文档文本内容
1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题09 二次函数背景下的自定义问题 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、点的自定义问题 题型2、直线的自定义问题 题型3、函数自定义问题 题型4、自定义区域问题 题型5、图形的自定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 解决二次函数背景下的自定义问题，首要任务是准确理解题目给出的“新定义”；要把文字定义翻译成 坐标、解析式、方程或不等式等数学语言；然后结合二次函数的图象与性质，通过联立方程、分类讨论、 数形结合等方法求解；由于新定义往往伴随多种情形，必须全面分类、不重不漏，最后把数学结果回代到 定义中检验． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、点的自定义问题 典例1 （2025·浙江丽水·二模）定义：若点 满足 ，则称该点为“k 倍点”．已知二次函 数 （c 为常数）． (1)当 时，求出该函数图像上的“二倍点”坐标； 目 录 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)若该函数图像上存在唯一的“二倍点”，求c 的值； (3)在 的范围内，若二次函数 的图像上至少存在一个“三倍点”，求c 的取值范围． 题型模版 1.特征：题目定义满足某种条件的“好点”“特征点”等，要求在二次函数图象上寻找或判断这样的点． 2.方法：先准确理解新定义，把条件翻译为坐标满足的关系式；结合二次函数解析式列方程求解，注意验证 是否符合定义． 变式1-1 （25-26 八年级下·浙江宁波·期末）定义：若一个点的纵坐标与横坐标之差是横坐标的2 倍，则 称这个点为“友好点”，如： ， ， 等都是“友好点”．已知二次函数 （c 为常数）． (1)若该函数经过点 ，求该函数表达式，并求出该图象上的“友好点”坐标； (2)在（1）的条件下，当 时，函数的最小值为 ，求t 的值； (3)在 的范围内，若二次函数 的图象上至少存在一个“友好点”，结合图象，求出c 的取值范围． 变式1-2 （25-26 九年级上·浙江金华·阶段检测） 已知二次函数 ． (1)若该二次函数图象与x 轴有且只有1 个交点，求a 的值． (2)在（1）的基础上，若点 在抛物线上，且到y 轴的距离小于或等于2，那么我们称点P 是y 轴的“亲 密点”，求所有“亲密点”的y 的取值范围． (3)若点 和点 在该函数图象上，点 是二次函数图象上的任意一点，满足 ， 求 的取值范围． 变式1-3 （2025·辽宁阜新·一模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究， 如果将二次函数： 图象上的点 的横坐标不变，纵坐标变为A 点的横、纵坐标之 和，就会得到的一个新的点 ．他们把这个点A：定义为点A 的“和点”．他们发现：二次函数 所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为 的“和抛物线”．例如，二次函数 的“和抛物线”就是 ，请按照定义 完成： (1)点 的“和”点是______； 3 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)如果抛物线 经过点 ，求该抛物线的“和抛物线”； (3)已知抛物线 图象上的点 的“和点”是 ，若该抛物线的顶点坐标为 ，该 抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为 ． ①当 时，求n 的取值范围． ②小明发现，当c 取不同值时，所有的顶点 组成一条新的抛物线，设为 ，所有的顶点 也组成 一条新的抛物线，设为 ，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离． 题型2、直线的自定义问题 典例2 定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线 为抛物线 的“衍生直线”．如 图1，抛物线 与其“衍生直线”交于A，B 两点（点B 在x 轴上，点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点 ． (1)求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A 的坐标； (2)如图2，抛物线 的“衍生直线”与y 轴交于点 ，依次作正方形 ，正方形 ，…， 正方形 （n 为正整数），使得点 ， ， ，…， 在“衍生直线”上，点 ， ， ，…， 在x 轴负半轴上． ①直接写出下列点的坐标： ______， ______， ______， ______； ②试判断点 ， ，…， 是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由． 