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二次函数的新定义题型
1. 定义：如果代数式A = a1x2 + b1x + c1(a1 ≠0，a1，b1，c1 是常数) 与B = a2x2 + b2x + c2(a2 ≠0，a2，b2，c2 是
常数)，满足a1 = a2，b1 + b2 = 0，c1 = c2，则称这两个代数式A 与B 互为“同构式”，下列四个结论：①代数
式2x2 + x - 3 的“同构式”为2x2 - x - 3；②若代数式2mx2 + nx + 5 与6nx2 + 3x + 5 互为“同构式”，则
m + n = 6；③若A、B 互为“同构式”，且方程A + B = 0 有两个不相等的实数根，则a1c1 > 0；④若A、B
互为“同构式”，A = x2 - 2x + 8，函数y = |A - 2B| 的图象与直线y = m 有4 个交点，则0 ≤m ≤1．其
中，正确的结论有( ) 个．
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
2. 新定义：[a，b] 为一次函数y = ax + b(a ≠0，a，b 为实数) 的“关联数”．若“关联数”为[3，m - 2] 的一
次函数是正比例函数，则点(1 - m,1 + m) 在第
象限．
3. (2021 秋• 庐阳区校级月考) 新定义：[a，b，c] 为二次函数y = ax2 + bx + c(a ≠0，a，b，c 为实数) 的“图
象数”，如：y = x2 - 2x + 3 的“图象数”为[1，-2，3]，若“图象数”是[m，2m + 4，2m + 4] 的二次函数的
图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为(
)
A. - 2
B. 1
4
C. - 2 或2
D. 2
4. 如果二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可表示为：y = x2 + px + q，我们称[p，q] 为此函数的“特
征数”，如二次函数y = x2+ 2x + 3 的特征数为[2，3]．
(1) 若一个函数的特征数为[-2，1]，该函数图象的顶点坐标为
．
(2) 探究以下问题：
①若一个函数的特征数为[4，-1]，将此函数的图象先向右平移1 个单位，再向上平移1 个单位，求得到
的图象对应函数的特征数．
②若一个函数的特征数为[2，3]，将此函数的图象经过的怎样平移，才能使得到的图象对应函数的特征
数为[3，4]？
5. 定义[a，b，c] 为函数y = ax2 + bx + c 的特征数，下面给出特征数为[m - 1，m + 1，-2m] 的函数的一
些结论，其中不正确的是(
)
A. 当m = 2 时，函数图象的顶点坐标为- 3
2 ,- 25
4
B. 当m > 1 时，函数图象截x 轴所得的线段长大于3
C. 当m < 0 时，函数在x < 1
2 时，y 随x 的增大而增大
D. 不论m 取何值，函数图象经过两个定点
6. 定义[a，b，c] 为函数y = ax2 + bx + c 的特征数，下面给出特征数为[2m，1 - m，-1 - m] 的函数的一
些结论，其中不正确的是(
)
2
A. 当m =-3 时，函数图象的顶点坐标是
1
3 , 8
3
B. 当m > 0 时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于3
2
C. 当m ≠0 时，函数图象经过同一个点
D. 当m < 0 时，函数在x > 1
4 时，y 随x 的增大而减小
7. 对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a，则称a 是这个函数的不动点．已知二次函数y = x2
+ 3x + m．
(1) 若2 是此函数的不动点，则m 的值为
．
(2) 若此函数有两个相异的不动点a、b，且a < 1 < b，则m 的取值范围为
．
8. 定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y 轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函
数．例如：y = 2x2+ 4x - 5 的友好同轴二次函数为y =-x2- 2x - 5．
(1) 函数y = 1
4 x2- 2x + 3 的友好同轴二次函数为
．
(2) 当-1 ≤x ≤4 时，函数y = (1 - a)x2 - 2(1 - a)x + 3(a ≠0 且a ≠1) 的友好同轴二次函数有最大值为
5，求a 的值．
(3) 已知点(m,p)，(m,q) 分别在二次函数y1 = ax2 + 4ax + c(a > 1
2 且a ≠1) 及其友好同轴二次函数y2
的图象上，比较p，q 的大小，并说明理由．
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9.【阅读理解】已知关于x、y 的二次函数y = x2 - 2ax + a2 + 2a = (x - a)2 + 2a，它的顶点坐标为(a,2a)，故
不论a 取何值时，对应的二次函数的顶点都在直线y = 2x 上，我们称顶点位于同一条直线上且形状相同
的抛物线为同源二次函数，该条直线为根函数．
【问题解决】(1) 若二次函数y = x2+ 2x - 3 和y =-x2- 4x - 3 是同源二次函数，求它们的根函数；
(2) 已知关于x、y 的二次函数C:y = x2- 4mx + 4m2- 4m + 1，完成下列问题：
①求满足二次函数C 的所有二次函数的根函数；
②若二次函数C 与直线x =-3 交于点P，求点P 到x 轴的最小距离，请求出此时m 为何值？并求出点
P 到x 轴的最小距离．
10. 若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
