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二次函数新定义型综合问题
目录
解密中考1
题型特训提分2
题型一新定义型二次函数之共生或伴随抛物线2
题型二新定义型二次函数之特殊形状问题8
题型三新定义型二次函数与其他函数的综合问题11
题型四新定义型二次函数与几何图形的综合问题14
解密中考
考情分析：二次函数新定义型综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些
考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，属中频偏高考点，多在压轴题出现，约占解答题15% -20%。近年随核心素养考查加
重，频率略有上升，各地试卷年均1 - 2 题，常与函数性质、几何综合结合。
2．从题型角度看，以解答题为主(占比超80%)，分三类：①新定义概念(如“友好抛物线”)，需根据定义求
解析式；②新性质探究(如“最值点”关系)，需推导规律；③跨知识应用(如结合坐标系定义“距离函数”)，综合
度高，分步设问(2 - 3 小问)。
备考策略：1. 强化读题建模：圈画新定义关键词，用示例辅助理解(如通过图像标注“新顶点”)；
2. 分阶训练：先练单一知识点新定义(如仅含函数)，再攻几何代数综合题；
3. 提炼通法：按“理解定义→翻译条件→联立方程/ 几何关系→验证结果”步骤解题，注意分类讨论与数
形结合，积累典型模型(如“对称型”“最值型”新定义)。
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题型特训提分
题型一
新定义型二次函数之共生或伴随抛物线
1. (24 - 25 九年级下·江西抚州·阶段练习) 新定义：若二次函数为y1 = ax2 + bx + c(a ≠0，a，b，c 是常
数)，则称y2=-ax2+ bx - c 为y1的“关联”二次函数，称这两个函数为互为“关联”二次函数．
(1) 写出y = x2- 4x + 1 的“关联”二次函数的表达式，并写出该互为“关联”二次函数的图象的一个性
质；
(2) 若(1) 中的互为“关联”二次函数的图象与正比例函数y = kx(k ≠0) 的图象只有两个交点，求k 的
值；
(3) 如图，二次函数y1与y2互为“关联”二次函数，A，B 分别是互为“关联”的两个二次函数y1与y2的
图象的顶点，C 是y2的图象与y 轴正半轴的交点，连接AB，AC，BC，若点A 为-2,1
，且△ABC 为
直角三角形，求点C 的坐标．
1. 明确定义：紧扣题目对“共生伴随抛物线”的定义(如顶点关联、系数对称等)，例：若定义为“与原抛
物线对称轴相同，开口方向相反”，则设原抛物线为y = a(x - h)2 + k，伴随抛物线为y =-a(x - h)2 +
k。
2. 联立关系：根据定义列解析式，结合交点、最值等条件联立方程(如两抛物线交于x 轴同一点，代入
求解a、h、k)。
3. 分类讨论：若定义含多种情形(如伴随抛物线顶点为原抛物线与y 轴交点)，需分情况推导，验根时
确保符合所有约束条件。
4. 数形结合：通过画图直观呈现两抛物线位置关系，辅助分析参数取值范围。
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2. (2025·河南焦作·一模) 新定义：如果二次函数y = ax2 + bx + c a≠0
的图象经过点(-1,0)，那么称此
二次函数图象为“定点抛物线”．
(1) 若抛物线y = x2- mx + 2 - k 与x 轴只有一个公共点，且是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式．
(2) 已知抛物线y = mx2+ nx - m + n(m，n 为常数，且m ≠0)．
①求证：该抛物线为“定点抛物线”；
②若m < 0，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点
2,s
，k,t
，当s < t 时，求k 的取值范
围．
3. (23 - 24 九年级上·浙江·期中) 新定义：我们把抛物线y1 = ax2 + bx + c 与抛物线y2 = bx2 + ax + c 其
中ab ≠0) 称为“关联抛物线”．例如：抛物线y1 = 3x2 + 4x + 2 的“关联抛物线”为y2 = 4x2 + 3x + 2．
已知抛物线C1:y1= 2ax2+ ax + a - 2(a ≠0) 的“关联抛物线”为C2．
(1) 写出抛物线C2的函数表达式(用含a 的式子表示)y2=
，顶点坐标为
．
(2) 对于C1和C2，当y1> y2时，求x 的取值范围．
(3) 若a > 0，当a - 3 ≤x ≤a - 1 时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a 的值．
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4. (2025·山东·一模) 新定义：我们把抛物线y = ax2 + bx + c(其中ab ≠0 与抛物线y = bx2 + ax + c 称为
“关联抛物线”，例如，抛物线y = 2x2 + 3x + 1 的“关联抛物线”为y = 3x2 + 2x + 1，已知抛物线C1：y
