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专题08 圆
5 年真题1 年模拟
考点分类
福建考情（2022-2026）
命题规律
考点01 切线的性
质定理与圆内接多
边形
2026 福建中考
2025 福建中考
2024 福建中考
2023 福建中考
大多以选择题形式考查。命题素材包含切线模
型、弧中点、割线、古代数学文化（割圆术）等。
核心围绕切线性质、圆周角定理、垂径定理、弧
弦圆心角关系展开，高频考点：切线垂直过切点
半径、弧中点等分弧对应相等圆周角、直径所对
圆周角为直角。整体难度偏低，侧重角度简单推
导与基础计算；近四年常融入传统文化情境，切
线+ 平行线组合模型出现频次很高。
圆的综合问题
2026 福建中考
2025 福建中考
2024 福建中考
2023 福建中考
2022 福建中考
固定作为几何综合压轴大题，分层多小问梯度设
问。常以圆内接四边形、直径、切线、平行线为
基础载体。核心围绕圆周角定理、切线性质、四
点共圆、相似三角形、平行四边形判定、弧长计
算综合考查；第(1)(2) 小问以角度推导、平行/
相似基础证明为主，第(3) 小问结合线段比例、
三角函数、解直角三角形求解线段比值、周长。
试题综合性强，擅长嵌套多种几何模型；近五年
稳定考查圆与四边形融合，侧重等量代换、构造
相似，区分度高，对逻辑推理能力要求较高。
考点01 切线的性质定理与圆内接多边形
1．
（2026·福建·中考真题）如图，AB 是
O 的直径，BC 是
O 的切线，AC 交
O 于点D．若AD
CD
，
则tanA 的值是（
）
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A．
2
2
B．1
C．
2
D．2
2．（2025·福建·中考真题）如图，PA 与
O 相切于点A，PO 的延长线交
O 于点C．AB
PC ，且交
O
于点B．若
30
P
，则
BCP
的大小为（
）
A．30
B．45
C．60
D．75
3．（2024·福建·中考真题）如图，已知点,
A B 在
O 上，
72
AOB
，直线MN 与
O 相切，切点为C ，
且C 为AB 的中点，则
ACM
等于（
）
A．18
B．30
C．36
D．72
4．（2023·福建·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用
圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与
圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如
图，O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计
O 的面积，可得的估计值为3 3
2
，
若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（
）
A．
3
B．2 2
C．3
D．2 3
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考点02 圆的综合问题
1．（2026·福建·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于
O ，E 是DC 延长线上的一点，EB 的延长线交
O 于点F ，AB
BD
，
60
CBE
ABD
．
(1)求
E
的度数；
(2)求证：四边形AFEC 是平行四边形；
(3)设CF 交BD 于点G ，且
2
3
CG
FG
，求BD
AC 的值．
2．（2025·福建·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于
O ，AD，BC 的延长线相交于点E，AC，BD 相交
于点F．G 是AB 上一点，GD 交AC 于点H，且
,
AB
AC BG
DG
．
(1)求证：
ABC
DBE
E
；
(2)求证：
2
AH
HF HC
；
(3)若tan
5,
2
,
6
ABC
AD
DE CD
，求
AGH 的周长．
3．（2024·福建·中考真题）如图，在ABC 中，
90 ,
BAC
AB
AC
，以AB 为直径的
O 交BC 于点D ，
AE
OC
，垂足为
,
E BE 的延长线交AD 于点F ．
(1)求OE
AE 的值；
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(2)求证：AEB
BEC
∽
；
(3)求证：AD 与EF 互相平分．
4．（2023·福建·中考真题）如图，已知ABC 内接于
,
O CO 的延长线交AB 于点D ，交
O 于点E ，交
O
的切线AF 于点F ，且AF
BC
∥
．
(1)求证：AO
BE
∥
；
(2)求证：AO 平分
BAC
．
5．（2022·福建·中考真题）如图，ABC 内接于⊙O，AD
BC
∥
交⊙O 于点D，DF
AB
∥
交BC 于点E，交
