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专题10 巧构等腰三角形的基本模型的四类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形
题型二、利用平行线+角平分线构造等腰三角形
题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形
题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
- 题型特征：已知条件中无直接等腰，需通过平行线、角平分线、中线或翻折等手段构造等腰，导边导角。
- 解题方法：见角平分线+平行线出等腰；见中线倍长构造等腰；见垂线+截长补短造等腰；利用外角找等
角；利用对称性翻折造等腰。
- 易错提醒：辅助线添加不当导致新等腰与原条件关联断裂；构造后未验证等边或等角确实成立；角平分
线与平行线构造等腰时选错平行方向。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形
典例1 （25-26 八年级上·湖北黄石·期末）综合探究
问题情境：
ABC
是等边三角形，点D 是AC 上一点，点E 在BC 的延长线上，且AD
CE
=
，连接AE 、DE ．
（1）如图1，当点D 是AC 的中点时，DB DE ；（填“”，“”或“= ”）
（2）若点D 为AC 边上任意点时，同学们经讨论发现结论依然成立，并且可以通过构造一个三角形与CDE
全等来证明．以下是他们的部分证明过程：
证明：如图2 ，过点D作DF
BC
，交AB 于点F ．（请完成余下的证明过程）
问题解决：
目 录
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（3）如图3，当点D 是AC 边上任意一点时，点F 在BD上，若
=60
FAE
，求证：BF
FD
=
．
【答案】（1）= ；（2）见解析；（3）见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，中点的性
质，结合图形找准各边角之间的关系是解题关键．
（1）由等边三角形的性质可得
60
ABC
ACB
BAC
=
=
=
，AB
AC
BC
=
=
，再根据中点的性质和“三
线合一”可得AD
CD
=
，
1
30
2
ABD
CBD
ABC
=
=
=
，然后等量代换结合等角对等边即可得证；
（2）过点D 作DF
BC
，交AB 于点F ，先证明AFD
是等边三角形，可得AD
DF
AF
=
=
，进而得到FB
CD
=
，
DF
CE
=
，证明
(
)
FBD
CDE SAS
≌
，即可得证；
（3）过点B 作BG
AC
，交AF 的延长线于点G ，先证明
(
)
ABG
ACE ASA
≌
，得到BG
CE
=
，再证明
(
)
BFG
DFA ASA
≌
，即可得证．
【详解】（1）解：当点D是AC 的中点时，DB
DE
=
，理由如下：
如图1，
ABC
是等边三角形，
60
ABC
ACB
BAC
=
=
=
，AB
AC
BC
=
=
，
点D是AC 的中点，
AD
CD
=
，
1
30
2
ABD
CBD
ABC
=
=
=
，
AD
CE
=
，
CD
CE
=
，
CDE
CED
=
，
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60
CDE
CED
ACB
+
=
=
，
30
CDE
CED
=
=
，
CBD
CED
=
，
DB
DE
=
；
故答案为：= ；
（2）证明：如图2 ，过点D 作DF
BC
，交AB 于点F ，
60
AFD
ABC
=
=
，
60
ADF
ACB
=
=
，
60
AFD
ADF
=
=
，
AFD
是等边三角形，
AD
DF
AF
=
=
，
AB
AC
=
，
AB
AF
AC
AD
−
=
−
，
FB
CD
=
，
AD
CE
=
，
DF
CE
=
，
又
60
AFD
ACB
=
=
，
180
60
120
DFB
ECD
=
=
−
=
，
在FBD
和CDE
中，
FB
CD
DFB
ECD
DF
CE
=
=
=
，
(
)
FBD
CDE SAS
≌
，
DB
DE
=
；
（3）证明：如图3，过点B 作BG
AC
，交AF 的延长线于点G ，
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60
BAC
FAE
=
=
，
BAC
FAD
FAE
FAD
−
=
−
，即
BAG
CAE
=
，
BG
AC
，
180
GBA
BAC
+
=
，
120
GBA
=
，
60
ACB
=
，
120
ACE
=
，
GBA
ACE
=
，
在ABG
和ACE
中，
BAG
CAE
AB
AC
GBA
ACE
=
=
=
，
(
)
ABG
ACE ASA
≌
，
BG
CE
=
，
又
AD
CE
=
，
BG
AD
=
，
BG
AC
，
GBF
ADF
=
，
G
FAD
=
，
(
)
BFG
DFA ASA
≌
，
BF
FD
=
．
题型模版
模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形.
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条件：如图1，若AC=BC,过点D 作D 作DE//BC. 结论：△ADE 是等腰三角形.
条件：如图2，若AC=BC,过点D 作D 作DE//AB. 结论：△CDE 是等腰三角形.
变式1-1 数学课上，李老师出示了如框( 图3) 中的题目．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论：当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB的大小关系，请你直接写出结
论：AE _____ BD ( 填“”，“”或“ = ”)．
(2)特例启发，解答题目：
①如图2 ，AE 与DB的大小关系是：AE ____ BD ( 填“”，“”或“
”)
=
．
②解：如图2 ，过点E 作EF
BC
∥
，交AC 于点
(
F．请你接着完成图3 解答过程)
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED
EC
=
．若
ABC
的边长为3，
1
AE = ，
则CD的长为_______( 请你直接写出结果) ．
【答案】(1)=；
(2)① =；②见解析；
(3)2 或4 ．
【分析】（1）根据点E 为AB 的中点时，根据等腰三角形的判定证明BD
BE
AE
=
=
即可；
（2）根据题目给出的辅助线证明EFC
DBE
即可得出结论；
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（3）分类讨论，画出不同的图形，根据（2）中结论求解即可．
【详解】（1）解：=；
ABC
是等边三角形，点E 为AB 的中点，
∴
30
ECB
=
，
∵ED
EC
=
，
∴
30
ECB
D
=
=
,，
∵
60
ABC
=
，
∴
30
DEB
D
=
=
，
∴BD
BE
AE
=
=
；
故答案为：=．
（2）解：①=，
②证明：∵EF
BC
∥
，
∴
60
ABC
AEF
=
=
，
60
ACB
AFE
=
=
，
∴
AEF
△
是等边三角形，
∴AE
AF
EF
=
=
，
∴BE
CF
=
，
∵
120
EFA
DBE
=
=
，ED
EC
=
，
∴EFC
DBE
，
∴BD
EF
AE
=
=
．
（3）解：如图所示，点D 在AB 上，
由（2）可知，
1
BD
AE
=
= ，
∵
ABC
的边长为3，
∴
3 1
4
CD = + =
；
如图所示，点D 在BA延长线上，
同（2）方法可得EFC
DBE
，可知，
1
BD
AE
=
= ，
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∵
