为ݕ㔠ۉሺݔെǡ晦ʹ ൅
͵ ͷ
ʹ ，把Ͳ䁪Ͳ 代入，
得Ͳ 㔠൅ ۉ
͵ ͷ
ʹ ，
解得ۉ㔠െ
͵ ͷ
ʹ ．
∴该抛物线的函数表达式为ݕ㔠െ
͵ ͷ
ʹ ሺݔെǡ晦ʹ ൅
͵ ͷ
ʹ ，
即ݕ㔠െ
͵ ͷ
ʹ ݔʹ ൅͵ ͷݔ．
②如图1，过点ܧ作ܧܪ٣ Rܥ于点ܪ．
设直线⚐ܥ为ݕ㔠݇
ݔ൅
ͷ，把ܥʹ䁪Ͳ 代入，得Ͳ 㔠ʹ݇൅
ͷ，
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解得݇
㔠െ
ͷ
ʹ ，
∴直线⚐ܥ为ݕ㔠െ
ͷ
ʹ ݔ൅
ͷ．
同理，直线Rܲ
为ݕ㔠
͵ ͷ
ʹ ݔ．
由
ݕ㔠െ
ͷ
ʹ ݔ൅
ͷ䁪
ݕ㔠
͵ ͷ
ʹ ݔǤ
解得
ݔ㔠
ǡ
ʹ 䁪
ݕ㔠
͵ ͷ
⸶Ǥ
∴ܧ
ǡ
ʹ 䁪
͵ ͷ
⸶
．
∴Rܪ㔠
ǡ
ʹ 䁪ܪܥ㔠ʹ െ
ǡ
ʹ 㔠
͵
ʹ．
∵ܧܪצ ⚐R，
∴
⚐ܧ
ܧܥ㔠
Rܪ
ܪܥ㔠
ǡ
͵．
（2）设点ܲ
的坐标为䁠䁪
ͷ
ʹ 䁠൅
ͷ ，则点ܦ的坐标为ʹ䁠െʹ䁪Ͳ ．
①如图ʹ െǡ，当䁠൐ʹ 时，存在סܥܲܧ㔠ס⚐ܣR．
记סܥܲܧ㔠ס⚐ܣR 㔠ߙ䁪סܣܲܥ㔠ߚ，则סܣܲܦ㔠ߙ൅ߚ．
∵סܲܥܦ为ᇞܲ
ܣܥ的外角，
∴סܲܥܦ㔠ߙ൅ߚ．
∵ܲܥ㔠ܲ
ܦ．
∴סܲܦܥ㔠סܲܥܦ㔠ߙ൅ߚ．
∴סܣܲܦ㔠סܣܦܲ．
∴ܣܲ
㔠ܣܦ㔠ʹ䁠．
过点ܲ
作ܲ
ܨ٣ ݔ轴于点ܨ，则ܣܨ㔠䁠൅ʹ．
在Rt ᇞܣܲܨ中，cosס⚐ܣR 㔠
ܣܨ
ܣܲ㔠
ʹ
͵，
∴
䁠൅ʹ
ʹ䁠㔠
ʹ
͵，解得䁠㔠͸．
∴点ܲ
的横坐标为6．
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②如图2-2，当Ͳ ′ 䁠൑ʹ 时，存在סܥܲܧ㔠ס⚐ܣR．
记סܥܲܧ㔠ס⚐ܣܦ㔠ߙ䁪סܣܲܦ㔠ߚ．
∵סܲܦܥ为ᇞܲ
ܣܦ的外角，
∴סܲܦܥ㔠ߙ൅ߚ．
∴סܲܥܦ㔠סܲܦܥ㔠ߙ൅ߚ
∴סܣܲܥ㔠סܣܥܲ．
∴ܣܲ
㔠ܣܥ㔠⸶．
过点ܲ
作ܲ
ܨ٣ ݔ轴于点ܨ，则ܣܨ㔠䁠൅ʹ．
在Rt ᇞܣܲܨ中，cosס⚐ܣR 㔠
ܣܨ
ܣܲ㔠
ʹ
͵，
∴
䁠൅ʹ
⸶㔠
ʹ
͵，解得䁠㔠
ʹ
͵．
∴点ܲ
的横坐标为
ʹ
͵．
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③如图2-3，当െʹ ′ 䁠൑Ͳ 时，存在סܥܲܧ㔠ס⚐ܣR．记ס⚐ܣR 㔠ߙ．
∵ܲܥ㔠ܲ
ܦ，
∴סܲܦܥ㔠סܲܥܦ㔠
ǡ
ʹ סܥܲܧ㔠
ǡ
ʹ ߙ．
∴סܣܲܦ㔠ס⚐ܣR െסܲܦܥ㔠ߙെ
ǡ
ʹ 㔠
ǡ
ʹ ߙ．
∴סܣܲܦ㔠סܲܦܣ．
∴ܣܦ㔠ܣܲ
㔠െʹ䁠．
过点ܲ
作ܲ
ܨ٣ ݔ轴于点ܨ，则ܣܨ㔠䁠൅ʹ．
在Rt ᇞܣܲܨ中，
ܣܨ
ܣܲ㔠cosס⚐ܣR 㔠
ʹ
͵，
∴
䁠൅ʹ
െʹ䁠㔠
ʹ
͵，解得䁠㔠െ
͸
͹．
∴点ܲ
的横坐标为െ
͸
͹．
④如图2-4，当䁠൑െʹ 时，存在סܥܲܧ㔠ס⚐ܣR．记ס⚐ܣR 㔠ߙ．
∵ܲܥ㔠ܲ
ܦ，
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∴סܲܥܦ㔠סܲܦܥ㔠
ǡ
ʹ סܥܲܧ㔠
ǡ
ʹ ߙ．
∴סܣܲܥ㔠ס⚐ܣR െסܲܥܦ㔠ߙെ
ǡ
ʹ ߙ㔠
ǡ
ʹ ߙ．
∴ܲܣ㔠ܥܣ㔠⸶．
过点ܲ
作ܲ
ܨ٣ ݔ轴于点ܨ，则ܣܨ㔠െ䁠െʹ．
在Rt ᇞܣܲܨ中，
ܣܨ
ܣܲ㔠cosסܲܣܨ㔠
ʹ
͵，
∴
െʹെ䁠
⸶
㔠
ʹ
͵，解得䁠㔠െ
ǡ⸶
͵ ．
∴点ܲ
的横坐标为െ
ǡ⸶
͵ ．
综上，点ܲ
的横坐标为͸䁪
ʹ
͵ 䁪െ
͸
͹ 䁪െ
ǡ⸶
͵ ．
7．（2022·浙江杭州·中考真题）设二次函数ݕǡ 㔠ʹݔʹ ൅ሻݔ൅ܿ（b，c 是常数）的图像与x 轴交于A，B 两点．
(1)若A，B 两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数ݕǡ的表达式及其图像的对称轴．
(2)若函数ݕǡ的表达式可以写成ݕǡ 㔠ʹ ݔെ݄
ʹ െʹ（h 是常数）的形式，求ሻ൅ܿ
的最小值．
(3)设一次函数ݕʹ 㔠ݔെ݉
（m 是常数）．若函数ݕǡ的表达式还可以写成ݕǡ 㔠ʹ ݔെ݉
ݔെ݉
െʹ 的形式，
当函数ݕ㔠ݕǡ െݕʹ的图像经过点ݔͲ䁪Ͳ 时，求ݔͲ െ݉
的值．
【答案】(1)ݕǡ 㔠ʹ ݔെǡ
ݔെʹ ，ݔ㔠
͵
ʹ
(2)െ⸶
(3)ݔͲ െ݉
㔠Ͳ 或ݔͲ െ݉
㔠
ͷ
ʹ
【分析】（1）利用待定系数法计算即可．
（2）根据等式的性质，构造以b+c 为函数的二次函数，求函数最值即可．
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（3）先构造y 的函数，把点ݔͲ䁪Ͳ 代入解析式，转化为ݔͲ的一元二次方程，解方程变形即可．
【详解】（1）由题意，二次函数ݕǡ 㔠ʹݔʹ ൅ሻݔ൅ܿ（b，c 是常数）经过(1，0)，(2，0)，
∴ʹ ൅ሻ൅ܿ
㔠Ͳ
ͺ ൅ʹሻ൅ܿ
㔠Ͳ ，
解得b 㔠െ͸ܿ
㔠⸶，
∴抛物线的解析式ݕǡ 㔠ʹݔʹ െ͸ݔ൅⸶㔠ʹ ݔെǡ
ݔെʹ ．
∴图像的对称轴是直线ݔ㔠െ
ሻ
ʹۉ㔠െ
െ͸
ʹൈʹ 㔠
͵
ʹ．
（2）由题意，得ݕǡ 㔠ʹݔʹ െ⸶݄ݔ൅ʹ݄
ʹ െʹ，
∵ݕǡ 㔠ʹݔʹ ൅ሻݔ൅ܿ，
∴b=-4h，c=ʹ݄ʹ െʹ
∴ሻ൅ܿ
㔠ʹ݄
ʹ െ⸶݄െʹ 㔠ʹ݄
െǡ ʹ െ⸶，
∴当݄
㔠ǡ 时，ሻ൅ܿ
的最小值是െ⸶．
（3）由题意，得ݕ㔠ݕǡ െݕʹ 㔠ʹ ݔെ݉
ݔെ݉
െʹ െݔെ݉
㔠ݔെ݉
ʹ ݔെ݉
െͷ
因为函数y 的图像经过点ݔͲ䁪Ͳ ，
所以ݔͲ െ݉
ʹ ݔͲ െ݉
െͷ 㔠Ͳ，
所以ݔͲ െ݉
㔠Ͳ，或ݔͲ െ݉
㔠
ͷ
ʹ．
8．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)．
(1)求抛物线L1 的函数表达式．
(2)将抛物线L1 向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2 的顶点关于坐标原点O 的对称点在
抛物线L1 上，求m 的值．
(3)把抛物线L1 向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3 上，且y1＞
y2，求n 的取值范围．
【答案】(1)ݕ㔠ݔʹ ൅ʹݔെ͵
(2)݉
的值为4
(3)݊
൐͵
【分析】（1）把ܣሺǡ䁪Ͳ晦代入ݕ㔠ۉሺݔ൅ǡ晦ʹ െ⸶即可解得抛物线ܮǡ的函数表达式为ݕ㔠ݔʹ ൅ʹݔെ͵；
（2）将抛物线ܮǡ向上平移݉
ሺ݉
൐Ͳ晦个单位得到抛物线ܮʹ，顶点为ሺെǡ䁪െ⸶൅݉
晦，关于原点的对称点
为ሺǡ䁪⸶െ݉
晦，代入ݕ㔠ݔʹ ൅ʹݔെ͵ 可解得݉
的值为4；
（3）把抛物线ܮǡ向右平移݊
ሺ݊
൐Ͳ晦个单位得抛物线ܮ͵为ݕ㔠ሺݔെ݊
൅ǡ晦ʹ െ⸶，根据点B(1，y1)，C(3，
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y2)都在抛物线ܮ͵上，当y1＞y2 时，可得ሺʹ െ݊
晦ʹ െ⸶൐ሺ⸶െ݊
晦ʹ െ⸶，即可解得݊
的取值范围是݊
൐͵．
【详解】（1）解：把ܣሺǡ䁪Ͳ晦代入ݕ㔠ۉሺݔ൅ǡ晦ʹ െ⸶得：
ۉሺǡ ൅ǡ晦ʹ െ⸶㔠Ͳ，
解得ۉ㔠ǡ，
׵ ݕ㔠ሺݔ൅ǡ晦ʹ െ⸶㔠ݔʹ ൅ʹݔെ͵；
答：抛物线ܮǡ的函数表达式为ݕ㔠ݔʹ ൅ʹݔെ͵；
（2）解：抛物线ܮǡǣݕ㔠ሺݔ൅ǡ晦ʹ െ⸶的顶点为ሺെǡ䁪െ⸶晦，
将抛物线ܮǡ向上平移݉
ሺ݉
൐Ͳ晦个单位得到抛物线ܮʹ，则抛物线ܮʹ的顶点为ሺെǡ䁪െ⸶൅݉
晦，
而ሺെǡ䁪െ⸶൅݉
晦关于原点的对称点为ሺǡ䁪⸶െ݉
晦，
把ሺǡ䁪⸶െ݉
晦代入ݕ㔠ݔʹ ൅ʹݔെ͵ 得：
ǡʹ ൅ʹ ൈǡ െ͵ 㔠⸶െ݉
，
解得݉
㔠⸶，
答：݉
的值为4；
（3）解：把抛物线ܮǡ向右平移݊
ሺ݊
൐Ͳ晦个单位得到抛物线ܮ͵，抛物线ܮ͵解析式为ݕ㔠ሺݔെ݊
൅ǡ晦ʹ െ⸶，
׶点⚐ሺǡ䁪ݕǡ晦，ܥሺ͵䁪ݕʹ晦都在抛物线ܮ͵上，
׵ ݕǡ 㔠ሺǡ െ݊
൅ǡ晦ʹ െ⸶㔠ሺʹ െ݊
晦ʹ െ⸶，
ݕʹ 㔠ሺ͵ െ݊
൅ǡ晦ʹ െ⸶㔠ሺ⸶െ݊
晦ʹ െ⸶，
׶y1＞y2，
׵ ሺʹ െ݊
晦ʹ െ⸶൐ሺ⸶െ݊
晦ʹ െ⸶，
整理变形得：ሺʹ െ݊
晦ʹ െሺ⸶െ݊
晦ʹ ൐Ͳ，
ሺʹ െ݊
൅⸶െ݊
晦ሺʹ െ݊
െ⸶൅݊
晦൐Ͳ
െʹ ൈሺ͸ െʹ݊晦൐Ͳ，
͸ െʹ݊
′ Ͳ
解得݊
൐͵，
׵݊
的取值范围是݊
൐͵．
9．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，已知点ܯݔǡ䁪ݕǡ 䁪ܰ
ݔʹ䁪ݕʹ 在二次函数ݕ㔠ۉሺݔെʹ晦ʹ െǡሺͲ൐ ۉ晦的图
像上，且ݔʹ െݔǡ 㔠͵．
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(1)若二次函数的图像经过点ሺ͵䁪ǡ晦．
①求这个二次函数的表达式；
②若ݕǡ 㔠ݕʹ，求顶点到ܯܰ
的距离；
(2)当ݔǡ ൑ݔ൑ݔʹ时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N 在对称轴的异侧，求a 的取值范围．
【答案】(1)①ݕ㔠ʹݔʹ െͺݔ൅͹；②
‴
ʹ
(2)
ǡ
‴ ′ۉ൑
⸶
‴
【分析】（1）①将点ሺ͵䁪ǡ晦代入ݕ㔠ۉሺݔെʹ晦ʹ െǡሺͲ൐ ۉ晦中即可求出二次函数表达式；
②当ݕǡ 㔠ݕʹ时，此时ܯܰ
为平行x 轴的直线，将ܯݔǡ䁪ݕǡ 䁪ܰ
ݔʹ䁪ݕʹ 代入二次函数解析式中求出ݔʹ ൅ݔǡ 㔠
