文档文本内容
1 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
专题11 共顶点的等腰三角形“手拉手”模型的三类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、“手拉手”模型之共顶点双等腰三角形模型
题型二、“手拉手”模型之共顶点双等边三角形模型
题型三、“手拉手”模型之共顶点双等腰直角三角形模型
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
- 题型特征：两个等腰三角形共顶点，顶角相等，且顶点相连（通常一大一小），形成旋转全等结构。
- 解题方法：识别公共顶点与对应等腰边；利用SAS 证明“左手拉左手、右手拉右手”形成的两个三角形
全等；由全等导出对应边、角相等；常结合八字倒角求夹角。
- 易错提醒：找错对应边（手拉手应连接的是不同等腰三角形的腰）；忽略公共顶点处顶角相等这一前提；
结论中夹角与顶角关系误判（一般夹角等于顶角或其补角）；旋转方向分析不清。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、“手拉手”模型之共顶点双等腰三角形模型
典例1（25-26 八年级上·甘肃平凉·期中）如图①，CA
CB
=
，CD
CE
=
，
ACB
DCE
a
=
=
，
,
AD BE 交
于点M，AD
BC
，
交于点O，连接CM ．
(1)求证：BE
AD
=
；
(2)用含的式子表示
AMB
的度数；
目 录
2 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(3)当
60
=
时，分别取
,
AD BE 的中点P，Q，连接
,
,
CP CQ PQ ，如图②所示，判断CPQ
的形状，并加以
证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)
AMB
=
(3)等边三角形，见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，准确找
到全等三角形是解决此题的关键
（1）利用SAS证明
≌
ACD
BCE
，即可得BE
AD
=
；
（2）根据
≌
ACD
BCE
得出
CAD
CBE
=
，再利用三角形内角和定理，进一步即可得出
AMB
的度数；
（3）先证明
ACP
BCQ
△
≌△
，再根据全等三角形的性质，得出
,
CP
CQ
ACP
BCQ
=
=
，然后得
60
PCQ
=
，
进而得到结论．
【详解】（1）证明：
ACB
DCE
=
=
，
ACD
BCE
=
，
在ACD
和BCE
中，
=
=
=
CA CB
ACD
BCE
CD CE
，
(
)
SAS
ACD
BCE
△
≌△
，
BE
AD
=
．
（2）解：∵
≌
ACD
BCE
，
CAD
CBE
=
，
在
ABC
中，
180
180
BAC
ABC
ACB
+
=
−
=
−
，
(
)
BAM
ABM
BAM
ABC
CBE
+
=
+
+
(
)
BAM
CBE
ABC
=
+
+
=(
)
BAM
CAD
ABC
+
+
BAC
ABC
=
+
180
=
−
，
在ABM
中，
180
(
)
AMB
BAM
ABM
=
−
+
3 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
180
(180
)
=
−
−
=
；
（3）解：CPQ
为等边三角形．
证明：如图2，由（1）得BE
AD
=
，
,
AD BE 的中点分别为点P、Q，
1
1
2
2
AP
AD
BE
BQ
=
=
=
，
∵
≌
ACD
BCE
，
CAP
CBQ
=
，
在
ACP
△
与
BCQ
△
中，
=
=
=
CA CB
CAP
CBQ
AP BQ
，
(
)
SAS
ACP
BCQ
△
≌△
，
,
CP
CQ
ACP
BCQ
=
=
，
又
60
ACP
PCB
+
=
，
60
BCQ
PCB
+
=
，
60
PCQ
=
，
∴CPQ
为等边三角形．
题型模版
条件：△ABC 和△DCE 均为等腰三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF 平分∠AFD。
变式1-1（25-26 八年级上·云南玉溪·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它
们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．
4 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)如图1，在“手拉手”图形中，
,
,
AC
AB AD
AE
BAC
DAE
=
=
=
，若
40
AEC
=
，则
