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1 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题11 用一元二次方程解决问题的十类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一元二次方程的应用—平均增长率问题 题型二、一元二次方程的应用—传播问题 题型三、一元二次方程的应用—数字问题 题型四、一元二次方程的应用—循环问题 题型五、一元二次方程的应用—图形面积问题 题型六、一元二次方程的应用—日历问题 题型七、一元二次方程的应用—航海问题 题型八、一元二次方程的应用—销售问题 题型九、一元二次方程的应用—规律问题 题型十、一元二次方程的应用—动态几何问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 具体内容 核心 知识 点 1. 列一元二次方程解应用题的一般步骤：审（审题找等量关系）→设（设未知数，分 直接设、间接设）→列（根据等量关系列方程）→解（解一元二次方程）→验（检验 根是否符合实际意义）→答（作答） 2. 常见应用题类型及核心等量关系： （1）增长率/降低率问题：增长后量=初始量×(1+增长率)n，降低后量=初始量×(1-降低 率)n（n 为增长/降低次数） （2）利润问题：总利润=（单件售价-单件成本）×销售量；总利润=总销售额-总成本 （3）面积问题：根据图形面积公式，结合平移、割补法找边长关系，列面积方程 （4）动点问题：用未知数表示动点运动后线段的长度，结合几何图形的面积、边长 关系列方程 （5）传播/循环问题：单轮传播后总数=初始数×(1+传染数)，两轮传播后为初始数×(1+ 目 录 2 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 传染数)2；握手/单循环赛：总次数= 1 2x(x-1)，双循环赛：总次数=x(x-1) 3. 间接设未知数的适用场景：当直接设所求量为未知数导致方程复杂时，选择中间量 设未知数简化计算 4. 实际问题的根的取舍：一元二次方程通常有两个根，需要结合实际问题的定义域（如 长度、人数、增长率不能为负，销售量不能为负）对根进行筛选，舍去不符合题意的 根 5. 数形结合思想：解决面积、动点问题时，通过画示意图明确各量之间的位置与数量 关系，辅助找等量关系 常见 易错 点 1. 审题不清，等量关系找错：混淆增长率问题中的“连续两次增长”和“两年累计增长”， 错误将连续两次增长方程列为初始量+初始量(1+x)+初始量(1+x)2=总目标，而非初始量 (1+x)2=增长后量 2. 设未知数不规范：忘记带单位，或者设未知数时表述歧义，导致后续列方程错误 3. 面积问题中边长计算错误：计算矩形中间开辟道路后的种植面积时，错误遗漏道路 宽度的重复扣除部分，或者道路平移后边长计算错误 4. 忽略根的检验：解出方程的两个根后直接全部保留，没有考虑实际意义，保留了负 的长度、负的增长率、大于原有量的降低率等不符合题意的根 5. 循环问题模型混淆：分不清单循环（每两队赛一次）和双循环（每两队主客场各赛 一次），总场次公式用错 6. 动点问题中漏考虑动点的运动范围：没有考虑动点运动到线段端点后就停止运动， 错误保留超出运动范围的未知数解 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 3 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一、一元二次方程的应用—平均增长率问题 典例1 某商店今年春季热销解渴饮品，三月份该饮品销量为200 杯，随着气温不断回升，若连续两个月的 销量逐月匀速上涨，预计五月份的销量能达到338 杯．设四、五这两个月每月销量的平均增长率均为x ，那 么x 满足的方程为（ ） A． ( ) 200 200 1 338 x + + = B． ( ) 2 200 200 1 200(1 ) 338 x x + + + + = C． 2 200(1 ) 338 x + = D． 2 200 200 200 338 x x + + = 【答案】C 【分析】本题考查平均增长率问题，从三月份到五月份，销量经过两次匀速增长，根据初始销量和五月份 的最终销量列方程即可． 【详解】解：∵三月份销量为200 杯，每月销量的平均增长率为x ， ∴四月份销量为 ( ) 200 1 x + 杯， ∴五月份销量在四月份基础上增长，可得五月份销量为 ( ) ( ) ( ) 2 200 1 1 200 1 x x x + + = + ， 又∵已知五月份销量为338杯， ∴可列方程为 ( ) 2 200 1 338 x + = ． 变式1-1 某商品每件的售价为121 元，经过两次降价后每件的售价为81 元，设该商品两次降价的平均下降 率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ） A． ( ) 2 121 1 81 x − = B． ( ) 121 1 2 81 x − = C． ( ) 2 81 1 121 x + = D． ( ) 2 121 1 81 x − = 【答案】A 【分析】解题思路是根据降价过程依次表示两次降价后的价格，再结合题意列方程． 【详解】解：∵已知商品原价为121 元，两次降价的平均下降率为x ， ∴第一次降价后的价格为 ( ) 121 1 x − ， 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再次下降x ， 因此第二次降价后的价格为 ( )( ) ( ) 2 121 1 1 121 1 x x x − − = − ， 4 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 又∵两次降价后售价为81 元， ∴可列方程为 ( ) 2 121 1 81 x − = ， 因此选A． 变式1-2 近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长．某 新能源汽车今年3 月份销售量为1 万台，5 月份销售量为1.21 万台，则该新能源汽车月平均增长率为______． 【答案】 10% 【分析】设月平均增长率为x ，根据3 月份和5 月份的销售量列出一元二次方程，舍去不符合题意的负根后 即可得到结果． 【详解】解：设该新能源汽车月平均增长率为x ． 根据题意列方程得：( ) 2 1 1.21 x + = ， 解得： 1 0.1 10% x = = ， 2 2.1 x = − ， 因为增长率不能为负， 2 2.1 x = − 不合题意，舍去． ∴该新能源汽车月平均增长率为10% ． 变式1-3 我市某楼盘准备以每平方米10000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台，购 房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方米8100 元的 均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是________． 【答案】10% 【分析】设平均每次下调的百分率为x，列方程解答即可． 【详解】解：设平均每次下调的百分率为x， 根据题意得 ( ) 2 10000 1 8100 x − = 解得 0.1 x = 或 1.9 x = （舍去）, 0.1 10% = ． 5 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 类型二、一元二次方程的应用—传播问题 典例2 有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120 个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数 为（ ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均一个人传染x 人，根据传染规律得到两轮传 染后的总患病人数，结合“新增120 人患病”得到总人数的等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x 人， ∵初始有1 名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为1 x + ， 第二轮传染后，总患病人数为( ) ( ) 2 1 1 (1 ) x x x x + + + = + ， 又∵经过两轮传染后新增120 人患病，总患病人数为1 120 121 + = ， ∴列方程得 2 (1 ) 121 x + = ， ∵人数为正数，1 0 x + ， ∴1 11 x + = ， 解得 10 x = ， 故选：A． 变式2-1 秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一 个人患了流感，经过两轮传染后共有81 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染 中平均一个人传染了x 个人，根据题意，列方程为（ ） A． ( ) 1 81 x x + + = B． 2 1 81 x x + + = C． ( ) 1 1 81 x x x + + + = D． ( ) 1 81 x x x + + = 【答案】C 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人． ∵初始有1人患流感， ∴第一轮传染后，总患病人数为1 x + ， 6 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵第二轮传染中，有( ) 1 x + 个患者，每人传染x 人， ∴新增患病人数为( ) 1 x x + ， ∴ ( ) 1 1 81 x x x + + + = ． 变式2-2 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的 总数是91，每个支干长出______个小分支． 【答案】9 【分析】设每个支干长出x 个小分支，主干为1 个，支干为x 个，小分支为 2 x 个，根据总数是91 列出一元 二次方程求解． 【详解】解：设每个支干长出x 个小分支， 根据题意得， 2 1 91 x x + + = 解得 1 9 x = ， 2 10 x = − （舍去） ∴每个支干长出9 个小分支． 变式2-3 某人患有甲型H3N2流感，经过两轮传染后共有36 个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x 个 人，则根据题意可列方程_____． 【答案】 2 (1 ) 36 x + = 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据有一个人患流感，经过两轮传染后共有36 个人 患流感，列出一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得： 2 (1 ) 36 x + = ， 故答案为： 2 (1 ) 36 x + = ． 题型三、一元二次方程的应用—数字问题 典例3 小明在算一个数的2 倍时，误算成了这个数的平方，他发现两个结果的和为8，则这个数为（ ） A．2 B．2 或4 C．2 或4 − D．2 −或4 【答案】C 【详解】解：设这个数为x ， 7 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵根据题意，这个数的平方与这个数的2 倍的和为8， ∴ 2 2 8 x x + = ， 整理得， 2 2 8 0 x x + − = ， 因式分解得，( )( ) 2 4 0 x x − + = ， 解得， 2 x = 或 4 x = −， 故选：C． 变式3-1 一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（ ） A．25 B．36 C．25 或36 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设十位数字为x ，表示出个位数字，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x ，则个位数字为( ) 3 x + ． 依题意得： ( ) ( ) 2 10 3 3 x x x + + = + ， 解得: 1 2 2, 3 x x = = . ∴ 这个两位数为25 或36． 故选：C． 变式3-2 若两数的和是2 ，两数的平方和是74 ，则这两数为________． 