⸶，再由ݔʹ െݔǡ 㔠͵ 求出直线ܯܰ
为ݕ㔠
͹
ʹ，最后根据二次函数顶点坐标即可求解；
（2）分两种情形：若M，N 在对称轴的异侧，ݕǡ ൒ݕʹ；若M、N 在对称轴的异侧，ݕǡ ൑ݕʹ，x1<2，
分别求解即可．
【详解】（1）解：①将点ሺ͵䁪ǡ晦代入ݕ㔠ۉሺݔെʹ晦ʹ െǡሺͲ൐ ۉ晦中，
∴ǡ 㔠ۉሺ͵ െʹ晦ʹ െǡ，解得ۉ㔠ʹ，
∴二次函数的表达式为：ݕ㔠ʹሺݔെʹ晦ʹ െǡ 㔠ʹݔʹ െͺݔ൅͹；
②当ݕǡ 㔠ݕʹ时，此时ܯܰ
为平行x 轴的直线，
将ܯݔǡ䁪ݕǡ 代入二次函数中得到：ݕǡ 㔠ʹݔǡʹ െͺݔǡ ൅͹，
将ܰ
ݔʹ䁪ݕʹ 代入二次函数中得到：ݕʹ 㔠ʹݔʹʹ െͺݔʹ ൅͹，
∵ݕǡ 㔠ݕʹ，
∴ʹݔǡʹ െͺݔǡ ൅͹=ʹݔʹʹ െͺݔʹ ൅͹，
整理得到：ሺݔǡ ൅ݔʹ晦ሺݔǡ െݔʹ晦െ⸶ሺݔǡ െݔʹ晦㔠Ͳ，
又∵ݔʹ െݔǡ 㔠͵，代入上式得到：ݔʹ ൅ݔǡ 㔠⸶，解出ݔǡ 㔠
ǡ
ʹ 䁪ݔʹ 㔠
͹
ʹ，
∴ݕʹ 㔠ݕǡ 㔠ʹ ൈሺ
ǡ
ʹ 晦ʹ െͺ ൈ
ǡ
ʹ ൅͹ 㔠
͹
ʹ，即直线ܯܰ
为：ݕ㔠
͹
ʹ，
又׶二次函数的顶点坐标为(2，-1)，
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∴顶点(2,-1)到ܯܰ
的距离为
͹
ʹ ൅ǡ 㔠
‴
ʹ；
（2）解：若M，N 在对称轴的异侧，ݕǡ ൒ݕʹ，
∴x1+3>2，
∴x1>-1，
∵ݔʹ െݔǡ 㔠͵
∴ݔǡ ൑
ǡ
ʹ，
∴-1<ݔǡ ൑
ǡ
ʹ，
∵函数的最大值为y1=a（x1-2）2-1，最小值为-1，
∴y-（-1）=1，
∴a=
ǡ
ݔǡെʹ ʹ，
∴
‴
⸶൑ݔǡ െʹ ʹ ′ ‴，
∴
ǡ
‴ ′ۉ൑
⸶
‴；
若M、N 在对称轴的异侧，ݕǡ ൑ݕʹ，x1<2，
∵ݔǡ ൐
ǡ
ʹ，
∴
ǡ
ʹ ′ ݔǡ ′ ʹ，
∵函数的最大值为y=a（x2-2）2-1，最小值为-1，
∴y-（-1）=1，
∴a=
ǡ
ݔǡ൅ǡ ʹ，
∴
‴
⸶′ ݔǡ ൅ǡ ʹ ′ ‴，
∴
ǡ
‴ ′ۉ′
⸶
‴，
综上所述，a 的取值范围为
ǡ
‴ ′ۉ൑
⸶
‴．
考点03
二次函数建模及实际应用
1．（2026·浙江·中考真题）我国新能源汽车产销量连续多年位居全球第一．某公司测试一款新型电动汽
车的续航能力，在匀速行驶等理想状态下，收集到的数据如下：
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行驶速度ݔ（km h）50
60
70
80
90
基础能耗ݕ（kW ڄ hȀ
ǡͲͲ km）
12.35
11.75
11.55
11.75
12.35
该款电动汽车的电池容量为͸ͲǤ⸶ͺ kW ڄ h，考虑到各种因素，实际能耗是基础能耗的1.2 倍
实际续航里程㔠
电池容量（kWڄh）
实际能耗（kWڄhȀǡͲͲ km）ൈǡͲͲ．
(1)根据上述表格中的数据，在答题纸的坐标系中画出相应的点，
(2)请你根据（1）中点在坐标系中的分布特征，从一次函数、反比例函数、二次函数中，选出最符合基础能
耗ݕ与行驶速度ݔ之间关系的函数，并求出该函数表达式；
(3)当该款电动汽车匀速行驶时的速度在͸Ͳ kmȀh 和ͺͷ kmȀh 之间（含͸Ͳ kmȀh 和ͺͷ kmȀh）时，求其实际
续航里程的最小值．
【答案】(1)
(2)最符合的是二次函数，函数表达式为：ݕ㔠ͲǤͲͲʹሺݔെ͹Ͳ晦ʹ ൅ǡǡǤͷͷ
(3)420 千米
【分析】（1）根据表格描点即可；
（2）根据点的分布得出其符合二次函数的抛物线特征，再根据待定系数法解答即可；
（3）根据题意求出实际续航里程ݏ㔠
ͷͲ⸶Ͳ
ݕ，从而得当ݕ最大时，ݏ取最小值，求出二次函数ݕ㔠ͲǤͲͲʹሺݔെ
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͹Ͳ晦ʹ ൅ǡǡǤͷͷ 在͸Ͳ ൑ݔ൑ͺͷ 范围内的最大值即可解答；
【详解】（1）略
（2）解：观察点的分布：数据先降后升，且ሺͷͲ䁪ǡʹǤ͵ͷ晦和ሺ‴Ͳ䁪ǡʹǤ͵ͷ晦、ሺ͸Ͳ䁪ǡǡǤ͹ͷ晦和ሺͺͲ䁪ǡǡǤ͹ͷ晦均关于ݔ㔠
͹Ͳ 对称，符合二次函数的抛物线特征，因此最符合的是二次函数，
设函数表达式为（对称轴为ݔ㔠͹Ͳ，顶点为ሺ͹Ͳ䁪ǡǡǤͷͷ晦）：ݕ㔠ݔሺۉെ͹Ͳ晦ʹ ൅ǡǡǤͷͷ，
将点ሺ͸Ͳ䁪ǡǡǤ͹ͷ晦代入得：ǡǡǤ͹ͷ 㔠Ͳ͸ሺۉെ͹Ͳ晦ʹ ൅ǡǡǤͷͷ，
解得ۉ㔠ͲǤͲͲʹ，
验证其余点均满足该式，
∴函数表达式为：ݕ㔠ͲǤͲͲʹሺݔെ͹Ͳ晦ʹ ൅ǡǡǤͷͷ（展开也可写为ݕ㔠ͲǤͲͲʹݔʹ െͲǤʹͺݔ൅ʹǡǤ͵ͷ）；
（3）解：根据题意：实际能耗为ǡǤʹݕ，
代入续航里程公式：实际续航里程ݏ㔠
͸ͲǤ⸶ͺ
ǡǤʹݕൈǡͲͲ 㔠
ͷͲ⸶Ͳ
ݕ，
∴ݏ随ݕ的增大而减小，
∴当ݕ最大时，ݏ取最小值，
∵二次函数ݕ㔠ͲǤͲͲʹሺݔെ͹Ͳ晦ʹ ൅ǡǡǤͷͷ 开口向上，对称轴为ݔ㔠͹Ͳ，
∴在͸Ͳ ൑ݔ൑͹Ͳ 范围内，ݕ随ݔ增大而减小，在͹Ͳ ൑ݔ൑ͺͷ 范围内，ݕ随ݔ增大而增大；
当ݔ㔠͸Ͳ 时，ݕ㔠ǡǡǤ͹ͷ，当ݔ㔠ͺͷ 时，ݕ㔠ͲǤͲͲʹ ൈሺͺͷ െ͹Ͳ晦ʹ ൅ǡǡǤͷͷ 㔠ǡʹ，
∴在͸Ͳ ൑ݔ൑ͺͷ 范围内ݕ的最大值为12，
∴ݏ最小㔠
ͷͲ⸶Ͳ
ǡʹ 㔠⸶ʹͲkm，
故实际续航里程的最小值为420 千米．
2．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10 米/秒，经过䁠（秒）时球距
离地面的高度݄
（米）适用公式݄
㔠ǡͲ䁠െͷ䁠ʹ，那么球弹起后又回到地面所花的时间䁠（秒）是（
）
A．5
B．10
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据球弹起后又回到地面时݄
㔠Ͳ，得到Ͳ 㔠ǡͲ䁠െͷ䁠ʹ，解方程即可得到答案．
【详解】解：球弹起后又回到地面时݄
㔠Ͳ，即Ͳ 㔠ǡͲ䁠െͷ䁠ʹ，
解得䁠
ǡ 㔠Ͳ（不合题意，舍去），䁠ʹ 㔠ʹ，
∴球弹起后又回到地面所花的时间䁠（秒）是2，
故选：D
3．（2023·浙江温州·中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方ͺm 的A 处射门，球射向球门的路
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线呈抛物线．当球飞行的水平距离为͸m 时，球达到最高点，此时球离地面͵m．已知球门高R⚐为2.44m，
现以O 为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少
米射门，才能让足球经过点O 正上方2.25m 处？
【答案】(1)ݕ㔠െ
ǡ
ǡʹ ݔെʹ ʹ ൅͵，球不能射进球门
(2)当时他应该带球向正后方移动1 米射门
【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A 点坐标求出a 的值即
可得到函数表达式，再把ݔ㔠Ͳ 代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论；
（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点Ͳ䁪ʹǤʹͷ 代入即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为ʹ䁪͵ ，
设抛物线解析式为ݕ㔠ۉݔെʹ ʹ ൅͵，
把点ܣͺ䁪Ͳ 代入，得͵͸͵൅ ۉ㔠Ͳ，
解得ۉ㔠െ
ǡ
ǡʹ，
∴抛物线的函数表达式为ݕ㔠െ
ǡ
ǡʹ ݔെʹ ʹ ൅͵，
当ݔ㔠Ͳ 时，ݕ㔠
ͺ
͵ ൐ʹǤ⸶⸶，
∴球不能射进球门；
（2）设小明带球向正后方移动݉
米，则移动后的抛物线为ݕ㔠െ
ǡ
ǡʹ ݔെʹ െ݉
ʹ ൅͵，
把点Ͳ䁪ʹǤʹͷ 代入得ʹǤʹͷ 㔠െ
ǡ
ǡʹ െʹ െ݉
ʹ ൅͵，
解得݉
ǡ 㔠െͷ（舍去），݉
ʹ 㔠ǡ，
∴当时他应该带球向正后方移动1 米射门．
4．（2023·浙江嘉兴·中考真题）根据以下素材，探究完成任务．
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如何把实心球掷得更远？
素材1
小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A 处被抛出，其路线是抛物线．点A 距离
地面ǡǤ͸m，当球到Rܣ的水平距离为ǡm 时，达到最大高度为ǡǤͺm．
素材2
根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方ǡm 处（如图）架起距离地面高为ʹǤ⸶ͷm 的横线．球从
点A 处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离Rܥ㔠ͺm．
问题解决
任务1
计算投掷距离
建立合适的直角坐标系，求素材1 中的投掷距离R⚐．
任务2
探求高度变化
求素材2 和素材1 中球的最大高度的变化量
任务3
提出训练建议
为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．
【答案】任务一：4m；任务二：
ʹʹ
ǡͷm；任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、
选择适当的掷出仰角