⊙O 于点F，连接
,
AF CF ．
(1)求证：AC
AF
；
(2)若⊙O 的半径为3，
30
CAF
，求AC 的长（结果保留π）．
1．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，AC 是
O 的切线，B 为切点，连接OA ，OC ．若
30
A
，
2 3
AB
，
则OA的长度是（
）
A．2
B．2 3
C．13
D．4
2．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，AB 是
O 的弦，PB 与
O 相切于点B，圆心O 在线段PA 上．已知
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50
P
，则
PAB
的大小为（
）
A．50
B．40
C．25
D．20
3．（2026·福建泉州·二模）如图1 是以AB 为直径的半圆形纸片，半径CO
AB
，
4
AB
a
．若沿半径OC
剪开，并将扇形OAC 沿OB 向右平移至扇形O A C
的位置（如图2 所示），设O C
与BC 的交点D，
60
OCD
，则线段A O
的长为（
）
A．2 3
3
a
B．
3
3
a
C．(2
3)a
D．( 3 1)a
4．（2026·福建宁德·二模）如图，半圆的直径是4 ，图中阴影部分的面积是（
）
A．2π
4
B．4π
4
C．8π
8
D．8π
4
5．（2026·福建南平·二模）如图，PA
PB
、
是
O 的切线，A、B 为切点，BC 为
O 直径，
40
P
且
18
BC
，
求AB 的长（
）
A．3π
B．5π
C．7π
D．9π
6．（2026·福建三明·二模）如图，AB 是⊙O的直径，C 、D 是⊙O上异于A 、B 的两点，且BC
BD
，
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若
3
2
ACD
BOD
，则
A
的度数为（
）
A．22.5
B．25
C．30
D．45
7．（2026·福建福州·模拟预测）小明捡到一个量角器碎片，按如图的方式测量
B
的度数，他让点B 落在量
角器圆弧上，并将角的两边与量角器圆弧的交点分别记为A ，C ．若点A ，C 对应的刻度分别为54、136，
则
B
的度数为（
）
A．130
B．139
C．140
D．141
8．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，O 的直径
8
AB
，点C 是AB 的中点，
BAC
的平分线AD 交
O
于点D．过点D 作
O 的切线分别交AC
AB
，
的延长线于点E，F，连接
,
BC OD ．下列结论中错误的是（
）
A．
90
E
B．
4 2
4
BF
C．
2 2
DE
D．
8 2
AOD
S
9．（2026·福建福州·模拟预测）如图，AB 是
O 的直径，点C ，D 在
O 上，
40
CAB
，则
D
（
）
A．30
B．40
C．50
D．60
10．
（2026·福建漳州·模拟预测）如图，四边形ABCD 内接于
O ，其中AB 为直径．若
25
BAC
，则
ADC
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的度数为（
）
A．105
B．110
C．115
D．120
11．（2026·福建宁德·一模）如图，AB 是半圆O的直径，现将一块含30的直角三角板如图放置，30角的
顶点C 落在半圆上，一条直角边经过点A ，斜边交半圆O于点D ．则
AOD
等于（
）
A．30
B．50
C．60
D．70
12．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，⊙O 是ABC 的外接圆，AB 是
O 的直径，过点C 的切线DC 交
AB 的延长线于点E．若
62
ACD
，则
E
的度数是（
）
A．52
B．48
C．44
D．34
13．（2026·福建泉州·二模）如图，
O 的弦AC 、BD 的延长线相交于点P ，AC
BD
，若
20
OPB
，
则
BOC
的度数是（）
A．100
B．120
C．130
D．140
14．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，菱形ABCD的顶点A，B 在
O 上，对角线BD 与
O 相交于点M，
若
O 的半径为6，
20
DBC
，则扇形AOM 的面积为（）
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A．2
3
B．4
3
C．2
D．4
15．（2026·福建泉州·二模）如图，
O 是ABC 的外接圆，
23
OAC
，则
B
的大小为（
）
A．46
B．60
C．67
D．77
16．（2026·福建泉州·三模）如图，O 与正方形ABCD的两边AB ，AD 相切，且DE 与
O 相切于点E．若
O 的半径为5，且
11
AB
，则DE 的长度为（
