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专题11 共顶点的等腰三角形“手拉手”模型的三类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、“手拉手”模型之共顶点双等腰三角形模型
题型二、“手拉手”模型之共顶点双等边三角形模型
题型三、“手拉手”模型之共顶点双等腰直角三角形模型
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
- 题型特征：两个等腰三角形共顶点，顶角相等，且顶点相连（通常一大一小），形成旋转全等结构。
- 解题方法：识别公共顶点与对应等腰边；利用SAS 证明“左手拉左手、右手拉右手”形成的两个三角形
全等；由全等导出对应边、角相等；常结合八字倒角求夹角。
- 易错提醒：找错对应边（手拉手应连接的是不同等腰三角形的腰）；忽略公共顶点处顶角相等这一前提；
结论中夹角与顶角关系误判（一般夹角等于顶角或其补角）；旋转方向分析不清。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、“手拉手”模型之共顶点双等腰三角形模型
典例1（25-26 七年级下·陕西汉中·期末）【思路梳理】
(1)等腰
和等腰
的位置如图1 所示，分别连接
、
并延长交于点
，
，
，
．
①若
，求
的长；
目 录
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②求
的度数．
【问题解决】
(2)某种植基地内有一个形状为等腰
的种植田（周围空地可利用），
，
米，现计划对
该种植田进行扩建，在
右侧找一点
，连接
、
、
，沿
、
、
设置隔离栏（宽度忽
略不计），在
区域内种植土豆，
，过点
作
于点
，在
上取一点
，使
得
，连接
，已知
米，请你帮助该种植基地计算隔离栏的总长度（即
的周长）．
【答案】(1)①
；②
(2)
米
【分析】（1）①由
得到
，证明
，即可得到
；
②由等边对等角得到
，由全等三角形的性质得到
，从
而根据三角形外角的性质与角的和差求出
即可；
（2）由垂直平分线的性质得到
，因此
，由
，得到
，从而
根据三角形的内角和定理得到
，即可证明
，因此
，从而可推
出
，进而可解答．
【详解】（1）解：①因为
，
所以
，
所以
，
∵在
和
中，
，
所以
，
所以
．
②因为
，
，
所以
，
因为
，
所以
，
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因为
，
．
（2）解：因为
，
，
所以
是线段
的垂直平分线，
所以
，
所以
，
所以
．
因为
，
所以
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
，
即
，
因为在
和
中，
∴
，
所以
，
因为
米，
，
所以
米，
所以隔离栏的总长度为
（米）．
题型模版
条件：△ABC 和△DCE 均为等腰三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
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结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF 平分∠AFD。
变式1-1（25-26 七年级下·山东济南·期末）已知在
中，
，在
中，
，
，点
、
、
在同一条直线上，
与
相交于点
，连接
．
(1)如图1，当
时，求
的度数；
(2)如图2，当
时，完成下列问题：
①判断
与
的数量关系和位置关系；
②我们已经知道等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形也成立．若
，
，求线段
的长．
【答案】(1)
(2)解：①
，
，理由如下：
∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
∴
，
∴
，
，
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，
，
，
，
，
，
，
综上：
，
②
【分析】（1）证明
，进一步证明
即可；
（2）①证明
，进一步利用全等三角形的性质证明即可；②由
，可得
，证明
，可得
，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
∴
，
∴
，
又∵
，
，
，
∴
；
（2）证明：①略
②
，
，
，
，
，
，
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，
，
，
，
，
，
．
变式1-2（25-26 七年级下·四川成都·期末）如图，
与
为等腰三角形，
，
，
，
为线段
上一个动点，
与
相交于点
．
(1)如图1，求证：
平分
；
(2)如图2，在
延长线上取一点
，当
时，线段
与
有什么位置关系？并说明理由；
(3)如图3，若
，且
的面积为
，求
的长．
【答案】(1)证明：∵
，
∴
，即
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
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即
平分
．
(2)解：
，理由如下：
如图所示，在
上截取
，使得
，连接
，在
上取点
，连接
，使得
，
，
，
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
又∵
，
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∴
，
∴
．
(3)
【分析】（1）利用“相等的角减去相同角的两角仍相等”证明模型证明
，进而证明
，得到对应角相等证明结果；
（2）在
上截取
，使得
，连接
，在
上取点
，连接
，
使得
，证明
