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1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题09 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中的平行四边形存在性问题 题型二、二次函数中的矩形存在性问题 题型三、二次函数中的菱形存在性问题 题型四、二次函数中的正方形存在性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：在抛物线背景下，探究满足平行四边形、矩形、菱形或正方形的动点是否存在，需分类讨论。 - 解题方法：利用对角线互相平分（中点坐标公式）列方程；矩形附加对角线相等或垂直条件；菱形附加 邻边相等或对角线垂直条件；设参代入，按顺序分类讨论顶点位置。 - 易错提醒：分类讨论时遗漏顶点顺序导致重复或漏解；平行四边形只考虑一组对边相等而忽略对边平行； 利用向量或斜率时未检验三点共线情况；计算中点坐标时符号错误。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中的平行四边形存在性问题 典例1（2026·宁夏银川·二模）如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点， 与 轴交于点 ． 目 录 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求该抛物线的函数表达式． (2)点 是直线 下方的抛物线上一动点，连接 ， ，当 的面积最大时，求点 的坐标． (3)点 是抛物线上一动点，在 轴上是否存在点 ，使得以 为顶点的四边形是平行四边形？若存 在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与已知三点构成平行四边形，求动点坐标，常分三类（对角线不同）。 2.方法：利用平行四边形对角线互相平分，设动点坐标，分三种对角线情况用中点公式列方程求解。 变式1-1（2026·宁夏固原·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点 是抛物线上位于第一象限的动点，当 时，求此时点 的坐标； (3)如图2，将原抛物线水平向右平移，使点 落在点 处，点 是原抛物线对称轴上任意一点，在平 移后的新抛物线上确定一点 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形，求出所有符合条 件的点 的坐标． 变式1-2（25-26 八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过 ， 两点，交 轴于点 ．动点M 沿x 轴从点A 向点B 运动，过点M 作x 轴的垂线交 于点N，交抛 物线于点P． 3 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交 于点E，顶点是点D，以D、E、N、P 四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求 点N 的坐标； (3)在y 轴右侧的抛物线上有一点Q，Q 的横坐标为m，设该抛物线在点C 与点Q 之间（包含点C 和点Q） 的部分的最高点和最低点到x 轴的距离分别为s，t，当 时，直接写出m 的取值范围． 题型二、二次函数中的矩形存在性问题 典例2（2026·江苏苏州·一模）如图①，已知抛物线 的图象与 轴的负半轴交于点 ， 与 轴的正半轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ， 是第四象限抛物线上 一点，连接 ， ，过点 作 轴交 于点 ，设 点横坐标为 ． (1)求抛物线的函数表达式： (2)当 为何值时， 的面积有最大值，并求出此时的最大值； (3)作 轴，且 点横坐标为 ，以 ， 为邻边构造矩形 ．若矩形 的边与抛物 线有三个交点，且其中的一个交点为矩形一边的中点，求 的值． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与已知三点构成矩形，求动点坐标，需满足对角线相等且互相平分。 2.方法：利用平行四边形条件先求第四点，再验证对角线相等；或用向量垂直与相等列方程求解并验证。 变式2-1（2026·湖北黄石·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线 交x 轴于点B，交y 轴于点C， 抛物线 经过B、C 两点且与x 轴交于另一点A． 4 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求抛物线的解析式； (2)点D 是直线 下方抛物线上的一点，若 ，求点D 的坐标； (3)若点H 是抛物线上一动点，且横坐标为m， 、 为平面内两点，连结 、 ， 以 、 为边构造矩形 ． ①求点N 的坐标（用含m 的式子表示）； ②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而变化时，直接写出m 的取值范围． 变式2-2（25-26 九年级上·广西崇左·期末）如图，抛物线 的对称轴是直线 ，与x 轴交 于点A、B 两点，且A 点的坐标为 ，与y 轴交于点 ． (1)求抛物线解析式及顶点D 坐标； (2)点E 为抛物线上一点，且 ，则点E 的坐标为 ； (3)点F 为线段 上任意一点，过点F 作 轴于点M，直线 交抛物线于点N，求线段 的最大 值； (4)点P 是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使以点A、C、P、Q 为顶点的四边 形为矩形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 题型三、二次函数中的菱形存在性问题 典例3（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ， 与 轴交于点 ，且关于直线 对称． 5 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求抛物线的函数表达式； (2)点 是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，在 轴上是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与已知三点构成菱形，求动点坐标，需满足四边相等且对角线垂直平分。 2.方法：先利用平行四边形求第四点，再验证四边相等；或用距离公式列邻边相等方程，解出后验证对角线 垂直。 变式3-1（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图，已知二次函数 的图象经过点 ，与x 轴 分别交于点A，点 ．点P 是直线 上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数 的表达式； (2)连接 ， ，并把 沿y 轴翻折，得到四边形 ．若四边形 为菱形，请求出此时点P 的坐标； (3)当点P 运动到什么位置时， 的面积最大？求出此时P 点的坐标和 的最大面积． 