文档文本内容
1 / 9
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
专题11 共顶点的等腰三角形“手拉手”模型的三类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、“手拉手”模型之共顶点双等腰三角形模型
题型二、“手拉手”模型之共顶点双等边三角形模型
题型三、“手拉手”模型之共顶点双等腰直角三角形模型
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
- 题型特征：两个等腰三角形共顶点，顶角相等，且顶点相连（通常一大一小），形成旋转全等结构。
- 解题方法：识别公共顶点与对应等腰边；利用SAS 证明“左手拉左手、右手拉右手”形成的两个三角形
全等；由全等导出对应边、角相等；常结合八字倒角求夹角。
- 易错提醒：找错对应边（手拉手应连接的是不同等腰三角形的腰）；忽略公共顶点处顶角相等这一前提；
结论中夹角与顶角关系误判（一般夹角等于顶角或其补角）；旋转方向分析不清。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、“手拉手”模型之共顶点双等腰三角形模型
典例1（25-26 七年级下·陕西汉中·期末）【思路梳理】
(1)等腰
和等腰
的位置如图1 所示，分别连接
、
并延长交于点
，
，
，
．
①若
，求
的长；
目 录
2 / 9
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
②求
的度数．
【问题解决】
(2)某种植基地内有一个形状为等腰
的种植田（周围空地可利用），
，
米，现计划对
该种植田进行扩建，在
右侧找一点
，连接
、
、
，沿
、
、
设置隔离栏（宽度忽
略不计），在
区域内种植土豆，
，过点
作
于点
，在
上取一点
，使
得
，连接
，已知
米，请你帮助该种植基地计算隔离栏的总长度（即
的周长）．
题型模版
条件：△ABC 和△DCE 均为等腰三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF 平分∠AFD。
变式1-1（25-26 七年级下·山东济南·期末）已知在
中，
，在
中，
，
，点
、
、
在同一条直线上，
与
相交于点
，连接
．
(1)如图1，当
时，求
的度数；
(2)如图2，当
时，完成下列问题：
①判断
与
的数量关系和位置关系；
②我们已经知道等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形也成立．若
，
，求线段
的长．
变式1-2（25-26 七年级下·四川成都·期末）如图，
与
为等腰三角形，
，
，
，
为线段
上一个动点，
与
相交于点
．
3 / 9
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)如图1，求证：
平分
；
(2)如图2，在
延长线上取一点
，当
时，线段
与
有什么位置关系？并说明理由；
(3)如图3，若
，且
的面积为
，求
的长．
题型二、“手拉手”模型之共顶点双等边三角形模型
典例2（25-26 八年级上·山东德州·期末）如图，分别以
ABC
的边AB ，AC 向外作等边三角形ABD和等边
三角形ACE ，线段BE 与CD相交于点O，连接OA．
(1)求证：BE
DC
=
；
(2)求
BOD
的度数；
(3)求证：OA平分
DOE
．
题型模版
条件：如图，△ABC 和△DCE 均为等边三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF 平分∠BFD。
变式2-1（25-26 八年级下·江西吉安·阶段检测）如图1，点C 为线段AB 上一点．ACM
，
CBN
△
是等边三
角形，线段AN ，MC 交于点E ，线段BM ，CN 交于点F ，连接EF ．
4 / 9
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)求证：AN
BM
=
；
(2)求证：CEF
为等边三角形；
(3)将ACM
绕点C 按逆时针方向旋转90，其他条件不变，如图2 ．试判断第（1）、（2）两小题的结论是否
仍然成立（不要求证明）．
变式2-2（25-26 八年级上·辽宁抚顺·期末）问题情境：在等边
ABC
中，E 为边BC 中线 AD上的一动点，
连接BE ，在BE 的下方作等边
BEF
．
(1)如图1， 当BD
DE
=
时， 连接CF ．
ABE
①
的度数为 ；
②猜想CF 与AC 的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，连接DF ，BF
DF
+
是否有最小值，若有请求出此时
DBF
的度数；若没有请说明理由．
题型三、“手拉手”模型之共顶点双等腰直角三角形模型
典例3（25-26 八年级上·福建莆田·阶段检测）
和
都是等腰直角三角形，
．
(1)如图1，点
在
上，则
满足怎样的数量关系？请说明理由．
(2)如图2，点
在
内部，点
在
外部，连接
，则
满足怎样的数量关系和位置关
5 / 9
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
系？请说明理由．
题型模版
条件：如图，△ABC 和△DCE 均为等腰直角三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN 平分∠BND。
变式3-1（25-26 七年级下·广东佛山·期中）解决问题
(1)问题发现
如图1，
和
均为等边三角形，点
在同一直线上，连接
，求
的度数；
(2)拓展探究
①如图2，
和
均为等腰直角三角形，
，点A、D、E 在
同一直线上，连接
．求
的度数；
②如图2，记
为
面积，
为
面积，设
，求关于n 的数量关系式．
变式3-2（25-26 八年级下·山东枣庄·期末）综合与实践．
【初步探究】某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形
