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二次函数新定义型综合问题
目录
解密中考1
题型特训提分1
题型一新定义型二次函数之共生或伴随抛物线1
题型二新定义型二次函数之特殊形状问题15
题型三新定义型二次函数与其他函数的综合问题21
题型四新定义型二次函数与几何图形的综合问题27
解密中考
考情分析：二次函数新定义型综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些
考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，属中频偏高考点，多在压轴题出现，约占解答题15% -20%。近年随核心素养考查加
重，频率略有上升，各地试卷年均1 - 2 题，常与函数性质、几何综合结合。
2．从题型角度看，以解答题为主(占比超80%)，分三类：①新定义概念(如“友好抛物线”)，需根据定义求
解析式；②新性质探究(如“最值点”关系)，需推导规律；③跨知识应用(如结合坐标系定义“距离函数”)，综合
度高，分步设问(2 - 3 小问)。
备考策略：1. 强化读题建模：圈画新定义关键词，用示例辅助理解(如通过图像标注“新顶点”)；
2. 分阶训练：先练单一知识点新定义(如仅含函数)，再攻几何代数综合题；
3. 提炼通法：按“理解定义→翻译条件→联立方程/ 几何关系→验证结果”步骤解题，注意分类讨论与数
形结合，积累典型模型(如“对称型”“最值型”新定义)。
题型特训提分
题型一
新定义型二次函数之共生或伴随抛物线
1. (24 - 25 九年级下·江西抚州·阶段练习) 新定义：若二次函数为y1 = ax2 + bx + c(a ≠0，a，b，c 是常
数)，则称y2=-ax2+ bx - c 为y1的“关联”二次函数，称这两个函数为互为“关联”二次函数．
(1) 写出y = x2- 4x + 1 的“关联”二次函数的表达式，并写出该互为“关联”二次函数的图象的一个性
质；
(2) 若(1) 中的互为“关联”二次函数的图象与正比例函数y = kx(k ≠0) 的图象只有两个交点，求k 的
值；
2
(3) 如图，二次函数y1与y2互为“关联”二次函数，A，B 分别是互为“关联”的两个二次函数y1与y2的
图象的顶点，C 是y2的图象与y 轴正半轴的交点，连接AB，AC，BC，若点A 为-2,1
，且△ABC 为
直角三角形，求点C 的坐标．
【答案】(1)y =-x2- 4x - 1，性质：图象关于原点成中心对称(答案不唯一，合理即可)
(2) - 2 或-6
(3) (0, 5) 或0,5
【知识点】y = ax2+ bx + c 的图象与性质、抛物线与x 轴的交点问题、用勾股定理解三角形、斜边的中线等
于斜边的一半
【分析】(1) 根据定义可知互为“关联”二次函数的解析式二项式系数互为相反数，常数项互为相反数，即可
得到答案，观察图象，可知图象关于原点成中心对称；
(2) 互为“关联”二次函数的图象与正比例函数y = kx(k ≠0) 的图象都关于原点成中心对称，且题(1) 中的
互为“关联”二次函数的图象与正比例函数y = kx(k ≠0) 的图象只有两个交点，所以y = kx(k ≠0) 的图象
与y = x2- 4x + 1 的图象只有一个交点，关于x 的方程x2- 4x + 1 = kx 有两个相等的实数根，那么判别式
为零，从而解得答案；
(3) 由(1) 知，若二次函数y1与y2互为“关联”二次函数，则二次函数y1与y2的图象关于原点成中心对称，先
求得点B、C，分∠ACB = 90°、∠BAC = 90° 分类讨论即可得出答案．
【详解】(1) 解：y = x2- 4x + 1 的“关联”二次函数的表达式是y =-x2- 4x - 1
性质：图象关于原点成中心对称．(答案不唯一，合理即可)
(2) 解：互为“关联”二次函数的图象与正比例函数y = kx(k ≠0) 的图象都关于原点成中心对称，且题(1) 中
的互为“关联”二次函数的图象与正比例函数y = kx(k ≠0) 的图象只有两个交点，
∴y = kx(k ≠0) 的图象与y = x2- 4x + 1 的图象只有一个交点，
∴关于x 的方程x2- 4x + 1 = kx 有两个相等的实数根，
整理得x2- (4 + k)x + 1 = 0，
∴Δ = (4 + k)2- 4 = 0，
解得k =-2 或k =-6，
∴k 的值为-2 或-6．
(3) 解：由(1) 知，若二次函数y1与y2互为“关联”二次函数，
则二次函数y1与y2的图象关于原点成中心对称，
∵A，B 分别是互为“关联”的两个二次函数y1与y2的图象的顶点，点A -2,1
，
∴点B 2,-1
，点O 为AB 的中点．
设y2= a(x - 2)2- 1(a ≠0)，则y1=-a(x + 2)2+ 1(a ≠0)，
当x = 0 时，y2= 4a - 1，
∴点C 0,4a-1
，
∵C 是y2的图象与y 轴正半轴的交点，
∴若△ABC 为直角三角形，则∠ACB = 90° 或∠BAC = 90°；
当∠ACB = 90° 时，
∵点O 为AB 的中点，
∴AB = 2OC，
∵AB = OA + OB =
22+12 +
22+12 = 2 5 ，
∴OC = 1
2 AB = 1
2 × 2 5 =
5 ，
∴点C 的坐标为(0, 5)．
3
当∠BAC = 90° 时，AB2+ AC2= BC2，
∴(2 5)2+ (0 + 2)2+ (4a - 1 - 1)2= (0 - 2)2+ (4a - 1 + 1)2，
解得a = 3
2 ，
∴4a - 1 = 4 × 3
2 - 1 = 5，
∴点C 的坐标为0,5
．
综上所述，点C 的坐标为(0, 5) 或0,5
．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，勾股定理，直角三角形的性质，抛物线与一元二次方程，熟练掌
握以上知识点是解题的关键．
1. 明确定义：紧扣题目对“共生伴随抛物线”的定义(如顶点关联、系数对称等)，例：若定义为“与原抛
物线对称轴相同，开口方向相反”，则设原抛物线为y = a(x - h)2 + k，伴随抛物线为y =-a(x - h)2 +
k。
2. 联立关系：根据定义列解析式，结合交点、最值等条件联立方程(如两抛物线交于x 轴同一点，代入
求解a、h、k)。
3. 分类讨论：若定义含多种情形(如伴随抛物线顶点为原抛物线与y 轴交点)，需分情况推导，验根时
确保符合所有约束条件。
4. 数形结合：通过画图直观呈现两抛物线位置关系，辅助分析参数取值范围。
2. (2025·河南焦作·一模) 新定义：如果二次函数y = ax2 + bx + c a≠0
的图象经过点(-1,0)，那么称此
二次函数图象为“定点抛物线”．
(1) 若抛物线y = x2- mx + 2 - k 与x 轴只有一个公共点，且是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式．
(2) 已知抛物线y = mx2+ nx - m + n(m，n 为常数，且m ≠0)．
①求证：该抛物线为“定点抛物线”；
②若m < 0，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点
2,s
，k,t
，当s < t 时，求k 的取值范
围．
【答案】(1) 见解析
(2) ①见解析；②-4 < k < 2
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y = ax2+ bx + c 的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式；
(1) 根据题意“定点抛物线”y = x2- mx + 2 - k 与x 轴只有一个公共点，且经过点(-1,0)，得出
1+m+2-k=0
m2-4(2-k)=0
，解方程组，即可求解；
(2) ①将x =-1 代入解析式，即可求解；
②根据题意才抛物线的对称轴为直线x =-1，进而分类讨论，即可求解．
【详解】(1) ∵“定点抛物线”y = x2- mx + 2 - k 与x 轴只有一个公共点，且经过点(-1,0)，
∴1+m+2-k=0
m2-4(2-k)=0
解得m1=m2=-2
k1=k2=1
∴y = x2+ 2x + 1.
4
(2) ①证明：将x =-1 代入y = mx2+ nx - m + n，得y = 0，
∴(-1,0) 在抛物线y = mx2+ nx - m + n 上.
∴该抛物线为“定点抛物线”.
②∵m < 0，
∴抛物线的开口向下.
由①知抛物线经过点(-1,0)
∴当抛物线的顶点在(-1,0) 处时，抛物线的顶点在最低位置.
∵点(-1,0) 在x 轴上，
∴抛物线的对称轴为直线x =-1，
∴当x >-1 时，y 随x 的增大而减小，当x <-1 时，y 随x 的增大而增大.
∴抛物线上有两点2,s
，k,t
，且s < t，
∴当点k,t
在对称轴右侧时，则-1 < k < 2，
当点k,t
在对称轴左侧时，
∵s < t，
∴k,t
离对称轴更近，
∴
2+k
2
>-1
k<-1
解得：-4 < k <-1，
当点k,t
在对称轴上时，则k =-1.
