文档内容
专题 19.7 能力提升专题：一次函数的综合与新定义函数问题
之四大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 一次函数中折叠问题】....................................................................................................................1
【考点二 一次函数的规律探究问题】..........................................................................................................12
【考点五 一次函数——分段函数】..............................................................................................................19
【考点四 新定义型一次函数】......................................................................................................................26
【典型例题】
【考点一 一次函数中折叠问题】
例题：（22-23八年级下·天津和平·期末）以长方形 的 边所在直线为 轴， 边所在直线为 轴
建立平面直角坐标系如图所示，已知 ， ，将长方形 沿直线 折叠，点 恰好落在
轴上的点 处．
(1)求点 的坐标；
(2)求直线 的解析式；
(3) 轴上是否存在一点 ，使得 的周长最小？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练】
1．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，点 在
线段 上，将 沿 所在直线折叠后，点 恰好落在 轴上点 处，则点 的坐标为 ．
2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，已知直线 与 轴， 轴分别交于点 和点 ，
为线段 上一点，若将 沿 折叠，点 恰好落在 轴上的点 处．
(1)求 ， 两点的坐标．
(2)求直线 的函数表达式．
3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在直角坐标系中，长方形纸片 的边 ，点
B坐标为 ，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为 ．(1)求证： 为等腰三角形；
(2)求 的函数表达式；
(3)求折痕 的长．
4．（23-24八年级上·广东佛山·期中）已知：有一张 纸片， ， ．如图，将其放在平
面直角坐标系中，点 在线段 上，点 在线段 上，将 沿 折叠得到 （点 与点 重
合）．
(1)求直线 的表达式；
(2)如图1，当点 恰好落在点 时，求 的长；
(3)当点 固定在点 时， 交 轴于点 ，设点 为 ，当 为直角三角形时，求 满足的
条件．
5．（22-23八年级上·陕西西安·期中）（1）【问题发现】 中， ， ， ，斜
边 上的高 ；
（2）【问题探究】如图①，将 置于平面直角坐标系中，直角顶点 与原点重合，点 落在 轴上，点 落在 轴上，已知 ， ， 是 轴上一点，将 沿 折叠，使点 落在
边上的点 处；求点 的坐标；
（3）【问题解决】如图②，将长方形 置于平面直角坐标系中，点 在 轴上，点 在 轴上，已知
， 是 上一点，将长方形 沿 折叠，点 恰好落在对角线 上的点 处，求 所在
直线的函数表达式．
【考点二 一次函数的规律探究问题】
例题：（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ，…分别在x轴上，
点 ， ， ，…分别在直线 上， ， ， ， ， ，…都是等
腰直角三角形，如果 ，则点 的横坐标为 ．【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，在△
内作等边三角形，使它的一边在 轴上，一个顶点在边 上，作出的第 个等边三角形是△ ，
第 个等边三角形是△ ，第3个等边三角形是 ，…则第2024个等边三角形的边长等于
．
2．（2024·山东菏泽·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l： 与x轴交于点 ，以 为
边作正方形 ，点 在y轴上，延长 交直线l于点 ，以 为边作正方形 ，点 在y
轴上，以同样的方式依次作正方形 ，…，正方形 ，则点 的横坐标是 ．
3．（2023·山东青岛·二模）含 角的菱形 ， ， ，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系 中，点 ， ， ，……，和点 ， ， ， ，……，分别在直线 和
轴上．已知 ， ，
【探究】
(1)点 的坐标是______；
(2)点 的坐标是______；
(3)点 的坐标是______（ 为正整数）．
【考点五 一次函数——分段函数】
例题：在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小
红对函数 的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：