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【分析】任务一：建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为ǡ䁪ǡǤͺ ，设抛物线的解析式为ݕ㔠
ۉݔെǡ ʹ ൅ǡǤͺ，过点Ͳ䁪ǡǤ͸ ，利用待定系数法求出解析式，当ݕ㔠Ͳ 时求出x 的值即可得到R⚐；
任务二：建立直角坐标系，求出任务二的抛物线解析式，得到顶点纵坐标，与任务一的纵坐标相减即
可；
任务三：根据题意给出合理的建议即可．
【详解】任务一：建立如图所示的直角坐标系，
由题意得：抛物线的顶点坐标为ǡ䁪ǡǤͺ ，
设抛物线的解析式为ݕ㔠ۉݔെǡ ʹ ൅ǡǤͺ，过点Ͳ䁪ǡǤ͸ ，
∴൅ ۉǡǤͺ 㔠ǡǤ͸，
解得ۉ㔠െͲǤʹ，
∴ݕ㔠െͲǤʹ ݔെǡ ʹ ൅ǡǤͺ，
当ݕ㔠Ͳ 时，െͲǤʹ ݔെǡ ʹ ൅ǡǤͺ 㔠Ͳ，
得ݔǡ 㔠⸶䁪ݔ㔠െʹ（舍去），
∴素材1 中的投掷距离R⚐为4m；
（2）建立直角坐标系，如图，
设素材2 中抛物线的解析式为ݕ㔠ۉݔʹ ൅ሻݔ൅ܿ，
由题意得，过点Ͳ䁪ǡǤ͸ 䁪ǡ䁪ʹǤ⸶ͷ 䁪ͺ䁪Ͳ ，
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∴ܿ
㔠ǡǤ͸
൅ ۉሻ൅ܿ
㔠ʹǤ⸶ͷ
͸⸶ͺ൅ ۉሻ൅ܿ
㔠Ͳ
，
解得
ۉ㔠െͲǤǡͷ
ሻ㔠ǡܿ
㔠ǡǤ͸
，
∴ݕ㔠െͲǤǡͷݔʹ ൅ݔ൅ǡǤ͸
∴顶点纵坐标为
⸶ۉܿെሻʹ
⸶ۉ㔠
⸶ൈെͲǤǡͷ ൈǡǤ͸െǡʹ
⸶ൈെͲǤǡͷ
㔠
⸶‴
ǡͷ，
⸶‴
ǡͷ െǡǤͺ 㔠
ʹʹ
ǡͷ（m），
∴素材2 和素材1 中球的最大高度的变化量为
ʹʹ
ǡͷ m；
任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角．
5．（2023·浙江衢州·中考真题）某龙舟队进行500 米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图
1，图2 分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程ݏm 与时间䁠s 的近似函数图象．启航阶段的函数表
达式为ݏ㔠݇
䁠ʹ്݇
Ͳ ；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速
期龙舟划行总路程ݏm 与时间䁠s 的函数表达式为ݏ㔠݇
䁠െ͹Ͳ ʹ ൅്݄݇
Ͳ ．
(1)求出启航阶段ݏm 关于䁠s 的函数表达式（写出自变量的取值范围），
(2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s．
①当䁠㔠‴Ͳs 时，求出此时龙舟划行的总路程，
②在距离终点125 米处设置计时点，龙舟到达时，䁠൑ͺͷǤʹͲs 视为达标，请说明该龙舟队能否达标；
(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s 将速度从5m/s 提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成
训练所需时间（精确到0.01s）．
【答案】(1)ݏ㔠
ǡ
ͺ 䁠ʹሺͲ ′ 䁠൑ʹͲ晦
(2)①龙舟划行的总路程为⸶ͲͲm；②该龙舟队能达标．
(3)该龙舟队完成训练所需时间为ǡͲ‴ǤͲ͹s
【分析】（1）把ܣሺʹͲ䁪ͷͲ晦代入ݏ㔠݇
䁠ʹ 得出݇
的值，则可得出答案；
（2）①设ݏ㔠ͷ䁠൅ሻ，把ሺʹͲ䁪ͷͲ晦代入，得出ͷͲ 㔠ͷ ൈʹͲ ൅ሻ，求得ሻ㔠െͷͲ，当䁠㔠‴Ͳ 时，求出ݏ㔠⸶ͲͲ，
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则可得出答案；
②把ݏ㔠͵͹ͷ 代入ݏ㔠ͷ䁠െͷͲ，求得䁠㔠ͺͷ，则可得出答案；
（3）由（1）可知݇
㔠
ǡ
ͺ，把ሺ‴Ͳ䁪⸶ͲͲ晦代入ݏ㔠
ǡ
ͺ ሺ䁠െ͹Ͳ晦ʹ ൅݄，求得݄
㔠͵ͷͲ．求出ݏ㔠⸶ͲͷǤǡʹͷ，则
可得出答案．
【详解】（1）把ܣሺʹͲ䁪ͷͲ晦代入ݏ㔠݇
䁠ʹ 得ͷͲ 㔠⸶ͲͲ݇，
解得݇
㔠
ǡ
ͺ，
׵启航阶段总路程ݏ关于时间䁠的函数表达式为ݏ㔠
ǡ
ͺ 䁠ʹሺͲ ′ 䁠൑ʹͲ晦；
（2）①设ݏ㔠ͷ䁠൅ሻ，把ሺʹͲ䁪ͷͲ晦代入，得ͷͲ 㔠ͷ ൈʹͲ ൅ሻ，
解得ሻ㔠െͷͲ，
׵ ݏ㔠ͷ䁠െͷͲ．
当䁠㔠‴Ͳ 时，ݏ㔠⸶ͷͲ െͷͲ 㔠⸶ͲͲ．
׵当䁠㔠‴Ͳ 时，龙舟划行的总路程为⸶ͲͲm．
②ͷͲͲ െǡʹͷ 㔠͵͹ͷ，
把ݏ㔠͵͹ͷ 代入ݏ㔠ͷ䁠െͷͲ，
得䁠㔠ͺͷ．
׶ ͺͷ ′ ͺͷǤʹͲ，
׵该龙舟队能达标．
（3）加速期：由（1）可知݇
㔠
ǡ
ͺ，
把ሺ‴Ͳ䁪⸶ͲͲ晦代入ݏ㔠
ǡ
ͺ ሺ䁠െ͹Ͳ晦ʹ ൅݄，
得݄
㔠͵ͷͲ．
׵函数表达式为ݏ㔠
ǡ
ͺ ሺ䁠െ͹Ͳ晦ʹ ൅͵ͷͲ，
把䁠㔠‴ǡ 代入ݏ㔠
ǡ
ͺ ሺ䁠െ͹Ͳ晦ʹ ൅͵ͷͲ，
解得ݏ㔠⸶ͲͷǤǡʹͷ．
׵ ሺͷͲͲ െ⸶ͲͷǤǡʹͷ晦ൊͷǤʹͷ ൎǡͺǤͲ͹，
׵ ‴Ͳ ൅ǡ ൅ǡͺǤͲ͹ 㔠ǡͲ‴ǤͲ͹．
答：该龙舟队完成训练所需时间为ǡͲ‴ǤͲ͹s．
6．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每千克30 元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可
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知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）͵Ͳ ൑ݔ′ ͸Ͳ 存在一次函数关系，部分数据
如下表所示：
销售价格x（元/千克）
50
40
日销售量y（千克）
100
200
(1)试求出y 关于x 的函数表达式．
(2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W 元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x 为多少时，日
销售利润W 最大？最大的日销售利润是多少元？
【答案】(1)ݕ㔠െǡͲݔ൅͸ͲͲ
(2)销售价格为每千克45 元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250 元
【分析】（1）设y 与x 之间的函数关系式为ݕ㔠݇
ݔ൅ሻ，由表中数据即可得出结论；
（2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设y 关于x 的函数表达式为ݕ㔠݇
ݔ൅ሻ്݇
Ͳ ．
将ݔ㔠ͷͲ，ݕ㔠ǡͲͲ 和ݔ㔠⸶Ͳ，ݕ㔠ʹͲͲ 分别代入，得：
ͷͲ݇൅ሻ㔠ǡͲͲ
⸶Ͳ݇൅ሻ㔠ʹͲͲ ，
解得：݇
㔠െǡͲ
ሻ㔠͸ͲͲ ，
∴y 关于x 的函数表达式是：ݕ㔠െǡͲݔ൅͸ͲͲ；
（2）解：ܹ
㔠ݔെ͵Ͳ
െǡͲݔ൅͸ͲͲ 㔠െǡͲݔʹ ൅‴ͲͲݔെǡͺͲͲͲ，
∵െǡͲ ′ Ͳ，
∴当ݔ㔠െ
‴ͲͲ
െʹͲ 㔠⸶ͷ 时，在͵Ͳ ൑ݔ′ ͸Ͳ 的范围内，
W 取到最大值，最大值是2250．
答：销售价格为每千克45 元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250 元．
7．（2022·浙江宁波·中考真题）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，
经过试验，其平均单株产量y 千克与每平方米种植的株数x（ʹ ൑ݔ൑ͺ，且x 为整数）构成一种函数关系．每
平方米种植2 株时，平均单株产量为4 千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1 株，单株
产量减少0.5 千克．
(1)求y 关于x 的函数表达式．
(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
【答案】(1)ݕ㔠െͲǤͷݔ൅ͷ（ʹ ൑ݔ൑ͺ，且x 为整数）
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(2)每平方米种植5 株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5 千克
【分析】（1）由每平方米种植的株数每增加1 株，单株产量减少0.5 千克，即可得求得解析式；
（2）设每平方米小番茄产量为W 千克，由产量=每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由
二次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：∵每平方米种植的株数每增加1 株，单株产量减少0.5 千克，
∴ݕ㔠⸶െͲǤͷሺݔെʹ晦㔠െͲǤͷݔ൅ͷ（ʹ ൑ݔ൑ͺ，且x 为整数）；
（2）解：设每平方米小番茄产量为W 千克，
ݓ㔠ݔሺെͲǤͷݔ൅ͷ晦㔠െͲǤͷݔʹ ൅ͷݔ㔠െͲǤͷሺݔെͷ晦ʹ ൅ǡʹǤͷ．
∴当ݔ㔠ͷ 时，w 有最大值12.5 千克．
答：每平方米种植5 株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5 千克．
8．（2022·浙江金华·中考真题）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与