综上，当s < t 时，k 的取值范围为-4 < k < 2．
3. (23 - 24 九年级上·浙江·期中) 新定义：我们把抛物线y1 = ax2 + bx + c 与抛物线y2 = bx2 + ax + c 其
中ab ≠0) 称为“关联抛物线”．例如：抛物线y1 = 3x2 + 4x + 2 的“关联抛物线”为y2 = 4x2 + 3x + 2．
已知抛物线C1:y1= 2ax2+ ax + a - 2(a ≠0) 的“关联抛物线”为C2．
(1) 写出抛物线C2的函数表达式(用含a 的式子表示)y2=
，顶点坐标为
．
(2) 对于C1和C2，当y1> y2时，求x 的取值范围．
(3) 若a > 0，当a - 3 ≤x ≤a - 1 时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a 的值．
【答案】(1)ax2+ 2ax + a - 2；(-1, -2)
(2) 当a > 0 时，x < 0 或x > 1；当a < 0 时，0 < x < 1
(3)a 的值为2 -
2 或
2
【知识点】根据交点确定不等式的解集、y = ax2+ bx + c 的图象与性质、把y = ax2+ bx + c 化成顶点式
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及新定义，二次函数的图象及性质，解题的关键是分类讨论思想的应
用．
(1) 根据“关联抛物线”定义可知，抛物线C2的函数表达式y2= ax2+ 2ax + a - 2；即可得顶点坐标为
-1,-2
；
(2) 由y1> y2，得2ax2+ ax + a - 2 > ax2+ 2ax + a - 2，即ax x-1
> 0，当a > 0 时，x x-1
> 0，可得x
< 0 或x > 1；当a < 0 时，x x-1
< 0，得0 < x < 1；
(3) 求出当x =-1 时，y =-2．当x = a - 3 时，y = a a-3+1
2- 2 = a a-2
2- 2；当x = a - 1 时，y =
a a-1+1
2- 2 = a3- 2；分三种情况讨论：Ⅰ．当a - 3 <-1 < a - 1，即0 < a < 2 时，若0 < a ≤1，
a a-2
2- 2 - -2
= 2a，若1 < a < 2，a3- 2 - -2
= 2a，Ⅱ．当a ≥2 时，a3- 2 - a a-2
2-2
= 2a，
Ⅲ．当a ≤0 时，a a-2
2- 2 - a3-2
= 2a，分别解方程可得答案．
5
【详解】(1) 根据“关联抛物线”定义可知，抛物线C2的函数表达式y2= ax2+ 2ax + a - 2；
∵y2= ax2+ 2ax + a - 2 = a(x + 1)2- 2，
∴顶点坐标为-1,-2
；
故答案为：ax2+ 2ax + a - 2；(-1, -2)；
(2) ∵y1> y2，
∴2ax2+ ax + a - 2 > ax2+ 2ax + a - 2，
∴ax(x - 1) > 0，
当a > 0 时，x(x - 1) > 0，
∴x < 0 或x > 1；
当a < 0 时，x(x - 1) < 0，
∴0 < x < 1；
综上所述，当a > 0 时，x < 0 或x > 1；当a < 0 时，0 < x < 1；
(3) ∵C2:y = a(x + 1)2- 2，
∴当x =-1 时，y =-2．
当x = a - 3 时，y = a(a - 3 + 1)2- 2 = a(a - 2)2- 2；
当x = a - 1 时，y = a(a - 1 + 1)2- 2 = a3- 2；
根据题意可知，需要分三种情况讨论：
Ⅰ．当a - 3 <-1 < a - 1，即0 < a < 2 时，
若-1 - (a - 3) > a - 1 - (-1)，即0 < a ≤1，则y大= a(a - 2)2- 2；y小=-2，
∴a(a - 2)2- 2 - (-2) = 2a，
解得a = 2 -
2 或a = 2 +
2(舍) 或a = 0(舍)；
若-1 - (a - 3) < a - 1 - (-1)，即1 < a < 2 时，y大= a3- 2；y小=-2，
∴a3- 2 - (-2) = 2a，
解得a =
2 或a =- 2(舍) 或a = 0(舍)；
Ⅱ．当-1 ≤a - 3 ≤a - 1，即a ≥2 时，y大= a3- 2；y小= a(a - 2)2- 2．
∴a3- 2 - [a(a - 2)2- 2] = 2a，
解得a = 3
2 (舍) 或a = 0(舍)；
Ⅲ．当a - 3 ≤a - 1 ≤-1，即a ≤0 时，y大= a(a - 2)2- 2，y小= a3- 2，
∴a(a - 2)2- 2 - (a3- 2) = 2a，
解得a = 1
2 (舍去) 或a = 0(舍去)，
综上所述，a 的值为2 -
2 或
2．
4. (2025·山东·一模) 新定义：我们把抛物线y = ax2 + bx + c(其中ab ≠0 与抛物线y = bx2 + ax + c 称为
“关联抛物线”，例如，抛物线y = 2x2 + 3x + 1 的“关联抛物线”为y = 3x2 + 2x + 1，已知抛物线C1：y
= 4ax2+ ax + 4a - 3(a > 0) 的“关联抛物线”为C2，C1与y 轴交于点E．
(1) 若点E 的坐标为0,-1
，求C1的解析式；
(2) 设C2的顶点为F，若△OEF 是以OF 为底的等腰三角形，求点E 的坐标；
(3) 过x 轴上一点P，作x 轴的垂线分别交抛物线C1，C2，于点M ，N．
①当MN = 6a 时，求点P 的坐标；
6
②当a - 4 ≤x ≤a - 2 时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a 的值．
【答案】(1)y = 2x2+ 1
2 x - 1
(2) 0,- 13
6
(3) ①P -1，0
或2，0
；②a 的值为
2 或2 -
2
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y = ax2+ bx + c 的图象与性质、特殊三角形问题(二次函数综
合)、其他问题(二次函数综合)
【分析】(1) 根据“关联抛物线”的定义可直接得出C2的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出C2的顶点
坐标；
(2) 根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式，之后得到函数的顶点，过点F 作FH ⊥y 轴于点H，连接
EF，进而得到OE，EH，FH，于是根据EF 2= OE 2即可得到结论；
(3) ①设点P 的横坐标为m，则可表达点M 和点N 的坐标，根据两点间距离公式可表达MN 的长，列出方
程，可求出点P 的坐标；
②当a - 4 ≤-2 ≤a - 2 时得出C2的最大值和最小值，进而列出方程，可求出a 的值．
【详解】(1) 解：∵C1与y 轴交点的坐标为E 0,-1
，
∴4a - 3 =-1，解得a = 1
2 ．
∴C1的解析式为y = 2x2+ 1
2 x - 1 ；
(2) 解：根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式为y = ax2+ 4ax + 4a - 3，
∵y = ax2+ 4ax + 4a - 3 = a x+2
2- 3，
∴C2的顶点F 的坐标为-2,-3
易得点E 0,4a-3
，
过点F 作FH ⊥y 轴于点H，连接EF．
∴OE = 3 - 4a，EH = 4a，FH = 2，
∵OE = EF，
∴EF 2= OE 2，即22+ 4a
2= 3-4a
2．
解得a = 5
24 ，
∴点E 的坐标为0,- 13
6
；
(3) 解：①设点P 的横坐标为m，
7
∵过点P 作x 轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M,N ，
∴M m,4am2+am+4a-3
，N m,am2+4am+4a-3
，
∴MN = 4am2+am+4a-3- am2+4am+4a-3
= 3am2-3am
，
∵MN = 6a，
∴3am2-3am
= 6a，解得m =-1 或m = 2，
∴P -1,0
或P 2,0
；
②∵C2的解析式为y = a x+2
2- 3，
∴当x =-2 时，y =-3，
当x = a - 4 时，y = a a-4+2
2- 3 = a a-2
2- 3；
当x = a - 2 时，y = a a-2+2
2- 3 = a3- 3．
根据题意可知，需要分三种情况讨论：
Ⅰ．当a - 4 <-2 < a - 2 时，0 < a < 2，且当0 < a ≤1 时，函数的最大值为a a-2
2- 3；函数的最小值为
-3．
∴a a-2
2- 3 - (-3) = 2a，解得a = 2 -
2 或a = 2 +
2(舍) 或a = 0(舍)；
当1 < a < 2 时，函数的最大值为a3- 3，函数的最小值为-3．
∴a3- 3 - -3
= 2a，解得a =
2 或a =- 2(舍) 或a = 0(舍)；
Ⅱ．当-2 ≤a - 4 ≤a - 2 时，a ≥2，函数的最大值为a3- 3；函数的最小值为a a-2
2- 3，
∴a3- 3 - a a-2
2-3
= 2a，解得a = 3
2 (舍) 或a = 0(舍)；
Ⅲ．当a - 4 ≤a - 2 ≤-2 时，a ≤0，不符合题意，舍去．
综上，a 的值为2 -
2 或
2．
【点睛】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及等腰三角形以及两点间距离公式，二次函数的图象及
性质，由“关联抛物线”的定义得出C2的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键．
5. (2025·辽宁阜新·一模) 在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将
二次函数：y = ax2 + bx + c a≠0
图象上的点A x,y
的横坐标不变，纵坐标变为A 点的横、纵坐标之
和，就会得到的一个新的点A1 x,x+y
．他们把这个点A：定义为点A 的“和点”．他们发现：二次函
数y = ax2 + bx + c a≠0
所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为y = ax2 +
bx + c a≠0
的“和抛物线”．例如，二次函数y = x2 + x + 1 的“和抛物线”就是y = x2 + x + 1 + x =
x2+ 2x + 1，请按照定义完成：
(1) 点P 1,2
的“和”点是
；
(2) 如果抛物线y = x2+ bx + 3 a≠0
经过点M 1,-3
，求该抛物线的“和抛物线”；
(3) 已知抛物线y = x2+ bx + c 图象上的点B x,y
的“和点”是B1 -1,1
，若该抛物线的顶点坐标为
p,q
，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为m,n
．
①当0 ≤c ≤5 时，求n 的取值范围．
②小明发现，当c 取不同值时，所有的顶点p,q
组成一条新的抛物线，设为yp，所有的顶点m,n
也
组成一条新的抛物线，设为ym，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离．
【答案】(1) 1,3
(2)y = x2- 6x + 3
8
(3) - 5
4 ≤n ≤1；1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y = ax2+ bx + c 的图象与性质