ABC
的边长为3，
∴
3 1
2
CD = −=
；
故答案为：2 或4 ．
变式1-2（25-26 八年级上·河北衡水·期末）操作探究：已知
ABC
是等边三角形，点P 是边AC 上一点．
(1)如图1，过点P 作PF
BC
∥
，交AB 于点F ，图中有 个等边三角形；
(2)如图2，点P 在AC 上运动(不与A C
，重合)，点Q 是CB 延长线上一点，且BQ
AP
=
，过P 作PE
AB
⊥
于
E，连接PQ 交AB 于D ，试说明：在点P 运动的过程中，线段ED的长是定值(即
1
2
DE
AB
=
)；
(3)若将条件中“
ABC
是等边三角形”改为“
ABC
是等腰三角形，CA
CB
=
”，如图3 所示，（2）中的结论是
否还成立？请说明理由．
【答案】(1)2
(2)见解析
(3)还成立，理由见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质的综合应用．
（1）根据ABC
是等边三角形，PF
BC
，得出AFP
、ABC
是等边三角形即可；
（2）作PF
BC
交AB 于F ，先判定AFP
为等边三角形，再根据三线合一，得到AE
EF
=
，然后判定
(
)
AAS
QBD
PFD
≌
，得到FD
DB
=
，进而得到
1
2
DE
AB
=
；
（3）作QH
AB
⊥
于H ，先判定
(
)
AAS
APE
BQH
≌
，得到AE
BH
=
，QH
PE
=
，再判定
(
)
AAS
PED
QHD
≌
，
得到DE
DH
=
，进而得到（2）中的结论还成立．
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【详解】（1）解：如图1，
ABC
是等边三角形
60
A
ABC
=
=
，
PF
BC
，
60
AFP
ABC
=
=
，
AFP
为等边三角形，
AFP
、ABC
是等边三角形，共2 个
故答案为：2 ；
（2）线段ED的长是定值，即
1
2
DE
AB
=
，理由如下：
如图2 ，作PF
BC
交AB 于F ，
ABC
是等边三角形
60
A
ABC
=
=
，
PF
BC
，
60
AFP
ABC
=
=
，
AFP
为等边三角形，
PF
PA
=
，
又
PE
AB
⊥
，
AE
EF
=
，
QB
PA
=
，PF
PA
=
，
BQ
PF
=
，
180
120
DBQ
ABC
=
−
=
，
180
120
DFP
AFP
=
−
=
，
DBQ
DFP
=
，
在QBD
和PFD
中，
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DBQ
DFP
QDB
FDP
BQ
PF
=
=
=
(
)
AAS
QBD
PFD
≌
，
FD
BD
=
，
(
)
1
1
1
1
;
2
2
2
2
ED
EF
FD
AF
BF
AF
BF
AB
=
+
=
+
=
+
=
（3）（2）中的结论还成立．
理由：如图3，过点Q 作QH
AB
⊥
于H ，
,
CA
CB
=
ABC
QBH
=
,
A
ABC
QBH
=
=
在
APE
与BQH
中，
90
A
QBH
AEP
H
PA
QB
=
=
=
=
(
)
AAS ,
APE
BQH
≌
,
,
AE
BH QH
PE
=
=
在
PED
与
QHD
△
中，
QDH
EDP
QHD
PED
QH
PE
=
=
=
(
)
AAS
PED
QHD
≌
,
DE
DH
=
(
)
(
)
1
1
1
1
.
2
2
2
2
DE
EH
EB
BH
EB
AE
AB
=
=
+
=
+
=
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题型二、利用平行线+角平分线构造等腰三角形
典例2 （25-26 八年级上·湖南长沙·期末）如图， 在
ABC
中，AD平分
BAC
， 过线段CD上一点E 作
EG
AD
∥
，交AC 于点F ，交BA延长线于点G ．
(1)求证：AFG
为等腰三角形；
(2)若CE
EF
=
，
82
BAC
=
， 求
B
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)57
【分析】
（1）根据平行线的性质可得，BAD
G
=
，DAC
AFG
=
，由角平分线的性质可得，BAD
DAC
=
，
从而得到
G
AFG
=
，命题得证；
（2）先根据角平分线的性质，计算出
1
41
2
DAC
BAC
=
=
，再根据平行线的性质计算得∠
41
AFG =
．由
对顶角相等可得，∠
∠
41
CFE
AFG
=
=
，根据等腰三角形的性质可得，∠
∠
41
C
CFE
=
=
，最后根据
三角形内角和定理求出
B
．
【详解】（1）证明：∵EG
AD
∥
，
∴
BAD
G
=
，
DAC
AFG
=
，
∵AD平分
BAC
，
∴
BAD
DAC
=
，
∴
G
AFG
=
，
∴AG
AF
=
，
∴AFG
为等腰三角形；
（2）解：∵
82
BAC
=
，AD平分
BAC
，
∴
1
∠
∠
∠
41
2
BAD
DAC
BAC
=
=
=
，
∵EG
AD
∥
，
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∴∠
∠
41
DAC
AFG
=
=
，
∴∠
∠
41
CFE
AFG
=
=
，
∵CE
EF
=
，
∴∠
∠
41
C
CFE
=
=
，
∴∠
180
∠
∠
180
82
41
57
B
BAC
C
=
−
−
=
−
−
=
．
题型模版
模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线
及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。
平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。
M
Q
'
O
O
N
P
1
2
3
图1 图2 图3
条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P 作PQ//ON. 结论：△OPQ 是等腰三角形。
条件：如图2，△ABC 中，BD 是 ∠ ABC 的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE 是等腰三角形。
条件：如图3，在ABC
中，BO平分
ABC
，CO平分
ACB
，过点O 作BC 的平行线与AB ，AC 分别相
交于点M，N．结论：△BOM、△CON 都是等腰三角形。
变式2-1（1）如图1，ABC
中，AB
AC
，ABC
，ACB
的平分线交于O 点，过O 点作EF
BC
∥
交AB ，
AC 于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：EF 与BE ，CF 之间有怎样的关系，并说明理由；
（2）如图2，若AB
AC
=
，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；EF 与BE ，CF 间的关系是 ；
（3）如图3，AB
AC
，若
ABC
的角平分线与
ABC
外角
ACD
的角平分线交于点O，过点O 作OE
BC
∥
交AB 于E，交AC 于F．图中有 个等腰三角形．EF 与BE ，CF 间的数量关系是 ．
【答案】（1）2， EF
BE
CF
=
+
，理由见解析．（2）5，EF
BE
CF
=
+
（3）2，BE
EF
CF
=
+
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定
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【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行
线性质得到角相等，再进行等量代换得到
EBO