变式3-2（2026 九年级下·海南海口·专题练习）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过点 ，与 轴交于点 ，且关于直线 对称． 6 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求该抛物线的解析式； (2)当 时， 的取值范围是 ，求的值； (3)点 是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ， ①求线段 的最大值， ②在 轴上是否存在点 ，使得以 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不 存在，说明理由． 题型四、二次函数中的正方形存在性问题 典例4（26-27 九年级上·江苏·寒假作业）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线 2 3 y ax bx = + + 经过 点 (3,0) A ，与y 轴交于点B ，且关于直线 1 x = 对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当1 x t − 时，y 的取值范围是0 2 1 y t −，求t 的值； (3)若点P 、Q 在直线AB 上，问：在该二次函数图象上是否存在点M ，N ，使得四边形PQMN 是正方形？ 若存在，请直接写出PQ 的长；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与已知三点构成正方形，求动点坐标，需满足四边相等且对角线垂直相等。 2.方法：先利用平行四边形求第四点，再验证四边相等且对角线相等且垂直；或列向量垂直且长度相等方程 求解。 变式4-1（2026·辽宁阜新·一模）如图，已知二次函数 2 y x bx c = − + + 的图象交x 轴于点 ( ) 1,0 A − ， ( ) 2,0 B ， 7 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 交y 轴于点C ，P 是抛物线上一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点P 在直线BC 上方时，求PBC 面积的最大值； (3)直线PE x 轴，交直线BC 于点E ，点D 在x 轴上，点F 在坐标平面内，是否存在点P ，使得以D ，E ， F ，P 为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由． 变式4-2（25-26 九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线 2 y x c = + 与直线y kx = 交于A，B 两点，与y 轴交 于点C，已知B 点的坐标是( ) 2,2 ． (1)求直线AB 及抛物线的解析式． (2)求ABC 的面积． (3)点P 在抛物线上，点Q 在直线AB 上，在坐标平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M 为顶点的四边 形是正方形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、解答题 1．（2026 九年级下·青海西宁·学业考试）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，点 是 轴右侧抛物线上一动点． 8 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)请直接写出点 的坐标和直线 的函数解析式； (2)若点 是 轴上一点，连接 ，当 交 于点 ，且 时，求线段 的长； (3)在 轴上是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 2． （25-26九年级下·宁夏银川·阶段检测）如图，抛物线 与x轴相交于 ， ， 与y 轴交于点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)连接 ，点P 为抛物线上第一象限内一动点，当 面积最大时，求点P 的坐标； (3)设点D 是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以点B，C，D，Q 为顶点的四边形为 平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标：若不存在，说明理由． 3．（25-26 九年级下·山东济南·阶段检测）如图1，已知抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于 点，点 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点 的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴为，与 轴的交点为 ．在直线上是否存在点 ，使得四边形 是菱形？若 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，连接 ， ， ，设 的面积为． ①求关于的函数表达式： ②求 点到直线 的距离的最大值，并求出此时点 的坐标． 4．（25-26 九年级上·江苏徐州·期末）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 的 左边），点 、 的坐标分别是 、 ，与 轴交于点 ，点 的坐标是 ，点 和点 关于抛 物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线 上方的抛物线上有一点 ，过点 作 于点 ，求线段 的最大值； (3)点M 是抛物线的顶点，点 是 轴上一点，点Q 是坐标平面内一点，以A，M，P，Q 为顶点的四边形是 以 为边的矩形，求点 的坐标 5．（25-26 九年级上·吉林延边·期末）如图，抛物线 与x 轴的正半轴交于点 、与 轴交于 点 ．点 在该抛物线上运动，设点 的横坐标为 ，过点 作 轴于点 ， 在 轴上， 以 ， 为邻边作矩形 ． (1)求点 和点 的坐标． (2)当点 与点 重合时，求 的值． 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)当矩形 为正方形时，直接写出 的值． (4)当抛物线在矩形 内的部分所对应的函数值 随 增大而减小时，直接写出 的取值范围． 6． （25-26 九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x 轴交于点 ， ，与y 轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式； (2)点M、点N 均在这个抛物线上（点M 在点N 的左侧），点M 的横坐标为m，点N 的横坐标为 .将此 抛物线上M、N 两点之间的部分（含M、N 两点）记为图象G． ①当点M 与点C 重合时，求点N 的坐标； ②当点M 在x 轴上方，图象G 的最高点与最低点的纵坐标之差为6 时，求m 的值； (3)设点 ，点 ，将线段 绕点D 顺时针旋转 后得到线段 ，以 为边构造正方 形 ，当正方形 的边与二次函数在 范围上的图象有且仅有一个公共点时，直接写出n 的取 值范围．