，利用等腰三角形的性质与全等三角形的性质以及等量代换证明
，最后根据等量代换证得
，从而得到答案；
（3）先根据等腰三角形的性质与全等三角形的性质等量代换后得到
，利用
算出
，再利用三角形内角和为
和等量代换得出
，取线段
垂直平分线的
交点
，连接
，过点
作
交
于点
，通过角度的换算得到
是等腰直角三角形，再证得
，根据平行线间垂线段相等，利用同底等高得到
的面积，从而求解．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：由（1）知，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴设
，则
，
∵
，
∴
，解得
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
，
如图所示，取线段
垂直平分线的交点
，连接
，过点
作
交
于点
，
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，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
中，
，
∴
，则
，
又∵
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
又∵
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∵
，
∴
；
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
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在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
或
，
∵线段的长度为非负数，
∴
．
题型二、“手拉手”模型之共顶点双等边三角形模型
典例2（25-26 八年级上·山东德州·期末）如图，分别以
ABC
的边AB ，AC 向外作等边三角形ABD和等边
三角形ACE ，线段BE 与CD相交于点O，连接OA．
(1)求证：BE
DC
=
；
(2)求
BOD
的度数；
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(3)求证：OA平分
DOE
．
【答案】(1)见解析
(2)60
(3)见解析
【分析】本题考查了等边三角形性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的
综合运用．
（1）根据等边三角形性质得出AB
AD
=
，AE
AC
=
，
60
BAD
BDA
DBA
CAE
=
=
=
=
，求出
BAE
DAC
=
．根据SAS证
ABE
ADC
△
≌△
即可．
（2）根据全等求出
ADC
ABE
=
，在DOB
中根据三角形的内角和定理和
60
ADB
DBA
=
=
即可求出
答案．
（3）过点A分别作AM
BE
⊥
，AN
DC
⊥
，垂足为点M ，N ．根据三角形的面积公式求出AN
AM
=
，根据
角平分线性质求出即可．
【详解】（1）证明：
ABD
和
ACE
△
都是等边三角形，
AB
AD
=
，AE
AC
=
，
60
BAD
BDA
DBA
CAE
=
=
=
=
，
BAC
CAE
BAC
BAD
+
=
+
，
即
BAE
DAC
=
，
在ABE
和
ADC
△
中，
AB
AD
BAE
DAC
AE
AC
=
=
=
，
(SAS)
ABE
ADC
△
≌△
，
BE
DC
=
．
（2）解：由（1）知：
ABE
ADC
△
≌△
，
ADC
ABE
=
，
60
ADC
BDO
ABE
BDO
BDA
+
=
+
=
=
，
在BOD
中，
180
BOD
BDO
DBA
ABE
=
−
−
−
180
(
)
DBA
ADC
BDO
=
−
−
+
180
60
60
=
−
−
60
=
．
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（3）证明：过点A分别作AM
BE
⊥
，AN
DC
⊥
，垂足为点M ，N ．
由（1）知：
ABE
ADC
△
≌△
，
ABE
ADC
S
S
=
，
1
1
2
2
BE AM
DC AN
=
AM
AN
=
，
点A在
DOE
的平分线上，
即OA平分
DOE
．
题型模版
条件：如图，△ABC 和△DCE 均为等边三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF 平分∠BFD。
变式2-1（25-26 八年级下·江西吉安·阶段检测）如图1，点C 为线段AB 上一点．ACM
，
CBN
△
是等边三
角形，线段AN ，MC 交于点E ，线段BM ，CN 交于点F ，连接EF ．
(1)求证：AN
BM
=
；
(2)求证：CEF
为等边三角形；
(3)将ACM
绕点C 按逆时针方向旋转90，其他条件不变，如图2 ．试判断第（1）、（2）两小题的结论是否
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仍然成立（不要求证明）．
【答案】(1)证明：
ACM
△
，
CBN
△
是等边三角形，
AC
MC
=
，BC
NC
=
，
60
ACM
=
，
60
NCB
=
，
ACM
MCN
NCB
MCN
+
=
+
，
即
ACN
MCB
=
，
在
CAN
△
和
CMB
△
中，
AC
MC
ACN
MCB
NC
BC
=
=
=
，
(
)
SAS
CAN
CMB
△
≌△
，
AN
BM
=
．
(2)证明：
CAN
CMB
≌
△
△
，
CAN
CMB
=
，
又
180
180
60
60
60
MCF
ACM
NCB
=
−
−
=
−
−
=
，
MCF
ACE
=
．
在CAE
和CMF
中，
CAE
CMF
CA
CM
ACE
MCF
=
=
=
，
(
)
ASA
CAE
CMF
△
≌△
，
CE
CF
=
，
CEF
