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专题10 二次函数中的新定义型问题的四类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、二次函数中点坐标的新定义型问题
题型二、二次函数中伴随问题的新定义型问题
题型三、二次函数与一次函数的新定义型问题
题型四、二次函数中对称问题的新定义型问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
- 题型特征：现场定义与二次函数相关的新概念（如“关联点”“友好抛物线”“倍值点”），要求解析
式、交点或参数范围。
- 解题方法：逐句翻译定义，转化为代数条件（方程或不等式）；联立新定义与函数解析式，设参代入求
解；结合图象辅助理解范围。
- 易错提醒：未理解定义即套用常规方法；忽略新定义中隐藏的约束（如“异侧”“非零点”）；参数讨
论时漏解或范围边界处理不当。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、二次函数中点坐标的新定义型问题
典例1 （25-26 九年级上·河南驻马店·期末）在学习抛物线的过程中，我们积累了一定的经验，请运用
已有经验，对抛物线的“阶梯点”进行研究．
定义：若抛物线上存在一点P，且点P 的横、纵坐标之和为n，则称点P 为此抛物线的“阶梯n 点”．
例如：点
在抛物线
上，且点P 的横、纵坐标之和为1，则，点P 就叫做此抛物线的“阶
梯1 点”．
根据以上定义，解决下列问题：
目 录
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(1)若点P 是抛物线
的“阶梯6 点”，求点P 的坐标．
设点P 的坐标为
，由定义可知
，且
，所以
，
所以
，解得
，
．
所以点P 的坐标为 ．
(2)若点P 是抛物线
的“阶梯1 点”，求点P 的坐标．
(3)若抛物线
上存在“阶梯3 点”P，请直接写出c 的取值范围．
【答案】(1)
或
(2)
或
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，理解题意是解决本题的关键．
（1）根据新定义可得到关于x 的方程，解出方程，即可；
（2）设点P 的坐标为
，根据新定义可得到关于x 的方程，解出方程，即可；
（3）设点P 的坐标为
，根据新定义可得到关于x 的方程，利用根的判别式解答即可．
【详解】（1）解：由题意得，点P 的坐标为
或
，
故答案为：
或
；
（2）解：设点P 的坐标为
，
由定义可知
，且
，
∴
，
∴
，
解得
，
，
∴点P 的坐标为
或
；
（3）解：设点P 的坐标为
，
由定义可知
，且
，
∴
，
∴
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由题意得，
，
∴
．
题型模版
1.特征：给出点坐标的新运算（如“倍点”“对称点”），在抛物线上按规则求点或范围。
2.方法：将新定义转化为坐标关系式，代入抛物线方程，转化为二次方程或不等式求解并验证。
变式1-1（24-25 九年级上·湖南永州·期末）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：
点
是函数图象上任意一点，纵坐标
与横坐标
的差“
”称为点
的“纵横值”，函数图象上所
有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：已知点
在函数
的图象上，
点
的“纵横值”可以表示为
，当
时，
的最大值为
，因此，
函数
（
）的“最优纵横值”为8．
【问题】根据定义，解决下列问题：
（1）①点
的“纵横值”为______；
②求出函数
（
）的“最优纵横值”；
【应用】（2）已知二次函数
的对称轴为直线
，且“最优纵横值”为3，求
，的值；
（3）求二次函数
（
）的“最优纵横值”是多少？（用的代数式表示）
【答案】（1）①3；②81 （2）
，
（3）最优纵横值为
【分析】本题主要考查了新定义下的运算，二次函数的图象和性质．
（1）根据题干中的“纵横值”的值定义和“最优纵横值”的定义计算即可；
（2）先求出二次函数
，再根据“最优纵横值”的定义可知
，求出c 的值即可；
（3）根据“最优纵横值”的定义可知
，分类讨论：当
时，当
时，
逐一求解即可．
【详解】解：（1）①∵
，
∴点
的“纵横值”为3；
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故答案为：3．
②
当
时，
随
的增大而减小
当
时，
取得最大值81
函数
（
）的“最优纵横值”是81；
（2）
二次函数
的对称轴为直线
，解得
“最优纵横值”为3，
，
（3）
当
时，
随
时取最大值，即最大值为
“最优纵横值”是
当
时，
随
时取最大值，
即最大值为
“最优纵横值”是
综上所述，最优纵横值为
.