= 4ax2+ ax + 4a - 3(a > 0) 的“关联抛物线”为C2，C1与y 轴交于点E．
(1) 若点E 的坐标为0,-1
，求C1的解析式；
(2) 设C2的顶点为F，若△OEF 是以OF 为底的等腰三角形，求点E 的坐标；
(3) 过x 轴上一点P，作x 轴的垂线分别交抛物线C1，C2，于点M ，N．
①当MN = 6a 时，求点P 的坐标
②当a - 4 ≤x ≤a - 2 时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a 的值．
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5. (2025·辽宁阜新·一模) 在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将
二次函数：y = ax2 + bx + c a≠0
图象上的点A x,y
的横坐标不变，纵坐标变为A 点的横、纵坐标之
和，就会得到的一个新的点A1 x,x+y
．他们把这个点A：定义为点A 的“和点”．他们发现：二次函
数y = ax2 + bx + c a≠0
所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为y = ax2 +
bx + c a≠0
的“和抛物线”．例如，二次函数y = x2 + x + 1 的“和抛物线”就是y = x2 + x + 1 + x =
x2+ 2x + 1，请按照定义完成：
(1) 点P 1,2
的“和”点是
；
(2) 如果抛物线y = x2+ bx + 3 a≠0
经过点M 1,-3
，求该抛物线的“和抛物线”；
(3) 已知抛物线y = x2+ bx + c 图象上的点B x,y
的“和点”是B1 -1,1
，若该抛物线的顶点坐标为
p,q
，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为m,n
．
①当0 ≤c ≤5 时，求n 的取值范围．
②小明发现，当c 取不同值时，所有的顶点p,q
组成一条新的抛物线，设为yp，所有的顶点m,n
也
组成一条新的抛物线，设为ym，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离．
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6. 如图，抛物线L:y = x2 - 4x + 3 上的点A，B，C，D 分别关于直线y = 1 的对称点为A，B，C，D，分
别关于点P 0,1
中心对称的点为A，B，C，D，如下表：
⋯
A 0,3
B 1,0
C 2,-1
D 3,0
⋯
⋯
A0,-1
B1,2
C2,3
D3,2
⋯
A0,-1
B-1,2
C____,____
D-3,2
(1) ①补全表格；
②在下图中，描出表格中的点A，B，C，D，再用平滑的曲线依次连接各点得到的图象记为L1；描出
表格中的点A，B，C，D，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L2．
形成新定义：直线y = m 与y 轴交于点P 0,m
，我们把抛物线L 关于直线y = m 的对称抛物线L1，叫
作抛物线L 的“共线抛物线”；把抛物线L 关于点P 0,m
中心对称的抛物线L2，叫作抛物线L 的“共
点抛物线”．
问题探究
(2) ①若抛物线L 与它的“共点抛物线”L2的函数值都随着x 的增大而减小，求x 的取值范围；
②若直线y = m 与抛物线L、
“共线抛物线”L1，
“共点抛物线”L2有且只有四个交点，求m 的取值范
围．
③已知抛物线L：y = ax2- 2ax + a + 3 的“共线抛物线”L1的解析式为y =- 1
2 x2+ kx - 1
2 k2- 5．
请写出抛物线L 的“共点抛物线”L2的解析式．
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7. (24 - 25 九年级上·辽宁铁岭·期末) 阅读以下材料，并解决相应问题：
定义：如果二次函数y = a1x2+ b1x + c1(a1≠0，a1，b1，c1是常数) 与y = a2x2+ b2x + c2(a2≠0，a2，b2，
c2是常数) 满足a1+ a2= 1，c1= c2且对称轴相同的二次函数互为“友好对称二次函数”．例如：y =
2x2+ 4x - 3 的“友好对称二次函数”为y =-x2- 2x - 3．
(1)y =- 2
3 x2的“友好对称二次函数”为
，y =-x2+ 2x + 3 的“友好对称二次函数”为
；
(2) 关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是
；(填序号)
①二次项系数为1 的二次函数没有“友好对称二次函数”；
②二次项系数为1
2 的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；
③y = ax2- 2ax + 3 a≠1
的“友好对称二次函数”为y = 1-a
x2- 2 1-a
x + 3；
④任意两个“友好对称二次函数”与y 轴一定有交点，与x 轴至少有一个二次函数有交点．