和等腰
直角三角形
，按如图1 的方式摆放，
，随后保持
不动，将
绕点C 按
逆时针方向旋转
（0°＜
＜90°），连接
，
，延长
交
于点F，交
于点G，连接
．该
数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
6 / 9
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)如图2，当
时：
①则
；
②判断
与
的位置关系，并说明理由．
(2)【深入探究】如图3，当点E，F 重合时，探究
之间的数量关系，并说明理由．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．（25-26 七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在
，
中，
，
，
，点
，
，
三点在同一直线上，连接
．
(1)
与
全等吗？为什么？
(2)试猜想
，
有何关系？并说明理由．
2．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）如图，在
和
中，
，
，
，
和
交于点
，连接
．
(1)求证：
；
(2)求证：
平分
；
(3)若
平分
，判断
和
的数量关系，并证明．
3．（25-26 七年级下·上海宝山·期末）如图，已知：
、
都是等边三角形，连接
分别是线段
的中点．
7 / 9
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)求证：
；
(2)求证：
是等边三角形．
4．（25-26 八年级下·安徽宿州·阶段检测）如图1，
三点共线，
和
均为等边三角形．
(1)求证：
；
(2)如图2，
与
交于点
，
与
交于点
，连接
．
①求证：
；
②猜想
与
的位置关系，并说明理由．
5．（25-26 八年级上·山东聊城·阶段检测）三角形的探究与实践
(1)问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，
则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，
和
是顶
角相等的等腰三角形，即
，
，且
，分别连接
，
．求证：
；
(2)如图2，
和
都是等腰三角形，即
，
，且
，
，
，
在
同一条直线上．请判断线段
与
存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由．
(3)问题解决：如图3，若
和
均为等腰直角三角形，且
，
，
，
8 / 9
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
点
，
，
在同一条直线上，
为
中
边上的高，连接
，若
，
，请直接写出
四边形
的面积．
6．（25-26 七年级下·山东济南·期中）《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别
于其他学科，最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象．形成一些基
本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题．
【建立模型】
(1)如图1，
为等边三角形，点
在
的延长线上，在
的同侧以
为边构造等边三角形
，
连接
，
交于点
．则
，判定依据为 ，
，并直接写出
的度数 ．
【应用模型】
(2)如图2，点
为等边
内一点，将线段
绕点
逆时针旋转60°得到线段
，连接
，若
三点共线，求证：
平分
；
(3)如图3，在Rt
中，
，
，点
是
外一点，连接
，
，
．当
5，
时，请直接写出四边形
的面积．
7．（25-26 八年级下·江西九江·期中）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在
相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰
长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．
(1)【模型探究】如图1，若
和
均为等边三角形，
，
，
，
，点A、D、E 在同一条直线上，连接
，
9 / 9
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
则
__________；线段
__________；则
的度数为__________；
(2)【探究证明】如图2，已知
，分别以
为直角边向
两侧作等腰直角三角形
和等腰
直角三角形
，其中
，
，
，连接
，线段
和
交于点
O．请判断线段
和
的关系，并说明理由；
(3)【模型应用】如图3，在
中，
，
，将线段
绕着点C 逆时针旋转
至线段
，连接
，求
的面积．
8．（25-26 七年级下·河南郑州·期中）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同
的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形．
【模型初现】
(1)如图1，
与
都是等腰三角形，其中
，
，
，则
，即
，所以
，以上判定全等的依据是 ．
A．
B．
C．
D．
兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”
【模型运用】
(2)如图2，已知
、
、
三点共线，分别以
、
为边向外作等边
和等边
，
、
交
于点
，证明：
，并求出
的度数；
【模型深化】
(3)如图3，
、
是等腰直角三角形，
，
，
，连接
、
，
探究
、
的数量关系与位置关系，并给出证明；
【拓展延伸】
(4)如图4，
是等腰直角三角形，其中
，
，
，连接
，请直接写出
、
、
之间的数量关系．