(1) 请写出两个为“同簇二次函数”的函数．
(2) 已知关于x 的二次函数y1 = 2x2 - 4mx + 2m2 + 1 和y2 = ax2 + bx + 5
4 ，其中y1 的图象经过点P(1,
1)，y2与y1为“同簇二次函数”，
①求m 的值及函数y2的表达式．
②如图点A 和点C 是函数y1 上的点，点B 和点D 是函数y2 上的点，且都在对称轴右侧，若AB ⎳CD ⎳x
轴，BC ⊥AB，求CD
AB 的值(只需直接答案)．
4
11. 已知一系列具备负整数系数形式规律的“负倍数二次函数”：y1 =-x2 - 2x，y2 =-2x2 - 4x，y3 =-3x2 -
6x，⋯
(1) 探索发现，所有“负倍数二次函数”都有同一条对称轴直线x =
．
(2) 求二次函数yn的解析式及其顶点坐标．
(3) 点(-1,10) 是否是“负倍数二次函数”中某一抛物线的顶点，若是，请求出它所在的抛物线解析式，并
求出-2 ≤x ≤1 对应的y 的取值范围；若不是，请说明理由．
12. 在平面直角坐标系中，对于函数y1 = ax2 + bx + c，其中a、b、c 为常数，a ≠c，定义：函数y2 = cx2 + bx +
a 是y1 = ax2 + bx + c 的衍生函数，点M(a,c) 是函数y1 = ax2 + bx + c 的衍生点，设函数y1 = ax2 + bx +
c 与其衍生函数的图象交于A、B 两点(点A 在点B 的左侧)．
(1) 若函数y1 = ax2 + bx + c 的图象过点C(-1,3)、D(1, -5)，其衍生点M(1,c)，求函数y1 = ax2 + bx + c
的解析式；
(2) ①若函数y1= ax2+ bx + c 的衍生函数为y2= 2x - 1，求A、B 两点的坐标；
②函数y1= ax2+ bx + c 的图象如图所示，请在图中标出点A、B 两点的位置；
(3) 是否存在常数b，使得无论a 为何值，函数y1 = ax2 + bx + c 的衍生点M 始终在直线AB 上，若存在，
请求出b 的值；若不存在，请说明理由．
5
13. 九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y = a1x2 + b1x + c1(a1 ≠0，a1，b1，c1 是常数) 与y = a2x2 + b2x + c2(a2 ≠0，a2，b2，c2
是常数) 满足a1 + a2 = 0，b1 = b2，c1 + c2 = 0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y = 2x2 - 3x + 1 的
“旋转函数”．
小组同学是这样思考的，由函数y = 2x2 - 3x + 1 可知，a1 = 2，b1 =-3，c1 = 1，根据a1 + a2 = 0，b1 = b2，
c1+ c2= 0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参照小组同学的方法解决下面问题：
(1) 函数y = x2- 4x + 3 的“旋转函数”是
；
(2) 若函数y = 5x2+ (m - 1)x + n 与y =-5x2- nx - 3 互为“旋转函数”，求(m + n)2022的值；
(3) 已知函数y = 2(x - 1) (x + 3) 的图象与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，点A，B，C 关于原点的
对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1 的二次函数与y = 2(x - 1) (x + 3) 互为“旋转函
数”．
14. 如果一个点的横纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称定点．比如点(1,2) 就是一
个定点．在一次函数y = kx - k + 2(k 是常数) 的图象中，由于y = kx - k + 2 = k(x - 1) + 2，当x - 1 =
0 即x = 1 时，无论k 为何值，y 一定等于2，我们就说直线y = kx - k + 2 一定经过定点(1,2)．
(1) 已知抛物线y = ax2- 1(a 是常数)，无论a 取何值，该抛物线都经过定点A．直接写出点A 的坐标．
(2) 已知抛物线y = mx2+ (2 - 2m)x + m - 2(m 是常数)．
①无论m 取何值，该抛物线都经过定点D．直接写出点D 的坐标．
②若在0 ≤x ≤1 的范围内，至少存在一个x 的值，使y > 0，求m 的取值范围．
6
15. 在数学活动课上，小明兴起小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数，y = ax2 + bx +
c(a ≠0) 图象上的点A(x,y) 的横坐标不变，纵坐标变为A 点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点
A1(x,x + y)．他们把这个点A：定义为点A 的“简朴”点．他们发现：二次函数y = ax2 + bx + c(a ≠0) 所
有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为y = ax2+ bx + c(a ≠0) 的“简朴曲线”．
例如，二次函数y = x2+ x + 1 的“简朴曲线”就是y = x2+ x + 1 + x = x2+ 2x + 1，请按照定义完成：
(1) 点P(1,2) 的“简朴”点是
；
(2) 如果抛物线y = ax2- 7x + 3(a ≠0) 经过点M(1, -3)，求该抛物线的“简朴曲线”；
(3) 已知抛物线y = x2 + bx + c 图象上的点B(x,y) 的“简朴点”是B1(-1,1)，若该抛物线的“简朴曲线”的
顶点坐标为(m,n)，当0 ≤c ≤3 时，求n 的取值范围．