题型模版 1.特征：定义某种特殊直线，使其与抛物线相交或满足特定位置关系． 4 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2.方法：根据定义写出直线方程或约束条件；联立抛物线方程，利用判别式、韦达定理等求解并检验． 变式2-1 （25-26 九年级上·浙江绍兴·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，直线 称为抛物线 的伴随直线，如直线 为抛物线 的伴随直 线．若抛物线 的伴随直线是 ，则 ________（用 的代数式表示）；若 该抛物线经过定点 ，且与 轴交于点 和点 ．当 为直角三角形时，则 __________． 变式2-2 （25-26 九年级上·浙江杭州·期末）定义：直线 （ 、 是常数且 ）为抛物线 的“伴随直线”． (1)当 时，求证：抛物线 与“伴随直线” 只有一个交点． (2)探究当 时，抛物线 与“伴随直线” 的交点． 水平层次 水平表现 直线与抛物线的交点 标准说明 层次1 取 __________， __________． （__________）， （__________） ，取具体数值求 出交点得2 分 层次2 直接用字母 ， 求 交点 （__________）， （__________） 用 ，字母表示交 点坐标得4 分 请选择其中一个层次作答：两个层次全部作答者，按正确的给分，全部答对的也只得4 分，不累加分． (3)当 时，且 ，求自变量 的取值范围． 变式2-3 （25-26 九年级上·浙江宁波·期末） 【阅读理解】若抛物线 的顶点落在直线 上， 称这样的抛物线为平衡抛物线，如 的顶点为 落在直线 上，是平衡抛物线． 【提出问题】若抛物线 ， 都是平衡抛物线，抛物线 的对称轴为直线 ．抛物线 的对称轴为直线 ．点 在抛物线 上，点 在抛物线 上，点C 与 点B 关于直线 对称．设 ． 【解决问题】 (1)求抛物线 的解析式； (2)若 ． 5 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ①判断线段 的中点M 是否一定落在直线 上？请你作出判断并说明理由； ②当 时，求d 的取值范围； 【拓展思考】 (3)在点A 的运动过程中，若d 的最小值大于或等于6，求n 的取值范围． 题型3、函数自定义问题 典例3 （25-26 九年级上·山东淄博·期中）新定义：对于给定的二次函数 （ ），把形 如 的函数称为二次函数 的“关联函数”． 运用新定义解决问题：已知二次函数 ． (1)请直接写出这个二次函数的“关联函数”的表达式； (2)若点A 在这个二次函数的“关联函数”的图象上，求m 的值； (3)当 时，请直接写出这个二次函数的“关联函数”的最大值和最小值． 题型模版 1.特征：定义新的函数关系或运算规则，常与二次函数复合或递推． 2.方法：按定义逐步计算或建立新函数解析式；利用二次函数性质（开口、顶点、单调性）分析最值或范围． 变式3-1 定义：由两条与x 轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙 线”．如图，抛物线C1 与抛物线C2 组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1 与抛物线C2 与x 轴有相同的 交点M，N（点M 在点N 的左侧），与y 轴的交点分别为A，B 且点A 的坐标为（0，﹣3），抛物线C2 的解 析式为y＝mx2+4mx﹣12m，（m＞0）． （1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下．“月牙线”，直接写出两条抛物线的解析式； （2）求M，N 两点的坐标； 6 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）在第三象限内的抛物线C1 上是否存在一点P，使得△PAM 的面积最大？若存在，求出△PAM 的面积 的最大值；若不存在，说明理由． 变式3-2 （25-26 九年级上·江苏无锡·阶段检测）对于某一函数给出如下定义：对于任意实数 ，当自变 量 ≥ 时，函数 关于 的函数图象为 ，将 沿直线 翻折后得到的函数图象为 ，函数 的图 象由 和 两部分共同组成，则函数 为原函数的“对折函数”，如函数 的对折函数为 ． (1)求函数 的对折函数； (2)若点 在函数 的对折函数的图象上，求 的值； (3)当函数 的对折函数与 轴有两个不同的交点时，直接写出 的取值范围为 ． 