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专题11 概率的应用
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、用频率估计概率的应用
题型2、利用概率计算随机事件平均发生的次数
题型3、用概率探究保险问题
题型4、用概率知识解决商业抽奖问题
题型5、用概率知识解决比赛问题
题型6、用概率知识解决游戏公平性问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
概率的应用问题通常把实际情境抽象为随机试验，关键是区分“频率估计概率”“期望次数”“决策比较”
等模型；用频率估计概率时需关注试验次数足够大；计算平均发生次数可利用 n·P(A)；保险、抽奖、比赛、
公平性等问题要先建立概率模型，再通过比较概率或期望作出解释；注意把文字条件转化为事件关系，并
用树状图、列表法或频率分布辅助分析，最后回归实际意义．
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、用频率估计概率的应用
典例1 （24-25 九年级下·湖北十堰·自主招生）某花店每天以每枝5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，
然后以每枝10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进16 枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n 为整数）的
函数解析式；
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(2)花店记录了100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
（Ⅰ）假设花店在这100 天内每天购进16 枝玫瑰花，求这100 天的日利润（单位：元）的平均数和方差；
（Ⅱ）若花店计划一天购进16 枝或17 枝玫瑰花，你认为应购进16 枝还是17 枝？以100 天记录的各需求
量的频率作为各需求量发生的概率，请从日利润的平均数的角度说明理由．
【答案】(1)
(2)（Ⅰ）平均数76，方差44；（Ⅱ）应购进17 枝，理由见解析
【分析】本题考查算术平均数和方差，概率公式，掌握算术平均数和方差的计算方法以及用频率估计简单
随机事件发生的概率是正确解答的关键．
（1）根据当天的利润与每天需求量之间的变化关系进行解答即可；
（2）（Ⅰ）求出日需量为14、15、16、17、18、19、20 时的每一天的利润，再求出100 天的日利润的平均
数和方差即可；（Ⅱ）先求出当一天购进 17 枝玫瑰花时，利润y 关于当天需求量n 的函数解析式，再求出
当一天购进 17 枝玫瑰花时的日利润，即可求解．
【详解】（1）解：当
时，16 枝玫瑰花全部卖出，每枝利润为
（元），
所以利润为
；
当
时，卖出n 枝，每枝利润5 元，剩下的
枝损失成本每枝5 元，
所以利润为
；
综上，利润y 关于当天需求量n 的函数解析式为
；
（2）解：（Ⅰ）当
时，
元，共10 天总利润为
（元）；
当
时，
元，共20 天总利润为
（元）；
当
时，
元，共16 天总利润为
（元）；
当
时，
元，共16 天总利润为
（元）；
当
时，
元，共15 天总利润为
（元）；
当
时，
元，共13 天总利润为
（元）；
当
时，
元，共10 天总利润为
（元）；
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这100 天的总利润为
（元），
∴日利润的平均数为
（元）；
日利润的方差为
；
（Ⅱ）解：应购进17 枝，理由如下：
当
时，17 枝玫瑰花全部卖出，每枝利润为
（元），
所以利润为
；
当
时，卖出n 枝，每枝利润5 元，剩下的
枝损失成本每枝5 元，
所以利润为
；
综上，当一天购进 17 枝玫瑰花时，利润y 关于当天需求量n 的函数解析式为
当
时，
元，共10 天总利润为
（元）；
当
时，
元，共20 天总利润为
（元）；
当
时，
元，共16 天总利润为
（元）；
当
时，
元，共16 天总利润为
（元）；
当
时，
元，共15 天总利润为
（元）；
当
时，
元，共13 天总利润为
（元）；
当
时，
元，共10 天总利润为
（元）；
这100 天的总利润为
（元），
∴当一天购进 17 枝玫瑰花时，日利润的平均数为
（元）；
∵当一天购进 16 枝玫瑰花时，日利润的平均数为76 元，且
，
∴应购进17 枝．
题型模版
1.特征：通过大量重复试验得到的频率来估计事件发生的概率，常用于统计推断．
2.方法：计算事件发生的频率 m/n；试验次数越大，频率越稳定，可近似作为概率；注意区分频率与概率
的概念．
变式1-1 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶6 元，未售出的
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酸奶以每瓶2 元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为
了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x(℃)及当天售出（不含降价处理）的
酸奶瓶数），等数据统计如下：
x（℃)
15≤x<20
20≤x<25
25≤x<30
30≤x≤35
天数
6
10
11
3
y（瓶）
270
330
360
420
以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率．
(1)试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360 瓶的概率；
(2)根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100 的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进
货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？
【答案】（1）0.9；（2）
瓶
【分析】（1）根据题意中表格数据即可得，今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360
瓶的概率；
（2）根据题意可得，该超市当天售出一瓶酸奶可获利2 元，降价处理一瓶亏2 元，设今年六月销售这种酸
奶每天的进货量为n 瓶，平均每天的利润为W 元，再分别计算当n 为100 的整数倍时W 的值，进而可得
n=300 时，W 的值达到最大，即今年六月份这种酸奶一天的进货量为300 瓶时，平均每天销售这种酸奶的
利润最大．
【详解】解：（1）依题意可知，
今年六月份每月售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于
瓶的概率为
；
（2）根据题意可知：
该超市当天售出一瓶酸奶可获利元，降级处理一瓶亏元，
设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为瓶，平均每天的利润为
元，则：
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
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，
当
时，
，
当
时，与
时比较，
六月增订的部分，亏本售出的比正常售出的多，
所以其每天的平均利润比
时平均每天利润少．
综上所述：
时，
的值达到最大．
即今年六月份这种酸奶一年的进货量为
瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握用频率估计概率．
变式1-2 （25-26 七年级下·河南·期末）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球
共40 个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，
不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据：
摸球的
次数
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白
球的次
数
66
128
171
302
481
599
1806
摸到白
球的频
率
0.66
0.64
a
b
0.601
0.599
0.602
(1)表中
________；
________；
(2)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到0.1）；
(3)若向盒子里再放入x 个除颜色以外其他完全相同的球，这x 个球中白球只有2 个，然后每次将球搅拌均
匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在
，
请你推测x 可能是多少？
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【答案】(1)0.57；0.604
(2)0.6
(3)12
【分析】（1）直接根据概率公式：频率频数总次数计算即可；
（2）大量重复试验可以说明摸到白球概率约为
；
（3）先求出原来盒子里的白球数，再考虑放了个球后盒子内总球数和白球数量，利用白球数量总球数
计算即可．
【详解】（1）解：根据频率公式得
，
；
（2）解：通过统计表可观察出随着摸球次数增加，摸到白球的频率稳定在0.6 左右，
故估计摸到白球的概率约为0.6．
（3）解：原盒子里共有白球数为
（个），现放了2 个白球，则放了
个黑球，现在盒子里
共有
个球，
根据题意，得
，解得
．
变式1-3 （25-26 七年级下·辽宁沈阳·期中）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共40 只，这些
球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回
．．，不断重复，并绘制了如图所示的统计
图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
(1)小明从袋子中随机摸一个红球是__________（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）；
(2)如图，摸到黑球的频率会接近__________（精确到0.1）；
(3)估计袋中黑球的个数为__________只；
(4)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，
发现黑球的频率稳定在0.6 左右，则小明后来放进了__________个黑球．
【答案】(1)不可能事件
(2)0.5
(3)20
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(4)10
【分析】（1）不可能事件是必然不会发生的事件；
（2）当重复大量随机试验后，频率会稳定在一个固定的常数，观察图象即可得到答案；
（3）根据黑球个数小球总数摸到黑球的频率计算即可得到答案；
（4）设小明后来放进了个黑球，根据黑球个数小球总数摸到黑球的频率列方程解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵袋子里装有黑白两种颜色的球，
∴从袋子中随机摸一个红球是不可能事件；
（2）解：由图可知，当摸球次数越来越大时，摸到黑球的频率接近0.5；
（3）解：黑球的个数
（个）；
（4）解：设小明后来放进了个黑球，
由题意得
，
解得
，
∴小明后来放进了
个黑球．
题型2、利用概率计算随机事件平均发生的次数
典例2 （25-26 九年级上·山东菏泽·阶段检测）将所有可能的取值与其对应的概率相乘，再将这些结果相
加，称为这个事件的数学期望，它与随机事件的平均值密切相关．一个随机事件可能出现的值为
、…
，
对应的概率为
、
…
，则数学期望为
．例如，抛掷一个骰子，出现
的概率
都为
，则点数的数学期望为
，也可以说投骰子出现的平均点数为
．
(1)海猫超市推出的返现活动如下：顾客在超市中消费一定金额后，可参加抽奖，返现金额与概率如下表所
示，计算返现金额的数学期望；
金额
3 元
4 元
5 元
6 元
概率
(2)某六面骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，
，
（n 为正整数），n 为何值时，点数的数学期望最
小？请说明理由．
