专题18新定义问题在五种题型中的应用（原卷版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_中考数学压轴题（全国通用）

专题 18 新定义问题在五种题型中的应用 通用的解题思路： 新定义类坐标系内代数综合问题，是在已有的数学知识基础上，从坐标、代数式、或者函数图象以及几何 图象出发，给出一个新定义，要求学生理解并应用这个定义来解决相应的数学问题。它突出考查自主学习 能力、数学阅读能力、数学抽象概括能力以及对新定义的实际应用能力。 解答此类问题，首先，认真阅读题目，结合简单示例，理解题干新定义的核心特征，如位置关系、数量关 系、变化运动特征等;其次，要根据题意，画出辅助图形，完成文字语言、符号语言和图象语言的互化，让 语言互化走在思维的最前端;最后，注意归纳结论，为后续问题做好指向。 此类新定义，名字新，但是内容一般是由我们学过的知识按照一种新的模式进行的组合，这就需要在分析 的基础上进行转化。将新定义转化为熟悉的知识和熟悉的方法，才能有效地解决问题。 题型一：数与式中的新定义问题 1．（2024•宣化区一模）对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b， 129 c}表示这三个数中最小的数．例如：M{1，2，9} 4，min{1，2，3}3，min{3，1，1}1．请 3 结合上述材料，解决下列问题： （1）min{sin30，cos60，tan45}； （2）若M{2x，x2，3}2，求x的值．2．（2023•章贡区校级模拟）给出如下定义：我们把有序实数对(a，b，c)叫做关于 x的二次多项式 ax2 bxc的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2 bxc叫做有序实数对(a，b，c)的特征多项式． （1）关于x的二次多项式3x2 2x1的特征系数对为 ； （2）求有序实数对(1，4，4)的特征多项式与有序实数对(1，4，4)的特征多项式的乘积； （3）若有序实数对(p，q，1)的特征多项式与有序实数对(m，n，2)的特征多项式的乘积的结果为 2x4 x3 10x2 x2，直接写出(4p2q1)(2mn1)的值为 ． 3．（2022•湘潭县校级模拟）阅读下列材料，并解决相关的问题． 定义：如果一个数的平方等于1，记为i2 1，这个数i叫做虚数单位．那么形如abi(a，b为实数）的 数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘 法运算类似．例如计算：(2i)(34i)53i． （1）填空：i3  ，i4  ； （2）计算： ①(2i)(2i)； ②(2i)2． 1i （3）试一试：请利用以前学习的有关知识将 化简成abi的形式． 1i4．（2022•沙坪坝区模拟）如果一个三位自然数M 的各个数位上的数字均不为0，且满足百位上的数字等于 十位上的数字与个位上的数字之和，则称这个数为“沙磁数”． 例如：M 321， 321，321是“沙磁数”．  又如：M 534， 534，534不是“沙磁数”．  （1）判断853，632是否是“沙磁数”？并说明理由； （2）若M 是一个“沙磁数”，将M 的十位数字放在M 的百位数字之前得到一个四位数A，在M 的末位之 后添加数字1得到一个四位数字B，若AB能被11整除，求出所有满足条件的M ． 5．（2022•渝中区校级模拟）材料1：若一个数各个数位上数字之和能被9整除，则这个数本身也能被9整 除； 材料2：如果一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数m可以被9整除，且m的百位上的数字比十位 上的数字大2，则称m为“够二数”；将m的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到的 mm1818 数为m，F(m) ，例如：m8424， 84241892，422，8424是“够二  999 842442481818 数”， F(8424) 6． 999 （1）判断1314，6536是否是“够二数”，请说明理由，如果是“够二数”，请计算F(m)的值； c （2）若一个四位正整数nabcd是“够二数”，且 为5的倍数，请求出所有的“够二数” n的值． F(n)6．（2024•兴宁区校级模拟）广西是全国水果大省，是能实现水果自由的地方，更是沙糖桔的第一大产 区．2024年伊始，伴随广西11车沙糖桔运往哈尔滨，一场特殊的“投桃报李”引发全国关注，沙糖桔一跃 成为春节期间的网红水果．小明爸爸开的水果店准备购进一批沙糖桔，有两个商家可供选择，上初三的小 明让爸爸各买一箱，标记为A，B，准备运用所学的统计知识帮助爸爸进行选择．小明在A，B两箱水果 中各随机取10个，逐一测量了它们的直径，测量结果如下（单位cm): 数据统计表 抽取序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A箱沙糖桔直径 4.5 4.4 4.6 4.5 4.4 4.5 4.6 4.6 4.5 4.4 B箱沙糖桔直径 4.4 4.3 4.4 4.7 4.4 4.8 4.5 4.2 4.8 4.5 统计量 平均数 众数 中位数 A 4.5 b 4.5 B a 4.4 c 根据题目信息，回答下列问题： （1）a ，b ，c ； （2）由折线图可知，s2 s2；（填“”“ ”或“” ) A B （3）爸爸告诉小明沙糖桔一级果外观要求：大小均匀，直径在4cm~5cm之间．请帮助小明用合适的统计 量评价这两箱沙糖桔是否符合一级果要求，以及选择哪箱沙糖桔更好，并写出依据．7．（2023•丰润区二模）一个三位数，若它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数为 “和谐数”． （1）最小的三位“和谐数”是 ，最大的三位“和谐数”是 ； （2）若一个“和谐数”的个位数字为a(a…0)，十位数字为b(b…1，ba且a、b都是自然数），请用含a， b的代数式表示该“和谐数”； （3）判断任意一个三位“和谐数”能否被11整除，若能，请说明理由，若不能，请举出反例． 8．（2022•九龙坡区校级模拟）对于任意一个四位数m，若满足千位上的数字与个位上的数字之和是百位上 的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“倍和数”、例如： m6132， 622(13)，6132是倍和数”；  m1374， 142(37)，1374不是“倍和数”；  （1）判断1047和4657是否为“倍和数”？并说明理由． （2）当一个“倍和数” m千位上的数字与个位上的数字不相等，且千位上的数字与个位上的数字之和等 于8时，记这个“倍和数” m的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为T(m)，记百位上的数字与 T(m) 十位上的数字之差的绝对值为R(m)，令G(m) ，当G(m)能被3整除时，求出满足条件的所有“倍和 R(m) 数” m．9．（2022•两江新区模拟）材料一：若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的4 倍，则称这个两位数为 “巧数”． 材料二：一个四位数N abcd 满足各个数位数字都不为0，且它的千位数字与百位数字组成的两位数ab， 以及十位数字与个位数字组成的两位数cd 均为“巧数”，则称这个四位数为“双巧数”．若 pacbd ， qad bc，则记F(N)q p． （1）请任意写出两个“巧数”，并证明任意一个“巧数”的个位数字是十位数字的2倍； （2）若s，t都是“双巧数”，其中s3010100x10yz，t 1100m40010n2r，(1„ x，z，n„ 9， F(s) 1„ y„ 8，1„ m„ 5，1„ r„ 4，且x，y，z，m，n，r 均为整数），规定K(s，t) ，当F(s)F(t)12 F(t) 时，求K(s,t)的最大值． 10．（2022•江津区一模）一个三位数m，将m的百位数字和十位数字相加，所得数的个位数字放在m之后， 得到的四位数称为m的“如虎添翼数”，将m的“如虎添翼数”的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四 个新的三位数，把四个新的三位数的和与3的商记为F(m)．例如：m297， 2911，297的“如虎  添翼数” n是2971，将2971的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新的三位数：971、271、291、 971271291297 297，则F(n) 610． 