【分析】(1) 根据题目中给出的信息解答即可；
(2) 先将点M 的坐标代入抛物线的解析式，求出b =-7，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线的
“和抛物线”即可；
(3) 先根据点B1 -1，1
，求出点B 的坐标，把点B 代入抛物线关系式得出b、c 的关系式，然后把b、c 的关系
式代入抛物线的关系式，得出y = x2+ c-1
x + c，写出其“和抛物线”的关系式为：y = x2+ cx + c，并求出
化为顶点式，得出n = c - c2
4 =- 1
4
c-2
2+ 1，将n 看作c 的函数，求出当0 ≤c ≤5 时，n 的取值范围即
可；根据题意确定原函数的顶点坐标，得出相应的二次函数解析式，确定顶点坐标即可得出结果．
【详解】(1) 解：根据题意可知，点A x,y
的“和”点是A1 x，x+y
，
∴点P 1,2
的“和”点P1的纵坐标为1 + 2 = 3，即P1 1,3
．
故答案为：1,3
．
(2) 将点M 1,-3
代入抛物线y = x2+ bx + 3 a≠0
得：1 + b + 3 =-3，
解得：b =-7，
即抛物线的解析式为y = x2- 7x + 3，
∴抛物线的“和抛物线”为y = x2- 7x + 3 + x，
即y = x2- 6x + 3．
(3) 根据题意可知，点B1 -1，1
是点B x,y
的“和”点，
∴x=-1
x+y=1
，解得：x=-1
y=2
，即B -1,2
，
将点B -1,2
代入抛物线y = x2+ bx + c 得：1 - b + c = 2，则b = c - 1，
∴抛物线为y = x2+ c-1
x + c，
∴抛物线的“和抛物线”为：y = x2+ c-1
x + c + x，
即y = x2+ cx + c = x+ c
2
2
+ c - c2
4
∵其顶点坐标为m,n
，
∴
m=- c
2
n=c- c2
4
，
将n 看作c 的函数，
∵n = c - c2
4 =- 1
4
c-2
2+ 1，
∴c = 2 时，n 有最大值，且最大值为1，
当0 ≤c ≤5 时，c = 5，n 有最小值，且最小值为- 1
4 × 5-2
2+ 1 =- 5
4 ，
∴n 的取值范围是- 5
4 ≤n ≤1；
由得：原抛物线为y = x2+ c-1
x + c，
∴
p= 1-c
2
q= -c2+6c-1
4
，
将p = 1-c
2
变形为c = 1 - 2p 代入q = -c2+6c-1
4
得出q =-p2- 2p + 1，
∵所有的顶点p,q
组成一条新的抛物线，设为yp，
9
∴yp =-x2- 2x + 1 =- x+1
2+ 2，
∴顶点坐标为：-1,2
；
同理：∵所有的顶点m,n
也组成一条新的抛物线，设为ym，
∴ym =-x2- 2x =- x+1
2+ 1，
∴顶点坐标为：-1,1
；
∴距离为：2 - 1 = 1．
【点睛】本题主要考查了新定义下的二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
6. 如图，抛物线L:y = x2 - 4x + 3 上的点A，B，C，D 分别关于直线y = 1 的对称点为A，B，C，D，分
别关于点P 0,1
中心对称的点为A，B，C，D，如下表：
⋯
A 0,3
B 1,0
C 2,-1
D 3,0
⋯
⋯
A
0,-1
B1,2
C2,3
D3,2
⋯
A
0,-1
B
-1,2
C
____,____
D-3,2
(1) ①补全表格；
②在下图中，描出表格中的点A，B，C，D，再用平滑的曲线依次连接各点得到的图象记为L1；描出
表格中的点A，B，C，D，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L2．
形成新定义：直线y = m 与y 轴交于点P 0,m
，我们把抛物线L 关于直线y = m 的对称抛物线L1，叫
作抛物线L 的“共线抛物线”；把抛物线L 关于点P 0,m
中心对称的抛物线L2，叫作抛物线L 的“共
点抛物线”．
问题探究
(2) ①若抛物线L 与它的“共点抛物线”L2的函数值都随着x 的增大而减小，求x 的取值范围；
②若直线y = m 与抛物线L、
“共线抛物线”L1，
“共点抛物线”L2有且只有四个交点，求m 的取值范
围．
③已知抛物线L：y = ax2- 2ax + a + 3 的“共线抛物线”L1的解析式为y =- 1
2 x2+ kx - 1
2 k2- 5．
请写出抛物线L 的“共点抛物线”L2的解析式．
10
【答案】(1) ①-2，3；②见解析；(2) ①-2 ≤x ≤2；②m >-1 且m ≠3；③y =- 1
2 x2+ x - 11
2
【知识点】其他问题(二次函数综合)、成中心对称、y = ax2+ bx + c 的图象与性质、把y = ax2+ bx + c 化成
顶点式
【分析】(1) ①根据题意，利用中点坐标公式求出C的坐标即可；
②通过描点连线，画出L1和L2的图象即可；
(2) ①观察图象，即可得到答案；
②先求出抛物线L 的顶点坐标，然后分四种情况讨论即可；
③根据抛物线中a
保持不变，利用抛物线L1的解析式，得到抛物线L1的顶点坐标k,-5
和a 的值，进而
求出抛物线L 的解析式，得到抛物线L 的顶点坐标1,3
，再利用轴对称和中心对称的性质，求出m =-1，
抛物线L2的顶点坐标-1,-5
，然后根据抛物线L2解析式中的a 值与抛物线L1中的a 值相同，即可求出
抛物线L2的解析式．
【详解】解：(1) ①由题意可知，C 2,-1
和点C关于点P 0,1
中心对称，
∴点P 0,1
是CC的中点，
设Cm,n
，
∴
2+m
2
, -1+n
2
= 0,1
，
∴m =-2，n = 3，
∴C-2,3
，
故答案为：-2，3；
②通过描点连接，L1和L2的图象如下：
(2) ①由图象可知，当x ≤2 时，抛物线L 的函数值随着x 的增大而减小，
当x ≥-2 时，抛物线L2的函数值随着x 的增大而减小，
∴若抛物线L 与它的“共点抛物线”L2的函数值都随着x 的增大而减小，x 的取值范围为-2 ≤x ≤2；
②∵抛物线L:y = x2- 4x + 3 = x-2
2- 1，
∴抛物线L 的顶点坐标为2,-1
，
如图1，当m <-1 时，直线y = m 与抛物线L、
“共线抛物线”L1，
“共点抛物线”L2没有交点，
11
如图2，当m =-1 时，直线y = m 与抛物线L、
“共线抛物线”L1，
“共点抛物线”L2有且只有两个交点，
如图3，当m >-1 时，直线y = m 与抛物线L、
“共线抛物线”L1，
“共点抛物线”L2有且只有四个交点，
当m = 3 时，直线y = m 与抛物线L、
“共线抛物线”L1 ，
“共点抛物线”L2有且只有三个交点，
12
∴若直线y = m 与抛物线L、
“共线抛物线”L1，
“共点抛物线”L2有且只有四个交点，m 的值为m >-1 且
m ≠3；
③由题意可知，抛物线中a
保持不变，
∵L1的解析式为y =- 1
2 x2+ kx - 1
2 k2- 5 =- 1
2
x-k
2- 5，
∴L1的顶点坐标为k,-5
，抛物线L 的解析式中的a = 1
2 ，
将a = 1
2 代入抛物线L：y = ax2- 2ax + a + 3，得：y = 1
2 x2- x + 1
2 + 3 = 1
2
x-1
2+ 3，
∴抛物线L 的顶点坐标为1,3
，
∵抛物线L1的顶点和抛物线L 的顶点关于点y = m 对称，
∴m = -5+3
2
=-1，
∵抛物线L2的顶点和抛物线L 的顶点1,3
关于点P 0,m
中心对称，
∴抛物线L2的顶点坐标为-1,2m-3
，
∵m =-1，
∴抛物线L2的顶点坐标为-1,-5
，
∵抛物线L2解析式中的a 值与抛物线L1中的a 值相同，
∴抛物线L2的解析式为y =- 1
2
x+1
2- 5 =- 1
2 x2- x - 11
2 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，抛物线上点的坐标特征，抛物线顶点坐标，
中心对称的点的特征，中点坐标公式等知识，属于阅读型题目，理解题干中的新定义并灵活运用是解题关
键．
7. (24 - 25 九年级上·辽宁铁岭·期末) 阅读以下材料，并解决相应问题：
定义：如果二次函数y = a1x2+ b1x + c1(a1≠0，a1，b1，c1是常数) 与y = a2x2+ b2x + c2(a2≠0，a2，b2，
c2是常数) 满足a1+ a2= 1，c1= c2且对称轴相同的二次函数互为“友好对称二次函数”．例如：y =
2x2+ 4x - 3 的“友好对称二次函数”为y =-x2- 2x - 3．
13
(1)y =- 2
3 x2的“友好对称二次函数”为
，y =-x2+ 2x + 3 的“友好对称二次函数”为
；
(2) 关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是
；(填序号)
①二次项系数为1 的二次函数没有“友好对称二次函数”；
②二次项系数为1
2 的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；
③y = ax2- 2ax + 3 a≠1
的“友好对称二次函数”为y = 1-a
x2- 2 1-a
x + 3；
④任意两个“友好对称二次函数”与y 轴一定有交点，与x 轴至少有一个二次函数有交点．
(3) 如图，二次函数L1:y = ax2- 4ax + 1 a≠1
与其“友好对称二次函数”L2都与y 轴交于点A，点B，
C 分别在L1，L2上，点B，C 的横坐标均为m 0<m<2
，它们关于L1的对称轴的对称点分别为点B，
C，连接BB，BC，CC，CB．若m = 1，且四边形BBCC 的邻边之比为1:2，直接写出a 的值．
【答案】(1)y = 5
3 x2，y = 2x2- 4x + 3
(2) ①②③
(3) 1
3 或2
3 或- 1
6 或7
6
【知识点】y = ax2+ bx + c 的图象与性质、抛物线与x 轴的交点问题
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式，正确理解“友好对称二次函数”的定
义，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
(1) 根据“友好对称二次函数”的定义分别求出二次项系数、常数项和对称轴，再根据二次函数的对称轴公
式求出一次项系数，由此即可得；
(2) 根据“友好对称二次函数”的定义即可判断①②③正确；举例二次函数y = 1
2 x2+ x + 1，根据一元二次
方程根的判别式可得其函数图象与x 轴没有交点，由此即可判断④错误；
(3) 先根据“友好对称二次函数”的定义可求出二次函数L2的解析式，再分别求出点B,C,B,C的坐标，从
而可得BC,BB的长，然后根据四边形BBCC 的邻边之比为1:2 建立方程，解方程即可得．
【详解】(1) 解：由题意得：y =- 2
3 x2的“友好对称二次函数”的二次项系数为1 - - 2
3
= 5
3 ，常数项为0，
对称轴也为直线x = 0，
所以y =- 2
3 x2的“友好对称二次函数”为y = 5
3 x2；
二次函数y =-x2+ 2x + 3 =- x-1
2+ 4 的对称轴为直线x = 1，
则二次函数y =-x2+ 2x + 3 的“友好对称二次函数”的二次项系数为1 - -1
= 2，常数项为3，对称轴也
为直线x = 1，
14
设二次函数y =-x2+ 2x + 3 的“友好对称二次函数”的一次项系数为m0，
所以- m0
2×2 = 1，解得m0=-4，
所以y =-x2+ 2x + 3 的“友好对称二次函数”为y = 2x2- 4x + 3，
故答案为：y = 5