ADB =
∠
(2)如图2，
ABC
和
AED
△
是等边三角形，连接BD，EC 交于点O，求
BOC
的度数；
(3)如图3，AB
BC
=
，
60
ABC
BDC
=
=
，试探究
A
与
C
的数量关系．
【答案】(1)40
(2)60
(3)
180
A
BCD
+
=
【知识点】全等的性质和SAS 综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握
知识点是解题的关键．
（1）先证明
(
)
SAS
BAD
CAE
≌
，再根据全等三角形的性质求解即可；
（2）根据等边三角形的性质得出
60
BAC
DAE
ACB
=
=
=
，
,
AC
AB AD
AE
=
=
，进而证明
(
)
SAS
BAD
CAE
≌
，再根据全等三角形的性质和三角形内角和求解即可；
（3）延长DC 到P，使DP
DB
=
，先证明
BDP
△
是等边三角形，再证明
(
)
SAS
ABD
CBP
≌
，进而证明即
可．
【详解】（1）解：∵
BAC
DAE
=
，
∴
BAC
CAD
DAE
CAD
+
=
+
，即
BAD
CAE
=
，
又∵
,
AC
AB AD
AE
=
=
，
∴
(
)
SAS
BAD
CAE
≌
，
∴
40
ADB
AEC
=
=
，
故答案为：40；
（2）解：∵
ABC
和
AED
△
是等边三角形，
5 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
60
BAC
DAE
ACB
=
=
=
，
,
AC
AB AD
AE
=
=
，
∴
BAC
CAD
DAE
CAD
+
=
+
，即
BAD
CAE
=
，
∴
(
)
SAS
BAD
CAE
≌
，
∴
ABD
ACE
=
，
∵
120
ABC
ACB
+
=
，
∴
120
ABD
CBD
ACB
ACE
CBD
ACB
CBD
BCO
+
+
=
+
+
=
+
=
，
∴
(
)
180
60
BOC
CBD
BCO
=
−
+
=
；
（3）解：
180
A
BCD
+
=
，证明如下：
如图，延长DC 到P，使DP
DB
=
，
∵
60
BDC
=
，
∴
BDP
△
是等边三角形，
∴
60 ,
DBP
BD
BP
=
=
，
∵
60
ABC
=
，
∴
ABC
DBC
DBP
DBC
−
=
−
，即
ABD
CBP
=
，
∵AB
BC
=
，
∴
(
)
SAS
ABD
CBP
≌
，
∴
A
BCP
=
，
∵
180
BCD
BCP
+
=
，
∴
180
A
BCD
+
=
．
变式1-2（25-26 八年级上·湖北荆门·期末）
（1）
【问题背景】如图1，ABC
和DAE
中，AB
AC
=
，AD
AE
=
，
且
BAC
DAE
=
，连接BE ，CD，求证：ABE
ACD
≌
．
（2）【尝试运用】如图2，
ABC
中，AB
AC
=
，
40
BAC
=
，以B 为端点引一条与腰AC 相交的射线，在
6 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
射线上取点D，使
ADB
ACB
=
，求
BDC
的度数．小亮同学通过观察，联想到（1）中的模型，在BD上
找一点E ，使AE
AD
=
，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程．
（3）【拓展延伸】如图3，
ABC
中，AB
AC
=
，
BAC
为任意角度，若射线BD在BC 的下方，仍在射线
上取点D，使
ADB
ACB
=
，求证：
180
BAC
BDC
+
=
．
【答案】（1）见解析；（2）
40
BDC
=
，见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据已知条件可知，采用“边角边”的方法证明
ABE
ACD
△
△
≌
；
（2）通过等腰三角形等边对等角的性质，先证
BAE
CAD
=
，再利用“边角边”证明
ABE
ACD
△
△
≌
，推
出
ADC
AEB
=
，即
ADB
BDC
ADB
EAD
+
=
+
，由此得出
40
BDC
EAD
=
=
；
（3）在DB的延长线上找一点E，使AE
AD
=
，设
BAC
a
=
，同（2）的证明方法得出
ABE
ACD
△
△
≌
，
推出
4
90
2
a
ADC
= =
−
，
3
180
BDC
ADC
a
= +
=
−
，由此得出
BAC
+
BDC
=180°．
【详解】（1）证明：
BAC
DAE
=
，
BAC
EAC
DAE
EAC
−
=
−
，即
BAE
CAD
=
，
在△ABE 和△ACD中，
AB
AC
BAE
CAD
AE
AD
=
=
=
，
△ABE≌△
(SAS)
ACD
；
（2）解：△ABC 中，AB
AC
=
，
40
BAC
=
，
180
40
70
2
ABC