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【答案】(1)
元
(2)当
时，数学期望最小，理由如下：
点数的数学期望为
，
当
时，数学期望最小，最小值为
．
【分析】本题考查了
的最值，利用概率计算随机事件发生的数学期望，解题关键是掌
握上述知识点并能熟练运用求解．
（1）根据表中数据，利用定义法求解；
（2）先根据题意，列出点数的数学期望的算式，再配方后求出最值即可．
【详解】（1）解：返现金额的数学期望为
（元）；
（2）略
题型模版
1.特征：已知单次试验中事件发生的概率，估算多次试验中该事件平均发生的次数．
2.方法：利用公式 平均次数 = 试验总次数 × 概率；注意概率的准确求法和单位的实际含义．
变式2-1 （25-26 七年级下·宁夏银川·期中）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的
件数，得到如下表格：
抽取件数
50
100
200
300
500
1000
合格件数
49
94
192
285
950
合格频率
0.98
0.94
0.96
0.95
0.95
(1)表格中m 的值为_____，n 的值为_____．
(2)任抽一件该产品是合格品的频率稳定在_____，估计任抽一件该产品是不合格品的概率为_____．
(3)该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除2 元的材料损失费，今天甲员工
被抽检了420 件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？
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【答案】(1)475，0.95
(2)0.95，0.05
(3)估计要在他奖金中扣除42 元材料损失费
【分析】（1）根据频数等于总数乘以频率，即可求解；
（2）观察表格数据可知，随着抽取件数的增加，合格的频率稳定在0.95 左右，可得不合格品的概率为0.05；
（3）用每件不合格产品扣除的费用乘以被抽检出不合格产品的数量，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵抽取件数为1000 时，合格的频率趋近于0.95，
∴估计该产品合格的概率为0.95，
∴估计该产品不合格的概率为
．
（3）解：
（元）
答：估计要在他奖金中扣除42 元材料损失费．
变式2-2 为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200
只白鼠随机分成
两组，每组100 只，其中
组白鼠给服甲离子溶液，
组白鼠给服乙离子溶液．每只
白鼠给服的溶液体积与浓度均相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比．
按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如下表：
离子残留百分比
分组
给服甲离子白鼠（只数
1
8
27
30
22
12
给服乙离子白鼠（只数）
5
a
15
b
20
15
（注：表中
表示实验数据的范围为
）
若记
为事件：
“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”，根据实验数据得到
的估计值为0.70．
（1）
_______；
_______．
（2）实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残留百分比
的平均值估计如下：
，用上述方法估计
乙离子残留百分比的平均值．
（3）甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位
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效、众数、方差如下表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．
离子残留百分比
分组
中位数
众数
方差
给服甲离子白鼠的实验组
5.9
6.0
1.38
给服乙离子白鼠的实验组
6.3
6.2
1.8
【答案】（1）10；35；（2）
；（3））由甲乙两种离子残留百分比的平均值估计均为6.00，甲中位数5.9
6.3，甲好，甲离子众数6.0 6.3，甲好，从方差看甲离子方差1.38 1.8，甲好．
【分析】（1）根据题意可求a+b=45，由
的估计值为0.70，则
解方程求出b，再求a 即可；
（2）根据样例给定的方法求即可；
（3）由甲离子中位数5.9 6.3，甲离子众数6.0 6.3，从甲离子方差看甲离子方差1.38 1.8 做决策即可．
【详解】解：（1）根据题意a+b=100-5-15-20-15=45，
因为
的估计值为0.70，
则
，
解得b=35，a=45-b=45-35=10，
故答案为：10；35；
（2）
；
（3））由甲乙两种离子残留百分比的平均值估计均为6.00，甲中位数5.9 6.3，甲好，甲离子众数6.0 6.3，
甲离子残留体内会对生物体产生一定不良副作用小于乙离子，甲好，从方差看甲离子方差1.38 1.8 说明甲
离子残留体内会对生物体产生一定不良副作用稳定性好于乙离子甲好．
【点睛】本题考查用概率估计样本的数据，平均数，中位数，众数，方差，掌握概率估计样本的数据，平
均数，利用中位数，众数，方差进行决策是解题关键．
变式2-3 某生活超市有一专柜预代理销售甲乙两家公司的一种可相互替代的日常生活用品．经过一段时间
分别单独试销甲乙两家公司的商品，从销售数据中随机各抽取50 天，统计每日的销售数量，得到如下的频
数分布条形图．甲乙两家公司给该超市的日利润方案为：甲公司给超市每天基本费用为90 元，另外每销售
一件提成1 元；乙公司给超市每天的基本费用为130 元，每日销售数量不超过83 件没有提成，超过83 件
的部分每件提成10 元．
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（1）求乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n 的函数关系；
（2）若将频率视为概率，回答下列问题：
①求甲公司产品销售数量不超过87 件的概率；
②如果仅从日均利润的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为超市作出抉择，选择哪家公司的产品进
行销售？并说明理由．
【答案】（1）y＝
；（2）①
；②超市应代理销售乙公司的产品较为合适．
【分析】（1）由题意得到，当0≤n≤83 时，y＝130 元，当n＞＝130+（n﹣83）×10＝10n﹣700，由此能
出乙公司给超市的日利润y 与销售数量n 的函数关系；
（2）①根据概率公式即可得到结论；
②求出甲公司给超市的日利润的平均数和乙公司给超市的日利润的平均数，由此能求出代理销售乙公司的
产品较为合适．
【详解】解：（1）由题意得到，当0≤n≤83 时，y＝130 元，当n＞83 时，y＝130+（n﹣83）×10＝10n﹣
700，
∴乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n 的函数关系为：y＝
；
（2）①甲公司产品销售数量不超过87 件的概率为：
＝
；
②设甲公司的给超市的日利润为x 元，
则x 的所有可能的值为：171，174，177，180，183，
＝
（171×5+174×10+177×5+180×20+183×10）＝178.2（元），
设乙公司的给超市的日利润为y 元，
则y 的所有可能的值为：130，140，170，200，230，
＝
×（130×50+0×5+10×5+40×10+70×15+100×15）＝190（元），
∵＜
，
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∴超市应代理销售乙公司的产品较为合适．
【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用、数据统计及概率的综合问题，熟练掌握各个知识点是解题的
关键，注意通过题目的条件及图表求出函数表达式，然后根据数据统计的相关知识点进行求解即可．
题型3、用概率探究保险问题
典例3 某险种的基本保险费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，保险公司规定：续保
人本年度的保险费与其上年度出险次数有关，具体规定如下：
上年度出险
次数
0
1
2
3
4
本年度保险
费（元）
小明随机调查了该险种的100 名续保人在上年度的出险情况，得到如下尚不完整的统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
频数
30
30
m
15
10
5
(1)
；
(2)在这100 名续保人中随机抽取1 名续保人，求其本年度保险费不高于基本保险费的概率；
(3)请估计续保人本年度保险费的平均值．（结果用含a 的代数式表示）
【答案】(1)10
(2)
(3)
元
【分析】本题主要考查了频数分布表，求概率，求平均数：
（1）用100 减去出险次数为0，1，3，4，
的频数，即可求出m 的值；
（2）求出本年度保险费不高于基本保险费的频数，再根据概率公式计算即可；
（3）根据平均数的公式计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：
，
故答案为：10；
（2）解：本年度保险费不高于基本保险费的频数为：
，
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∴其本年度保险费不高于基本保险费的概率
；
（3）解：续保人本年度保险费的平均值
（元）．
题型模版
1.特征：利用概率评估保险赔付、保费等实际问题，体现概率的经济应用．
2.方法：建立赔付与投保人数的概率模型；计算期望赔付金额或人均保费；结合实际情况解释结果．
变式3-1 （2025·西藏阿里·一模）某航班每次飞行约有111 名乘客，若飞机失事的概率为
，
一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41 万元人民币．平均来说，保险公司应
向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本．
【答案】
【分析】根据保险公司不亏本的条件，总保险费需不小于失事时的期望赔偿金额，通过建立不等式化简求
解每位乘客的最低保险费．
【详解】解：设保险公司应向每位乘客收取x 元保险费，
由题意得：
，
解得：
，
所以保险公司应向每位乘客至少收取
元保险费才能保证不亏本．
变式3-2 某客运公司的长途客车每车次约有40 名乘客．某保险公司在网上对长途客车行驶过程中的事故情
况进行了调查（下表是其调查结果），该保险公司要为乘客保险，许诺客车一旦出事故，向每位遇难乘客赔
偿
万元人民币．（假设每次事故有
的幸存者，每车次平均有
的乘客买保险）
长途客车行驶的次数
10010
20010
30000
40000
出事故的次数
2
4
6
8
(1)估计长途客车一次行驶的失事概率；
(2)在（1）的估计值的条件下，平均来说，保险公司应该向每位乘客如何收取保险费呢？
【答案】(1)
(2)不低于
元
【分析】本题主要考查了概率的应用，频率估计概率：
（1）根据频率估计概率解答即可；
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（2）设保险公司应该向每位乘客收取x 元保险费，行驶n 次，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：估计长途客车一次行驶的失事概率
．
（2）解：设保险公司应该向每位乘客收取x 元保险费，行驶n 次，
由题意可得：
，
解得：
，
答：保险公司应该向每位乘客收取不低于
元的保险费．
变式3-3 人寿保险公司的一张关于某地区的生命表的部分摘录如下：
年龄
活到该年龄的人数
在该年龄的死亡人数
40
80500
892
50
78009
951
60
69891
1200
70
45502
2119
80
16078
2001
…
…
…
根据上表解下列各题：
（1）某人今年50 岁，他当年去世的概率是多少？他活到80 岁的概率是多少？
（保留三个有效数字）
（2）如果有20000 个50 岁的人参加人寿保险，当年死亡的人均赔偿金为10 万元，预计保险公司需付赔偿
的总额为多少？
【答案】（1）0.0122、0.206；（2）2438.18 万
【详解】试题分析：(1)利用频率估算；(2)利用频率估算20000 个人中有多少人去世，再乘以赔偿金.
