文档文本内容
1 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
专题10 二次函数中的新定义型问题的四类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、二次函数中点坐标的新定义型问题
题型二、二次函数中伴随问题的新定义型问题
题型三、二次函数与一次函数的新定义型问题
题型四、二次函数中对称问题的新定义型问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
- 题型特征：现场定义与二次函数相关的新概念（如“关联点”“友好抛物线”“倍值点”），要求解析
式、交点或参数范围。
- 解题方法：逐句翻译定义，转化为代数条件（方程或不等式）；联立新定义与函数解析式，设参代入求
解；结合图象辅助理解范围。
- 易错提醒：未理解定义即套用常规方法；忽略新定义中隐藏的约束（如“异侧”“非零点”）；参数讨
论时漏解或范围边界处理不当。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、二次函数中点坐标的新定义型问题
典例1 （25-26 九年级上·河南驻马店·期末）在学习抛物线的过程中，我们积累了一定的经验，请运用
已有经验，对抛物线的“阶梯点”进行研究．
定义：若抛物线上存在一点P，且点P 的横、纵坐标之和为n，则称点P 为此抛物线的“阶梯n 点”．
例如：点
在抛物线
上，且点P 的横、纵坐标之和为1，则，点P 就叫做此抛物线的“阶
梯1 点”．
根据以上定义，解决下列问题：
目 录
2 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)若点P 是抛物线
的“阶梯6 点”，求点P 的坐标．
设点P 的坐标为
，由定义可知
，且
，所以
，
所以
，解得
，
．
所以点P 的坐标为 ．
(2)若点P 是抛物线
的“阶梯1 点”，求点P 的坐标．
(3)若抛物线
上存在“阶梯3 点”P，请直接写出c 的取值范围．
题型模版
1.特征：给出点坐标的新运算（如“倍点”“对称点”），在抛物线上按规则求点或范围。
2.方法：将新定义转化为坐标关系式，代入抛物线方程，转化为二次方程或不等式求解并验证。
变式1-1（24-25 九年级上·湖南永州·期末）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：
点
是函数图象上任意一点，纵坐标
与横坐标
的差“
”称为点
的“纵横值”，函数图象上所
有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：已知点
在函数
的图象上，
点
的“纵横值”可以表示为
，当
时，
的最大值为
，因此，
函数
（
）的“最优纵横值”为8．
【问题】根据定义，解决下列问题：
（1）①点
的“纵横值”为______；
②求出函数
（
）的“最优纵横值”；
【应用】（2）已知二次函数
的对称轴为直线
，且“最优纵横值”为3，求
，的值；
（3）求二次函数
（
）的“最优纵横值”是多少？（用的代数式表示）
变式1-2（2025·辽宁阜新·一模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，
如果将二次函数：
图象上的点
的横坐标不变，纵坐标变为A 点的横、纵坐标之
和，就会得到的一个新的点
．他们把这个点A：定义为点A 的“和点”．他们发现：二次函数
所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为
的“和抛物线”．例如，二次函数
的“和抛物线”就是
，请按照定义
完成：
3 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)点
的“和”点是______；
(2)如果抛物线
经过点
，求该抛物线的“和抛物线”；
(3)已知抛物线
图象上的点
的“和点”是
，若该抛物线的顶点坐标为
，该
抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为
．
①当
时，求n 的取值范围．
②小明发现，当c 取不同值时，所有的顶点
组成一条新的抛物线，设为
，所有的顶点
也组成
一条新的抛物线，设为
，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离．
题型二、二次函数中伴随问题的新定义型问题
典例2 （2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数
，则称二次函数
是二次函数
的伴随二次函数，t 是伴随值．
定义理解
（1）下列二次函数中，是二次函数
的伴随二次函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
深入探究
（2）已知二次函数
的图象如图所示，其伴随二次函数是
．
①伴随值为 ；
②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象；
③当
时，记二次函数
与
的图象为W，若W 的最高点的纵坐标为12，求W 的最低点的坐标．
4 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
0
2
3
4
6
5
5
题型模版
1.特征：定义“伴随点”“伴随函数”等新概念，关联两个函数或点，求参数或关系式。
2.方法：理解新定义，将伴随关系用代数式表示（如坐标互换），与二次函数联立，转化方程或不等式求解。
变式2-1（24-25 九年级上·江苏泰州·阶段检测）【定义与性质】
定义：如图，记二次函数
和
的图象分别为抛物线
和
，若抛物线
的顶点
在抛物线
上，则称
是