需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量ݕǡ（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成
抛物线，其表达式为ݕǡ 㔠ۉݔʹ ൅ܿ，部分对应值如表：
售价x（元/千克）
…
2.5
3
3.5
4
…
需求量ݕǡ（吨）
…
7.75
7.2
6.55
5.8
…
②该蔬菜供给量ݕʹ（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为ݕʹ 㔠ݔെǡ，函数图象见图1．
③1~7 月份该蔬菜售价ݔǡ（元/千克），成本ݔʹ（元/千克）关于月份t 的函数表达式分别为ݔǡ㔠
ǡ
ʹ 䁠൅ʹ，ݔʹ 㔠
ǡ
⸶䁠ʹ െ
͵
ʹ 䁠൅͵，函数图象见图2．
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请解答下列问题：
(1)求a，c 的值．
(2)根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．
(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．
【答案】(1)ۉ㔠െ
ǡ
ͷ 䁪ܿ㔠‴
(2)在4 月份出售这种蔬菜每千克获利最大，理由：
设这种蔬菜每千克获利w 元，根据题意，
有ݓ㔠ݔ售价െݔ成本㔠
ǡ
ʹ 䁠൅ʹ െ
ǡ
⸶䁠ʹ െ
͵
ʹ 䁠൅͵ ，
化简，得ݓ㔠െ
ǡ
⸶䁠ʹ ൅ʹ䁠െǡ 㔠െ
ǡ
⸶ሺ䁠െ⸶晦ʹ ൅͵，
∵െ
ǡ
⸶′ Ͳ䁪䁠㔠⸶在ǡ ൑䁠൑͹ 的范围内，
∴当䁠㔠⸶时，w 有最大值．
答：在4 月份出售这种蔬菜每千克获利最大．
(3)该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5 元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000 元
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设这种蔬菜每千克获利w 元，根据ݓ㔠ݔ售价െݔ成本列出函数关系式，由二次函数的性质可得结
论；
（3）根据题意列出方程，求出x 的值，再求出总利润即可．
【详解】（1）把ݔ㔠͵䁪
ݕ㔠͹Ǥʹ ，ݔ㔠⸶䁪
ݕ㔠ͷǤͺ 代入ݕ需求㔠ۉݔʹ ൅ܿ
可得
‴ܿ൅ ۉ㔠͹Ǥʹ䁪①
ǡ͸ܿ൅ ۉ㔠ͷǤͺǤ②
②-①，得͹ۉ㔠െǡǤ⸶，
解得ۉ㔠െ
ǡ
ͷ，
把ۉ㔠െ
ǡ
ͷ代入①，得ܿ
㔠‴，
∴ۉ㔠െ
ǡ
ͷ 䁪ܿ㔠‴．
（2）略
（3）由ݕ供给㔠ݕ需求，得ݔെǡ 㔠െ
ǡ
ͷ ݔʹ ൅‴，
化简，得ݔʹ ൅ͷݔെͷͲ 㔠Ͳ，解得ݔǡ 㔠ͷ䁪ݔʹ 㔠െǡͲ（舍去），
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∴售价为5 元/千克．
此时，ݕ供给㔠ݕ需求㔠ݔെǡ 㔠⸶（吨）㔠⸶ͲͲͲ（千克），
把ݔ㔠ͷ 代入ݔ售价㔠
ǡ
ʹ 䁠൅ʹ，得䁠㔠͸，
把䁠㔠͸ 代入ݓ㔠െ
ǡ
⸶䁠ʹ ൅ʹ䁠െǡ，得ݓ㔠െ
ǡ
⸶ൈ͵͸ ൅ʹ ൈ͸ െǡ 㔠ʹ，
∴总利润㔠ݓڄ ݕ㔠ʹ ൈ⸶ͲͲͲ 㔠ͺͲͲͲ（元）．
答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5 元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000 元．
9．（2022·浙江温州·中考真题）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素
材
1
图1 中有一座拱桥，图2 是其抛
物线形桥拱的示意图，某时测得
水面宽ʹͲm，拱顶离水面ͷm．据
调查，该河段水位在此基础上再
涨ǡǤͺm 达到最高．
素
材
2
为迎佳节，拟在图1 桥洞前面的
桥拱上悬挂⸶Ͳcm 长的灯笼，如
图3.为了安全，灯笼底部距离水
面不小于ǡm；为了实效，相邻
两盏灯笼悬挂点的水平间距均
为ǡǤ͸m；为了美观，要求在符
合条件处都挂上灯笼，且挂满后
成轴对称分布．
问题解决
任
务
1
确定桥拱形状
在图2 中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标
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务
2
的最小值和横坐标的取值范围．
任
务
3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，
求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
【答案】
任务一：直角坐标系：
ݕ㔠െ
ǡ
ʹͲݔʹ；
任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是െǡǤͺ；െ͸ ൑ݔ൑͸；
任务三：有两种设计方案
方案一：如图2（坐标系的横轴，图3 同），从顶点处开始悬挂灯笼．
∵െ͸ ൑ݔ൑͸，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为ǡǤ͸m，
∴若顶点一侧挂4 盏灯笼，则ǡǤ͸ ൈ⸶൐͸，
若顶点一侧挂3 盏灯笼，则ǡǤ͸ ൈ͵ ′ ͸，
∴顶点一侧最多可挂3 盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂7 盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是െ⸶Ǥͺ．
方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为ͲǤͺm，
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∵若顶点一侧挂5 盏灯笼，则ͲǤͺ ൅ǡǤ͸ ൈሺͷ െǡ晦൐͸，
若顶点一侧挂4 盏灯笼，则ͲǤͺ ൅ǡǤ͸ ൈሺ⸶െǡ晦′ ͸，
∴顶点一侧最多可挂4 盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂8 盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是െͷǤ͸．
【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1 所示的直角坐标系，待定系数法求解析式即
可求解；
任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标ݕ൒െͷ ൅ǡǤͺ ൅ǡ ൅ͲǤ⸶㔠െǡǤͺ，进而代入函数解析式即可求
得横坐标的范围；
任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3 同），从顶点处开始悬
挂灯笼；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为ͲǤͺm，根据题意
求得任意一种方案即可求解．
【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1 所示的直角坐标系，则顶点为ሺͲ䁪Ͳ晦，且经过点ሺǡͲ䁪െͷ晦．
设该抛物线函数表达式为ݕ㔠ۉݔʹሺۉ്
Ͳ晦，
则െͷ 㔠ǡͲͲۉ，
∴ۉ㔠െ
ǡ
ʹͲ，
∴该抛物线的函数表达式是ݕ㔠െ
ǡ
ʹͲ ݔʹ．
任务二：∵水位再上涨ǡǤͺm 达到最高，灯笼底部距离水面至少ǡm，灯笼长ͲǤ⸶m，
∴悬挂点的纵坐标ݕ൒െͷ ൅ǡǤͺ ൅ǡ ൅ͲǤ⸶㔠െǡǤͺ，
∴悬挂点的纵坐标的最小值是െǡǤͺ．
当ݕ㔠െǡǤͺ 时，െǡǤͺ 㔠െ
ǡ
ʹͲ ݔʹ，解得ݔǡ 㔠͸ 或ݔʹ 㔠െ͸，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是െ͸ ൑ݔ൑͸．
任务三：略
10．（2022·浙江衢州·中考真题）如图1 为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线
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Rܧ为ݔ轴，铅垂线Rܦ为ݕ轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度ݒሺmȀs晦从ܦ点滑出，运动轨迹近似
抛物线ݕ㔠െۉݔʹ ൅ʹݔ൅ʹͲሺۉ്
Ͳ晦．某运动员7 次试跳的轨迹如图2．在着陆坡ܥܧ上设置点ܭ（与ܦR 相
距32m）作为标准点，着陆点在ܭ点或超过ܭ点视为成绩达标．
(1)求线段ܥܧ的函数表达式（写出ݔ的取值范围）．
(2)当ۉ㔠
ǡ
‴时，着陆点为ܲ
，求ܲ
的横坐标并判断成绩是否达标．
(3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度ݒ的大小有关，进一步探究，测算得7 组ۉ与ݒʹ 的对应数据，在平面
直角坐标系中描点如图3．
①猜想ۉ关于ݒʹ的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v 为多少m/s 时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s)？
（参考数据：͵ ൎǡǤ͹͵，ͷ ൎʹǤʹ⸶）