为等腰三角形．
又
60
ECF =
，
CEF
为等边三角形．
(3)结论（1）成立，结论（2）不成立
【分析】（1）根据“SAS”证明CAN
CMB
≌
即可；
（2）先证明
(
)
CAE
CMF ASA
≌
，得出CE
CF
=
，再根据有一个角为60的等腰三角形为等边三角形，即可
证明结论；
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（3）证明
(
)
SAS
CAN
CMB
≌
，得出AN
BM
=
，即可证明结论（1）成立；根据旋转得出
90
ACB
=
，从
而得出
90
FCE
，说明CEF
不可能是等边三角形，证明结论（2）不成立．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：结论（1）成立，结论（2）不成立；
ACM
△
，
CBN
△
是等边三角形，
AC
MC
=
，BC
NC
=
，
60
ACM
NCB
=
=
，
ACM
ACB
NCB
ACB
+
=
+
，即
MCB
ACN
=
．
在
CAN
△
和
CMB
△
中，
AC
MC
ACN
MCB
NC
BC
=
=
=
，
(
)
CAN
CMB SAS
≌
，
AN
BM
=
．
如图，AN 交MC 的延长线于点E ，BM 交NC 的延长线于点F ，
将ACM
绕点C 按逆时针方向旋转90，
90
ACB
=
，
此时
90
FCE
ACB
=
，
CEF
不可能为等边三角形．
变式2-2（25-26 八年级上·辽宁抚顺·期末）问题情境：在等边
ABC
中，E 为边BC 中线 AD上的一动点，
连接BE ，在BE 的下方作等边
BEF
．
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(1)如图1， 当BD
DE
=
时， 连接CF ．
ABE
①
的度数为 ；
②猜想CF 与AC 的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，连接DF ，BF
DF
+
是否有最小值，若有请求出此时
DBF
的度数；若没有请说明理由．
【答案】(1)①15；②CF
AC
⊥
，理由见解析
(2) BF
DF
+
有最小值，30
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、轴对称的性
质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）①根据等边三角形的性质可得
60
=
=
ABC
EBF
，
90
ADB
=
，再根据等腰直角三角形的性质可
得
45
EBD
BED
=
=
，即可求解；
②根据等边三角形的性质可得
60 ,
ACB
ABC
EBF
BE
BF
AB
BC
=
=
=
=
=
，
，再由三线合一得出
30
BAD
=
，根据全等三角形的判定和性质得出
(
)
SAS
ABE
CBF
≌
，
30
BCF
BAD
=
=
，即可求解；
（2）连接CF ,可得
30
BCF
BAD
=
=
，作点D 关于CF 的对称点G，连接CG 、FG 、BG 、DG ，则DF
FG
=
，
当B、F、G 三点共线，BF
DF
+
的最小值为BG ，且BG
CG
⊥
时，BG 最小，再根据等边三角形的性质求
解即可．
【详解】（1）解：①∵
ABC
、
BEF
△
是等边三角形，
∴
60
=
=
ABC
EBF
，
∵AD是BC 边上的中线，
∴AD
BC
⊥
，即
90
ADB
=
，
∵BD
DE
=
，
∴
45
EBD
BED
=
=
，
∴
60
45
15
ABE
=
−
=
，
故答案为：15；
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②CF
AC
⊥
，理由如下:
∵ABC
是等边三角形，AD是边BC 上的中线，
∴
1
1
60
30
2
2
BAD
BAC
=
=
=
，
∵
,
ABC
BEF
是等边三角形，
∴
60 ,
ACB
ABC
EBF
BE
BF
AB
BC
=
=
=
=
=
，
,
∵
60 ,
60
ABE
EBD
CBF
EBD
+
=
+
=
，
∴
ABE
CBF
=
,
∴
(
)
SAS
ABE
CBF
≌
，
∴
30
BCF
BAD
=
=
,
∴
30
60
90
ACF
BCF
ACB
=
+
=
+
=
,
∴CF
AC
⊥
；
（2）解：连接CF ，
∵
ABC
是等边三角形，
∴
60
BAC
=
，
∵AD是BC 边上的中线，
ABE
CBF
△
≌△
，
∴
30
BCF
BAD
=
=
，
如图，作点D 关于CF 的对称点G，连接CG 、FG 、BG 、DG ，则DF
FG
=
，
∴当B、F、G 三点共线，BF
DF
BF
FG
+
=
+
的最小值为BG ，且BG
CG
⊥
时，BG 最小，
∵轴对称，
∴
2
60
DCG
BCF
=
=
，CD
CG
=
，
∴
DCG
△
是等边三角形，
∴
=
=
DG
DC
DB，
∴
60
CGD
CDG
=
=
，
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∵BG
CG
⊥
，即
90
CGB
=
，
∴
90
60
30
DBF
=
−
=
．
题型三、“手拉手”模型之共顶点双等腰直角三角形模型
典例3（25-26 八年级上·福建莆田·阶段检测）
和
都是等腰直角三角形，
．
(1)如图1，点
在
上，则
满足怎样的数量关系？请说明理由．
(2)如图2，点
在
内部，点
在
外部，连接
，则
满足怎样的数量关系和位置关
系？请说明理由．
【答案】(1)
，理由如下：
∵
和
都是等腰直角三角形，
，
∴
，
，
∴
，
∴
；
(2)
，
，理由如下：
延长
，分别交
、
于F、G，
∵
和
都是等腰直角三角形，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
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，