EOB
=
，
FCO
FOC
=
，再利用等角对等边，得到
BE
OE
=
，CF
OF
=
，即可解题．
（2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，
再进行等量代换得到
CBO
BCO
=
、
AEF
AFE
=
、
EBO
EOB
=
、
FCO
FOC
=
，再利用等角对
等边，得到对应线段相等，即可解题．
（3）本题解法与（1）类似．
【详解】（1）解： EF
BE
CF
=
+
，理由如下：
ABC
，
ACB
的平分线交于O 点，
EBO
CBO
=
，
FCO
BCO
=
，
EF
BC
∥
，
EOB
CBO
=
，
FOC
BCO
=
，
EBO
EOB
=
，
FCO
FOC
=
，
BE
OE
=
，CF
OF
=
，
OEB
和
OFC
△
为等腰三角形，即图中有2 个等腰三角形．
EF
OE
OF
BE
CF
=
+
=
+
．
故答案为：2．
（2）解：AB
AC
=
，即
ABC
为等腰三角形，
A
ABC
CB
=
∠
，
ABC
，
ACB
的平分线交于O 点，
EBO
CBO
=
=
FCO
BCO
=
，
OB
OC
=
，即BCO
为等腰三角形，
EF
BC
∥
，
EOB
CBO
=
，
FOC
BCO
=
，
=
=
=
AEF
ABC
ACB
AFE ，
EBO
EOB
=
，
FCO
FOC
=
，AE
AF
=
，即
AEF
△
为等腰三角形，
BE
OE
=
，CF
OF
=
，
OEB
和
OFC
△
为等腰三角形，
EF
OE
OF
BE
CF
=
+
=
+
．
综上所述，共有5 个等腰三角形，
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故答案为：5，EF
BE
CF
=
+
．
（3）解：
ABC
的角平分线与
ABC
外角
ACD
的角平分线交于点O，
EBO
CBO
=
，
FCO
DCO
=
，
EF
BC
∥
，
EOB
CBO
=
，
FOC
DCO
=
，
EBO
EOB
=
，
FCO
FOC
=
，
BE
OE
=
，CF
OF
=
，
OEB
和
OFC
△
为等腰三角形，即图中有2 个等腰三角形．
BE
OE
EF
OF
EF
CF
=
=
+
=
+
．
故答案为：2，BE
EF
CF
=
+
．
变式2-2（1）如图1，AE
BC
∥
，AE 平分
DAC
，则
ABC
的形状是 三角形；
（2）如图2，BC 平分
ABD
，AC
BD
∥
，
3
AC =
，则AB = ．
（3）如图3，有
ABC
中，BE 是角平分线，DE
BC
∥
交AB 于点D．若
7,
5
DE
AD
=
=
，则AB = ．
（4）如图4，在
ABC
中，
ABC
与
ACB
的平分线交于点F，过点F 作DE
BC
∥
，分别交AB ，AC 于
点D，E．若
12,
18,
24
AB
AC
BC
=
=
=
，则
ADE
的周长为 ．
（5）如图，在
ABC
中，
5
BC = cm，
,
BP CP 分别是
ABC
和
ACB
的平分线，且PD
AB
∥
，PE
AC
∥
则
PDE
△
的周长是 ．
【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对角对等边．
（1）平行线的性质结合角平分线平分角，得到
B
C
=
，即可得出结果；
（2）平行线的性质结合角平分线平分角，得到
A
ABC
CB
=
∠
，进而得到AB
AC
=
即可；
（3）同法（2）可得：BD
DE
=
，利用AB
AD
BD
=
+
，求解即可；
（4）同法（2）得到
,
FD
BD CE
EF
=
=
，推出
ADE
的周长等于
+
AB
AC ，即可得出结果；
（5）同法（2）得到
,
PD
BD PE
CE
=
=
，推出
PDE
△
的周长等于BC 的长即可．
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掌握平行线加角平分线往往存在等腰三角形，是解题的关键．
【详解】解：（1）∵AE
BC
∥
，
∴
,
DAE
B
CAE
C
=
=
，
∵AE 平分
DAC
，
∴
DAE
CAE
=
，
∴
B
C
=
，
∴
ABC
是等腰三角形；
故答案为：等腰；
（2）∵BC 平分
ABD
，AC
BD
∥
，
∴
,
ABC
DBC
ACB
DBC
=
=
，
∴
A
ABC
CB
=
∠
，
∴
3
AB
AC
=
= ；
故答案为：3；
（3）同法（2）可得：
7
BD
DE
=
=
，
∴
5 7
12
AB
AD
BD
=
+
= +
=
；
故答案为：12；
（4）同法（2）可得：
,
FD
BD CE
EF
=
=
，
∴
ADE
的周长
30
AD
AE
DE
AD
AE
DF
EF
AD
AE
BD
CE
AB
AC
=
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
；
故答案为：30；
（5）同法（2）可得：
,
PD
BD PE
CE
=
=
，
∴
PDE
△
的周长
5cm
PD
PE
DE
BD
CE
DE
BC
=
+
+
=
+
+
=
=
；
故答案为：5cm．
题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形
典例3 （25-26 八年级上·陕西榆林·期中）如图，在
ABC
中，
2
ABC
C
=
，
BAC
的平分线AD交BC 于
点D，过点B 作BF
AD
⊥
于点F ，延长BF 交AC 于点E ．
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(1)求证：ABE
为等腰三角形；
(2)连接DE ，若
36
C
=
，求
EDC
的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)36
【分析】（1）证明
ABF
AEF
=
即可求证；
（2 ）由已知可得
72
ABC
=
，即得
180
72
BAC
C
ABC
=
−
−
=
∠
∠
∠
，进而得到
(
)
1 180
54
2
ABE
AEB
BAE
=
=
−
=
，再由AD垂直平分BE 得到DB
DE
=
，即得到
18
DEB
DBE
=
=
，
再根据三角形的外角性质即可求解；
本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质等，掌握等腰三角形的
判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：
AD
平分
BAC
，BF
AD
⊥
，
90
BAF
EAF
AFB
AFE
=
=
=
，
，
90
90
ABF
BAF
AEF
EAF
=
−
=
−
，
，
∴
ABF
AEF
=
，
即
ABE
AEB
=
，
ABE
为等腰三角形；
（2）解：
36
2
C
ABC
C
=
=
，
，
72
ABC
=
，
180
180
36
72
72
BAC
C
ABC
=
−−
=
−
−
=
由（1）得，ABE
为等腰三角形，
∴
(
)
(
)
1
1
180
180
72
54
2
2
ABE
AEB
BAE
=
=
−
=
−
=
，
∴
72
54
18
DBE
ABC
ABE
=
−
=
−
=
，
AD
BF
⊥
，ABE
为等腰三角形，
∴BF
EF
=
，
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∴AD垂直平分BE ，
DB
DE
=
，
∴
18
DEB
DBE
=
=
，
∴
18
18
36
EDC
DEB
DBE
=
+
=
+
=
．
题型模版
模型解析：如图， △𝐀𝐁𝐂中,AD 平分 ∠𝐁𝐀𝐂,𝐀𝐃⊥𝐁𝐂,由“ASA”易得 △𝐀𝐁𝐃≅△𝐀𝐂𝐃,从而得 𝐀𝐁= 𝐀𝐂,
𝐁𝐃= 𝐂𝐃.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形.