变式3-3 （24-25 九年级上·浙江杭州·阶段检测）新定义：如果二次函数 的图象经过 点 ，那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”． (1)试判断二次函数 的图象是否为“定点抛物线”； (2)若定点抛物线 与直线 只有一个公共点，求m 的值； (3)若一次函数 的图象与定点抛物线 的交点的横坐标分别为 和 ，且 ，求n 的取值范围． 题型4、自定义区域问题 典例4 （25-26 九年级上·浙江宁波·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线 的顶 点为P，且抛物线与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），我们定义：抛物线与x 轴围成的封闭区域 称为“U 区域”（不包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点． (1)求抛物线 的顶点P 的坐标（用含有a 的代数式表示）； (2)若抛物线 经过点 ． ①求抛物线的表达式； ②在①的条件下，求出“U 区域”内整点的坐标； (3)若抛物线 在“U 区域”内恰好有4 个整点，直接写出a 的取值范围． 题型模版 7 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1.特征：定义由抛物线、直线等围成的特殊区域，判断点或图形是否位于区域内． 2.方法：画出草图，把区域边界转化为函数不等式；通过解不等式或求交点确定范围，注意边界取舍． 变式4-1 （25-26 九年级上·浙江杭州·期中）定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数为“关联函 数”，两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”，如图1， 与 是关联函数， 阴影部分是关联区域，如图2，过关联区域内一点 作 轴平行线，分别交函数图象于 、 两点， 当线段 长度最大时，该距离叫做“最优关联距离”，若此时 为整数，则称点 为“最优关联点”， (1)证明：函数 与 是“关联函数”； (2)求“关联函数” 与 的“最优关联距离”； (3)若“关联函数” 与 恰有三个“最优关联点”，求的取值范围. 变式4-2 （2025·广东深圳·三模）在平面直角坐标系 中，设二次函数 的图象为 抛物线G，抛物线G 与抛物线 的图象关于x 轴对称． (1)抛物线G 与y 轴的交点坐标为______，抛物线G 的对称轴为直线 ______； (2)当 时，求抛物线 的表达式； 8 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G 与抛物线 围成的中间封闭区域不包括边界为 ． ①当 时，直接写出区域W 内的整点个数； ②如果区域W 内恰有5 个整点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围． 变式4-3 已知直线 与 轴， 轴分别交于点 ，抛物线 经 过点 ，且与 轴的另一个交点为点 ． (1)点 的坐标为______； (2)若 ，求抛物线的解析式和顶点坐标； (3)①点 的坐标为______； ②规定抛物线 与 轴围成的封闭区域称为“ 区域”（不包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点．若 抛物线 在“ 区域”内有 个整点，请直接 ．．写出 的取值范围． 题型5、图形的自定义问题 典例5 如果三角形有一边上的中线恰好等于这条边长，那么称这个三角形为“智汇三角形”，这条中线叫做 这个三角形的“智汇中线”． 9 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)请根据定义判断下列命题的真假（请在真命题后的横线内打“√”，假命题后的横线内打“ ”） ①等腰直角三角形一定是“智汇三角形”． ②直角三角形若是“智汇三角形”，那么“智汇中线”一定是较长直角边上的中线． (2)如图1， 中， ， ， ，求证： 是“智汇三角形”． (3)如图2，点 ， 在抛物线 上，且 轴，若 是“智汇三角形”，求 的“智汇 中线”的长． 题型模版 1.特征：定义某种特殊图形，在二次函数背景下构造或判断该图形． 2.方法：理解图形的定义条件，转化为边、角、对角线等几何关系；用坐标法列方程并结合二次函数求解． 