(3) 如图，二次函数L1:y = ax2- 4ax + 1 a≠1
与其“友好对称二次函数”L2都与y 轴交于点A，点B，
C 分别在L1，L2上，点B，C 的横坐标均为m 0<m<2
，它们关于L1的对称轴的对称点分别为点B，
C，连接BB，BC，CC，CB．若m = 1，且四边形BBCC 的邻边之比为1:2，直接写出a 的值．
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题型二
新定义型二次函数之特殊形状问题
8. 定义：由两条与x 轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．
【概念理解】
(1) 抛物线y1= 2 x-1
x-2
与抛物线y2= x2- 3x + 2 是否围成“月牙线”？说明理由．
【尝试应用】
(2) 抛物线y1= 1
2 (x - 1)2- 2 与抛物线y2= ax2+ bx + c a> 1
2
组成一个如图所示的“月牙线”，与
x 轴有相同的交点M ，N(点M 在点N 的左侧)，与y 轴的交点分别为A,B．
①求a:b:c 的值．
②已知点P x0,m
和点Q x0,n
在“月牙线”上，m > n，且m - n 的值始终不大于2，求线段AB 长的
取值范围．
1. 拆解新定义：明确“特殊形状”的几何特征(如抛物线与坐标轴围成等腰梯形、顶点与交点构成等边三
角形等)，标注关键条件(边长、角度、对称关系)。
2. 坐标代数化：设二次函数为y = ax2 + bx + c，求顶点、与坐标轴交点坐标，用距离公式、斜率表示形状
边/ 角关系(如|AB| = |BC|、kABkBC = -1)。
3. 分类讨论建模：按形状顶点位置或边的对应关系分情况，列方程(组) 求解(如等腰三角形分顶角在顶
点或底边)，注意判别式与定义域限制。
4. 图形验证：代入解验证是否满足形状定义，舍去退化解(如三点共线的三角形)，结合图像判断参数合
理性。
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9. 二次函数y = x2- 2mx 的图象交x 轴于原点O 及点A．
感知特例
(1) 当m = 1 时，如图1，抛物线L:y = x2- 2x 上的点B，O，C，A，D 分别关于点A 中心对称的点为
B，O，C，A，D，如下表：
⋯
B -1,3
O 0,0
C 1,-1
A(___，___)
D 3,3
⋯
⋯
B5,-3
O4,0
C3,1
A2,0
D1,-3
⋯
①补全表格；
②在图1 中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L．
形成概念
我们发现形如(1) 中的图象L上的点和抛物线L 上的点关于点A 中心对称，则称L是L 的“孔像抛物
线”．例如，当m =-2 时，图2 中的抛物线L是抛物线L 的“孔像抛物线”．
探究问题
(2) ①当m =-1 时，若抛物线L 与它的“孔像抛物线”L的函数值都随着x 的增大而减小，则x 的取值
范围为
；
②在同一平面直角坐标系中，当m 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y = x2-
2mx 的所有“孔像抛物线”L，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是
．(填“y = ax2+ bx
+ c”或“y = ax2+ bx”或“y = ax2+ c”或“y = ax2”，其中abc ≠0)；
③若二次函数y = x2- 2mx 及它的“孔像抛物线”与直线y = m 有且只有三个交点，求m 的值．
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10. 定义：若直线y =-1 与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的
“反碟长”．如图，已知抛物线L1：y =-x2与直线y =-1 相交于P，Q．
(1) 抛物线L1的“反碟长”PQ =
．
(2) 抛物线随其顶点沿直线y = 1
2 x 向上平移，得到抛物线L2．
①当抛物线L1的顶点平移到点6,3
，抛物线L2的解析式是
．抛物线L2的“反碟长”是
．
②若抛物线L2的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是
．(填写所有正确的选项)
A. 15
B. 16
C. 24
D. 25
③当抛物线L2的顶点A 和抛物线L2与直线y =-1 的两个交点B，C 构成一个等边三角形时(点B 在
点C 左右)，求点A 的坐标．
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题型三
新定义型二次函数与其他函数的综合问题
11. (2025·湖南岳阳·模拟预测)【定义】在平面直角坐标系中，对于“积值”给出如下定义：点A(x,y) 是函数
图象上任意一点，横坐标x 与纵坐标y 的乘积xy 称为点A(x,y) 在函数图象上的“积值”；
【举例】已知点A(1,4) 在函数y = x + 3 的图象上，点A(1,4) 在函数y = x + 3 图象上的“积值”为xy =
