文档内容
专题 19.7 能力提升专题：一次函数中折叠、规律、分段与新
定义问题之四大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 一次函数中折叠问题】....................................................................................................................1
【考点二 一次函数的规律探究问题】..........................................................................................................12
【考点五 一次函数——分段函数】..............................................................................................................19
【考点四 新定义型一次函数】......................................................................................................................26
【典型例题】
【考点一 一次函数中折叠问题】
例题：（22-23八年级下·天津和平·期末）以长方形 的 边所在直线为 轴， 边所在直线为 轴
建立平面直角坐标系如图所示，已知 ， ，将长方形 沿直线 折叠，点 恰好落在
轴上的点 处．
(1)求点 的坐标；
(2)求直线 的解析式；
(3) 轴上是否存在一点 ，使得 的周长最小？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2) ；
(3)存在， ．
【分析】（ ）利用勾股定理求 的长可得 的坐标；
（ ）先根据折叠设未知数，利用勾股定理列方程可求 的长，得 的坐标，利用待定系数法求直线
的解析式；
（ ）根据轴对称的最短路径，作 关于点 的对称点 ，连接 交 轴于 ，此时 的周长
最小，利用待定系数法求直线 的解析式，令 代入可得 的坐标．
【详解】（1）由折叠得： ，
∵ ， ，
由勾股定理得：
∴ ；
（2） ，
设 ，则 ， ，
中，由勾股定理得： ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
设直线 的解析式为： ，
将 ， 代入解析式，得：
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为： ；（3）存在，作 关于点 的对称点 ，
连接 交 轴于 ，此时 的周长最小，
设直线 的解析式为： ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为： ；
当 时， ，
∴ ．
【点睛】此题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、轴对称 最短路线问题、利用待定系数法求直线的解
析式，熟练掌握折叠的性质是关键．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，点 在
线段 上，将 沿 所在直线折叠后，点 恰好落在 轴上点 处，则点 的坐标为 ．【答案】
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠，勾股定理，由折叠可得 ， ，
由一次函数可得 ， ，进而由勾股定理得到 ， ，设 ，由
列方程即可求出 ，进而得到点 的坐标，掌握折叠的性质，利用勾股定理列出方程是
解题的关键．
【详解】解：由折叠可得 ， ，
∵直线 ，当 时， ，当 时， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ．
2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，已知直线 与 轴， 轴分别交于点 和点 ，
为线段 上一点，若将 沿 折叠，点 恰好落在 轴上的点 处．(1)求 ， 两点的坐标．
(2)求直线 的函数表达式．
【答案】(1) ，
(2)直线 的解析式为 ．
【分析】（1）本题考查一次函数与坐标轴的交点，根据 轴上的点 ， 轴上的点 ，代入求解即
可．
（2）本题根据勾股定理得出 的长，设 ，利用折叠的性质，推出 ， ，
又 ，在 中通过勾股定理求得 ，给出 的坐标，再利用待定系数法即可求得直线
的解析式．
【详解】（1）解：当 时，有 ，解得 ，即 ，