试题解析：
（1）P(50 岁去世)=
0.0122,P（活到80 岁）=
0.206 .
（2）951÷78009×20000×10≈2438.18 万
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题型4、用概率知识解决商业抽奖问题
典例4 （25-26 七年级下·广东佛山·期末）岭南天地是集历史文脉传承、旅游休闲、商业消费于一体的佛
山文化新名片．内有一商家开展抽奖活动，店内消费满
元即可获得一次抽奖机会（多买多送）．现场设
置的翻奖牌正面、背面样式如图，在个数字中任选一个翻牌，可赢取相应的奖品．
(1)一次就抽到“古灶挂件”的概率是多少？（直接写出）
(2)每个奖牌只能翻一次，翻过的奖牌不能再翻．小明在店内消费超过了
元，获得两次的抽奖机会．请
问他第二次抽到“古灶挂件”的概率是多少？
(3)在图设计翻奖牌背面的奖品，使得
（谢谢）
（古灶挂件）
（祖庙模型）
（电影票）．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)解：如图，
∴
（谢谢）
，
（古灶挂件）
，
（祖庙模型）
（电影票）
，
∴
（谢谢）
（古灶挂件）
（祖庙模型）
（电影票）．
【分析】
根据概率公式即可求解；
先列表，然后通过概率公式即可求解；
根据概率公式进行图案设计即可．
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【详解】（1）解：一次就抽到“古灶挂件”的概率是
；
（2）解：列表如下，
谢谢
谢谢
谢谢
古灶
挂件
古灶
挂件
醒狮
恤
国潮
狮头
祖庙
模型
电影
票
谢谢
谢谢，
谢谢
谢谢，
谢谢
古灶
挂件，
谢谢
古灶
挂件，
谢谢
醒狮
恤，
谢谢
国潮
狮头，
谢谢
祖庙
模型，
谢谢
电影
票，谢
谢
谢谢
谢谢，
谢谢
谢谢，
谢谢
古灶
挂件，
谢谢
古灶
挂件，
谢谢
醒狮
恤，
谢谢
国潮
狮头，
谢谢
祖庙
模型，
谢谢
电影
票，谢
谢
谢谢
谢谢，
谢谢
谢谢，
谢谢
古灶
挂件，
谢谢
古灶
挂件，
谢谢
醒狮
恤，
谢谢
国潮
狮头，
谢谢
祖庙
模型，
谢谢
电影
票，谢
谢
古灶
挂件
谢谢，
古灶
挂件
谢谢，
古灶
挂件
谢谢，
古灶
挂件
古灶
挂件，
古灶
挂件
醒狮
恤，
古灶
挂件
国潮
狮头，
古灶
挂件
祖庙
模型，
古灶
挂件
电影
票，古
灶挂
件
古灶
挂件
谢谢，
古灶
挂件
谢谢，
古灶
挂件
谢谢，
古灶
挂件
古灶
挂件，
古灶
挂件
醒狮
恤，
古灶
挂件
国潮
狮头，
古灶
挂件
祖庙
模型，
古灶
挂件
电影
票，古
灶挂
件
醒狮
恤
谢谢，
醒狮
恤
谢谢，
醒狮
恤
谢谢，
醒狮
恤
古灶
挂件，
醒狮
恤
古灶
挂件，
醒狮
恤
国潮
狮头，
醒狮
恤
祖庙
模型，
醒狮
恤
电影
票，醒
狮
恤
国潮
谢谢，
谢谢，
谢谢，
古灶
古灶
醒狮
祖庙
电影
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狮头
国潮
狮头
国潮
狮头
国潮
狮头
挂件，
国潮
狮头
挂件，
国潮
狮头
恤，
国潮
狮头
模型，
国潮
狮头
票，国
潮狮
头
祖庙
模型
谢谢，
祖庙
模型
谢谢，
祖庙
模型
谢谢，
祖庙
模型
古灶
挂件，
祖庙
模型
古灶
挂件，
祖庙
模型
醒狮
恤，
祖庙
模型
国潮
狮头，
祖庙
模型
电影
票，祖
庙模
型
电影
票
谢谢，
电影
票
谢谢，
电影
票
谢谢，
电影
票
古灶
挂件，
电影
票
古灶
挂件，
电影
票
醒狮
恤，
电影
票
国潮
狮头，
电影
票
祖庙
模型，
电影
票
一共有
种等可能的结果，第二次抽到“古灶挂件”的结果有
种，
∴第二次抽到“古灶挂件”的概率是
；
（3）略．
题型模版
1.特征：通过概率分析抽奖活动中奖可能性，判断奖项设置的合理性．
2.方法：求出各奖项的中奖概率；计算总中奖概率或期望收益；注意“中奖率”与实际公平性的关系．
变式4-1 （25-26 七年级下·山西晋中·期末）某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方
式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下：
10 元消费券
谢谢参与
10 元消费券
20 元消费券
洗牌
谢谢参与
10 元消费券
谢谢参与
谢谢参与
摸球：如图1，箱子里共放有100 个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10 元消费券”的纸条，黄球里
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放有“20 元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条．
翻牌：如表，由1 个“洗牌”按钮和8 个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击
洗牌按钮，8 个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的
奖品．
(1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10 元消费券”的概率是__________．
(2)若从箱子里拿走15 个白球，再拿走一些红球，使得获得“20 元消费券”的概率为
，求拿走的红球的个
数．
(3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)选择摸球的方式，理由：摸球的平均收益更高．
【分析】（1）先统计表格里“
元消费券”的个数，因为洗牌后8 个方形按钮被抽到的概率相等，所以用
古典概型公式
；
（2）设拿走的红球个数为未知数，先计算拿走
个白球和个红球后球的总数量，因为黄球个数不变，此
时获得
元消费券的概率为黄球个数除以总球数，所以列方程求解即可；
（3）：分别计算摸球和翻牌两种方式获得消费券金额的数学期望，因为期望代表平均收益，所以比较两个
期望的大小，选择期望更高的方式。
【详解】（1）解：由题意可得，表中一共有8 个相同的方形按钮，其中“
元消费券”共有3 个，因此获
得
元消费券的概率为
．
（2）设拿走的红球个数为，
原来黄球数量始终为25 个，拿走15 个白球和个红球后，总球数为
，
∵获得
元消费券（黄球）的概率为
，
∴
，
解得
，
经检验：当
时，
，
∴
是原方程的解，
答：拿走红球10 个．
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（3）摸球：总
个球，
元
个，
元
个，元
个，
∴平均收益：
，
翻牌：总8 个方形按钮，
元3 个，
元1 个，0 元4 个，
∴平均收益：
，
∵
，
∴摸球的平均收益更高，
答：我会选择摸球方式，因为摸球的平均收益更高．
变式4-2 （25-26 七年级下·福建宁德·期中）“五一”期间，某商店决定“让利酬宾”，推出抽奖活动：凡
在店内消费满100 元即可获得一次抽奖机会，抽奖方案如下：抽奖箱里有20 个除颜色外完全相同的小球，
其中红球4 个、黄球6 个、蓝球10 个．顾客从抽奖箱中任意摸出一个小球，若摸得红球，则奖励20 元购
物券，若摸得黄球，则奖励10 元购物券，若摸得蓝球，则奖励5 元购物券．
(1)某顾客购物消费150 元，获得一次抽奖的机会．求他获得20 元购物券的概率是多少？
(2)为了吸引顾客，该商店准备将获得10 元购物券的概率提高到
，在保持小球总数不变的情况下，需要将
几个蓝球改为黄球？
【答案】(1)
(2)2 个蓝球改为黄球
【分析】（1）直接根据概率公式计算即可；
（2）先求出概率提高后黄球的个数，再减去黄球的原个数即可．
【详解】（1）解：
从抽奖箱中任意摸一个小球，共有20 种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其
中摸到红球的结果有4 种，
P（获得20 元购物券）
；
（2）解：当获得10 元购物券的概率为
时，
黄球的个数为
（个），
（个）
所以在保持小球总数不变的情况下，需要将2 个蓝球改为黄球
变式4-3 （25-26 七年级下·广东佛山·期中）【情境1】如图1 是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6
个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区
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域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下：
转动转
盘的次
数
200
300
400
1000
1600
2000
转到黄
色区域
的频数
72
93
130
334
532
667
转到黄
色区域
的频率
0.36
m
0.325
n
0.3325
0.3335
【情境2】某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了如图2 一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20 个扇
形），并规定：顾客每购买100 元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准
红色、黄色或绿色扇形区域（见扇形内的汉字注明），顾客就可以分别获得相应的奖品（如表）．小明和妈
妈购买了125 元的商品，可以获得一次转动转盘的机会，请解答下列问题：
颜色
红色
黄色
绿色
奖品
笔袋
中性笔
橡皮
(1)表中
________，
________，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率为________（精确
到0.1）；
(2)小明获得奖品的概率是多少？
(3)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为
