文档内容
专题 03 利用导函数研究函数的单调性问题
（含参讨论问题）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................2
题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）.............2
题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式
分解型.............................................................................................5
题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型.................8
三、专项训练.....................................................................................11
一、必备秘籍
一、含参问题讨论单调性
第一步：求 的定义域
第二步：求 （导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于 进行求导得到 ，对 初步处理（如通分），提出 的恒正
部分，将该部分省略，留下的部分则为 的有效部分（如：
，则记 为 的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只
有该部分决定 的正负.
第四步：确定导函数有效部分 的类型：
1、导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
借助导函数有效部分 的图象辅助解题：
①令 ，确定其零点 ，并在 轴上标出
学科网（北京）股份有限公司②观察 的单调性，
③根据①②画出草图
2、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
借助导函数有效部分 的图象辅助解题：
①对 因式分解，令 ，确定其零点 ， 并在 轴上标出这两个零点
②观察 的开口方向，
③根据①②画出草图
3、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
①对 ，求
②分类讨论
③对于 ，利用求根公式求 的两根 ，
④判断两根 ， 是否在定义域内：对称轴+端点正负
⑤画出 草图
二、含参问题讨论单调性的原则
1、最高项系数含参，从0开始讨论
2、两根大小不确定，从两根相等开始讨论
3、考虑根是否在定义域内
二、典型题型
题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
1．（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；
（2）求出函数的导函数，分 、 两种情况讨论，分别求出函数的单调区间.
【详解】（1）当 时 ，
则 ，所以 ，
因为 ，即切点为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以切线方程为 ，即 .
（2）函数 的定义域为 ，
又 ，
当 时， 恒成立，函数 在 上单调递增；
当 时，则当 时 ，当 时 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
综上可得：当 时 在 上单调递增；
当 时 在 上单调递增，在 上单调递减.
2．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数 .
(1)若 的图象在点 处的切线与直线 垂直，求 的值;
(2)讨论 的单调性与极值.
【答案】(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）求导，根据直线垂直可得 ，即可求解，
（2）求导，对 进行讨论，判断导函数的正负，即可得函数的单调性和极值.
【详解】（1）由题得， 的定义域为 .
.
的图象在点 处的切线与直线l: 垂直，
，
解得 .
（2）由（1）知 .
①当 时， 恒成立.
在 上为减函数，此时 无极值;
②当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司故 的极小值为 ，无极大值.
综上可得，当 时， 在 上为减函数， 无极值;
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
的极小值为 ，无极大值.
3．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
【答案】(1)当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递
减，在 上单调递增.
【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负即可求解单调性，
【详解】（1） 的定义域为 ，
当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递减，
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上所述，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
【答案】(1)答案见解析；
【详解】（1） 的定义域为 ， ．
若 ，则 ， 在 上单调递减：
若 ，则由 得 ，当 时， ；当 时，
；
故 在 上单调递减，在 上单调递增；
故当 时， 在 上单调递减：
学科网（北京）股份有限公司当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分
解型
1．（23-24高二下·山东·阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合 ， 的值，即可求得结果；
（2）求得 ，对参数 分类讨论，利用导数研究 的根的大小，结合 与
函数单调性的关系，即可求得函数单调性.
【详解】（1）当 时， ， ， ，
，
故 在 处的切线方程为： ，即 .
（2）由题意可知： 的定义域为 ，且
，
（ⅰ）若 ，则 在 上恒成立，
当 ，则 ；当 ，则 ；
可知 在 上单调递增，在 上单调递减；
（ⅱ）若 ，令 ，则 或 ，
①当 ，即 ，则 在 上恒成立，
当 ，则 ；当 ，则 ；
可知 在 上单调递减，在 上单调递增；
②当 ，即 时，
当 或 ，则 ；当 ，则 ；
可知 在 上单调递增，在 上单调递减；
学科网（北京）股份有限公司③当 ，即 时，则 在 上恒成立，
可知 在 上单调递增；
④当 ，即 时，
当 或 ，则 ；当 ，则 ；
可知 在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述：若 ， 在 上单调递增，在 上单调递减；
若 ， 在 上单调递减，在 上单调递增；
若 ， 在 上单调递增，在 上单调递减；
若 ， 在 上单调递增；
若 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
2．（2024·辽宁·二模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）对函数求导，根据 的不同范围，分别求出函数的单调性；
【详解】（1） ，
①当 时，令 ， ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减；
②当 时，令 ，解得 或 ，
当 和 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
③当 时，令 ，解得 或 ，
i)当 时，即 时，
当 和 时， ， 单调递增；
学科网（北京）股份有限公司当 时， ， 单调递减；
ii)当 时，即 时，
当 和 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
iii)当 时，即 时， ， 在 上单调递增；
综上所述，当 时， 在 和 单调递减， 在 单调递增；
当 时， 在 单调递增， 在 单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 单调递增， 在 单调递减；
当 时， 在 和 时单调递增； 在 单调递减．
3．（23-24高二下·四川南充·期中）已知函数 ．
(1)当 时，求 的在 上的最大值和最小值；
(2)当 时，求 的单调区间．
【答案】(1)最大值为9，最小值为 ；
(2)单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
【分析】（1）求导可得 ，令 即可得出单调区间，进
而求出最大、小值.