3 x2，y = 2x2- 4x + 3．
(2) 解：∵1 - 1 = 0，
∴二次项系数为1 的二次函数没有“友好对称二次函数”，则结论①正确；
∵1 - 1
2 = 1
2 ，互为“友好对称二次函数”的两个二次函数的常数项相同，对称轴也相同，
∴此时这两个二次函数的一次项系数也相同，
∴二次项系数为1
2 的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身，则结论②正确；
y = ax2- 2ax + 3 a≠1
的对称轴为直线x =- -2a
2a
= 1，
则y = ax2- 2ax + 3 a≠1
的“友好对称二次函数”的二次项系数为1-a
，常数项为3，对称轴为直线x =
1，
设y = ax2- 2ax + 3 a≠1
的“友好对称二次函数”的一次项系数为m1，
则-
m1
2 1-a
= 1，解得m1=-2 1-a
，
∴y = ax2- 2ax + 3 a≠1
的“友好对称二次函数”为y = 1-a
x2- 2 1-a
x + 3，则结论③正确；
若二次函数为y = 1
2 x2+ x + 1，则其“友好对称二次函数”为y = 1
2 x2+ x + 1，
∵方程1
2 x2+ x + 1 = 0 的根的判别式为Δ = 12- 4 × 1
2 × 1 =-1 < 0 没有实数根，
∴二次函数y = 1
2 x2+ x + 1 的图象与x 轴没有交点，则结论④错误；
综上，结论正确的是①②③，
故答案为：①②③．
(3) 解：∵二次函数L1:y = ax2- 4ax + 1 a≠1
的对称轴为直线x =- -4a
2a
= 2，
∴其“友好对称二次函数”L2的二次项系数为1-a
，常数项为1，对称轴为直线x = 2，
设二次函数L2的一次项系数为m2，
∴-
m2
2 1-a
= 2，解得m2=-4 1-a
，
∴二次函数L2的解析式为y = 1-a
x2- 4 1-a
x + 1，
将m = 1 代入二次函数L1得：y = a - 4a + 1 =-3a + 1，
将m = 1 代入二次函数L2得：y = 1-a
- 4 1-a
+ 1 = 3a - 2，
∴B 1,-3a+1
，C 1,3a-2
，
∵点B,C 关于直线x = 2 的对称点分别为B，C，
∴B2×2-1,-3a+1
，C2×2-1,3a-2
，即B3,-3a+1
，C3,3a-2
，
∴BC = 3a-2- -3a+1
= 6a-3
，BB= 3 - 1 = 2，
∵四边形BBCC 的邻边之比为1:2，
∴BC = 2BB或BB= 2BC，
∴6a-3
= 2 × 2 或2 6a-3
= 2，
解得a = 7
6 或a =- 1
6 或a = 2
3 或a = 1
3 ，
15
所以a 的值为1
3 或2
3 或- 1
6 或7
6 ．
题型二
新定义型二次函数之特殊形状问题
8. 定义：由两条与x 轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．
【概念理解】
(1) 抛物线y1= 2 x-1
x-2
与抛物线y2= x2- 3x + 2 是否围成“月牙线”？说明理由．
【尝试应用】
(2) 抛物线y1= 1
2 (x - 1)2- 2 与抛物线y2= ax2+ bx + c a> 1
2
组成一个如图所示的“月牙线”，与
x 轴有相同的交点M ，N(点M 在点N 的左侧)，与y 轴的交点分别为A,B．
①求a:b:c 的值．
②已知点P x0,m
和点Q x0,n
在“月牙线”上，m > n，且m - n 的值始终不大于2，求线段AB 长的
取值范围．
【答案】(1) 抛物线y1= 2(x - 1) (x - 2) 与抛物线y2= x2- 3x + 2 围成“月牙线”；(2) ①a:b:c 的值为1:(-2):
(-3)；②线段AB 长的取值范围是0 < AB ≤3
2 ．
【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解
“月牙线”的概念．
(1) 求出两抛物线与x 轴的交点坐标，根据抛物线的开口方向相同，即可知抛物线y1= 2(x - 1) (x - 2) 与抛
物线y2= x2- 3x + 2 围成“月牙线”；
(2) ①求出抛物线y1= 1
2 (x - 1)2- 2 与x 轴交点为(3,0) 和(-1,0)，代入y2= ax2+ bx + c 求得b=-2a
c=-3a
，
据此求解即可；
②先求得两抛物线的顶点坐标，再根据m - n 的值始终不大于2，有
4×
1
2 -a
⋅3a- 3
2
-(2a-1)2
4×
1
2 -a
≤2，
即解得1
2 ≤a ≤1，而A 0,- 3
2
，B(0, -3a)；故AB =- 3
2 - (-3a) = 3a - 3
2 ，从而可得线段AB 长的取
值范围是0 < AB ≤3
2 ．
【详解】解：(1) 抛物线y1= 2(x - 1) (x - 2) 与抛物线y2= x2- 3x + 2 围成“月牙线”；理由如下：
在y1= 2(x - 1) (x - 2) 中，令y = 0 得x = 1 或x = 2，
16
∴抛物线y1= 2(x - 1) (x - 2) 与x 轴的交点为(1,0) 和(2,0)；
在y2= x2- 3x + 2 中，令y = 0 得x = 1 或x = 2，
∴抛物线y2= x2- 3x + 2 与x 轴交点为(1,0) 和(2,0)，
∴抛物线y1= 2(x - 1) (x - 2) 与抛物线y2= x2- 3x + 2 与x 轴有相同的交点，
又抛物线y1= 2(x - 1) (x - 2) 与抛物线y2= x2- 3x + 2 开口方向相同，
∴抛物线y1= 2(x - 1) (x - 2) 与抛物线y2= x2- 3x + 2 围成“月牙线”；
(2) ①在y1= 1
2 (x - 1)2- 2 中，令y = 0 得x = 3 或x =-1，
∴抛物线y1= 1
2 (x - 1)2- 2 与x 轴交点为(3,0) 和(-1,0)，
把(3,0) 和(-1,0) 代入y2= ax2+ bx + c 得：
9a+3b+c=0
a-b+c=0
，
解得b=-2a
c=-3a
，
∴a:b:c = a:(-2a):(-3a) = 1:(-2):(-3)；
∴a:b:c 的值为1:(-2):(-3)；
②由①知，y2= ax2- 2ax - 3a = a(x - 1)2- 4a，
∴抛物线y2= ax2- 2ax - 3a 的顶点为(1, -4a)，
∵抛物线y1= 1
2 (x - 1)2- 2 的顶点为(1, -2)，a > 1
2 ，
∴-4a <-2，
∴抛物线y1= 1
2 (x - 1)2- 2 在抛物线y2= ax2- 2ax - 3a 上方；
∴m = 1
2 (x0- 1)2- 2，n = ax2
0- 2ax0- 3a，
∴m - n = 1
2 (x0- 1)2- 2 - (ax2
0- 2ax0- 3a) =
1
2 -a
x2
0+ (2a - 1)x0+ 3a - 3
2 ，
∵m - n 的值始终不大于2，
∴
4×
1
2 -a
⋅3a- 3
2
-(2a-1)2
4×
1
2 -a
≤2，
整理得：2a2- 3a + 1 ≤0，
解得1
2 ≤a ≤1，
∵a > 1
2 ，
∴1
2 < a ≤1；
在y1= 1
2 (x - 1)2- 2 中，令x = 0 得y =- 3
2 ，
∴A 0,- 3
2
，
在y2= ax2- 2ax - 3a 中，令x = 0 得y =-3a，
∴B(0, -3a)；
∴AB =- 3
2 - (-3a) = 3a - 3
2 ，
∵1
2 < a ≤1；
17
∴0 < 3a - 3
2 ≤3
2 ，
∴线段AB 长的取值范围是0 < AB ≤3
2 ．
1. 拆解新定义：明确“特殊形状”的几何特征(如抛物线与坐标轴围成等腰梯形、顶点与交点构成等
边三角形等)，标注关键条件(边长、角度、对称关系)。
2. 坐标代数化：设二次函数为y = ax2 + bx + c，求顶点、与坐标轴交点坐标，用距离公式、斜率表
示形状边/ 角关系(如|AB| = |BC|、kABkBC = -1)。
3. 分类讨论建模：按形状顶点位置或边的对应关系分情况，列方程(组) 求解(如等腰三角形分顶角
在顶点或底边)，注意判别式与定义域限制。
4. 图形验证：代入解验证是否满足形状定义，舍去退化解(如三点共线的三角形)，结合图像判断参
数合理性。
9. 二次函数y = x2- 2mx 的图象交x 轴于原点O 及点A．
感知特例
(1) 当m = 1 时，如图1，抛物线L:y = x2- 2x 上的点B，O，C，A，D 分别关于点A 中心对称的点为
B，O，C，A，D，如下表：
⋯
B -1,3
O 0,0
C 1,-1
A(___，___)
D 3,3
⋯
⋯
B5,-3
O4,0
C3,1
A2,0
D1,-3
⋯
①补全表格；
②在图1 中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L．
形成概念
我们发现形如(1) 中的图象L上的点和抛物线L 上的点关于点A 中心对称，则称L是L 的“孔像抛物
线”．例如，当m =-2 时，图2 中的抛物线L是抛物线L 的“孔像抛物线”．
探究问题
(2) ①当m =-1 时，若抛物线L 与它的“孔像抛物线”L的函数值都随着x 的增大而减小，则x 的取值
范围为
；
18
②在同一平面直角坐标系中，当m 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y = x2-
2mx 的所有“孔像抛物线”L，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是
．(填“y = ax2+ bx
+ c”或“y = ax2+ bx”或“y = ax2+ c”或“y = ax2”，其中abc ≠0)；
③若二次函数y = x2- 2mx 及它的“孔像抛物线”与直线y = m 有且只有三个交点，求m 的值．
【答案】(1) ①2，0；②见解析；(2) ①-3 ≤x ≤-1；②y = ax2；③m =±1．
【分析】(1) ①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；
(2) ①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②结合(1) ②的图象以及(2) ①的图象即可回答；③根据“孔
像抛物线”的性质求得图象L 的顶点为P m，-m2
，则图象L′ 的顶点为P(3m，m2)，再根据题意即可求
解．
【详解】(1) ∵点B(-1，3) 与点B′ (5，-3) 关于点A 中心对称，
∴点A 的坐标为
-1+5
2
，-3+3
2
，即A(2，0)，
故答案为：2，0；
②描点，连线，得到的图象如图所示：
(2) ①当m =-1 时，抛物线L 为y = x2+ 2x，对称轴为x =-1，
它的“孔像抛物线”L′ 的解析式为y =- x+2
x+4
，对称轴为x =- 2+4
2
=-3，
画出草图如图所示：
∴抛物线L 与它的“孔像抛物线”L′ 的函数值都随着x 的增大而减小，
则x 的取值范围为：-3 ≤x ≤-1；
②画出草图，
19
由图象知，这条抛物线的解析式只能是y = ax2；
故答案为：y = ax2；
③L：y = x2- 2mx = x-m
2- m2，设顶点为P m，-m2
，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，
“孔像抛物线”L
的顶点为P，过点P作PM ⊥x 轴于点M ，
由题意可知△PMA ≌△PM A，
得M (3m，0)，所以P(3m，m2)，
∵抛物线L 及“孔像抛物线”L与直线y = m 有且只有三个交点，
∴-m2= m 或m2= m，