，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，
请你根据要求，将你认为需要涂色的扇形涂上阴影（无需说明理由）．
【答案】(1)
，
，
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(2)
(3)
涂色如下（涂色区域不唯一，添加5 个涂色区域即可）：
【分析】（1）根据频率的计算方法计算，进而根据频率估计概率即可；
（2）根据概率公式作答即可；
（3）求出总涂色扇形区域，进而求出需要添加的涂色区域，最后作图即可．
【详解】（1）解：
；
；
根据表格可知，随着转动转盘的次数的增加，转到黄色区域的频率逐渐趋向
，
即随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率为
；
（2）解：转盘被等分成20 个扇形区域，红色、黄色或绿色扇形区域共7 个，
则小明获得奖品的概率是
；
（3）解：∵转盘被等分成20 个扇形区域，获得奖品的概率为
，
∴总涂色扇形区域
，
∴需要添加的涂色区域
．
题型5、用概率知识解决比赛问题
典例5 根据以下材料，完成相应任务
点球大战
材
料
足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970 年决定使用此法．在
此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后
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一
双方交替各踢5 次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5 次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止
踢点球，宣布获胜队．若踢满5 次点球后，进球数相同，则由双方的第6 名队员踢点球；依此进行
第7 名、第8 名……队员，踢点球，直至决出胜负．
材
料
二
在2026 年滇超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利
任
务
解
决
若前三轮过后，甲、乙两队的比分为
，若5 轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？
【答案】乙胜的概率为
．
【分析】设进球为1，未进为0，第四轮的甲、乙比分情况为：
，
，
，
，所以四轮过后
的甲、乙比分情况为：
，
，
，
，再得出第五轮的比赛得分可能，共12 种比分可能，
按比赛的规则，乙有7 种获胜的可能性，结合两种上述情况即可得到结果．
【详解】解：设进球为1，未进球为0，则第四轮进球情况用列表分析为：
乙
甲
0
1
1
0
所以四轮过后的甲、乙比分情况为：
，
，
，
，
第五轮过后的比分情况用列表分析为：
第四轮过后甲乙的比分
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第五轮甲乙比分
由表中比分情况，按比赛的规则可知，乙有7 种获胜的可能性，
结合四轮过后的甲、乙的比分情况可得乙胜的概率为
．
题型模版
1.特征：用概率解决比赛胜负、晋级、对阵等规则相关问题．
2.方法：理清比赛规则与可能结果；用树状图或列表法列举；计算指定结果的概率并解释对比赛的影响．
变式5-1 （25-26 九年级上·山东威海·自主招生）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一
场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一
人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率
都是
，则甲最终获胜的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题需枚举甲最终获胜的所有互斥路径，根据每场比赛胜率均为
，利用独立事件概率乘法公式
计算各路径概率，再求和得到甲最终获胜的概率．
【详解】解：设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，甲最终获胜的事件为N，
甲最终获胜的所有互斥路径及对应概率如下：
①路径
：第一场甲胜乙，第二场甲胜丙，第三场甲胜乙（乙淘汰），第四场甲胜丙（丙淘汰），概率
；
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②其余7 条路径（分别为
、
、
、
、
、
、
）均为5
场比赛结束，每条路径概率为
所以甲最终获胜的概率
．
变式5-2 （24-25 七年级下·广东深圳·期中）小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下：
●两人同时
．．做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子．
●当一人掷出的点数和不超过10 时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人
掷出的点数和超过10 时，必须停止掷，并且得分为0．
●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜．
根据下面这个表格中的数据记录回答：
游戏次序
游戏者
第1 次点数
第2 次点数
第3 次点数
得分
第一次
小明
2
3
2
小亮
3
4
6
第二次
小明
4
1
小亮
3
5
(1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________
（填小明或小亮）；
(2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0 的概率；
(3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的
理由．
【答案】(1)7，0，小明
(2)
(3)
不会，理由如下：
小亮前两次投掷的点数和为：
，
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∴当小亮第三次投掷的点数
，即为：3，4，5，6 时，小亮的得分为0 分，概率为：
，小亮第三次
投掷的点数为1，2 时，小亮得分不为0，概率为
，
∵
，
∴不会投掷第三次．
【分析】本题考查概率的实际应用，熟练掌握概率公式，是解题的关键：
（1）根据规则，进行求和计算即可；
（2）先求出小明第三次投掷的点数与前两次的点数之和超过10 的结果，再利用概率公式进行计算即可；
（3）求出小亮第三次投掷和不超过10 和超过10 的概率，进行判断即可．
【详解】（1）解：小明得分：
（分）；
小亮投掷的点数之和为：
，
∴小亮得分为0 分；
∴小明赢；
故答案为：7，0，小明；
（2）小明前两次投掷的点数和为：
，
∴当小明第三次投掷的点数为时，最终得分为0 分，
∴
；
（3）略．
变式5-3 在中央电视台第2 套《购物街》栏目中，有一个精彩刺激的游戏――幸运大转盘，其规则如下：
①游戏工具是一个可绕轴心自由转动的圆形转盘，转盘按圆心角均匀划分为20 等分，并在其边缘标记5、
10、15、…、100 共20 个5 的整数倍数，游戏时，选手可旋转转盘，待转盘停止时，指针所指的数即为本
次游戏的得分；
②每个选手在旋转一次转盘后可视得分情况选择是否再旋转转盘一次，若只旋转一次，则以该次得分为本
轮游戏的得分，若旋转两次则以两次得分之和为本轮游戏的得分；
③若某选手游戏得分超过100 分，则称为“爆掉”，该选手本轮游戏裁定为“输”，在得分不超过100 分的
情况下，分数高者裁定为“赢”；
④遇到相同得分的情况，相同得分的选手重新游戏，直到分出输赢．
现有甲、乙两位选手进行游戏，请解答以下问题：
（1）甲已旋转转盘一次，得分65 分，他选择再旋转一次，求他本轮游戏不被“爆掉”的概率．
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（2）若甲一轮游戏最终得分为90 分，乙第一次旋转转盘得分为85 分，则乙还有可能赢吗？赢的概率是多
少？
（3）若甲、乙两人交替进行游戏，现各旋转一次后甲得85 分，乙得65 分，你认为甲是否应选择旋转第二
次？说明你的理由．
【答案】（1）
；（2）乙有可能赢，P（乙赢）
；（3）甲不应选择转动第二次．
【分析】本题主要考查了概率的计算，读懂题意，弄清游戏规则，计算出相应的概率是解答本题的关键．
（1）由题意可知，当甲再一次旋转转盘所得数字为5、10、15、20、25、30、35 时，他不会被爆掉，由此
即可求出对应的概率；
（2）由题意可知，当乙再旋转一次转盘，所得数字为10、15 时，乙可以赢甲，由此即可求出对应的概率；
（3）分“甲不选择转第二次”和“甲选择转第二次”两种情况分别计算出两人获胜的概率并进行比较，即
可得出本题结论．
【详解】解：（1）由题意可知，当甲再一次旋转转盘所得数字为5、10、15、20、25、30、35 这7 个数字
时，他不会被爆掉，
∵转动一次转盘有20 个等可能结果，
∴P（甲不被爆掉）
；
（2）∵甲一轮游戏最终得分为90 分，乙第一次旋转转盘得分为85 分，
∴当乙再转一次，所得数字为10 或15 这2 个数字时，乙胜甲，
∴若乙再转一次，有可能赢，赢的概率为：P（乙赢）
；
（3）由题意可知存在两种可能：
①若甲不选择转第二次，乙也不选择转第二次，则甲胜，
而甲不选择转动第二次，而乙选择转动第二次时，只有当乙第二次转动所得数字为25 或30 或35 时，乙获
胜，则P（乙获胜）
，
∴若甲不选择转动第二次，则乙获胜概率较小，甲获胜概率较大；
②若甲选择转第二次，则只有当甲第二次转动所得数字为5 或10 或15 这3 个数字时，甲不会被爆掉，若
所得的是其余17 个数字，则甲会被爆掉，即当甲选择转动第二次时，P（甲被爆掉）
，
同理此时，若乙选择转动第二次，则P（乙被爆掉）
，若乙不选择转动第二次，则P（乙被爆掉）