）．
A．5
B．6
C．
30
D．11
2
17．（2026·江苏苏州·一模）如图，AB 是
O 的直径，点O为圆心，点C 在AB 延长线上，CD 是
O 的切
线，切点为点D ，若
40
C
，则
DAC
的度数为（
）
A．30
B．25
C．40
D．50
18．（2026·福建厦门·一模）如图，在ABC 中，
40
C
，
6
AB
，以AB 为直径的半圆O 交AC 于点D，
与BC 相切于点B，则BD的长为（
）
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A．5π
6
B．5π
3
C．10π
3
D．5π
19．（2026·浙江温州·一模）如图,在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
，
30
A
，
4
AC
，BD 为AC 边上的高，
以点B 为圆心，BD 长为半径画圆弧分别交边AB ，BC 于点E，F，则EF 的长为（
）
A．
3 π
4
B．
3 π
2
C．3 π
4
D．π
20．（2026·福建泉州·一模）某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为30cm 的定滑轮带动重物上升．如
图，滑轮上一点A 绕点O 逆时针旋转90°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（
）
A．6.5πcm
B．7.5πcm
C．9πcm
D．15πcm
21．
（2026·福建泉州·模拟预测）如图，点A ，B ，D 在
O 上，CD 垂直平分AB ，交AB 于点C ．若
4
AB
CD
，
则
O 的半径为（
）
A．3
2
B．2
C．5
2
D．3
22．
（2026·福建泉州·模拟预测）等边ABC 中，
4 3
BC
，点P、点Q 分别是AB 、AC 上的动点，且AP
CQ
，
过A 、P、Q 三点作
O ，则
O 半径的最小值为________．
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23．（2026·福建福州·模拟预测）如图，正七边形ABCDEFG ，连接对角线AE ，BG 交于点H ，则1
的度
数为________．
24．（2026·福建宁德·二模）茶叶生产是闽东乡村振兴的支柱产业之一．如图是圆形展示茶饼的正面及其固
定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．茶饼正立且紧靠支架于A ，D 两点，恰好与BC 边相切于点E ，若
20
AEB
，则圆心角
AOE
________．
25．（2026·福建厦门·三模）如图，四边形ABCD中，AB
AC
，
90
ADB
，过A，B，D 三点的圆交边
BC 于点E．若
2
BAC
ACD
，
BAD
BDC
，则EC
AB 的值为_________．
26．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，某款“不倒翁”的主视图是圆弧和两线组成的轴对称图形，倒至最歪
位置时，点A 的对应是点A，点P 的对应是点P，若
O 半径为3 cm ，
5 cm
SA
，
8 cm
A T
，那么原来与
地面接触点P 和现在与地面的接触点Q 之间的距离是________cm．
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27．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，边长为2 的正六边形ABCDEF 的中心为O ，则该正六边形的边心
距为______．
28．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在Rt
ABC
△
中，已知
90
C
，
30
A
，
3
BC
，尺规作图
痕迹如图所示，再以点A 为圆心，AD 长为半径作弧，交AB 于点E ，则图中阴影部分的面积为_____．
29．（2026·福建厦门·三模）如图，圆形铁圈的直径
60 cm
AB
，一根两端带有铁环的硬质滑杆套在该铁圈
上（铁环大小忽略不计），滑杆的长度与铁圈的半径相等．先将滑杆的左端套在A 处，再将整根滑杆沿着
铁圈按逆时针方向移动，使得滑杆的右端移动到点B 处，在此过程中滑杆的中点P 移动的路径长为
________cm．
30．（2026·福建厦门·三模）如图，AB 为
O 的直径，点C 在
O 上，过点C 作
O 的切线与AB 的延长线
交于点D ．若
O 的半径为r ，
1 π
4
BC
r
，则
D
的度数为______．
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31．（2026·福建龙岩·二模）如图，AB 是
O 的直径，BC
BD
DM
，连接CD 交AB 于点F ，CG 与
O