变式3-1（25-26 八年级上·湖北武汉·月考）
ABC
中，AB
AC
=
，
90
BAC
=
．若D 为线段BC 上一点，
1
2
EDB
ACB
=
，BE
DE
⊥
，垂足为E ，DE 交AB 于F ．
(1)如图1，当D与C 点重合时，探究BE 、DF 的数量关系；
(2)如图2，当D不与C 重合时，线段BE 与DF 的数量关系是否发生变化，证明你的结论．
【答案】(1)
2
FD
BE
=
(2)
2
FD
BE
=
，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题
的关键．
（1）延长CA 与BE 交于点G ，证得
BDE
EDG
=
，进而证得
1
2
BE
EG
BG
=
=
，证得
(
)
ASA
ABG
ACF
≌
，
根据全等三角形的性质证得BG
CF
FD
=
=
，从而得到结论；
（2）过点D作DG
AC
∥
，与AB 交于H ，与BE 的延长线交于G ，根据题意易证得
(
)
ASA
DEB
DEG
≌
，
根据全等三角形的性质证得
1
2
BE
EG
BG
=
=
，再证得
(
)
ASA
BGH
DFH
≌
，进而得到BG
FD
=
，从而得
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到结论．
【详解】（1）解：
2
FD
BE
=
，理由如下：
如图，延长CA 与BE 交于点G ，
1
2
EDB
ACB
=
，
1
2
EDG
ACB
=
，
BDE
EDG
=
，
即DE 是
BCG
的平分线，
又
BE
DE
⊥
，
1
2
BE
EG
BG
=
=
，
90
BED
BAD
=
=
，
BFE
CFA
=
，
EBF
ACF
=
，
即
ABG
ACF
=
，
在ABG
和
ACF
△
中，
90
ABG
ACF
AB
AC
BAC
CAF
=
=
=
=
(
)
ASA
≌
ABG
ACF
，
BG
CF
FD
=
=
，
又
1
2
BE
BG
=
，
1
2
BE
FD
=
；
（2）解：
2
FD
BE
=
，理由如下：
如图，过点D作DG
AC
∥
，与AB 交于H ，与BE 的延长线交于G ，
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DG
AC
，
90
BAC
=
BDG
C
=
，
90
BHD
BHG
BAC
=
=
=
又
1
2
BDE
ACB
=
，
1
1
2
2
EDG
BDG
BDE
C
C
C
=
−
=
−
=
，
BDE
EDG
=
，
在DEB
和
DEG
△
中，
90
BDE
EDG
DE
DE
DEB
DEG
=
=
=
=
，
(
)
ASA
DEB
DEG
≌
，
1
2
BE
EG
BG
=
=
，
AB
AC
=
，
90
BAC
=
，
ABC
ACB
GDB
=
=
，
HB
HD
=
，
90
BED
BHD
=
=
，
BFE
DFH
=
EBF
HDF
=
，
即
HBG
HDF
=
，
在BGH
和DFH
中，
HBG
HDF
HB
HD
BHG
DHF
=
=
=
，
(
)
ASA
≌
BGH
DFH
，
BG
FD
=
，
又
1
2
BE
BG
=
，
1
2
BE
FD
=
．
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变式3-2 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①，OP 平分
MON
．点A 为OM 上一点，过
点A 作AC
OP
⊥
，垂足为C ，延长AC 交ON 于点B ，可证得
AOC
BOC
≌
△
△
，则AO
BO
=
，AC
BC
=
．
【问题提出】
（1）如图②，在
ABC
中，CD平分
ACB
，AE
CD
⊥
于点E ，若
63
EAC
=
，
37
B
=
，通过上述构
造全等的办法，求
DAE
的度数；
【问题探究】
（2）如图③，在
ABC
中，AB
AC
=
，
90
BAC
=
，CD平分
ACB
，BE
CD
⊥
，垂足E 在CD的延长
线上，试探究BE 和CD的数量关系；
【问题解决】
（3）如图④是一块肥沃的土地
ABC
，其中AC 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形
土地
ADC
△
进行水稻试验，他进行了如下操作：
①作
ACB
的平分线CD；
②再过点A 作AD
CD
⊥
交CD于点D
已知
13
BC =
米，
10
AC =
米，
ABC
面积为20 平方米，求划出的ACD
的面积．
【答案】（1）
26
DAE
=
；（2 ）
1
2
BE
CD
=
，理由见解析；（3）
100
13
ACD
S
=
．
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者
AAS）、等边对等角
【分析】（1）延长AE 交BC 于点F ，由已知可知AC
FC
=
，再由等腰三角形的在得
63
EFC
EAC
=
=
，
然后由三角形的外角性质即可得出结论；
（2 ）延长BE
CA
、
交于点F ，证
(
)
ASA
ABF
ACD
≌
，得BF
CD
=
，再由已知可知
1
2
BE
FE
BF
=
=
，即
可得出结论；
（3）延长AD交BC 于E ， 由已知可知AD
ED
=
，
10
EC
AC
=
=
，则
ACD
ECD
S
S
=
再由三角形面积关系得
10
200
13
13
ACE
ABC
S
S
=
=
，即可得出结论．
【详解】（1）如图2 ， 延长AE 交BC 于点F ，
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由已知可知AC
FC
=
，
∴
63
EFC
EAC
=
=
，
∵
EFC
B
DAE
= +
，
∴
63
37
26
DAE
EFC
B
=
−=
−
=
；
（2 ）
1
2
BE
CD
=
，证明如下：
如图，延长BE
CA
、
交于点F ，则
180
90
BAF
BAC
=
−
=
，
∵BE
CD
⊥
，
∴
90
BED
BAC
=
=
，
∵
BDC
ABF
BED
ACD
BAC
=
+
=
+
，
∴
ABF
ACD
=
，
又∵AB
AC
=
，
∴
(
)
ASA
ABF
ACD
≌
，
∴BF
CD
=
，
由已知可知，BE=EF=
1
2BF，
∴
1
2
BE
CD
=
；
（3）如图，延长AD交BC 于E ，
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由已知可知，AD
ED
=
，
10
EC
AC
=
=
，
∴
ACD
ECD
S
S
=
，
∵
20
ABC
S
=
，
∴
10
10
200
20
13
13
13
ACE
ABC
S
S
=
=
=
，
∴
1
100
2
13
ACD
ACE
S
S
=
=
．
题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形
典例4 （25-26 八年级上·吉林长春·期末）【问题原型】如图①，在
ABC
中，
2
C
B
= ，AD为
BAC
的
平分线，探究线段AB
AC
CD
、
、
的数量关系．
【特例研究】如图②，当
90
C
=
时，小明在边AB 上截取AE
AC
=
，连接DE ，易得：CD
DE
=
= ______；
AC
CD
+
= ______；
【深入探究】如图③，当
90
C
时，小明选择了上题的做线方法，然后证ADE
ADC
≌
，得
AED
C
=
，
ED
CD
=
，再通过证明BDE
是等腰三角形，进而可求得线段AB
AC
CD
、
、
的数量关系．
以下是小明探究线段AB
AC
CD
、
、
数量关系的部分过程：
证明：如图③，在AB 上截取AE
AC
=
，连接DE ．
∵AD为
BAC
的平分线，
∴
EAD
CAD
=
．
在
ADE
和
ADC
△
中，
∵AE
AC
=
，
EAD
CAD
=
，AD
AD
=
，
∴
(
)
SAS
ADE
ADC
≌
∴
AED
C
=
，ED
CD
=
．
证明过程缺失
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请你补全缺失的证明过程．
【拓展研究】如图④，在
ABC
中，
2
ACB
B
= ，AD是
ABC
的外角
CAE
的平分线，交BC 的延长线
于点D．直接写出线段AB
AC
CD
、
、
的数量关系：______．
【答案】【特例研究】BE ，AB ；【特例研究】见解析；【拓展研究】AB
AC
CD
+
=
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是通过截长法构造全
等三角形：
【特例研究】证明
(
)
SAS
ADE
ADC
≌
，得到
90
AED
C
=
=
，CD
DE
=
，推出BED
为等腰直角三角形，
得到BE
DE
=
，作答即可；
【深入探究】证明
(
)
SAS
ADE
ADC
≌
，得到
AED
C
=
，CD
DE
=
，推出BED
为等腰三角形，得到
BE
DE
=
，作答即可；
【拓展研究】在AE 上截取AF
AC
=
，连接DF ，证明
(
)
SAS
CAD
FAD
≌
，得到DF
CD
=
，AFD
ACD
=
，
推出
BDF
B
= ，得到DF
BF
=
，再根据线段的和差关系以及等量代换即可得出结果．
【详解】【特例研究】解：在边AB 上截取AE
AC
=
，连接DE ，
∵AD为
BAC
的平分线，
∴
BAD
CAD
=
，
又∵AD
AD
=
，
∴
(
)
SAS
ADE
ADC
≌
，
∴
90
AED
C
=
=
，CD
DE
=
，
∴
90
BED
=
，
∵
90
C
=
，
2
C
B
= ，
∴
45
B
=
，
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∴BED
为等腰直角三角形，
∴BE
DE
=
，
∴CD
DE
BE
=
=
，
∴AC
CD
AE
BE
AB
+
=
+
=
；
故答案为：
,
BE AB ；
【深入探究】如图③，在AB 上截取AE
AC
=
，连接DE ．
∵AD为
BAC
的平分线，
∴
EAD
CAD
=
．
在
ADE
和
ADC
△
中，
∵AE
AC
=
，
EAD
CAD
=
，AD
AD
=
，
∴
(
)
SAS
ADE
ADC
≌
∴
AED
C
=
，ED
CD
=
．
∵
2
C
B
= ，
∴
2
AED
B
= ．
∵
AED
B
EDB
= +
，
∴
EDB
B
= ，
∴BE
DE
=
．
又∵ED
CD
=
，
∴BE
CD
=
．
∵AB
AE
BE
=
+
，
∴AB
AC
CD
=
+
．
【拓展研究】在AE 上截取AF
AC
=
，
∵AD平分
CAF
，
∴
CAD
FAD
=
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又∵AD
AD
=
，
∴
(
)
SAS
CAD
FAD
≌
，
∴DF
CD
=
，
AFD
ACD
=
，
∵
180
180
2
ACD
ACB
B
=
−
=
−，
∴
180
2
AFD
B
=
−，
∴
180
180
180
2
BDF
B
AFD
B
B
B
=
−−
=
−−
+ = ，
∴DF
BF
=
，
∴CD
BF
AB
AF
AB
AC
=
=
+
=
+
；
故AB
AC
CD
+
=
．
题型模版
模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2 倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形．
条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD 平分∠ABC. 结论：△BDC 是等腰三角形.