（2）求导可得 ，按 确定 的零点大小求出单调区间.
【详解】（1）当 时，函数 ，求导得
，
由 ，得 ；由 ，得 或 ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，且
，
学科网（北京）股份有限公司所以 在 上的最大值为9，最小值为 .
（2）函数 的定义域为R，求导得
，
令 ，解得 或 ，
当 时， ，则 ； ，
所以 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
4．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数 的定义域为
，其中 为自然对数底数
(1)讨论函数 的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）求导可得 ，分 和 两种情况，利用导数判断原
函数单调性；
【详解】（1）由题意可得： ，
因为 ，则 ，
①当 时，则 在 内恒成立，
可知 ，则 在 上单调递增；
②当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型
1．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，结合二次函数 的性质求出函数
学科网（北京）股份有限公司的单调区间；
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
又 ，
又 ，二次函数 ，开口向上，对称轴为 ，当 时 ，
所以关于 的方程 异号的两个实数根，解得 或
，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
2．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）讨论 的正负，从而根据导数的正负判断函数的单调性即可；
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
当 时， ，
故 恒成立，所以 ；
当 时，令 ，
解得 （舍去负根），
令 ，得 ，此时 单调递增；
令 ，得 ，此时 单调递减．
综上所述：当 时， 在 上单调递减;
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ．
学科网（北京）股份有限公司(1)试讨论 的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）求导数，分类讨论，根据导数的符号判断单调性；
【详解】（1） .
当 时， ，则 在 上单调递减．
当 时，令 ，得 (负值舍去)，
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增．
综上，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
4．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）结合二次函数的性质，对 分类讨论计算即可得.
【详解】（1） 时， ，
，
所求切线方程为 ，整理得： ；
（2） ，
因为 ，故 时， 在 上单调递增，
当 时，对于 ，
若 ，则 ，此时 在 上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司若 ，令 ，得 ，
时， 单调递增；
时， 单调递增；
时， 单调递减；
综上所述： 时， 在 上单调递增；
时， 在 、 上单调递增，
在 上单调递减.
三、专项训练
1．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知 ， .
(1)讨论 的单调性.
【答案】(1)当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单
调递减，在 上单调递增.
【分析】（1）对 求导数，然后分类讨论即可；
【详解】（1）由 ，知 .
当 时，有 ，所以 在 上单调递减；
当 时，对 有 ，
对 有 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
2．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 在 上的最大值和最小值；
学科网（北京）股份有限公司(2)讨论函数 的单调性．
【答案】(1)最大值为 ，最小值为 ；
(2)答案见解析.
【分析】（1）求导，利用导数研究函数 在 的单调性，求极值和区间端点函数
值，即可求解；
（2）对函数求导，根据未知数 的不同范围，分别求出函数单调性.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
令 ，得 或 ，
由于 ，
所以当 ， ， 在 单调递减，
所以当 ， ， 在 单调递增，
所以 在 时取到极小值，且 ，
又因为 ， ，
综上，函数 在 上的最大值为 ，最小值为 .
（2）因为 ，所以 ，
当 ，即 时， ，
在 单调递增，
当 ，即 时，
令 ，则 ，
所以当 ， ， 在 单调递增，
当 ， ， 在 单调递减，
当 ， ， 在 单调递增.
综上所述，当 时， 在 单调递增，
当 时， 在 ， 单调递增，在 单调递减.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，讨论 的单
调性.
【答案】答案见解析
【分析】求导得 ，分 、 、 、 讨论可得答案.