相切于点C ，交AB 的延长线于点G ，连接MB 并延长，交CD 于点E ，交CG 于点N ，连接AC ，若
3
tan
4
G
，
则BN
AC _________．
32．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，在矩形纸盒ABCD 中，恰好能放进两个外切且均以r 为半径的圆形
纸片，已知
1
O 与
,
AD AB 相切，
2
O 与
,
CB CD 相切，其中
9,
8
AB
AD
，则r 的值为_______．
33．（2026·福建福州·二模）如图，三角形ABC 内接于⊙O，D 为⊙O 上一点，且AD
BC ，DO
AC
∥
，若
36
ABC
，则
BAC
的度数是______．
34．
（2026·福建漳州·一模）在矩形ABCD中，
4
6
AB
BC
M
，
，
是AB 的中点，点P 在AD 上运动．将
APM
沿PM 翻折得到EPM ，连接CE ，则CE 的最小值为___________．
35．（2026·福建厦门·一模）古代工匠确定圆形器具的圆心时，如图通常把角尺的直角顶点放在圆周上，即
可找出该圆形器具的一条直径，进而找出圆心，这种方法的数学依据是________．
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36．（2026·福建龙岩·模拟预测）如图，AB 是
O 的直径，以AB 为边长作正方形ABCD，连结BD 交
O 于
点E ；以C 为圆心，CB 为半径作弧BPD 交
O 于点P ，连结并延长BP
DP
、
分别交AD 、
O 于点F
G
、
，
下列结论：①BE
DE
；②AF
DF
；③
45
DPF
；④OG
AD
∥
；⑤PB
PG
，其中错误的结论有______
（填正确答案的序号）．
37．（2026·福建厦门·二模）如图是某高速公路在转向处设计的一段圆曲线（即圆弧），机动车转弯时从曲
线起点A 行驶至终点B，过点A，B 的两条切线相交于点C，机动车在从点A 到点B 行驶过程中转角为．若
这段圆弧的半径
3m
OA
，
60
，则图中危险区（阴影部分）的面积为______．
38．（2026·福建莆田·三模）仙游古典家具制作技艺，简称为“仙作”，入选国家级非物质文化遗产名录，“仙
作”家具集国画艺术，雕刻艺术与家具制作技艺的巧妙融合，款式典雅，结构严谨．一种“仙作”花窗的花瓣
由六条等弧连接而成，所对应的弦构成一个正六边形，如图所示．设正六边形的中心为点O，AB 所在圆的
圆心C 恰好是ABO 的外心．若
2 3
AB
，则花窗的面积（实线所围区域的面积）为_______．
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39．（2026·福建福州·三模）如图1 的螺丝钉由头部（直六棱柱）和螺纹（圆柱）组合而成，其俯视图如图
2 所示．在“测量螺丝钉半径”的综合与实践活动中，小吴想出了一种测量方法：将刻度尺紧靠螺纹放置，经
过点A 且交CD 于点P ，量得PC 长为2 毫米，并测得正六边形ABCDEF 的边长为8 毫米，则螺纹的直径为
______毫米．
40．（2026·福建泉州·二模）在等腰ABC 中，
120
4
A
AB
，
，点O 是ABC 的角平分线BD 上的一点，
半径为1 的
O 经过点B，将
O 沿BD 方向平移，当
O 与ABC 的边相切时，O 平移的距离是___________．
41．（2026·福建厦门·二模）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如
图，在
O 中，M 是AB 的中点，MN
AB
于点N．“会圆术”给出AB 的弧长l 的近似计算公式：
2
MN
l
AB
OA
．当
5
OA
，
4
sin
5
AOB
时，则AB 的弧长l 的近似值为________．
42．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
，O是BC 边上一点，以点O 为圆心，OB
的长为半径的圆交AB 于点D ，且过点D 作
O 的切线交AC 于点E ．
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(1)尺规作图：试确定点E 的位置；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若
2
AB
AC
，
2 3
BC
，求证：ADE 是等边三角形．
43．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，O 是ABC 的外接圆，点O 在BC 边上，
BAC
的平分线交
O 于
点D ，连接BD 、CD ，过点D 作BC 的平行线与AC 的延长线相交于点P ．
(1)求证：PD 是
O 的切线；
(2)求证：AB
BD
DC
CP
；
(3)当
12
AB
，
8
AC 时，求DP 的长．
44．（2026·福建厦门·二模）已知：如图，四边形ABCD内接于
O ，AB 为
O 的直径，BC
CD