的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若
是
的伴随抛物线，则
也是
的伴随抛物线，即
的顶点
在
上．
【理解与运用】
（1）证明性质②；
（2）若二次函数
和
的图象都是抛物线
的伴随抛物线，则
5 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
______，
______．
【思考与探究】
（3）设函数
的图象为抛物线
．
①若函数
的图象为抛物线
，且
始终是
的伴随抛物线，求
，的值；
②在（3）①的条件下，若抛物线
与
轴有两个不同的交点
，
，请直接写出
的取值
范围．
变式2-2（2026·辽宁抚顺·模拟预测）【定义与性质】
记二次函数
的图象为抛物线
，其顶点为
．
定义：若存在另一条抛物线
，其解析式为
，且顶点
在抛物线
上，则称抛物线
是抛物线
的“镜像抛物线”．
(1)【理解与运用】：已知抛物线
，若抛物线
是抛物线
的“镜像抛物线”，
求的值；
(2)【思考与探究】：设抛物线
（
为任意实数），抛物线
，且抛物
线
是抛物线
的“镜像抛物线”．
①若抛物线
与
轴交于
，
两点
，且满足
，求
的值；
②设
是“镜像抛物线” 的顶点，
是抛物线
的顶点，当点
在点
的右侧，且
时，
求
的取值范围．
题型三、二次函数与一次函数的新定义型问题
典例3 （25-26 九年级上·江苏苏州·期末）定义：若直线
（
是常数）经过抛物线的顶点，则
称直线
是该抛物线的“最美直线”．
(1)若直线
是抛物线
的“最美直线”，求
的值；
(2)平移抛物线
得到抛物线
，若直线
是抛物线
的“最美直线”，直线
与
轴的
交点为
，抛物线
与
轴的交点为
，点
与点
关于原点对称，求抛物线
对应的函数表达式．
题型模版
1.特征：定义两函数间的新运算（如“交点数”“距离”），按规则求参数或范围。
6 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2.方法：联立解析式将定义转化为方程或不等式，利用判别式或根与系数关系求解，注意实际意义。
变式3-1（2026·江西上饶·三模）【定义】若二次函数
的顶点在直线
上，则称
二次函数叫做直线
的开心函数．例如：二次函数
的顶点为
在直线
上，所以二
次函数
是直线
的开心函数．
【应用】
(1)若二次函数
是直线
的开心函数，求k 的值；
(2)若二次函数
是直线
的开心函数．
①求证：
；
②若
时，y 的最小值为
，求m 的值．
变式3-2（2024·江西九江·一模）定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线
为抛物线
的“衍生直线”．如图1，抛物线
与其“衍生直线”交于A，B 两点（点B 在x
轴上，点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点
．
(1)求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A 的坐标；
(2)如图2，抛物线
的“衍生直线”与y 轴交于点
，依次作正方形
，正方形
，…，
正方形
（n 为正整数），使得点
，
，
，…，
在“衍生直线”上，点
，
，
，…，
在x 轴负半轴上．
①直接写出下列点的坐标：
______，
______，
______，
______；
②试判断点
，
，…，
是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由．
题型四、二次函数中对称问题的新定义型问题
典例4 （24-25 九年级上·江西吉安·期末）定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反
7 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
且顶点的横、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的伴随函数．如
与
互为伴随函数．
(1)
的伴随函数的表达式为 ；
(2)若
的图像的顶点为
，且过它的伴随函数
的图像顶点
．
求证：这两个函数图像的交点为
；
如图，点
是
在
之间的图像的动点，
轴交
的图像于点
，
求
长度的最大值．
题型模版
1.特征：定义关于点或线的“对称函数”，求新函数解析式或图象性质，需灵活转化。
2.方法：利用对称变换法则（如关于x 轴、y 轴、原点或直线）确定坐标关系，代入原函数得新解析式。
变式4-1（2026·河南平顶山·三模）定义：若抛物线上存在两点关于原点中心对称，则称这两点互为“抛
物中心对称点”．点
在抛物线
上，点A 的“抛物中心对称点”为点B．
(1)求这个抛物线的表达式及顶点坐标．
(2)①在给出的平面直角坐标系中画出该抛物线和直线
．
8 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
②将直线
向下平移3 个单位长度得到直线，则直线上___________互为“抛物中心对称点”的两个
点．（填“存在”或“不存在”）
③将抛物线
向上平移
个单位长度，若平移后的抛物线上仍存在互为“抛物中心对称
点”的两个点，请直接写出k 的取值范围．
变式4-2（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
与
交于
，
两点，已知
的图象与
轴交于点
，且关于直线
对称．
(1)求二次函数
的函数解析式；
(2)直线
分别与
和
的图象交于
，
两点，与
轴交于点
．若
，求
的
值：
(3)定义：
为较小函数，即
，直线
与
的图象交于
，
，
，
四点
（
，
，
，
从左到右依次排布），若