，
∴若甲选择转动第二次，无论乙选择还是不选择转动第二次，甲获胜的概率都小于乙；
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综上所述，甲不应选择转动第二次．
题型6、用概率知识解决游戏公平性问题
典例6 【问题提出】甲、乙两人轮流从一堆糖果中取糖果，规定每次至少取1 颗，最多取m 颗，取到最后
一颗者获胜．设初始糖果总数为n，探究先手（先取糖果）或后手必胜的策略．
【问题探究】请将下述材料中横线上所缺内容补充完整：
(1)基础情形验证：当每次最多取2 颗（
）时，观察下表并总结规律：
糖果总数（n）
1
2
3
4
5
6
7
…
先手是否有必胜的策略
是
是
否
是
是
否
是
…
结论：当n 为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．
(2)扩展情形分析：若每次最多取3 颗（
），
当
时，先手取1 颗（或2 颗或3 颗），后手相应可取3 颗（或2 颗或1 颗）．因此后手有必胜的策略；
当
时，先手第一次取_______颗，可迫使后手陷入必输状态．
结论：当n 为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．
(3)数学归纳猜想：若每次最多取m 颗（
），当n 为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有
必胜的策略．当
，
时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择_______（先手或后手），你第
一次取_______颗．
【答案】(1)3
(2)1；4
(3)
；先手；6
【分析】（1）观察表中的数据，当n 为3 的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略；
（2）分析题目所给条件：当
时，不论先手取几颗，后手都可以直接取到最后一颗，故后手有必胜的策
略；当
时，先手第一次取1 颗，剩下4 颗，此时后手取x 颗
，先手就取
颗，就能取到
最后一颗，可迫使后手陷入必输状态，所以填1；因为
时后手必胜，
时先手必胜，
时后
手必胜，所以当n 为4 的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略；
（3）由（1）（2）的结论可得若每次最多取m 颗（
），当n 为
的倍数时，后手有必胜的策略，否
则先手有必胜的策略；由这个结论和
可得，当
，
时，你来参与游戏，为确
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保必胜，你应选择先手，你第一次取6 颗．
【详解】（1）解：观察可得：当n 为3 的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略；
（2）解：当
时，先手第一次取1 颗，剩下4 颗，此时后手取x 颗
，
先手就取
颗，就能取到最后一颗，可迫使后手陷入必输状态，所以填1，
观察
时后手必胜，
时先手必胜，
时后手必胜，可得：
当n 为4 的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略；
（3）解：由（1）（2）知：
当每次最多取
颗，当n 为3 的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略，
当每次最多取
颗，当n 为4 的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略，
从而可推得：若每次最多取m 颗（
），当n 为
的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的
策略；
先计算
即
，所以应选择先手；
必胜策略：先手第一次取6 颗糖果，之后每轮对手取x 颗
，先手就取
颗，这样每轮两人一
共取
颗糖果，经过
轮后，最后一颗糖果必然被先手取到，从而获胜．
题型模版
1.特征：通过比较各方获胜概率判断游戏规则是否公平，并给出修改建议．
2.方法：分别计算各方获胜概率；若相等则公平，否则不公平；调整规则使概率相等或符合要求．
变式6-1 （25-26 七年级下·山东烟台·期中）春季假期间，刘叔叔领着小明和小刚兄弟俩去商场购物，发
现该商场正在进行转盘抽奖活动．规则是：如图1 是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成10 个扇形），
一次购物满500 元的顾客可获得一次转转盘抽奖的机会．转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖
券（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）．
规则表
颜色
红
蓝
黑
奖券金额（元）
20
50
80
29 / 50
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(1)转动一次转盘，若指针落在扇形区域，分别求出获得20 元和80 元奖券的概率；
(2)为加大活动力度，现商场想调整获得20 元奖券的概率为
，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄
色区域改为红色？
(3)刘叔叔购买了520 元的商品获得了一次转转盘的机会，俩兄弟都想抽奖，于是刘叔叔制作了如图2 所示
一个可自由转动的转盘，被平均分成5 等份，分别涂上红、黄、绿三种颜色，请你帮刘叔叔设计一个公平
的游戏规则，使俩兄弟获胜一方参与抽奖．
【答案】(1)他获得20 元和80 元奖券的概率分别为
，
(2)需要将3 个黄色区域改为红色
(3)
解：将转盘2 个扇形涂成红色、2 个扇形涂成绿色、1 个扇形涂成黄色，转动转盘停止后，若指针指向红色
区域，则小明胜；若指针指向绿色区域，则小刚胜；若指向分界线或黄色扇形时重转，直到指向红色或绿
色扇形为止．
【分析】（1）分别确定转动转盘所有的情况数，及转到红色和黑色的次数，根据概率公式计算即可；
（2）设需要将个黄色区域改为红色，根据题意列方程解答；
（3）将转盘2 个扇形涂成红色、2 个扇形涂成绿色、1 个扇形涂成黄色，转动转盘停止后，若指针指向红
色区域，则小明胜；若指针指向绿色区域，则小刚胜；若指向分界线或黄色扇形时重转，直到指向红色或
绿色扇形为止．
【详解】（1）解：由题意可知，每转动一次转盘，共有10 种等可能的结果，其中红色的有2 种，黑色的有
1 种，
指针指向红色的概率为
，指针指向黑色的概率为
，
答：他获得20 元和80 元奖券的概率分别为
，
；
（2）解：设需要将个黄色区域改为红色，
则由题意得，
，
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解得
，
答：需要将3 个黄色区域改为红色；
（3）略
变式6-2 （25-26 七年级下·山东济南·期中）一个不透明的盒子中装有个形状和大小完全一样的乒乓球，
分别标有到九个数字，小颖和小明同学进行摸球游戏．
(1)从盒子中任意摸出个乒乓球，标有的数字是奇数的概率是多少？
(2)游戏规则：小明从盒子中任意摸出个乒乓球，若乒乓球上标有的数字是的倍数则小明获胜，否则小颖
获胜．这个游戏公平吗？请说明理由；
(3)现将个乒乓球分别放入甲、乙两个不透明的盒子中，甲中放入标有到数字的乒乓球，乙中放入标有
到数字的乒乓球．游戏开始后，小颖从甲或乙盒子中任意摸出一个乒乓球，再将乒乓球上的数字输入下
列程序中，若输出数字大于可获得奖励，请帮她计算选择哪个盒子获得奖励的概率更大．
【答案】(1)
(2)
解：游戏不公平，理由如下：
由（）可知，标有的数字是奇数的概率是
，所以标有的数字是偶数的概率是
，即小明获胜的概率是
，
小颖获胜的概率是
，故小颖获胜的概率大于小明获胜的概率，所以游戏不公平；
(3)乙盒子获得奖励的概率更大
【分析】（）根据概率公式解答即可求解；
（）分别求出两人获胜的概率即可判断求解；
（）分别求出甲、乙两个盒子获得奖励的概率即可判断求解；
本题考查了概率，游戏的公平性，掌握概率计算公式是解题的关键．
【详解】（1）解：从盒子中任意摸出个乒乓球，共有种结果，其中数字是奇数的结果有种，
∴标有的数字是奇数的概率是
；
（2）略
（3）解：由程序可知，当输入数字，，，，时，甲盒子输出的结果为：，，，，；
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当输入数字，，，时，乙盒子输出的结果为：，
，，
；
甲盒子输出的结果共有种，其中输出数字大于的结果有种，获得奖励的概率为
；乙盒子输出的结果
共有种，其中输出数字大于的结果有种，获得奖励的概率为
，
∵
，
∴乙盒子获得奖励的概率更大．
变式6-3 （25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共30 个（除
颜色不同外其它都一样），某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回
袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次
数
100
200
300
500
800
1000
摸到黑球
的次数
65
118
189
310
482
602
摸到黑球
的频率
0.65
0.59
0.63
0.62
0.603
0.602
(1)请估计，当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）．
(2)试估计袋子中有白球 个．
(3)若小明和小颖同学想利用袋子里的小球做游戏，游戏规定：摸到黑球小明获胜，摸到白球小颖获胜，这
个游戏对双方公平吗？请说明理由，如果不公平，在不改变袋子中球总数量的前提下，你能通过改变不透
明袋子中黑球或白球的颜色，使游戏变得公平吗？请给出一种合理的方案．
【答案】(1)
(2)
(3)不公平，合理方案：将袋子中3 个黑球换成白球（答案不唯一）.