当 时，有 ，解得 ，即 ．
（2）解：设 ，则 ，
将 沿 折叠，点 恰好落在 轴上的点 处．
， ，
， ，
，
，
在 中， ，解得 ，，
设直线 的解析式为 ，
将 代入解析式，有 ，解得 ，
直线 的解析式为 ．
【点睛】此题考查了折叠的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、勾股
定理等知识，解答本题的关键是求出 的长度．
3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在直角坐标系中，长方形纸片 的边 ，点
B坐标为 ，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为 ．
(1)求证： 为等腰三角形；
(2)求 的函数表达式；
(3)求折痕 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质求出 ，得到 即可；
（2）在 中，利用勾股定理求出 ，进而得到 ，可得点E、F的坐标，然后利用待定系数法
求 的函数解析式即可；
（3）利用两点间距离公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，由折叠得： ，
∴ ，
∴ ，即 为等腰三角形；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
由折叠得： ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的函数表达式为 ，
代入 、 得： ，
解得： ，
∴直线 的函数表达式为 ；
（3）∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，待定系数法的应用，坐
标与图形性质，熟练掌握折叠的性质，求出点E、F的坐标是解题的关键．
4．（23-24八年级上·广东佛山·期中）已知：有一张 纸片， ， ．如图，将其放在平
面直角坐标系中，点 在线段 上，点 在线段 上，将 沿 折叠得到 （点 与点 重
合）．(1)求直线 的表达式；
(2)如图1，当点 恰好落在点 时，求 的长；
(3)当点 固定在点 时， 交 轴于点 ，设点 为 ，当 为直角三角形时，求 满足的
条件．
【答案】(1) ；
(2) 的长为 ；
(3) 或 或5或 ．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）设 ，由由折叠的性质得 ，在 中，利用勾股定理列式计算即可求解；
（3）分四种情况讨论，当点C在线段 上， ；当点C在线段 上， ；当点C
在 延长线上， ；当点C在 延长线上， ；利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
设直线 的表达式为 ，则 ，
解得 ，
∴直线 的表达式为 ；
（2）解：设 ，
∵点 恰好落在点 ，∴ ，由折叠的性质得 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
∴ 的长为 ；
（3）解：∵点 固定在点 ，则 ，
∴ ，
作 于点G，
∴ ， ， ，
当点C在线段 上， 即 时，
由折叠的性质得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，则 ，
∴ ；
当点C在线段 上， 即 时，由折叠的性质得 ， ，
∴ ， ，
在 中， ，即 ，
解得 ；
当点C在 延长线上， 即 时，
同理证得 是等腰直角三角形，
∴ ，则 ，
∴ ；
当点C在 延长线上， 即 时，
由折叠的性质得 ， ，∴ ， ，
在 中， ，即 ，
解得 ；
综上， 或 或5或 ．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，考查了勾股定理，二次根式的混合运算，坐标与图形，折叠的
性质，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．
5．（22-23八年级上·陕西西安·期中）（1）【问题发现】 中， ， ， ，斜
边 上的高 ；
（2）【问题探究】如图①，将 置于平面直角坐标系中，直角顶点 与原点重合，点 落在 轴
上，点 落在 轴上，已知 ， ， 是 轴上一点，将 沿 折叠，使点 落在
边上的点 处；求点 的坐标；
（3）【问题解决】如图②，将长方形 置于平面直角坐标系中，点 在 轴上，点 在 轴上，已知
， 是 上一点，将长方形 沿 折叠，点 恰好落在对角线 上的点 处，求 所在