ACB
−
=
=
=
，
70
ADB
ACB
=
=
，
AE
AD
=
，
70
AED
ADB
=
=
，
180
40
EAD
AED
ADB
=
−
−
=
，
EAD
BAC
=
，
7 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
EAD
EAC
BAC
EAC
−
=
−
，
BAE
CAD
=
，
在△BAE 和△CAD 中，
AB
AC
BAE
CAD
AE
AD
=
=
=
，
△BAE≌△
(SAS)
CAD
，
ADC
AEB
=
，
ADB
BDC
ADB
EAD
+
=
+
，
40
BDC
EAD
=
=
；
（3）证明：如图，在DB的延长线上找一点E ，使AE
AD
=
，设
BAC
=
，
AB
AC
=
，
180
1
2
90
2
2
a
a
−
= =
=
−
，
3
1
90
2
a
= =
−
，
AE
AD
=
，
4
3
90
2
a
= =
−
，
180
3
4
EAD
a
=
−−=
，
EAD
BAC
=
，
EAD
BAD
BAC
BAD
−
=
−
，
BAE
CAD
=
，
在△BAE 和△CAD 中，
AB
AC
BAE
CAD
AE
AD
=
=
=
，
△BAE≌△
(SAS)
CAD
，
4
90
2
ADC
= =
−
，
3
2(90
)
180
2
BDC
ADC
= +
=
−
=
−
，
8 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
180
BDC
BAC
+
=
．
题型二、“手拉手”模型之共顶点双等边三角形模型
典例2（25-26 七年级下·上海·期末）
与
是有公共顶点
的两个等边三角形，将
绕点
顺时针旋转至以下各位置：
(1)如图1，当
在
下方时，说明
．
(2)如图2，当
在
边上时；如图3，当
在
内时；如图4，当
在
边上时；如图5，当
时，
还成立吗？请一一说明理由．
【答案】(1)证明：
与
是等边三角形，
，
，
，
则
，即
．
在
和
中：
，
．
(2)证明：
仍然成立，以下分情况证明：
①当
在
边上时（图2）：
与
是等边三角形，
9 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
，
，
在
边上，
在
边上．
，
．
②当
在
内时（图3）
与
是等边三角形，
，
，
，
则
，即
．
在
和
中：
，
．
③当
在
边上时（图4）：
与
是等边三角形，
，
，
，即
．
在
和
中：
，
．
④当
时（图5）
与
是等边三角形，
，
，
，
则
，即
．
在
和
中：
10 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
．
【分析】（１）因为
与
都是等边三角形，进而利用等边三角形的性质推导出
，
并证明
，随后得到
．
（２）方法同（１），先证明
，随后得到
．
【详解】（1）略．
（2）略．
题型模版
条件：如图，△ABC 和△DCE 均为等边三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF 平分∠BFD。
变式2-1（25-26 七年级下·辽宁丹东·期末）已知：
是等边三角形．
(1)如图1，点D 是边
上一动点，连接
，以
为边作等边三角形
，点F 在
的右侧，连接
，
求证：
；
(2)如图2，在（1）的条件下，点E在边
上且
是等边三角形，
与边
交于点M，
，
，
求
的长度；
(3)如图3，当点D 是
内任意一点，连接
，以
为边作等边
，点F 在
的右侧，连接
并延长交射线
于点E（点E 与点F 不重合），请直接写出
与
之间的数量关系．
【答案】(1)证明：
与
是等边三角形
11 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
，
(2)
(3)
或
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用
即可得证；
（2）根据全等三角形的性质，得到
，推出
，证明
，三线合一，即可得出结果；
（3）分点
在线段
上和点
在线段
的延长线上，两种情况进行讨论求解即可.
【详解】（1）略
（2）解：由（1）知
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
垂直平分
，
∵
是等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
；
（3）解：同（1）法可得
；
∴
，
①当点
在线段
上时，如图，
∵
为等边三角形，
12 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
②当点
在线段
的延长线上时，如图：
∵
，
∴
，
∴
.