【答案】5 −和7 【分析】设两数中一个数为x ，则另一个数为2 x −，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设两数中一个数为x ，则另一个数为2 x −， 根据题意得 ( ) 2 2 2 74 x x + − = ， 解得 1 5 x = −， 2 7 x = ， 当 5 x = −时，另一个数为7 ； 当 7 x = 时，另一个数为5 −； 所以这两个数为5 −和7 ． 8 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式3-3“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在3 3 积幻方中，9个小方格中的正整数互不相等，且每行、 每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“3 3 积幻方”只呈现了4 个小方格中的数，则其 中x 的值是_________． 【答案】16 【分析】根据题意，得到( ) ( ) 14 16 1 x x x − = + ，整理得 2 15 16 0 x x − − = ，再根据解一元二次方程的方法解 方程，即可求出x 的值． 【详解】解：根据题意，可得( ) ( ) 14 16 1 x x x − = + ， 去括号，得 2 14 16 x x x − = + ， 移项，得 2 14 16 0 x x x − − − = ， 合并同类项，得 2 15 16 0 x x − − = ， 因式分解，得( )( ) 16 1 0 x x − + = ， 解得 1 16 x = ， 2 1 x = −， ∵9个小方格中的正整数互不相等， ∴ 16 x = ，即x 的值是16． 题型四、一元二次方程的应用—循环问题 典例4 为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计 比赛36 场．设共有x 个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A． ( ) 1 1 36 2 x x − = B．( ) 1 36 x x − = C． ( ) 1 1 36 2 x x + = D．( ) 1 36 x x + = 【答案】A 【分析】根据单循环比赛的规则，计算总比赛场数列方程，用到的是计数去重的思路，即可得到符合题意 的方程． 9 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：依题意，共有x 个队参赛，每两支队伍之间赛一场，每支队伍需要和除自身外的( ) 1 x − 支队伍 比赛， 又∵ 两队之间进行一场比赛， ∴ 实际总比赛场数为 ( ) 1 1 2 x x − ， 已知总比赛为36 场， 因此列方程得 ( ) 1 1 36 2 x x − = ，符合题意的为选项A. 变式4-1 在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环 赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56 场，则参加小组赛的球队有（ ） A．6 支 B．7 支 C．8 支 D．9 支 【答案】C 【分析】根据双循环赛制得到总比赛场数与球队数量的关系，列方程求解即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有x 支．∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为( )1 x x − ． 根据题意得( ) 1 56 x x − = ． 整理得 2 56 0 x x − − = ． 解得 1 8 x = ， 2 7 x = −． ∵球队数量为正整数，舍去 2 7 x = −． ∴ 8 x = ，即参加小组赛的球队有8 支． 变式4-2 某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果 一共进行了132场比赛，参加比赛的足球队有_____支． 【答案】12 【分析】先设出参赛球队的数量，根据主客场双循环赛制得到总比赛场数的等量关系，列出一元二次方程， 求解后舍去不符合实际意义的负解，即可得到参赛球队的数量，正确建立方程是解题关键． 【详解】解：设参加比赛的足球队有x 支. 10 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 根据题意得：( ) 1 132 x x − = ， 整理得： 2 132 0 x x − − = ， 因式分解得：( )( ) 12 11 0 x x − + = ， 解得： 1 12 x = ， 2 11 x = − （不符合实际意义，舍去）， 参加比赛的足球队有12支． 变式4-3 某校举行中学生篮球联赛，若某小组有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛一共进行了28 场， 则该小组参加比赛的队伍共有_______支． 【答案】8 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设有x 支队伍参加了比赛，根据一共进行了28 场比赛，列 方程求解． 【详解】解：设有x 支队伍参加了比赛， 根据题意可得： ( ) 1 1 28 2 x x − = ， 整理得： 2 56 0 x x − − = ， 解得： 1 8 x = ， 2 7 x = −(不符合题意，舍去)， 答：该小组参加比赛的队伍共有8支． 故答案为：8． 题型五、一元二次方程的应用—图形面积问题 典例5 由于部分汽车车型较大，为了扩大每个车位的面积，小区物业打算重新划分某处的10 个大小相同的 矩形车位．现在每个矩形车位的长和宽分别为52dm ，25dm，重新划分后车位数不变，每个矩形车位的长 和宽增加了相同的长度，且10个车位的总面积增大了 2 2400dm ．求重新划分后每个矩形车位的长和宽分别 是多少？ 【答案】重新划分后每个矩形车位的长是55dm ，宽是28dm． 【分析】设每个矩形车位的长和宽增加的相同长度为dm x ，原10个车位的总面积为 2 10 52 25 13000 dm ， 则重新划分后每个车位长为 52 dm x ，宽为 25 dm x ，再进一步求解即可． 【详解】解：设每个矩形车位的长和宽增加的相同长度为dm x ，原10个车位的总面积为 11 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 10 52 25 13000 dm ，则重新划分后每个车位长为 52 dm x ，宽为 25 dm x ， ∴ 10 52 25 13000 2400 x x ， 整理得： 2 77 240 0 x x ， 解得： 1 3 x = ， 2 80 x = − （不符合题意，舍去） ∴52 55 x ，25 28 x ， 答：重新划分后每个矩形车位的长是55dm ，宽是28dm． 变式5-1 如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长10m、宽8m 的矩形劳动实践基地ABCD扩建为矩形 AEFG ，使其总面积达到 2 110m ．经规划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为1:2（即 : 1:2 DG BE = ）． (1)求长和宽各增加了多少米？ (2)扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为1m的十字形小路，剩余部分为试验园地， 求试验园地的面积． 【答案】(1)长增加了1m，宽增加了2m (2) 2 90m 【分析】（1）设 m DG x = ，则 2 m BE x = ，根据扩建后总面积达到 2 110m ，列方程求解即可； （2）根据平移的性质将试验园地的面积变为矩形求解即可； 【详解】（1）解：设 m DG x = ，由 : 1:2 DG BE = 得 2 m BE x = ， 扩建后矩形AEFG 的长为(10 )m x + ，宽为(8 2 )m x + ， 根据总面积列方程：( )( ) 10 8 2 110 x x + + = ，整理得： 2 14 15 0 x x + − = ， 解得： 1 1 x = ， 2 15 x = − （长度不能为负，舍去）， 因此 1m DG = ， 2m BE = ， 即长增加了1m，宽增加了2m； 12 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：由（1）得，扩建后矩形的长为10 1 11m + = ，宽为8 2 10m + = ， 将十字小路平移到矩形边缘，剩余试验园地为矩形，长和宽各减少小路宽度1m， 因此试验园地面积为：( ) ( ) 2 11 1 10 1 10 9 90m − − = = ． 变式5-2 综合与实践 如图，某农户计划利用已有的一堵墙（墙足够长），用篱笆围成一个矩形菜园ABCD．现有可用的篱笆总长 为20m．设边AB 长为m x ，请列方程解决下列问题． (1)若矩形菜园的面积为 2 48m ，求AB 的长； (2)矩形菜园的面积有可能是 2 55m 吗？若有，求x 的值；若无，说明理由； (3)当x 取何值时，矩形菜园的面积最大，并求出最大面积． 【答案】(1) AB 的长为4m或6m (2)矩形菜园的面积不可能是 2 55m ，理由如下： 根据题意得，( ) 20 2 55 x x − = ， 整理得， 2 2 20 55 0 x x − + = ， ∴ ( ) 2 Δ 20 4 2 55 40 0 = − − = − ， ∴方程无实数解， ∴矩形菜园的面积不可能是 2 55m ； (3)当 5 x = 时，矩形菜园的面积最大，最大面积为 2 50m 【分析】（1）设边AB 长为m x ，则 ( ) 20 2 m BC x = − ，根据矩形菜园的面积为 2 48m 列方程求解即可； （2）根据题意得到( ) 20 2 55 x x − = ，整理后利用判别式判断即可； （3）设矩形菜园的面积为S，根据题意表示出S，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设边AB 长为m x ，则 ( ) 20 2 m BC x = − ， ∵矩形菜园的面积为 2 48m ， 13 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴( ) 20 2 48 x x − = ， 整理得， 2 10 24 0 x x − + = ， 解得 1 4 x = ， 2 6 x = ， ∵20 2 0 x − ， 0 x ， ∴0 10 x ， ∴AB 的长为4m或6m； （2）略 （3）解：设矩形菜园的面积为S， 根据题意得， ( ) ( ) 2 2 20 2 2 20 2 5 50 S x x x x x = − = − + = − − + ， ∵2 0 − ， ∴当 5 x = 时，矩形菜园的面积最大，最大面积为 2 50m ． 变式5-3 如图，用长为22 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14 米），围成中间隔有一道篱笆的 长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 上用其他材料做了宽为1 米的两扇小门． (1)设花圃的一边AB 长为x 米，请你用含x 的代数式表示另一边AD的长； (2)若此时花圃的面积刚好为 2 45m ，求此时花圃的长与宽； (3)能否围成面积为 2 50m 的花圃？请说明理由． 【答案】(1)( ) 24 3x − 米 (2)花圃的长为9 米，宽为5 米 (3)解：不能围成面积为 2 50m 的花圃，理由如下： 当花圃的面积刚好为 2 50m 时， ( ) 3 24 50 x x − + = ， 化简得： 2 3 24 50 0 x x − + = ， 14 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ( ) 2 Δ 24 4 3 50 24 0 = − − = − ， ∴该方程没有实数解， ∴不能围成面积为 2 50m 的花圃． 【分析】（1）设花圃的宽AB 长为x 米，则 22 3 2 24 3 AD BC x x = = − + = − 米； （2）由矩形面积 45 S = ，列出方程，解方程可得答案； （3）由矩形面积 50 S = ，列出方程，判断方程的解的情况可得答案． 