直线的函数表达式．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据勾股定理求出斜边 的长度，然后根据三角形面积可得结果；（2）设 为 ，根据折叠和勾股定理列方程即可得出 点的坐标；
（3）求出 的解析式，根据解析式设点 的坐标，依据勾股定理列出方程求解即可求出坐标，再用待定
系数法求解析式即可．
【详解】解：（1） 中， ， ， ，
，
，即 ，
解得： ，
故答案为： ；
（2）解：设 为 ，
， ，
，
由翻折可知， ， ，
，
由勾股定理得， ，
即 ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ；
（3）∵长方形 ，点 在 轴上，点 在 轴上， ，
， ，
，
，设直线 的解析式为 ，把 点和 点坐标代入得， ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
由翻折可知， ， ，
设 ，
由勾股定理得， ，
即 ，
解得 ，
即 ，
，
设点 的坐标为 ，
，
即 ，
解得 ，
则点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，代入 点坐标得， ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质、折叠的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的性质、待
定系数法求解析式及勾股定理的知识是解题的关键．
【考点二 一次函数的规律探究问题】例题：（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ，…分别在x轴上，
点 ， ， ，…分别在直线 上， ， ， ， ， ，…都是等
腰直角三角形，如果 ，则点 的横坐标为 ．
【答案】
【分析】此题考查了一次函数的性质，等腰直角三角形的性质， 根据 ， 是等腰直角三角形，
得到 和 的横坐标为1，根据点 在直线 上，得到点 的纵坐标，结合 为等腰直角三角
形，得到 和 的横坐标为 ，同理： 和 的横坐标为 ， 和 的横坐标为
，依此类推，即可得到点 的横坐标．此题是一道规律型的试题，锻炼了学生归纳总结的
能力，以数学结合思想灵活运用等腰直角三角形的性质是解本题的关键．
【详解】解：根据题意得：
和 的横坐标为1，
把 代入 得： ，
∴ 的纵坐标为1，即 ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，∴ 和 的横坐标为 ，
同理： 和 的横坐标为 ，
和 的横坐标为 ，
依此类推，
的横坐标为 ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，在△
内作等边三角形，使它的一边在 轴上，一个顶点在边 上，作出的第 个等边三角形是△ ，
第 个等边三角形是△ ，第3个等边三角形是 ，…则第2024个等边三角形的边长等于
．
【答案】
【分析】
本题考查了一次函数与坐标轴的交点、等边三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理和规律
推理．过点 作 轴于点D，由直线 求出 ， ，从而得到 和 的长度，然后根据含30度角直角三角形的性质得出 ，从而求出 ，再根据勾股定理得出
，从而得到 ， ， ，依此类推，第n个等边
三角形的边长等于 ，据此即可求解．
【详解】
解：如图，过点 作 轴于点D，
∵直线 与x、y轴交于B、C两点，
∴当 时， ，当 时， ，
∴点 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ,
∴第1个等边三角形的边长 ，
同理：第2个等边三角形的边长 ，
第3个等边三角形的边长 ，
……，
由此发现：第n个等边三角形的边长等于 ，
∴第2024个等边三角形的边长等于 ．
故答案为： ．
2．（2024·山东菏泽·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l： 与x轴交于点 ，以 为
边作正方形 ，点 在y轴上，延长 交直线l于点 ，以 为边作正方形 ，点 在y
轴上，以同样的方式依次作正方形 ，…，正方形 ，则点 的横坐标是 ．【答案】
【分析】本题考查一次函数中点的规律探究，正方形的性质，分别求出点点 的横坐标是 ，点 的横坐
标是 ，点 的横坐标是 ，找到规律，得到答案见即可．
【详解】解：当 ， ，解得 ，
∴点 ，
∵ 是正方形，
∴ ，
∴点 ，
∴点 的横坐标是 ，
当 时， ，解得 ，
∴点 ，
∵ 是正方形，∴ ，
∴点 ，
即点 的横坐标是 ，
当 时， ，解得 ，
∴点 ，
∵ 是正方形，