变式2-2（25-26 八年级下·内蒙古包头·期末）如图1，已知
为等边三角形，取
的边
，
中点
，
，连接
，易证
为等边三角形，将
绕点
顺时针旋转，设旋转角
，其中
．
(1)如图2，当
时，
①
与
交于点
，求
的度数；
②连接
，
，求证：
．
(2)在
旋转过程中，当
超过一定角度时，如图3，连接
，
会交于一点，记交点为点
，
交
于点
，
交
于点
，连接
，求证：
平分
．
【答案】(1)①
；
②证明：
和
分别为等边三角形，
，
，
由旋转知：
，
13 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
．
(2)证明：如图，过点
分别作
于点
，
于点
，
和
分别为等边三角形，
，
，
由旋转知：
，
，
，
，
，
，
平分
．
【分析】（1）①由旋转可得
，再根据等边三角形性质求出
，即可求出结论；
②证明
，即可得出结论；
（2）先证明
，得出
，
，过点
分别作
于点
，
于
点
，得出
，即可证明结论；
【详解】（1）①解：如图，
由旋转可得，
，
是等边三角形，
，
．
14 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
②略
（2）略
题型三、“手拉手”模型之共顶点双等腰直角三角形模型
典例3（25-26 八年级上·福建莆田·阶段检测）
和
都是等腰直角三角形，
．
(1)如图1，点
在
上，则
满足怎样的数量关系？请说明理由．
(2)如图2，点
在
内部，点
在
外部，连接
，则
满足怎样的数量关系和位置关
系？请说明理由．
【答案】(1)
，理由如下：
∵
和
都是等腰直角三角形，
，
∴
，
，
∴
，
∴
；
(2)
，
，理由如下：
延长
，分别交
、
于F、G，
∵
和
都是等腰直角三角形，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
15 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
∴
，即
．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到
，
，然后求解即可；
（2）延长
，分别交
、
于F、G，证明
，得到
，
，
进而求解即可．
【详解】（1）略
（2）略
题型模版
条件：如图，△ABC 和△DCE 均为等腰直角三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN 平分∠BND。
变式3-1（25-26 七年级下·广东佛山·期中）解决问题
(1)问题发现
如图1，
和
均为等边三角形，点
在同一直线上，连接
，求
的度数；
(2)拓展探究
①如图2，
和
均为等腰直角三角形，
，点A、D、E 在
同一直线上，连接
．求
的度数；
②如图2，记
为
面积，
为
面积，设
，求关于n 的数量关系式．
【答案】(1)
(2)①
；②
．
16 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】（1）先证明
，那么
，根据全等三角形证明
，
求出
，得出
，从而得到
；
（2）证明
，得出
，进一步得到
；②设
的面积为
，
的面积为
，由
，可得
与
的面积相等，推出
，进而得到
为
的面积，再根据
，
均为等腰直角三角形，且
，
，即可得出结
论
．
【详解】（1）解：∵
和
均为等边三角形，
∴
，
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
．
∴
．
∵
为等边三角形，
∴
．
∵点A，D，E 在同一直线上，
∴
，
∴
．
∴
．
（2）解：①∵
和
均为等腰直角三角形，
∴
，
．
∴
．
在
和
中，
，
∴
．
∴
．
17 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
为等腰直角三角形，
∴
．
∵点A，D，E 在同一直线上，
∴
，
∴
．
∴
；
②设
的面积为
，
的面积为
，
∵
，
∴
与
的面积相等，
∵
为
面积，
为
面积，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
为
的面积，
，
均为等腰直角三角形，且
，
∴
，
∴
，即
．
变式3-2（25-26 八年级下·山东枣庄·期末）综合与实践．
【初步探究】某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形
和等腰
直角三角形
，按如图1 的方式摆放，
，随后保持
不动，将
绕点C 按
逆时针方向旋转
（0°＜
＜90°），连接
，
，延长
交
于点F，交
于点G，连接
．该
数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
(1)如图2，当
时：
18 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
①则
；
②判断
与
的位置关系，并说明理由．
(2)【深入探究】如图3，当点E，F 重合时，探究
之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①
；②
理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
(2)
，
理由如下：
和
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【分析】（1）①根据
和等腰直角三角形的性质即可求出
②根据已知条件判定
，得到
，再根据直角三角形两锐角互余和对顶角的性质即可证明
；
（2）仍是判定
，则
，再根据等腰直角三角形性质得到
，
19 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
代换即可．
【详解】（1）
解：①
是等腰直角三角形，
，
，
，即
．
②略
（2）略
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．（25-26 七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在
，
中，
，
，
，点
，
，
三点在同一直线上，连接
．
(1)
与