1 × 4 = 4．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1) 已知点B 是函数y = 5
x 图象上任意一点，则点B 在该函数图象上的“积值”为
；
(2) 求点M(m, -3) 在函数y = x2+ 4x + 1 图象上的“积值”；
(3) 已知点P x0,y0
在函数y = 2x - b(b 为常数，且b > 4) 的图象上，当0 ≤x ≤1 时，点P 在函数y =
2x - b 图象上的“积值”的最小值为-3，求b 的值．
1. 吃透双定义：先明确二次函数新定义(如“联动函数”)，再分析其他函数(一次/ 反比例) 性质，标注交
点、增减性等关联点。
2. 联立方程求解：将两函数解析式联立，转化为一元二次方程(如ax2 + bx + c = kx + m)，用判别式判
断交点个数，或用韦达定理求参数关系。
3. 数形结合分析：画草图观察两函数位置(如二次函数顶点在反比例函数图象上)，结合新定义条件(如
“最低点纵坐标等于一次函数截距”) 列等式。
4. 分类讨论参数：若新定义含参数，分情况讨论参数对两函数交点、最值的影响，验根时兼顾定义域与实
际意义。
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12. (2025·辽宁盘锦·模拟预测) 定义：若以函数y 图象上的点P 与平面内两个点A，B 为顶点构成的三角
形是等边三角形，则称P 是y 上关于A，B 的“等边点”．在平面直角坐标系中，已知A(0,3)，B(-1,
0)，C(3,0)．
(1) 正比例函数y1上存在关于B，C 的“等边点”，直接写出正比例函数y1的解析式；
(2) 点Q 是y 轴正半轴上一点，点P 是反比例函数y2上关于C，Q 的“等边点”，且PC ∥y 轴，求反比例
函数y2的解析式；
(3) 二次函数y3过点A，B，C，则y3的解析式为
；
①如图①，射线AK 交x 轴于点K，点A 是y3上关于M ，N 的“等边点”，其中M 在射线AK 上，N 在射
线AC 上，求点K 的坐标；
②如图②，点E 是第一象限内二次函数y3的对称轴上一动点，若点P 是y3上关于C，E 的等边点，直
接写出点P 的横坐标．
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13. (2024·浙江湖州·一模) 定义：对于y 关于x 的函数，函数在x1 ≤x ≤x2 x1<x2
范围内的最大值，记作
M x1,x2
如函数y = 2x，在-1 ≤x ≤3 范围内，该函数的最大值是6，即，M -1,3
= 6．
请根据以上信息，完成以下问题：
已知函数y = a-1
x2- 4x + a2- 1(a 为常数)
(1) 若a = 2．
①直接写出该函数的表达式，并求M 1,4
的值；
②已知M p, 5
2
= 3，求p 的值．
(2) 若该函数的图象经过点0,0
，且M -3,k
= k，求k 的值．
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题型四
新定义型二次函数与几何图形的综合问题
14. (2024·上海虹口·二模) 新定义：已知抛物线y = ax2 + bx + c(其中abc ≠0)，我们把抛物线y = cx2 + ax
+ b 称为y = ax2 + bx + c 的“轮换抛物线”．例如：抛物线y = 2x2 + 3x + 1 的“轮换抛物线”为y = x2
+ 2x + 3．
已知抛物线C1：y = 4mx2+ 4m-5
x + m 的“轮换抛物线”为C2，抛物线C1、C2与y 轴分别交于点
E、F，点E 在点F 的上方，抛物线C2的顶点为P．
(1) 如果点E 的坐标为0,1
，求抛物线C2的表达式；
(2) 设抛物线C2的对称轴与直线y = 3x + 8 相交于点Q，如果四边形PQEF 为平行四边形，求点E 的
坐标；
(3) 已知点M -4,n
在抛物线C2上，点N 坐标为-2,-7 1
2
，当△PMN 与△PEF 相似时，求m 的
值．
1. 译定义条件：将新定义(如“抛物线与三角形构成‘关联图形'”) 转化为坐标关系，例：顶点在三角形某
边上，或与边交点满足特定距离。
2. 建函数与几何桥梁：用二次函数解析式表示几何图形顶点/ 交点坐标，结合全等/ 相似、面积公式等列方
程(如用距离公式表示边长相等)。
3. 分情况讨论：按几何图形位置(如顶点在左/ 右侧) 或新定义多情形分类，避免漏解。
4. 验图形逻辑：代入解验证是否符合几何图形完整性(如三角形不共线、抛物线不与边重合)，结合图像舍
去矛盾解。
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15. (24 - 25 九年级上·上海浦东新·阶段练习) 新定义：对于抛物线y = ax2 + bx + c，若b2 = ac，则称该抛
物线是黄金抛物线，若抛物线y = x2- 2x + m 是黄金抛物线，与y 轴交于点A，顶点为D．
(1) 求：此黄金抛物线的表达式及D 点坐标；
(2) 点B 2,k
在这个黄金抛物线上．
①点C c,- 1
2
在这个黄金抛物线的对称轴上，求：∠OBC 的正切值．
②在射线AB 上找一点P，使以点P、A、D 所组成的三角形与△AOD 相似，求：P 点坐标．