【详解】（1）解：∵宽AB x = 米， ∴长 22 3 2 24 3 AD BC x x = = − + = − （米）； （2）解：∵花圃的面积刚好为45平方米， ∴( ) 3 24 45 x x − + = ， 化简得： 2 8 15 0 x x − + = ， 解得： 1 3 x = ， 2 5 x = ， 当 3 x = 时，长 24 3 3 15 14 AD = −= ，不合题意，舍去； 当 5 x = 时，长 24 3 5 9 14 AD = −= ，符合题意； 答：花圃的长为9 米，宽为5 米． （3）略 题型六、一元二次方程的应用—日历问题 典例6 月历中的奥秘（九年级版）：如图是2025年10月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列 的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列9个数中，若最小的数设为x ，那么最中间的数可用x 表示为________，最大 的数可用x 表示为________； (2)若矩形圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，这9个数的和是多少？（请列方程解决） 15 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1) 8 x + ； 16 x+ (2)144 【分析】（1）根据图中每行和每列数的关系，即可得到答案． （2）设最小数为x ，最大数为 16 x+ ，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵每行的后一个数比前一个数大1，每列的下一个数比上一个数大7 ， ∴中间的数可用x 表示为 1 7 8 x x + + = + ， 最大的数可用x 表示为 2 14 16 x x + + = + ； （2）解：设最小数为x ，最大数为 16 x+ ，根据题意可列方程：( ) 16 192 x x + = ， 2 16 192 0 x x + − = ， 解得 8 x = 或 24 x = − （舍去）， 最小数为8，最大数为8 16 24 + = ， 9 个数为8 9 10 15 16 17 22 23 24 、、、、、、、、， 其和为8 9 10 15 16 17 22 23 24 144 + + + + + + + + = ． 变式6-12026 年4 月5 日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4 月4 日至6 日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然 与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统 节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4 个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘 积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 【答案】9 【分析】设四个数中最小数为x ，则最大数为( ) 8 x + ，再根据最小数与最大数的乘积为153 列一元二次方程 求解，最后选择符合实际的解即可． 【详解】解：设四个数中最小数为x ，则最大数为( ) 8 x + 16 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由题意得：( ) 8 153 x x + = ， 整理得： 2 8 153 x x + = ， 2 8 16 169 x x + + = ， 即( ) 2 4 169 x + = ， 解得： 1 2 9, 17 x x = = − （舍）， 答：最小数为9． 变式6-2 如图，这是一张2026 年1 月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4 个数（如2， 3，9，10）． (1)如图，若圈出的4 个数a 、b 、c 、d 中，最小的数a x = ，则 1 b x = + ，c = ________，d =________．（用 含x 的代数式表示） (2)在小组活动中，小轩通过计算，发现ad bc − 的差恒为常数，请你证明． (3)若圈出的4 个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4 个数中最小的数． 【答案】(1) 7 x+ ， 8 x + ； (2)证明如下： ∵ad bc − ( ) ( )( ) 8 1 7 x x x x = + − + + 2 2 8 8 7 x x x x = + − − − 7 = −， ∴ad bc − 的差恒为常数； (3)7． 【分析】（1）直接根据日历表作答即可； （2）直接计算ad bc − 的值即可； 17 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）由（1）知最小的数a x = ，最大的数 8 d x = + ，根据“最大的数与最小的数的乘积为105”求出x 的值即 可． 【详解】（1）解：根据日历表可知， 7 7 a x c = + = + ， 8 7 b x d = + = + ； （2）略； （3）解：由题意得：( ) 8 105 x x + = ， 变形整理得： 2 8 105 0 x x + − = ， 解得： 1 7 x = ， 2 15 x = − （舍去）， 即这个最小的数是7． 变式6-3 如图，这是一张2026 年1 月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4 个数（如2， 3，9，10）． (1)若圈出的4 个数中最小的数为x，则最大的数为________．（用含x 的代数式表示） (2)在小组活动中，小丽通过计算，得到框出的4 个数之和为45．小颖认为小丽一定算错了．小颖的说法正 确吗？说明理由． (3)若圈出的4 个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4 个数中最小的数． 【答案】(1) 8 x + (2) 小颖的说法正确，理由如下： 设圈出的4 个数中最小的数为m，则其他三个数分别为 1, 7, 8 m m m + + + ， ∵框出的4 个数之和为45， ∴ 1 7 8 45 m m m m + + + + + + = ， 解得： 29 4 m = ， 根据题意得：m 为整数， 18 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 29 4 m = 不符合题意， ∴小丽一定算错了，小颖的说法正确． (3)7 【分析】（1）根据月历表的特点列式即可； （2）设圈出的4 个数中最小的数为m，则其他三个数分别为 1, 7, 8 m m m + + + ，根据题意列出方程，解方程 即可得到答案； （3）设圈出的4 个数中最小的数为y ，则最大的数为 8 y + ，根据题意可得方程( ) 8 105 y y + = ，解方程即可 得到答案； 【详解】（1）解：由题意得，圈出的4 个数中最小的数为x ，则最大的数为 1 7 8 x x + + = + ； （2）略 （3）解：设圈出的4 个数中最小的数为y ，则最大的数为 8 y + ， ∴( ) 8 105 y y + = ， ∴ 2 8 105 0 y y + − = ， ∴( )( ) 7 15 0 y y − + = ， ∴ 7 0 y− = 或 15 0 y + = ， 解得 7 y = 或 15 y = − （舍去）， ∴这4 个数中最小的数为7． 题型七、一元二次方程的应用—航海问题 典例7 如图，某海军基地位于A处，在其正南方向20 海里处有一重要目标B ，在B 的正西方向20 海里处 有一重要目标C ，小岛D位于AC 的中点，岛上有一补给码头；一艘军舰从A出发，经B 到C 匀速直线巡航． 19 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)为提前完成第一次巡航任务，军舰调整速度为原来的1.5 倍，结果提前2 h 3 到达目标C 处，求军舰原来的 速度是多少？ (2)在第二次军舰巡航时，一艘补给船同时从D 出发，沿南偏东方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已 知军舰航行的总路程是补给船的3 倍，军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处，那么相遇时补给船航行 了多少海里？ 【答案】(1)军舰原来的速度是20 海里/h； (2)补给船航行了12.5海里． 【分析】（1）设原来的速度为v 海里/h，则调整后的速度为1.5v 海里/h，先求出总路程，再根据题意列分 式方程求解即可； （2）连接DF 交BC 中点于F，则DF 是ABC 的中位线，可知 10 DF = 海里， 10 BF = 海里， 90 CFD = ， 设相遇时补给船航行了x 海里，则 ( ) 30 3 EF x = − 海里，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：设原来的速度为v 海里/h，则调整后的速度为1.5v 海里/h， 由题意可知 20 AB = 海里， 20 BC = 海里， 则总路程为20 20 40 + = （海里）， ∵军舰调整速度为原来的1.5 倍，结果提前2 h 3 到达目标C 处， ∴40 40 2 1.5 3 v v = + ， 解得： 20 v = ， 经检验， 20 v = 是原分式方程的解， ∴军舰原来的速度是20 海里/h； （2）解：取BC 的中点F ，连接DF ， 则DF 是ABC 的中位线， ∴ 10 DF = 海里， 10 BF = 海里， 90 CFD = ， 20 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 设相遇时补给船航行了x 海里，即DE x = 海里， ∵军舰航行的总路程是补给船的3 倍， ∴军舰路程为 3 AB BE x + = 海里， 则 ( ) 3 20 BE x = − 海里， ∴ ( ) ( ) 10 3 20 30 3 EF BF BE x x = − = − − = − 海里， 在Rt DEF △ 中，由勾股定理得： 2 2 2 DE DF EF = + ， 即 2 2 2 10 (30 3 ) x x = + − ， 解得： 1 10 x = ， 2 12.5 x = ， 当 10 x = 时，E 与F 重合，DE 为正南方向，不符合“南偏东”的条件，舍去， ∴补给船航行了12.5海里． 变式7-1 一敌方军舰以20 海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30 海里/时的速度由北向南航行，它 能侦察出周围50 海里（包括50 海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至A处时，我方侦察 船正位于A处正北方向的B 处，且 90 AB = 海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行， 那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 【答案】最早再过2 小时能侦察到． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能找出军舰和侦察船的距离关系，利用勾股定理 正确列出一元二次方程． 设侦察船由B 出发到侦察到这艘军舰经过的时间是x 小时，由题中信息可以知道军舰和侦察船的行驶方向 互相垂直，所以军船和侦察船的距离和时间的关系式是： ( ) ( ) 2 2 2 90 30 20 , 50 s x x s = − + 时侦察船可侦察到 这艘军舰，解( ) ( ) 2 2 2 90 30 20 50 x x − + = 即可求时间x． 【详解】解：能．设侦察船最早由B 出发经过x 小时侦察到军舰， 21 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 则 ( ) ( ) 2 2 90 30 20 , 50 s x x s = − + ， 得：( ) ( ) 2 2 2 90 30 20 50 x x − + = ， 整理得 2 13 54 56 0 x x − + = ， 即( )( ) 13 28 2 0 x x − − = ， ∴ 1 2 28 2, 13 x x = = ， ∴ 28 2 13 x ， 即当经过2 小时至28 13 小时时，侦察船能侦察到这艘军舰． ∴最早再过2 小时能侦察到． 变式7-2 如图，小岛D 在码头A正东方向的80 海里处．