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变式1-2（2025·辽宁阜新·一模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，
如果将二次函数：
图象上的点
的横坐标不变，纵坐标变为A 点的横、纵坐标之
和，就会得到的一个新的点
．他们把这个点A：定义为点A 的“和点”．他们发现：二次函数
所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为
的“和抛物线”．例如，二次函数
的“和抛物线”就是
，请按照定义
完成：
(1)点
的“和”点是______；
(2)如果抛物线
经过点
，求该抛物线的“和抛物线”；
(3)已知抛物线
图象上的点
的“和点”是
，若该抛物线的顶点坐标为
，该
抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为
．
①当
时，求n 的取值范围．
②小明发现，当c 取不同值时，所有的顶点
组成一条新的抛物线，设为
，所有的顶点
也组成
一条新的抛物线，设为
，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)
；
【分析】（1）根据题目中给出的信息解答即可；
（2）先将点M 的坐标代入抛物线的解析式，求出
，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线的
“和抛物线”即可；
（3）先根据点
，求出点B 的坐标，把点B 代入抛物线关系式得出b、c 的关系式，然后把b、c 的
关系式代入抛物线的关系式，得出
，写出其“和抛物线”的关系式为：
，
并求出化为顶点式，得出
，将n 看作c 的函数，求出当
时，n 的取值范围
即可；根据题意确定原函数的顶点坐标，得出相应的二次函数解析式，确定顶点坐标即可得出结果．
【详解】（1）解：根据题意可知，点
的“和”点是
，
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∴点
的“和”点
的纵坐标为
，即
．
故答案为：
．
（2）将点
代入抛物线
得：
，
解得：
，
即抛物线的解析式为
，
∴抛物线的“和抛物线”为
，
即
．
（3）根据题意可知，点
是点
的“和”点，
∴
，解得：
，即
，
将点
代入抛物线
得：
，则
，
∴抛物线为
，
∴抛物线的“和抛物线”为：
，
即
∵其顶点坐标为
，
∴
，
将n 看作c 的函数，
∵
，
时，n 有最大值，且最大值为1，
当
时，
，n 有最小值，且最小值为
，
∴n 的取值范围是
；
由得：原抛物线为
，
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∴
，
将
变形为
代入
得出
，
∵所有的顶点
组成一条新的抛物线，设为
，
∴
，
∴顶点坐标为：
；
同理：∵所有的顶点
也组成一条新的抛物线，设为
，
∴
，
∴顶点坐标为：
；
∴距离为：
．
题型二、二次函数中伴随问题的新定义型问题
典例2 （2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数
，则称二次函数
是二次函数
的伴随二次函数，t 是伴随值．
定义理解
（1）下列二次函数中，是二次函数
的伴随二次函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
深入探究
（2）已知二次函数
的图象如图所示，其伴随二次函数是
．
①伴随值为 ；
②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象；
③当
时，记二次函数
与
的图象为W，若W 的最高点的纵坐标为12，求W 的最低点的坐标．
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【答案】（1）C；
（2）①2；
②画图如图所示：
③
或
【分析】本题主要考查了新定义下二次函数的图像与性质，理解新定义，准确计算是正确解答此题的关键．
（1）根据伴随二次函数的定义逐一判断即可；
（2）①将
变形即可求解；②根据画函数图像的步骤即可画出伴随二次函数的图像；③结合
取值范围及二次函数的性质分情况求解即可．
【详解】解：（1）对于二次函数
当伴随值为1 时，其伴随二次函数是
；
当伴随值为
时，其伴随二次函数是
；
当伴随值为2 时，其伴随二次函数是
；
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当伴随值为
时，其伴随二次函数是
；
故选：C．
（2）①设伴随值为t，
则
，
，
．
故答案为：2；
②列表：
0
2
3
4
6
5
5
依次描出点
，
③令
得
或
；
令
得
或
．
结合函数图象可知，只能是
或
，
或3．
当
时，
，此时
且
随x 的增大而减小，
∴当
时，
有最小值，为
∴此时W 的最低点的坐标为
．
当
时，
，此时
且
随x 的增大而增大，
∴当
时，
有最小值，为
∴此时W 的最低点的坐标为
．
综上，W 的最低点的坐标为
或
．
题型模版
1.特征：定义“伴随点”“伴随函数”等新概念，关联两个函数或点，求参数或关系式。
2.方法：理解新定义，将伴随关系用代数式表示（如坐标互换），与二次函数联立，转化方程或不等式求解。
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变式2-1（24-25 九年级上·江苏泰州·阶段检测）【定义与性质】
定义：如图，记二次函数
和
的图象分别为抛物线
和
，若抛物线
的顶点
在抛物线
上，则称
是
的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若
是
的伴随抛物线，则
也是
的伴随抛物线，即
的顶点
在
上．
【理解与运用】
（1）证明性质②；
（2）若二次函数
和
的图象都是抛物线