解得m =±1 或0，
当m = 0 时，y = x2与y =-x2只有一个交点，不合题意，舍去，
∴m =±1．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次
函数的相关性质是解题的关键．
10. 定义：若直线y =-1 与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的
“反碟长”．如图，已知抛物线L1：y =-x2与直线y =-1 相交于P，Q．
(1) 抛物线L1的“反碟长”PQ =
．
20
(2) 抛物线随其顶点沿直线y = 1
2 x 向上平移，得到抛物线L2．
①当抛物线L1的顶点平移到点6,3
，抛物线L2的解析式是
．抛物线L2的“反碟长”是
．
②若抛物线L2的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是
．(填写所有正确的选项)
A. 15
B. 16
C. 24
D. 25
③当抛物线L2的顶点A 和抛物线L2与直线y =-1 的两个交点B，C 构成一个等边三角形时(点B 在
点C 左右)，求点A 的坐标．
【答案】(1)2
(2) ①y =- x-6
2+ 3；4；②AC；③4,2
【分析】(1) 根据定义，令-x2=-1，解方程即可求解；
(2) ①根据抛物线的平移，即可求解；令y =-1，解方程即可求解；
②由题意可设抛物线L2的顶点坐标为2m,m
m>0
，则抛物线L2的解析式为y =- x-2m
2+ m，令y
=-1，得出抛物线L2的“反碟长”为2 m+1 ，根据抛物线L2的“反碟长”是一个偶数，m+1 是整数，结合
选项即可求解；
③由②可知B - m+1+2m,-1
，C
m+1+2m,-1
，过点A 作AD ⊥BC 于点D，则AD = m + 1，
BD =
m+1 ，根据△ABC 是等边三角形，得出∠ABC = 60°，即m+1
m+1 =
3 ，解方程即可求解．
【详解】(1) 解：令-x2=-1，则x = 1 或x =-1，
∴PQ = 1 - -1
= 2．
(2) ①由题意抛物线L2的顶点坐标为6,3
∴由平移的性质可得抛物线L2的解析式为y =- x-6
2+ 3，
令- x-6
2+ 3 =-1，
解得：x = 8 或x = 4，
∴抛物线L2的“反碟长”为：8 - 4 = 4
②解：由题意可设抛物线L2的顶点坐标为2m,m
m>0
，
则抛物线L2的解析式为y =- x-2m
2+ m，
令- x-2m
2+ m =-1，
解得：x =
m+1 + 2m 或x =- m+1 + 2m，
∴抛物线L2的“反碟长”为2 m+1
∵抛物线L2的“反碟长”是一个偶数
∴
m+1 是整数
结合选项可知：当m = 15 或24 时符合题意，故A，C 正确．
③解：∵点A 在直线y = 1
2 x 上
∴可设A 2m,m
m>0
由②可知B - m+1+2m,-1
，C
m+1+2m,-1
∴BC =
m+1+2m
- - m+1+2m
= 2 m+1
过点A 作AD ⊥BC 于点D，
21
则AD = m + 1，BD =
m+1
∵△ABC 是等边三角形
∴∠ABC = 60°
∴tan∠ABC = AD
BD = m+1
m+1 =
3
解得：m = 2 或m =-1(不合题意，舍去)
∴点A 的坐标为4,2
【点睛】本题考查了新定义，二次函数与直线交点问题，等边三角形的性质，正切的定义，熟练掌握二次函数
的性质是解题的关键．
题型三
新定义型二次函数与其他函数的综合问题
11. (2025·湖南岳阳·模拟预测)【定义】在平面直角坐标系中，对于“积值”给出如下定义：点A(x,y) 是函数
图象上任意一点，横坐标x 与纵坐标y 的乘积xy 称为点A(x,y) 在函数图象上的“积值”；
【举例】已知点A(1,4) 在函数y = x + 3 的图象上，点A(1,4) 在函数y = x + 3 图象上的“积值”为xy =
1 × 4 = 4．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1) 已知点B 是函数y = 5
x 图象上任意一点，则点B 在该函数图象上的“积值”为
；
(2) 求点M(m, -3) 在函数y = x2+ 4x + 1 图象上的“积值”；
(3) 已知点P x0,y0
在函数y = 2x - b(b 为常数，且b > 4) 的图象上，当0 ≤x ≤1 时，点P 在函数y =
2x - b 图象上的“积值”的最小值为-3，求b 的值．
【答案】(1)5
(2)6
(3)b = 5
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、y = ax2+ bx + c 的图象与性质、根据反比例函数的定义求参数
【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．
(1) 运用反比例函数的性质以及积值的定义，得xByB = 5，即可作答．
(2) 依题意，把M(m, -3) 代入y = x2+ 4x + 1 得m =-2，再结合积值的定义，即可作答．
(3) 先表达出xy = x0y0= x0 2x0-b
= 2x0
2- bx0，运用二次函数的性质，得函数xy = 2x0
2- bx0开口向上，则
对称轴为x0=- -b
2×2 = b
4 ，再根据当0 ≤x ≤1 时，xy 随x 的增大而减小，即可作答．
22
【详解】(1) 解：∵点B 是函数y = 5
x 图象上任意一点，
∴xByB = 5，
∴点B 在该函数图象上的“积值”为5；
故答案为：5；
(2) 解：∵点M(m, -3) 在函数y = x2+ 4x + 1 图象上，
∴-3 = m2+ 4m + 1，
∴0 = m2+ 4m + 4 = m+2
2，
∴m =-2，
即M(-2, -3)，
∴-2 × -3
= 6，
则点M(-2, -3) 在函数y = x2+ 4x + 1 图象上的“积值”为6；
(3) 解：已知点P x0,y0
在函数y = 2x - b(b 为常数，且b > 4) 的图象上，
∴y0= 2x0- b
∵当0 ≤x ≤1 时，点P 在函数y = 2x - b 图象上的“积值”的最小值为-3，
∴xy = x0y0= x0 2x0-b
= 2x0
2- bx0，
∵2 > 0，
函数xy = 2x0
2- bx0开口向上，则对称轴为x0=- -b
2×2 = b
4 ，
∵b > 4，
∴b
4 > 1，
即当x0= b
4 时，xy 有最小值，且x0y0= 2 ×
b
4
2
- b × b
4 =- b2
8
∴当0 ≤x ≤1 时，xy 随x 的增大而减小，
∴x = 1 时，xy 有最小值，最小值为2 - b
∴2 - b =-3
即b = 5．
1. 吃透双定义：先明确二次函数新定义(如“联动函数”)，再分析其他函数(一次/ 反比例) 性质，
标注交点、增减性等关联点。
2. 联立方程求解：将两函数解析式联立，转化为一元二次方程(如ax2 + bx + c = kx + m)，用判别
式判断交点个数，或用韦达定理求参数关系。
3. 数形结合分析：画草图观察两函数位置(如二次函数顶点在反比例函数图象上)，结合新定义条
件(如“最低点纵坐标等于一次函数截距”) 列等式。
4. 分类讨论参数：若新定义含参数，分情况讨论参数对两函数交点、最值的影响，验根时兼顾定义
域与实际意义。
12. (2025·辽宁盘锦·模拟预测) 定义：若以函数y 图象上的点P 与平面内两个点A，B 为顶点构成的三角
形是等边三角形，则称P 是y 上关于A，B 的“等边点”．在平面直角坐标系中，已知A(0,3)，B(-1,
0)，C(3,0)．
23
(1) 正比例函数y1上存在关于B，C 的“等边点”，直接写出正比例函数y1的解析式；
(2) 点Q 是y 轴正半轴上一点，点P 是反比例函数y2上关于C，Q 的“等边点”，且PC ∥y 轴，求反比例
函数y2的解析式；
(3) 二次函数y3过点A，B，C，则y3的解析式为
；
①如图①，射线AK 交x 轴于点K，点A 是y3上关于M ，N 的“等边点”，其中M 在射线AK 上，N 在射
线AC 上，求点K 的坐标；
②如图②，点E 是第一象限内二次函数y3的对称轴上一动点，若点P 是y3上关于C，E 的等边点，直
接写出点P 的横坐标．
【答案】(1)y1= 2 3x 或y1=-2 3x；
(2)y2= 6 3
x
；
(3)y3=-x2+ 2x + 3；①K(3 3 - 6,0)；②-1 或3 -
3
3 ．
【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、其他问题(二
次函数综合)
【分析】本题考查二次函数综合题，通过新定义“等边点”确定解析式，正比例函数，等边三角形的性质，二次
函数图象上点的坐标特点等知识点，理解新定义和熟悉二次函数的性质是解题的关键．
(1) 根据图象和B、C 的坐标即可得解；
(2) 由题意得△PCQ 是等边三角形，PC ∥y 轴，通过解三角形的计算即可得到P 点坐标，即可得解；
(3)y3的解析式为：y3=-x2+ 2x + 3，①作KN ⊥AC 垂足为N ，通过勾股定理可得AC = 3 2 ，设AN = x，
KN =
3x，NC =
3x，求出x 的值即可得解；
②当B，P 重合时，过C 作QC ⊥CE，交EP 延长线于点Q，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G，证明△EHC ∽
△CGQ，设E(1,t)，可求得Q(3 +
3t,2 3)，P 4+
3t
2
, 2 3+t
2
，将P 代入y =-x2+ 2x + 3，即可得解．
【详解】(1) 解：∵B(-1,0)，C(3,0)，
BC = -1
+ 3 = 4，
BC 边上的高为：42-22 = 2 3 ，
∴P 点的纵坐标为：±2 3 ，
∵点P 的横坐标为-1+3
2
= 1，
设正比例函数y1的解析式为y1= kx，
∴k =±2 3
∴y1= 2 3x 或y1=-2 3x；
(2) 解：如图所示，由题意得△PCQ 是等边三角形，PC ∥y 轴，
24
∴∠2 = 60°，∠1 = 30°，
Rt△OCQ 中，
OQ = OCtan30° = 3 ×
3
3
=
3 ，
PC = CQ =
OQ
sin30° = 2OQ = 2 3 ，
P 3,2 3
，
设y2= k
x k≠0
，
将P 3,2 3
代入，
解得，k = 6 3 ，
y2的解析式为y2= 6 3
x
；
(3) 解：∵抛物线过B(-1,0)，C(3,0)，
∴设抛物线的解析式为y3= a x+1
x-3
，
代入A(0,3)，得a =-1，
∴抛物线的解析式为y3=- x+1
x-3
=-x2+ 2x + 3；
①作KN ⊥AC 垂足为N ，如图所示，
由题意得∠KAC = 60°，
∵A 0,3
，C 3,0
，
∴OA = OC = 3，∠ACK = 45°，
∴AC =
OC2+OA2 =
32+32 = 3 2 ，
设AN = x，KN =
3x，NC =
3x，
则AC =
3x + x = 3 2 ，
解得，x = 3 6-3 2
2
，
CK =
2•KN =
6x = 18-6 3
2
= 9 - 3 3 ，
xk= 3 - 9-3 3
= 3 3 - 6，
∴K 3 3-6,0
；
②如图所示，当B，P 重合时，xp =-1，显然符合题意；
25
如图所示，过C 作QC ⊥CE，交EP 延长线于点Q，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G，
∵QC ⊥CE，
∴∠ECQ = 90°，
∴∠ECH + QCG = 90°，
∵∠ECH + ∠CEH = 90°，
∴∠CEH = ∠QCG，
∵QG ⊥x，
∴∠EHC = ∠CGQ，
∴△EHC ∽△CGQ，