（1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：
x … -1 0 1 2 3 4 5 6 …
… ﹣2 ﹣1 0 2 2 2 …
y（2）根据函数图象，以下判断该函数
性质的说法，正确的有 ．
①函数图象关于y轴对称；
②此函数无最小值；
③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变．
（3）若直线y＝ x+b与函数y＝ 的图象只有一个交点，则b＝ ．
【变式训练】
1．我们学习了正比例函数、一次函数的图象与性质后，进一步研究函数y＝|x|的图象与性质．
（1）我们知道 ，请利用以前所学知识在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象；
（2）通过观察图象，写出该函数的一条性质： ；
（3）利用学过的平移知识，说说函数y＝|x﹣4|＋1是怎样由函数y＝|x|平移得来的？并利用（1）中给出的平面直角坐标系画出函数y＝|x﹣4|＋1图象．
2．（2022·河南漯河·八年级期末）有这样一个问题：探究函数y＝|x＋1|的图象与性质．下面是小明的探
究过程，请补充完整：
(1)函数y＝|x＋1|的自变量x的取值范围是 ；
(2)下表是x与y的几组对应值．
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 4 3 2 m 0 1 2 3 4 …
m的值为 ；
(3)在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)小明根据画出的函数图象，写出此函数的两条性质．
3．（2022·山西大同·八年级期末）某学习小组探究函数 的图象与性质．下面是该组同学的探究过
程，请补充完整：
(1)函数 中自变量 的取值范围是______．(2)下表是 与 的几组对应值．
－ － －
… －5 －3 －2 0 1 2 …
6 4 1
… 4 3 2 0 1 3 4 …
填空： ______， ______．
(3)在如图所示的正方形网格中，建立合适的平面直角坐标系 ，描出以上表中各组对应值为坐标的点，
并画出该函数的图象．
(4)根据所画函数图象，你能得出哪些合理的结论？（写出一条即可）
【考点四 新定义型一次函数】
例题：（2023上·安徽合肥·八年级统考期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的
距离之和等于 的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如， 为一次函数 的“3阶和
点”．
(1)若点 是y关于x的正比例函数 的“n阶和点”，则 ______， ______；
(2)若y关于x的一次函数 的图象经过一次函数 图象的“7阶和点”，求k的值．【变式训练】
1.（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）定义： 在平面直角坐标系中，对于任意两点 ，
，如果点 满足 ， ，那么称点 M 是点A、B的“麓外点”．例如：
， 、当点 满足 = −1， = 3，则称点 是点A 、B的
“麓外点”．
(1)写出点 ， 的“麓外点”C的坐标；
(2)若点 ， ，点 是点A 、B的“麓外点”．求y 与 x 之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，y 与x之间的函数图象与x轴、y轴分别交于点C、D两点，若点E在y轴上，点F
在平面直角坐标系内， 是否存在点 E 使以C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出E点的
坐标； 若不存在，请说明理由．
2．（23-24八年级上·浙江金华·期末）定义：我们把形如 （ ）的函数称为一次函数
的“相反函数”．比如：函数 是一次函数 的“相反函数”．(1)如图1，一次函数 的图象交 轴、 轴于点 、 ，请在图中画出该一次函数的“相反函数”
的图象；
(2)写出一次函数 与“相反函数” （ ）之间的性质（至少两条）；
(3)在（1）中，如果函数 、 的图象交点为 ， 、 与 轴分别交于点 、 ．求 的角平分线与
对边的交点坐标．
3．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，已知点 ，我们将点M的横、纵坐标
都乘以 ，得到点 ，同时给出如下定义：对于直线 ，若满足点N在直线 上，
则称点M为直线 的“反炫点”．
(1)已知直线 ，
①判断点 是不是直线 的“反炫点”，并说明理由；
②若点B是直线 上一点，同时也是直线 的“反炫点”，求出点B的坐标；
(2)点 是直线 的反炫点，当 时，求a的取值范围．
4．（22-23八年级下·福建福州·期末）定义：对于给定的一次函数 （ ，k、b为常数），把形
如 （ ，k、b为常数）的函数称为一次函数 （ ，k、b为常数）的衍生函数．已知 的顶点坐标分别为 ， ， ， ．
(1)点 在一次函数 的衍生函数图象上，则 ；
(2)如图，一次函数 （ ，k、b为常数）的衍生函数图象与 交于M、N、P、Q四点，
其中P点坐标是 ，并且 ，求该一次函数的解析式．
(3)一次函数 （ ，k、b为常数），其中k、b满足 ．
①请问一次函数的图象是否经过某个定点，若经过，请求出定点坐标；若不经过，请说明理由；
②一次函数 （ ，k、b为常数）的衍生函数图象与 恰好有两个交点，求b的取值范围．