变式5-1 （25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点 作y 轴的垂线与二次 函数 （h、k 为常数）的图象交于点E、F(点E 在点F 的左侧)，点P 在直线 上，当点P 满足 时，我们称点P 是该二次函数图象的 生长点． (1)二次函数 的图象如图所示． ①当 时，请说明该函数图象是否有 生长点． ②已知 是该函数图象的 生长点，则n 的取值范围是________． (2)已知二次函数 （h 为常数），若 是该函数图象的 生长点，求h 的值． 变式5-2 平面直角坐标系 中，对于任意的三个点 ，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某 条坐标轴平行，且 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点 的“三点矩形”．在点 的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点 的“最佳三点矩形”． 如图1，矩形 ，矩形 都是点 的“三点矩形”，矩形 是点 的“最佳三点矩形”． 如图2，已知 ，点 ． 10 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)①若 ， ，则点 ， ， 的“最佳三点矩形”的周长为_________，面积为_______； ②若 ，点 的“最佳三点矩形”的面积为30，求 的值； (2)若点 在直线 上． ①求点 的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时 的取值范围； ②当点 的“最佳三点矩形”为正方形时，求点 的坐标； (3)若点 在抛物线 上，且当点 的“最佳三点矩形”面积为12 时， 或 ，直接写出抛物线的解析式． 变式5-3 如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”． 如图1，对于△ABC，BC 边上的高AD 等于BC 的一半，△ABC 就是半高三角形，此时，称△ABC 是BC 类 半高三角形；如图2，对于△EFG，EF 边上的高GH 等于EF 的一半，△EFG 就是半高三角形，此时，称△ EFG 是EF 类半高三角形． （1）直接写出下列3 个小题的答案． ①若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，则其底角度数的所有可能值为 ． ②若一个三角形既是直角三角形又是半高三角形，则其最小角的正切值为 ． ③如图3，正方形网格中，L，M 是已知的两个格点，若格点N 使得△LMN 为半高三角形，且△LMN 为等 腰三角形或直角三角形，则这样的格点N 共有 个． （2）如图，平面直角坐标系内，直线y＝x+2 与抛物线y＝x2 交于R，S 两点，点T 坐标为（0，5），点P 是 抛物线y＝x2 上的一个动点，点Q 是坐标系内一点，且使得△RSQ 为RS 类半高三角形． ①当点P 介于点R 与点S 之间（包括点R，S），且PQ 取得最小值时，求点P 的坐标． ②当点P 介于点R 与点O 之间（包括点R，O）时，求PQ+ QT 的最小值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 21．（24-25 九年级上·湖北武汉·期中）定义：若二次函数 的图象上有一点的横坐标与纵坐 标相等，则称这个点是这个函数的不动点．比如，函数 图象上的点 ， 都是 的不动点， 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 若函数 在 的范围内总有两个不同的不动点，则m 的取值范围是（ ） A． B． C． 或 D． 22．（2025·上海·模拟预测）定义：若在同一个三角形的三边中，一条边是另外两边的比例中项，则称该 三角形是关于这条边的“边积三角形”．记 的三边长为a、b、c，若 且 是“边积三角形”， 则下列说法错误的是（ ） A．a、b、c 一定满足 B． 的取值范围是 C． 的取值范围是 D．事件“ 是直角三角形”的概率为0 23．在平面直角坐标系 中，将图形M 平移得到图形N，图形M 上的点 平移后的对应点为 ，若图形N 与图形M 有且只有一个公共点，则称点 为图形M 的“临界平移点”． 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ，点 为 的“临界平移点”，当 时， c 的取值范围是______；若点H 在二次函数 的图象上，则c 的值为______． 24．