【答案】(1)ݕ㔠െ
ǡ
ʹ ݔ൅ʹͲ（8≤x≤40）
(2)ܲ
的横坐标为22.5，成绩未达标
(3)
①猜想a 与ݒʹ成反比例函数关系．
∴设ۉ㔠݉ݒʹ ሺ്݉
Ͳ晦，
将（100，0.250）代入得ͲǤʹͷ 㔠݉ǡͲͲ ，解得݉
㔠ʹͷ，
∴ۉ㔠
ʹͷ
ݒʹ．
将（150，0.167）代入ۉ㔠
ʹͷ
ݒʹ验证：
ʹͷ
ǡͷͲ ൎͲǤǡ͸͹，
∴ۉ㔠
ʹͷ
ݒʹ能相当精确地反映a 与ݒʹ的关系，即为所求的函数表达式．
②当ݒൎǡͺm/s 时，运动员的成绩恰能达标
【分析】（1）根据图像得出CE 的坐标，直接利用待定系数法即可求出解析式；
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（2）将ۉ㔠
ǡ
‴代入二次函数解析式，由െ
ǡ
‴ ݔʹ ൅ʹݔ൅ʹͲ 㔠െ
ǡ
ʹ ݔ൅ʹͲ 解出x 的值，比较即可得出结果；
（3）由图像可知，a 与ݒʹ成反比例函数关系，代入其中一个点即可求出解析式，根据CE 的表达式求
出K 的坐标（32，4），代入ݕ㔠െۉݔʹ ൅ʹݔ൅ʹͲ 即可求出a，再代入反比例函数即可求出v 的值．
【详解】（1）解：由图2 可知：ܥሺͺ，ǡ͸晦，ܧሺ⸶Ͳ，Ͳ晦，
设CE：ݕ㔠݇
ݔ൅ሻሺ്݇
Ͳ晦，
将ܥሺͺ，ǡ͸晦，ܧሺ⸶Ͳ，Ͳ晦代入ݕ㔠݇
ݔ൅ሻሺ്݇
Ͳ晦，
得：ሼǡ͸ 㔠ͺ݇൅ሻ
Ͳ 㔠⸶Ͳ݇൅ሻ，解得ሼ݇
㔠െ
ǡ
ʹ
ሻ㔠ʹͲ
，
∴线段CE 的函数表达式为ݕ㔠െ
ǡ
ʹ ݔ൅ʹͲ（8≤x≤40）．
（2）当ۉ㔠
ǡ
‴时，ݕ㔠െ
ǡ
‴ ݔʹ ൅ʹݔ൅ʹͲ，由题意得െ
ǡ
‴ ݔʹ ൅ʹݔ൅ʹͲ 㔠െ
ǡ
ʹ ݔ൅ʹͲ，
解得ݔǡ 㔠Ͳ（舍去），ݔʹ 㔠ʹʹǤͷǤ
∴ܲ
的横坐标为22.5．
∵22.5＜32，
∴成绩未达标．
（3）①略
②由K 在线段ݕ㔠െ
ǡ
ʹ ݔ൅ʹͲ 上，得K（32，4），代入得ݕ㔠െۉݔʹ ൅ʹݔ൅ʹͲ，得ۉ㔠
ͷ
͸⸶
由ۉ㔠
ʹͷ
ݒʹ得ݒʹ＝͵ʹͲ，
又∵ݒ＞Ͳ，
∴ݒ㔠ͺ ͷ ൎǡͺ，
∴当ݒൎǡͺm/s 时，运动员的成绩恰能达标．
11．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线݈
的方向行驶，为绿化带浇水．喷
水口ܪ离地竖直高度为݄（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系
中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形ܦܧܨܩ，其水平宽度ܦܧ㔠͵m，竖直高度为ܧܨ的
长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点ܣ离喷水口的水平距离为ʹm，高
出喷水口ͲǤͷm，灌溉车到݈
的距离Rܦ为݀
（单位：m）．
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(1)若݄
㔠ǡǤͷ，ܧܨ㔠ͲǤͷm；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程Rܥ；
②求下边缘抛物线与ݔ轴的正半轴交点⚐的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求݀
的取值范围；
(2)若ܧܨ㔠ǡm．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出݄
的最小值．
【答案】(1)①ݕ㔠െ
ǡ
ͺ ݔെʹ ʹ ൅ʹ,͸m；②ሺʹ䁪Ͳ晦；③ʹ ൑݀
൑ʹ ͵ െǡ
(2)
͸ͷ
͵ʹ
【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；
②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C 点求出B 点坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F 点，下边缘抛物线
R⚐൑݀
，计算即可；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点ܦ，ܨ恰好分别在两条抛物线上，设出D、
F 坐标计算即可．
【详解】（1）（1）①如图1，由题意得ܣሺʹ䁪ʹ晦是上边缘抛物线的顶点，
设ݕ㔠ۉሺݔെʹ晦ʹ ൅ʹ．
又∵抛物线经过点ሺͲ䁪ǡǤͷ晦，
∴ǡǤͷ 㔠⸶ʹ൅ ۉ，
∴ۉ㔠െ
ǡ
ͺ．
∴上边缘抛物线的函数解析式为ݕ㔠െ
ǡ
ͺ ሺݔെʹ晦ʹ ൅ʹ．
当ݕ㔠Ͳ 时，െ
ǡ
ͺ ሺݔെʹ晦ʹ ൅ʹ 㔠Ͳ，
∴ݔǡ 㔠͸，ݔʹ 㔠െʹ（舍去）．
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∴喷出水的最大射程Rܥ为͸m．
图1
②∵对称轴为直线ݔ㔠ʹ，
∴点ሺͲ䁪ǡǤͷ晦的对称点的坐标为ሺ⸶䁪ǡǤͷ晦．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移⸶m 得到的，
即点⚐是由点ܥ向左平移⸶m 得到，则点⚐的坐标为ሺʹ䁪Ͳ晦．
③如图2，先看上边缘抛物线，
∵ܧܨ㔠ͲǤͷ，
∴点ܨ的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点ܨ时，
െ
ǡ
ͺ ሺݔെʹ晦ʹ ൅ʹ 㔠ͲǤͷ．
解得ݔ㔠ʹ േʹ ͵，
∵ݔ൐Ͳ，
∴ݔ㔠ʹ ൅ʹ ͵．
当ݔ൒ʹ 时，ݕ随着ݔ的增大而减小，
∴当ʹ ൑ݔ൑͸ 时，要使ݕ൒ͲǤͷ，
则ݔ൑ʹ ൅ʹ ͵．
∵当Ͳ ൑ݔ′ ʹ 时，ݕ随ݔ的增大而增大，且ݔ㔠Ͳ 时，ݕ㔠ǡǤͷ，
∴当Ͳ ൑ݔ൑͸ 时，要使ݕ൒ͲǤͷ，则Ͳ ൑ݔ൑ʹ ൅ʹ ͵．
∵ܦܧ㔠͵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴݀
的最大值为ሺʹ ൅ʹ ͵晦െ͵ 㔠ʹ ͵ െǡ．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是R⚐൑݀
，
∴݀
的最小值为2．
综上所述，݀
的取值范围是ʹ ൑݀
൑ʹ ͵ െǡ．
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（2）݄
的最小值为
͸ͷ
͵ʹ．
由题意得ܣሺʹ䁪݄൅ͲǤͷ晦是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为ݕ㔠ۉሺݔെʹ晦ʹ ൅݄
൅ͲǤͷ．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴ݕ㔠⸶݄൅ ۉ
ͷǤͲ൅㔠݄
解得ۉ㔠െ
ǡ
ͺ
∴上边缘抛物线解析式为ݕ㔠െ
ǡ
ͺ ሺݔെʹ晦ʹ ൅݄
൅ͲǤͷ
∵对称轴为直线ݔ㔠ʹ，
∴点ሺͲ䁪݄晦的对称点的坐标为ሺ⸶䁪݄晦．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移⸶m 得到的，
∴下边缘抛物线解析式为ݕ㔠െ
ǡ
ͺ ሺݔ൅ʹ晦ʹ ൅݄
൅ͲǤͷ．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点ܦ，ܨ恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点ܦ݉
䁪Ͳ ，ܧ݉
൅͵䁪Ͳ ，ܨ݉
൅͵䁪െ
ǡ
ͺ ሺ݉
൅͵ െʹ晦ʹ ൅݄
൅ͲǤͷ ，
∵D 在下边缘抛物线上，
∴െ
ǡ
ͺ ሺ݉
൅ʹ晦ʹ ൅݄
൅ͲǤͷ 㔠Ͳ
∵EF=1
∴െ
ǡ
ͺ ሺ݉
൅͵ െʹ晦ʹ ൅݄
൅ͲǤͷ 㔠ǡ
∴െ
ǡ
ͺ ሺ݉
൅͵ െʹ晦ʹ ൅݄
൅ͲǤͷ െ
െ
ǡ
ͺ ሺ݉
൅ʹ晦ʹ ൅݄
൅ͲǤͷ 㔠ǡ，
解得݉
㔠ʹǤͷ，
代入െ
ǡ
ͺ ሺ݉
൅ʹ晦ʹ ൅݄
൅ͲǤͷ 㔠Ͳ，得݄
㔠
͸ͷ
͵ʹ．
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所以݄
的最小值为
͸ͷ
͵ʹ．
1．
（2026·浙江绍兴·一模）在平面直角坐标系ݔRݕ中，点ܣെʹ䁪⸶，⚐͵䁪‴ ，由线段ܣ⚐与抛物线的一段ݕ㔠ݔʹ
（െʹ ൑ݔ൑͵）组成的图形C，如图所示．若将图形C 上的一点P 先向右平移3 个单位，再向上平移1 个
单位后仍在图形C 上，则这样的点P 的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】先求出直线ܣ⚐的解析式，设点P 的横坐标为m，则െʹ ൑݉
൑͵，然后分两种情况：当点P
在线段ܣ⚐上时，当点P 在抛物线ݕ㔠ݔʹ上时即可求解．
【详解】解：设直线ܣ⚐的解析式为ݕ㔠݇
ݔ൅ሻ，
把点ܣെʹ䁪⸶，⚐͵䁪‴ 代入得：
െʹ݇൅ሻ㔠⸶
͵݇൅ሻ㔠‴ ，解得：݇
㔠ǡ
ሻ㔠͸ ，
∴直线ܣ⚐的解析式为ݕ㔠ݔ൅͸，
设点P 的横坐标为m，则െʹ ൑݉
൑͵，
当点P 在线段ܣ⚐上时，此时点P 的坐标为݉
䁪݉
൅͸ ，
∵将图形C 上的一点P 先向右平移3 个单位，再向上平移1 个单位后仍在图形C 上，
∴点݉
൅͵䁪݉
൅͹ 在图形C 上，
∴݉
൅͵ ൅͸ 㔠݉
൅͹ 或݉
൅͵ ʹ 㔠݉
൅͹，
∴݉
㔠
െͷെǡ͹
ʹ
（舍去）或
െͷ൅ǡ͹
ʹ
；
当点P 在抛物线ݕ㔠ݔʹ上时，此时点P 的坐标为݉
䁪݉
ʹ ，
∵将图形C 上的一点P 先向右平移3 个单位，再向上平移1 个单位后仍在图形C 上，