∴
，即
．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到
，
，然后求解即可；
（2）延长
，分别交
、
于F、G，证明
，得到
，
，
进而求解即可．
【详解】（1）略
（2）略
题型模版
条件：如图，△ABC 和△DCE 均为等腰直角三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN 平分∠BND。
变式3-1（25-26 七年级下·广东佛山·期中）解决问题
(1)问题发现
如图1，
和
均为等边三角形，点
在同一直线上，连接
，求
的度数；
(2)拓展探究
①如图2，
和
均为等腰直角三角形，
，点A、D、E 在
同一直线上，连接
．求
的度数；
②如图2，记
为
面积，
为
面积，设
，求关于n 的数量关系式．
【答案】(1)
(2)①
；②
．
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【分析】（1）先证明
，那么
，根据全等三角形证明
，
求出
，得出
，从而得到
；
（2）证明
，得出
，进一步得到
；②设
的面积为
，
的面积为
，由
，可得
与
的面积相等，推出
，进而得到
为
的面积，再根据
，
均为等腰直角三角形，且
，
，即可得出结
论
．
【详解】（1）解：∵
和
均为等边三角形，
∴
，
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
．
∴
．
∵
为等边三角形，
∴
．
∵点A，D，E 在同一直线上，
∴
，
∴
．
∴
．
（2）解：①∵
和
均为等腰直角三角形，
∴
，
．
∴
．
在
和
中，
，
∴
．
∴
．
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∵
为等腰直角三角形，
∴
．
∵点A，D，E 在同一直线上，
∴
，
∴
．
∴
；
②设
的面积为
，
的面积为
，
∵
，
∴
与
的面积相等，
∵
为
面积，
为
面积，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
为
的面积，
，
均为等腰直角三角形，且
，
∴
，
∴
，即
．
变式3-2（25-26 八年级下·山东枣庄·期末）综合与实践．
【初步探究】某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形
和等腰
直角三角形
，按如图1 的方式摆放，
，随后保持
不动，将
绕点C 按
逆时针方向旋转
（0°＜
＜90°），连接
，
，延长
交
于点F，交
于点G，连接
．该
数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
(1)如图2，当
时：
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①则
；
②判断
与
的位置关系，并说明理由．
(2)【深入探究】如图3，当点E，F 重合时，探究
之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①
；②
理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
(2)
，
理由如下：
和
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【分析】（1）①根据
和等腰直角三角形的性质即可求出
②根据已知条件判定
，得到
，再根据直角三角形两锐角互余和对顶角的性质即可证明
；
（2）仍是判定
，则
，再根据等腰直角三角形性质得到
，
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代换即可．
【详解】（1）
解：①
是等腰直角三角形，
，
，
，即
．
②略
（2）略
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．（25-26 七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在
，
中，
，
，
，点
，
，
三点在同一直线上，连接
．
(1)
与
全等吗？为什么？
(2)试猜想
，
有何关系？并说明理由．
【答案】(1)全等，理由见解析
(2)
，
，理由见解析
【分析】（1）已知
，
，由
可得
，利用“
”即可证
明；
（2）由（1）知
，可得
，
，通过角之间的等量代换，得出
即可得到
．
【详解】（1）解：全等，理由见解析：
，
，
，
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在
与
中，
，
；
（2）解：
，
，理由如下：
由（1）知，
，
，
，
∵
，
，
∴
，
即
，
，
，
∴
，
则
．
2．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）如图，在
和
中，
，
，
，
和
交于点
，连接
．
(1)求证：
；
(2)求证：
平分
；
(3)若
平分
，判断
和
的数量关系，并证明．
【答案】(1)证明：∵
，
∴
， 即
，
在
和
中，
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，
．
(2)证明：如图，作
于
，作
于
．
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
平分
．
(3)
，证明如下：
如图，设
与
交于点
，
设
，
∵
平分
，
∴
，
．
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
又∵
，
∴
，
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∴
．
∵
平分
，
∴
．
∴
，
∴
，
∴
