文档文本内容
1 / 13
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
专题10 巧构等腰三角形的基本模型的四类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形
题型二、利用平行线+角平分线构造等腰三角形
题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形
题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
- 题型特征：已知条件中无直接等腰，需通过平行线、角平分线、中线或翻折等手段构造等腰，导边导角。
- 解题方法：见角平分线+平行线出等腰；见中线倍长构造等腰；见垂线+截长补短造等腰；利用外角找等
角；利用对称性翻折造等腰。
- 易错提醒：辅助线添加不当导致新等腰与原条件关联断裂；构造后未验证等边或等角确实成立；角平分
线与平行线构造等腰时选错平行方向。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形
典例1 （25-26 八年级上·湖北黄石·期末）综合探究
问题情境：
ABC
是等边三角形，点D 是AC 上一点，点E 在BC 的延长线上，且AD
CE
=
，连接AE 、DE ．
（1）如图1，当点D 是AC 的中点时，DB DE ；（填“”，“”或“= ”）
（2）若点D 为AC 边上任意点时，同学们经讨论发现结论依然成立，并且可以通过构造一个三角形与CDE
全等来证明．以下是他们的部分证明过程：
证明：如图2 ，过点D作DF
BC
，交AB 于点F ．（请完成余下的证明过程）
问题解决：
目 录
2 / 13
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（3）如图3，当点D 是AC 边上任意一点时，点F 在BD上，若
=60
FAE
，求证：BF
FD
=
．
题型模版
模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形.
条件：如图1，若AC=BC,过点D 作D 作DE//BC. 结论：△ADE 是等腰三角形.
条件：如图2，若AC=BC,过点D 作D 作DE//AB. 结论：△CDE 是等腰三角形.
变式1-1 数学课上，李老师出示了如框( 图3) 中的题目．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论：当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB的大小关系，请你直接写出结
论：AE _____ BD ( 填“”，“”或“ = ”)．
(2)特例启发，解答题目：
①如图2 ，AE 与DB的大小关系是：AE ____ BD ( 填“”，“”或“
”)
=
．
②解：如图2 ，过点E 作EF
BC
∥
，交AC 于点
(
F．请你接着完成图3 解答过程)
3 / 13
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED
EC
=
．若
ABC
的边长为3，
1
AE = ，
则CD的长为_______( 请你直接写出结果) ．
变式1-2（25-26 八年级上·河北衡水·期末）操作探究：已知
ABC
是等边三角形，点P 是边AC 上一点．
(1)如图1，过点P 作PF
BC
∥
，交AB 于点F ，图中有 个等边三角形；
(2)如图2，点P 在AC 上运动(不与A C
，重合)，点Q 是CB 延长线上一点，且BQ
AP
=
，过P 作PE
AB
⊥
于
E，连接PQ 交AB 于D ，试说明：在点P 运动的过程中，线段ED的长是定值(即
1
2
DE
AB
=
)；
(3)若将条件中“
ABC
是等边三角形”改为“
ABC
是等腰三角形，CA
CB
=
”，如图3 所示，（2）中的结论是
否还成立？请说明理由．
题型二、利用平行线+角平分线构造等腰三角形
典例2 （25-26 八年级上·湖南长沙·期末）如图， 在
ABC
中，AD平分
BAC
， 过线段CD上一点E 作
EG
AD
∥
，交AC 于点F ，交BA延长线于点G ．
(1)求证：AFG
为等腰三角形；
(2)若CE
EF
=
，
82
BAC
=
， 求
B
的度数．
题型模版
模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线
及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。
4 / 13
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。
M
Q
'
O
O
N
P
1
2
3
图1 图2 图3
条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P 作PQ//ON. 结论：△OPQ 是等腰三角形。