【分析】（1）根据“频率的稳定性”原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，
这个常数就是该事件的概率，注意题目要求“精确到0.1”，不能直接采用单次试验的频率作为结果，需观
察频率的稳定值后按精确度要求取值；
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（2）由第（1）问可知，摸到黑球的频率约为0.6，因此可以估算出黑球的个数，进而估算出白球的个数；
（3）游戏公平的判断标准是双方获胜的概率相等，通过计算比较使两种球个数相同即可求解．
【详解】（1）观察表格中
和
时的频率分别为：0.603 和0.602，非常接近；
可见当
增大时，频率稳定在0.6 左右；
当很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6；
（2）由（1）知摸到黑球的频率
，
∵总球数
，
∴黑球数
，
∴白球数
，
故答案为：12；
（3）题中说摸到黑球小明获胜，摸到白球小颖获胜，当前黑球数为18 个，白球数为12 个，所以这个游戏
规则不公平．
要使游戏公平，则应该使黑球数白球数
．
由于总数30 不变，只需将3 个黑球换成3 个白球，即可实现公平．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．（25-26 七年级下·辽宁丹东·期末）端午节期间，某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由
转动的转盘（转盘被等分成20 个扇形），并规定：顾客每购买80 元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如
果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得相应的奖品（如下表）．小明和
妈妈购买了100 元的商品，可以获得一次转动转盘的机会，请完成下列问题：
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颜色
奖品
红色
笔袋
黄色
中性笔
绿色
橡皮
(1)小明获得中性笔的概率是多少？
(2)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为
，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，
通过计算说明需要再将几个空白扇形涂上颜色？
【答案】(1)
(2)3 个
【分析】（1）利用简单概率公式求解；
（2）根据概率求出符合要求的个数．
【详解】（1）解：因为共有20 种等可能结果，其中获得中性笔的有3 种，所以获得中性笔的概率是
；
（2）解：因为获得奖品的概率提高为
，所以涂色的区域一共
（个），
所以
（个），
所以需要再将3 个空白扇形涂上颜色．
2．为了解2025 年前三季度“长三角”41 市经济运行情况，兴趣小组通过网络查询得知，经济增速最高为
，
最低为
．他们将经济增速按照查询的结果进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．2025 年前三季度“长三角”各市经济增速分布表：
分类
城市数量
增长率（精确到
）
A
7
B
14
C
11
D
9
b．B 组具体数据如下表：
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城
市
南京
常州
嘉兴
六安
泰州
安庆
滁州
杭州
南通
扬州
蚌埠
池州
苏州
上海
增
速
c．2025 年前三季度，全国经济平均增速为
．
(1)本次调查中，经济增速的中位数落在___________组（填“A”“B”“C”或“D”）．
(2)从表中数据可知，长三角41 市中，前三季度经济增速超过全国平均水平的占长三角城市总数百分比为
___________（精确到
）；
(3)现从B 组增长率为
的四个城市中，任选两个进行调查研究，通过画树状图或列表法求选中的两个城
市是南京和六安的概率．
【答案】(1)B
(2)
(3)
【分析】（1）根据中位数的定义解答即可；
（2）得出前三季度经济增速超过全国平均水平的城市数，除以被调查的城市数可得结论；
（3）分别用A、B、C、D 表示南京、常州、嘉兴和六安，画出树状图，得出所有等可能的结果数，和选中
的两个城市是南京和六安的结果数，再用概率公式计算出概率即可．
【详解】（1）解：把41 个数据按从小到大的顺序排列，最中间的是第21 个数据，
而A 类与B 类数量和
，
所以，在本次调查中，经济增速的中位数落在B 组；
（2）解：前三季度经济增速超过全国平均水平的占长三角城市总数百分比为：
；
（3）解：分别用A、B、C、D 表示南京、常州、嘉兴和六安，画树状图如下：
由树状图可得，共有12 种等可能的结果，其中选中的两个城市是南京和六安的结果数有2 种，
所以，选中的两个城市是南京和六安的概率为
．
3．（25-26 七年级下·辽宁铁岭·期末）如图所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小
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明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为
，宽为
的长方形，将不规则图案围
起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔沙包，并记录沙包落在不规则图案上的次数（沙包扔在界线
上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果记录如表．
试验次数
120
240
360
480
600
720
840
960
落在不规则图案的次数
40
67
115
149
174
223
252
298
落在不规则图案内的频率
a
结合试验结果，完成下列问题：
(1)上表中的
______；
(2)根据试验结果，估计沙包落在阴影区域的概率是______（结果精确到
）；
(3)请帮小明估计出不规则图案的面积大约为多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据落在不规则图案内的频率落在不规则图案的次数试验次数，计算即可得出结果；
（2）由频率估计概率，并结合表格分析即可得出结果；
（3）先求出长方形的面积，再结合沙包落在阴影区域的概率是
，计算即可得出结果．
【详解】（1）解：由题意得
；
（2）解：根据试验结果，估计沙包落在阴影区域的概率是
；
（3）解：长方形的面积为
，
故不规则图案的面积大约
．
4．（24-25 七年级下·山东烟台·期中）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7 个红球和3 个白球．
(1)先从袋子里取出
个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A．
①如果事件A 是必然事件，则m 的值是多少？
②如果事件A 是随机事件，则m 的值是多少？
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(2)先从袋子中取出m 个白球，再放入m 个一样的红球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个红球的频率在
附近摆动，求m 的值．
【答案】(1)①3②2 或1
(2)1
【分析】（1）①在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7 个红球和3 个白球，要使“摸出红球”是必然事件，
则袋子中必须全是红球，故需将3 个白球全部取出，所以
．
②要使“摸出红球”是随机事件，则袋子中必须既有红球又有白球，故取出的白球个数
需满足
，因为
为整数，所以
的值是1 或2；
（2）先从袋子中取出
个白球，再放入
个一样的红球，此时袋中有
个红球，
个白球，球的总
数为
个，随机摸出一个红球的概率为
，因为随机摸出一个红球的频率在
附近摆动，
所以
，解得
．
【详解】（1）解：①如果事件A 是必然事件，则m 的值为3；
②如果事件A 是随机事件，则m 的值为2 或1；
（2）解：根据题意，可得袋子里共有10 个球，
则
，
解得
，
故
的值为1．
5．（25-26 八年级下·江苏宿迁·期末）一个不透明的盒子里装有若干个白、红两种颜色的球，这些球除颜
色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子
中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据．
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
52
138
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
(1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为______；（精确到
）；
(2)若盒子里共有球20 个，则白球估计有______个；
(3)在（2）的条件下，又放入a 个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1 个球是白球的概率是
，求a 的值．
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【答案】(1)
(2)12
(3)4
【分析】（1）根据当摸球的次数足够多，摸到白球的频率越接近概率，即可得到答案；
（2）设白球估计有x 个，列方程
求解即可；
（3）根据题意列方程
求解即可．
【详解】（1）解：当摸球的次数足够多，摸到白球的频率越接近概率，所以从盒子里随机摸出一个球，摸
到白球的概率的估计值为
；
（2）解：设白球估计有x 个，
根据题意，得
，
解得
，
白球估计有12 个；
（3）解：根据题意，得
，
解得
经检验
是方程的解．
6．（25-26 八年级上·湖南邵阳·期末）某地曾破获过一个专门欺诈中学生的赌博团伙，他们打着“真情助
学”的招牌，声称自己绝对是贴了钱的．他们的规则是：每个参与者先付元钱，并摇动装有三枚骰子的器
皿．然后他可以任意选一个点数（譬如），如果三枚骰子中出现一个，那么得到“奖学金” 元；如果三
枚骰子中出现两个，那么得到“奖学金” 元；如果三枚骰子中出现三个，那么得到“奖学金” 元．这
伙人颇具“专业知识”地向人们解释：一枚骰子出现的机会是
，那么三枚骰子中有一枚出现的机会就
是