．
∴
．
【分析】（1）先证明
，再根据
证明结论即可；
（2）作
于
，作
于
，由（1）可得
，
，然后根据角平分线的性
质即可证明；
（3）设
与
交于点
，
，由角平分线的定义、全等三角形的性质、等边对等角可得
，
，
，由（2）可得
，证明
，即可得出结论．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
3．（25-26 七年级下·上海宝山·期末）如图，已知：
、
都是等边三角形，连接
分别是线段
的中点．
(1)求证：
；
(2)求证：
是等边三角形．
【答案】(1)证明：∵
、
都是等边三角形，
∴
，
∴
，即
，
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在
和
中，
，
∴
；
(2)证明：∵
，
∴
，
，
∵
分别是线段
的中点，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
是等边三角形．
【分析】（1）首先结合等边三角形的性质证明
，进一步可得
，然后利用“
”证明
即可；
（2）首先利用“
”证明
，由全等三角形的性质可得
，进
而证明
，即可证明结论．
【详解】（1）略
（2）略
4．（25-26 八年级下·安徽宿州·阶段检测）如图1，
三点共线，
和
均为等边三角形．
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(1)求证：
；
(2)如图2，
与
交于点
，
与
交于点
，连接
．
①求证：
；
②猜想
与
的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
证明：
和
均为等边三角形，
．
．
在
和
中，
，
，
；
(2)
①证明：由（1）可知
，
，
又
．
，
；
②猜想：
，理由：
，
，
是等边三角形，
，
，
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．
【分析】
（）由等边三角形性质可得
，
，
，得到
，
然后证明
，再由全等三角形性质即可得证；
（
）
证明
，再由全等三角形性质即可得证；
先证明
是等边三角形，所以
，则
，然后通过平行线的判定方法即可求解．
【详解】（1）略
（2）①略
②略
5．（25-26 八年级上·山东聊城·阶段检测）三角形的探究与实践
(1)问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，
则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，
和
是顶
角相等的等腰三角形，即
，
，且
，分别连接
，
．求证：
；
(2)如图2，
和
都是等腰三角形，即
，
，且
，
，
，
在
同一条直线上．请判断线段
与
存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由．
(3)问题解决：如图3，若
和
均为等腰直角三角形，且
，
，
，
点
，
，
在同一条直线上，
为
中
边上的高，连接
，若
，
，请直接写出
四边形
的面积．
【答案】(1)证明：
，
即
，
在
和
中
，
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．
(2)
，
；理由如下：
，
，即
，
在
和
中
，
，
，
，
是等腰三角形且
，
，
，
，
．
(3)6
【分析】（1）根据三角形全等的判定和性质即可解答．
（2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得
，利用全等的性质可得
，
，又因为
是等腰直角三角形，可得
，从而可知
，
即
；
（3）由
是等腰直角三角形，
为
中
边上的高，可证得
，根据（1）
问中，“手拉手”全等的证明，可得
，从而得
，即可求出
的长，最后求出四边形
的面积．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：由（1）的方法得，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
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，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴
，
∴四边形
的面积为：
．
6．（25-26 七年级下·山东济南·期中）《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别
于其他学科，最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象．形成一些基
本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题．
【建立模型】
(1)如图1，
为等边三角形，点
在
的延长线上，在
的同侧以
为边构造等边三角形
，
连接
，
交于点
．则
，判定依据为 ，
，并直接写出
的度数 ．
【应用模型】
(2)如图2，点
为等边
内一点，将线段
绕点
逆时针旋转60°得到线段
，连接
，若
三点共线，求证：
平分
；
(3)如图3，在Rt
中，
，
，点
是
外一点，连接
，
，
．当
5，
时，请直接写出四边形
的面积．
【答案】(1)
，SAS，AD，
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(2)见解析
(3)12.5
【分析】(1) 观察图形可知
，结合已知条件可以确定全等的判定方法，然后利用全等三角形
的对应角相等，再通过进一步推导可以求出
；
(2) 首先结合第 (1) 问的图形结构证明
，然后利用全等的性质和已知条件确定
的度
数，进而证明
即可；
(3) 依据前 2 问的解题经验，构造类似的图形结构，通过作辅助线把四边形的面积进行转化而求解．