3 （1）258的“如虎添翼数”是 ，F(258) ； （2）证明任意一个十位数字为0的三位数M ，它的“如虎添翼数”与M 的个位数字之和能被11整除； （3）一个三位数s100x10y103(x…y且x y…9)，它的“如虎添翼数” t能被17整除，求F(s)的最大 值．11．（2022•开州区模拟）一个自然数能分解成AB，其中A，B均为两位数，A的十位数字比B的十位数 字少1，且A，B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“双十数”． 例如： 48196179，6比7小1，1910，4819是“双十数”；  又如： 14963444，3比4小1，4410，1496不是“双十数”．  （1）判断357，836是否是“双十数”，并说明理由； （2）自然数N  AB为“双十数”，将两位数A放在两位数B的左边，构成一个新的四位数M ．例如： 48196179，M 6179，若A与B的十位数字之和能被5整除，且M 能被7整除，求所有满足条件的自 然数N． 12．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N是m的“和倍数”． 例如： 247(247)2471319，247是13的“和倍数”．  又如： 214(214)2147304，214不是“和倍数”．  （1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由； （2）三位数A是12的“和倍数”， a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且abc．在a，b， F(A)G(A) c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F （A），最小的两位数记为G（A），若 为 16 整数，求出满足条件的所有数A．13．（2022•铜梁区模拟）对于任意一个四位数N，如果N满足各个数位上的数字互不相同．且个位数字不 为0，N的百位数字与十位数字之差是千位数字与个位数字之差的2 倍，则称这个四位数N为“双减数”， 对于一个“双减数” N abcd ，将它的千位和百位构成的两位数为ab，个位和十位构成的两位数为dc， abdc 规定：F(N) ． 12 7082 例如：N 7028．因为022(78)，所以7028是一个“双减数”则F(7028) 1． 12 （1）判断3401，5713是否是“双减数”，并说明理由；如果是，求出F(N)的值； （2）若“双减数” M 的各个数位上的数字之和能被11整除，且F(M)是3的倍数，求M 的值． 14．（2022•大足区模拟）对任意一个四位正整数m，如果m的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m 的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m为“和谐数”．例如：m7431，满足 134，2317，所以7431是“和谐数”．例如：m6413，满足134，但21356，所以 6413不是“和谐数”． （1）判断8624和9582是不是“和谐数”，并说明理由； （2）若m是“和谐数”，且m与22的和能被13整除，求满足条件的所有“和谐数” m．15．（2022•南川区模拟）对于一个三位数的正整数P，满足各个数位上的数字都不为零，它的百位数字减 去十位数字的差等于十位数字减去个位数字的差，那么称这个数P为“平衡数”，对于任意一个“平衡数”， 将它的前两位数加上后两位数所得的和记为m；将它的百位数字和个位数字构成的两位数加上交换这个两 位数所得到的新两位数的和记为n；把m与n的差除以 9 所得结果记为：F(P)．例如P246，因为 7088 2446，所以246是一个“平衡数”，所以m244670，n266288，则 2． 9 （1）计算：F(258)，F(741)； （2）若 s、t都是“平衡数”其中 s10x y502，t 10ab200， (1„ x„ 9)，1„ y„ 7，1„ a„ 9， F(s) 1„ b„ 9，x、y、a、b都是整数），规定k  ，当2F(s)F(t)1时，求k的最小值． F(t) 16．（2024•唐山一模）数学课上老师给出规定：如果两个数的平方差能被4整除，我们称这个算式是“佳 偶和谐式”． 小亮写出如下算式：82 62 74；142 122 134；1062 1042 1054． 发现：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”． （1）验证：222 202是“佳偶和谐式”； （2）证明：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”； （3）小红通过小亮的结论推广得到一个命题：任意两个偶数的平方差都能被4整除，他们的算式都是“佳 偶和谐式”，直接判断此命题是真命题还是假命题．题型二：函数中的新定义问题 1．（2023•益阳）在平面直角坐标系xOy中，直线l:ya(x2)(a0)与x轴交于点A，与抛物线E:yax2 交于B，C两点(B在C的左边）． （1）求A点的坐标； （2）如图1，若B点关于x轴的对称点为B点，当以点A，B，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实 数a的值； （3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如(2,1)，(2,0)等均为格点．如 图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值 范围． ?2．（2023•义乌市模拟）【概念发现】 对于平面上的图形S，先将其向上平移a个单位，再将平移后的图形沿着直线xb翻折得到图象S，记此 变换过程为图形S的(a,b)滑动对称变换，若在另一图形T上存在一动点C，图形S上存在一动点D，记CD 长度的最大值为H(S,T)，CD长度的最小值为h(S,T)． ? 【理解应用】 （1）如图1，平面直角坐标系中，M(3,2)，N(5,1)，记线段MN 为图形S，先将线段MN 向上平移1个单 位，再沿着直线x2翻折得到线段，记线段MN’，记线段MN为图形S，则图形S的( ， )滑 动对称变换得到图形S．记原点O为图形T，则H(S,T) ，h(S,T) ． 【思维提升】 （2）如图2， P在坐标平面内，半径为2，圆心P(6,0)，A(1,0)，B(2,0)，记 P为图形S，线段AB记   为图形T，图形S的(3,2)滑动对称变换得到图形S，求H(S,T)与h(S,T)的值． 【拓展延伸】 4 12 （3）如图3，记直线y x2的图象为图形S，反比例y 的图象为图形T，图形S的(2,0)滑动对称 3 x 变换得到图形S，则h(S,T) ．3．（2023•姜堰区二模）在平面直角坐标系中，对于函数y ax2 bxc，其中a、b、c为常数，ac， 1 定义：函数y cx2 bxa是y ax2 bxc的衍生函数，点M(a,c)是函数y ax2 bxc的衍生点，设 2 1 1 函数y ax2 bxc与其衍生函数的图象交于A、B两点（点A在点B的左侧）． 1 （1）若函数y ax2 bxc的图象过点C(1,3)、D(1,5)，其衍生点M(1,c)，求函数y ax2 bxc的解 1 1 析式； （2）①若函数y ax2 bxc的衍生函数为y 2x1，求A、B两点的坐标； 1 2 ②函数y ax2 bxc的图象如图所示，请在图中标出点A、B两点的位置； 1 （3）是否存在常数b，使得无论a为何值，函数y ax2 bxc的衍生点M 始终在直线AB上，若存在， 1 请求出b的值；若不存在，请说明理由．4．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线yax2 bxc（其中ab0)与抛物线ybx2 axc称为“关联 抛物线”．例如：抛物线 y2x2 3x1的“关联抛物线”为： y3x2 2x1．已知抛物线 C :y4ax2 ax4a3(a0)的“关联抛物线”为C ． 1 2 （1）写出C 的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标； 2 （2）若a0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C ，C 于点M ，N． 