已知当轮船甲从码头A出发以40 海里/ 小时的速度 向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛D 出发以50海里/ 小时的速度向码头A行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为50海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛B 运送物质，当轮船甲到达小岛B 后，发现运送物质不足，此时行驶到C 处 的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿CB 方向前往小岛B 进行物质补充．若两艘轮船在上午7 时 出发，轮船乙在上午9时到达小岛B ，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【答案】(1)1或39 41 小时； (2)上午8时． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）设轮船出发t 小时后，两艘轮船之间的直线距离为50海里，则轮船甲与码头A的距离为40t 海里，轮 船乙与码头A的距离为( ) 80 50t − 海里，根据题意得可( ) ( ) 2 2 2 80 50 40 50 t t − + = ，然后解方程即可； （2 ）设轮船甲出发x 小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则 50 CD x = 海里， 22 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( ) CD 80 50 AC AD x = − = − 海里， 40 AB x = 海里， ( ) 50 9 7 BC x = − − 海里，根据勾股定理得得 2 2 2 AB AC BC + = ，则有( ) ( ) ( ) 2 2 2 40 80 50 50 9 7 x x x + − = −− ，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设轮船出发t 小时后，两艘轮船之间的直线距离为50海里，则轮船甲与码头A的距离为40t 海里，轮船乙与码头A的距离为( ) 80 50t − 海里， 根据题意得可( ) ( ) 2 2 2 80 50 40 50 t t − + = ， 解得：1 1 t = ，2 39 41 t = ， 答：两艘轮船出发1或39 41 小时后，两艘轮船之间的直线距离为50海里； （2）解：设轮船甲出发x 小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则 50 CD x = 海里， ( ) CD 80 50 AC AD x = − = − 海里， 40 AB x = 海里， ( ) 50 9 7 BC x = − − 海里， 在Rt ABC △ 中，由勾股定理，得 2 2 2 AB AC BC + = ， 即( ) ( ) ( ) 2 2 2 40 80 50 50 9 7 x x x + − = −− ， 整理，得 2 4 5 9 0 x x + − = ， 解得， 1 2 9 1, 4 x x = = − （不符合题意．舍去）． ∴7 1 8 + = ， 答：轮船甲在上午8时向轮船乙发出需要补充物质的指令． 变式7-3 1l 是一条东西方向的道路，2l 是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点O．小明和小丽分别从 十字路口O点处同时出发，小丽沿着1l 以4 千米/时的速度由西向东前进，小明沿着2l 以5 千米/时的速度由 南向北前进，有一棵百年古树位于图中点P 处，古树与1l 、2l 的距离分别为3 千米和2 千米．问离开路口后 经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 23 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】14 9 小时 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的 关键．根据题意，假设小明看作点A，小丽看作点B ，再过P 分别作1l 、2l 的垂线，两人与这棵古树的距离 恰好相等，也就是PA PB = ，在直角三角形中利用勾股定理列出关于t 的一元二次方程，解之取其符合题意 的值，即可得出结论． 【详解】解：设两人离开路口时间为t ，小明看作点A，小丽看作点B ， 5 OA t = 千米， 4 OB t = 千米 两人与这棵古树的距离恰好相等，则PA PB = 2 2 PA PB = 根据题意P 处与1l 、2l 的距离分别为3 千米和2 千米 如图，过点P 作 1 2 , PN l PM l ⊥ ⊥ 2 PM = 千米， 3 PN = 千米 在Rt AMP 中， 2 2 2 PA AM PM = + ，即 ( ) 2 2 2 5 3 2 PA t = − + 在Rt BNP 中， 2 2 2 PB NB PN = + ，即 ( ) 2 2 2 4 2 3 PB t = − + ( ) ( ) 2 2 2 2 5 3 2 4 2 3 t t − + = − + 解得1 0 t = （舍去），2 14 9 t = 24 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14 9 = t 答：离开路口后经过14 9 小时，两人与这棵古树的距离恰好相等． 题型八、一元二次方程的应用—销售问题 典例8 一款服装每件进价为70 元，销售价为120 元时，每天可售出20 件．经市场调查发现，如果每件服 装每降价1 元，那么平均每天可多售出2 件．设每件服装降价x 元． (1)每天销售量增加____________件，每件服装盈利_______________元（用含x 的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1600 元？ 【答案】(1) ( ) 2 , 50 x x − (2)降价30 元 【分析】（1）根据每件降价1 元，多售出2 件，降价x 元则销售量增加2x 件，原每件盈利50 元，降价后每 件盈利( ) 50 x − 元； （2）根据每件利润×销售量=总盈利列一元二次方程，求解后结合让利于顾客的条件选择较大的降价幅度． 【详解】（1）解：∵每件降价1 元，多售出2 件， ∴降价x 元，则销售量增加2x 件， ∵原每件进价为70 元，销售价为120 元， ∴原每件盈利50 元， ∴降价x 元，则每件服装盈利( ) 50 x − 元． （2）解：由题意可知：每件服装的销售利润为( ) 50 x − 元，平均每天的销售量为( ) 20 2x + 件， 则由题意得：( )( ) 50 20 2 1600 x x − + = ，整理得： 2 40 300 0 x x − + = ， 解得： 1 2 10, 30 = = x x ． 又∵需要让利于顾客， 30 x = ． 答：每件服装降价30 元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1600 元． 变式8-1 长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80 元，销售价为120 元时，每天可售出 25 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 20 件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120 元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量， 增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1 元，那么平均可多售出2 件．设每件童装降价x 元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x 的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200 元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 【答案】(1)( ) 20 2x + ，( ) 40 x − (2)每件童装应该降价20 元 【分析】（1）根据“每件童装降价1 元，那么平均可多售出2 件”列出代数式即可； （2）根据总利润= 销售量单件利润，列出关于x 的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵如果每件童装降价1 元，那么平均可多售出2 件．设每件童装降价x 元， ∴采取降价措施后，每天可销售( ) 20 2x + 件，每件盈利( ) ( ) 120 80 40 x x − − = − 元 （2）解：由题意得( )( ) 20 2 40 1200 x x + − = ， 整理得 2 30 200 0 x x − + = ， 解得 1 10 x = ， 2 20 x = ， ∵要使优惠力度最大， ∴ 20 x = ， ∴每件童装应该降价20 元． 变式8-2 综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30 元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50 元时，每天可卖出100 个，在此基础上，售价每降低1 元，该玩偶每天可多卖出10 个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 (1)若该玩偶的售价定为40 元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元； (2)已知商店每天销售该玩偶的利润是2240 元，求该玩偶的售价； (3)商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500 元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 26 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1)200，2000 (2)该玩偶的售价为44 元 (3)商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500 元；理由： 设该玩偶的售价为x( ) 30 50 x 元，此时利润能达到2500 元， 由题意可得：( ) ( ) 30 10 50 100 2500 x x − − + = ， 整理得： 2 90 2050 0 x x − + = ， ∵ ( ) 2 Δ 90 4 1 2050 100 0 = − − = − ， ∴该一元二次方程没有实数根，∴ 商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500 元． 【分析】（1）先计算降价后增加的销量，再计算总利润即可； （2）设出售价，根据利润关系列一元二次方程求解即可； （3）设利润能达到2500 元，列方程后利用判别式判断方程是否有实根即可解答． 【详解】（1）解： ∵当售价定为50 元时，每天卖出100 个，售价每降1 元多卖10 个． ∴当售价为40 元时，降价金额为50 40 10 − = 元，增加玩偶的数量为：10 10 100 = 个，商店每天卖出该玩偶 的数量是100 100 200 + = 个， ∴每天的利润为( )( ) 100 100 40 30 2000 + − = 元． （2）解：设该玩偶的售价为x( ) 30 50 x 元， 由题意可得：( ) ( ) 30 10 50 100 2240 x x − − + = ， 整理得： 2 90 2024 0 x x − + = ，解得： 2 1 44, 46 x x = = ，均符合30 50 x ． 所以在利润相同的情况下，售价越低销量越高，越有利于尽快清空库存，故舍去售价较高的46 元. 答：该玩偶的售价为44 元． （3）解：略． 变式8-3 商场某种商品平均每天可销售40 件，每件盈利60 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降 价措施，经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2 件． (1)当每件盈利50元时，每天可销售多少件？ (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？ 27 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)商场日盈利能否达到3300元？ 