，所以参与者中有一半的人得到双倍的奖金，仅此一项他们就收支相抵．再有不少人得到的三倍、
四倍“奖学金”都是他们的“真情付出”．这套“理论”一段时间内蒙蔽了不少中学生，在局部地区造成了
很坏的影响．你能应用已有的知识，拆穿这伙骗子的谎言吗？
【答案】
解：三枚骰子出现的不同点数情况有
种，所以假设在
次赌博中，各种情况的机会如下：
（1）只有枚出现，其他两枚出现另个数字中的任意一个，共有
次，
两枚出现，一枚出现另个数字中的任意一个，共有
次；
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三枚都出现显然只有次．这样参赌者付出的是
元，可期望得到“奖金”
元．
∴ 他们的说法是错误的．
【分析】本题主要考查了概率的应用，正确确定所需结果的结果数是解题的关键．
一枚骰子出现的机会是
，那么三枚骰子中有一枚出现的机会就是
，这个结论是错误的．结果出
现个的情况也包括了出现两个，进而包括了个的情况，但奖金不是重复计算；算出投掷
次需付
出的及得到的资金，比较即可．
【详解】略
7．（25-26 七年级下·山东青岛·期末）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练
测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据：
投篮的
次数
10
50
200
300
400
1000
命中的
次数
7
40
81
164
237
324
命中的
频率
(1)填空：
________，
________；
(2)根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到
）；
(3)根据估计的概率，若该运动员投篮150 次，则他命中的次数大约是________次；
(4)该运动员任意投出一球投中的概率与下列哪个事件的概率最接近________．
①如图一，转转盘箭头停在阴影部分，其中阴影部分圆心角为
；
②掷一枚均匀的骰子，掷到的点数为6；
③如图二，飞镖盘由相同的小正方形组成，任意投掷飞镖，命中阴影部分；
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④袋子里有除了颜色外其余都相同的20 枚小球，其中3 枚黄色，1 枚白色，其余为红色，随机摸一枚球颜
色为红色．
【答案】(1)100；803
(2)
(3)120
(4)④
【分析】（1）根据频数，总数和频率之间的关系，进行计算即可；
（2）根据频率估算概率即可；
（3）根据概率进行判断即可；
（4）分别计算出①④的概率，然后与
比较即可解答．
【详解】（1）解：
，
．
（2）解：由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是
．
（3）
解：由（）可知，该运动员投中的概率为
，
∴
（次），
估计他命中的次数为120 次．
（4）解：①转转盘箭头停在阴影部分的概率为
，不符合题意；
②掷一枚均匀的骰子，掷到的点数为6 的概率为
，不符合题意；
③如图二，飞镖盘由相同的小正方形组成，任意投掷飞镖，命中阴影部分的概率为
，不符合
题意；
④袋子里有除了颜色外其余都相同的20 枚小球，其中3 枚黄色，1 枚白色，其余为红色，随机摸一枚球颜
色为红色的概率为
，符合题意．
8．为响应党中央关于打好精准扶贫攻坚战的号召，东部帮助西部进行扶贫产业开发，“食良品”是某市农
产品商贸集团有限公司旗下的“消费扶贫”的电商平台，依托地理、集团专业等渠道的优势，基地直采，
降低采购成本，全心全意为全市广大客户提供优质的食材，也解决了西部各地农副产品销售难的问题．目
前，该平台为广大客户仅提供300 元、500 元、800 元、1000 元四种不同面额的提货券．随机抽查了其中
100 天的销售情况，整理统计后得到如下表一和表二：
表一
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提货券每张面额（元）
300
500
800
1000
销售量（张）的百分比
30%
m%
18%
12%
表二
日均销售量（张）
300
450
500
650
天数
25
30
35
10
(1)随机抽取一张提货券，面额不少于800 元的概率是多少？
(2)哪种面额的提货券应多提供些？估计日均销售该面额的提货券多少张？
(3)估计月销售总额是多少元？（月以30 天计算）
【答案】(1)面额不少于800 元的概率为30%
(2)该面额的提货券约为180 张
(3)月销售总额为7479000 元
【分析】(1)从表一中读取数据即可得到答案．
(2)由销售量的百分比总和为1，可得m 的值，对比各百分比大小可得答案；求出日均销售提货券的数量，
按照该提货券占的百分比，可得答案．
(3)根据加权平均数可得平均每张提货券的销售金额，根据销售总额=平均每张提货券的销售金额×日均销售
提货券的数量×时间，可得答案．
【详解】（1）解：面额不少于800 元的概率为：18%+12%＝30%．
（2）解： m＝100﹣30﹣18﹣12＝40，
故500 的提货券应多提供些．
平均每天销售提货券的数量为：
（张）．
其中该面额的提货券约为：450×40%＝180（张）．
（3）解：平均每张提货券的销售金额为：300×30%+500×40%+800×18%+1000×12%＝554（元）．
故月销售总额为：30×450×554＝7479000（元）．
【点睛】本题考查统计概率方面知识的综合运用，正确读取并理解图表信息是解题的关键．
9．计划在某水库建一座至多安装4 台发电机的水电站，过去50 年的水文资料显示，水库年入流量x（年入
流量：一年内．上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40 以上．过去50 年的年入流量的统计
情况如下表（假设各年的年入流量不相互影响）．
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年入流量x
40＜x＜80
80≤x＜120
120≤x＜160
x≥160
年数
10
30
8
2
以过去50 年的年入流量的统计情况为参考依据．
（1）求年入流量不低于120 的概率；
（2）若水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量x 的限制，并有如
表关系：
年入流量x
40＜x＜80
80≤x＜120
120≤x＜160
x≥160
发电机量多可运行台数
1
2
3
4
若某台发电机运行，则该台发电机年利润为6000 万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损2000
万元，水电站计划在该水库安装2 台或3 台发电机，你认为应安装2 台还是3 台发电机？请说明理由．
【答案】（1）
；
（2）根据题意，能安装2 台发电机对应的年入流量为不低于80，
年入流量低于
的概率为：
，只能运行1 台发电机；
年入流量不低于80 的概率为：
，能2 台发电机都运行；
安装2 台发电机时的利润为：
万元．
能安装3 台发电机对应的年入流量为不低于120，由（1）可知：
，只能运行1 台发电机，
当年入流量
时，
，只能运行2 台发电机；
当年入流量
时，
，能运行3 台发电机，
安装3 台发电机时的利润为：
万元，
因为
，故安装2 台发电机．
【分析】（1）根据概率的计算公式计算即可；
（2）先分别计算各段年入流量的概率，再根据概率计算安装2 台发电机和3 台发电机对应的年利润的加权
平均数，比较之，则可得出答案．
【详解】（1）
年入流量不低于120 的年数为:
，
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总的年数为50 年．
年入流量不低于120 的概率为：
．
（2）略
【点睛】本题考查了概率的计算，将概率当做权数计算平均数，计算出各段的概率是解题的关键．
10．（25-26 七年级下·山西运城·期末）为传承中华优秀传统文化，弘扬山西本土非遗魅力，某校精心开
展“山西非遗进校园、传统文化润童心”主题实践活动，设置了趣味十足的非遗电子转盘互动游戏．本次
游戏所用电子转盘被均匀划分为8 个大小一致、形状完全相同的扇形区域，8 个区域分别标注有：剪纸、皮
影、晋剧、面塑、刺绣、漆器、翼城花鼓及谢谢参与．游戏规则如下：点击按钮即可启动转盘，转盘停止
后指针会随机落在任意一个扇形区域内（若指针落在区域分界线上，则本次游戏判定无效，重新转动转盘），
游戏胜负判定标准为：若指针最终指向剪纸、皮影、晋剧、面塑四类非遗项目，则本次游戏童童获胜；若
指针最终指向刺绣、漆器、翼城花鼓三类非遗项目，则本次游戏年年获胜，请结合概率知识判断这个游戏
对童童和年年两人是否公平，并说明理由；若游戏不公平，请你设计一种合理的调整方案，使得游戏规则
对双方公平
【答案】不公平．
理由如下：
因为转盘被等分成8 个扇形，所以共有8 种结果，且每种结果出现的可能性相同．
其中指针指向剪纸、皮影、晋剧、面塑的结果有四种，所以童童获胜的概率为
；
其中指针指向刺绣、漆器、翼城花鼓的结果有三种，所以年年获胜的概率为
；
因为
，所以这个游戏不公平．
修改规则：指针指向剪纸、皮影、晋剧童童获胜；指向刺绣、漆器、翼城花鼓年年获胜．
【详解】略
11．（25-26 七年级下·山西太原·期中）某超市为感恩客户的支持与信赖，特推出了“感恩回馈季，幸运
抽好礼”的抽奖活动，抽奖活动分为转转盘和翻奖牌两种方式，规则分别如下：
转转盘：如图1 是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分为8 个区域，每个区域上分别写有“10 元”“20
元”或“感谢参与”的字样．转动转盘，当转盘停止转动后，顾客可获得指针所指区域相应金额的代金券
（若指针指向分界线，则重新转动）．
翻奖牌：如图2 是9 张背面完全相同的卡片，正面上分别写有“10 元”“20 元”“30 元”或“感谢参与”的
字样．将这9 张卡片背面朝上洗匀后，顾客可从中随机抽取一张，并获得这张卡片正面相应金额的代金券．
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顾客消费超过100 元，可凭借购物小票在转转盘和翻奖牌两种方式中任选一种参与．
说明：两种方式中，“感谢参与”均无法获得代金券．
(1)求转转盘方式中，顾客获得10 元代金券的概率．
(2)求翻奖牌方式中，顾客获得代金券的概率．
(3)若你参与抽奖活动，你选择哪种方式？并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)选择转转盘方式或翻奖牌方式，理由见解析
【分析】（）本题考查古典概型，解题核心是数出转盘中 “10 元” 区域的数量，结合总区域数，用概率
公式计算；