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∴点݉
൅͵䁪݉
ʹ ൅ǡ 在图形C 上，
∴݉
൅͵ ൅͸ 㔠݉
ʹ ൅ǡ 或݉
൅͵ ʹ 㔠݉
ʹ ൅ǡ，
∴݉
㔠
ǡെ͵͵
ʹ
（舍去）或
ǡ൅͵͵
ʹ
（舍去）或െ
⸶
͵；
∴这样的点P 的个数为2 个．
2．（2026·浙江温州·二模）如图1，汽车制动性能测试包含匀速行驶阶段和刹车阶段，图2 是某次测试中
汽车离点A 的距离S（米）关于行驶时间t（秒）的函数图象．
①匀速行驶阶段：汽车从点A 出发，以ݒͲ的速度沿ܣ⚐方向匀速行驶，2 秒后到达点C．
②刹车阶段：汽车自点C 处开始刹车，6 秒后在点D 处停止，这个过程中S 与t 满足关系：ܵ㔠െ
ǡ
ʹۉ䁠ʹ ൅ݒͲ ൅
ǡͲ 䁠െǡͲ（a 为常数且ۉ്
Ͳ）．
下列选项中正确的是（
）
A．ݒͲ 㔠͸Ͳ 米/秒
B．汽车行驶总时间为10 秒
C．ۉ㔠͸
D．݊
㔠ǡͷͲ 米
【答案】D
【分析】根据图像分析ܣܥ段匀速运动，可知匀速速度，将坐标代入即可求得函数表达式，进而可知݊
的取值．
【详解】解：由题可知，ܣܥ段是匀速直线运动，
则ݒͲ 㔠
͸Ͳ
ʹ 㔠͵Ͳ（米/秒），
则A 选项错误；
∵将ʹ䁪͸Ͳ 和ݒͲ 㔠͵Ͳ 代入ܵ
㔠െ
ǡ
ʹۉ䁠ʹ ൅ݒͲ ൅ǡͲ 䁠െǡͲ
得：͸Ͳ 㔠െ
ǡ
ʹۉൈ⸶൅͵Ͳ ൅ǡͲ ൈʹ െǡͲ，
解得：ۉ㔠ͷ，
则C 选项错误；
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则S 与t 的关系式为：ܵ
㔠െ
ͷ
ʹ 䁠ʹ ൅⸶Ͳ䁠െǡͲ，
当䁠㔠ͺ 时，汽车停止运动，ܵ㔠െ
ͷ
ʹ ൈ͸⸶൅⸶Ͳ ൈͺ െǡͲ 㔠ǡͷͲ（米）
则݊
㔠ǡͷͲ
则B 选项错误，D 选项正确．
3．（2026·浙江舟山·一模）在平面直角坐标系ݔRݕ中，点ʹ䁪݉
，͵䁪݊
在抛物线ݕ㔠ۉݔʹ ൅ሻݔ൅ܿͲ൐ ۉ
上，抛物线的对称轴是直线ݔ㔠䁠，若݉
′݊
′ܿ，则t 的取值范围是（
）
A．䁠൐
ͷ
ʹ
B．
͵
ʹ ′ 䁠′
ͷ
ʹ
C．ǡ ′ 䁠′ ͵
D．
ǡ
ʹ ′ 䁠′
͵
ʹ
【答案】B
【分析】首先判断出抛物线开口向上，当ݔ൐䁠时，y 随x 的增大而增大；当ݔ′ 䁠时，y 随x 的增大而
减小，抛物线与y 轴交于点Ͳ䁪ܿ
，然后分情况讨论求解即可．
【详解】解：∵Ͳ൐ ۉ
∴抛物线开口向上
∵抛物线的对称轴是直线ݔ㔠䁠，
∴当ݔ൐䁠时，y 随x 的增大而增大；当ݔ′ 䁠时，y 随x 的增大而减小
∵当ݔ㔠Ͳ 时，ݕ㔠ܿ
∴抛物线与y 轴交于点Ͳ䁪ܿ
当䁠൑Ͳ 时，
∵Ͳ ′ ʹ ′ ͵
∴ܿ′݉
′݊
，不符合题意；
当当Ͳ ′ 䁠൑ʹ 时，
∵݉
′݊
′ܿ
∴对称轴到͵䁪݊
的距离小于对称轴到Ͳ䁪ܿ
的距离
∴͵ െ䁠′ 䁠െͲ，即䁠൐
͵
ʹ；
∴
͵
ʹ ′ 䁠൑ʹ；
当对称轴在点ʹ䁪݉
和点͵䁪݊
之间时，即当ʹ ′ 䁠′ ͵ 时，
∵݉
′݊
′ܿ
∴对称轴到ʹ䁪݉
的距离小于对称轴到͵䁪݊
的距离
∴䁠െʹ ′ ͵ െ䁠，即䁠′
ͷ
ʹ
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∴ʹ ′ 䁠′
ͷ
ʹ
当对称轴在点͵䁪݊
右边时，即当䁠൒͵ 时，
∵Ͳ ′ ʹ ′ ͵
∴݊
′݉
′ܿ，不符合题意；
综上所述，t 的取值范围是
͵
ʹ ′ 䁠′
ͷ
ʹ．
4．（2026·浙江·一模）如图1，ᇞܣ⚐ܥ中，סܣ㔠͵Ͳι，点P 从A 点出发沿折线ܣെܥെ⚐运动，点Q 从点
A 出发沿线段ܣ⚐运动，P，Q 两点同时出发，当某一点运动到B 时，另一点同时停止运动，已知点P 的速
度为ʹ cm s，点Q 的速度为ǡ cm s，设P 点运动时间为ݔs ，ᇞܣܲܳ
的面积为ݕcmʹ ．如图2 是ݕ关于
ݔ的函数图象，下列选项正确的是（
）
A．݉
㔠⸶
B．⚐ܥ㔠ǡʹ
C．y 的最大值为2.75
D．点ͷ䁪
ͷ
⸶在该函数图象上
【答案】D
【分析】由题意可分当点P 在线段ܣܥ上时，当点P 在线段⚐ܥ上时，然后得出y 与x 的函数关系式ݕ㔠
ǡ
ʹ ݔʹ Ͳ ൑ݔ൑ʹ
ݔ͸െݔ
⸶
ʹ ′ ݔ൑͸
，进而问题可求解．
【详解】解：当点P 在线段ܣܥ上时，则ܣܲ
㔠ʹݔcm，ܣܳ
㔠ݔcm，过点P 作ܲ
ܦ٣ ܣ⚐于点D，如图所
示：
∵סܣ㔠͵Ͳι，
∴ܲܦ㔠
ǡ
ʹ ܣܲ
㔠ݔcm，
∴ݕ㔠
ǡ
ʹ ܣܳ
ڄܲ
ܦ㔠
ǡ
ʹ ݔʹ，
由图象可知：当ݕ㔠ʹ 时，则有
ǡ
ʹ݉
ʹ 㔠ʹ，解得：݉
㔠ʹ（负根舍去），故A 错误；
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当ݔ㔠͸ 时，ݕ㔠Ͳ，说明此时点P 与点B 重合，
∴⚐ܥ㔠ʹ ൈ͸ െʹ 㔠ͺcm，故B 错误；
当点P 在线段⚐ܥ上时，分别过点C、P 作ܥܨ٣ ܣ⚐䁪ܲܪ٣ ܣ⚐，
∴ܣܥ㔠ʹ ൈʹ 㔠⸶cm，
∴ܥܨ㔠
ǡ
ʹ ܣܥ㔠ʹ，
∴sinס⚐㔠
ܥܨ
⚐ܥ㔠
ǡ
⸶，
∵⚐ܲ
㔠ܣܥ൅⚐ܥെʹݔ㔠ǡʹ െʹݔcm，
∴ܲܪ㔠⚐ܲ
ڄ sinס⚐㔠
ǡ
⸶ǡʹ െʹݔcm，
∴ݕ㔠
ǡ
ʹ ܣܳ
ڄܲ
ܪ㔠
ǡ
ʹ ݔڄ
ǡ
⸶ǡʹ െʹݔ㔠െ
ǡ
⸶ݔʹ െ͸ݔ㔠െ
ǡ
⸶ݔെ͵ ʹ ൅
‴
⸶，
∴当ݔ㔠͵ 时，面积最大，最大值为
‴
⸶cmʹ，故C 错误；
∴ݕ㔠
ǡ
ʹ ݔʹ Ͳ ൑ݔ൑ʹ
ݔ͸െݔ
⸶
ʹ ′ ݔ൑͸
，
∴当ݔ㔠ͷ 时，ݕ㔠
ͷ
⸶，故D 正确．
5．
（2026·浙江杭州·一模）已知点ܣʹ䁪െ͸ ，⚐͸䁪െ⸶，ܥ͵䁪݉
均在抛物线的图象上ݕ㔠ۉݔʹ ൅ሻݔ൅ܿۉ്
Ͳ ，
且െ͹ ൑݉
൑െ͸，点݊
䁪ݕǡ 和݊
൅ǡ䁪ݕʹ 也在此抛物线上，则下列说法正确的是（
）
A．若ݕǡ ′ ݕʹ恒成立，则݊
′ ʹ
B．若ݕǡ ′ ݕʹ恒成立，则݊
൐ʹ
C．若ݕǡ ൐ݕʹ恒成立，则݊
൐ʹ
D．若ݕǡ ൐ݕʹ恒成立，则݊
′ ʹ
【答案】D
【分析】先根据已知点坐标求出抛物线开口方向和对称轴的范围，再结合二次函数的增减性和恒成立
条件判断选项．
【详解】解：把ܣʹ䁪െ͸ ，⚐ሺ͸䁪െ⸶晦代入ݕ㔠ۉݔʹ ൅ሻݔ൅ܿ
得：
⸶ʹ൅ ۉሻ൅ܿ
㔠െ͸
͵͸͸൅ ۉሻ൅ܿ
㔠െ⸶
两式相减得͵ʹ⸶൅ ۉሻ㔠ʹ，化简得ሻ㔠
ǡ
ʹ െͺۉ.
把ܥ͵䁪݉
代入抛物线得‴͵൅ ۉሻ൅ܿ
㔠݉
，减去ܣ点的式子得ͷ൅ ۉሻ㔠݉
൅͸，
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把ሻ㔠
ǡ
ʹ െͺۉ代入得ͷ൅ ۉ
ǡ
ʹ െͺۉ㔠݉
൅͸，解得ۉ㔠െ
ʹ݉
൅ǡǡ
͸
.
׶െ͹ ൑݉
൑െ͸，
׵
ǡ
͸ ൑ۉ൑
ǡ
ʹ，即Ͳ൐ ۉ，抛物线开口向上，
对称轴为݄
㔠െ
ሻ
ʹۉ㔠െ
ǡ
ʹെͺۉ
ʹۉ㔠⸶െ
ǡ
⸶ۉ，结合ۉ的范围可得
ͷ
ʹ ൑݄
൑
͹
ʹ，
对于点ሺ݊䁪ݕǡ晦和ሺ݊൅ǡ䁪ݕʹ晦，开口向上时，ݕǡ ൐ݕʹ等价于ȁ݊െ݄
ȁ ൐ȁ݊
൅ǡ െ݄
ȁ，平方化简得݊
൅
ǡ
ʹ ′݄
.
若ݕǡ ൐ݕʹ恒成立，则对所有݄
൒
ͷ
ʹ都满足݊
൅
ǡ
ʹ ′݄
，
因此݊
൅
ǡ
ʹ ′
ͷ
ʹ，
解得݊
′ ʹ.
同理，若ݕǡ ′ ݕʹ恒成立，
可得݊
൐͵，
所以选项D 正确．
6．（2026·浙江·模拟预测）若一个点的纵坐标是横坐标的2 倍，我们称这个点为二倍点．若二次函数ݕ㔠ݔʹ െ
ʹݔ൅ܿ（c 为常数）在െǡ ൑ݔ൑ʹ 的图象上有且仅有一个二倍点，则c 的取值范围是（
）
A．ܿ㔠⸶
B．ܿ൒െͷ
C．െͷ ൑ܿ
൑⸶
D．ܿ൒⸶
【答案】C
【分析】先由二次函数解析式得出其对称轴为直线ݔ㔠ǡ，再根据“在െǡ ൑ݔ൑ʹ 的图象上有且仅有一
个二倍点”的条件，联立抛物线与直线ݕ㔠ʹݔ得到一元二次方程ݔʹ െ⸶ݔ൅ܿ
㔠Ͳ，分别求出抛物线与直线相
切（令Δ 㔠Ͳ）时的ܿ
㔠⸶和抛物线过点െǡ䁪െʹ 时的ܿ
㔠െͷ，最终确定c 的取值范围为െͷ ൑ܿ
൑⸶．
【详解】解：由ݕ㔠ݔʹ െʹݔ൅ܿ（ܿ为常数）可知，抛物线的对称轴为直线ݔ㔠ǡ，因为在െǡ ൑ݔ൑ʹ
的图象上有且仅有一个二倍点，
如图所示，当抛物线与ݕ㔠ʹݔ相切时，ݔʹ െʹݔ൅ܿ
㔠ʹݔ，即ݔʹ െ⸶ݔ൅ܿ
㔠Ͳ，令Δ 㔠Ͳ，可得ܿ
㔠⸶，
当抛物线过点െǡ䁪െʹ 时，可得ܿ
㔠െͷ，所以െͷ ൑ܿ
൑⸶．
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7．（2026·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，ܣ，⚐两点的坐标分别为ǡ䁪ǡ ，⸶䁪ǡ ．若二次函
数ݕ㔠ݔെሻʹ ൅ሻെʹ 的图象与线段ܣ⚐有交点，则该抛物线与ݕ轴交点的纵坐标݊
的取值范围是（
）．
A．െʹ ൑݊
൑͸
B．െʹ ൑݊
൑ǡͲ
C．െ
ͷ
ʹ ൑݊
൑‴
D．െ
‴
⸶൑݊
൑ǡͲ
【答案】D
【分析】根据题意先求得该抛物线的顶点坐标和n 的表达式，先根据抛物线的图象与线段ܣ⚐有交点，
结合A，B 两点的坐标，根据顶点坐标推出ሻ൑͵ 且点⚐一定在抛物线的下方，然后分两种情况讨论：①当
点ܣ在抛物线的上方时一定满足条件，从而得到b 的取值范围，进而确定n 的取值范围；②当点ܣ在抛物
线的下方时，需满足抛物线的对称轴ǡ ′ ሻ൑͵，进而确定n 的取值范围，即可解答．
【详解】解：∵ݕ㔠ݔെሻʹ ൅ሻെʹ，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为ሻ䁪ሻെʹ ；当ݔ㔠Ͳ 时，ݕ㔠ሻʹ ൅ሻെʹ，