的伴随抛物线，则
______，
______．
【思考与探究】
（3）设函数
的图象为抛物线
．
①若函数
的图象为抛物线
，且
始终是
的伴随抛物线，求
，的值；
②在（3）①的条件下，若抛物线
与
轴有两个不同的交点
，
，请直接写出
的取值
范围．
【答案】
（1）证明：∵
是
的伴随抛物线，
即抛物线
的顶点
在抛物线
上，
∴
成立，
抛物线
的顶点坐标为
，
将点
代入
中，
则有
，
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即
，
整理可得，
，
∴抛物线
的顶点
在抛物线
上，
∴
也是
的伴随抛物线；
（2）
；
；
（3）①
，
；②
或
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数顶点式
的性质，结合“伴随抛物线
的定义”求出抛物线的顶点坐标是解决本题的关键．
（1）由
是
的伴随抛物线，可将点
代入抛物线
中可得
成立，再将点
代入
抛物线
中可证
成立，即可得证；
（2）根据“伴随抛物线”的定义，将二次函数的顶点代入
中即可求解；
（3）①先将抛物线
化为顶点式，再求出抛物线
的顶点，由“
始终是
的伴随抛物线”可令k 的值，
再将k 的值代入抛物线
中，即可求解；
②先求出抛物线
的顶点坐标和与x 轴的交点，再根据抛物线
的运动过程即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：由“伴随抛物线”的定义可知，
若二次函数
和
的图象都是抛物线
的伴随抛物线，
则有顶点
和顶点
在抛物线
上，
∴
，
∴
，即
，解得
，
故答案为：
；
；
（3）①解：抛物线
，
化为顶点式可得，
，
∴抛物线
的顶点坐标为
，
∵
始终是
的伴随抛物线，
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∴令
，则顶点坐标为
；
令
，则顶点坐标为
；
∴
，解得
，
∴
的值为2，的值为3；
②解：由（1）可知，
，顶点为
，
∵
始终是
的伴随抛物线，
∴抛物线
的顶点
在抛物线
上运动，
令
，解得
，
，
∴抛物线
与x 轴的交点为
，
，
∵抛物线
与
轴有两个不同的交点
，
，
当抛物线
的顶点在
下方时，则
，
∵
始终是
的伴随抛物线，
则
也是
的伴随抛物线，
∴顶点
也在
上，
当抛物线
的顶点在
下方时，则
，
∴
的取值范围为
或
．
变式2-2（2026·辽宁抚顺·模拟预测）【定义与性质】
记二次函数
的图象为抛物线
，其顶点为
．
定义：若存在另一条抛物线
，其解析式为
，且顶点
在抛物线
上，则称抛物线
是抛物线
的“镜像抛物线”．
(1)【理解与运用】：已知抛物线
，若抛物线
是抛物线
的“镜像抛物线”，
求的值；
(2)【思考与探究】：设抛物线
（
为任意实数），抛物线
，且抛物
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线
是抛物线
的“镜像抛物线”．
①若抛物线
与
轴交于
，
两点
，且满足
，求
的值；
②设
是“镜像抛物线” 的顶点，
是抛物线
的顶点，当点
在点
的右侧，且
时，
求
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)①
或
；②
．
【分析】（1）将抛物线
的顶点代入抛物线
的解析式即可求解；
（2）①令抛物线
的解析式为
结合条件
即可得到
的值；②用配方法求出“镜像抛物线”
的
顶点
的表达式，将其代入抛物线
的解析式可得抛物线
，故
，
当
时，过点
作
，交
的延长线于点
，作
轴于点
，过点
作
，
交
的延长线于点
，利用
可得
，设直线
的解析式为
，将
代入，得直线
的解析式为
，把
代入
得
，解方
程后可得到点
的横坐标，即
，结合
且点
在点
的右侧即可得到
的取
值范围．
【详解】（1）根据题意可得，抛物线
的顶点
在抛物线
上，
将点
代入
，得
；
（2）①在
中，令
，得
，
解得
，
，
，
，
，
，
，
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解得
或
，
②
，
抛物线
的顶点为
，
抛物线
是抛物线
的“镜像抛物线”，
点
在抛物线
上，
，且此式对任意
均成立，
，
，
抛物线
，
为抛物线
的顶点，
，
当
时，过点
作
，交
的延长线于点
，作
轴于点
，过点
作
，
交
的延长线于点
，
，
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
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，
，
，
，
，
，
，点
的纵坐标为
，
，
设直线
的解析式为
，
将
代入，得
，解得
，
直线
的解析式为
，
把
代入
得
，
解得
，
，（不符合题意，舍去）
点
的横坐标为
，
，
，
，且点
在点
的右侧，
．
题型三、二次函数与一次函数的新定义型问题
典例3 （25-26 九年级上·江苏苏州·期末）定义：若直线
（
是常数）经过抛物线的顶点，则
称直线
是该抛物线的“最美直线”．
(1)若直线
是抛物线
的“最美直线”，求
的值；
(2)平移抛物线
得到抛物线
，若直线
是抛物线
的“最美直线”，直线
与
轴的
交点为
，抛物线
与
轴的交点为
，点
与点
关于原点对称，求抛物线
对应的函数表达式．
【答案】(1)
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(2)
或
【分析】（）求出抛物线的顶点坐标，再代入一次函数解析式解答即可求解；
（
）求出点
坐标，设抛物线
的顶点坐标为
， 则抛物线
的解析式为
，可得
，
，进而得到
，求出
的值即可求解；
本题考查了求一次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用，理解新定义是解题的关键．