1 2 ①当MN 6a时，求点P的坐标； ②当a4„ x„ a2时，C 的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 2 5．（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称 为“月牙线”，如图①，抛物线C :yx2 2x3与抛物线C :yax2 2axc组成一个开口向上的“月牙 1 2 线”，抛物线C 和抛物线C 与x轴有着相同的交点A(3,0)、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、 1 2 H(0,1)． （1）求抛物线C 的解析式和点G的坐标． 2 （2）点M 是x轴下方抛物线C 上的点，过点M 作MN x轴于点N，交抛物线C 于点D，求线段MN 与 1 2 线段DM 的长度的比值． （3）如图②，点E是点H 关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F ，使得EFG是 以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n(n…0)的点叫做这个函数图象的“n阶方 1 1 1 2 点”．例如，点( ， )是函数yx图象的“ 阶方点”；点(2,1)是函数y 图象的“2阶方点”． 3 3 2 x 1 1 （1）在①(2, )；②(1,1)；③(1,1)三点中，是反比例函数y 图象的“1阶方点”的有 （填序 2 x 号）； （2）若y关于x的一次函数yax3a1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值； （3）若 y关于x的二次函数 y(xn)2 2n1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范 围． 7．（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点 1 1 (1,1)，( ， )，( 2 ， 2)，都是和谐点． 2 2 （1）判断函数y2x1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； 5 5 （2）若二次函数yax2 6xc(a0)的图象上有且只有一个和谐点( ， )． 2 2 ①求a，c的值； 1 ②若1„ x„ m时，函数yax2 6xc (a0)的最小值为1，最大值为3，求实数m的取值范围． 48．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知正方形ABCD，其中A( 2 ， 2)，B( 2 ， 2)， C( 2， 2)，D( 2， 2)，M 、N为正方形外两点，MN 1．给出如下定义：如果线段MN 平移m 个单位后，两端点均落在正方形ABCD的边上，则称m的最小值为线段MN 到正方形ABCD的“平移距离”， 记为d． （1）如图1，平移线段MN ，得到两条端点在正方形ABCD边上且长度为1的线段PP 和PP ，则这两条 1 2 3 4 线段的位置关系是 ；在点P，P ，P ，P 中，连接点M 与点 的线段的长度等于d； 1 2 3 4 （2）若点M ，N都在直线yx4上，求d的值； 5 2 5 2 （3）若点M 的坐标为( , )，直接写出d的取值范围． 2 29．（2024•乌鲁木齐一模）我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数yx1， 令y0，可得x1，我们就说1是函数yx1的零点． （1）求一次函数y2x3的零点； 3 （2）若二次函数 yx2 bx b的零点为x ，x ， A，B两点的坐标依次A(x ，0)，B(x ，0)，如果 2 1 2 1 2 AB2，求b的值； （3）直线 y2xb的零点为 1，且与抛物线 ykx2 (3k3)x2k4(k 0)交于 C、 D两点，若 1 m1„ „ m2时，线段CD有最小值3 5，求m． k10．（2023•崇川区校级四模）规定：如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的，我们则称这 两个函数互为“O—函数”．这组点称为“XC点”．例如：点P(1,1)在函数 yx2上，点Q(1,1)在函数 yx2上，点P与点Q关于原点对称，此时函数yx2和yx2互为“O—函数”，点P与点Q则为 一组“XC点”． 6 （1）已知函数y2x1和y 互为“O—函数”，请求出它们的“XC点”； x （2）已知函数yx2 2x4和y4xn2022互为“O—函数”，求n的最大值并写出“XC点”； （3）已知二次函数 yax2 bxc(a0)与 y2bx1互为“O—函数”有且仅存在一组“XC点”，如图， c2 2c6 若二次函数的顶点为M ，与x轴交于A(x ，0)，B(x ，0)其中0x x ，AB ，过顶点M 1 2 1 2 c 作x轴的平行线l，点P在直线l上，记P的横坐标为 t ，连接OP，AP，BP．若OPAOBP，求t 的最小值．11．（2023•长安区校级二模）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例 1 1 如：点(1,1)，(0,0)，( ， )，都是和谐点． 3 3 （1）判断二次函数yx2 2的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； （2）若二次函数yax2 2xc(a0)的图象上有且只有一个和谐点(1,1)． ①求这个二次函数的表达式； 3 ②若0„ x„ m时，函数yax2 2xc (a0)的最小值为1，最大值为3，求实数m的取值范围．（可通过 2 画出函数图象草图来求解） 12．（2023•海州区校级一模）在平面直角坐标系中，对于两点A(x ，y )和B(x ，y )，它们横坐标之差的 1 1 2 2 绝 对 值 与 纵 坐 标 之 差 的 绝 对 值 之 和 称 为 这 两 个 点 之 间 的 曼 哈 顿 距 离 ， 表 示 为 ： d(A,B)|x x || y  y |． 1 2 1 2 （1）如果点A(3,2)，则原点O与点A的曼哈顿距离d(O,A) ； （2）函数 y2x4(0„ x„ 2)的图象如图 1 所示， B是图象上一点，原点O与点 B的曼哈顿距离 d(O,B)3，则点B的坐标为 ； （3）点C，D分别在x轴和y轴的正半轴上，对于线段CD上任意一点P，都满足d(O,P)3，则直线 CD的函数表达式为 ； （4）如图2，点E(5,3)， E的半径为2，点M 在 E上，则d(O,M)的最小值为 ．  13．（2023•黄石模拟）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等 1 1 值点”，例如，点(1,1)是函数的y x 图象的“等值点”． 2 2 1 （1）试判断函数y (x1)的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果 x1 不存在，请说明理由； （2）已知函数yx2 2的图象的“等值点”为点A(1,1)和点B(2,2)． ①已知实数m、n满足m2 m20，n2 n20，且mn，求m2nmn2的值； ②已知实数 p、q满足 p2  p2，2q2 q1，且 p2q，求 p2 4q2的值； ③若函数yx2 2(x…1)的图象记为W 将其沿直线x1翻折后的图象记为W ，由W ，W 两部分组成的图象 1 2 1 2 记为W ，试求图象W 上的“等值点”． 1 1 14．（2022•长沙）若关于x的函数 y，当t „ x„ t 时，函数 y的最大值为M ，最小值为N，令函数 2 2 M N h ，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”． 2 （1）①若函数y4044x，当t 1时，求函数y的“共同体函数” h的值； ②若函数ykxb(k 0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数” h的解析式；2 （2）若函数y (x…1)，求函数y的“共同体函数” h的最大值； x （3）若函数yx2 4xk ，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最 小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 15．