∴抛物线与ݕ轴的交点纵坐标݊
㔠ሻʹ ൅ሻെʹ，
∵ܣ，⚐两点的坐标分别为ǡ䁪ǡ ，⸶䁪ǡ ，抛物线的图象与线段ܣ⚐有交点，
∴该抛物线的顶点的纵坐标ሻെʹ ൑ǡ，即ሻ൑͵，
又∵当ݔ㔠⸶时，ݕ㔠⸶െሻʹ ൅ሻെʹ 㔠ሻʹ െ͹ሻ൅ǡ⸶㔠ሻെ
͹
ʹ
ʹ
൅
͹
⸶൐ǡ，
∴点⚐一定在抛物线的下方，
∴①当点ܣ在抛物线的上方时一定满足条件，
即当ݔ㔠ǡ 时，ݕ㔠ǡ െሻʹ ൅ሻെʹ 㔠ሻʹ െሻെǡ ൑ǡ，
解得െǡ ൑ሻ൑ʹ，
∵݊
㔠ሻʹ ൅ሻെʹ，是关于ሻ的二次函数，抛物线开口向上，对称轴为ሻ㔠െ
ǡ
ʹ，
∴在െǡ ൑ሻ൑ʹ 范围内，当ሻ㔠െ
ǡ
ʹ时，݊
取得最小值െ
‴
⸶，当ሻ㔠ʹ 时，݊
取得最大值⸶，
∴െ
‴
⸶൑݊
൑⸶；
②当点ܣ在抛物线的下方时，需满足抛物线的对称轴ǡ ′ ሻ൑͵，
此时对于݊
㔠ሻʹ ൅ሻെʹ，当ሻ㔠ǡ 时，݊
取得最小值0，当ሻ㔠͵ 时，݊
取得最大值10，
∴Ͳ ′݊
൑ǡͲ，
小学
初中
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综上，݊
的取值范围是െ
‴
⸶൑݊
൑ǡͲ．
8．（2026·浙江·模拟预测）同一平面直角坐标系中，抛物线ݕ㔠ݔെ
ǡ
ʹ
ʹ
൅ݔെ
͵
ʹ
ʹ
与ݕ㔠െݔ൅݉
ʹ െݔ൅݊
ʹ关于原点成中心对称，则代数式݉
൅ʹ ʹ ൅݊
൅ʹ ʹ的值为______．
【答案】
͵͹
ʹ
【分析】设ݔ䁪ݕ为ݕ㔠െݔ൅݉
ʹ െݔ൅݊
ʹ上任一点，它关于原点成中心对称的点为െݔ䁪െݕ，根据
抛物线ݕ㔠ݔെ
ǡ
ʹ
ʹ
൅ݔെ
͵
ʹ
ʹ
与ݕ㔠െݔ൅݉
ʹ െݔ൅݊
ʹ关于原点成中心对称，െݔ䁪െݕ在抛物线ݕ㔠
ݔെ
ǡ
ʹ
ʹ
൅ݔെ
͵
ʹ
ʹ
上，得ݕ㔠െݔ൅
ǡ
ʹ
ʹ
െݔ൅
͵
ʹ
ʹ
，
从而݉
㔠
ǡ
ʹ ，݊
㔠
͵
ʹ或݉
㔠
͵
ʹ ，݊
㔠
ǡ
ʹ，求解即可．
【详解】解：设ݔ䁪ݕ为ݕ㔠െݔ൅݉
ʹ െݔ൅݊
ʹ上任一点，它关于原点成中心对称的点为െݔ䁪െݕ，
那么െݔ䁪െݕ在抛物线ݕ㔠ݔെ
ǡ
ʹ
ʹ
൅ݔെ
͵
ʹ
ʹ
上，
代入可得െݕ㔠െݔെ
ǡ
ʹ
ʹ
൅െݔെ
͵
ʹ
ʹ
，
整理得ݕ㔠െݔ൅
ǡ
ʹ
ʹ
െݔ൅
͵
ʹ
ʹ
，
∴݉
㔠
ǡ
ʹ ，݊
㔠
͵
ʹ或݉
㔠
͵
ʹ ，݊
㔠
ǡ
ʹ，
∴݉
൅ʹ ʹ ൅݊
൅ʹ ʹ 㔠
͵͹
ʹ ．
9．（2026·浙江宁波·模拟预测）冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1 是实景照片，图2 是截面示意图）．一
名运动员在某次训练的技术分析如图（图3 所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4 是该段抛物
线在以着陆坡的最低点⚐所在水平直线为ݔ轴、起跳点ܣ所在直线为ݕ轴建立的平面直角坐标系中的示意
图）【注：ܣ⚐的长为25 米，סܣ⚐R 㔠͵͹ι，tan͵͹ι ൎͲǤ͹ͷ．】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着
陆坡的最低点⚐处，设抛物线的函数表达式为ݕ㔠ۉݔʹ ൅ሻݔ൅ܿ，平行于ݕ轴的直线与抛物线、着陆坡分别
交于点ܥ，ܦ，则下列所作技术分析正确的是（
）
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A．着陆坡的水平宽度R⚐㔠ǡͺǤ͹ͷ 米
B．点ܣ的坐标为Ͳ䁪ǡʹ
C．ሻ㔠െʹͲۉെ
͵
⸶
D．当ܥܦ的最大值为10 米时，ۉ㔠െ
͵
ʹͲ
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，解直角三角形的应用，待定系数法求二次函数解析式，
二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据题意求出sin͵͹ι ൎͲǤ͸，cos͵͹ι ൎ
ͲǤͺ，解三角函数得到R⚐㔠ܣ⚐ڄ cos͵͹ι以及ܣR 㔠ܣ⚐ڄ sin͵͹ι求出R⚐㔠ʹͲ䁪Rܣ㔠ǡͷ，即选项A 和选项B
错误；抛物线的函数表达式为ݕ㔠ۉݔʹ ൅ሻݔ൅ܿ，将ܣሺͲ䁪ǡͷ晦䁪⚐ሺʹͲ䁪Ͳ晦代入，化简得到⸶ͲͲͲʹ൅ ۉሻ൅ǡͷ 㔠Ͳ，
即可得到选项C 正确；设着陆坡所在直线的表达式为ݕ㔠݇
ݔ൅݉
，求出一次函数解析式ݕ㔠െ
͵
⸶ݔ൅ǡͷ，得
到ܥܦ㔠ݕܥെݕܦ㔠ۉݔʹ ൅ሻݔ൅ǡͷ െሺെ
͵
⸶ݔ൅ǡͷ晦㔠ۉݔʹ ൅ሻݔ൅
͵
⸶ݔ㔠ۉݔʹ ൅ሺሻ൅
͵
⸶晦ݔ，化简得ܥܦ㔠ۉݔʹ െ
ʹͲݔۉ，对于二次函数ݕ㔠ۉݔʹ െʹͲݔۉ，其对称轴为ݔ㔠െ
െʹͲۉ
ʹۉ㔠ǡͲ，当ݔ㔠ǡͲ 时，ܥܦ有最大值，将ݔ㔠ǡͲ
代入ܥܦ㔠ۉݔʹ െʹͲݔۉ，即ܥܦmax 㔠െǡͲͲۉ，根据ܥܦ的最大值为10 米，得到െǡͲͲۉ㔠ǡͲ，即可得到选项
D 错误．
【详解】解：׶ tan͵͹ι ൎͲǤ͹ͷ，
׵
sin͵͹ι
cos͵͹ι 㔠ͲǤ͹ͷ，
׶ sinʹߙ൅cosʹߙ㔠ǡ
故ሺͲǤ͹ͷcos͵͹ι晦ʹ ൅cosʹ͵͹ι 㔠ǡ，
解得sin͵͹ι ൎͲǤ͸，cos͵͹ι ൎͲǤͺ，
在Rt ᇞܣ⚐R 中，ܣ⚐㔠ʹͷ，
׵ cosסܣ⚐R 㔠
R⚐
ܣ⚐，
׵ R⚐㔠ܣ⚐ڄ cos͵͹ι，
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׵ R⚐ൎʹͷ ൈͲǤͺ 㔠ʹͲ 米，故A 错误；
在Rt ᇞܣ⚐R 中，ܣ⚐㔠ʹͷ，
׵ sinסܣ⚐R 㔠
ܣR
ܣ⚐，
׵ ܣR 㔠ܣ⚐ڄ sin͵͹ι ൎʹͷ ൈͲǤ͸ 㔠ǡͷ 米，故ܣሺͲ䁪ǡͷ晦，故B 错误；
׶抛物线的函数表达式为ݕ㔠ۉݔʹ ൅ሻݔ൅ܿ，
将ܣሺͲ䁪ǡͷ晦䁪⚐ሺʹͲ䁪Ͳ晦代入，
故
ǡͷ 㔠ܿ
Ͳ 㔠ۉൈʹͲʹ ൅ሻൈʹͲ ൅ǡͷ ，
化简得⸶ͲͲͲʹ൅ ۉሻ൅ǡͷ 㔠Ͳ，
׵ ሻ㔠െʹͲۉെ
͵
⸶，故C 正确；
设ܥሺݔ䁪ۉݔʹ ൅ሻݔ൅ǡͷ晦
设着陆坡所在直线的表达式为ݕ㔠݇
ݔ൅݉
，
将ܣሺͲ䁪ǡͷ晦䁪⚐ሺʹͲ䁪Ͳ晦代入，݉
㔠ǡͷ
ʹͲ݇൅݉
㔠Ͳ ，
解得݇
㔠െ
͵
⸶，，
׵ ݕ㔠െ
͵
⸶ݔ൅ǡͷ，
׵ ܥܦ㔠ݕܥെݕܦ㔠ۉݔʹ ൅ሻݔ൅ǡͷ െሺെ
͵
⸶ݔ൅ǡͷ晦㔠ۉݔʹ ൅ሻݔ൅
͵
⸶ݔ㔠ۉݔʹ ൅ሺሻ൅
͵
⸶晦ݔ，
׶ ሻ㔠െʹͲۉെ
͵
⸶，
则ሻ൅
͵
⸶㔠െʹͲۉ，
׵ ܥܦ㔠ۉݔʹ െʹͲݔۉ，
对于二次函数ݕ㔠ۉݔʹ െʹͲݔۉ，其对称轴为ݔ㔠െ
െʹͲۉ
ʹۉ㔠ǡͲ，
当ݔ㔠ǡͲ 时，ܥܦ有最大值，将ݔ㔠ǡͲ 代入ܥܦ㔠ۉݔʹ െʹͲݔۉ，
即ܥܦmax 㔠ۉൈǡͲʹ െʹͲۉൈǡͲ 㔠ǡͲͲۉെʹͲͲۉ㔠െǡͲͲۉ，
∵ܥܦ的最大值为10 米，
即െǡͲͲۉ㔠ǡͲ，
解得ۉ㔠െ
ǡ
ǡͲ，故D 错误；
10．（2026·浙江·模拟预测）已知二次函数ݕ㔠ۉݔʹ െʹۉ൅ݔۉെ⸶（Ͳ൐ ۉ），其函数图象顶点为P．
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(1)记与y 轴交点为A，求直线ܲ
ܣ的函数表达式（含a 的代数式表示）．
(2)若将点P 向上平移4 个单位，向右平移2 个单位，还是在该函数图象上．
①求a 的值．
②当݉
െʹ ൑ݔ൑݉
时，该函数的最大值与最小值的差为ʹ݉
，求m 的值．
【答案】(1)ݕ㔠െۉ൅ݔۉെ⸶；
(2)①ۉ㔠ǡ；②m 的值为⸶െ
͹和4
【分析】（1）先求出抛物线与ݕ轴的交点ܣ，然后求出顶点ܲ
，再由待定系数法求解函数解析式即可；
（2）①先求出顶点平移后的对应坐标，再代入函数解析式求解即可；
②分三种情况讨论，根据二次函数的图象与性质分析即可．
【详解】（1）解:对于ݕ㔠ۉݔʹ െʹۉ൅ݔۉെ⸶，令ݔ㔠Ͳ，则ݕ㔠ۉെ⸶
∴点ܣͲ䁪ۉെ⸶，
∵ݕ㔠ۉݔʹ െʹۉ൅ݔۉെ⸶㔠ۉݔെǡ ʹ െ⸶，
∴顶点ܲ
ǡ䁪െ⸶
设直线ܲ
ܣ的函数表达式ݕ㔠݇
ݔ൅ۉെ⸶，
∴െ⸶㔠݇
൅ۉെ⸶，
∴݇
㔠െۉ，
∴直线ܲ
ܣ的函数表达式为ݕ㔠െۉ൅ݔۉെ⸶；
（2）解：①∵ܲ
ǡ䁪െ⸶，
∴将点P 向上平移4 个单位，向右平移2 个单位后，对应点的坐标为͵䁪Ͳ ，
∵平移后的͵䁪Ͳ 还是在该函数图象上，
∴ۉሺ͵ െǡ晦ʹ െ⸶㔠Ͳ，
解得ۉ㔠ǡ；
②∵ۉ㔠ǡ，
∴ݕ㔠ሺݔെǡ晦ʹ െ⸶，
当݉
′ ǡ 时，ݕ最大െݕ最小㔠ሺ݉
െʹ െǡ晦ʹ െሺ݉
െǡ晦ʹ 㔠ʹ݉
，解得݉
㔠
⸶
͵（舍）；
当ǡ ൑݉
൑ʹ 时，ݕ最大െݕ最小㔠ሺ݉
െʹ െǡ晦ʹ െ⸶െሺെ⸶晦㔠ʹ݉
，
解得݉
ǡ 㔠⸶൅
͹（舍），݉
ʹ 㔠⸶െ
͹；
当ʹ ′݉
൑͵ 时，ݕ最大െݕ最小㔠ሺ݉
െǡ晦ʹ െ⸶െሺെ⸶晦㔠ʹ݉
，
解得݉
ǡ 㔠ʹ ൅
͵（舍），݉
ʹ 㔠ʹ െ
͵（舍）；
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当݉
൐͵ 时，ݕ最大െݕ最小㔠ሺ݉
െǡ晦ʹ െሺ݉
െ͵晦ʹ 㔠ʹ݉
，解得݉
㔠⸶；
∴m 的值为⸶െ
͹和4．
11．（2026·浙江湖州·模拟预测）定义：对于y 关于x 的函数，在ۉ൑ݔ൑ሻۉ′ ሻ范围内，函数的最大值
记作M，最小值记作m．
(1)对于一次函数ݕ㔠ʹݔ൅ǡ，在Ͳ ൑ݔ൑͵ 的范围内，分别求出M 和m 的值．
(2)对于二次函数ݕ㔠ݔʹ െʹݔെ͵，甲、乙两位同学有以下说法：
甲同学说：“在Ͳ ൑ݔ൑͵ 的范围内，ܯ㔠Ͳ，݉
㔠െ͵．”