学科网（北京）股份有限公司【详解】函数 的定义域为 ，
求导得 ，
①当 ，即 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
因此 在 上单调递增，在 上单调递减；
②当 ，即 时，由 ，得 或 ，由 ，得
，
因此 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
③当 ，即 时， 恒成立，因此 在 上单调递增；
④当 ，即 时，由 ，得 或 ，由 ，
得 ，
因此 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
综上所述，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
4．（23-24高二下·全国·课前预习）已知函数 ， ,讨论 的
单调性.
【答案】答案见解析
【分析】对函数求导后，将导函数中含参数 的二次函数的分子取为 ，结合其图象，
对其对应方程的判别式分别讨论，得到不同区间上导函数的符号，即得函数 单调性.
【详解】由题得 ，其中 ，
令 ， ，其图象对称轴为直线 ， ．
①若 ，则 ，此时 ，则 ，所以 在 上单调递增；
②若 ，则 ，
此时 在R上有两个根 ， ，且 ，
当 时， ，则 ， 单调递增；
当 时， ，则 ， 单调递减；
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，则 ， 单调递增.
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在
上单调递增．
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ， ，讨论 的单调性.
【答案】答案见解析.
【分析】
求函数的导数，讨论参数a，结合导数的符号判断函数单调性即可.
【详解】依题意 ，
若 ，则 ，当 时 ，当 时 .
若 ，令 ， ，令 ，解得 或 .
若 ，则 ；若 ，则 ；
若 且 ，令 ，得 ， .
若 ，则 ，
当 时 ，当 时 ，当 时 ；
若 ，则 ，
当 时 ，当 时 ，当 时 .
综上所述： 时 在R上单调递增；
时 在 和 上单调递增，在
上单调递减；
时 在 上单调递减，在 上单调递增；
时 在 和 上单调递减，在
上单调递增；
时 在R上单调递减；
学科网（北京）股份有限公司6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ， ，讨论 的
单调区间.
【答案】答案见解析
【分析】
先求得 ，对 进行分类讨论，由此求得 的单调区间.
【详解】
的定义域为 ， ，
若 ，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
若 ，则 恒成立， 在 上单调递增.
综上，当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间.
7．（2024高三·全国·专题练习）已知 ．求 的单调区间；
【答案】答案见解析
【分析】先对 求导，分类讨论 与 两种情况，结合导数与函数单调性的关系
即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
当 时， 在 单调递减；
当 时，当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
综上，当 时， 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
8．（2023高二上·江苏·专题练习）已知函数 ， ，讨论函数
的单调性.
【答案】答案见解析
学科网（北京）股份有限公司【分析】求导数，分类讨论导数的符号，得函数的单调区间.
【详解】函数 的定义域为 ，
①当 ，即 时，得 ，则 .
∴函数 在 上为增函数.
②当 ，即 时，令 ，得 ，
解得
(ⅰ)若 ，则 ，
∵ ，在 或 时， ；
时 ，
∴ 在 ， 上为增函数，在 上为减函数.
(ⅱ)若 ，则 ，当 时， ，当 时，
，
∴函数 在 上为减函数，在 上为增函数.
综上可知， 时，函数 在 上为增函数；
时，函数 在 ， 上为增函数，在
上为减函数；
时，函数 在 上为减函数，在 上为增函数.
9．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 ，讨论
的单调性．
【答案】答案见解析
【分析】对函数求导，讨论 ， 研究导数符号确定区间单调性.
【详解】由题设 且 ，
当 时 在 上递减；
当 时，令 ，
当 时 在区间 上递减；
学科网（北京）股份有限公司当 时 在 上递增．
所以当 时， 的减区间为 ，无增区间；
当 时， 的增区间为 ，减区间为 .
10．（22-23高二下·江西宜春·阶段练习）已知函数 ，其中
.
(1)若 在 处取得极值 ，求a的值；
(2)当 时，讨论 的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，由 ， 得到方程，求出 ，并进行检验；
（2）求定义域，求导，分 ， 与 三种情况，求出函数的单调性.
【详解】（1） ，
由题意 ， ，
解得 ，
当 时， ，定义域为 ，
，令 ，解得 ，
令 ，解得 ，故 为 的极值点，
满足题意，故
（2） 定义域为 ，
， ，
① 时， ，
令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司函数 在 ， 内单调递增，在 内单调递减；
②当 时， ，故函数 在 上单调递增；
③当 时， ，令 ，解得 或 ，令 ，解得
，
故 在 ， 内单调递增，在 内单调递减．
综上：当 时， 在 ， 内单调递增，在 内单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 内单调递增，在 内单调递减．
学科网（北京）股份有限公司