（2024•长沙三模）对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量x与函数值y满足：当(xm)(xn)„ 0 时，(ym)(yn)„ 0(m，n为实数，且mn)，我们称这个函数在mn上是“民主函数”．比如：函数 yx1在12上是“民主函数”．理由： 由[x(1)](x2)„ 0，得1„ x„ 2． x1 y，1„1 y„ 2，   解得1„ y„ 2，[y(1)](y2)„ 0，是“民主函数”． 6 （1）反比例函数y 是23上的“民主函数”吗？请判断并说明理由； x （2）若一次函数ykxb在mn上是“民主函数”，求此函数的解析式（可用含m，n的代数式表示）； （3）若抛物线yax2 bxc(a0,ab0)在13上是“民主函数”，且在1„ x„ 3上的最小值为4a，设 抛物线与直线 y3交于 A，B点，与 y轴相交于C点．若ABC 的内心为G，外心为M ，试求MG的 长． 16．（2023•南山区三模）在平面直角坐标系中，由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线 所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图所示，抛物线C 与抛物线C :ymx2 4mx12m(m0)的部分图 1 2 象组成一个“月牙线”，相同的交点分别为M ，N（点M 在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B， 且点A的坐标为(0,1)． （1）求M ，N两点的坐标及抛物线C 的解析式； 13 （2）若抛物线C 的顶点为D，当m 时，试判断三角形MND的形状，并说明理由； 2 4 5 （3）在（2）的条件下，点P(t, )是抛物线C 上一点，抛物线C 第三象限上是否存在一点Q，使得 4 1 2 3 S  S ，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． APM 2 ONQ 17．（2023•宛城区校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线xm，对于任意一个函数，作该函 数自变量大于m的部分关于直线xm的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个 新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线xm的“镜面函数”．例如：图①是函数yx1的图象， x1(x…0) 则它关于直线x0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为y ， x1(x0) 也可以写成y|x|1． （1）在图③中画出函数y2x1关于直线x1的“镜面函数”的图象． （2）函数yx2 2x2关于直线x1的“镜面函数”与直线yxm有三个公共点，求m的值． （3）已知抛物线 yax2 4ax2(a0)，关于直线x0的“镜面函数”图象上的两点P(x ， y )，Q(x ， 1 1 2 y )，当t1„ x„ t1，x…4时，均满足y…y ，直接写出t的取值范围 ． 2 1 2 1 2k 18．（2024•昆山市模拟）定义：若存在实数对坐标(x,y)同时满足一次函数 y pxq和反比例函数 y ， x 则二次函数y px2 qxk为一次函数和反比例函数的“生成”函数． 2 （1）试判断（需要写出判断过程）：一次函数yx3和反比例函数y 是否存在“生成”函数，若存 x 在，写出它们的“生成”函数和实数对坐标． 2015 （2）已知：整数m，n，t满足条件tn8m，并且一次函数y(1n)x2m2与反比例函数y x 存在“生成”函数y(mt)x2 (10mt)x2015，求m的值． c （3）若同时存在两组实数对坐标(x ，y )和(x ，y )使一次函数yax2b和反比例函数y 为“生成” 1 1 2 2 x 函数，其中，实数 abc， abc0，设 L|x x |，求 L的取值范围．（注：一元二次方程 1 2 b b2 4ac ax2 bxc0的求根公式为x  ) 1,2 2a19．（2023•婺城区一模）定义：在平面直角坐标系中，直线xm与某函数图象交点记为点P，作该函数图 象中，点P及点P右侧部分关于直线xm的轴对称图形，与原函数图象上的点P及点P右侧部分共同构成 一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线xm的“迭代函数“．例如：图1是函数yx1的 图象，则它关于直线x0的“迭代函数“的图象如图 2 所示，可以得出它的“迭代函数“的解析式为 x1(x„ 0) y ． x1(x0) （1）写出函数yx1关于直线x1的“迭代函数“的解析式为 ． （2）若函数yx2 4x3关于直线xm的“迭代函数“图象经过(1,0)，则m ． （3）已知正方形ABCD的顶点分别为： A(a,a)，B(a,a)，C(a,a)，D(a,a)，其中a0． 6 ①若函数y 关于直线x2的“迭代函数“的图象与正方形ABCD有3个公共点，则a ； x 6 ②若a6，函数y 关于直线xn的“迭代函数“的图象与正方形ABCD有4个公共点，则n的取值范 x 围为 ．20．（2023•开福区校级一模）对某一个函数给出如下定义，当自变量x满足m„ x„ n(m，n为实数，mn) 时，函数y有最大值，且最大值为2n2m，则称该函数为理想函数． 1 （1）当m1，n2时，在①y x3；②y2x4中， 是理想函数； 2 6m （2）当n3m2时，反比例函数y 是理想函数，求实数m的值； x （3）已知二次函数yx2 nxm2 2m3是理想函数，且最大值为2m4．将该函数图象向左平移 7 个 单位长度所得图象记为C，若图象C的顶点为D，与x轴交于A，B(A在B的左侧），与y轴交于点E，点 M ，G分别为EBD的外心和内心，求以MG为边长的正方形面积． 21．（2023•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知图形G上的两点M ，N（点M ，N不重合） 和另一点P，给出如下定义：连接PM ，PN ，如果PM PN ，则称点P为点M ，N的“条件拐点”．（1）如图1，已知线段MN 上的两点M(0,2)，N(4,0)． ①点P(1,3)，P(2,1)，P(4,2)中，点M ，N的“条件拐点”是 ； 1 2 3 ②如果过点A(0,a)且平行于x轴的直线上存在点M ，N的“条件拐点”，求a的取值范围； （2）如图2，已知点F(0,1)，T(0,t)，过点F 作直线l y轴，点M ，N在直线l上，且FM FN FT ．如 果直线yxt上存在点M ，N的“条件拐点”，直接写出t的取值范围． 22．（2023•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，我们给出如下定义：将图形M 绕直线x3上某一 点P顺时针旋转90，再关于直线x3对称，得到图形N，我们称图形N为图形M 关于点P的二次关联图 形．已知点A(0,1)． （1）若点P的坐标是(3,0)，直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标 ； （2）若点A关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）； （3）已知 O的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在 O上且不与点A重合．若线段AB1，其关   于点P的二次关联图形上的任意一点都在 O及其内部，求此时P点坐标及点B的纵坐标 y 的取值范  B 围．题型三：三角形中的新定义问题 1．（2023•晋中模拟）阅读下列材料并完成任务． 三角形的旁心 三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，称为三角形的旁心，每个三 角形有三个旁心．如图1，BAC的平分线与ABC 另外两个内角ABC，ACB的外角平 分线相交于点O，则点O是ABC的一个旁心． 旁心与三角形的半周长（即周长的一半）关系密切，如图2，过ABC 的旁心O分别作ODBC 于点D，OE  AB交AB的延长线于点E，OF  AC交AC的延长线于点F ，则1 AE (ABBC AC)． 2 下面是部分证明过程： BO平分CBE，OE BE ，ODBC，  ODOE．（依据） 同理可得ODOF，OEOF．  