【详解】（1）解：∵抛物线
，
∴抛物线的顶点坐标为
，
∵直线
是抛物线
的“最美直线”，
∴
，
解得
；
（2）解：把
代入直线
，得
，
∴
，
∵点
与点
关于原点对称，
∴
，
设抛物线
的顶点坐标为
， 则抛物线
的解析式为
，
∵直线
是抛物线
的“最美直线”，
∴直线
经过点
，
∴
，
∵抛物线
与
轴的交点为
，
∴
，
∴
，
将
代入
，得
，
即
，
解得
或
，
当
时，
；
当
时，
；
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∴抛物线
的函数表达式为
或
，即
或
．
题型模版
1.特征：定义两函数间的新运算（如“交点数”“距离”），按规则求参数或范围。
2.方法：联立解析式将定义转化为方程或不等式，利用判别式或根与系数关系求解，注意实际意义。
变式3-1（2026·江西上饶·三模）【定义】若二次函数
的顶点在直线
上，则称
二次函数叫做直线
的开心函数．例如：二次函数
的顶点为
在直线
上，所以二
次函数
是直线
的开心函数．
【应用】
(1)若二次函数
是直线
的开心函数，求k 的值；
(2)若二次函数
是直线
的开心函数．
①求证：
；
②若
时，y 的最小值为
，求m 的值．
【答案】(1)
(2)①证明：
，
∴顶点为
，
∵二次函数
是直线
的开心函数，
∴
，
∴
；
m 的值为1 或5
【分析】（1）由函数的表达式知，顶点坐标为：
，将
代入
，即可求解；
（2）①由函数的表达式知，顶点坐标为：
，将
代入
即可求解；
②当
时，则抛物线在
时，取得最小值，即
，则
；当
时，求解即可．
【详解】（1）
解：
，
∴顶点为
，
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∵二次函数
是直线
的开心函数，
∴
，
解得
；
（2）
①略；
②
的对称轴为直线
，
当
时，
，y 有最小值
，
解得
（舍）或
；
当
时，
，y 有最小值
，
解得
；
综上所述：m 的值为1 或5．
变式3-2（2024·江西九江·一模）定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线
为抛物线
的“衍生直线”．如图1，抛物线
与其“衍生直线”交于A，B 两点（点B 在x
轴上，点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点
．
(1)求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A 的坐标；
(2)如图2，抛物线
的“衍生直线”与y 轴交于点
，依次作正方形
，正方形
，…，
正方形
（n 为正整数），使得点
，
，
，…，
在“衍生直线”上，点
，
，
，…，
在x 轴负半轴上．
①直接写出下列点的坐标：
______，
______，
______，
______；
②试判断点
，
，…，
是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为
，“衍生直线”的表达式为
，点A 的坐标为
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(2)①
，
，
，
；②是，这条直线的解析式为
【分析】（1）由题意可知
，再根据“衍生直线”的定义可知“衍生直线”的表达式为
．进
而可求出点B 的坐标．由抛物线
与x 轴交于点
，
，即可直接得出抛物线的表
达式为
．联立
、
，解之即可求出点A 的坐标；
（2）①根据题意可求出
，即得出
．结合正方形的性质可得出
，即可求出
．再根据点
，
，
，…，
在直线
上，可求出
，从而可求出
，同
理得出
，…，
；
②由
，令
，
，结合幂的运算法则即可得出这条直线的表达式．
【详解】（1）解：
抛物线为
，
，
“衍生直线”的表达式为
．
“衍生直线”
与x 轴交于点B，
点B 的坐标为
．
抛物线
与x 轴交于点
，
，
抛物线的表达式为
．
令
，解得
或
，
把
代入
，得
，
点A 的坐标为
；
（2）解：①对于
，令
，则
，
∴
，
∴
．
∵四边形
为正方形，
∴
，
∴
．
∵点
，
，
，…，
在“衍生直线”上，即在直线
上，
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∴
，
∴
．
同理可求出
，…，
．
故答案为：
，
，
，
；
②点
，
，…，
在同一条直线上．
令
，
，
∴
，
∴
，
这条直线的表达式为
．
题型四、二次函数中对称问题的新定义型问题
典例4 （24-25 九年级上·江西吉安·期末）定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反
且顶点的横、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的伴随函数．如
与
互为伴随函数．
(1)
的伴随函数的表达式为 ；
(2)若
的图像的顶点为
，且过它的伴随函数
的图像顶点
．
求证：这两个函数图像的交点为
；
如图，点
是
在
之间的图像的动点，
轴交
的图像于点
，
求
长度的最大值．
【答案】(1)
；
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(2)
证明：∵
，
∴顶点
，
∴它的伴随抛物线
的顶点
为
，
∴
，
当
时，
，
∴点
在
图象上，
当
时，
，
∴点
在
图象上，
∴这两个函数图像的交点为
，
；
最大值为
．
【分析】（）根据“伴随函数”的定义和二次函数的定义即可求解；
（
）
由
，则顶点
，求出它的伴随抛物线解析式为
，
然后当
时，
，则点
在
图象上，当
时，
，从而求证；
设
，则
， 故有
，然后
根据二次函数的性质即可求解；
本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
【详解】（1）解：
，
∴顶点为
，