【答案】(1)当每件盈利50元时，每天可销售60 件 (2)每件商品降价25 元时，商场日盈利可达到3150元 (3)商场日盈利不能达到3300元 【分析】（1）根据“某种商品平均每天可销售40 件，每件盈利60 元，每件商品每降价1元，商场平均每天可 多销售2 件”，计算出每件盈利50元时，每件商品降价的钱数，从而计算出商场每天可多销售的数量，从而 计算出每天销售的数量； （2）设每件商品降价x 元时，商场日盈利可达到3150元，则商场每天多销售2x 件，根据“某种商品平均每 天可销售40 件，每件盈利60 元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2 件”，列出关于x 的一元二 次方程，解之即可； （3）设每件商品降价y 元时，商场日盈利可达到3300元，则商场每天多销售2 y 件，根据“某种商品平均每 天可销售40 件，每件盈利60 元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2 件”，列出关于y 的一元二 次方程，结合判别式公式，判断该方程根的情况，即可得到答案． 【详解】（1）解：当每件盈利50元时，每件商品降价：60 50 10 − = （元）， 商场每天可多销售：10 2 20 = （件）， 每天销售：40 20 60 + = （件）， 答：当每件盈利50元时，每天可销售60 件， （2）解：设每件商品降价x 元时，商场日盈利可达到3150元， 则商场每天多销售2x 件， 根据题意得：( )( ) 60 40 2 3150 x x − + = ， 整理得： 2 40 375 0 x x − + = ， 解得： 1 15 x = ， 2 25 x = ， 为减少库存，应舍去15， 答：每件商品降价25 元时，商场日盈利可达到3150元； （3）解：设每件商品降价y 元时，商场日盈利可达到3300元，则商场每天多销售2 y 件， 根据题意得：( )( ) 60 40 2 3300 y y − + = ， 整理得： 2 40 450 0 y y − + = ， Δ 1600 1800 200 0 = − = − ， 28 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 该方程无实数根， 即商场日盈利不能达到3300元， 答：商场日盈利不能达到3300元． 题型九、一元二次方程的应用—规律问题 典例9 活动主题：三角点阵中前n 行的点数计算． 活动过程：如图是一个三角形点阵，从上往下数有无数多行． (1)探究点数与行数的规律 第一行有______个点，第二行有______个点，……，第n 行有______个点； (2)探究点数和与行数的规律 前4 行的点数和为______，前n 行的点数和为______； (3)根据规律解决问题 这个三角点阵中前n 行的点数之和能是300 吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理． 【答案】(1)1；2；n (2)10；( ) 1 2 n n + (3) 24 n = 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，对于找规律的题目首先应找出哪 些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． （1）根据三角形点阵数点数，再根据规律可得解； （2）前4 行共有( ) 1 2 3 4 + + + 个点；前n 行共有( ) 1 2 3 4 n + + + + + 个点，然后求它们的和即可； （3）由（2）得( ) 1 300 2 n n + = ，求n 的值即可． 【详解】（1）解：第一行有1 个点，第二行有2 个点，……，第n 行有n 个点； 故答案为：1；2；n； 29 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：前4 行的点数和为：1 2 3 4 10 + + + = ， 前n 行的点数和为： ( ) 1 1 2 3 4 2 n n n + + + + + + = ， 故答案为：10；( ) 1 2 n n + ； （3）解：由题意可得：( ) 1 300 2 n n + = ， 整理得 2 600 0 n n + − = ， ( )( ) 25 24 0 n n + − = ， ∴ 1 25 n = − ， 2 24 n = ， ∵n 为正整数， ∴ 24 n = ． 答：300 是前24 行的点数之和． 变式9-1 下面是一组按照一定的规律排列的图案，每个图案都由若干个“◎”和若干个“●”组成． (1)按照上面的排列规律，第5 个图案中有“◎”_____个，有“●”_____个； (2)按照上面的排列规律，在第n 个图案中，“◎”的个数比“●”的个数少29 个，试求n 的值． 【答案】(1)17，28 (2) n 的值为8 【分析】此题考查了图形类规律题，一元二次方程的应用，找到规律是解题的关键． （1）根据已知图形找到规律即可得到答案； （2）根据（1）中的规律得到在第n 个图案中，“◎”的个数为3 2 n+ ，“●”的个数为( )( ) 2 2 3 n n + + ，根据题意 列方程，解方程即可得到答案． 30 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）第1 个图案中有“◎”5 个，有“●” ( ) 3 3 1 1 2 3 6 2 + + + = 个； 第2 个图案中有“◎”5 3 1 8 + = 个，有“●” ( ) 4 4 1 1 2 3 4 10 2 + + + + = = 个； 第3 个图案中有“◎”5 3 2 11 + = 个，有“●” ( ) 5 5 1 1 2 3 4 5 15 2 + + + + + = 个； 即可得到第5 个图案中有“◎”5 3 4 17 + = 个，有“●” ( ) 7 7 1 1 2 3 4 5 6 7 28 2 + + + + + + + = = 个； 故答案为：17，28 （2）按照（1）中的排列规律，在第n 个图案中，“◎”的个数为 ( ) 5 3 1 3 2 n n + − = + 在第n 个图案中，“●”的个数为( )( ) 2 2 3 n n + + ， 根据题意可得，( )( ) ( ) 2 3 3 2 29 2 n n n + + − + = 解得， 8 n = 或 7 n = −（不合题意，舍去） ∴n 的值为8． 变式9-2【观察思考】 如图，春节期间，广场上用红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点）组成“中国结”图案． 【规律总结】 请用含n 的式子填空： （1）第n 个图案中黄梅花的盆数为 ； （2）第n 个图案中红梅花的盆数可表示为 ； 【问题解决】 （3）已知按照上述规律摆放的第n 个“中国结”图案中红梅花比黄梅花多68 盆，结合图案中红梅花和黄梅花 的排列方式及上述规律，求n 的值． 【答案】（1）2 4 n+ ；（2）( ) 1 n n + ；（3） 9 n = 【分析】本题考查了图形类规律探索，一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出 规律是解此题的关键． 31 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （1）观察图案中黄梅花的盆数，得出规律即可； （2）观察图案中红梅花的盆数，得出规律即可； （3）根据题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）第1 个图案中黄梅花的盆数可表示为6 2 0 + ， 第2 个图案中黄梅花的盆数可表示为6 2 1 + ， 第3 个图案中黄梅花的盆数可表示为6 2 2 + ， 第4 个图案中黄梅花的盆数可表示为6 2 3 + ， …； 第n 个图案中黄梅花的盆数可表示为 ( ) 6 2 1 4 2 n n + − = + ； 故答案为：2 4 n+ ； （2）第1 个图案中红梅花的盆数可表示为1 2 ， 第2 个图案中红梅花的盆数可表示为2 3 ， 第3 个图案中红梅花的盆数可表示为3 4 ， 第4 个图案中红梅花的盆数可表示为4 5 ， …； 第n 个图案中红梅花的盆数可表示为( ) 1 n n + ； 故答案为：( ) 1 n n + ； （3）根据题意得( ) 4 68 1 2n n n = + + + ， 整理得 2 72 0 n n − − = ，即( )( ) 8 9 0 n n + − = ， 解得 8 n = −（舍去）或 9 n = ． 变式9-3【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000 多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如 图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 32 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第n （n 为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________ 个；（用含n 的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第n 个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求n 的值． 【答案】（1） 1 n + ，2 3 n + ；（2）10． 【分析】本题考查了图形的变化类问题、一元二次方程的应用等知识点，根据各个图形中棋子的颗数发现 规律是解题的关键． （1）观察图形发现图形的规律，然后用规律写出第n 个图案中黑色棋子的个数与白色棋子的个数即可； （2）由题意可得( )( ) 1 2 3 253 n n + + = ，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）第1 个图案中白色棋子的个数为2，黑色棋子的个数为5； 第2 个图案中白色棋子的个数为3，黑色棋子的个数为7； 第3 个图案中白色棋子的个数为4，黑色棋子的个数为9； …… 第n 个图案中白色棋子的个数为 1 n + ，黑色棋子的个数为( ) 2 2 1 2 3 n n + −= + ． 故答案为： 1 n + ，2 3 n + ． （2）由题意得：第n 个图案中，黑棋和白棋的数量之积为( )( ) 1 2 3 n n + + ， 则( )( ) 1 2 3 253 n n + + = ，解得： 10 n = 或 25 2 − （不合题意舍弃）． 所以正整数n 的值为10． 题型十、一元二次方程的应用—动态几何问题 典例10 如图，在ABC 中， 90 B = ， 5 AB cm = ， 7 BC cm = ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 / cm s 的 33 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 / cm s 的速度移动．若P，Q 两点同时出发，当点Q 运动到 点C 时，P，Q 两点同时停止运动． 求： (1)几秒后，PBQ 的面积等于 2 4cm ？ (2) PBQ 的面积能否等于 2 7cm ？说明理由． 【答案】(1)当出发1 秒后，PBQ 的面积等于 2 4cm ； (2)解：不能， 理由：假设经过t 秒后，PBQ 的面积等于 2 7cm ，即1 7 2 BP BQ = ， ∴( ) 1 5 2 7 2 t t − = ， 整理得： 2 5 7 0 t t − + = ， 由于 ( ) 2 2 4 5 4 1 7 3 0 b ac − = − − = − ， 则方程没有实数根， ∴PBQ 的面积不能等于 2 7cm ． 【分析】（1）设出发t 秒时，则 cm AP t = ， ( ) 5 cm BP AB AP t = − = − ， 2 cm BQ t = ，根据 2 1 4cm 2 PBQ S BP BQ = = ， 解方程即可求解； （2）令 7 PQB S = ，根据三角形的面积公式列出方程，再根据 2 4 0 b ac − 得出方程没有实数根，从而得出 PBQ 的面积不能等于 2 7cm ． 【详解】（1）解：设出发 7 0 2 t t 秒时，则 cm AP t = ， ( ) 5 cm BP AB AP t = − = − ， 2 cm BQ t = ． ∴ ( ) 1 1 5 2 4 2 2 PBQ S BP BQ t t = = − = 即 2 5 4 t t − + = 解得： 1 t = 或 4 t = （不符合题意，舍去）， ∴当出发1 秒后，PBQ 的面积等于 2 4cm ； 34 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）略 变式10-1 如图：在直角坐标系中，长方形OABC中， 10 OA= ， 5 OC = ，点D 从点C 出发，沿射线CO方向 以每秒2 个单位长的速度移动，点E 从点O出发，沿射线OA方向以每秒1个单位长的速度运动，设点E 的 运动时间为t 秒． (1)如图1，当t 为何值时， CDE △ 的面积为1； (2)当CE 是 OEB 的角平分线时，求出此时点E 的坐标； (3)当t 为何值时， CDE △ 是等腰三角形？ 