任务： （1）上述证明过程中的“依据”是指什么？ （2）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； （3）如图3，在ABC 中，BAC 90，点I 是ABC 的一个旁心且在BC边的下方． ①利用尺规作出旁心I ；（保留作图痕迹，不写作法） ②若ACB30，ABC 外接圆的半径为2，则AI  ． 2．（2024•道里区校级一模）①请阅读下面材料，并完成相应的任务： 定义：点P是ABC 内部或边上的点（顶点除外），在PBC ，PAB或PCA中，如果有一个三角形与ABC 相似，那么称点P是ABC 的“相似点”． 例：如图 ①，点P在ABC 的内部，PBC BCA，PCBA，则BCP~CAB，故点P为ABC 的“相似点“． 请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： （1）如图②，在ABC 中，AB AC，A36，PC平分ACB，求证：点P为ABC 的“相似点”； （2）如图③，若ABC 为锐角三角形，点E是ABC 的“相似点”，且点B与点A对应，点E在ABC的 BC 3 BF 平分线BF 上，连接CE ，若  ，求 的值； AC 5 AB （3）如图④，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F 是ABC 内一点，且AC 4EF ，连接DE与AC交于 点G，连接DF，GF ，若点G是DEF 的“相似点”，且EDF BAC FGC，求证：DE2EF ．3．（2023•平谷区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于OAB，其中A(1, 3)，B(2,0)，给出如下定义： 将OA边绕点O逆时针旋转60得到线段OC，连接BC，BC与OAB的过点A的高线交于点P，将点P关 于直线ykxb(k 0)对称得到点Q，我们称Q为OAB的留缘点． （1）若k 1，b0，请在图中画出OAB的留缘点Q，并求出点Q的坐标； （2）已知M(3,0)，N(3,5)，若线段MN 上存在OAB的留缘点，求b的取值范围．4．（2022•广陵区一模）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相 互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化． 类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正 底边 BC 对(sad)．如图，在ABC 中，AB AC，顶角A的正对记作sadA，这时sad A  ．容易知道一 腰 AB 个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解下列问题： （1）sad60的值为 ． 1 3 A． B．1 C． D．2 2 2 （2）对于0 A180，A的正对值sadA的取值范围是 ． 3 （3）已知sinA ，其中A为锐角，试求sadA的值． 5 5．（2023•丹徒区模拟）如图1，在ABC 中，点D在边AB上，点P在边AC上，若满足BPDBAC， 则称点P是点D的“和谐点”．? （1）如图2，BDPBPC 180． ①求证：点P是点D的“和谐点”； ②在边AC上还存在某一点Q（不与点P重合），使得点Q也是点D的“和谐点”，请在图2中仅用圆规 作图，找出点Q的位置，并写出证明过程．（保留作图痕迹） （2）如图3，以点A为原点，AB为x轴正方向建立平面直角坐标系，已知点B(6,0)，C(2,4)，点P在 线段AC上，且点P是点D的“和谐点”． ①若AD1，求出点P的坐标； ②若满足条件的点P恰有2个，直接写出AD长的取值范围是 ． 6．（2022•柯城区校级三模）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三 角形”．如：在ABC ，CD AB于点D，ABCD，则ABC 为标准三角形．【概念感知】 判断：对的打“”，错的打“”． （1）等腰直角三角形是标准三角形． （2）顶角为30的等腰三角形是标准三角形． 【概念理解】 若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为 ． 【概念应用】 （1）如图，若ABC 为标准三角形，CD AB于点D，ABCD1，求CACB的最小值． （2）若一个标准三角形的其中一边是另一边的 5 倍，求最小角的正弦值． 7．（2023•广陵区校级四模）我们定义：若一个三角形最大边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的 积等于这个点到最大边所对顶点连线的平方，则称这个点为这个三角形的“比例中点”．例如：如图1，已知钝角ABC中，ACB是钝角，点D是AB上的一点，连接CD，若CD2  ADBD，则称点D是ABC 的“比例中点”． （1）如图2，已知点A的坐标为(4,0)，点B在y轴上，BAO30，若点M 是AOB的“比例中点”，则 点M 的坐标为 ； 3 （2）如图3，已知ABC 中，AB28，A45，tanB ，若点N是ABC 的“比例中点”，求AN； 4 （3）如图4，已知ABC 是等边三角形，因为等边三角形的三边相等，所以其中任意一条边都可以看成最 大边，试判断等边三角形有没有“比例中点”？说明理由． 8．（2022•任城区三模）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图①在ABC 中， 底边 BC AB AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA  ．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也 腰 AB是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）sad60 ． （2）sad90 ． 3 （3）如图②，已知sinA ，其中A为锐角，试求sadA的值． 5题型四：四边形中的新定义问题 1．（2024•河北区一模）在平面直角坐标系中，O为原点，矩形ABCD的顶点A(2,1)，B(2,1)，D(2,1)， 等边EPQ的顶点P(5, 3)，点E是BC的中点． （Ⅰ）填空：如图①，点C的坐标为 ，点Q的坐标为 ； （Ⅱ）将等边EPQ沿水平方向向右平移，得到等边△EPQ，点E，P，Q的对应点分别为E，P， Q，设EEt ，等边△EPQ与矩形ABCD重叠部分面积记为S． ①如图②，当边EP与AB相交于点M ，边EQ与CD相交于点N，点E在点(1,0)的左侧且矩形ABCD与 △EPQ重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； 3 ②当 t6时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 42．（2023•靖江市校级三模）【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）如图 1，已知在垂等四边形 ABCD中，对角线 AC与BD交于点E，若 AB AD， AB4cm， 4 cosABD ，则AC的长度 cm． 5 【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角 形全等．如图 2，在 O中，已知 AB是弦， OA、 OB是半径，求作： O的内接垂等四边形   ABCD．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹） 【问题解决】（3）如图3，已知A是 O上一定点，B为 O上一动点，以AB为一边作出 O的内接垂    等四边形(A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线AC与BD交于点E， O的半径为2 2，  当点E到AD的距离为 3时，求弦AB的长度．3．（2023•射阳县一模）定义：若四边形中某个顶点与其它三个顶点距离相等，则这个四边形叫做等距四边 形，这个顶点叫做这个四边形的等距点． （1）判断：一个内角为60的菱形 等距四边形；（填“是”或“不是” ) （2）如图2，在55的网格图中有A、B两点，请在给出的两个网格图上各找出C、D两个格点，使得以 A、B、C、D为顶点的四边形以A为等距点的“等距四边形”，画出相应的“等距四边形”（互不全等）， 并写出该等距四边形的端点均为非等距点的对角线长．