∴伴随抛物线的顶点为
，
∴伴随抛物线的解析式为
；
（2）
略
解：由
可知：
，
，
，
，
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设
，
∵
轴交
的图像于点
，
∴
，
∴
，
∵点
在
，
之间，
∴
，
当
时，
值最大，最大值为
．
题型模版
1.特征：定义关于点或线的“对称函数”，求新函数解析式或图象性质，需灵活转化。
2.方法：利用对称变换法则（如关于x 轴、y 轴、原点或直线）确定坐标关系，代入原函数得新解析式。
变式4-1（2026·河南平顶山·三模）定义：若抛物线上存在两点关于原点中心对称，则称这两点互为“抛
物中心对称点”．点
在抛物线
上，点A 的“抛物中心对称点”为点B．
(1)求这个抛物线的表达式及顶点坐标．
(2)①在给出的平面直角坐标系中画出该抛物线和直线
．
②将直线
向下平移3 个单位长度得到直线，则直线上___________互为“抛物中心对称点”的两个
点．（填“存在”或“不存在”）
③将抛物线
向上平移
个单位长度，若平移后的抛物线上仍存在互为“抛物中心对称
点”的两个点，请直接写出k 的取值范围．
【答案】(1)
；(−1, −5)
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(2)①
；②不存在；③
【分析】（1）求出点A 的“抛物中心对称点”为点B 的坐标，再运用待定系数法求出抛物线的解析式，运
用配方求出顶点坐标即可；
（2）①画出的抛物线和直线
即可；
②求出直线
的解析式为
，平移后的解析式为
，假设存在两点
，
判断
是否在抛物线
上即可；
③平移后的抛物线的表达式为
，设平移后的抛物线上互为“抛物中心对称点”的两个点
为
，根据
可得
，结合
可得结论．
【详解】（1）解：由题意，可知点
，点
，且点
均在抛物线上．
把
代入
，得
，
解得
，
∴抛物线的表达式为
．
∴抛物线的顶点坐标是
．
（2）解：①略
②设直线
的解析式为
，
把
代入得
，
∴
，
∴直线
的解析式为
，
将直线
向下平移3 个单位长度得到直线
，
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假设存在两点
关于原点对称，
把点
的横坐标代入
得：
故不存在两点
互为“抛物中心对称点”；
③由题意，得平移后的抛物线的表达式为
．
设平移后的抛物线上互为“抛物中心对称点”的两个点为
，
∴𝑦1 = 𝑥12 + 2𝑥1 −4 + 𝑘, −𝑦1 = (−𝑥1)2 + 2 × (−𝑥1) −4 + 𝑘=
．
∴
．
整理，得
．
∴
．
∴
，
∵
，
∴
．
变式4-2（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
与
交于
，
两点，已知
的图象与
轴交于点
，且关于直线
对称．
(1)求二次函数
的函数解析式；
(2)直线
分别与
和
的图象交于
，
两点，与
轴交于点
．若
，求
的
值：
(3)定义：
为较小函数，即
，直线
与
的图象交于
，
，
，
四点
（
，
，
，
从左到右依次排布），若
，求出的值．
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【答案】(1)
(2)
或
；
(3)
【分析】（1）根据待定系数法即可解答；
（2）设
，则
，则可得
，解方程即可；
（3）解方程可得
，
，列方程即可．
【详解】（1）解：
过
，对称轴
，
，
，
，
∴二次函数
的函数解析式
；
（2）解：设
，则
，
，
，
，
由
，
可得
，
可得
或
，
解得
或
或
，
，
或
；
（3）解：如图，
令
，
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可得
，
解得
，
，
令
，
可得
，
解得
，
，
，
，
解得
．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、解答题
1．（25-26 九年级上·江西南昌·期中）定义：由两条与x 轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所
围成的封闭曲线称为“笑口线”．抛物线
与抛物线
组成一个如图所示
的“笑口线”．
(1)求出点M，N 的坐标；
(2)求
的值．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，求抛物线与x 轴的交点坐标,抛物线与x 轴的交点问
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题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
（1）解方程
可得到M、N 的坐标；
（2）利用抛物线与x 轴的交点问题得一元二次方程
的两根为
，
，则根据根与系
数的关系得
，从而得到
的值．
【详解】（1）解∶当
时，
，
解得
，
，
，
；
（2）
抛物线
与x 轴的交点为
，
，
一元二次方程
的两根为
，
，
，
，
，
．
2．
（2026·河南开封·一模）新定义：我们把二次函数
与二次函数
（其中
，
且a，b，c 均为常数）称之为“相关二次函数”．已知二次函数
的图像与
轴交于
点
．二次函数
的“相关二次函数”为
．
(1)
的值为___________，
的解析式为___________；
(2)当
时，二次函数
上的点
与二次函数
上的点
之间的距离为5，求的值．
【答案】(1)
，
(2)
或
【分析】（1）将
代入
得到关于m 的方程求解即可；根据“相关二次函数”的定义写出
的解析
式即可；
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（2）先分别用t 表示点P、点Q 的坐标，再根据两点间距离为5 列绝对值方程求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数