【答案】(1)1 (2)( ) 10 5 3,0 − 或( ) 10 5 3,0 + (3) 5 3 3 t = 或10 5 3 + 或10 5 3 − 或5 【分析】（1）用含t 的式子表示三角形底CD与高OE ，代入面积公式列方程，舍去负根即可求出t 的值； （2）利用长方形对边平行得到 BCE OEC = ，结合角平分线条件推导出 BCE BEC = ，得到 10 BE BC = = ，用t 表示AE ，在Rt ABE 中利用勾股定理列出关于t 的方程求解，即可得到点E 坐标； (3)先写出三点坐标，借助平面内两点距离公式写出CD、CE 、DE 三条边长代数式，分CD CE = 、CD DE = 、 CE DE = 三类情况列方程求解，舍去不符合实际运动意义的根，即可得到所有符合条件的t 的值． 【详解】（1）解：如图，由题意得 2 CD t = ，OE t = ， 2 1 1 2 2 2 CDE S CD OE t t t = = = ， 当 CDE △ 的面积为1时， 2 1 t = ，解得 1 t = 或 1 t = −（不合题意，舍去）， 35 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 即当 1 t = 时， CDE △ 的面积为1； （2）解：如图， ∵四边形OABC是长方形， ∴ 5 AB OC = = ， 10 BC OA = = ， 90 OAB = ， // OA BC ， ∴ BCE OEC = ， ∵CE 平分 OEB ， ∴ BEC OEC = ， ∴ BCE BEC = ， ∴ 10 BE BC = = ， ∵OE t = ， 10 OA= ， ∴ 10 AE OA OE t = − = −， 在Rt ABE 中， 2 2 2 AE AB BE + = ， ∴( ) 2 2 2 10 5 10 t − + = ， 解得 10 5 3 t = − 或 10 5 3 t = + ， 即 10 5 3 OE = − 或10 5 3 + ， ∴此时点E 的坐标为( ) 10 5 3,0 − 或( ) 10 5 3,0 + ； （3）解：由题意得 ( ) 0,5 C ， ( ) 0,5 2 D t − ， ( ) ,0 E t ， ∴ 2 CD t = ， ( ) ( ) 2 2 2 0 5 0 25 CE t t = − + − = + ， ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 5 2 0 5 2 DE t t t t = − + − − = + − ， CDE △ 是等腰三角形，可分三种情况讨论： ①CD CE = ，则 2 2 25 t t = + ， 解得 5 3 3 t = 或 5 3 3 t = − （不合题意，舍去）； ②CD DE = ，则 36 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( ) 2 2 2 5 2 t t t = + − ， 解得 10 5 3 t = + 或 10 5 3 t = − ； ③CE DE = ，则 ( ) 2 2 2 25 5 2 t t t + = + − ， 解得 5 t = 或 0 t = （不合题意，舍去）； 综上， 5 3 3 t = 或10 5 3 + 或10 5 3 − 或5． 变式10-2 如图A，B ，C ，D 为矩形的四个顶点， 16cm AB = ， 6cm AD = ，动点P ，Q 分别从点A，C 同 时出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 移动，一直到达B 点为止，点Q 以2cm/s的速度向D 点移动，当点P 到 达B 点时点Q 随之停止运动，设运动时间为st ． (1)t 为多少时，四边形PBCQ 的面积为 2 33cm ； (2)t 为多少时，点P 和点Q 的距离为10cm． (3) P ，Q 同时出发，直接写出t 为何值时，以P ，Q ，D 为顶点的三角形为等腰三角形． 【答案】(1)5； (2)t 为8 5 或24 5 ； (3) 6 59 32 5 t − = 或2 或2 43 16 7 + 或16 2 43 7 − ． 【分析】（1）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t 的一元一次方程，解之即可得出t 的值； （2）过点Q 作于点E ，则 6 QE cm = ，利用勾股定理，即可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出结论． （3）分PD PQ = 、PQ DQ = 、DP DQ = 三种情况讨论，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解： 16cm AB = ， 6cm AD = ，动点P ，Q 分别从点A，C 同时出发，点P 以3cm/s 的速度向 点B 移动，点Q 以2cm/s 的速度向点D 移动，设运动时间为s t ． 3 cm AP t = ， ( ) 16 3 cm BP t = − ， 2 cm CQ t = ， ( ) 16 2 cm DQ t = − ， 37 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 四边形PBCQ 的面积为 2 33cm ， ( ) 1 16 3 2 6 33 2 t t − + = ， 解得： 5 t = ， 当t 为5 时，四边形的面积为 2 33cm ； （2）解：如图1，A，B ，C ，D 为矩形的四个顶点，过点Q 作QE AB ⊥ 于点E ， 90 B C = = ， QE AB ⊥ ， 四边形BCQE 是矩形， 2 cm BE QC t = = ， 6cm QE BC AD = = = ， ( ) 16 3 2 16 5 cm PE t t t = − − = − ， 在Rt PEQ 中，由勾股定理得： 2 2 2 PE QE PQ + = ， 2 2 2 |16 5 | 6 10 t − + = ， 解得：1 8 5 t = ，2 24 5 t = ， 当t 为8 5 或24 5 时，点P 和点Q 的距离为10cm ； （3）解：当PD PQ = 时，过P 作PF CD ⊥ ，如图2， 四边形ABCD是矩形， 90 A ADC = = ， PF CD ⊥ ，PD PQ = ， ( ) ( ) 1 1 16 2 8 cm 2 2 DF FQ DQ t t = = = − = − ， 90 PFD = ， 四边形APFD是矩形， 38 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 AP DF = ， 3 8 t t = −， 解得： 2 t = ； 当PQ DQ = 时，过Q 作QE AB ⊥ 于E ，如图3， 同理可证：四边形BEQC 是矩形， 6 QE AD = = ， 2 cm BE QC t = = ， ( ) 16 2 cm DQ t = − ， 16 3 2 16 5 cm PE PB BE t t t = − = − − = − ， 在Rt PEQ 中，由勾股定理得： 2 2 2 2 PE EQ PQ QD + = = ， 2 2 2 |16 5 | 6 (16 2 ) t t − + = − ， 解得： 2 43 16 7 t + = 或 16 2 43 7 t − = ； 当DP DQ = 时，如图4， 在Rt APD 中，由勾股定理得： 2 2 2 2 AP AD PD QD + = = ， 2 2 2 (3 ) 6 (16 2 ) t t + = − ， 解得： 6 59 32 5 t − = 或 6 59 32 5 t − − = （不合题意，舍去）， 综上所述， 6 59 32 5 t − = 或2 或2 43 16 7 + 或16 2 43 7 − 时，以P ，Q ，D 为顶点的三角形为等腰三角形． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、矩形的性质以 及勾股定理，解题的关键是根据题意正确列出方程． 39 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式10-3 如图，在矩形ABCD中， 6cm AB = ， 12cm BC = ，点P 从点A 出发沿AB 以1cm/s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm/s的速度向点C 移动．设运动时间为t 秒． (1)当 2 t = 时， DPQ △ 的面积为____ 2 cm ； (2)在运动过程中 DPQ △ 的面积能否为 2 26cm ？如果能，求出t 的值，若不能，请说明理由； (3)运动过程中，当PQD 恰好是直角三角形时，求t 的值； 【答案】(1)28 (2)不能，理由见解析 (3)6 或3 2 【分析】本题考查矩形上的动点问题，勾股定理，一元二次方程的应用，用含t 的式子正确表示出相关线段 长度是解题的关键． （1）当 2 t = 时，计算出相关线段长度，根据 DPQ DCQ DAP PBQ S AB BC S S S = − − − 求解； （2）根据 26 DPQ DCQ DAP PBQ S AB BC S S S = − − − = 列关于t 的一元二次方程，利用判别式判断是否有实数 根即可； （3）当PQD 恰好是直角三角形时， 90 PQD = ，根据 2 2 2 PQ DQ DP + = 列关于t 的一元二次方程，解方 程即可． 【详解】（1）解：当 2 t = 时， 2 AP = ， 2 2 4 BQ = = ， 矩形ABCD中， 6 AB = ， 12 BC = ， 4 BP AB AP = − = ， 8 CQ BC BQ = − = ， DPQ DCQ DAP PBQ S AB BC S S S = − − − 1 1 1 6 12 6 8 2 12 4 4 2 2 2 = − − − ( ) 2 28 cm = ， 40 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：28； （2）解：在运动过程中 DPQ △ 的面积不能为 2 26cm ，理由如下： 根据题意得，AP t = ， 2 BQ t = ， 4 BP AB AP t = − = −， 12 2 CQ BC BQ t = − = − ， 当 26 DPQ DCQ DAP PBQ S AB BC S S S = − − − = 时， ( ) ( ) 1 1 1 6 12 6 12 2 12 6 2 26 2 2 2 t t t t − − − − − = 整理得 2 6 10 0 t t − + = ， ∵ 2 4 36 40 4 0 b ac = − = − = − ， ∴方程无实数根， ∴ DPQ △ 的面积不可能为 2 26cm ； （3）解：由题意知， ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 6 12 2 , 12 , PQ t t DQ t DP t = − + = + − = + ， 当PQD 恰好是直角三角形时， 90 PQD = ， ∴ 2 2 2 PQ DQ DP + = ， ∴( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 6 2 6 12 2 12 t t t t − + + + − = + ， 解得1 6 t = ，2 3 2 t = ， 即t 的值为6 或3 2 ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商的该品牌电动 汽车今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了2000辆．设每个 月销量的平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）． A． ( ) 2 1000 1 2000 x + = B． ( ) 1000 1 2000 x + = C． ( ) 1000 1 1000 2000 x + = + D． ( ) 2 1000 1 1000 2000 x + = + 41 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】D 【分析】根据平均增长率表示出3月份的销量，结合题目中3月份销量与1月份销量的关系列出方程，即可 得到正确选项． 