条件：如图2，△ABC 中，BD 是 ∠ ABC 的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE 是等腰三角形。
条件：如图3，在ABC
中，BO平分
ABC
，CO平分
ACB
，过点O 作BC 的平行线与AB ，AC 分别相
交于点M，N．结论：△BOM、△CON 都是等腰三角形。
变式2-1（1）如图1，ABC
中，AB
AC
，ABC
，ACB
的平分线交于O 点，过O 点作EF
BC
∥
交AB ，
AC 于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：EF 与BE ，CF 之间有怎样的关系，并说明理由；
（2）如图2，若AB
AC
=
，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；EF 与BE ，CF 间的关系是 ；
（3）如图3，AB
AC
，若
ABC
的角平分线与
ABC
外角
ACD
的角平分线交于点O，过点O 作OE
BC
∥
交AB 于E，交AC 于F．图中有 个等腰三角形．EF 与BE ，CF 间的数量关系是 ．
变式2-2（1）如图1，AE
BC
∥
，AE 平分
DAC
，则
ABC
的形状是 三角形；
（2）如图2，BC 平分
ABD
，AC
BD
∥
，
3
AC =
，则AB = ．
（3）如图3，有
ABC
中，BE 是角平分线，DE
BC
∥
交AB 于点D．若
7,
5
DE
AD
=
=
，则AB = ．
（4）如图4，在
ABC
中，
ABC
与
ACB
的平分线交于点F，过点F 作DE
BC
∥
，分别交AB ，AC 于
点D，E．若
12,
18,
24
AB
AC
BC
=
=
=
，则
ADE
的周长为 ．
（5）如图，在
ABC
中，
5
BC = cm，
,
BP CP 分别是
ABC
和
ACB
的平分线，且PD
AB
∥
，PE
AC
∥
则
PDE
△
的周长是 ．
5 / 13
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形
典例3 （25-26 八年级上·陕西榆林·期中）如图，在
ABC
中，
2
ABC
C
=
，
BAC
的平分线AD交BC 于
点D，过点B 作BF
AD
⊥
于点F ，延长BF 交AC 于点E ．
(1)求证：ABE
为等腰三角形；
(2)连接DE ，若
36
C
=
，求
EDC
的度数．
题型模版
模型解析：如图， △𝐀𝐁𝐂中,AD 平分 ∠𝐁𝐀𝐂,𝐀𝐃⊥𝐁𝐂,由“ASA”易得 △𝐀𝐁𝐃≅△𝐀𝐂𝐃,从而得 𝐀𝐁= 𝐀𝐂,
𝐁𝐃= 𝐂𝐃.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形.
变式3-1（25-26 八年级上·湖北武汉·月考）
ABC
中，AB
AC
=
，
90
BAC
=
．若D 为线段BC 上一点，
1
2
EDB
ACB
=
，BE
DE
⊥
，垂足为E ，DE 交AB 于F ．
(1)如图1，当D与C 点重合时，探究BE 、DF 的数量关系；
6 / 13
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(2)如图2，当D不与C 重合时，线段BE 与DF 的数量关系是否发生变化，证明你的结论．
变式3-2 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①，OP 平分
MON
．点A 为OM 上一点，过
点A 作AC
OP
⊥
，垂足为C ，延长AC 交ON 于点B ，可证得
AOC
BOC
≌
△
△
，则AO
BO
=
，AC
BC
=
．
【问题提出】
（1）如图②，在
ABC
中，CD平分
ACB
，AE
CD
⊥
于点E ，若
63
EAC
=
，
37
B
=
，通过上述构
造全等的办法，求
DAE
的度数；
【问题探究】
（2）如图③，在
ABC
中，AB
AC
=
，
90
BAC
=
，CD平分
ACB
，BE
CD
⊥
，垂足E 在CD的延长
线上，试探究BE 和CD的数量关系；
【问题解决】
（3）如图④是一块肥沃的土地
ABC
，其中AC 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形
土地
ADC
△
进行水稻试验，他进行了如下操作：
①作
ACB
的平分线CD；
②再过点A 作AD
CD
⊥
交CD于点D
已知
13
BC =
米，
10
AC =
米，
ABC
面积为20 平方米，求划出的ACD
的面积．
题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形
典例4 （25-26 八年级上·吉林长春·期末）【问题原型】如图①，在
ABC
中，
2
C
B
= ，AD为
BAC
的
平分线，探究线段AB
AC
CD
、
、
的数量关系．
【特例研究】如图②，当
90
C
=
时，小明在边AB 上截取AE
AC
=