条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB 到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC 是等腰三角形.
条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C 为角的顶点，CA 为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA 的
延长线于点D. 结论：△DBC 是等腰三角形.
变式4-1 问题背景：在
ABC
中，
2
B
C
= ，点D 为线段BC 一动点，当AD满足某种条件时，探讨在线段
AB 、BD、CD、AC 四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系．
(1)在图1 中，当AB
AD
=
时，则可得AB
CD
=
，请你给出证明过程．
小学
初中
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(2)当AD
BC
⊥
时，如图2，求证：AB
BD
DC
+
=
；
(3)当AD是
BAC
的角平分线时，判断AB 、BD、AC 的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) AB
BD
AC
+
=
，理由见解析
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三
角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）根据三角形的外角的性质，等腰三角形的性质得到DA
DC
=
，证明结论；
（2）在DC 上截取DH
DB
=
，连接AH ，证明ADB
ADH
≌
，根据全等三角形的性质得到AB
AH
=
，
AHB
B
= ，根据三角形的外角的性质，等腰三角形的性质证明；
（3）在AC 上截取AG
AB
=
，连接DG ，证明ADB
ADG
≌
，仿照（2）的证明方法解答．
【详解】（1）
AB
AD
=
，
ADB
B
=，
2
B
C
=
，
ADB
C
=
，
ADB
C
DAC
= +
，
DAC
C
=
，
DA
DC
=
，
AB
CD
=
；
（2）在DC 上截取DH
DB
=
，连接AH ，
在ADB
和ADH
中，
90
DB
DH
ADB
ADH
AD
AD
=
=
=
=
，
(SAS)
ADB
ADH
△
≌△
，
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AB
AH
=
，
AHB
B
= ，
2
B
C
=
，
2
AHB
C
= ，
AHB
C
HAC
= +
，
HAC
C
= ，
AH
CH
=
，
AB
CH
=
，
AB
BD
CH
DH
DC
+
=
+
=
；
（3）AB
BD
AC
+
=
，
理由如下：在AC 上截取AG
AB
=
，连接DG ，
在ADB
和
ADG
△
中，
AB
AG
DAB
DAG
AD
AD
=
=
=
，
(SAS)
ADB
ADG
≌
，
DB
DG
=
，
AGD
B
= ，
2
B
C
=
，
AGD
C
= ，
AGD
C
GDC
= +
，
GDC
C
= ，
GD
CG
=
，
DB
CG
=
，
AB
BD
AG
GC
AC
+
=
+
=
．
变式4-2（25-26 八年级上·广东珠海·期末）实验与探究：
学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那
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么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣
小组的同学们对此展开探究：
例如，如图1（1），在
ABC
中，AB
AC
，怎样证明
C
B
呢？
把AC 沿
A
的平分线AD翻折，因为AB
AC
，所以点C 落在AB 上的点C处（如图1（2））．由
AC D
C
=
，
AC D
B
，可得
C
B
．
【类比探究】
（1）如图2，在
ABC
中，
C
B
，类比上述的方法，请证明AB
AC
．
【方法运用】
（2）如图3，在
ABC
中，
2
C
B
= ，若AD
BC
⊥
，写出AC ，CD，BD之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）见解析，（2）BD
AC
CD
=
+
，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质，三角形内
角和定理．构造全等三角形，转化线段和角的关系是解题的关键．
（1）把
ABC
翻折，使点B 落在点C 上，折痕分别交AB、BC 于点D、E，由翻折可得：
CD
AD
AD
BD
AB
AC
+
=
+
=
，
（2）在BD上取E ，使DE
CD
=
，连接AE ，可得
(SAS)
ADE
ADC
≌
△
△
，进而可得
2
AED
C
B
=
= ，
由此证明
B
BAE
=
， BE
AE
AC
=
=
，进而得出结论．
【详解】（1）证明：把
ABC
翻折，使点B 落在点C 上，折痕分别交AB 、BC 于点D 、E
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由翻折的性质可知，CD
BD
=
，
AD
CD
AC
+
，
AD
BD
AB
AC
+
=
，即
;
AB
AC
［方法运用］
（2）解：BD
AC
CD
=
+
，理由如下：
如图（3），在BD上取E ，使DE
CD
=
，连接AE ，
DE
CD
=
，
90
ADE
ADC
=
=
，AD
AD
=
，
(SAS)
ADE
ADC
≌
，
AE
AC
=
，
2
AED
C
B
=
= ，
AED
B
BAE
= +
，
B
BAE
=
，
BE
AE
AC
=
=
，
BD
BE
DE
AC
CD
=
+
=
+
，即
;
BD
AC
CD
=
+
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．已知：如图，E 为
ABC
的外角平分线上的一点，AE
BC
∥
，BF
AE
=
，求证：
(1)
ABC
是等腰三角形；
(2)
BAF
ACE
=
．
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【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判断与性质．
（1）由AE
BC
∥
可得
,
DAE
B
CAE
ACB
=
=
，由AE 平分
DAC
得
DAE
CAE
=
，从而
A
ABC
CB
=
∠
，故可得结论；
（2）根据SAS证明ABF
CAE
≌
即可证明
BAF
ACE
=
．
【详解】（1）证明：∵AE
BC
∥
，
DAE
B
=，
EAC
ACB
=
，
E
为
ABC
的外角平分线上的一点，
DAE
EAC
=
，
B
ACB
=
，
AB
AC
=
，
ABC
是等腰三角形；
（2）证明：在
ABF
△
和CAE
中，
AB
CA
B
ACE
BF