的图像与
轴交于点
，
∴
，即
，解得：
；
∴二次函数
，
∴二次函数
的“相关二次函数”为
．
（2）解：由（1）可得
，
，
∴当
时，
，
，
∵点
与点
之间的距离为5，
∴
，即
，解得：
或
．
3．（2026 九年级上·河南信阳·专题练习）【定义】若二次函数
的顶点在直线
上，则
此二次函数叫做直线
的开心函数．例如：二次函数
的顶点为
在直线
上，所以
二次函数
是直线
的开心函数．
(1)若二次函数
是直线
的开心函数，求
的值；
(2)若二次函数
是直线
的开心函数．
①求
（用含
的代数式表示）；
②若当
时，
的最小值为
，则n 的值为______．
【答案】(1)
(2)①
②2 或
【分析】（1）由函数的表达式知，顶点坐标为：
，将
代入
，即可求解；
（2）①由函数的表达式知，顶点坐标为：
，将
代入
得：
，
即可求解；
②分类讨论当
时，则在
时，函数取最小值
；当
时，函数最小值取在顶点处，即顶
点纵坐标为
；当
时，则在
时，函数取最小值
；分别代入求解即可．
【详解】（1）解：
，
∴顶点坐标为
，
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将
代入
得：
，
则
；
（2）解：①
，
∴顶点坐标为
，
将
代入
得
，
则
；
②由①知，抛物线的表达式为：
，
∴顶点坐标为：
，
当
时，
，
当
时，
，
当
即
时，则在
时函数取最小值
，
即
，
解得
（舍去）或3，
即
，
此时
；
当
即
时，
函数最小值取在抛物线顶点处，
即
，
解得
，
此时
；
当
即
时，
则当
时函数取得最小值
，
即
，
此方程无解；
综上，
或
．
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4．
（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）定义：在平面直角坐标系
中，对于
和抛物线
，
我们称
是抛物线
的关联点，抛物线
是点
的关联抛物线．已知点
，
，
．
(1)点
的关联抛物线的解析式为____________；
(2)求过
，
两点的抛物线
的关联点坐标；
(3)设点
在直线
上运动，点
的关联抛物线的顶点都在同一条抛物线
上，求抛物线
的解析
式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质等，这种新定义类题目，通常按照题设
的顺序逐次求解．
（1）根据题意可得
即可求解；
（2）将点A、B 坐标代入
求出a，b 的值，即可求解；
（3）先求出直线
的表达式可得设点
，可得抛物线的表达式再求出抛物线的顶点坐标，即可
求解．
【详解】（1）解：∵点
，
∴
，
故抛物线的表达式为：
．
故答案为：
；
（2）解：将点
，
代入
得：
，
解得：
，
∴过
，
两点的抛物线
的关联点坐标为
；
（3）解：设直线
的表达式为
，
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把点
，
代入得：
，
解得：
，
∴直线
的表达式为：
，
设点
，
∴抛物线的表达式为：
，
∴抛物线的顶点坐标为
，
令
，则
，
则
即抛物线
的解析式为：
．
5．（25-26 九年级上·江苏扬州·期末）定义：把抛物线
（其中
）与抛物线
称为“孪生抛物线”，例如，抛物线
的“孪生抛物线”为
．已知抛物线
的“孪生抛物线”为
，
与y 轴交于点E．
(1)直接写出抛物线
的表达式______；
(2)若点E 的坐标为
，求抛物线
的解析式；
(3)设
的顶点为F，若
，求点E 的坐标；
(4)记
在
时的最大值为M，最小值为m，且
，则
______．
【答案】(1)
(2)
(3)
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(4)
或
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的开口，最值，对称轴直线的计算是关键．
（1）根据“孪生抛物线”的定义求解即可；
（2）运用待定系数法求解即可；
（3）根据二次函数与坐标轴的交点的计算得到
，根据顶点坐标的计算得到
，根据两
点之间距离的计算得到
，由此即可求解；
（4）根据二次函数解析式得到顶点坐标，结合
于对称轴直线的位置，分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，抛物线
的表达式
；
（2）解：
与y 轴交于点
，
∴
，
解得，
，
∴
；
（3）解：抛物线
的表达式
，
∴顶点的横坐标为：
，顶点的纵坐标为：
，
∴
，
∵
与y 轴交于点
，
∴当
时，
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得，
，
∴
，
∴
；
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（4）解：抛物线
，顶点坐标为
，
∵
，
∴
，
，二次函数图象开口向上，
∵
，
∴当
时，即
，
取最大值
，
，
∴
，
∴
，
整理得，
，
∴
，
∴
；
当
，
时，即
，
取得最大值
，最小值为
，
∴
，
整理得，
，
解得，
，
∴
；
当
时，即
，
最大值
，
最小值为
，
∴
，
整理得，
，
解得，
，不符合题意，舍去；
综上所述，
的值为
或
．
6．（25-26 九年级上·江苏苏州·阶段检测）新定义：我们把抛物线
与
成为
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“友好抛物线”，例如：抛物线
的“友好抛物线”为
；
(1)抛物线
的友好抛物线的解析式为______，“友好抛物线”的顶点坐标为______．
(2)若抛物线
和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，且抛物线M 上有