端点均为非等距点的对角线长为 ； （3）如图，在海上A，B两处执行任务的两艘巡逻艇，根据接到指令A，B两艇同时出发，A艇直接回到 驻地O，B艇到C岛执行某项任务后回到驻地O（在C岛执行任务的时间忽略不计），已知A，B，C三 3 点到O点的距离相等，AO//BC ，BC 100km，tanA ，若A艇速度为65km/h，试问B艇的速度是多 2 少时，才可以和A艇同时回到驻地？4．（2023•蒲城县一模）【了解概念】 定义提出：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【理解运用】 （1）如图1，在33的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段 AB、BC的端点均在格点上，在图1的方格纸中画出一个等邻边四边形ABCD，要求：点D在格点上； （2）如图2，在等邻边四边形ABCD中，AB AD4，A60，ABC 90，BC 3 3，求CD的长； 【拓展提升】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A、C分别在x、y轴正半轴上，已知OC 4， OA6，D是OA的中点．在矩形OABC 内或边上，是否存在点E，使四边形OCED为面积最大的“等邻 边四边形”，若存在，请求出四边形OCED的最大面积及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2023•涪城区模拟）定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形． 【性质初探】如图1，已知， ABCD，B80，点E是边AD上一点，连结CE ，四边形ABCE恰为等  腰梯形．求BCE的度数； 【性质再探】如图2，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BF CE，连结BE 、 CF ．求证：BECF； 【拓展应用】如图3， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB2，ABC 45，过点O作AC的垂线  交BC的延长线于点G，连结DG．若CDG90，求BC的长． 6．（2023•常州模拟）定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”． （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形“中，一定是“等角线四边形”的是 （填序号）； （2）如图1，在正方形ABCD中，点E，F 分别在边BC，CD上，且EC DF，连接EF ，AF ，求证： 四边形ABEF是等角线四边形； （3）如图2，ABC 中，ABC 90，AB4，BC 3，D为线段AB的垂直平分线上一点，若以点A， B，C，D为顶点的四边形是等角线四边形，求这个等角线四边形的面积．7．（2023•定远县校级一模）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果 这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． （1）如图1，ABC 的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线” 的四边形，请只用无刻度的直尺，就可以在网格中画出点D，请你在图1中找出满足条件的点D，保留画 图痕迹（找出2个即可） （2）①如图2，在四边形ABCD中，DAB90，DCB135，对角线AC平分DAB．请问AC是四 边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由； ②若AC  10 ，求ADAB的值． （3）如图3，在（2）的条件下，若DACB90时，将ADC以A为位似中心，位似比为 5: 2缩 小得到AEF，连接CE 、BF ，在AEF绕点A旋转的过程中，当CE 所在的直线垂直于AF 时，请你直接 写出BF 的长．8．（2022春•柯桥区月考）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． （1）阅读与理解： 如图1，四边形内接于 O，点A为弧BD的中点．四边形ABCD （填“是”或“不是” )等补四边  形． （2）探究与运用： ①如图2，在等补四边形ABCD中，AB AD，连接AC，AC是否平分BCD？请说明理由； ②如图 3，在等补四边形 ABCD中， AB AD，其外角 EAD的平分线交CD的延长线于点 F ，若 CD10，AF 5，求DF的长． （3）思考与延伸： 在等补四边形ABCD中，AB AD3，BAD120，当对角线AC长度最大时，以AC为斜边作等腰直 角三角形ACP，直接写出线段DP的长度．9．（2023•澧县三模）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样 的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： （1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应 点F 在DA的延长线上，则四边形BEDF （填“是”或“不是” ) “直等补”四边形； （2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，ABBC 10，CD2，AD AB，过点B作BE  AD 于E． ①过C作CF BF 于点F ，试证明：BEDE，并求BE 的长； ②若M 是AD边上的动点，求BCM 周长的最小值．10．（2023•平远县一模）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运 动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定 义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方 形． （1）操作发现： 如图1，将ABC纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若ABC 的面积为12，BC 6，则此完美长方形 的边长FG ，面积为 ． （2）类比探究： 如图2，将 ABCD纸片按所示折叠成完美长方形AEFG，若 ABCD的面积为20，BC 5，求完美长方形   AEFG的周长． （3）拓展延伸： 如图3，将 ABCD纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若EF:EH 3:4，AD15，则此完美长方形的  周长为 ，面积为 ．11．（2023•五华县一模）【定义】： 对角线相等且所夹锐角为60的四边形叫“60等角线四边形”． 如图1，四边形ABCD为“60等角线四边形”，即AC BD，AOB60． 【定义探究】： （1）判断下列四边形是否为“60等角线四边形”，如果是在括号内打“”，如果不是打“”． ①对角线所夹锐角为60的平行四边形． ②对角线所夹锐角为60的矩形． ③对角线所夹锐角为60，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形． 【性质探究】： （2）如图2，以AC为边，向下构造等边ACE，连接BE ，请直接写出ABCD与AC的大小关系； （3）请判断ADBC与 3AC 的大小关系，并说明理由； 【应用提升】： （4）若“60等角线四边形”的对角线长为2，则该四边形周长的最小值为 ．12．（2023•任城区校级三模）定义：长宽比为 n:1(n为正整数）的矩形称为 n矩形． 下面，我们通过折叠的方式折出一个 2矩形，如图①所示． 操作 1：将正方形 ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为 BH ． 操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF ． 则四边形BCEF为 2矩形． 证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD 12 12  2． 由折叠性质可知BGBC 1，AFEBFE90，则四边形BCEF为矩形． ABFE ． EF //AD． BG BF 1 BF   ，即  ． BD AB 2 1 1 BF  ． 