∴ ，
∴点 的横坐标是 ，
……
以此类推，则点 的横坐标是
故答案为：
3．（2023·山东青岛·二模）含 角的菱形 ， ， ，……，按如图所示的方式放
置在平面直角坐标系 中，点 ， ， ，……，和点 ， ， ， ，……，分别在直线 和
轴上．已知 ， ，【探究】
(1)点 的坐标是______；
(2)点 的坐标是______；
(3)点 的坐标是______（ 为正整数）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过 作 轴于 ，由菱形的性质可证 是等边三角形，由等边三角形的性质可
得， ，再通过勾股定理可求 ，即可求得 的坐标；
（2）过 作 轴于 ，四边形 是菱形可证， 是等边三角形，由等边三角形的性
质可得， ，再通过勾股定理可求 ，即可求得 的坐标；
（3）由（1）（2）的证明，同理可得 ， ，进而可得 ．【详解】（1）过 作 轴于 ，则 ，
四边形 是含 的菱形，
，
是等边三角形，
，
， ，
， ，
， ，
，
在 中， ，
．
故答案为： ．
（2）过 作 轴于 ，则 ，
四边形 是含 的菱形，
，是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形， ，
，
，
在 中， ，
；
故答案为： ．
（3）由（1）（2）同理可得， ， ， ，则点 ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是由特殊到一般，
得到 的坐标规律；
【考点五 一次函数——分段函数】
例题：在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小
红对函数 的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：
（1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：
x … -1 0 1 2 3 4 5 6 …
… ﹣2 ﹣1 0 2 2 2 …y
（2）根据函数图象，以下判断该函数
性质的说法，正确的有 ．
①函数图象关于y轴对称；
②此函数无最小值；
③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变．
（3）若直线y＝ x+b与函数y＝ 的图象只有一个交点，则b＝ ．
【答案】（1）见解析；（2）②③；（3）
【分析】（1）根据所给的函数解析式填表，然后描点连线即可得到答案；
（2）根据函数图像进行逐一判断即可；
（3）根据函数图像可知，只有当直线 经过点（3，2）时，才满足题意，由此求解即可．
【详解】解：（1）列表如下：
x … -1 0 1 2 3 4 5 6 …
… ﹣2 ﹣1 0 1 2 2 2 2 …
y
函数图像如下图所示：（2）根据函数图像可知，这个函数图像不关于y轴对称，故①错误；
观察函数图像可知，此函数没有最小值，故②正确；
观察图像可知当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变，故③正确；
故答案为：②③；
（3）∵直线 与函数 只有一个交点，
∴根据函数图像可知，只有当直线 经过点（3，2）时，才满足题意，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像与性质，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的图像与性质．
【变式训练】
1．我们学习了正比例函数、一次函数的图象与性质后，进一步研究函数y＝|x|的图象与性质．
（1）我们知道 ，请利用以前所学知识在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象；（2）通过观察图象，写出该函数的一条性质： ；
（3）利用学过的平移知识，说说函数y＝|x﹣4|＋1是怎样由函数y＝|x|平移得来的？并利用（1）中给出
的平面直角坐标系画出函数y＝|x﹣4|＋1图象．
【答案】（1）见解析；（2）当x＞0时，y随x的增大而增大；（答案不唯一）（3）由函数y＝|x|向右平
移4个单位，再向上平移1个单位得来的，见解析．
【分析】（1）通过列表、描点、画图，在平面直角坐标系中画出函数 的图象：
（2）根据图象得出结论；
（3）根据平移的性质即可求得．
【详解】解：（1）列表：
0 1 2 3
3 2 1 0 1 2 3
描点、连线画出函数 的图象如图：
（2）由图象可知，当 时， 随 的增大而增大（答案不唯一），故答案为当 时， 随 的增大而增大（答案不唯一）；
（3）函数 是由函数 向右平移4个单位，再向上平移1个单位得来的，