且只有三个点到x 轴的距离为2，求抛物线M 的解析式．
(3)已知抛物线
（其中
）经过其“友好抛物线”的顶点，
①求抛物线C 的对称轴；
②当
时，y 的最大值是4，求
的值．
【答案】(1)
，
(2)
(3)①抛物线C 的对称轴为直线
．②当
时，y 的最大值是4 时，
的值为
或
．
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质．
（1）由新定义可得抛物线
的友好抛物线的解析式为
，再进一步求解即可．
（2）由抛物线
和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，可得
，
由抛物线M 上有且只有三个点到x 轴的距离为2，可得抛物线的顶点纵坐标为
，再进一步求解即可．
（3）①由
的顶点横坐标为：
，顶点纵坐标为：
，结合抛物线
（其中
）经过其“友好抛物线”的顶点，可得
，进一步求解即可；②分
，
，结合函
数图象可得答案．
【详解】（1）解：抛物线
的友好抛物线的解析式为
，
∵
，
∴“友好抛物线”的顶点坐标为
，
故答案为：
，
．
（2）解：∵抛物线
和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，
∴
，
∵抛物线M 上有且只有三个点到x 轴的距离为2，
∴抛物线的顶点纵坐标为
，
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∴
，
∴
，
∴
，
解得：
（不符合题意，舍去），
，
∴
，
∴抛物线M 的解析式为：
．
（3）解：①∵抛物线
（其中
）的“友好抛物线”为
，
而
的顶点横坐标为
，
∴顶点纵坐标为
，
∵抛物线
（其中
）经过其“友好抛物线”的顶点，
∴
，
∴
，
解得：
或
（舍去），
∴
，
∴抛物线C 的对称轴为直线
．
②∵
，
∴抛物线
，
当
时，如图，
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∵
，
∴当
时，函数取最大值4，
∴
，
解得：
，
当
时，如图，
∴当
时，函数取最大值4，
∴
，
解得：
，
综上：当
时，y 的最大值是4 时，
的值为
或
．
7．（2026·江西南昌·一模）已知点
是抛物线
上一点，若
，则我们把点P 称为
该抛物线的“二倍点”．
(1)【定义理解】
①若点P 是抛物线
上的“二倍点”，则点P 的坐标为________；
②下列抛物线，没有“二倍点”的是________．
A．
B．
C．
(2)【深入探究】
已知抛物线
与x 轴只有1 个公共点
，且与y 轴相交于点
．
①求该抛物线的解析式；
②将该抛物线向下平移k 个单位得到新的抛物线，若新抛物线恰好只存在1 个“二倍点”，求k 的值及该“二
倍点”的坐标．
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【答案】(1)①
或
，②C
(2)①
；②
，“二倍点”的坐标为
【分析】（1）①根据“二倍点”的定义可得
，且
，据此解方程即可得到答案；②根据题意
可得当抛物线上有“二倍点”时，该抛物线与直线
一定有交点，故联立对应的抛物线的解析式和直线
的解析式，看方程是否有解即可得到答案；
（2）①抛物线
与x 轴只有1 个公共点可得判别式的值为0，再结合点B 和点C 的坐标列式求
解即可；②求出平移后的抛物线解析式，根据新抛物线恰好只存在1 个“二倍点”可得新抛物线与直线
只有一个交点，据此求解即可．
【详解】（1）解：①由题意得，抛物线上的一点满足其纵坐标是横坐标的两倍时，则该点为该抛物线的“二
倍点”，
∵点P 是抛物线
上的“二倍点”，
∴
，且
，
∴
，
解得
或
，
当
时，
；当
时，
；
综上所述，点P 的坐标为
或
；
②由题意得，抛物线上的一点满足其纵坐标是横坐标的两倍时，则该点为该抛物线的“二倍点”，
∴所有的抛物线的“二倍点”都在直线
上，
∴当抛物线上有“二倍点”时，该抛物线与直线
一定有交点；
联立
得
，即
，
∴
，
∴二次函数
与直线
有两个不同的交点，
∴二次函数
上有“二倍点”；
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联立
得
，即
，
解得
，
∴二次函数
与直线
只有一个交点，
∴二次函数
上有“二倍点”；
联立
得
，即
，
∴
，
∴二次函数
与直线
没有交点，
∴二次函数
上没有“二倍点”；
（2）解：①∵抛物线
与x 轴只有1 个公共点
，且与y 轴相交于点
，
∴
，
∴
，
∴抛物线的解析式为
；
②由题意得，平移后的抛物线的解析式为
，
联立
得
，即
∵平移后的抛物线上恰好只存在1 个“二倍点”，
∴
，
，
∴
，
解得
．
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∴“二倍点”的坐标为
．
8．（2026·辽宁抚顺·一模）定义：对于二次项系数之和为，对称轴相同，且图象与
轴的交点也相同的
两个二次函数，我们称这两个函数互为“和谐二次函数”．
例如：
的“和谐二次函数”为
．
(1)函数
的对称轴为 ，其“和谐二次函数”为
；
(2)已知二次函数
，其“和谐二次函数”记为
．
若函数
的图象与函数
的图象交于
，两点（点
的横坐标小于点
的横坐标），动点
在点
，
之间的函数
的图象上，当
时，求点
的横坐标；
函数
的图象与函数
的图象组成新函数
，当
时，函数
的最大值与最小
值的差为，求
的取值范围．
【答案】(1)
，
；
(2)
或；
．
【分析】（）先求出函数
的对称轴为直线
，然后通过“和谐二次函数”定义设
，得出
，再求出
，
的值即可；
（
）
由题意知，
，联立
，从而得出点
，
，所以
轴，
，过点
作
于点
，然后根据
得出
，对于
，当
时，
，然后求出
的值即可；
由题意，得函数
的图象如图
所示，当
时，
的最大值为
，又函数
的最大值与最小值的差为
，所以最小值应为
，过点
作
轴交
的图象于点
，将
代入
，从而可得点