【详解】设每个月销量的平均增长率为x ， 1 月份销量为1000辆， 2 月份销量为 ( ) 1000 1 x + 辆， 3 月份销量为 2 1000(1 )x + 辆， 又 3 月份销量比1月份增加2000辆，即3月份销量为1000 2000 + 辆， 可得方程 ( ) 2 1000 1 1000 2000 x + = + ． 2．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程 2 8 48 x x + = 为例，赵爽的《勾股圆方图 注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为 2 x 的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为 2x 的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为 2 48 4 2 64 + = ，则该方程的正数解为8 2 2 4 −= ．小美尝试 用此方法解关于x 的方程 2 12 0 x x c + + = ，构造如图2 所示的图形．若图2 中大正方形的面积为100，则方程 2 12 0 x x c + + = 的正数解是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为 2 x 的正方形，向外构造四个面积为3x 的矩形，得出四个小正方形 的边长为3，根据大正方形的面积为100得出大正方形的边长为10，进而求出方程 2 12 0 x x c + + = 的正数解即 可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为 2 x 的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为3x的矩 形， ∴四个小正方形的边长为3， ∵大正方形的面积为100， ∴大正方形的边长为100=10 ， 42 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴方程 2 12 0 x x c + + = 的正数解是10 2 3 4 −= ． 3．如图，在ABC 中， 90 ABC = ， 8cm AB = ， 6cm BC = ，动点P，Q 分别从点A，B 同时开始移动（移 动方向如图所示），点P 的速度为1cm/s ，点Q 的速度为2cm/s，点Q 移动到点C 后停止，点P 也随之停止 运动，若使PBQ 的面积为 2 15cm ，则点P 运动的时间是（ ） A．2s B．3s C．4s D．5s 【答案】B 【分析】根据题意可得 cm, 2 cm AP t BQ t = = ，则 ( ) 8 cm BP t = − ，根据三角形的面积公式可得方程 ( ) 1 2 8 15 2 t t − = ，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得， cm, 2 cm AP t BQ t = = ， ∴ ( ) 8 cm BP AB AP t = − = − ， ∵ 90 ABC = ，PBQ 的面积为 2 15cm ， ∴1 15 2 BP BQ = ， ∴ ( ) 1 2 8 15 2 t t − = ， 解得 3 t = 或 5 t = ， ∵6 3 2 = ， ∴ 3 t ， ∴ 3 t = ． 4．如图，这是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1 个点，第二行有2 个点，……，第n 行有 n 个点，前n 行的点数之和不能是以下哪个结果（ ） 43 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．28 B．44 C．55 D．66 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，求出前n 行的点数之和是解题的关键． 先求出前n 行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为28、44、55、66 时n 的值，再进行判断即可解 答． 【详解】解：由题意可得：前n 行的点数之和为 ( ) 1 1 2 3 1 2 n n n + + + + = + ， A．当前n 行的点数之和为28，则 ( ) 1 1 28 2 n n+ = ，解得： 7 n = 或8 −（不合题意舍去），故A 不符合题意； B．当前n 行的点数之和为44，则 ( ) 1 1 44 2 n n+ = ，解得： 1 353 2 n − = 都不是整数，不可能，故B 符合题 意； C．当前n 行的点数之和为55，则 ( ) 1 1 55 2 n n+ = ，解得： 10 n = 或11 − （不合题意舍去），故C 不符合题意； D．当前n 行的点数之和为66，则 ( ) 1 1 66 2 n n+ = ，解得： 11 n = 或12 − （不合题意舍去），故D 不符合题意． 故选：B． 5．如图，将边长为2cm 的正方形ABCD，沿其对角线AC 剪开．再把ABC 沿着AD方向平移，得到A B C ， 若两个三角形重叠部分的面积为 2 0.8cm ，则它移动的距离AA等于（ ） A．1 5 cm 5 + B．5 5 cm 5 − 或5 5 cm 5 + C．5 5 cm 5 − D．1cm 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正方形的性质，平移的性质等知识，设 cm AA x = ，则 ( ) 2 cm A D x = − ，先根据正方形的性质，平移的性质以及等腰三角形的判定等判断出ADE 是等腰直角三 角形， 得出 ( ) 2 cm DE A D x = = − ，进而求出 ( ) 2 2 cm CE x x = − − = ，然后根据“两个三角形重叠部分的面积 为 2 0.8cm ”列方程求解即可． 【详解】解：如图， 44 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， 设 cm AA x = ，则 ( ) 2 cm A D x = − ， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB CD ∥ ， 45 BAC = ， 90 D = ， ∵平移， ∴AB AB ∥ ， 45 BAC BAC = = ， ∴A B CD ∥ ， ∴ 45 DEA B A C = = ， ∴ADE 是等腰直角三角形， ∴ ( ) 2 cm DE A D x = = − ， ∴ ( ) 2 2 cm CE x x = − − = ， ∵两个三角形重叠部分的面积为 2 0.8cm ， ∴( ) 2 0.8 x x − = ， 解得 1 5 5 5 x = − ， 2 5 5 5 x = + ， 它移动的距离AA等于5 5 cm 5 − 或5 5 cm 5 + ， 故选：B． 6．生成式AI 被认为将为全球经济贡献约7 万亿美元的价值，我国率先加大投入研究开发AI 技术，预计两 年内对这项技术的投入从300 亿美元增长到507 亿美元．设两年内我国平均每年投入增长的百分率为x ，则 可列方程为_________． 【答案】 ( ) 2 300 1 507 x + = 【分析】设两年内我国平均每年投入增长的百分率为x ，根据预计两年内对这项技术的投入从300 亿美元增 长到507 亿美元，列出方程即可． 【详解】解：设两年内我国平均每年投入增长的百分率为x ，根据题意得： 45 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( ) 2 300 1 507 x + = ． 7．有一个人患了流感，两轮传染后共有121人患了流感，则平均每人传染_____人． 【答案】10 【分析】设每轮传染中平均每人传染了x 人，那么第一轮传染中有x 人被传染，第二轮则有( ) 1 x x + 人被传 染，已知“共有121人患了流感”，那么可列方程，然后解方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x 人， 根据题意可得( ) 2 1 121 x + = ， 解得 1 10 x = ， 2 12 x = − （舍去）， 平均每人传染10人． 8．如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉， 且花圃的面积是 2 3600m ，则小路的宽是_______． 【答案】5m 【分析】根据题意，设小路宽为m x ，则种植花草部分的面积等于长为(100 2 )m x − ，宽为(50 2 )m x − 的矩形的 面积，由此列式求解即可． 【详解】解：设小路宽为m x ，则种植花草部分的面积等于长为(100 2 )m x − ，宽为(50 2 )m x − 的矩形的面积， 依题意得：(100 2 )(50 2 ) 3600 x x − − = ， 解得： 1 2 5, 70 x x = = （不合题意，舍去）， 答：小路的宽是5m ． 9．如图，一块长16m、宽10m的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪， 石板小径的总面积占矩形地块面积的3 10 ，则石板小径的宽度为______ m ． 【答案】1 46 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，由题意得到空白部分的总面积占矩形地块 面积的7 10 ，设石板小径（阴影部分）的宽度为x ，列一元二次方程求解即可． 【详解】解：将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，如图所示： 石板小径的总面积占矩形地块面积的3 10 ， 空白部分的总面积占矩形地块面积的 3 7 1 10 10 − = ， 设石板小径（阴影部分）的宽度为x ，则 ( )( ) 7 10 2 16 2 16 10 10 x x − − = ， 2 13 12 0 x x − + = ， 则( )( ) 1 12 0 x x − − = ， 解得 1 x = 或 12 x = （12 10 ，舍去）， 石板小径的宽度为1m． 10．如图，在菱形ABCD中， 4 AB = ， 120 BCD = ，点E 是BC 边上一点，连接AE ，将ABE 沿AE 翻 折得到 AFE △ ；线段EF 所在直线与CD所在直线交于点G，当EF CD ⊥ 时，求线段BE的长______． 【答案】8 4 3 − 【分析】利用菱形的性质和翻折的性质，结合解30 度直角三角形和勾股定理设未知数列出方程，即可求得 BE的长度． 【详解】解：在菱形ABCD中，AB CD ，AB BC CD AD = = = ， ∵ 4 AB = ， 120 BCD = ， ∴ 180 60 ABC BCD = − = ， 4 AB BC = = ， ∴ 60 ABC BCG = = ， 47 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ABE 沿AE 翻折得到 AFE △ ， ∴ 4 AB AF = = ， 60 ABC AFE = = ，BE EF = ， ∵EF CD ⊥ ， ∴ 90 G = ， ∴ 90 30 CEG BCG = − = ， 如图，设BC 与AF 交点为H， ∴ 90 EHF CEG AFE = + = ，即AF BC ⊥ ， 在Rt AHB △ 中， 90 30 BAH ABC = − = ， ∴ 1 2 2 BH AB = = ， 设BE EF x = = ，则 2 EH x = −， 在Rt EHF 中， 30 HEF = ， ∴ 1 1 2 2 HF EF x = = ， ∵ 2 2 2 EH HF EF + = ， ∴( ) 2 2 2 1 2 2 x x x − + = ， 解得： 1 8 4 3 x = + ， 2 8 4 3 x = − ， ∵8 4 3 2 + ， ∴ 8 4 3 x = + 舍去， ∴ 8 4 3 BE = − ． 11．某商场销售一种商品，每件进价40 元．经市场调查发现，当售价定为50 元时，每天可售出100 件； 售价每提高1 元，日销售量减少2 件． (1)设售价为x( ) 50 x 元，日销售量为y 件，求y 与x 的函数关系式； (2)若商场希望日利润达到1800 元，则售价应定为多少元？ 