利用（1）中给出的平面直角坐标系画出函数 图象如图所示．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，坐标与图形变换 平移，能根据图象得出正确信息是解此题
的关键．
2．（2022·河南漯河·八年级期末）有这样一个问题：探究函数y＝|x＋1|的图象与性质．下面是小明的探
究过程，请补充完整：
(1)函数y＝|x＋1|的自变量x的取值范围是 ；
(2)下表是x与y的几组对应值．
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 4 3 2 m 0 1 2 3 4 …
m的值为 ；
(3)在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)小明根据画出的函数图象，写出此函数的两条性质．
【答案】(1)任意实数
(2)1
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可知x的取值范围；
（2）根据函数解析式可以得到m的值；
（3）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象；
（4）根据函数图象可以写出该函数的性质．（1）
解：在函数y=|x+1|中，自变量x的取值范围是x为任意实数，
故答案为：任意实数；
（2）
解：当x=-2时，m=|-2+1|=1，
故答案为：1；
（3）
解：描点、连线，画出函数的图象如图：
；
（4）
解：由函数图象可知，
①函数有最小值为0；
②当x＞-1时，y随x的增大而增大；
③图象关于过点（-1，0）且垂直于x轴的直线对称．（任写两条即可）
【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，
利用数形结合的思想解答．
3．（2022·山西大同·八年级期末）某学习小组探究函数 的图象与性质．下面是该组同学的探究过
程，请补充完整：
(1)函数 中自变量 的取值范围是______．
(2)下表是 与 的几组对应值．
－ － －
… －5 －3 －2 0 1 2 …
6 4 1
… 4 3 2 0 1 3 4 …填空： ______， ______．
(3)在如图所示的正方形网格中，建立合适的平面直角坐标系 ，描出以上表中各组对应值为坐标的点，
并画出该函数的图象．
(4)根据所画函数图象，你能得出哪些合理的结论？（写出一条即可）
【答案】(1)全体实数
(2)1，2
(3)见解析
(4)函数有最小值为0或当x>-1时，y随x的增大而增大或图象关于过点（-2，0）且垂直于x轴的直线对称．
【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可知x的取值范围；
（2）根据函数解析式可以得到m、n的值；
（3）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象；
（4）根据函数图象可以判断该函数的性质．
(1)
解∶根据题意得∶ 自变量 的取值范围是全体实数；
故答案为：全体实数
(2)
解：当x=-3时， ，
当x=0时， ；
故答案为：1，2(3)
解：画出该函数的图象，如图，
(4)
解：由函数图象得：函数有最小值为0或当x>-1时，y随x的增大而增大或图象关于过点（-2，0）且垂直
于x轴的直线对称．
【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，
利用数形结合的思想解答．
【考点四 新定义型一次函数】
例题：（2023上·安徽合肥·八年级统考期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的
距离之和等于 的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如， 为一次函数 的“3阶和
点”．
(1)若点 是y关于x的正比例函数 的“n阶和点”，则 ______， ______；
(2)若y关于x的一次函数 的图象经过一次函数 图象的“7阶和点”，求k的值．
【答案】(1) ；4
(2)2或【分析】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，本题是
新定义型：
（1）利用待定系数法和“阶和点”的都有即点即可；
（2）利用分类讨论的方法和“7阶和点”的定义求得“7阶和点”，再利用待定系数法解答即可；
【详解】（1）解：把点 代入 ，得：
，解得： ；
∵点 是y关于x的正比例函数的“n阶和点”，
∴点到两坐标轴的距离之和等于 ，