AE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABF
CAE
△
≌△
，
∴
BAF
ACE
=
．
2．如图，AD是
ABC
的角平分线，E 是BC 的中点，EF
AD
∥
，交AB 于点F，交CA 延长线一点G．
(1)求证：AFG
是等腰三角形；
(2)求证：BF
AC
AF
=
+
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
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【分析】（1）如图：由角平分线的性质可得1
2
= ，再根据平行线的性质和等量代换可得
3
G
=
，最后
由等角对等边即可证明结论；
（2）如图：延长GE 至点H，使EH
GE
=
，先证BEH
CEG
可得CG
BH
=
、G
H
=
，进而证得BF
BH
=
，
最后根据线段的和差即可解答．
【详解】（1）证明：∵AD是
ABC
的角平分线，
∴1
2
= ，
∵EF
AD
∥
，
∴1
3
2
G
=
=
，
，
∴
3
G
=
，
∴AG
AF
=
，
∴AFG
是等腰三角形．
（2）解：延长GE 至点H，使EH
GE
=
，连结BH ，
在
BEH
△
和
GEH
△
EH
EG
BEH
CEG
BE
CE
=
=
=
∴
(
)
SAS
BEH
CEG
，
∴CG
BH
=
，
G
H
=
，
∵
3
3
4
G
=
=
，
，
∴
4
H
=
，
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∴BF
BH
=
，
∴BF
CG
AC
AG
AC
AF
=
=
+
=
+
．
3．某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，ABC
为主梁框架，
ABC
是桥墩支撑角度的2 倍，即
2
ABC
C
=
，工程师计划在
BAC
的角平分线处安装钢架AD，交底梁BC 于
点D，为确保稳定性，必须过点B 焊接加固钢索BE ，使得BE
AD
⊥
，分别交AD，AC 于点F，E．
(1)求证：加固后的ABE
是等腰三角形；
(2)经测量，主梁全长AC 为13 米，关键节点间距BD为5 米，求原始支撑段AB 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)原始支撑段AB 的长度是8 米
【分析】（1）由垂直的定义得到
90
AFE
AFB
=
=
，由角平分线的定义得到
EAF
BAF
=
，根据三角形
的内角和得到
AEF
ABF
=
，得到AE
AB
=
，于是得到结论；
（2）连接DE ，根据等腰三角形的性质得到AD垂直平分BE ，得到BD
ED
=
，由等腰三角形的性质得到
DEF
DBF
=
，等量代换得到
AED
ABD
=
，于是得到结论．
【详解】（1）证明：
BE
AD
⊥
，
90
AFE
AFB
=
=
，
又
AD
平分
BAC
，
EAF
BAF
=
，
又在
AEF
△
和
ABF
△
中
180
AFE
EAF
AEF
+
+
=
，
180
AFB
BAF
ABF
+
+
=
AEF
ABF
=
，
AE
AB
=
，
ABE
为等腰三角形；
（2）解：连接DE ，
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AE
AB
=
，AD平分
BAC
，
AD
垂直平分BE ，
BD
ED
=
，
DEF
DBF
=
，
AEF
ABF
=
，
AED
ABD
=
，
又
2
ABC
C
=
，
2
AED
C
=
，
又
CED
△
中，
AED
C
EDC
= +
，
C
EDC
=
，
EC
ED
=
，
CE
BD
=
．
13 5
8
AB
AE
AC
CE
AC
BD
=
=
−
=
−
=
−= ．
4．在
ABC
中，AB
BC
AB
=
，
的垂直平分线分别交边AC 、边AB 和直线CB 于点D
E
F
、、
，连接AF ．
(1)点F 在CB 的延长线上，
①如图，求证：
2
ABC
ADE
=
；
②如图，当
1
DC
DF
BC
=
=
，
时，求
ABF
△
的周长；
(2)当
ACF
△
是等腰三角形时，请直接写出
C
的度数．
【答案】(1)①见解析；②3
(2)
36
ACB
=
或
180
7
ACB
=
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用；
（1）①根据三角形内角和定理分别表示出
,
ABC
ADE
，即可得证；
②证明
ABF
△
是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解；
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（2）分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，求解即可．
【详解】（1）①证明：∵DF
AB
⊥
，
∴
90
ADE
BAC
=
−
，
∵AB
BC
=
，
∴
CAB
BCA
=
，
又∵
180
180
2
ABC
BAC
ACB
BAC
=
−
−
=
−
，
∴
2
ABC
ADE
=
；
②∵DC
DF
=
，
∴
DFC
C
=
，
∴
2
ADF
C
=
，
又∵
2
ABC
ADE
=
，
∴
4
=
ABC
C ，
又∵
2
180
ABC
C
+
=
，
∴
30
C
=
，
120
ABC
=
，
∴
180
60
ABF
ABC
=
−
=
，
∵DF 是AB 的垂直平分线，
∴FA
FB
=
，
∴
ABF
△
是等边三角形，
∴
ABF
△
的周长为3
3
3
AB
BC
=
= ；
（2）解：设
ACB
=
当CA
CF
=
时，
∵AB
BC
=
∴
BAC
ACB
=
=
∴
2
2
ABF
ACB
=
=
∵DF 是AB 的垂直平分线，
∴FA
FB
=
，
∴
2
FAB
FBA
=
=
∴
3
CAF
CFA
CAB
FAB
=
=
+
=
在CAF
中，
2
180
C
CAF
+
=
即
2 3
180
+
=
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解得：
180
7
=
，即
180
7
ACB
=
；
当AC
AF
=
时，
AFC
ACB
=
=
，
同理可得
3
CAF
CAB
FAB
=
+
=
，
∴2
3
180
+
=
，
解得：
36
=
，即
36
ACB
=
；
当FA
FC
=
时，
FAC
ACB
=
=
，
如图，
在
ABC
中，
180
2
180
2
ABC
ACB
=
−
=
−
∵DF 是AB 的垂直平分线，
∴FA
FB
=
，
∴
180
2
FAB
FBA
=
=
−
∴
180
2
180
BAC
CAF
FAB
=
+
=
+
−
=
−
∵BA
BC
=
∴
BAC
ACB
=
∴
180
=
−
解得：
90
=
（舍去）
∴此情形不存在，
综上所述，当
ACF
△
是等腰三角形时，
36
ACB
=
或
180
7
ACB
=
．
5．【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可