（24-25 九年级上·湖南永州·期末）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点 是函数图象上任意一点，纵坐标 与横坐标 的差“ ”称为点 的“纵横值”，函数图象上所有点的“纵 横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：已知点 在函数 的图象上，点 的“纵 横值”可以表示为 ，当 时， 的最大值为 ，因此，函数 （ ）的“最优纵横值”为8． 【问题】根据定义，解决下列问题： （1）①点 的“纵横值”为______； ②求出函数 （ ）的“最优纵横值”； 【应用】（2）已知二次函数 的对称轴为直线 ，且“最优纵横值”为3，求 ，的值； （3）求二次函数 （ ）的“最优纵横值”是多少？（用的代数式表示） 25．（25-26 九年级上·浙江金华·期中）定义：将函数 的图像绕点 旋转 ，得到新的函数 的 图像，我们称函数 是函数 关于点 的相关函数．例如：当 时，函数 关于点 12 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 的相关函数为 ． (1)当 时，①二次函数 关于点 的相关函数为________________． ②点 在二次函数 关于点 的相关函数的图像上，求 的值． (2)函数 关于点 的相关函数是 ，求点 的坐标． (3)当 时，二次函数 的相关函数的最小值为3，求n 的值． 26．（25-26 九年级上·浙江湖州·期末）定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数互为“关联函数”．两 个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”．例如：函数 与 ，可以通过消去 ， 得到 ，移项得 ，因为 ，所以它们有两个交点，我们认为 函数 与 是互为关联函数，如图1，阴影部分是关联区域．如图2，过关联区域内一点 作 轴平行线，分别交函数图象于 两点，当线段 长度最大时，该距离叫作“最优关联距离”，若此 时 为整数，则称点 为“最优关联点”． 根据以上信息，完成下列问题： (1)证明：函数 与 是“关联函数”； (2)求“关联函数” 与 的“最优关联距离”； 13 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)若“关联函数” 与 （为整数）恰有三个“最优关联点”，求的值． 27．（24-25 九年级上·湖北荆门·阶段检测）抛物线 与 轴交于A， 两点，与 轴交于 点 ． (1)如图1，若 ， 为第四象限抛物线上一点． ①若 交 轴于点 ，求 面积的最大值及此时点 的坐标； ②如图2，若 ，试求点 的坐标． (2)如图3，设抛物线的顶点为 ： ①求抛物线 的顶点 的坐标（用含 的代数式表示）； ②规定抛物线与 轴围成的封闭区域称为“ 区域” （不包含边界）．如果“ 区域”中仅有4 个整数点且 时，直接写出 的取值范围．（整数点就是横纵坐标均为整数的点）． 28．（25-26 九年级上·广东佛山·阶段检测）【定义初窥】已知 是自变量 的函数，当 时，称函数 为函数 的“升幂函数”；在平面直角坐标系中，对于函数 图象上任意一点 ，称点 为 点 “关于 的升幂点”，点 在函数 的“升幂函数” 的图象上． 例如：函数 ，当 时，则函数 是函数 的“升幂函数”函数 的图象上任 意一点 ，点 为点 “关于 的升幂点”，点 在函数 的“升幂函数” 的 图象上． （1） 的“升幂函数” 的函数表达式为_____． （2）点 在函数 的图象上，点 “关于 的升幂点”为点 ，当 时，求点 的坐标． 【解构探微】 （3）点 在函数 的图象上，其横坐标为 ，点 “关于 的升幂点”为点 ，点 在 的 14 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 “升幂函数” 的图象上，其横坐标为 ． ①当点 ，点 所在直线与 轴平行时，求 的值（用含有 的代数式表示）； ②函数 的对称轴为直线 ，它的图象上有两点 ， ，若对于 且 ，都有 ，直接写出的取值范围为_____． 29．（25-26 九年级上·江苏苏州·期中）新定义：若二次函数为 （ 是常数）， 则称 为 的“关联”二次函数，称这两个函数互为“关联”二次函数． (1)写出 的“关联”二次函数的表达式： ___________． (2)若（）中的互为“关联”二次函数的两个图像与正比例函数 的图像有且只有两个交点，求 的值； (3)如图，二次函数 与 互为“关联”二次函数， ， 分别是互为“关联”的两个二次函数 与 的图 像的顶点，点 是 的图像与 轴正半轴的交点，连接 ，若点 为 ，且 为直角三 角形，求点 的坐标． 30．