∴点 是y关于x的正比例函数 的“4阶和点”，
即 ．
故答案为： ；4；
（2）解：设一次函数图象 的“7阶和点”为 ，则 ， ，
∵一次函数 图象经过第一、二、三象限，
当 在第一象限时， ，
∴ ；
∴一次函数图象 的“7阶和点”为 ；
把 代入 得：
，解得： ；
当 在第二象限时， ，由于 ，此种情形不存在；
当 在第三象限时， ，
∴ ；
∴一次函数图象 的“7阶和点”为 ，
把 代入 得：，解得： ；
综上，k的值为2或 ．
【变式训练】
1.（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）定义： 在平面直角坐标系中，对于任意两点 ，
，如果点 满足 ， ，那么称点 M 是点A、B的“麓外点”．例如：
， 、当点 满足 = −1， = 3，则称点 是点A 、B的
“麓外点”．
(1)写出点 ， 的“麓外点”C的坐标；
(2)若点 ， ，点 是点A 、B的“麓外点”．求y 与 x 之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，y 与x之间的函数图象与x轴、y轴分别交于点C、D两点，若点E在y轴上，点F
在平面直角坐标系内， 是否存在点 E 使以C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出E点的
坐标； 若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在点 的坐标为 或 或 或 时，以 、 、 、 为顶点的四边形为菱形
【分析】本题考查了新定义下点坐标的运算，一次函数解析式，菱形的性质，勾股定理．解题的关键在于
熟练掌握菱形的性质．
（1）设 ，根据“麓外点”的定义求解即可；
（2）根据“麓外点”的定义求解可得 表示的 ， ，消元求解即可；
（3）由y与x之间的函数关系式求出 ， ，得 ，再根据菱形的性质分三种情况：①当、 是菱形 的邻边时， ，②当 、 是菱形 的邻边时， ，③
当 、 是菱形 的邻边时， ，分别进行讨论即可求解．
【详解】（1）解：设
由题意知 ，
∴ ．
（2）由题意得 ，
解得
将 代入 中得
整理得y与x之间的函数关系式为 ．
（3）存在，理由如下：
∵
∴当 时， ， ，
当 时， ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
①当 、 是菱形 的邻边时， ，
∴ 或 ；②当 、 是菱形 的邻边时， ，
由菱形的性质可知， ，
∴ ；
③当 、 是菱形 的邻边时， ，
由勾股定理可知， ，即： ，
可得： ，
∴ ；
综上，存在点 的坐标为 或 或 或 时，以 、 、 、 为顶点的四边形为菱形．
2．（23-24八年级上·浙江金华·期末）定义：我们把形如 （ ）的函数称为一次函数
的“相反函数”．比如：函数 是一次函数 的“相反函数”．
(1)如图1，一次函数 的图象交 轴、 轴于点 、 ，请在图中画出该一次函数的“相反函数”
的图象；(2)写出一次函数 与“相反函数” （ ）之间的性质（至少两条）；
(3)在（1）中，如果函数 、 的图象交点为 ， 、 与 轴分别交于点 、 ．求 的角平分线与
对边的交点坐标．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3) 的角平分线与对边的交点坐标为 或 或 ．
【分析】（1）依据题意，设一次函数 的解析式为 ，从而 ，即可求得一次函数 的解
析式为 ，故可得该一次函数的“相反函数” 为的解析式，从而可以作图；
（2）依据题意，结合（1）图象，可以发现一次函数 与“相反函数” 之间的性质，
进而判断得解；
（3）依据题意，根据图形先可得平分 的角平分线与对边的交点坐标为 ，再求出当 平分
时， 的坐标，最后由对称性可得另外一点，进而得解．
【详解】（1）解：由题意，设一次函数 的解析式为 ，
，
．
一次函数 的解析式为 ．
该一次函数的“相反函数” 为 ．
作图如下．；
（2）解：由题意，结合（1）图象，可以发现一次函数 与“相反函数” 之间的性
质：
①两个函数的图象关于 轴对称；
②两个函数的图象都过点 ．（答案不唯一）
（3）解：由题意，作图如下．
由题意， 是等腰三角形．
平分 ．
此时角平分线与对边的交点坐标为 ．
当 平分 时，作 于 ，
又 ，
．
．
．
．
设 ，
．
又在 中， ，．
．
．
直线 为： ．
又 为 ，
．
过 的角平分线与对边交点坐标为 ．
又根据对称性，
过 的角平分线与对边交点坐标为 ．
综上， 的角平分线与对边的交点坐标为 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性