∴EH
CG = HC
QG = EC
CQ ，
设E(1,t)，
∵点P 是y3上关于C，E 的等边点，
∴CP = PE = EC，∠PEC = 60°，
∴∠PQC = 30°，
∴EC:CQ = tan30° = 1: 3 ，
∴EH
CG = HC
QG = EC
CQ =
1
3 ，
∴CG =
3EH =
3t,QG =
3CH = 2 3
∴Q(3 +
3t,2 3)，
∵∠PQC = 30°，
∴CE = 1
2 EQ = PE = PQ，即P 是EQ 中点，
∴P 4+
3t
2
, 2 3+t
2
，
将P 代入y =-x2+ 2x + 3，
解得t1=-2 3(舍)，t2= 2 3-2
3
，
∴xp = 3 -
3
3 ，
综上，P 的横坐标为：-1 或3 -
3
3 ．
26
13. (2024·浙江湖州·一模) 定义：对于y 关于x 的函数，函数在x1 ≤x ≤x2 x1<x2
范围内的最大值，记作
M x1,x2
如函数y = 2x，在-1 ≤x ≤3 范围内，该函数的最大值是6，即，M -1,3
= 6．
请根据以上信息，完成以下问题：
已知函数y = a-1
x2- 4x + a2- 1(a 为常数)
(1) 若a = 2．
①直接写出该函数的表达式，并求M 1,4
的值；
②已知M p, 5
2
= 3，求p 的值．
(2) 若该函数的图象经过点0,0
，且M -3,k
= k，求k 的值．
【答案】(1) ①M 1,4
= 3；②p = 0
(2)k 的值是12，- 5
2 或2
【分析】本题考查了二次函数与正比例函数的图形与性质，根据二次函数的对称轴，a 的正负判断出二次函
数开口方向，找到最大值是解答本题的关键．
(1) ①先求出二次函数解析式，根据二次函数对称轴，开口方向即可找到范围内的最大值，进而得出结果；
②根据二次函数对称轴，开口方向即可知当x = 5
2 时，y =- 3
4 < 3，即可求出p 值；
(2) 根据函数图象经过点0,0
，得到a =±1，分两种情况分别求解即可．
【详解】(1) 解：①∵a = 2，
∴y = x2- 4x + 3．
∵该函数的图象对称轴为直线x = 2，且开口向上，
∴在1 ≤x ≤4 范围内，当x = 4 时，y 有最大值，
当x = 4 时，y = 3，即M 1,4
= 3．
②∵M p, 5
2
= 3，该函数的图象对称轴为直线x = 2，且开口向上，
又∵当x = 5
2 时，y =- 3
4 < 3，
∴p2- 4p + 3 = 3，解得p1= 0，p2= 4．
∵p < 5
2 ，
∴p = 0；
(2) ∵函数图象经过点0,0
，
∴a2- 1 = 0，即a =±1，
当a = 1，函数y =-4x 为正比例函数，y 随x 的增大而减小，
∵M -3,k
= k，
∴-4 × (-3) = k，即k = 12；
当a =-1 时，函数y =-2x2- 4x 为二次函数，函数图象开口向下，对称轴为直线x =-1．当x ≤-1 时，y
随x 的增大而增大；当x ≥-1 时，y 随x 的增大而减小．
∵M -3,k
= k，
若-3 < k <-1，则-2k2- 4k = k，解得k1= 0，k2=- 5
2 ，
∴k =- 5
2 ；
27
若k ≥-1，则-2 × (-1)2- 4 × (-1) = k，解得k = 2，
∴k = 2；
综上所述，k 的值是12，- 5
2 或2．
题型四
新定义型二次函数与几何图形的综合问题
14. (2024·上海虹口·二模) 新定义：已知抛物线y = ax2 + bx + c(其中abc ≠0)，我们把抛物线y = cx2 + ax
+ b 称为y = ax2 + bx + c 的“轮换抛物线”．例如：抛物线y = 2x2 + 3x + 1 的“轮换抛物线”为y = x2
+ 2x + 3．
已知抛物线C1：y = 4mx2+ 4m-5
x + m 的“轮换抛物线”为C2，抛物线C1、C2与y 轴分别交于点
E、F，点E 在点F 的上方，抛物线C2的顶点为P．
(1) 如果点E 的坐标为0,1
，求抛物线C2的表达式；
(2) 设抛物线C2的对称轴与直线y = 3x + 8 相交于点Q，如果四边形PQEF 为平行四边形，求点E 的
坐标；
(3) 已知点M -4,n
在抛物线C2上，点N 坐标为-2,-7 1
2
，当△PMN 与△PEF 相似时，求m 的
值．
【答案】(1)y = x2+ 4x - 1
(2)E 0,- 2
3
(3) 5
6 或-1 或17
32
【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、y = ax2+ bx + c 的图象与性质、待
定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查的是二次函数综合题，重点考查二次函数的性质、平行四边形性质及相似三角形性质，
(1) 将点E 0,1
代入表达式，求出m 的值，根据“轮换抛物线”定义写出即可；
(2) 根据轮换抛物线定义得出抛物线C2表达式及点E、F 坐标，并求出P、Q 坐标，根据平行四边形性质得
出PQ = EF 列方程并解出m 值，进而解决问题；
(3) 求出M -4,4m-5
，由点M、F 关于x =-2 对称，x =-2 平行于y 轴，得到∠MPN = ∠PFE，根据
△PMN 和△PEF 相似，分△PMN ∽△FPE，△PMN ∽△FEP 两种情况讨论即可．
【详解】(1) 解：抛物线C1：y = 4mx2+ 4m-5
x + m 与y 轴交于点E 坐标为0,1
，
当x = 0，y = 1 代入，得m = 1，
∴4m - 5 =-1，
∴抛物线C1表达式为y = 4x2- x + 1，
∴抛物线C1的“轮换抛物线”为C2表达式为y = x2+ 4x - 1；
28
(2) 解：抛物线C1：y = 4mx2+ 4m-5
x + m，
当x = 0 时，y = m，即与y 轴交点为E 0,m
，
∵抛物线C1：y = 4mx2+ 4m-5
x + m 的“轮换抛物线”为C2，
∴抛物线C2表达式为y = mx2+ 4mx + 4m-5
，
同理抛物线C2与y 轴交点为F 0,4m-5
，
抛物线C2对称轴为直线x =- 4m
2m =-2，
当x =-2 时，y =-5，
∴抛物线C2的顶点坐标为P -2，-5
，
当x =-2 时，y = 3x + 8 = 2，
∴抛物线C2的对称轴与直线y = 3x + 8 交点Q -2,2
，
∵点E 在点F 的上方，
∴m > 4m - 5，
解得：m < 5
3 ，
∴EF = m - 4m-5
= 5 - 3m，
∵四边形PQEF 为平行四边形，
∴PQ = EF，即2 - -5
= 5 - 3m，
解得：m =- 2
3 ，
∴E 0,- 2
3
；
(3) 解：由(2) 知
C1：y = 4mx2+ 4m-5
x + m，C2：y = mx2+ 4mx + 4m-5
，P -2，-5
，E 0,m
，F 0,4m-5
，m <
5
3 ，
∵点M -4,n
在抛物线C2上，
∴n = 16m - 16m + 4m-5
= 4m - 5 即M -4,4m-5
，
如图，
∵点M、F 关于x =-2 对称，
∴∠MPN = ∠FPN ，
又∵x =-2 平行于y 轴，
∴∠FPN = ∠PFE，
∴∠MPN = ∠PFE，
29
∵△PMN 和△PEF 相似，
∴有两种可能：
情形1：△PMN ∽△FPE，
∴PM
PF = PN
EF ，
∵PF = PM =
16m2+4 ，EF =-3m + 5,PN = 5
2 ，
∴
16m2+4
16m2+4
=
5
2
-3m+5 ，
解得：m = 5
6 < 5
3 (符合题意)；
情形2：△PMN ∽△FEP，
∴PM
EF = PN
PF ，
∵PM = PF =
16m2+4 ，EF =-3m + 5,PN = 5
2 ，
∴
16m2+4
-3m+5
=
5
2
16m2+4
，
解得：m =-1 < 5
3 (符合题意) 或m = 17
32 < 5
3 (符合题意)，
综上，当△PMN 与△PEF 相似时，m 的值为5
6 或-1 或17
32 ．
1. 译定义条件：将新定义(如“抛物线与三角形构成‘关联图形'”) 转化为坐标关系，例：顶点在三
角形某边上，或与边交点满足特定距离。
2. 建函数与几何桥梁：用二次函数解析式表示几何图形顶点/ 交点坐标，结合全等/ 相似、面积公
式等列方程(如用距离公式表示边长相等)。
3. 分情况讨论：按几何图形位置(如顶点在左/ 右侧) 或新定义多情形分类，避免漏解。
4. 验图形逻辑：代入解验证是否符合几何图形完整性(如三角形不共线、抛物线不与边重合)，结合
图像舍去矛盾解。
15. (24 - 25 九年级上·上海浦东新·阶段练习) 新定义：对于抛物线y = ax2 + bx + c，若b2 = ac，则称该抛
物线是黄金抛物线，若抛物线y = x2- 2x + m 是黄金抛物线，与y 轴交于点A，顶点为D．
30
(1) 求：此黄金抛物线的表达式及D 点坐标；
(2) 点B 2,k
在这个黄金抛物线上．
①点C c,- 1
2
在这个黄金抛物线的对称轴上，求：∠OBC 的正切值．
②在射线AB 上找一点P，使以点P、A、D 所组成的三角形与△AOD 相似，求：P 点坐标．
【答案】(1)y = x2- 2x + 4，D 1,3
(2) ①1
4 ；②
1
2 ,4
或4,4
．
【知识点】y = a(x - h)2+ k 的图象和性质、求角的正切值、角度问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二
次函数综合)
【分析】(1) 根据黄金抛物线的定义，列出方程求出m 值，进而求出顶点D 的坐标即可；
(2) ①将点B 2,k
代入解析式，求出k 的值，求出对称轴，得到c 的值，进而求出OB,OC,BC 的长，勾股定
理逆定理，得到∠BOC = 90°，利用正切的定义，求解即可；②分△AOD ∽△ADP 和△AOD ∽△APD，两种
情况进行讨论求解即可．
【详解】(1) 解：∵抛物线y = x2- 2x + m 是黄金抛物线，
∴-2
2= 1 × m
∴m = 4，
∴抛物线的表达式为y = x2- 2x + 4，
配方得：y = x-1
2+ 3，
∴点D 的坐标为1,3
；
(2) 解：①由(1) 得：抛物线y = x2- 2x + 4 的对称轴是直线x = 1，
∴点C 的坐标为1,- 1
2
，
∵点B 2,k
在这个黄金抛物线y = x2- 2x + 4 上，
∴4 - 4 + 4 = k，
∴k = 4，
∴点B 的坐标为2,4
，
∵点C c,- 1
2
在这个黄金抛物线的对称轴上，
∴c = 1，
31
∴OC =
1-0
2+ - 1
2 -0
2
=
5
4 =
5
2 ，
OB =
2-0
2+ 4-0
2 =
20 = 2 5 ，
BC =
1-2
2+ - 1
2 -4
2
=
85
4 =
85
2
，
∴OC2+ OB2= BC2，
∴∠BOC = 90°，
∴tan∠OBC = OC
OB = 1
4 ．
②存在，
过点D 作DH ⊥OA，垂足为H
∵抛物线y = x2- 2x + 4 与y 轴交于点A，
∴点A 的坐标为0,4
，
∵点B 的坐标为2,4
，
∴AB ⊥OA，
∴∠BAO = 90°，
∵点D 的坐标为1,3
，
∴AH = HD = 1，
∴∠OAD = 45°，
∴∠DAP = 45°，
∴∠OAD = ∠DAP，
要使以点P、A、D 所组成的三角形与△AOD 相似，有两种情况
第一种：∠ADO = ∠APD，
∵∠OAD = ∠DAP，
∴△ODA ∽△DPA，
∴AD
AP = AO
AD ，
∴AD2= AP ⋅AO，
∵AD =
2 ，AO = 4，
∴AP = 1
2 ，
∵点P 在射线AB 上，
32
∴点P 的坐标为