，弦CE
AB
于点F，交BD 于点G．
(1)求证：
90
HDC
FCB
；
(2)延长AD ，EC 相交于点H．
①求证：
2
FC
FG FH
；
②若BF
t
BC ，若
ABD
C
表示
ABD 的周长，求
ABD
C
AC
△
的值．请用含t 的式子表示．
45．（2026·福建泉州·二模）如图1，BC 为
O 的直径，D 是AC 的中点，AC 与BD 交于点E ．
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(1)若
20
ABD
，求
ACB
的度数；
(2)点F 是
O 上的动点（不与点A 、C 重合），CF 交BD 于点G ，FA 沿FC 折叠后得到线段FM ．
①如图2，当点M 落在BC 上时，求证：
2
DG
DE DB
；
②如图3，当MF
AB
于H 时，连结OA 、OM ，若OA
a
，OM
b
，用含a 、b 的式子表示AF 的长，并
说明理由．
46．（2026·福建宁德·二模）如图，AB 是
O 的直径，点C 在
O 上运动（不与A ，B 重合），将AOC 沿
OC 翻折，得到DOC ，点E 是BD的中点，连接AD ．
(1)如图1，若
15
CAB
，求证：AD
OA
；
(2)证明：不论点C 如何运动，
CAE
的大小不变；（以图2 为例证明）
(3)如图2，当点E 在AB 下方，
1
tan
4
BAE
，
4
AD
时，求
O 的直径
47．
（2026·福建厦门·三模）如图1，点B 是线段AB 和BC 的公共点，点O 是BC 所在圆的圆心，若OB
AB
，
则称线段AB 和BC 在点B 平滑连接．生活中，为了兼顾美观与安全，公园步道的转弯处常设计为线段和
弧的平滑连接．某公园步道的一部分如图2 所示，线段AB ，BC ，线段CD ，DE ，线段EF 在点B，C，
D，E 处依次平滑连接．
已知
//
AB EF ，
120
AB
EF
米，
60
CD
米．
=
BC DE ，BC 所在圆的半径为30米，所对的圆心角为90．
请完成下列问题：
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(1)求图2 中公园步道的总长度；
(2)现对公园进行改造：在直线AF 右侧新建步道AF ，连接BA 和EF ，并在公园中间区域设立一处公共服
务空间（记为点R），满足点R 到A，B，E，F 四个点的距离相等．
①尺规作图：求作AF ，使得线段BA ，AF ，线段FE 分别在点A，F 处依次平滑连接；（要求：不写作
法，保留作图痕迹）
②在点R 处增设户外WiFi 装置，通常情况下WiFi 信号可接收的范围可以近似看成一个半径为110米的
圆．已知点M 位于AF 上，
72
MF
米，请判断点M 处能否接收到WiFi 信号，并说明理由．（参考数据：
2
1.414
3
1.732
，
）
48．（2026·福建泉州·模拟预测）已知在ABC 中，AO
BC
于点O，
O 经过A、C 两点并交AB 于点E．
(1)当点E 为AB 中点，求
EOA
的度数；
(2)若
2
AC
，求AE AB
的值；
(3)若
2
BE
，
4
AEOC
S
四边形
，求BC ．
49．（2026·福建福州·三模）如图1，
O 是等边ABC 的外接圆，
12
AB
，点P 是
O 外一点，AP 分别
交BC 、
O 于点D 、E ，连接BP ，且
2
PB
PA PE
．
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(1)求证：BP 是
O 的切线；
(2)如图2 ，点F 是AC 上的动点，点G 在
O 内，
60
FDG
，且
9 3
2
DFG
S
△
．
（i ）当
3 3
DC
，且
45
DFC
时，求
BDG
S
的值；
（ii）如图3 ，当AP 过点O时，求BG 的最小值．
50．（2026·福建厦门·模拟预测）如图1，AB 为半圆O的直径，
4
AB
，点C 为半圆O上一点（不与A ，
B 重合），连接OC ，点A 关于OC 的对称点为点D ，连接OD ．
(1)如图2，当
60
AOC
时，连接BD ，求
ABD
的度数；
(2)过点A 作半圆O的切线l ，延长OC 交切线l 于点E ，点F 为OE 中点，连接AF ，
①当
1
tan
2
AOC
时，延长AF 至点N ，使得FN
FE
，连接DN ，求DN 的长；
②当0
60
AOC
时，延长AF 交半圆O于点P （P 与D 不重合），直线DP 分别交切线l ，射线OC 于
点G ，点M ，探究DG 与DP 的数量关系．
51．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，等腰三角形ABC 内接于
,
O AB
AC
，点C 关于AB 的对称点为D ，
连接AD 交
O 于点E ．
(1)求证：BD 为
O 的切线；
(2)如图1，连接OD ，若DO
AC
，求证：
2
AE
BD
；
(3)如图2，若AE
BD
，求cos
ABC
的值．