2 1 BC:BF 1:  2:1． 2 四边形BCEF为 2矩形． 阅读以上内容，回答下列问题： （1）在图①中，所有与CH 相等的线段是 ，tanHBC的值是 ； （2）已知四边形BCEF为 2矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是 3矩形； （3）将图②中的 3矩形 BCMN沿用（2）中的方式操作 3 次后，得到一个“ n矩形”，则n的值 是 ．题型五：圆中的新定义问题 1．（2024•大连模拟）【发现问题】 如图，某公园在一个扇形OEF 草坪上的圆心O处垂直于草坪的地上竖一根柱子OA，在A处安装一个自动 喷水装置，喷头向外喷水，爱思考的小腾发现喷出的水流呈现出抛物线形状． 【提出问题】 喷出的水距地面的高度y米与喷出的水与池中心的水平距离x米之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 10 小腾测出连喷头在内柱高 m，喷出的水流在与O点的水平距离4米处达到最高点B，点B距离地面2 9 米．于是小腾以OA所在直线为y轴，垂直于OA的地平线为x轴，点O为坐标原点建立如图1所示的平面 直角坐标系，根据测量结果得到点A，点B的坐标，从而得到y与x函数关系式． 【解决问题】 10 （1）如图1，在建立的平面直角坐标系中，点A的坐标为(0, )，水流的最高点B的坐标为(4,2)，求抛物 9 线水流对应的函数关系式； （2）当喷头旋转120时，这个草坪刚好被水覆盖，求喷水装置能喷灌的草坪的面积（结果用含的式子表 示）； （3）在扇形OEF 的一块三角形区域地块OEF 中，现要建造一个矩形GHMN花坛，如图2的设计方案是 使H 、G分别在OF 、OE上，MN 在EF 上．设MN 2x米，当x为多少米时，矩形GHMN花坛的面积最 大？最大面积是多少平方米？2．（2023•湖南模拟）定义：如图1，AB是 O的直径，若弦CD//AB，则称弦CD为 O的纬线．   （1）如图1，弦CD是 O的纬线，求证：AC BD；  （2）弦CD和弦EF 都是半径为5的 O的纬线，CD//EF ，CD6，EF 8，求这两条纬线之间的距  离； （3）如图2，弦MN 和弦PQ是直径AB两侧的纬线，连接OM 、ON、OP、OQ、PM 、QN， O  的半径为r ，记四边形MPQN ，OMN ，OPQ的面积依次为S，S ，S ，若同时满足下列两个条件 1 2 时，求S的最大值（用含r 的式子表示）． 1 ①S S  S ； 1 2 2 ②其中的一条纬线长不超过半径r ．3．（2023•靖江市校级三模）【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）如图 1，已知在垂等四边形 ABCD中，对角线 AC与BD交于点E，若 AB AD， AB4cm， 4 cosABD ，则AC的长度 cm． 5 【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角 形全等．如图 2，在 O中，已知 AB是弦， OA、 OB是半径，求作： O的内接垂等四边形   ABCD．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹） 【问题解决】（3）如图3，已知A是 O上一定点，B为 O上一动点，以AB为一边作出 O的内接垂    等四边形(A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线AC与BD交于点E， O的半径为2 2，  当点E到AD的距离为 3时，求弦AB的长度．4．（2023•海淀区校级一模）在平面直角坐标系xOy中， O的半径为1，AB1，且A，B两点中至少有  一点在 O外．给出如下定义：平移线段AB，得到线段AB(A，B分别为点A，B的对应点），若线段AB  上所有的点都在 O的内部或 O上，则线段AA长度的最小值称为线段AB到 O的“平移距离”．    （1）如图1，点A，B 的坐标分别为(3,0)，(2,0)，线段AB 到 O的“平移距离”为 ，点A ，B 1 1 1 1  2 2 1 1 的坐标分别为( ， 3)，( ， 3)，线段A B 到 O的“平移距离”为 ； 2 2 2 2  （2）若点A，B都在直线y 3x2 3上，记线段AB到 O的“平移距离”为d，求d的最小值；  （3）如图2，若点A坐标为(1, 3)，线段AB到 O的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B  形成的图形（不需证明）．5．（2023•青山区模拟）在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”，如图①，AB、CD是 O  的弦，如果ABCD，ABCD，垂足为E，则AB、CD是等垂弦． （1）如图②，AB是 O的弦，作OC OA、ODOB，分别交 O于点C、D，连接CD，求证：AB、   CD是 O的等垂弦；  BE 1 （2）在图①中， O的半径为5，E为等垂弦AB、CD的分割点，  ，求AB的长度．  AE 36．（2023•天宁区校级一模）在平面直角坐标系xOy中， O的半径为1，A为任意一点，B为 O上任意   一点．给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为 p（规定：点A在 O上时， p0)，最大值为  pq q，那么把 的值称为点A与 O的“关联距离”，记作d(A, O)．   2 （1）如图，点D，E，F 的横、纵坐标都是整数． ①d(D, O) ；  ②若点M 在线段EF 上，求d(M, O)的取值范围；  （2）若点N在直线y 3x2 3上，直接写出d(N, O)的取值范围；  （3）正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d(P, O)的最小值为1，最大值为 10，  直接写出m的最小值和最大值．7．（2024•朝阳区校级模拟）如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 S(1,0)，T(1,0)．对于一个角 (0„180)，将一个图形先绕点S顺时针旋转，再绕点T逆时针旋转，称为一次“对称旋转”． （1）点R在线段ST上，则在点A(1,1)，B(3,2)，C(2,2)，D(0,2)中，有可能是由点R经过一次“90 对称旋转”后得到的点是 ； （2）x轴上的一点P经过一次“对称旋转”得到点Q． ①当60时，PQ ； ②当30时，若QT x轴，求点P的坐标； （3）以点O为圆心作半径为1的圆．若在 O上存在点M ，使得点M 经过一次“对称旋转”后得到的  点在x轴上，直接写出的取值范围．8．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于ABC 与 O，给出如下定义：若ABC 的一  个顶点在 O上，除这个顶点外ABC 与 O存在且仅存在一个公共点，则称ABC 为 O的“相关三角    形”． （1）如图1， O的半径为1，点C(2,0)，AOC为 O的“相关三角形”．   1 3 在点P(0,1)，P( ， )，P(1,1)这三个点中，点A可以与 点重合； 1 2 2 2 3 （2）如图 2， O的半径为 1，点 A(0,2)，点B是x轴上的一动点，且点B的横坐标x 的取值范围是  B 1x 1，点C在第一象限，若ABC 为直角三角形，且ABC为 O的“相关三角形”．求点C的横坐 B  标x 的取值范围； C （3） O的半径为r ，直线y 3x 3与 O在第一象限的交点为A，点C(2,0)，若平面直角坐标系xOy   中存在点B（点B在x轴下方），使得ABC 为等腰直角三角形，且ABC为 O的“相关三角形”．直接写  出r 的取值范围．9．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l:ykxb，给出如下定义：若直线l与 某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”． （1）如图1， O的半径为1，当k 1，b1时，直接写出直线l关于 O的“圆截距”；   （2）点M 的坐标为(1,0)， 4 ①如图2，若 M 的半径为1，当b1时，直线l关于 M 的“圆截距”小于 5 ，求k的取值范围；   5 ②如图3，若 M 的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于 M 的“圆截距”的最小值2，   直接写出b的值．