16. 已知抛物线L1:y = ax2+ bx - 3 与x 轴交于点A(-3,0)，B(1,0)．
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 若两个抛物线的交点在x 轴上，且顶点关于x 轴对称，则称这两个抛物线为“对称抛物线”，求抛物线
L1对称抛物线L2的解析式；
(3) 在(2) 的条件下，点M 是x 轴上方的抛物线L2 上一动点，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，设M 的横坐
标为m，记W = MN - 2ON ，求W 的最大值．
7
17. 设二次函数y1，y2 的图象的顶点分别为(a,b)、(c,d)，当a =-2c，b =-2d，且开口方向相同时，则称y1 是
y2的“反倍顶二次函数”．
(1) 请写出二次函数y = x2+ x + 1 的一个“反倍顶二次函数”；
(2) 已知关于x 的二次函数y1 = x2 + nx 和二次函数y2 = x2 - 2nx + 1，若函数y1 恰是y1 + y2 的“反倍顶
二次函数”，求n 的值．
18. 若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
(1) 请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
(2) 已知关于x 的二次函数y1 = 2x2 - 4mx + 2m2 + 1 和y2 = ax2 + bx + 5，其中y1 的图象经过点A(1,1)，
若y1+ y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0 ≤x ≤3 时，y2的最大值．
8
19. 在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为平衡点．例如：点(1,1)，(- 2 ，
- 2)，⋯⋯都是平衡点．
(1) 判断函数y = 2x + 1 的图象上是否存在平衡点，若存在，求出其平衡点的坐标；
(2) 若二次函数y = ax2+ 6x + c(a ≠0) 的图象上有且只有一个平衡点
5
2 , 5
2
．
①求a，c 的值；
②若1 ≤x ≤m 时，函数y = ax2 + 6x + c + 1
4 (a ≠0) 的最小值为-1，最大值为3，求实数m 的取值范
围．
20. 定义：在平面直角坐标系xOy 中，当点N 在图形M 的内部，或在图形M 上，且点N 的横坐标和纵坐标相
等时，则称点N 为图形M 的“梦之点”．
(1) 如图①，矩形ABCD 的顶点坐标分别是A(-1,2)，B(-1, -1)，C(3, -1)，D(3,2)，在点M1(1,1)，M2(2,
2)，M3(3,3) 中，是矩形ABCD“梦之点“的是
；
(2) 点G(2,2) 是反比例函数y1 = k
x 图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H 的坐
标是
，直线GH 的解析式是y2=
，y1> y2时，x 的取值范围是
；
(3) 如图②，已知点A，B 是抛物线y =- 1
2 x2 + x + 9
2 上的“梦之点”，点C 是抛物线的顶点．连接AC，
AB，BC，判断ΔABC 的形状，并说明理由．
9
21. 数和形是数学研究客观物体的两个方面，数(代数) 侧重研究物体数量方面，具有精确性，形(几何) 侧重
研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．
数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y = (4a + 2)x2 +
(9 - 6a)x - 4a + 4(实数a 为常数) 的图象为图象T．
(1) 求证：无论a 取什么实数，图象T 与x 轴总有公共点；
(2) 是否存在整数a，使图象T 与x 轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a 的值；若不存在，请说明
理由．
10
22. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P 是平面内任意一点(坐标轴上的点除外)，过点P 分别作x 轴、y
轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B 为顶点的矩形OAPB 的周长与面积的数值相等时，则称点
P 是平面直角坐标系中的“美好点”．
【尝试初探】
(1) 点C(2,3)
“美好点”(填“是”或“不是”)；若点D(4,b) 是第一象限内的一个“美好点”，则b =
；
【深入探究】
(2) ①若“美好点”E(m，6) (m > 0) 在双曲线y = k
x (k ≠0，且k 为常数) 上，则k =
；
②在①的条件下，F(2,n) 在双曲线y = k
x 上，求SΔEOF 的值；
【拓展延伸】
(3) 我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点P(x,y) 是第一象限内的“美好点”．
①求y 关于x 的函数表达式；
②在图2 的平面直角坐标系中画出函数图象的草图，观察图象可知该图象可由函数
(x > 0) 的图
象平移得到；
③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是
；(多项选择，全部选对的得2 分，部分选对的得1
分，有选错的不得分)
A. 图象与经过点(2,2) 且平行于坐标轴的直线没有交点；
B. y 随着x 的增大而减小；
C. y 随着x 的增大而增大；
D. 图象经过点10, 3
2
；
④对于图象上任意一点(x,y)，代数式(2 - x) ⋅(y - 2) 是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，
请说明理由．