1
2 ,4
；
第二种：∠ADO = ∠ADP，则△AOD ∽△APD，
又AD = AD，∠ODA = ∠DAP，
∴△AOD 与△APD 全等，相似比为1，
∴AP= OA = 4，
∴点P的坐标为4,4
；
综上，点P 的坐标为
1
2 ,4
或4,4
．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质．利用数形结合，分类讨论的思想，进行
求解，是解题的关键．
16. 新定义：关于x 轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”．
(1) 求：抛物线y =- 1
2 x2+ x + 1 的“同轴对称抛物线”．
(2) 如图，在平面直角坐标系中，点B 是抛物线L:y = ax2- 4ax + 1 上一点，点B 的横坐标为1，过点B
作x 轴的垂线，交抛物线L 的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C 关于抛物线对称轴对称的点
B、C．
①当四边形BBCC 为正方形时，求：a 的值．
②在①的条件下，抛物线L 的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数y = x - 1 相交于点M 和点N(其
中M 在N 的左边)，将抛物线L 的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线L与一次函数y
= x - 1 相交于点P 和点Q(其中P 在Q 的左边)，满足PM + QN = MN ，试在抛物线L上有且仅有三
个点R1，R2，R3，使得△MNR1，△MNR2，△MNR3的面积均为定值S，请直接写出：R1，R2，R3的坐标．
【答案】(1)y = 1
2
x-1
2- 3
2
(2) ①a = 2
3 ；②
5
4 , 53
12
，5+10 2
4
, -47+30 2
12
，5-10 2
4
, -47-30 2
12
【知识点】二次函数图象的平移、y = ax2+ bx + c 的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二
次函数综合)
【分析】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象及性质、正方形的性质、不等式等知识点，解题
的关键是根批题意画出图形，利用数形结合的思想解题，考查计算能力，属于难题．
(1) 求出函数的顶点1, 3
2
，由“同轴对称抛物线”的定义，求出它的顶点为1,- 3
2
，即可求解析式；
(2) ①由题意可求点B，C，B，C的坐标，再由正方形的性质可得2 - 6a = 2 或6a - 2 = 2，求出a 即可；
②根据有且仅有三个点R1，R2，R3使得△MNR1，△MNR2，△MNR3的面积均为定值S，求得切点R1的坐
标，根据一次函数的平移求得另外两个点的坐标．
33
【详解】(1) 解：∵y =- 1
2 x2+ x + 1 =- 1
2 (x - 1)2+ 3
2 ，
∴“同轴对称抛物线”的顶点坐标为1,- 3
2
，
∴y = 1
2 (x - 1)2- 3
2 ；
(2) 解：①由题可知，B(1,1 - 3a)，
∴C(1,3a - 1)，
∵抛物线y = ax2- 4ax + 1 的对称轴为x = 2，
∴B(3,1 - 3a)，C(3,3a - 1)，
∴BB= CC= 2，
∴BC = 2 - 6a 或BC = 6a - 2，
∴2 - 6a = 2 或6a - 2 = 2，
∴a = 0(舍去) 或a = 2
3 ；
②由题意得，L 的“同轴对称抛物线”的表达式为：y =- 2
3 x2+ 8
3 x - 1，
设抛物线向上平移了t 个单位符合题设条件，则L:y =- 2
3 x2+ 8
3 x - 1 + t，
联立y =- 2
3 x2+ 8
3 x - 1 和y = x - 1 得：- 2
3 x2+ 8
3 x - 1 = x - 1，
解得：x = 0 或5
2 ，
即xN - xM = 5
2 ，
联立y =- 2
3 x2+ 8
3 x - 1 + t 和y = x - 1 得：- 2
3 x2+ 8
3 x - 1 + t = x - 1，
则xP + xQ = 5
2 ，xP ⋅xQ =- 3t
2 ，
则(xQ - xP)2= (xQ + xP)2- 4xPxQ = 25
4 + 6t，
∵PM + QN = MN ，
∴PQ = PM + QN + MN = 2MN ，
∵直线y = x - 1 和x 轴的夹角为45°，
则PQ =
2(xQ - xP)，MN =
2(xN - xM)，
而PQ = 2MN ，
则(xQ - xP)2= 4(xN - xM)2，
即25
4 + 6t = 4 × 25
4 ，
解得：t = 25
8 ，
则L:y =- 2
3 x2+ 8
3 x + 17
8 ①；
设直线y = x - 1 交y 轴于点K(0, -1) (即点M)，在x 轴上方取点T，
过点T 作直线TR1∥PQ 使TR1和抛物线L只有一个交点R1，取KD = KT，过点D 作R2R3∥PQ，
则此时，在抛物线L上有且仅有三个点R1，R2，R3使得△MNR1，△MNR2，△MNR3的面积均为定值S，
34
设直线TR1的表达式为：y = x + m ②，
联立①②并整理得：- 2
3 x2+ 8
3 x + 17
8 = x + m，
则Δ =
5
3
2
- 4 × - 2
3
× -m+ 17
8
= 0，
解得：m = 19
6 ，
则直线TR1的表达式为：y = x + 19
6 ，
则点T 0, 19
6
，
当m = 19
6 时，即- 2
3 x2+ 8
3 x + 17
8 = x + 19
6 ，
解得：x = 5
4 ，
则点R1 5
4 , 53
12
；
则KT = 1 + 19
6 = 25
6 = KD，
则点D 0,- 31
6
，
则直线R2R3的表达式为：y = x - 31
6 ，
联立y =- 2
3 x2+ 8
3 x + 17
8 和y = x - 5
2 得：- 2
3 x2+ 8
3 x + 17
8 = x - 31
6 ，
解得：x = 5±10 2
4
，
则点R2和R3的坐标分别为：5+10 2
4
, -47+30 2
12
, 5-10 2
4
, -47-30 2
12
．
综上，R1，R2，R3的坐标分别为：5
4 , 53
12
, 5+10 2
4
, -47+30 2
12
, 5-10 2
4
, -47-30 2
12
．
35
17. (2024·广东东莞·三模) 阅读理解
【信息提取】
新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的
“友好抛物线”．
新知识：对于直线y1= k1x + b1 k1≠0
和y2= k2x + b2 k2≠0
，若k1⋅k2=-1，则直线y1与y2互相垂直；
若直线y1与y2互相垂直，则k1⋅k2=-1．
【感知理解】
(1) 抛物线y1=-2(x + 2)2- 3 的“友好抛物线”为y2=
；
(2) 若抛物线y1= ax2+ bx + c(a ≠0) 与y2= mx2+ nx + q(m ≠0) 互为“友好抛物线”，则a 与m 的数
量关系为
，b 与n 的数量关系为
，c 与q 的数量关系为
；
【综合应用】
(3) 如图，抛物线l1:y1= x2- 4x + 3 的顶点为E，l1的“友好抛物线”l2的顶点为F，过点O 的直线l3与
抛物线l1交于点A，B(点A 在B 的左侧)，与抛物线l2交于点C，D(点C 在D 的左侧)．若四边形
AFDE 为菱形，求AB 的长．
【答案】(1)2(x - 2)2+ 3
(2)a =-m，b = n，c =-q
(3)AB = 2 30
【知识点】y = a(x - h)2+ k 的图象和性质、y = ax2+ bx + c 的图象与性质、利用菱形的性质求线段长、特殊
四边形(二次函数综合)
【分析】(1) 根据“友好抛物线”定义可得顶点关于坐标原点对称，开口方向相反，形状相同写出解析式即可．
(2) 将抛物线y1= ax2+ bx + c(a ≠0) 与y2= mx2+ nx + q(m ≠0) 化为顶点式，根据它们互为“友好抛物
线”求解；
(3) 求出抛物线l1:y1= x2- 4x + 3 的顶点为E 的坐标为(2, -1)，根据“友好抛物线”可得F(-2,1)．抛物线
l2:y2=-x2- 4x - 3，利用待定系数法可得直线EF 的解析式为y =- 1
2 x．根据新知识得直线AD 的解析式
为y = 2x．由y=x2-4x+3
y=2x
，可得A(3 -
6,6 - 2 6)，B(3 +
6,6 + 2 6)．利用两点的距离公式即可
求解．
【详解】解：(1) 由已知抛物线y1=-2(x + 2)2- 3 与它的“友好抛物线”的顶点关于坐标原点对称，形状相
同，开口方向相反．
∵抛物线y1=-2(x + 2)2- 3 的顶点坐标为(-2, -3)，
∴它的“友好抛物线”的顶点坐标为(2,3)，
36
∴y2= 2(x - 2)2+ 3，
故答案为：2(x - 2)2+ 3；
(2) ∵抛物线y1= ax2+ bx + c = a x+ b
2a
2
+ 4ac-b2
4a
，y2= mx2+ nx + q = m x+ n
2m
2
+ 4mq-n2
4m
，
∴抛物线y1= ax2+ bx + c(a ≠0) 的顶点坐标为- b
2a ，4ac-b2
4a
，抛物线y2= mx2+ nx + q(m ≠0) 的顶
点坐标为- n
2m ，4mq-n2
4m
，
∵抛物线y1= ax2+ bx + c(a ≠0) 与y2= mx2+ nx + q(m ≠0) 互为“友好抛物线”．
∴a =-m，b
2a =- n
2m ，4ac-b2
4a
=- 4mq-n2
4m
，
∴a =-m，b = n，c =-q．
故答案为：∴a =-m，b = n，c =-q．
(3) ∵抛物线l1:y1= x2- 4x + 3 的顶点为E，y1= x2- 4x + 3 = (x - 2)2- 1，
∴E(2, -1)．
∵抛物线l1:y1= x2- 4x + 3 的顶点为E，l1的“友好抛物线”l2的顶点为F，
∴F(-2,1)．
∴抛物线l2:y2=-x2- 4x - 3，
∵E(2, -1)．F(-2,1)．
∴直线EF 的解析式为y =- 1
2 x．
若四边形AFDE 为菱形，则EF ⊥AD．
∴直线AD 的解析式为y = 2x．
由y=x2-4x+3
y=2x
，可得x1= 3 -
6 ，x2= 3 +
6．
∴A(3 -
6,6 - 2 6)，B(3 +
6,6 + 2 6)．
∴AB =
(3+
6-3+
6)2+(6+2 6-6+2 6)2 = 2 30．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，主要考查了抛物线的解析式、抛物线与坐标轴的顶点坐标以及新定义
的问题，菱形的性质，着重理解“友好抛物线”这个新定义，解题的关键是根据新定义找出等量关系．
18. (24 - 25 九年级上·辽宁·期末) 定义：若函数C1 和函数C2 的图象关于直线x = m 对称，则称函数C1 和
C2关于直线x = m 互为“友好函数”，函数C1和C2的图象交点叫做“友好点”．
例如：函数C1:y = x2+ 1 关于直线x = 2 的“友好函数”为C2:y = x-4
2+ 1 = x2- 8x + 17，
“友好点”
为2,5
．
(1) 求函数y = x2- 2x 关于直线x =-1 的“友好函数”的表达式及“友好点”的坐标；
(2) 函数y = x2- 4x + 1 关于直线x = m 的“友好点”的纵坐标为n，当1 ≤m ≤4 时，求n 的取值范围；