全等吗？为什么？
(2)试猜想
，
有何关系？并说明理由．
【答案】(1)全等，理由见解析
(2)
，
，理由见解析
【分析】（1）已知
，
，由
可得
，利用“
”即可证
明；
（2）由（1）知
，可得
，
，通过角之间的等量代换，得出
即可得到
．
【详解】（1）解：全等，理由见解析：
，
，
，
20 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
在
与
中，
，
；
（2）解：
，
，理由如下：
由（1）知，
，
，
，
∵
，
，
∴
，
即
，
，
，
∴
，
则
．
2．（25-26 八年级下·广东清远·期中）如图①，
是等边三角形，点D 在
的内部，连接
，
将线段
绕点A 按逆时针方向旋转
，得到线段
，连接
．
(1)判断线段
与
的数量关系并给出证明；
(2)如图②，延长
交直线
于点F．当点F 与点B 重合时，证明：
．
【答案】(1)
，理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质以及旋转的性质证明
即可得出结论；
（2）借助（1）的结论，利用线段的和差证明．
【详解】（1）解：
，理由如下：
21 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
是等边三角形，
∴
，
∵
是由
绕点A 逆时针旋转
得到的，
∴
，
∴
，
∴
，
即：
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
；
（2）证明：由（1）得：
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∴
．
3．（25-26 七年级下·上海宝山·期末）如图，已知：
、
都是等边三角形，连接
分别是线段
的中点．
(1)求证：
；
(2)求证：
是等边三角形．
【答案】(1)证明：∵
、
都是等边三角形，
∴
，
∴
，即
，
22 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
在
和
中，
，
∴
；
(2)证明：∵
，
∴
，
，
∵
分别是线段
的中点，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
是等边三角形．
【分析】（1）首先结合等边三角形的性质证明
，进一步可得
，然后利用“
”证明
即可；
（2）首先利用“
”证明
，由全等三角形的性质可得
，进
而证明
，即可证明结论．
【详解】（1）略
（2）略
4．（25-26 八年级下·安徽宿州·阶段检测）如图1，
三点共线，
和
均为等边三角形．
23 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)求证：
；
(2)如图2，
与
交于点
，
与
交于点
，连接
．
①求证：
；
②猜想
与
的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
证明：
和
均为等边三角形，
．
．
在
和
中，
，
，
；
(2)
①证明：由（1）可知
，
，
又
．
，
；
②猜想：
，理由：
，
，
是等边三角形，
，
，
24 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
．
【分析】
（）由等边三角形性质可得
，
，
，得到
，
然后证明
，再由全等三角形性质即可得证；
（
）
证明
，再由全等三角形性质即可得证；
先证明
是等边三角形，所以
，则
，然后通过平行线的判定方法即可求解．
【详解】（1）略
（2）①略
②略
5．（25-26 八年级下·广东佛山·期中）在
中，
，
．
(1)【初步探究】
如图1，点
在
内，连接
，将线段
绕点
逆时针旋转
得线段
，连接
，
，
．求
证：
；
(2)【深入探究】
在图1 中，延长
交
于点
，连接
，猜想
，
，
之间的数量关系，并证明；
(3)【拓展延伸】
如图2，点
在
外，且
，
与
交于点
，连接
．将
与
的面积分
别记为
与
．设
，
，求关于
的函数表达式．
【答案】(1)见详解
(2)
，证明见详解
(3)
【分析】本题考查了图形旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定
理，图形面积的转化等知识点．
（1）根据等腰三角形的性质和图形旋转的性质得到
，继而得证结论．
25 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）延长
交
于点
，连接
，过点
作
交
于点
，通过证明
，得到
为等腰直角三角形，继而得到
，根据
，得证结论．
（3）过点
作
交
于点
，通过证明
为等腰直角三角形，得到
，通过证明
，得证
，即
．
【详解】（1）解：由旋转可知
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
；
（2）解：
，证明如下，
如图，延长
交
于点
，连接
，过点
作
交
于点
，
则
，
由（1）可知
，
，
，
，
在
和
中，
，
26 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
；
（3）解：过点
作
交
于点
，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
27 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
6．（25-26 七年级下·山东济南·期中）《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别
于其他学科，最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象．形成一些基
本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题．
【建立模型】
(1)如图1，
为等边三角形，点
在
的延长线上，在
的同侧以
为边构造等边三角形
，
连接
，
交于点
．则
，判定依据为 ，
，并直接写出
的度数 ．
【应用模型】
(2)如图2，点
为等边
内一点，将线段
绕点
逆时针旋转60°得到线段
，连接
，若
三点共线，求证：
