文档内容
专题13.4 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形之三大类型
【考点导航】
目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【类型一 共顶点的等边三角形】....................................................................................................................1
【类型二 共顶点的等腰直角三角形】..........................................................................................................11
【类型三 共顶点的一般等腰三角形】..........................................................................................................22
【典型例题】
【类型一 共顶点的等边三角形】
例题：（2023秋·四川凉山·八年级统考期末）如图，C为线段 上一动点（不与点A，E重合），在
同侧分别作等边 和等边 ， 与 交于点O， 与 交于点P， 与 交于点Q，连结
．
求证：(1) ；(2) 为等边三角形；
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）由等边三角形的性质可知 ，从而可求出
，即可利用“ ”证明 ，即得出 ；
（2）由等边三角形的性质可知 ，AC=BC，即可求证 ．再根据
可得出 ，利用“ ”证明 ，据此即可证明结论成立．
【详解】（1）证明： 和 都是等边三角形，
，
，
，
∴ ，
，
；
（2）证明： 和 是等边三角形，
，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∴
∴ ．
∴ ，又∵ ，
∴ 为等边三角形．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定条件是解题
关键．
【变式训练】
1．（2023春·山东菏泽·七年级校联考阶段练习）如图，点C为线段 上一点， ， 是等边
三角形，直线 、 交于点E，直线 、 交于点F．则以下结论：① ；② ；
③ ；④ ．正确的有 ．
【答案】①②③
【分析】利用 可以证明 ，即①正确；根据 得到 ，再由
， ，即可证明 ，得到 ，即②正确；根据 ，
，推出 是等边三角形，则 ，即可得证 ，即③正确，不能
证明④，即④错误．
【详解】解：①∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即①正确；
②∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即②正确；
③∵ ， ，
∴ 是等边三角形，∴ ，
∴ ，即③正确；
④假设 正确，
∵ ，即 ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即点M和点E重合，显然错误，
故④错误，
故正确的有：①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关
键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
2．（2022春·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图 ， 、 、 三点在一直线上，分别以 、 为边
在 同侧作等边 和等边 ， 交 于点 ， 交 于点 ．
(1) 吗？ 吗？请说明理由．
(2)如图2，若 、 、 不在同一直线上，那么这时上述结论成立吗？若成立请证明．
(3)在图1中，若连接 、 ，你还能得到什么结论？（写出结论，不需证明）
【答案】(1) ， ，理由见解析；
(2) ，但 ，理由见解析；
(3) ，理由见解析．
【分析】（1）易证 ，可得 ， ，可证 ，可得
；（2） 根据全等三角形的判定及性质可证明 ，利用反正法证明 即可；
（3）根据等边三角形判定及性质即可得解．
【详解】（1）解∶ ， ，理由如下：
∵ 、 都是等边三角形
∴ ， ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
（2）解： ，但 ．理由如下：
①∴ 和 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
∴ ．
∴ ， ．
②假设 ，由①可知 ，∴ ，
又
则 与 有两边和一边的对角对应相等．
∴ 或 （不合题意，舍去）
∴ ，
∴ ，
∴ ，
所以 、 、 在同一条直线上，这与题意 、 、 不在同一直线上矛盾，
∴ ．
（3）解： ，理由如下：
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；证明线段不相等是比较独特的，要注
意掌握．
3．（2023春·江西九江·八年级校考期中）如图1，在等边 中，点 ， 分别在 ， 边上，
．
(1)若将图1中的 沿射线 的方向平移到 的位置，如图2，则 的度数为______；
(2)请在图2中找出一对全等的三角形，并说明理由．
(3)若将图，2中的 绕点 逆时针旋转到图3所示的位置，其余条件不变．
①（2）中的结论还成立吗?（不需说明理由）②延长 交 于点 ，则 的度数为______．
【答案】(1)
(2) ，理由见详解
(3)①成立②
【分析】（1）首先证明 为等边三角形，由平移的性质可得 为等边三角形，且 在同
一直线上，根据 即可获得答案；
（2）根据“ ”证明 即可；
（3）①根据“ ”证明 ，即（2）中的结论还成立；②由全等三角形的性质可得
，易知 ，结合 ，由三角形内角和定理可求得 ．
【详解】（1）解：∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
由题意可知， 沿射线 的方向平移到 的位置，
∴ 为等边三角形，且 在同一直线上，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ；
（2） ，理由如下：
∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ；
（3）①（2）中的结论还成立．
∵ 与 均为等边三角形，∴ ， ， ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴在 中，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平移的性质、三角形内角
和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
4．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）已知线段 于点 ，点 在直线 上，分别以 、 为边
作等边三角形 和等边三角形 ，直线 交直线 于点 ．
(1)当点 在线段 上时，如图①，直接写出 ， ， 之间的关系 ．