(3) 函数C1:y = ax2- 2ax - 3a a≠0
关于直线x = 2 的“友好函数”为C2，
“友好点”为A．函数C1的
图象的顶点为M ，与y 轴交点为G，函数C2的图象的顶点为N ，与y 轴交点为H，函数C1与C2的图象
组成的图形记为W．
①若a = 1，判断△AMN 的形状，并说明理由；
②若GH = 2AG，求a 的值；
37
③点E(0, -2)，点F 4,-2
，若W 与线段EF 有且只有两个交点，直接写出a 的值或取值范围．
【答案】(1)y = x2+ 6x + 8，-1,3
(2) - 3 ≤n ≤1
(3) ①△AMN 是等腰直角三角形．理由见解析；②1
2 或- 1
2 ；③a = 1
2 或a > 2
3 或a ≤- 2
5
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y = ax2+ bx + c 的图象与性质、抛物线与x 轴的交点问题、其他
问题(二次函数综合)
【分析】(1) 根据“友好函数”的定义即可求解；
(2) 由题易得n = m2- 4m + 1 = (m - 2)2- 3，再根据m 的取值范围即可得到n 的范围；
(3) ①当a = 1 时可得C1和C2的表达式，从而得到A、M、N 的坐标，再根据图形性质易得其是等腰直角三
角形，或者由勾股定理逆定理亦可证明；
②用含a 的式子表示出C1和C2的表达式，进而得到G、H、A 的坐标，然后可得到GH 和AG 的长度，最后
根据GH = 2AG，建立方程求解即可；
③分类讨论，开口向上或者开口向下，画出图形，找出临界值代入求解即可．
【详解】(1) 解：∵y = x2- 2x = (x - 1)2- 1，
∴顶点(1, -1)，它关于直线x =-1 的对称点为(-3, -1)，
∴“友好函数”为y = (x + 3)2- 1 = x2+ 6x + 8，
∵两个函数图象关于直线x =-1 对称，
∴其交点必在直线x =-1 上，将x =-1 代入y = x2- 2x 中，y = 1 - 2 × (-1) = 3，
∴“友好点”坐标为(-1,3)；
(2) 解：由题意得n = m2- 4m + 1 = (m - 2)2- 3，
∵1 > 0，
∴n 关于m 的函数图象是一条抛物线，开口向上，顶点为(2, -3)，
∴当m = 2 时，n 有最小值-3，
当m = 1 时，n =-2，当m = 4 时，n = 1，
∴-3 ≤n ≤1；
(3) 解：①△AMN 是等腰直角三角形，
∵当a = 1 时，C1:y = x2- 2x - 3 = (x - 1)2- 4，
∴M(1, -4)，
C2:y = (x - 3)2- 4，
∴N(3, -4)，
当x = 2 时，y =-3，
∴A(2, -3)，
如图，直线x = 2 是线段MN 的垂直平分线，点A 在直线x = 2，
∴AM = AN ，
设直线x = 2 交线段MN 于点P，则P(2, -4)，
∵A(2, -3)，
∴AP = 1，MP = 1．
∴AP = MP，
∵∠APM = 90°，
∠AMN = 45°，
∴∠AMN = ∠ANM = 45°，
38
∴∠MAN = 90°，
∴△AMN 是等腰直角三角形；
②∵C1:y = ax2- 2ax - 3a = a(x - 1)2- 4a，
∴C2:y = a(x - 3)2- 4a，
在C1中，当x = 0 时，y =-3a，
∴G(0, -3a)，
在C2中，当x = 0 时，y = 5a，
∴H(0,5a)，
∴GH = |5a - (-3a)| = |8a|，
将x = 2 代入C1中，y =-3a，
∴A(2, -3a)，
∴点A，G 的纵坐标相同，
∴AG = 2，
∵GH = 2AG，
∴GH = 4，
当a > 0 时，8a = 4，
∴a = 1
2 ；
当a < 0 时，-8a = 4，
∴a =- 1
2 ；
综上所述，a 的值为1
2 或- 1
2 ；
③第一种情况，a > 0，
1° 如图，当“友好点”恰好在线段EF 上时，此时“友好点”坐标为(2, -2)，
将(2, -2) 代入y = ax2- 2ax - 3a 得，
4a - 4a - 3a =-2，
39
解得a = 2
3 ，
此时y = 2
3 x2- 4
3 x - 2，与y 轴恰好交于点E，
∴当a = 2
3 时，W 与线段EF 会有3 个交点，
∴当a > 2
3 时，W 与线段EF 有且只有两个交点；
2°，如图，当W 的两个顶点恰好在线段EF 上时，
∵C1:y = ax2- 2ax - 3a = a(x - 1)2- 4a，
∴-4a =-2，
∴a = 1
2 ，
即当a = 1
2 时，W 与线段EF 有且只有两个交点；
第二种情况：a < 0，
此时-3a > 0，则W 与y 轴交正半轴，
如图，当C2经过点E，此时C1经过点F，W 与线段EF 有两个交点，
当W 向下平移时，则W 与EF 依然会有两个交点，
∵H(0,5a)，
∴5a ≤-2，
∴a ≤- 2
5 ，
即当a ≤- 2
5 时，W 与线段EF 有且只有两个交点；
40
综上，a = 1
2 或a > 2
3 或a ≤- 2
5 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式、二次函数点的坐标特征、二次函数交点问题等内容，利用数形结
合是解题的关键．
19. (2025·辽宁鞍山·模拟预测) 新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角
形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图1，△ABC
的三个顶点A 1,0
，B 2,-1
，C 4,3
都在抛物线y = x2 - 4x + 3 上，我们把△ABC 叫做抛物线y =
x2- 4x + 3 的内接三角形，抛物线y = x2- 4x + 3 叫做△ABC 的外接抛物线．
问题：
(1) 已知点A -1,1
，B 1,1
，则△ABO 的外接抛物线的解析式为
；
(2) 如图2，已知等边△ABO 是抛物线y = x2的内接三角形，求顶点A，B 的坐标；
(3) 如图2，已知Rt△ABO 是抛物线y = x2的内接三角形，∠AOB = 90°，求边AB 与y 轴的交点P 的
坐标；
(4) 已知△ABC 是抛物线y = x2+ bx + c 的内接三角形，抛物线y = x2+ bx + c 与x 轴交于点A，B(A
在B 的左侧)．
①当△ABC 是等腰直角三角形时，求△ABC 的面积；
②当点C 在y 轴上，且△ABC 是钝角三角形时，请直接写出c 的取值范围．
【答案】(1)y = x2
(2) 点A 的坐标是- 3,3
，点B 的坐标是
3,3
(3)P 0,1
(4) ①1；②c > 0 或-1 < c < 0
41
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y = ax2+ bx + c 的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合
【分析】(1) 根据点A、B、O 三点坐标即可设抛物线解析式为y = ax2，再将A -1,1
代入计算即可；
(2) 根据等边三角形的性质设B 点坐标m, 3m
，代入解析式求解即可；
(3) 过点A 作AC ⊥x 轴于点C，过点B 作BD ⊥x 轴于点D，证明△AOC ∽△OBD，设点A x1,x2
1
，点
B x2,x2
2
，根据相似比可得x1x2=-1，再联立直线和二次函数解析式得到关于x 的方程组，利用根与系数的
关系即可求出点P 坐标；
(4) ①由抛物线对称性可得点C 为抛物线顶点，设CD = BD = AD = a，从而得到点B 和点C 的坐标，代入
抛物线解析式即可求出a 值，因而得解；
②由图象得当点A 和点B 在y 轴同侧时，则△ABC 为钝角三角形，此时c > 0；当点A 和点B 在y 轴两侧
时，可讨论∠ACB = 90° 的临界值，因此得解．
【详解】(1) 解：∵A -1,1
，B 1,1
，
∴抛物线的对称轴为直线x = 0，即y 轴，
∵O 0,0
在抛物线上，
∴设抛物线解析式为y = ax2，
将A -1,1
代入得a = 1，
∴△ABO 的外接抛物线的解析式为∴y = x2；
故答案为：y = x2；
(2) 解：设AB 与y 轴交于点M ，
∵△AOB 为等边三角形，
∴∠AOB = ∠A = ∠B = 60°，OA = OB = AB，
∵AM = BM ，
∴∠AOM = 1
2 ∠AOB = 30°，
设AM = BM = m，则OM =
3m，
∴B(m, 3m)，
将B 坐标代入y = x2得，3m = m2，
解得m1=
3 ，m2= 0(不合题意，舍去)，
∴点A 的坐标是- 3,3
，点B 的坐标是
3,3
；
(3) 解：如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C，过点B 作BD ⊥x 轴于点D，
设点A x1,x2
1
，点B x2,x2
2
，则OC =-x1，AC = x1
2，OD = x2，BD = x2
2，
42
∵∠AOB = ∠ACO = ∠ODB = 90°，
∴∠AOC + ∠BOD = 90°，∠AOC + ∠OAC = 90°，
∴∠OAC = ∠BOD，
∴△AOC ∽△OBD，
∴OC
BD = AC
OD ，
∴OC ⋅OD = BD ⋅AC，
∴-x1x2= x1
2x2
2，
解得x1x2=-1 或x1x2= 0(舍去)，
设直线AB 的解析式为y = kx + m(k ≠0)，
由y=kx+m
y=x2
，
得x2- kx - m = 0，
∠BAC > 90°，
∴m = 1，
∵当x = 0 时，y = m = 1，
∴点P 的坐标是0,1
；
(4) 解：①如图，设抛物线的对称轴交AB 于点D，
由抛物线和等腰直角三角形的对称性，
得AD = BD，CD ⊥AB，∠DCB = ∠DCA = 45°，
设CD = BD = AD = a，
∵对称轴为x =- b
2 ，
∴点B 的坐标为- b
2 +a,0
，点C 的坐标为- b
2 ,-a
，
将点B，C 的坐标分别代入y = x2+ bx + c，得
0= - b
2 +a
2+b - b
2 +a
+c
-a= - b
2
2+b - b
2
+c
，
解得a = 1 或a = 0(舍去)，
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∴AB = 2a = 2，CD = 1，
∴S△ABC = 1
2 AB ⋅CD = 1
2 × 2 × 1 = 1；
②∵点A 和点B 在x 轴上，点C 在y 轴上，
若当点A 和点B 在y 轴同侧时，则△ABC 为钝角三角形，
如图，
此时∠ABC > 90° 或∠BAC > 90°，
∵抛物线开口向上，
∴c > 0；
若∠ACB > 90° 时，则可先讨论∠ACB = 90° 的c 的值，
如图，
设A x1,0
，B x2,0
，
∴x1x2= c，
∵∠ACB = 90°，
∴∠OAC = ∠OCB = 90° -∠OCA，
∵∠AOC = ∠BOC，
∴△AOC ∽△COB，
∴OA
OC = OC
OB ，
∴-x1
-c = -c
x2
，
∴-x1x2= c2 ，
∴-c = c2，
解得c =-1 或c = 0(舍去)，
∴此时-1 < c < 0 时，∠ACB > 90°；
综上，c > 0 或-1 < c < 0．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、等腰直角三角形的性质、
相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