乙同学说：“在Ͳ ൑ݔ൑䁠的范围内，若ܯെ݉
㔠⸶，则ܯ㔠Ͳ，݉㔠െ⸶．”
甲、乙两位同学的说法正确吗?请分别作出判断
．．．．．．，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由
【答案】(1)ܯ㔠͹；݉
㔠ǡ
(2)
解：甲同学说法错误；乙同学说法错误．
对“甲同学说法”的判断理由如下：
ݕ㔠ݔʹ െʹݔെ͵ 㔠ሺݔെǡ晦ʹ െ⸶，
∵抛物线开口向上，ݔ㔠ǡ 在Ͳ ൑ݔ൑͵ 的范围内，
∴当ݔ㔠ǡ 时，函数最小值为݉
㔠െ⸶，
当ݔ㔠Ͳ 时，ݕ㔠ݔʹ െʹݔെ͵ 㔠െ͵，
当ݔ㔠͵ 时，ݕ㔠͵ʹ െʹ ൈ͵ െ͵ 㔠Ͳ
∴在Ͳ ൑ݔ൑͵ 的范围内函数最大值ܯ㔠Ͳ；
对“乙同学说法”的判断理由如下：
二次函数ݕ㔠ݔʹ െʹݔെ͵ 㔠ሺݔെǡ晦ʹ െ⸶，对称轴为ݔ㔠ǡ，
①Ͳ ′ 䁠൑ǡ 时，则在Ͳ ൑ݔ൑䁠的范围内，ݕ随ݔ的增大而减小，
ݔ㔠Ͳ 时，二次函数ݕ㔠ݔʹ െʹݔെ͵ 有最大值ܯ㔠െ͵，ݔ㔠䁠时，最小值݉
㔠䁠ʹ െʹ䁠െ͵，
∵ܯെ݉
㔠⸶，
∴െ͵ െ䁠ʹ െʹ䁠െ͵ 㔠⸶，即䁠ʹ െʹ䁠൅⸶㔠Ͳ，
∵Δ 㔠െʹ ʹ െ⸶ൈǡ ൈ⸶㔠െǡʹ ′ Ͳ，
∴一元二次方程െ͵ െ䁠ʹ െʹ䁠െ͵ 㔠⸶没有实数根，
∴不符合题意；
②ǡ ′ 䁠൑ʹ 时，
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ݔ㔠Ͳ 时，二次函数ݕ㔠ݔʹ െʹݔെ͵ 有最大值ܯ㔠െ͵，当ݔ㔠ǡ 时，ݕ有最小值݉
㔠െ⸶，
׵ ܯെ݉
㔠െ͵ െെ⸶㔠ǡ，不符合题意；
③䁠൐ʹ 时，
当ݔ㔠䁠时，ݕ有最大值ܯ㔠䁠ʹ െʹ䁠െ͵，当ݔ㔠ǡ 时，最小值݉
㔠െ⸶，
׵ ܯെ݉
㔠䁠ʹ െʹ䁠െ͵ ൅⸶，
若ܯെ݉
㔠⸶，则䁠ʹ െʹ䁠െ͵ 㔠Ͳ，
解得䁠
ǡ 㔠െǡ䁪䁠
ʹ 㔠͵，
只有当䁠㔠͵ 时符合题意；
综上，“在Ͳ ൑ݔ൑䁠的范围内，若ܯെ݉
㔠⸶，则ܯ㔠Ͳ，݉
㔠െ⸶”这种说法是错误的，
即甲同学说法错误，乙同学说法错误．
【分析】（1）根据一次函数的增减性得到最值即可；
（2）先配方，得到二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质分别判断甲、乙同学的推断即可．
【详解】（1）解：因为一次函数ݕ㔠ʹݔ൅ǡ 的函数值y 随自变量x 的增大而增大，
所以当ݔ㔠͵ 时，ܯ㔠ʹ ൈ͵ ൅ǡ 㔠͹；当ݔ㔠Ͳ 时，݉
㔠ʹ ൈͲ ൅ǡ 㔠ǡ．
（2）略
12．（2026·浙江杭州·模拟预测）【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运
动路线近似为抛物线．
【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI 分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了
实心球的几组水平距离ݔ（单位：m）和竖直高度ݕ（单位：m）的对应值，并建立直角坐标系，画出了部
分图象如图．
设抛物线的表达式为ݕ㔠ۉݔെ݉
ʹ ൅݇．
ݔ
…
ͲǤͺ
ʹǤ͵
͵Ǥͺ
ͷǤ͵
͸Ǥͺ
…
ݕ
…
ʹǤ͹
͵Ǥ͵͹ͷ
͵Ǥ͸
͵Ǥ͵͹ͷ
ʹǤ͹
…
(1)【建立模型】求出抛物线的函数表达式；
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(2)【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离；
(3)【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项
系数变为
ͷ
͸ۉ，顶点为݉
െͲǤǡ䁪݇െͲǤǡ ，通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10 米．
【答案】(1)ݕ㔠െ
ǡ
ǡͲ ݔെ͵Ǥͺ ʹ ൅͵Ǥ͸
(2) ͵Ǥͺ䁪͵Ǥ͸ ，投掷的距离为‴Ǥͺ 米
(3)改进后投掷实心球的距离能超过10 米
【分析】（1）由表格分析出对称轴和顶点坐标，再将一个点坐标代入求出ۉ的值即可；
（2）由（1）可得顶点坐标，令ݕ㔠Ͳ 求出对应的ݔ的值即可；
（3）先根据题意写出新的函数表达式，再令ݕ㔠Ͳ 求出对应的ݔ的值即可．
【详解】（1）解：由表格可知，点ͲǤͺ䁪ʹǤ͹ 和点͸Ǥͺ䁪ʹǤ͹ 的纵坐标相等，
∴抛物线的对称轴为直线ݔ㔠
ͲǤͺ൅͸Ǥͺ
ʹ
㔠͵Ǥͺ，
结合表格可知，顶点坐标为͵Ǥͺ䁪͵Ǥ͸ ，
∴݉
㔠͵Ǥͺ，݇
㔠͵Ǥ͸，ݕ㔠ۉݔെ͵Ǥͺ ʹ ൅͵Ǥ͸，
将点ͲǤͺ䁪ʹǤ͹ 代入ݕ㔠ۉݔെ͵Ǥͺ ʹ ൅͵Ǥ͸，得，
ʹǤ͹ 㔠‴͸Ǥ͵൅ ۉ，
解得ۉ㔠െ
ǡ
ǡͲ，
∴抛物线的函数表达式为ݕ㔠െ
ǡ
ǡͲ ݔെ͵Ǥͺ ʹ ൅͵Ǥ͸；
（2）解：由（1）可知，顶点坐标为͵Ǥͺ䁪͵Ǥ͸ ，顶点即最高点，
将ݕ㔠Ͳ 代入ݕ㔠െ
ǡ
ǡͲ ݔെ͵Ǥͺ ʹ ൅͵Ǥ͸，得，
െ
ǡ
ǡͲ ݔെ͵Ǥͺ ʹ ൅͵Ǥ͸ 㔠Ͳ，
解得ݔǡ 㔠‴Ǥͺ，ݔʹ 㔠െʹǤʹ（负值，舍去），
∴小明该次投掷实心球的距离为9.8 米；
（3）解：根据题意，改进后，ݕ㔠െ
ǡ
ǡʹ ݔെ͵Ǥ͹ ʹ ൅͵Ǥͷ，
将ݕ㔠Ͳ 代入ݕ㔠െ
ǡ
ǡʹ ݔെ͵Ǥ͹ ʹ ൅͵Ǥͷ，得，
െ
ǡ
ǡʹ ݔെ͵Ǥ͹ ʹ ൅͵Ǥͷ 㔠Ͳ，
解得ݔǡ 㔠͵Ǥ͹ ൅
⸶ʹ，ݔʹ 㔠͵Ǥ͹ െ
⸶ʹ（负值，舍去）．
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∵͸Ǥ͵ʹ 㔠͵‴Ǥ͸‴，
又∵⸶ʹ ൐͵‴Ǥ͸‴，
∴⸶ʹ ൐͸Ǥ͵，
∴͵Ǥ͹ ൅
⸶ʹ ൐ǡͲ．
答：改进后投掷实心球的距离能超过10 米．
13．（2026·山东青岛·一模）请根据以下素材，完成探究任务．
汉服承载着华夏民族数千年的礼仪衣冠体系，其“交领右衽”“天人合一”的设计理念，凝结了东方美学的智慧
结晶．从盛唐气象到宋明风韵，不同形制的演变映射着时代精神风貌．今有某传统服饰工坊，以匠心复刻
唐制齐胸襦裙之飘逸、宋制褙子之雅致、明制袄裙之端庄，邀您共探传统工艺与现代经营的数学奥秘．
制定汉服加工方案
生
产
背
景
背
景
1
（1）某汉服工坊安排60 名工匠承接订单，主打三类经典形制：唐制·齐胸襦裙（象征开放包容
的盛世气度）、宋制·褙子套装（体现简约理性的文人审美）、明制·袄裙（彰显严谨庄重的礼制
规范）；
（2）根据非遗技艺要求，每位工匠每日仅能专精一种类型：唐制人均日产3 套，宋制人均日产
2 套，明制人均日产1 套；
（3）客户合同约定：宋制汉服至少交付15 套；明制与唐制产能需严格匹配，按套数ǡǣǡ 供应高
端团购单．
背
景
2
当前市场行情下各款式获利情况如下：
①唐制布料成本低和走量销售，单套净利润30 元；
②明制采用云锦面料和手工镶边，单套净利润90 元；
③宋制实行差异化定价：当每日生产15 套时，每套获利120 元；在此基础上，每多生产1 套，
平均每套获利减少3 元．
信息整
理
现规划x 名匠人主攻宋制，y 名匠人负责唐制，其余匠人负责明制，列表如下：
汉服类型
加工人数
人均日产量/套
单套净利润/元
唐制
y
3
30
宋制
x
2
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明制
1
90
探究任务
任务1：探寻变量关系
(1)根据合同约束，求x，y 之间的数量关系．
任务2：建立数学模型
(2)设该汉服工坊每日总利润为W 元，求W 关于x 的函数表达式．
任务3：拟定最优方案
(3)确定使每日总利润最大的分配方案．
【答案】(1)ݕ㔠െ
ǡ
⸶ݔ൅ǡͷ（或⸶ݕ൅ݔ㔠͸Ͳ）
(2)ܹ
㔠െǡʹݔʹ ൅ʹ⸶Ͳݔ൅ͷ⸶ͲͲ ͸Ͳ ൒ݔ൒͹Ǥͷ
(3)方案1：安排8 名工人加工宋制汉服，13 名工人加工唐制汉服，39 名工人加工明制汉服，
方案2：安排12 名工人加工宋制汉服，12 名工人加工唐制汉服，36 名工人加工明制汉服
【分析】（1）安排x 名工人加工宋制汉服，y 名工人加工唐制汉服，可得加工明制汉服的有͸Ͳ െݔെݕ
人，进一步求解即可；
（2）列式ܹ
㔠͵ݕൈ͵Ͳ ൅͸Ͳ െݔെݕൈ‴Ͳ ൅ʹݔǡʹͲ െ͵ ʹݔെǡͷ ，再整理即可；
（3）结合（2）ܹ
＝െǡʹݔʹ ൅ʹ⸶Ͳݔ൅ͷ⸶ͲͲ，再利用二次函数的性质解答即可.
【详解】（1）解：任务1：
∵安排x 名工人加工宋制汉服，y 名工人加工唐制汉服，
则加工明制汉服的有͸Ͳ െݔെݕ人，
∴͸Ͳ െݔെݕൈǡ 㔠͵ݕ，整理得：ݕ㔠െ
ǡ
⸶ݔ൅ǡͷ（或⸶ݕ൅ݔ㔠͸Ͳ）．
（2）解：任务2：
根据题意得：ܹ
㔠͵ݕൈ͵Ͳ ൅͸Ͳ െݔെݕൈ‴Ͳ ൅ʹݔǡʹͲ െ͵ ʹݔെǡͷ ，
整理得：ܹ
㔠െǡʹݔʹ ൅ʹ⸶Ͳݔ൅ͷ⸶ͲͲ ͸Ͳ ൒ݔ൒͹Ǥͷ ．
（3）解：任务3：
由任务2 得，ܹ
＝െǡʹݔʹ ൅ʹ⸶Ͳݔ൅ͷ⸶ͲͲ，
∵ۉ㔠െǡʹ，
∴开口向下，
∵对称轴为直线ݔ㔠ǡͲ，
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∴当ݔ′ ǡͲ 时，W 随x 的增大而增大，
当ݔ൒ǡͲ 时，W 随x 的增大而减小．
∵ݔ൒͹Ǥͷ 且x，y 均取正整数，
∴当ݔ㔠ͺ 或12 时，利润最大．
∴方案1：安排8 名工人加工宋制汉服，13 名工人加工唐制汉服，39 名工人加工明制汉服，
方案2：安排12 名工人加工宋制汉服，12 名工人加工唐制汉服，36 名工人加工明制汉服．