（）本题考查古典概型，解题核心是数出翻奖牌中能获得代金券的卡片数量，结合总卡片数，用概率公式
计算；
（）本题考查概率的实际应用与决策，解题核心是分别计算两种方式的期望代金券金额，通过比较大小选
择更有利的方式．
【详解】（1）解：转转盘方式中，所有等可能的结果有8 种，其中顾客获得10 元代金券的结果有4 种，所
以
（顾客获得10 元代金券）
；
（2）解：翻奖牌方式中，所有等可能的结果有9 种，其中顾客获得代金券的结果有6 种，所以
（顾客获
得代金券）
；
（3）解：答案不唯一．例如：
选择转转盘方式：因为转转盘方式获得代金券的概率为
，大于翻奖牌方式获得代金券的概率
．
选择翻奖牌方式：因为翻奖牌方式有
的概率获得30 元的代金券．
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12．（25-26 七年级下·宁夏银川·期中）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所
示，同时规定：顾客购物满20 元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据：
转动转盘的
次数
100
200
300
400
500
落在“谢谢
参与”区域
的次数
29
60
93
122
落在“谢谢
参与”区域
的频率
(1)完成上述表格：
___________，
___________；
(2)若继续不停的转动转盘，当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近___________，假如你去转
动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是___________；（结果都精确到
）
(3)某顾客获得一次转动转盘的机会（转盘如图所示），求获得“盲盒”的概率是多少？
【答案】(1)
(2)
，
(3)
【分析】（1）根据频率和频数的关系求解即可；
（2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可；
（3）根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵当转动次数
时，落在“谢谢参与”区域的次数
，
∴
，
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∵当转动次数
时，落在“谢谢参与”区域的频率为
，
∴
，
（2）解：观察表格中落在“谢谢参与”区域的频率数据：
，随着转动次数n 的增
大，频率数值在
附近摆动，并逐渐趋于稳定，
∴当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近
，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”
的概率约是
；
（3）解：观察转盘图可知，转盘被平均分成了10 等份．
统计各奖项所占的份数：
“盲盒”区域有2 份．
“贴纸”区域有5 份．
“谢谢参与”区域有3 份．
∴获得“盲盒”的概率是
．
13．（25-26 七年级下·甘肃酒泉·期中）某商人在游乐场制作了一个如图所示的游戏转盘，取名为“开心
大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针指向数字“
”则收费元；若指针指向数字“ ”，
则奖励元；若指针指向数字“
”，则奖励元．
(1)任意转动转盘一次，转盘停止后根据指针指向的区域（指针和分区线重合时，可重新转一次），则
；
；
． （结果化成最简分数）
(2)任意转动转盘一次，求出参与者获奖的概率是多少？
(3)一天，一名游客转动转盘
次（指针均落在标有数字的区域），你认为该商人是盈利可能性大还是亏损
的可能性大？为什么？
【答案】(1)
；
；
(2)
(3)
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解：该商人盈利的可能性大，理由如下：
∵
，
∴该商人盈利的可能性大．
【分析】（）根据概率公式计算即可；
（）根据（）的结果计算即可；
（）根据概率公式求出商人的盈损情况即可判断求解．
【详解】（1）解：数字“1”的扇形的圆心角为
，
；
；
．
（2）解：由（）可得，参与者获奖的概率是
；
（3）略
14．在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，男性、女性日常生活中几乎全部领
域都支持手机支付．出门不带现金的人数正在迅速增加．中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查
了腾讯服务的
名用户（男性
人，女性
人），从中随机抽取了
名（女性
人），统计他们出
门随身携带现金（单位：元），规定：随身携带的现金在
元以下（不含
元）的为“手机支付族”，其
他为“非手机支付族”．
手机支付
非手机支付
合计
男
女
合计
(1)①：根据已知条件，将下列横线表格部分补充完整（其中
，
）；
②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取位，求这位女性用户是“手机支
付族”的概率．
(2)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案、
方案一：手机支付消费每满
元可直减
元：
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方案二：手机支付消费每满1000 元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有个小球（其中个红球个白球，
它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），若摸到个红球则打折，若摸到
个红球则打
折，若未摸到红球按原价付款．
如果你打算用手机支付购买某样价值
元的商品，请从实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠
方案更划算．
【答案】(1)
(2)选择方案二更划算
【分析】本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、平均数、概率公式，解决本题的关键是掌握树
状图法求概率．
（1）①因为随机抽取了
名（女性
人），所以男性
人，进而可以补充表格数据；
②用手机支付的女性人数除以调查的女性总人数即可；
（2）若选方案一：则需付款：
元；若选方案二：设实际付款
元，则取值为：
元，
元，
元，根据从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸
出个小球（逐个放回后抽取），设两个红球为
、
，白球为
、
，画出树状图分别求出摸到个红球，
摸到个红球，未摸到红球的概率，求出实际付款的平均金额，进行比较即可．
【详解】（1）解：①因为随机抽取了
名（女性
人），所以男性
人，
∵
，
，
∴
，
，
补充表格如下：
手机支付
非手机支付
合计
男
女
合计
②由①可得，女性用户中随机抽取位，这位女性用户是“手机支付族”的概率是
．
（2）解：若选方案一：则需付款：
元；
若选方案二：设实际付款元，则取值为：
元，
元，
元，
根据从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个
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放回后抽取），设两个红球为
、
，白球为
、
，
画出树状图为：
根据树状图可知：所有可能的结果共
种，摸到个红球的有种，摸到个红球的有种，未摸到红球的
有种，
所以摸到个红球的概率为：
，则打折，
摸到个红球的概率为：
，则打
折，
未摸到红球的概率为：
，按原价付款．
所以实际付款的平均金额为：
（元）．
因为
元
元，
所以选择方案二更划算．
15．（25-26 九年级上·江苏泰州·期末）根据以下材料，完成相应任务
点球大战
材
料
一
足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970 年决定使用此法．在
此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双
方交替各踢5 次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5 次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点
球，宣布获胜队．若踢满5 次点球后，进球数相同，则由双方的第6 名队员踢点球；依此进行第7 名、
第8 名……队员，踢点球，直至决出胜负．
材
料
二
在2025 年苏超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利
解决问题
任
务
甲、乙两队抽签决定谁先踢，甲、乙两队要不要争着去抽签？为什么？
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一
任
务
二
若前三轮过后，甲、乙两队的比分为
，若5 轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？
【答案】任务一：不要争着去抽签，因为谁先踢的概率相等．任务二：
【分析】本题考查了概率的应用，抽签的公平性；用列举法求事件的概率，熟练掌握相关知识为解题关键
（1）根据点球决胜的规则里，先踢和后踢从概率角度来看，获胜的机会是均等的，抽签只是确定先后顺序，
并不会直接影响最终的胜负概率，所以不需要争着抽签；
（2）设进球为1，未进为0，第四轮的甲、乙比分情况为：
，
，
，
，所以四轮过后的
甲、乙比分情况为：
，
，
，
，再得出第五轮的比赛得分可能，共12 种比分可能，按
比赛的规则，乙有7 种获胜的可能性，结合两种上述情况即可得到结果．
【详解】解：任务一、甲、乙两队不需要争着去抽签，
原因：点球决胜的规则里，先踢和后踢从概率角度来看，获胜的机会是均等的，抽签只是确定先后顺序，
并不会直接影响最终的胜负概率，所以不需要争着抽签．
任务二：设进球为1，未进球为0，则第四轮进球情况用列表分析为：
乙
甲
0
1
1
0
所以四轮过后的甲、乙比分情况为：
，
，
，
，
第五轮过后的比分情况用列表分析为：
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第四轮过后甲乙的比分
第五轮甲乙比分
由表中比分情况，按比赛的规则可知，乙有7 种获胜的可能性，
结合四轮过后的甲、乙的比分情况可得乙胜的概率为
.