平分
；
(3)如图3，在Rt
中，
，
，点
是
外一点，连接
，
，
．当
5，
时，请直接写出四边形
的面积．
【答案】(1)
，SAS，AD，
(2)见解析
(3)12.5
【分析】(1) 观察图形可知
，结合已知条件可以确定全等的判定方法，然后利用全等三角形
的对应角相等，再通过进一步推导可以求出
；
(2) 首先结合第 (1) 问的图形结构证明
，然后利用全等的性质和已知条件确定
的度
数，进而证明
即可；
28 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(3) 依据前 2 问的解题经验，构造类似的图形结构，通过作辅助线把四边形的面积进行转化而求解．
【详解】（1）解：如图1，设
，
交于点
．
，
为等边三角形，
，
，
，
，即
，
，
，
，
又
，
；
（2）证明：
线段
绕点
逆时针旋转
得到
，
，
，
．
为等边三角形，
，
，
，即
．
在
和
中，
，
．
三点共线，
，
，
，
，
29 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，即
平分
；
（3）解：答案12.5．理由：
如图 2，延长
到
，使
．
，
，
在四边形
中，
．
，
．
在
和
中，
．
，
，
，
．
，
，
．
7．（25-26 八年级下·江西九江·期中）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在
相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰
长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．
30 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)【模型探究】如图1，若
和
均为等边三角形，
，
，
，
，点A、D、E 在同一条直线上，连接
，
则
__________；线段
__________；则
的度数为__________；
(2)【探究证明】如图2，已知
，分别以
为直角边向
两侧作等腰直角三角形
和等腰
直角三角形
，其中
，
，
，连接
，线段
和
交于点
O．请判断线段
和
的关系，并说明理由；
(3)【模型应用】如图3，在
中，
，
，将线段
绕着点C 逆时针旋转
至线段
，连接
，求
的面积．
【答案】(1)
，
，
(2)
解：
，
，理由如下：
如图，设
交
于点
，
∵
和
是等腰直角三角形，
，
∴
，即
，
在
和
中，
，
31 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，
，
又∵
，
∴
，
∴
，
．
(3)
【分析】（1）由
和
均为等边三角形，可得
，
，
，可得
，即可得
，则
，
，可得
；
（2）同理证明
，，根据全等三角形的性质解答即可；
（3）过点
作
交
于E 点，连接
，根据旋转的性质和等腰直角三角形性质，可得
，
从而证明出
，
，最后利用三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵
和
均为等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
．
（2）略
（3）解：如图，过点
作
交
于E 点，连接
，
32 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
，
，
由旋转的性质可知，
，
，
∴
，
∴
，即
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
8．（25-26 七年级下·河南郑州·期中）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同
的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形．
【模型初现】
(1)如图1，
与
都是等腰三角形，其中
，
，
，则
33 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，即
，所以
，以上判定全等的依据是 ．
A．
B．
C．
D．
兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”
【模型运用】
(2)如图2，已知
、
、
三点共线，分别以
、
为边向外作等边
和等边
，
、
交
于点
，证明：
，并求出
的度数；
【模型深化】
(3)如图3，
、
是等腰直角三角形，
，
，
，连接
、
，
探究
、
的数量关系与位置关系，并给出证明；
【拓展延伸】
(4)如图4，
是等腰直角三角形，其中
，
，
，连接
，请直接写出
、
、
之间的数量关系．
【答案】(1)C
(2)
证明：∵
和
都是等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，即
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
34 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
∵
，
∴
；
(3)
，且
，
证明：∵
，
∴
，即
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
如图，设
交
于点
，
∵
，
∴
，
又∵
，
，
∴
35 / 35
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
∵
，
∴
，
∴
；
(4)
【分析】（1）通过角的和差运算得到两边的夹角相等，结合已知的两组等边，可用
判定三角形全等；
（2）先利用等边三角形的边、角性质证
得
，再通过角的等量代换结合三角
形内角和求出
；
（3）由角的和差得夹角相等证
得
，再通过角的转化证明两线夹角为
，得
出
；
（4）利用“同角的余角相等”推出
，再代入
的内角和定理得到三个角的数量关系．
【详解】（1）解：
，
，
，符合“两边及其夹角对应相等”的
全等判
定定理；
（2）略
（3）略
（4）解：
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