质，“相反函数”的定义．解题时要熟练掌握并能读懂题意是关键．
3．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，已知点 ，我们将点M的横、纵坐标
都乘以 ，得到点 ，同时给出如下定义：对于直线 ，若满足点N在直线 上，
则称点M为直线 的“反炫点”．
(1)已知直线 ，
①判断点 是不是直线 的“反炫点”，并说明理由；
②若点B是直线 上一点，同时也是直线 的“反炫点”，求出点B的坐标；
(2)点 是直线 的反炫点，当 时，求a的取值范围．【答案】(1)①点 是直线 的“反炫点”；② ；
(2)当 ， ；当 ， ．
【分析】本题考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征．
（1）①先判断点 在直线 上，即可求得点 是直线 的“反炫点”；②设点
，由题意得 ， ，据此求解即可；
（2）根据定义求得 ，由 ，得到 ，再分 和 ，两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：①当 时， ，
∴点 在直线 上，点 是直线 的“反炫点”；
②设点 ，
∵点 是直线 上一点，
∴ ，
∵点 也是直线 的“反炫点”，
∴ ，∴ ，
解得 ， ，
∴ ；
（2）解：∵点 是直线 的反炫点，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴当 ， ；
当 ， ．4．（22-23八年级下·福建福州·期末）定义：对于给定的一次函数 （ ，k、b为常数），把形
如 （ ，k、b为常数）的函数称为一次函数 （ ，k、b为常数）的衍生
函数．已知 的顶点坐标分别为 ， ， ， ．
(1)点 在一次函数 的衍生函数图象上，则 ；
(2)如图，一次函数 （ ，k、b为常数）的衍生函数图象与 交于M、N、P、Q四点，
其中P点坐标是 ，并且 ，求该一次函数的解析式．
(3)一次函数 （ ，k、b为常数），其中k、b满足 ．
①请问一次函数的图象是否经过某个定点，若经过，请求出定点坐标；若不经过，请说明理由；
②一次函数 （ ，k、b为常数）的衍生函数图象与 恰好有两个交点，求b的取值范围．
【答案】(1)1或
(2)
(3)①过定点， ；② 或 且
【分析】（1）根据衍生函数的定义可知一次函数 的衍生函数为 ．再分类讨论：
当 时和当 时，求解即可；
（2）根据题意可求出一次函数 的衍生函数图象过点 ，即得出 ，从而得出一次函数 的衍生函数为 ．由题意可知 ， ，
即可求出点 、 、 的坐标分别为 、 、 ，进而可求出 ，
， ，结合三角形和梯形的面积公式可列出关于k的方程，解出k
的值，即可求解；
（3）①根据题意可得 ，代入 并整理，得： ，即说明过定点，定点坐标为
；
②由①可知：一次函数 的衍生函数图象经过定点 和 ，
其解析式为： ，且点 在 内．设衍生函数图象与 轴的交点为 ，点
沿 轴向上平移过程中，当衍生函数图象经过点A时，与 有三个交点，结合图象可知 时，
衍生函数图象恰好与 有两个交点，符合题意；点 沿 轴继续向上平移，当衍生函数图象经过点
时，与 有三个交点，结合图象可知 且 时，衍生函数图象恰好与 有两个交点，
符合题意．
【详解】（1）解：根据衍生函数的定义可知一次函数 的衍生函数为 ．
分类讨论：当 时，则 ，解得： ；
当 时，则 ，解得： ．
∴ 或 ．
故答案为：1或 ；
（2）解：根据题意得，当 时，一次函数 的衍生函数图象过点
代入得： ，即 ，∴一次函数 的衍生函数为 ．
∵ ， ，
∴ ， ， ，
解得： ， ， ，
∴点 、 、 的坐标分别为 、 、 ，
∴ ， ，
∴ ，
．
∵ ，
∴ ，
解得： ，
代入检验 是方程的解，
将 代入 ，解得 ，
∴该一次函数的解析式为 ；
（3）解：①∵ ，
∴ ，
代入 ，得： ，
∵当 时， ，
∴过定点，定点坐标为 ；
②由①可知：一次函数 的衍生函数图象经过定点 和 ，其解析式为： ，且点 在 内．
设衍生函数图象与 轴的交点为 ，点 沿 轴向上平移过程中，当衍生函数图象经过点A时，与
有三个交点，如图，
将 代入 ，
解得： ， ，
∴ 时，衍生函数图象恰好与 有两个交点，符合题意；
点 沿 轴继续向上平移，当衍生函数图象经过点 时，与 有三个交点，如图，
∴ 且 时，衍生函数图象恰好与 有两个交点，符合题意．
∴当 或 且 时，衍生函数图象恰好与 有两个交点．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，分式方程的实际应用等知识．理解衍生函
数的定义，并利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．