，连接DE ，易得：CD
DE
=
= ______；
AC
CD
+
= ______；
【深入探究】如图③，当
90
C
时，小明选择了上题的做线方法，然后证ADE
ADC
≌
，得
AED
C
=
，
ED
CD
=
，再通过证明BDE
是等腰三角形，进而可求得线段AB
AC
CD
、
、
的数量关系．
以下是小明探究线段AB
AC
CD
、
、
数量关系的部分过程：
证明：如图③，在AB 上截取AE
AC
=
，连接DE ．
7 / 13
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵AD为
BAC
的平分线，
∴
EAD
CAD
=
．
在
ADE
和
ADC
△
中，
∵AE
AC
=
，
EAD
CAD
=
，AD
AD
=
，
∴
(
)
SAS
ADE
ADC
≌
∴
AED
C
=
，ED
CD
=
．
证明过程缺失
请你补全缺失的证明过程．
【拓展研究】如图④，在
ABC
中，
2
ACB
B
= ，AD是
ABC
的外角
CAE
的平分线，交BC 的延长线
于点D．直接写出线段AB
AC
CD
、
、
的数量关系：______．
题型模版
模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2 倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形．
条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD 平分∠ABC. 结论：△BDC 是等腰三角形.
条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB 到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC 是等腰三角形.
条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C 为角的顶点，CA 为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA 的
延长线于点D. 结论：△DBC 是等腰三角形.
变式4-1 问题背景：在
ABC
中，
2
B
C
= ，点D 为线段BC 一动点，当AD满足某种条件时，探讨在线段
AB 、BD、CD、AC 四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系．
8 / 13
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)在图1 中，当AB
AD
=
时，则可得AB
CD
=
，请你给出证明过程．
(2)当AD
BC
⊥
时，如图2，求证：AB
BD
DC
+
=
；
(3)当AD是
BAC
的角平分线时，判断AB 、BD、AC 的数量关系，并证明你的结论．
变式4-2（25-26 八年级上·广东珠海·期末）实验与探究：
学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那
么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣
小组的同学们对此展开探究：
例如，如图1（1），在
ABC
中，AB
AC
，怎样证明
C
B
呢？
把AC 沿
A
的平分线AD翻折，因为AB
AC
，所以点C 落在AB 上的点C处（如图1（2））．由
AC D
C
=
，
AC D
B
，可得
C
B
．
【类比探究】
（1）如图2，在
ABC
中，
C
B
，类比上述的方法，请证明AB
AC
．
【方法运用】
（2）如图3，在
ABC
中，
2
C
B
= ，若AD
BC
⊥
，写出AC ，CD，BD之间的数量关系并说明理由．
9 / 13
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．已知：如图，E 为
ABC
的外角平分线上的一点，AE
BC
∥
，BF
AE
=
，求证：
(1)
ABC
是等腰三角形；
(2)
BAF
ACE
=
．
2．如图，AD是
ABC
的角平分线，E 是BC 的中点，EF
AD
∥
，交AB 于点F，交CA 延长线一点G．
(1)求证：AFG
是等腰三角形；
(2)求证：BF
AC
AF
=
+
．
3．某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，ABC
为主梁框架，
ABC
是桥墩支撑角度的2 倍，即
2
ABC
C
=
，工程师计划在
BAC
的角平分线处安装钢架AD，交底梁BC 于
点D，为确保稳定性，必须过点B 焊接加固钢索BE ，使得BE
AD
⊥
，分别交AD，AC 于点F，E．
(1)求证：加固后的ABE
是等腰三角形；
10 / 13
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(2)经测量，主梁全长AC 为13 米，关键节点间距BD为5 米，求原始支撑段AB 的长度．