，求出的值．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、解答题
1．（25-26 九年级上·江西南昌·期中）定义：由两条与x 轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所
围成的封闭曲线称为“笑口线”．抛物线
与抛物线
组成一个如图所示
的“笑口线”．
9 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)求出点M，N 的坐标；
(2)求
的值．
2．
（2026·河南开封·一模）新定义：我们把二次函数
与二次函数
（其中
，
且a，b，c 均为常数）称之为“相关二次函数”．已知二次函数
的图像与
轴交于
点
．二次函数
的“相关二次函数”为
．
(1)
的值为___________，
的解析式为___________；
(2)当
时，二次函数
上的点
与二次函数
上的点
之间的距离为5，求的值．
3．（2026 九年级上·河南信阳·专题练习）【定义】若二次函数
的顶点在直线
上，则
此二次函数叫做直线
的开心函数．例如：二次函数
的顶点为
在直线
上，所以
二次函数
是直线
的开心函数．
(1)若二次函数
是直线
的开心函数，求
的值；
(2)若二次函数
是直线
的开心函数．
①求
（用含
的代数式表示）；
②若当
时，
的最小值为
，则n 的值为______．
4．
（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）定义：在平面直角坐标系
中，对于
和抛物线
，
我们称
是抛物线
的关联点，抛物线
是点
的关联抛物线．已知点
，
，
．
(1)点
的关联抛物线的解析式为____________；
(2)求过
，
两点的抛物线
的关联点坐标；
(3)设点
在直线
上运动，点
的关联抛物线的顶点都在同一条抛物线
上，求抛物线
的解析
式．
5．（25-26 九年级上·江苏扬州·期末）定义：把抛物线
（其中
）与抛物线
10 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
称为“孪生抛物线”，例如，抛物线
的“孪生抛物线”为
．已知抛物线
的“孪生抛物线”为
，
与y 轴交于点E．
(1)直接写出抛物线
的表达式______；
(2)若点E 的坐标为
，求抛物线
的解析式；
(3)设
的顶点为F，若
，求点E 的坐标；
(4)记
在
时的最大值为M，最小值为m，且
，则
______．
6．（25-26 九年级上·江苏苏州·阶段检测）新定义：我们把抛物线
与
成为
“友好抛物线”，例如：抛物线
的“友好抛物线”为
；
(1)抛物线
的友好抛物线的解析式为______，“友好抛物线”的顶点坐标为______．
(2)若抛物线
和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，且抛物线M 上有
且只有三个点到x 轴的距离为2，求抛物线M 的解析式．
(3)已知抛物线
（其中
）经过其“友好抛物线”的顶点，
①求抛物线C 的对称轴；
②当
时，y 的最大值是4，求
的值．
7．（2026·江西南昌·一模）已知点
是抛物线
上一点，若
，则我们把点P 称为
该抛物线的“二倍点”．
(1)【定义理解】
①若点P 是抛物线
上的“二倍点”，则点P 的坐标为________；
②下列抛物线，没有“二倍点”的是________．
A．
B．
C．
(2)【深入探究】
已知抛物线
与x 轴只有1 个公共点
，且与y 轴相交于点
．
①求该抛物线的解析式；
②将该抛物线向下平移k 个单位得到新的抛物线，若新抛物线恰好只存在1 个“二倍点”，求k 的值及该“二
倍点”的坐标．
8．（2026·辽宁抚顺·一模）定义：对于二次项系数之和为，对称轴相同，且图象与
轴的交点也相同的
11 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
两个二次函数，我们称这两个函数互为“和谐二次函数”．
例如：
的“和谐二次函数”为
．
(1)函数
的对称轴为 ，其“和谐二次函数”为
；
(2)已知二次函数
，其“和谐二次函数”记为
．
若函数
的图象与函数
的图象交于
，两点（点
的横坐标小于点
的横坐标），动点
在点
，
之间的函数
的图象上，当
时，求点
的横坐标；
函数
的图象与函数
的图象组成新函数
，当
时，函数
的最大值与最小
值的差为，求
的取值范围．
9．（2026·广西·一模）在二次函数的研究领域中，对称轴是决定函数图象特征的关键要素之一．当两个
二次函数的图象对称轴相同时，便有了“同轴二次函数”这一特殊关系定义．它为我们剖析二次函数间的
联系搭建了新的桥梁，引领我们从对称轴的相同性深入探究函数表达式，图象以及取最值等内在规律与逻
辑关联．
(1)已知二次函数
，请写出一个与它是“同轴二次函数”且开口方向不同的二次函数；
(2)已知二次函数
和
，若
与
为“同轴二次函数”．
①求
的函数表达式（用含
的代数式表示）；
②若
与直线
恰好只有一个交点，求
的值；
③当
时，
的最小值为
，求
的值．
10．（25-26 九年级上·江苏苏州·期中）新定义：若二次函数为
（
是常数），
则称
为
的“关联”二次函数，称这两个函数互为“关联”二次函数．
(1)写出
的“关联”二次函数的表达式：
___________．
(2)若（）中的互为“关联”二次函数的两个图像与正比例函数
的图像有且只有两个交点，求
的值；
(3)如图，二次函数
与
互为“关联”二次函数，
，
分别是互为“关联”的两个二次函数
与
的图
像的顶点，点
是
的图像与
轴正半轴的交点，连接
，若点
为
，且
为直角三
角形，求点
的坐标．
12 / 12
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