（25-26 九年级上·北京通州·期中）对于平面直角坐标系 中第一象限内的点 和图形 ，给 出如下定义：过点 作 轴和 轴的垂线，垂足分别为 ， ，若图形 中的任意一点 满足 且 ，则称四边形 是图形 的一个罩域，点 为这个罩域的一个特征点．如图1，点 ， ， ． (1)①请写出线段 罩域的一个特征点______； ②在 ， ， 中，是 的罩域特征点的为______； 15 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)若在一次函数 （ ）的图象上存在 的罩域的特征点，求 的取值范围． (3)将 向上平移两个单位得到 ，在抛物线 （ ）上存在 的罩域的特征点， 直接写出 的取值范围______． 31．已知抛物线 与 轴交于点 ，它的顶点为点 ，点 ，关于原点 的对称点分别力 ， 若 ， ， ， 中任何三点都不在一条直线上，则称四边形 为抛物线的伴随四边形，直线 为 抛物线的伴随直线． (1)如图 所示，求抛物线 的伴随直线的解析式； (2)如图 所示，若抛物线 的伴随直线是 ，伴随四边形的面积为 求此抛 物线的解析式； (3)如图 所示，若抛物线 的伴随直线是 ，且伴随四边形 是矩形． ①用含 的代数式表示 ， 的值． ②在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标用 含 的代数式表示；若不存在，请说明理由． 32．已知：如图1，抛物线的顶点为 ，平行于 轴的直线与该抛物线交于点 ， （点 在点 左侧）， 根据对称性 恒为等腰三角形，我们规定：当 为直角三角形时，就称 为该抛物线的“完 美三角形”． 16 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （1）①如图2，求出抛物线 的“完美三角形”斜边 的长； ②抛物线 与 的完美三角形的斜边长的数量关系是______； （2）若抛物线 的“完美三角形”的斜边长为4，求 的值； （3）若抛物线 的“完美三角形”斜边长为 ，且 的最大值为1，求 ， 的值． 33．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线 与x 轴交于点A（－1，0），B（5，0） 两点，与y 轴交于点C（0，－5）． (1)求抛物线解析式； (2)如图2，作出如下定义：对于矩形DEFG，其边长EF＝1，DE＝2k（k 为常数，且k＞0），其矩形长和宽 所在直线平行于坐标轴，矩形可以在平面内自由的平移，且EG 所在直线与抛物线无交点，则称该矩形在“游 走”，每一个位置对应的矩形称为“悬浮矩形”；对与每一个“悬浮矩形”，若抛物线上有一点P，使得△PEG 的面积最小，则称点P 是该“悬浮矩形”的核心点． ①请说明“核心点”P 不随“悬浮矩形”的“游走”而变化，并求出“核心点”P 的坐标（用k 表示）； ②若k＝1，DF 所在直线与抛物线交于点M 和N（M 在N 的右侧），是否存在这样的“悬浮矩形”，使得△ PMN 是直角三角形，若存在，并求出“悬浮矩形”中对角线DF 所在直线的表达式；若不存在，说明理由． 34．【阅读理解】若抛物线 的顶点落在直线 上，则称这样的抛物线为平衡抛物线．如 17 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 的顶点为 落在直线 上，是平衡抛物线． 【提出问题】 若抛物线 ， 都是平衡抛物线，抛物线 的对称轴为直线 ，抛物线 的对称轴为直线 ．点 在抛物线 上，点 在抛物线 上，点C 与点B 关于直线 对称．设 ． 【解决问题】 (1)求抛物线 的解析式； (2)判断线段 的中点M 是否一定落在直线 上？请你作出判断并说明理由； (3)当 时，求d 的取值范围． 35． （24-25 九年级上·湖南长沙·期中）2024 甲辰龙年年初， “龙”的英文翻译引发关注， “龙不再翻译为 而是 ”冲上热搜．在中国，龙的形象非常正面，与西方巨型魔怪的龙不同，中国的龙不仅是尊贵的、 友好和善的，人们更是将龙排在十二生肖中的第五位．我们不妨定义：在平面直角坐标系中，满足横坐标 与纵坐标之和为5 的点叫做“ 点”，如点 ， 等．根据“ 点”的定义，解答下列问题： (1)判断下列各函数图象上是否存在“ 点”，若存在，请在相应题目后面的括号中打“√”；若不存在， 请在相应题目后面的括号中打“×” ① （ ）；② （ ）；③ （ ） 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)二次函数 图象如图所示，请判断该图象上的“ 点”个数，并求出相应的“ 点”坐标； (3)在（2）的条件下，选取该二次函数图象上两个“ 点”，分别记为点M，N，请问该二次函数图象的 对称轴上是否存在点P，使得 的面积为5．若存在，求出满足条件的所有点P 的坐标；若不存在，请 说明理由．