(2)当点 在线段 的延长线上时，如图②，当点 在线段 的延长线上时，如图③，请分别写出线段
、 、 之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明．
(3)在（1）、（2）的条件下，若 ， ，请直接写出 的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3) 或6【分析】（1）如图①中，设 交 于 ．首先证明 ，推出 ，再证明
即可解决问题；
（2）如图②中，结论： ．图③中，结论： ；证明方法类似；
（3）分类图①，图③两种情形，分别求解即可．
【详解】（1）结论： ．
理由：如图①中，设 交 于 ．
， 都是等边三角形，
， ， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图②中，结论： ．图③中，结论： ；如图②中， ，
， ，
，
，
，
，
∵ ，
，
，
．
如图③中，同法可证 ；
（3）①如图①中， ，
设 ，
， ，
，
．
②如图③中，设 ，则 ，
， ，
，
，
，综上所述， 或6．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键
是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【类型二 共顶点的等腰直角三角形】
例题：（2023春·湖北黄冈·八年级统考期中）如图， 和 都是等腰直角三角形，
．
(1)【猜想】：如图1，点 在 上，点 在 上，线段 与 的数量关系是________，位置关系是
________．
(2)【探究】：把 绕点 旋转到如图2的位置，连接 ， ，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)【拓展】：把 绕点 在平面内自由旋转，若 ， ，当 ， ， 三点在同一直线
上时，则 的长是________．
【答案】(1) ，
(2)成立，理由见解析
(3) 或
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出 ， ，再作差，得出 ，再用
，即可得出结论；
（2）先由旋转的旋转得出 ，进而判断出 ，得出 ，， 与 交于M， 与 交于N，利用全等的性质和对顶角相等进而得出
，即可得出结论；
（3）分两种情况，①当点E在线段 上时，如图3，过点C作 于M，求出
，再用勾股定理求出 ，利用线段的加减即可得出结论；
②当点D在线段 上时，如图4，过点C作 于N，求出 ，再由勾股定理求
出根据勾股定理得， ，利用线段的加减即可得出结论．
【详解】（1） 和 都是等腰直角三角形，
， ，
，
，
点 在 上，点 在 上，且 ，
，
故： ， ；
（2）成立；
如图2， 与 交于M， 与 交于N，
由题意可知：
，
，
，
在 与 中：，
， ，
又 ， ，
在 中，
，
，
，
所以结论成立；
（3）①当点E在线段 上时，如图3，过点C作 于M，
是等腰直角三角形，且 ，
，
，
，
在 中， ，
，
；
②当点D在线段 上时，如图4，过点C作 于N，是等腰直角三角形，且 ，
，
，
，
在 中， ，
，
，
综上， 的长为 或 ，
故答案为: 或 ．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的旋转，全等三角形的判定和
性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·广东佛山·八年级佛山六中校考阶段练习）（1）问题发现：如图1， 和 均为等
边三角形，点 ， ， 在同一直线上，连接 ．填空：
① 的度数为__________；
②线段 ， 之间的数量关系为__________．
（2）拓展探究：如图2， 和 均为等腰直角三角形， ，点 ， ， 在
同一直线上， 为 中 边上的高，连接 ，请判断 的度数并证明： ．
【答案】（1）① ；② ；（2） ，证明见解析
【分析】
（1）①根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明 ，根据全等三角形的性质计算
即可；②根据全等三角形的性质解答；
（2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定证明 ，根据全等三角形的性质计算即
可．
【详解】
解：（1）① 和 均为等边三角形，
， ， ，
，即 ，
在 和 中，
，
，
，
，
故答案为： ；
② ，
证明： ，
，
故答案为： ；
（2） ， ，
证明： 是等腰直角三角形， 是中线，
，在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握等边
三角形的性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键．
2．（2022秋·甘肃陇南·八年级校考期中）已知 和 都是等腰直角三角形，
，点 是直线 上的一动点（点 不与点 重合），连接 ．
(1)在图1中，当点 在边 上时，求证： ；
(2)在图2中，当点 在边 的延长线上时，结论 是否还成立？若不成立，请猜想
之间存在的数量关系，并说明理由；
(3)在图3中，当点 在边 的反向延长线上时，求出 之问存在的数共关系及直线 与直
线 的位置关系．
【答案】(1)见解析
(2)结论 不成立，猜想 ，理由见解析
(3) ，理由见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的概念得到 ， ，证明 ，利用 定理
证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，进而证明结论；
（2）证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，进而证明结论；（3）根据题意补全图形，仿照（2）的证明方法证明结论．
【详解】（1）证明： 和 是等腰直角三角形，
， ，
，
，即 ．
在 和 中，
，
，
，
；
（2）解：结论 不成立，猜想 ，
理由如下： ，
，即 ．
在 和 中，
，
，
，
；
（3）解：结论： ，
理由如下： ，
，即 ．
在 和 中，
，
，
，．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理和
性质定理是解题的关键．
3．（2023·山东枣庄·统考二模）感知：如图①， 和△ADE都是等腰直角三角形，
，点B在线段 上，点C在线段 上，我们很容易得到 ，不需证明．
(1)探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α（ ），连接 和 ，此时 是否依然
成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．
(2)应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在 的延长线上，连接 ．求：
① 的度数；
②若 ， ，则线段 的长是多少？
【答案】(1) 成立，证明见解析
(2)①45° ②
【分析】（1）只需要利用 证明 即可证明 ；
（2）①由等腰直角三角形的性质得到 ，再证明 即可得到
；②先由勾股定理得到 ，由全等三角形的性质得到