得等腰三角形．如图1，P 为
AOB
的角平分线OC 上一点，常过点P 作PD
OB
∥
交OA于点D ，易得POD
为等腰三角形．
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(1)【基本运用】如图2，把长方形纸片ABCD沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B处，则重合部分
ACE
△
是
等腰三角形．请将以下过程或理由补充完整：
∵在长方形ABCD中，DC
AB
∥
，
∴
ACD
BAC
=
，由折叠性质可得：____________，
∴
ACD
B AC
=
，
∴AE
CE
=
，（依据是：____________）
∴
ACE
△
是等腰三角形；
(2)【类比探究】如图3，
ABC
中，内角
ABC
与外角
ACG
的角平分线交于点O，过点O作DE
BC
∥
分
别交AB 、AC 于点D、E ，试探究线段BD、DE 、CE 之间的数量关系并说明理由；
(3)【拓展提升】如图4，四边形ABCD中，AD
BC
∥
，E 为CD边的中点，AE 平分
BAD
，连接BE ，求
证：AE
BE
⊥
．
【答案】(1)
BAC
B AC
=
；等腰三角形中等角对等边
(2) BD
DE
CE
=
+
，理由见详解
(3)证明过程见详解
【分析】（1）根据材料提示，平行线的性质，等腰三角形的性质即可求证；
（2）根据（1）的结论可知，BDO
△
为等腰三角形，则BD
OD
=
，且
OCG
ECO
EOC
=
=
，可证CE
OE
=
，
由此即可求解；
（3）如图所示（见详解），过点E 作EF
AD
∥
，E 为CD边的中点，可知点F 是AB 的中点，得出
BEF
△
为
等腰三角关系，证明BE 平分
ABC
，再根据两直线平行同旁内角互补，即可证明
2
5
90
+=
，即直角三
角形AEB，由此即可求证．
【详解】（1）证明：∵在长方形ABCD中，DC
AB
∥
，
∴
ACD
BAC
=
，由折叠性质可得
BAC
B AC
=
，
∴
ACD
B AC
=
，
∴AE
CE
=
，（依据是：等腰三角形中等角对等边）
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∴
ACE
△
是等腰三角形；
故答案为：
BAC
B AC
=
；等腰三角形中等角对等边．
（2）解：BD
DE
CE
=
+
，理由如下，
由（1）可证，
BDO
△
为等腰三角形，则BD
OD
=
，
∵CO平方
ACG
，DO
BC
∥
，
∴
OCG
ECO
EOC
=
=
，
∴COE
为等腰三角形，即CE
OE
=
，
∵BD
DO
DE
EC
=
=
+
，
∴BD
DE
CE
=
+
．
（3）解：如图所示，过点E 作EF
AD
∥
，
∵E 为CD边的中点，
∴点F 是AB 的中点，即AF
BF
=
，
∵AD
BC
∥
，AE 平分
BAD
，
∴1
2
3
= = ，
∴
AEF
△
是等腰三角形，即AF
EF
=
，
∴EF
BF
=
，
∴
4
5
= ，
∵EF
AD
∥
，
∴
4
6
= ，
∴
5
6
= ，
∵AD
BC
∥
，
∴1
2
5
6
180
+++=
，即2 2
2 5
180
+ =
，
∴
2
5
90
+=
，
∴
180
( 2
5)
180
90
90
AEB
=
−+
=
−
=
，
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∴AE
BE
⊥
．
6．已知在
ABC
中，满足
2
ACB
B
= ．
(1)【问题解决】如图1，当
90
C
=
，AD为
BAC
的角平分线时，在AB 上取一点E，使得AE
AC
=
，连
接DE ，请直接写出AB
AC
CD
，
，
之间的数量关系_________；
(2)【问题拓展】如图2，当
90
C
，AD 为
BAC
的角平分线时，在AB 上取一点E，使得AE
AC
=
，连
接DE ，（1）中的结论还成立吗?若成立，请你证明；若不成立，请说明理由．
(3)【猜想结论】如图3，当AD为
BAC
的外角平分线时，在BA的延长线上取一点E，使得AE
AC
=
，连
接DE ，请直接写出线段AB
AC
CD
，
，
的数量关系_________．
【答案】(1) AB
AC
CD
=
+
(2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析
(3)CD
AB
AC
=
+
【分析】
（1） 由 AD 为
BAC
的角平分线，得到
EAD
CAD
=
，通过
AED
≌ACD
，得到 ED
CD
=
，
90
AED
ACD
=
=
，由于
90 ,
2
ACB
ACB
B
=
= ， 得到
45 ,
45
B
BDE
=
=
，
B
BDE
=
，根
据等腰三角形的性质得到 EB
ED
=
，于是得到结论；
（2）由 AD 为
BAC
的角平分线时，得到
BAD
CAD
=
，通过
AED
≌ACD
得到
,
AED
C ED
CD
=
=
，由已知得到
B
EDB
=
，根据等腰三角形的性质得到 EB
ED
=
，即可得解；
（3）由 AD 为
BAC
的 角平分线时，得到
BAD
CAD
=
，通过AED
≌ACD
得到
AED
C
=
，
ED
CD
=
，由已知得到
B
EDB
=
，根据等腰三角形的性质得到 EB
ED
=
，即可得解．
【详解】（1）解：AB
AC
CD
=
+
∵AD 为
BAC
的角平分线
,
EAD
CAD
=
在AED
和ACD
中
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,
AE
AC
EAD
CAD
AD
AD
=
=
=
AED
≌
(
)
ACD SAS
，
ED
CD
=
,
90 ,
AED
ACD
=
=
90 ,
2
,
ACB
ACB
B
=
=
45 ,
B
\ ?
?
45 ,
BDE
=
,
B
BDE
=
,
EB
ED
=
,
EB
CD
=
;
AB
AE
EB
AC
CD
=
+
=
+
（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
∵AD是
BAC
的角平分线，
∴1
2
=
在
ADE
和
ADC
△
中
AE
AC
EAD
CAD
AD
AD
=
=
=
∴AED
≌
(
)
ACD SAS
∴DE
CD
=
，AE
AC
=
，
AED
C
=
又∵
AED
B
BDE
= +
，
2
C
B
=
∴
B
BDE
=
∴BE
DE
=
∴BE
CD
=
∴AC
AD
AE
BE
AB
+
=
+
=
即：AB
AC
CD
=
+
（3）解：AB
AC
CD
+
=
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证明： ∵AD 平分
FAC
∴
EAD
CAD
=
在
AED
△
与
ACD
中
AE
AC
EAD
CAD
AD
AD
=
=
=
∴AED
≌
(
)
ACD SAS
,
,
ED
CD
AED
ACD
=
=
,
FED
ACB
=
2
,
ACB
B
=
2
,
FED
B
=
,
FED
B
EDB
=
+
,
EDB
B
=
,
EB
ED
=
,
EA
AB
EB
ED
CD
+
=
=
=
.