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16. 新定义：关于x 轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”．
(1) 求：抛物线y =- 1
2 x2+ x + 1 的“同轴对称抛物线”．
(2) 如图，在平面直角坐标系中，点B 是抛物线L:y = ax2- 4ax + 1 上一点，点B 的横坐标为1，过点B
作x 轴的垂线，交抛物线L 的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C 关于抛物线对称轴对称的点
B、C．
①当四边形BBCC 为正方形时，求：a 的值．
②在①的条件下，抛物线L 的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数y = x - 1 相交于点M 和点N(其
中M 在N 的左边)，将抛物线L 的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线L与一次函数y
= x - 1 相交于点P 和点Q(其中P 在Q 的左边)，满足PM + QN = MN ，试在抛物线L上有且仅有三
个点R1，R2，R3，使得△MNR1，△MNR2，△MNR3的面积均为定值S，请直接写出：R1，R2，R3的坐标．
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17. (2024·广东东莞·三模) 阅读理解
【信息提取】
新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的
“友好抛物线”．
新知识：对于直线y1= k1x + b1 k1≠0
和y2= k2x + b2 k2≠0
，若k1⋅k2=-1，则直线y1与y2互相垂直；
若直线y1与y2互相垂直，则k1⋅k2=-1．
【感知理解】
(1) 抛物线y1=-2(x + 2)2- 3 的“友好抛物线”为y2=
；
(2) 若抛物线y1= ax2+ bx + c(a ≠0) 与y2= mx2+ nx + q(m ≠0) 互为“友好抛物线”，则a 与m 的数
量关系为
，b 与n 的数量关系为
，c 与q 的数量关系为
；
【综合应用】
(3) 如图，抛物线l1:y1= x2- 4x + 3 的顶点为E，l1的“友好抛物线”l2的顶点为F，过点O 的直线l3与
抛物线l1交于点A，B(点A 在B 的左侧)，与抛物线l2交于点C，D(点C 在D 的左侧)．若四边形
AFDE 为菱形，求AB 的长．
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18. (24 - 25 九年级上·辽宁·期末) 定义：若函数C1 和函数C2 的图象关于直线x = m 对称，则称函数C1 和
C2关于直线x = m 互为“友好函数”，函数C1和C2的图象交点叫做“友好点”．
例如：函数C1:y = x2+ 1 关于直线x = 2 的“友好函数”为C2:y = x-4
2+ 1 = x2- 8x + 17，
“友好点”
为2,5
．
(1) 求函数y = x2- 2x 关于直线x =-1 的“友好函数”的表达式及“友好点”的坐标；
(2) 函数y = x2- 4x + 1 关于直线x = m 的“友好点”的纵坐标为n，当1 ≤m ≤4 时，求n 的取值范围；
(3) 函数C1:y = ax2- 2ax - 3a a≠0
关于直线x = 2 的“友好函数”为C2，
“友好点”为A．函数C1的
图象的顶点为M ，与y 轴交点为G，函数C2的图象的顶点为N ，与y 轴交点为H，函数C1与C2的图象
组成的图形记为W．
①若a = 1，判断△AMN 的形状，并说明理由；
②若GH = 2AG，求a 的值；
③点E(0, -2)，点F 4,-2
，若W 与线段EF 有且只有两个交点，直接写出a 的值或取值范围．
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19. (2025·辽宁鞍山·模拟预测) 新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角
形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图1，△ABC
的三个顶点A 1,0
，B 2,-1
，C 4,3
都在抛物线y = x2 - 4x + 3 上，我们把△ABC 叫做抛物线y =
x2- 4x + 3 的内接三角形，抛物线y = x2- 4x + 3 叫做△ABC 的外接抛物线．
问题：
(1) 已知点A -1,1
，B 1,1
，则△ABO 的外接抛物线的解析式为
；
(2) 如图2，已知等边△ABO 是抛物线y = x2的内接三角形，求顶点A，B 的坐标；
(3) 如图2，已知Rt△ABO 是抛物线y = x2的内接三角形，∠AOB = 90°，求边AB 与y 轴的交点P 的
坐标；
(4) 已知△ABC 是抛物线y = x2+ bx + c 的内接三角形，抛物线y = x2+ bx + c 与x 轴交于点A，B(A
在B 的左侧)．
①当△ABC 是等腰直角三角形时，求△ABC 的面积；
②当点C 在y 轴上，且△ABC 是钝角三角形时，请直接写出c 的取值范围．