10．（2024•天宁区校级模拟）对于 C与 C上一点A，若平面内的点P满足：射线AP与 C交于点Q，    且PA2QA，则称点P为点A关于 C的“倍距点”．已知平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是( 3，  0)． （1）如图1，点O为坐标原点， O的半径是 3，点P是点A关于 O的“倍距点”．   ①若点P在x轴正半轴上，直接写出点P的坐标是 ； ②若点P在第一象限，且PAO30，求点P的坐标； 3 （2）设点T(t,0)，以点T为圆心，TA长为半径作 T ，一次函数y x4的图象分别与x轴、y轴交于  3 3 D、E，若一次函数 y x4的图象上存在唯一一点P，使点P是点A关于 T 的“倍距点”，求t的  3 值．11．（2023•石景山区一模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形W 、给出如下定义：若图形W 上存在 点Q，使得点P绕着点Q旋转90得到的对应点P在图形W 上，则称点P为图形W 的“关联点”． （1）图形W 是线段AB，其中点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(3,2)， ①如图1，在点P(1,2)，P(2,4)，P(3,1)，P(4,0)中，线段AB的“关联点”是 ； 1 2 3 4 1 ②如图2，若直线y xb上存在点P，使点P为线段AB的“关联点”，求b的取值范围； 3 （2）图形W 是以T(t,0)为圆心，1为半径的 T ．已知点M(6,0)，N(0，2 3)．若线段MN 上存在点P，  使点P为 T 的“关联点”，直接写出t的取值范围． 12．（2023•大兴区二模）在平面直角坐标系中，已知点A(r,0)，B(r,0)．点P为平面内一点（不与点A， 点B重合），若ABP是以线段AB为斜边的直角三角形，则称点P为线段AB的直点． （1）若r1， 1 1 ①在点P( , )，P(0,1)，P(1,1)这三个点中，点 是线段AB的直点； 1 2 2 2 3 ②点P为线段AB的直点，点C(1,1)，求CP的取值范围； （2）点D在直线yx1上，若点D的横坐标x 满足2x 4，点P为线段AB的直点，且DP1，直 D D 接写出r 的取值范围．13．（2023•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，有图形W 和点P，我们规定：若图形W 上存在点M 、 N（点M 和N可以重合），满足PM PN ，其中点P是点P关于x轴的对称点，则称点P是图形W 的 “对称平衡点”． （1）如图1所示，已知，点A(0,2)，点B(3,2)． ①在点P(0,1)，P(1,1)，P(4,1)中，是线段AB的“对称平衡点”的是 ； 1 2 3 ②线段AB上是否存在线段AB的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的“对称平衡点”的横坐标的 范围，若不存在，请说明理由． （2）如图2，以点A(0,2)为圆心，1为半径作 A．坐标系内的点C满足AC 2，再以点C为圆心，1为  半径作 C，若 C上存在 A的“对称平衡点”，直接写出C点纵坐标y 的取值范围．    c14．（2023•广陵区校级一模）【概念学习】 在平面直角坐标系xOy中， O的半径为1，若 O平移d个单位后，使某图形上所有点在 O内或 O上，     则称d的最小值为 O对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图①，A(3,0)，B(4,0)，则 O对线段AB   的“最近覆盖距离”为3． 【概念理解】 （1） O对点(3,4)的“最近覆盖距离”为 ．  （2）如图②，点P是函数y2x4图象上一点，且 O对点P的“最近覆盖距离”为3，则点P的坐标为 ．  【拓展应用】 （3）如图③，若一次函数ykx4的图象上存在点C，使 O对点C的“最近覆盖距离”为1，求k的取  值范围． （4）D(3,m)、E(4,m1)，且4m2，将 对线段 的“最近覆盖距离”记为 ，则 的取值范围 是 ．15．（2023•海淀区校级三模）在平面直角坐标系 中，给定图形 和点 ，若图形 上存在两个点 ， 满足 且 ，则称点 是图形 的关联点． 已知点 ， ， ． （1）在点 ， ， ， ， ， 中， 是线段 的关联点； （2） 是以点 为圆心， 为半径的圆． ①当 时，若线段 上任一点均为 的关联点，求 的取值范围； ②记线段 与线段 组成折线 ，若存在 ，使折线 的关联点都是 的关联点，直接写出 的最 小值．16．（2024•北京一模）对于平面内的两点 、 ，作出如下定义：若点 是点 绕点 旋转所得到的点， 则称点 是点 关于点 的旋转点；若旋转角小于 ，则称点 是点 关于点 的锐角旋转点．如图1， 点 是点 关于点 的锐角旋转点． （1）已知点 ，在点 ， ， ， ， 中，是点 关于点 的锐 角旋转点的是 ． （2）已知点 ，点 在直线 上，若点 是点 关于点 的锐角旋转点，求实数 的取值范 围． （3）点 是 轴上的动点， ， ，点 是以 为圆心，3为半径的圆上一个动点，且 满足 ．若直线 上存在点 关于点 的锐角旋转点，请直接写出 的取值范围．17．（2023•清江浦区校级模拟）在平面直角坐标系 中，对于点 和线段 ，若线段 或 的垂直 平分线与线段 有公共点，则称点 为线段 的融合点． （1）已知 ， ， ①在点 ， ， 中，线段 的融合点是 ； ②若直线 上存在线段 的融合点，求 的取值范围； （2）已知 的半径为 4， ， ，直线 过点 ，记线段 关于 的对称线段为 ．若 对于实数 ，存在直线 ，使得 上有 的融合点，直接写出 的取值范围．18．（2023•西城区校级模拟）在平面内， 为线段 外的一点，若以点 ， ， 为顶点的三角形为直 角三角形，则称C为线段AB的直角点．特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称C为线段AB的等腰 直角点． （1）如图 1，在平面直角坐标系 xOy中，点M 的坐标为(1,0)，点 N的坐标为(1,0)，在点 P(2,1)， 1 3 1 P(1,2)，P( ， )中，线段MN 的直角点是 ； 2 3 2 2 （2）在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(t,0)，(0,4)． ①若t 4，如图2所示，若C是线段AB的直角点，且点C在直线yx8上，求点C的坐标；②如图3，点 的坐标为 ， 的半径为1，若 上存在线段 的等腰直角点，求出 的取值范 围． 19．（2023•秀洲区校级二模）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和 负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对 角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”； （1）若平行四边形 是“婆氏四边形”，则四边形 是 ．（填序号） ①矩形②菱形③正方形 （2）如图 1， 中， ，以 为弦的 交 于 ，交 于 ，连接 、 、 ， ， ，若四边形 是“婆氏四边形”，求 的长； （3）如图 2，四边形 为 的内接四边形，连接 ， ， ， ， ， ，已知 ， ①求证：四边形 是“婆氏四边形”； ②当 时，求 半径的最小值．20．（2023•西城区校级模拟） ， 是 上的两个点，点 在 的内部．若 为直角，则称 为 关于 的内直角，特别地，当圆心 在 边（含顶点）上时，称 为 关于 的最佳内 直角．如图1，AMB是AB关于 C的内直角，ANB是AB关于 C的最佳内直角．在平面直角坐标系   xOy中． （1）如图2， O的半径为5，A(0,5)，B(4,3)是 O上两点．   ①已知P(1,0)，P(0,3)，P(2,1)，在APB，APB，APB中，是AB关于 O的内直角的是 ； 1 2 3 1 2 3  ②若在直线y2xb上存在一点P，使得APB是AB关于 O的内直角，求b的取值范围．  （2）点E是以T(t,0)为圆心，4为半径的圆上一个动点， T 与x轴交于点D（点D在点T的右边）．现有  点M(1,0)，N(0,n)，对于线段MN 上每一点H ，都存在点T，使DHE是DE关于 T 的最佳内直角，请  直接写出n的最大值，以及n取得最大值时t的取值范围．