4．在
ABC
中，AB
BC
AB
=
，
的垂直平分线分别交边AC 、边AB 和直线CB 于点D
E
F
、、
，连接AF ．
(1)点F 在CB 的延长线上，
①如图，求证：
2
ABC
ADE
=
；
②如图，当
1
DC
DF
BC
=
=
，
时，求
ABF
△
的周长；
(2)当
ACF
△
是等腰三角形时，请直接写出
C
的度数．
5．【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可
得等腰三角形．如图1，P 为
AOB
的角平分线OC 上一点，常过点P 作PD
OB
∥
交OA于点D ，易得POD
为等腰三角形．
(1)【基本运用】如图2，把长方形纸片ABCD沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B处，则重合部分
ACE
△
是
等腰三角形．请将以下过程或理由补充完整：
∵在长方形ABCD中，DC
AB
∥
，
∴
ACD
BAC
=
，由折叠性质可得：____________，
∴
ACD
B AC
=
，
∴AE
CE
=
，（依据是：____________）
∴
ACE
△
是等腰三角形；
(2)【类比探究】如图3，
ABC
中，内角
ABC
与外角
ACG
的角平分线交于点O，过点O作DE
BC
∥
分
别交AB 、AC 于点D、E ，试探究线段BD、DE 、CE 之间的数量关系并说明理由；
(3)【拓展提升】如图4，四边形ABCD中，AD
BC
∥
，E 为CD边的中点，AE 平分
BAD
，连接BE ，求
证：AE
BE
⊥
．
6．已知在
ABC
中，满足
2
ACB
B
= ．
11 / 13
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)【问题解决】如图1，当
90
C
=
，AD为
BAC
的角平分线时，在AB 上取一点E，使得AE
AC
=
，连
接DE ，请直接写出AB
AC
CD
，
，
之间的数量关系_________；
(2)【问题拓展】如图2，当
90
C
，AD 为
BAC
的角平分线时，在AB 上取一点E，使得AE
AC
=
，连
接DE ，（1）中的结论还成立吗?若成立，请你证明；若不成立，请说明理由．
(3)【猜想结论】如图3，当AD为
BAC
的外角平分线时，在BA的延长线上取一点E，使得AE
AC
=
，连
接DE ，请直接写出线段AB
AC
CD
，
，
的数量关系_________．
7．如图，
ABC
是等边三角形，点D 在AC 上，点E 在BC 的延长线上，且BD
DE
=
．
(1)如图（1），若点D 是AC 的中点，BDC
= 度，CDE
= 度，E
= 度，AD CE（选填“ = ”“”或“”）．
(2)如图（2），若点D 不是AC 的中点，题（1）中AD与CE 的关系还成立吗？说明理由（提示：可以过D
作BC 的平行线DF ，通过全等三角形和等边三角形相关知识证明）；
(3)如图（3），若点D 在线段AC 的延长线上，试判断AD与CE 的大小关系，并说明理由．
8．【问题初探】
（1）如图1，在
ABC
中，AB
AC
=
，点F 是AC 上一点，点E 是AB 延长线上的一点，连接EF ，交BC 于
点D，若ED
DF
=
，求证：BE
CF
=
．
【类比分析】
（2）如图4，在
ABC
中，点E 在线段AB 上，D 是BC 的中点，连接CE ，AD，CE 与AD相交于点N，
12 / 13
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
若
180
EAD
ANC
+
=
，求证：AB
CN
=
；
【学以致用】
（3）如图5，在Rt
ABC
△
中，
90
BAC
=
，
30
C
=
，AF 平分
BAC
，点E 在线段BA的延长线上运动，
过点E 作ED
AF
∥
，交AC 于点N，交BC 于点D，且BD
CD
=
，请直接写出线段AE ，CN 和BC 之间的数
量关系．
9．（25-26 八年级上·辽宁大连·期末）在
中，
，
是高，E 是
上一点．
(1)如图1，若
平分
，
①求
的度数；（用含
的式子表示）
②求证：
．
(2)如图2，当
，
时，若点F 在射线
上，且
，求
的值．
10．（25-26 八年级上·安徽淮南·期末）【情境建模】
(1)已知：如图1，点
在
的边
上，若
平分
，且
，求证：
．请你帮助
小蕊完成证明．
【理解内化】
(2)请尝试直接应用“情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在
中，
平分
，
13 / 13
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
，求证：
．
【拓展应用】
(3)如图3，在
中，
平分
，点
为
中点，
与
相交于点
，过点
作
交
延长线于点
，设
、
的面积分别为
，，若
，则
的最大值是______．