AC
AB
CD
+
=
7．如图，
ABC
是等边三角形，点D 在AC 上，点E 在BC 的延长线上，且BD
DE
=
．
(1)如图（1），若点D 是AC 的中点，BDC
= 度，CDE
= 度，E
= 度，AD CE（选填“ = ”“”或“”）．
(2)如图（2），若点D 不是AC 的中点，题（1）中AD与CE 的关系还成立吗？说明理由（提示：可以过D
作BC 的平行线DF ，通过全等三角形和等边三角形相关知识证明）；
(3)如图（3），若点D 在线段AC 的延长线上，试判断AD与CE 的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)90，30，30，=
(2)成立，理由见解析
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(3)
=
AD
CE
【分析】（1）求出
E
CDE
=
，推出CD
CE
=
，根据等边三角形性质求出AD
DC
=
，即可得出答案；
（2）
=
AD
CE 这仍成立，过D 作DF
BC
∥
，交AB 于F，证BFD
DCE
≌
，推出DF
CE
=
，证
ADF
△
是
等边三角形，推出AD
DF
=
，即可得出答案；
（3）如图3，过点D 作DP
BC
∥
，交AB 的延长线于点P，证明BPD
DCE
≌
，得到PD
CE
=
，即可得到
=
AD
CE ．
【详解】（1）证明：∵
ABC
是等边三角形，
∴
60
ABC
ACB
=
=
，AB
AC
BC
=
=
，
∵D为AC 中点，
∴
30
DBC
=
，AD
DC
=
，BD
AC
⊥
，即
=90
BDC
，
∵BD
DE
=
，
∴
30
E
DBC
=
=
∵
ACB
E
CDE
= +
，
∴
30
CDE
E
=
= ，
∴CD
CE
=
，
∵AD
DC
=
，
∴
=
AD
CE ，
故答案为：90，30，30，=；
（2）证明：如图2，过D 作DF
BC
∥
，交AB 于F，
则
60
ADF
ACB
=
=
，
∵
60
A
=
，
∴
AFD
△
是等边三角形，
∴AD
DF
AF
=
=
，
60
AFD
=
，
∴
180
60
120
BFD
DCE
=
=
−
=
，
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∵DF
BC
∥
，DB
DE
=
，
∴
FDB
DBE
E
=
=，
在
BFD
△
和
DCE
△
中
FDB
E
BFD
DCE
BD
DE
=
=
=
，
∴
(AAS)
BFD
DCE
≌
，
∴CE
DF
AD
=
=
，
即
=
AD
CE ；
（3）解：
=
AD
CE ．
证明：如图3，过点D 作DP
BC
∥
，交AB 的延长线于点P，
则
60
P
ABC
=
=
，
60
ADP
ACB
=
=
，
∴
APD
△
是等边三角形，
∴AP
PD
AD
=
=
，
∵DB
DE
=
，
∴
DBC
DEC
=
，
∵DP
BC
∥
，
∴
PDB
CBD
=
，
∴
PDB
DEC
=
，
在
BPD
△
和
DCE
△
中，
60
PDB
CED
P
DCE
DB
ED
=
=
=
=
，
∴
(AAS)
BPD
DCE
≌
，
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∴PD
CE
=
，
∴
=
AD
CE ．
8．【问题初探】
（1）如图1，在
ABC
中，AB
AC
=
，点F 是AC 上一点，点E 是AB 延长线上的一点，连接EF ，交BC 于
点D，若ED
DF
=
，求证：BE
CF
=
．
【类比分析】
（2）如图4，在
ABC
中，点E 在线段AB 上，D 是BC 的中点，连接CE ，AD，CE 与AD相交于点N，
若
180
EAD
ANC
+
=
，求证：AB
CN
=
；
【学以致用】
（3）如图5，在Rt
ABC
△
中，
90
BAC
=
，
30
C
=
，AF 平分
BAC
，点E 在线段BA的延长线上运动，
过点E 作ED
AF
∥
，交AC 于点N，交BC 于点D，且BD
CD
=
，请直接写出线段AE ，CN 和BC 之间的数
量关系．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
1
2
CN
AE
BC
−
=
【分析】（1）①证明
(
)
SAS
BDE
MDF
≌
，得出FM
BE
=
，
E
DFM
=
∠
∠
，证明FM
BE
，得出
ABC
FMC
=
∠
∠
，证明
FMC
C
=
∠
∠
，得出FM
FC
=
，即可证明结论；
②证明
(
)
AAS
MDE
CDF
≌
，得出CF
EM
=
，根据等腰三角形的判定证明BE
ME
=
，即可证明结论；
（2）延长AD，取DM
AD
=
，连接CM ，证明
(
)
SAS
ADB
CDM
≌
，得出AB
CM
=
，
M
BAD
=
∠
∠
，根
据等腰三角形判定得出CM
CN
=
，即可证明结论；
（3）延长ED，使DM
ED
=
，连接CM ，证明
(
)
SAS
CDM
BDE
≌
，得出CM
BE
=
，
M
BED
=
，证
明
CNM
M
=
，得出CN
CM
=
，根据直角三角形性质得出
1
2
AB
BC
=
，根据
1
2
BE
AE
AB
BC
−
=
=
，即可
证明结论．
【详解】（1）证明：如图所示，在线段DC 上截取DM ，使DM
BD
=
，连接FM ，
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∵ED
DF
=
，DM
BD
=
，
BDE
MDF
=
，
∴
(
)
SAS
BDE
MDF
≌
，
∴FM
BE
=
，
E
DFM
=
∠
∠
，
∴FM
BE
，
∴
ABC
FMC
=
∠
∠
，
∵AB
AC
=
，
∴
ABC
C
=
，
∴
FMC
C
=
∠
∠
，
∴FM
FC
=
，
∴BE
CF
=
；
（2）延长AD，取DM
AD
=
，连接CM ，如图所示：
∵D 是BC 的中点，
∴BD
CD
=
，
∵
ADB
CDM
=
，
∴
(
)
SAS
ADB
CDM
≌
，
∴AB
CM
=
，
M
BAD
=
∠
∠
，
∵
180
EAD
ANC
+
=
，
180
ANC
CNM
+
=
∠
∠
，
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∴
CNM
EAD
=
∠
∠
，
∴
CNM
M
=
，
∴CM
CN
=
，
∴AB
CN
=
；
（3）延长ED，使DM
ED
=
，连接CM ，如图所示：
∵BD
CD
=
，
CDM
BDE
=
，
∴
(
)
SAS
CDM
BDE
≌
，
∴CM
BE
=
，
M
BED
=
，
∴CM
BE
∥
，
∴
180
90
ACM
BAC
=
−
=
∠
∠
，
∵AF 平分
BAC
，
∴
1
45
2
CAF
BAC
=
=
∠
∠
，
∵ED
AF
∥
，
∴
45
CNM
CAF
=
=
∠
∠
，
∴
180
45
M
CNM
ACM
=
−
−
=
∠
∠
∠
，
∴
CNM
M
=
，
∴CN
CM
=
，
∴CN
BE
=
，
∵
30
ACB
=
，
90
BAC
=
，
∴
1
2
AB
BC
=
，
∵
1
2
BE
AE
AB
BC
−
=
=
，
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∴
1
2
CN
AE
BC
−
=
．
9．（25-26 八年级上·辽宁大连·期末）在
中，
，
是高，E 是
上一点．
(1)如图1，若
平分
，
①求
的度数；（用含
的式子表示）
②求证：
．
(2)如图2，当
，
时，若点F 在射线
上，且
，求
的值．
【答案】(1)①
；
②证明：如图1，在
上取点
，使得
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
(2) 或
．
【分析】（1）①求出
，
，根据
即可求出答案；②在
上取点
，使
得
，证明
，
，即可得到
；
（2）画出图形，分两种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：∵
是高，
∴
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∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
；
②略
（2）如图，当
时，过点C 作
垂足分别为
，
∵
，
∴
，
∵
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
同理可得，
，
∴
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
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∴
，即
，
∴
，
当
时，∵
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
是等边三角形，
∴
,
∴
，
综上可知，
的值为或
．
10．（25-26 八年级上·安徽淮南·期末）【情境建模】
(1)已知：如图1，点
在
的边
上，若
平分
，且
，求证：
．请你帮助
小蕊完成证明．
【理解内化】
(2)请尝试直接应用“情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在
中，
平分
，
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，
，求证：
．
【拓展应用】
(3)如图3，在
中，
平分
，点
为
中点，
与
相交于点
，过点
作
交
延长线于点
，设
、
的面积分别为
，，若
，则
的最大值是______．
【答案】(1)证明：∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
；
(2)证明: 如图，延长
交
于
点，
∵
平分
，
，
由（）可得
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
；
(3)12
【分析】（）由
平分
，得
，再根据
，
，证出
则可得出结论；
（
）延长
交
于
点，由（）可得
，
，证明
，进而可以解决
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问题；
（3）延长
，
交于点G，证明
，得出
，
，即可得出
，根据
为
的中点，得出
，求出
，从而得出当
的面积最大时，
最大，求出
的面积的最大
值，即可得出答案．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：延长
，
交于点G，如图所示：
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∵
为
的中点，
∴
，
∵
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，
∴当
的面积最大时，
最大，
∵
，
，
∴
，
即
，
∵
，
∴当
时，
的面积最大，
∴
的最大面积为：
，
∴
的最大值为：
．