52．（2026·福建泉州·模拟预测）已知：四边形ABCD是
O 内接四边形，AC 是
O 的直径，AC 、DB相
交于点P ，点E 在PD 上，
90
DCE
ACB
．
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(1)如图1，求证：
2
BEC
BAC
；
(2)如图1，若
2
DBC
CAB
，求证：AD
AP
；
(3)如图2 ，在（2）的条件下，
3
AB
BC
，点G 在AD 上，EF
EG
交AC 于点F ，
3
EG
EF
，
1
PF ，求PC
的长．
53．（2026·福建泉州·模拟预测）如图1，ABC 内接于
O ，作直径AD 交边BC 于点G ，BO 平分
ABC
，
连接CD ，BD．
(1)若
50
DAC
，求
ADC
的度数．
(2)如图2 ，作CE
AB
于点E ，交AO 于点F ．
①求证：
DCF
DFC
．
②若
1
OF
OG
，且
2
FG
，求
2
DG 的最小值．
54．（2026·福建厦门·三模）四边形ABCD内接于
O ，AC 为
O 的直径，AC 与BD 相交于点E．
(1)如图1，若B 是AC 的中点，求
ADB
的度数；
(2)如图2，点F 在边CD 上，且满足
BAC
ACD
CEF
，当
2
EF
OE CE
时，
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①证明：
COF
BAC
；
②若
5
AB
AC
；
5
cos
6
ABD
．求
O 的半径．
55．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，已知
O 是ABC 的外接圆，BC 为直径，AB
AC
，D，Q 为BC
上位于点A 异侧的动点，且AQ
CD
，连接DC ，AQ 交于点H，连接AD ，BD ．
(1)求证：
90
CHQ
；
(2)求证：点O 在
AHD
的平分线上；
(3)若
2
2
32
AD
CQ
，且
1
sin
4
BAD
，求AD 的长．
56．（2026·福建泉州·三模）在Rt
ABC
△
中，
90
BAC
，
2 5
AB
AC
，点D 在ABC 的内部，连接BD ，
AD ，点M 为线段BD 的中点，连接AM ．
(1)如图1，若
90
ADB
，
1
tan
2
ABD
，求AM 的长；
(2)如图2 ，将AM 绕点M 逆时针旋转90至EM ，连接BE ，AE ，求证：
2
CD
BE
；
(3)如图3 ，延长AM 交CB 于点N ，点P 为AN 延长线上一点，连接BP ，将
BNP
△
沿BN 翻折至ABC 所
在平面内得到BNP，直线NP与AB 交于点G ，连接GD ．若
135
BDC
，当AM 最小时，请直接写出
ADG
△
的面积．
57．（2026·福建宁德·一模）如图，AB 是
O 的直径，射线AM 与
O 相切于点,
A D是射线AM 上一点，OD
交
O 于点C ，射线BC 交AD 于点E ．
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(1)求证：
DAC
OCB
；
(2)若AC
AD
OB
BC
，求
B
的度数；
(3)若CD
AE
，求tan
ADO
的值．
58．（2026·福建莆田·二模）如图1，ABC 内接于
,
O
BAC
的平分线与BC 和
O 分别交于点D 和E，F
是AE 延长线上一点，连接CF ，且
180
ACF
BCF
．
(1)求证：点F 到三边
,
,
AB BC AC 所在直线的距离相等；
(2)若AF 经过点O，连接BE ，如图2，求证：DF
BE
AF
AE
；
(3)若
2
AE
EF
，请用等式表示线段
,
,
AB BC AC 之间的数量关系，并证明．
59．（2026·福建福州·二模）如图，AB 是半圆O 的直径，C 为AB 的中点，D 为BC 上一点，AD 交OC 于
点E，CF
BD
∥
交AB 于点F，交AD 于点G．点O，P 关于CF 对称，OP 交CF 于点H，连接DP ．
(1)求证：OP
BD
；
(2)当DP
AB
时，求
BAD
的度数；
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(3)求DP
AB 的最小值．
60．（2026·福建泉州·模拟预测）已知
O 中，
90
AOE
COQ
，连接AQ
CE
、
交于点T ．
(1)如图1，求证：
AT
CT ；
(2)如图2，在AE 上取一点S ，使
AS
EQ ，连接ST 并延长，交圆于点W ，连接CW ，求证：
CW
SW ；
(3)如图3，当OQ 与OE 重合时，连接AE 并延长，在AE 延长线上取一点B ，连接CB 交圆于点D ，连接
,
AD OD ，
AD 交CE 于点F ，在AB 边上有一点M ，连接CM ，且满足：
60 2
CMB
AM
BM
CM
，
，
交OD 于点H ，
交AD 于点G ，连接HF ，
①求tan
DAE
的值；
②当
3
3
COH
HFK
S
S
时，直接写出GF 的长．