的坐标为
，由图象可知，当
时，函数
的
最大值与最小值的差为，从而求解．
【详解】（1）解：函数
的对称轴为直线
，
设其“和谐二次函数”为
，
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∴
，
解得：
，
∴其“和谐二次函数”为
，
故答案为：
，
；
（2）解：
设其“和谐二次函数”为
，
∴
，
解得：
，
，
联立
，解得
，
，
∵点
的横坐标小于点
的横坐标，
∴点
，
，
∴
轴，
，
如图，过点
作
于点
，
∵
∴
，
∴
，
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∴
，
对于
，
当
时，
，
解得
或
，
∴点
的横坐标为或；
由题意，得函数
的图象如图
所示，
∵点
，
∴当
时，
的最大值为
，
∵函数
的最大值与最小值的差为，
∴最小值应为
，
∵
，
∴
的顶点
的坐标为
，
过点
作
轴交
的图象于点
，
将
代入
，
解得
或
（不合题意，舍去）
∴点
的坐标为
，
∴由图象可知，当
时，函数
的最大值与最小值的差为，
∴
．
9．（2026·广西·一模）在二次函数的研究领域中，对称轴是决定函数图象特征的关键要素之一．当两个
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二次函数的图象对称轴相同时，便有了“同轴二次函数”这一特殊关系定义．它为我们剖析二次函数间的
联系搭建了新的桥梁，引领我们从对称轴的相同性深入探究函数表达式，图象以及取最值等内在规律与逻
辑关联．
(1)已知二次函数
，请写出一个与它是“同轴二次函数”且开口方向不同的二次函数；
(2)已知二次函数
和
，若
与
为“同轴二次函数”．
①求
的函数表达式（用含
的代数式表示）；
②若
与直线
恰好只有一个交点，求
的值；
③当
时，
的最小值为
，求
的值．
【答案】(1)
（答案不唯一）
(2)
①得
②
③
的值为
或
【分析】(1) 先求已知二次函数
，对称轴
，再构造二次项系数与原函数符号相反且对
称轴为
的二次函数；
(2)①先求二次函数
，对称轴
，再求
对称轴表达式，根据“同轴”列等式求出
与
关系，得
表达式；②联立
与
得方程，利用判别式
求解
； ③
先求
对称轴
，分
和
，根据对称轴与区间
时，位置关系判断单调性求最小值．
【详解】（1）解：∵二次函数
，其中
∴对称轴
，
∵“同轴二次函数”需对称轴相同，开口方向不同，
∴设新函数为
，
由对称轴
得，
，即
，
取
，则
，
取任意值：
，得
（答案不唯一）；
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（2）解：①∵二次函数
，其中
，
∴对称轴
，
∵
，
，
∴
，
∵
与
为“同轴二次函数”，
∴对称轴
，
即：
，
将
代入
，
得
；
②
与直线
恰好只有一个交点，
联立
，
整理，得
，
方程有唯一解时，判别式
，
∴
，
展开得：
，
，
故
的值为
；
③
的对称轴为
，区间为
，对称轴在区间内，
当
时（开口向上）最小值在对称轴
处取得，
代入得：
，
∵
的最小值为
，
∴
，解得
；
当
时（开口向下）最小值在区间端点处取得，
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计算端点值：
时，
时，
∵
，
，
故最小值为
，
∵
的最小值为
，
∴
，解得
，
综上可得：当
时，
的最小值为
，
的值为
或
．
10．（25-26 九年级上·江苏苏州·期中）新定义：若二次函数为
（
是常数），
则称
为
的“关联”二次函数，称这两个函数互为“关联”二次函数．
(1)写出
的“关联”二次函数的表达式：
___________．
(2)若（）中的互为“关联”二次函数的两个图像与正比例函数
的图像有且只有两个交点，求
的值；
(3)如图，二次函数
与
互为“关联”二次函数，
，
分别是互为“关联”的两个二次函数
与
的图
像的顶点，点
是
的图像与
轴正半轴的交点，连接
，若点
为
，且
为直角三
角形，求点
的坐标．
【答案】(1)
(2)
或
(3)
或
【分析】（）根据“关联”二次函数的定义即可求解；
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（
）由“关联”二次函数的图像与正比例函数
的图像都关于原点成中心对称，且题（）中的互为
“关联”二次函数的图像与正比例函数的图像只有两个交点，可得
的图像与
的图像只有
一个交点，即得关于
的方程
有两个相等的实数根，据此解答即可求解；
（）根据“关联”二次函数的对称性求得点
坐标，再分
和
本题考查了二次函数的几何应用，二次函数与一元二次方程，直角三角形的定义及性质等，理解题意是解
题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，
的“关联”二次函数的表达式为
，
故答案为：
；
（2）解：由“关联”二次函数的定义可知，互为“关联”二次函数的图像关于原点成中心对称，
∵正比例函数
的图像也关于原点成中心对称，且题（）中的互为“关联”二次函数的图像与
正比例函数
的图像只有两个交点，
∴
的图象与
的图像只有一个交点，
∴关于
的方程
有两个相等的实数根，
方程整理得，
，
∴
，
解得
或
，
∴
的值为
或
；
（3）解：∵二次函数
与
互为“关联”二次函数，
∴二次函数
与
的图像关于原点成中心对称，
∵
分别是互为“关联”的两个二次函数
与
的图像的顶点，点
，
∴点
，点
为
的中点，
设
则
，
当
时，
，
∴点
，
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∵
是
的图像与
轴正半轴的交点，
∴若
为直角三角形，则
或
，
当
时， ∵点
为
的中点，
∴
，
∵
，
∴
，
∴点
的坐标为
；
当
时，
，
∴
，
解得
，
∴
，
∴点
的坐标为
；
综上所述，点
的坐标为
或
．