48 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1) 200 2 y x = − （ 50 x ，且x 为整数） (2)售价定为70 元 【分析】（1）根据当售价定为50 元时，每天可售出100 件；售价每提高1 元，日销售量减少2 件，得出 200 2 y x = − （ 50 x ，且x 为整数），即可作答． （2）分别表示出单件利润为( ) 40 x− 元，销售量为( ) 200 2x − 件，再结合利润=单件利润×销售量进行列式计 算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ( ) 100 2 50 200 2 y x x = − − = − （ 50 x ，且x 为整数）； （2）解：依题意，( )( ) 40 200 2 1800 x x − − = 整理得： 2 2 280 8000 1800 x x − + − = ∴( ) 2 70 0 x − = 解得 1 2 70 x x = = ∴售价定为70 元． 12．小西家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN ，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂 场ABCD，已知木栏总长为20 米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2 米的门，门不消耗木栏，设AB 长为 x 米． (1)如图①，当AD MN 时， ①AD =___________米（用含x 的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为56平方米，求AB 的长． (2)如图②，当 AD MN 时，养蜂场的面积是否可以达到70 平方米？请说明理由． 【答案】(1)①( ) 22 2x − ；②7 米 (2)养蜂场的面积不能达到70 平方米．理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到70 平方米， 49 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵AB 长为x 米， ∴ 20 2 10 2 16 2 x BC x + + − = = −， 依题意，得：( ) 16 70 x x − = ， 整理得： 2 16 70 0 x x − + = ， ∵ ( ) 2 16 4 1 70 24 0 = − − = − ， ∴原方程没有实数根， ∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到70 平方米． 【分析】（1）①利用“ AD的长= BC 的长= 木栏总长+ 门的宽度2 AB − 的长”，可用含x 的代数式表示出AD 的长； ②根据“围成的养蜂场面积为56平方米”可列出关于x 的一元二次方程，解之可得出x 的值，再结合AD MN ， 即可确定结论； （2）假设养蜂场的面积可以达到70 平方米，由AB 长为x 米，可得出BC 长为( ) 16 x − 米，根据“围成的养蜂 场面积为70 平方米”可列出关于x 的一元二次方程，由根的判别式 24 0 = − ，可得出原方程没有实数根， 进而可得出假设不正确． 【详解】（1）解：①依题意，得： ( ) 20 2 2 22 2 AD BC x x = = + − = − （米）； ②依题意，得：( ) 22 2 56 x x − = ， 解得： 1 4 x = ， 2 7 x = ， 当 4 x = 时，22 2 22 2 4 14 10 x − = −= ，不符合题意，舍去； 当 7 x = 时，22 2 22 2 7 8 10 x − = −= ，符合题意， ∴AB 的长为7 米； （2）略． 13．综合与探究：剪纸艺术中的数学问题 剪纸是我国传统民间艺术，某同学有一张长为40cm 、宽为30cm的长方形卡纸． 操作过程： 为制作花边图案，该同学在长方形卡纸的四个角各截去一个相同大小的小正方形，剩余中间的长方形剪纸 图案区域（阴影部分）面积为 2 816cm ． 50 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 探究问题： (1)设剪去的小正方形的边长为cm x ，请用含x 的代数式表示剩余图案阴影区域的长和宽；长为 _______________cm，宽为_______________cm． (2)求出剪去的小正方形的边长； (3)若剩余图案阴影区域需要再裁剪出边长为6cm的小正方形贴纸，直接写出最多可以裁剪多少个． 【答案】(1)( ) 40 2x − ，( ) 30 2x − (2)3cm (3)20 个 【分析】（1）剩余图案阴影区域的长和宽为长方形卡纸的长和宽减去2 个小正方形的边长，据此列代数式； （2）根据长方形面积建立一元二次方程求解即可； （3）先求出剩余图案阴影区域的长和宽，再求解长和宽上可裁剪的个数即可． 【详解】（1）解：设剪去的小正方形的边长为cm x ，则长为( ) 40 2 cm x − ，宽为( ) 30 2 cm x − ； （2）解：由题意得，( )( ) 40 2 30 2 816 x x − − = ， 整理得 2 35 96 0 x x − + = 解得 1 2 3, 32 x x = = ， 当 32 x = 时，长和宽均小于0，不符合题意，舍去， ∴小正方形的边长为3cm ； （3）解：当小正方形的边长为3cm 时，剩余图案阴影区域的长为40 2 3 34cm −= ，宽为30 2 3 24cm −= ， ∵ 17 34 6 3 = ，取整数5；24 6 4 = ， ∴5 4 20 = ∴最多可以裁剪20 个． 14．如图，矩形ABCD中， 6cm AB = ， 8cm BC = ，点P 从A开始沿AB 边向点B 以1cm / s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/ s 的速度移动，P ，Q 两点分别从A，B 同时出发． 51 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，PBQ 的面积等于 2 8cm ？ ②PBQ 的面积能否等于 2 10cm ？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点P 到达B 后不停止，立即以原速沿BA返回；点Q 到达C 后不停止，继续以原速沿射线BC 方向运动， 直到点P 第一次回到A时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒PBQ 的面积等于 2 6cm ？ 【答案】(1)①经过2 秒或4 秒后，PBQ 的面积等于 2 8cm ；②PBQ 的面积不能等于 2 10cm ； (2)当t 为( ) 3 3 秒或( ) 3 15 + 秒，PBQ 的面积等于 2 6cm ． 【分析】（1）①设运动时间为x 秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x 秒，PBQ 的面积等于 2 10cm ，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x 秒，则 cm AP x = ， 2 cm BQ x = ， 又 6cm AB = ， ∴ ( ) 6 cm BP x = − ， 根据题意，得( ) 1 6 2 8 2 x x − = ， 解得 1 2 x = ， 2 4 x = ． ∴经过2 秒或4 秒后，PBQ 的面积等于 2 8cm ； ②设运动时间为x 秒，PBQ 的面积等于 2 10cm ， 根据题意，得( ) 1 6 2 10 2 x x − = ， 整理得 2 6 10 0 x x + = − ， ∴ ( ) 2 Δ 6 4 10 4 0 = − − = − ， ∴方程无解， ∴PBQ 的面积不能等于 2 10cm ； 52 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：设运动的时间为t 秒， ①当0 6 t 时， 6 , 2 PB t BQ t = − = ， 由题意，得( ) 1 6 2 6 2 t t − = ， 解得：1 3 3 t = + ，2 3 3 t = − ； ②当6 12 t 时， 6, 2 PB t BQ t = − = ， 由题意，得 ( ) 1 2 6 6 2 t t − = ， 解得：1 3 15 t = + ，2 3 15 t = − （舍去）， 综上所述，当t 为( ) 3 3 秒或( ) 3 15 + 秒时，PBQ 的面积等于 2 6cm ． 15．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以 2 2 35 0 x x + − = 为例，构造方法如下： 首先将方程 2 2 35 0 x x + − = 变形为( ) 2 35 x x + = ，然后画四个长为 2 x+ ，宽为x 的矩形，按如图1 所示的方 式拼成一个“空心”大正方形，则图1 中大正方形的面积可表示为( ) 2 2 x x + + ，还可表示为四个矩形与一个边 长为2 的小正方形面积之和，即 ( ) 2 4 2 2 4 35 4 x x + + = + ．因此，可得新方程( ) 2 2 144 x x + + = ．因为x 表示 边长，所以2 2 12 x+ = ，即 5 x = ．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． (1)【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程 ( ) 2 4 21 0 0 x x x − − = 的正确构图是 ．(从序号①②③中选择) (2)【类比迁移】小颖根据以上解法解方程 2 2 3 2 0 x x + − = ，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为 2 3 1 0 2 x x + −= ，即x ( ) 1 = ； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ． 53 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)【拓展应用】一般地，对于形如 2x ax b + = 的一元二次方程可以构造图2 来解．已知图2 是由四个面积为 3 的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数a = ，b = ，求得方程的正根为 ． 【答案】(1)③ (2) 3 2 x + ， 2 2 3 3 4 1 2 2 x x + + = + ，1 2 (3) 2 ，3，1 或3 【分析】（1）根据题意， ( ) 2 4 21 0 0 x x x − − = 变形为( ) ( ) 4 21 0 x x x − = ，根据图示分别算出每个图形中长 方形的面积，进行比较即可解答； （2）根据材料提示，进行计算即可解答； （3）先根据材料提示分解为( ) x x a b + = ，图形结合分析，即可得 2 3, 4 b a = = ，分类讨论，由此即可解答． 【详解】（1）解： ( ) 2 4 21 0 0 x x x − − = ， ( ) 4 21 x x − = ， 将( ) 4 21 x x − = 看作一个长为x ，宽为 4 x −，面积为21 的矩形， 很容易观察出构图是③． （2）解： 2 2 3 2 0 x x + − = ， 第一步：将原方程变为 2 3 1 0 2 x x + −= ，即 3 1 2 x x + = ； 第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程： 2 2 3 3 4 1 2 2 x x + + = + ，解得原方程的一个根为 1 2 x = ； 故答案为： 3 2 x + ， 2 2 3 3 4 1 2 2 x x + + = + ，1 2 ． （3）解：由条件可知 2x ax b + = ， ( ) x x a b + = ， 四个小矩形的面积各为b ，大正方形的面积是( ) 2 x x a + + ，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方 形的面积，即 2 4 b a + ， 由条件可知 2 3, 4 b a = = ，解得 3, 2 b a = = ， 54 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 当 2 a = 时，( ) 2 2 4 3 4 x x + + = + ， 2 2 4 x + = ， 1 x = ，方程的一个正根为1； 当 2 a = −时，( ) 2 2 4 3 4 x x + − = + ， 2 2 4 x − = ， 3 x = ，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1 或3， 故答案为2 ，3，1 或3．