【详解】（1）解：如图1，设
，
交于点
．
，
为等边三角形，
，
，
，
，即
，
，
，
，
又
，
；
（2）证明：
线段
绕点
逆时针旋转
得到
，
，
，
．
为等边三角形，
，
，
，即
．
在
和
中，
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，
．
三点共线，
，
，
，
，
，即
平分
；
（3）解：答案12.5．理由：
如图 2，延长
到
，使
．
，
，
在四边形
中，
．
，
．
在
和
中，
．
，
，
，
．
，
，
．
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7．（25-26 八年级下·江西九江·期中）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在
相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰
长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．
(1)【模型探究】如图1，若
和
均为等边三角形，
，
，
，
，点A、D、E 在同一条直线上，连接
，
则
__________；线段
__________；则
的度数为__________；
(2)【探究证明】如图2，已知
，分别以
为直角边向
两侧作等腰直角三角形
和等腰
直角三角形
，其中
，
，
，连接
，线段
和
交于点
O．请判断线段
和
的关系，并说明理由；
(3)【模型应用】如图3，在
中，
，
，将线段
绕着点C 逆时针旋转
至线段
，连接
，求
的面积．
【答案】(1)
，
，
(2)
解：
，
，理由如下：
如图，设
交
于点
，
∵
和
是等腰直角三角形，
，
∴
，即
，
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在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
又∵
，
∴
，
∴
，
．
(3)
【分析】（1）由
和
均为等边三角形，可得
，
，
，可得
，即可得
，则
，
，可得
；
（2）同理证明
，，根据全等三角形的性质解答即可；
（3）过点
作
交
于E 点，连接
，根据旋转的性质和等腰直角三角形性质，可得
，
从而证明出
，
，最后利用三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵
和
均为等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
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∴
．
（2）略
（3）解：如图，过点
作
交
于E 点，连接
，
∵
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
，
，
由旋转的性质可知，
，
，
∴
，
∴
，即
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
8．（25-26 七年级下·河南郑州·期中）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同
的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形．
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【模型初现】
(1)如图1，
与
都是等腰三角形，其中
，
，
，则
，即
，所以
，以上判定全等的依据是 ．
A．
B．
C．
D．
兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”
【模型运用】
(2)如图2，已知
、
、
三点共线，分别以
、
为边向外作等边
和等边
，
、
交
于点
，证明：
，并求出
的度数；
【模型深化】
(3)如图3，
、
是等腰直角三角形，
，
，
，连接
、
，
探究
、
的数量关系与位置关系，并给出证明；
【拓展延伸】
(4)如图4，
是等腰直角三角形，其中
，
，
，连接
，请直接写出
、
、
之间的数量关系．
【答案】(1)C
(2)
证明：∵
和
都是等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，即
，
在
和
中，
，
∴
，
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∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
；
(3)
，且
，
证明：∵
，
∴
，即
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
如图，设
交
于点
，
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∵
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
(4)
【分析】（1）通过角的和差运算得到两边的夹角相等，结合已知的两组等边，可用
判定三角形全等；
（2）先利用等边三角形的边、角性质证
得
，再通过角的等量代换结合三角
形内角和求出
；
（3）由角的和差得夹角相等证
得
，再通过角的转化证明两线夹角为
，得
出
；
（4）利用“同角的余角相等”推出
，再代入
的内角和定理得到三个角的数量关系．
【详解】（1）解：
，
，
，符合“两边及其夹角对应相等”的
全等判
定定理；
（2）略
（3）略
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（4）解：
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