，则 ， ；则 ．
【详解】（1）解： 成立，证明如下：
∵ 和△ADE都是等腰直角三角形，
∴ ，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
∴ ；（2）解：①∵ 和△ADE都是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ；
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟知全等三角形
的性质与判定条件是解题的关键．
4．（2023春·湖南常德·九年级统考期中）已知： 和 均为等腰直角三角形，
， ， ，按图1放置，使点 在 上，取 的中点 ，连接
．
(1)观察发现：图1中 的数量关系是_____，位置关系是_____；
(2)探究证明：将图1中的 绕点 顺时针转动 ，再连接 ，取 的中点 （如图2），问（1）
中的结论是否仍然成立？请证明你的结论；
(3)拓展延伸：将图1中的 绕点 顺时针转动任意角度（转动角度在 到 之间），再连接 的
中点 （如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论．
【答案】(1) ，(2)仍然成立，证明见解析
(3)仍然成立，证明见解析
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知 ，根据 ，
，得到 ， ．
（2）延长 交 于点 ，先证明 ，得到 ， ，根据 ，
，得到 ，又因为 ，所以 且 ．
（3）延长 至点 ，使 ，连接 ， ， ，可证明 ，得到 ，
，继而求得 ，得到 ， ，所以 ，
可得 且 ．
【详解】（1）解： ， ， ，
， ，
为 的中点，
，
，
， ，
，
即： ，
．
故答案为： ，相互垂直；
（2）仍然成立．
证明：如图2，延长 交 于点 ，
，
，
，又 ， ，
，
， ，
， ，
，
，
又 ，
且 ．
（3）仍然成立．证明：如图3，延长 至点 ，使 ，连接 、 、 ，
在 与 中，
，
，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
又 ，
，
在 和 中，，
， ，
，
为等腰直角三角形，
且 ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定．要掌握等腰三角形和全等三角形
的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．
【类型三 共顶点的一般等腰三角形】
例题：（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）如图， 与 都是等腰三角形，
相交于点 ．
(1)试说明： ；
(2)求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由“ ”可证 ，可得 ；
（2）根据全等三角形的性质可得 ，再利用三角形内角和定理计算 ．【详解】（1）解：证明： ，
，
在 和 中，
，
，
；
（2） ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，证明三角形全等是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知 中， ．分别以 、 为腰在
左侧、 右侧作等腰三角形 ．等腰三角形 ，连接 、 ．
(1)如图1，当 时，
① 、 的形状是____________；
②求证： ．
(2)若 ，
①如图2，当 时， 是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；
②如图3，当 时， 是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．
【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析
(2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析
【分析】（1）①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质可得 ， ， ，证明 ，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）①证明 ，根据全等三角形的性质即可得出结论；②根据已知可得 与 不全
等，即可得出结论．
【详解】（1）①∵ 是等腰三角形， 是等腰三角形，
∴ 、 是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
②证明：∵ 、 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在△BAE与△DAC中，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
（2）①当 ， 时，成立．
理由：如图，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
②当 ， 时，不成立．
理由：如图，
∵ ，∴ ， ，
∴ 与 不全等，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握
全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2.（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在 中，F为 中点，分别以 、 为底边向外作等腰
三角形 和等腰三角形 ，记 ， ．
(1)若 ，如图，求证： ， ；
(2)当 ， 不等于 时，若 ，
①在图中补全图形；
②试判断 ， 的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析② ，见解析
【分析】（1）延长 到点H，使得 ，连接 、 、 ，证明 ，得到
， ，再证 ，得到 ， ，由
，且 ，即可得到结论；
（2）①图中补全图形见解析；
②延长 到点H，使得 ，连接 、 、 ，先证 ，则 ，，再证 ，则 ，进一步推导出结论即可．
【详解】（1）证明：延长 到点H，使得 ，连接 、 、 ，如下图，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 和 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵
，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ， ；
（2）解：①根据题意补全图形如下：
② ，理由如下：
延长 到点H，使得 ，连接 、 、 ，如下图，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∵ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，∴ ，
∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的
性质与判定，基本作图的应用，线段垂直平分线的性质，关键是倍长中线构造全等三角形．
