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专题11 共顶点的等腰三角形“手拉手”模型的三类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、“手拉手”模型之共顶点双等腰三角形模型
题型二、“手拉手”模型之共顶点双等边三角形模型
题型三、“手拉手”模型之共顶点双等腰直角三角形模型
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
- 题型特征：两个等腰三角形共顶点，顶角相等，且顶点相连（通常一大一小），形成旋转全等结构。
- 解题方法：识别公共顶点与对应等腰边；利用SAS 证明“左手拉左手、右手拉右手”形成的两个三角形
全等；由全等导出对应边、角相等；常结合八字倒角求夹角。
- 易错提醒：找错对应边（手拉手应连接的是不同等腰三角形的腰）；忽略公共顶点处顶角相等这一前提；
结论中夹角与顶角关系误判（一般夹角等于顶角或其补角）；旋转方向分析不清。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、“手拉手”模型之共顶点双等腰三角形模型
典例1（25-26 八年级上·甘肃平凉·期中）如图①，CA
CB
=
，CD
CE
=
，
ACB
DCE
a
=
=
，
,
AD BE 交
于点M，AD
BC
，
交于点O，连接CM ．
(1)求证：BE
AD
=
；
(2)用含的式子表示
AMB
的度数；
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(3)当
60
=
时，分别取
,
AD BE 的中点P，Q，连接
,
,
CP CQ PQ ，如图②所示，判断CPQ
的形状，并加以
证明．
题型模版
条件：△ABC 和△DCE 均为等腰三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF 平分∠AFD。
变式1-1（25-26 八年级上·云南玉溪·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它
们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．
(1)如图1，在“手拉手”图形中，
,
,
AC
AB AD
AE
BAC
DAE
=
=
=
，若
40
AEC
=
，则
ADB =
∠
(2)如图2，
ABC
和
AED
△
是等边三角形，连接BD，EC 交于点O，求
BOC
的度数；
(3)如图3，AB
BC
=
，
60
ABC
BDC
=
=
，试探究
A
与
C
的数量关系．
变式1-2（25-26 八年级上·湖北荆门·期末）
（1）
【问题背景】如图1，ABC
和DAE
中，AB
AC
=
，AD
AE
=
，
且
BAC
DAE
=
，连接BE ，CD，求证：ABE
ACD
≌
．
（2）【尝试运用】如图2，
ABC
中，AB
AC
=
，
40
BAC
=
，以B 为端点引一条与腰AC 相交的射线，在
射线上取点D，使
ADB
ACB
=
，求
BDC
的度数．小亮同学通过观察，联想到（1）中的模型，在BD上
找一点E ，使AE
AD
=
，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程．
（3）【拓展延伸】如图3，
ABC
中，AB
AC
=
，
BAC
为任意角度，若射线BD在BC 的下方，仍在射线
上取点D，使
ADB
ACB
=
，求证：
180
BAC
BDC
+
=
．
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题型二、“手拉手”模型之共顶点双等边三角形模型
典例2（25-26 七年级下·上海·期末）
与
是有公共顶点
的两个等边三角形，将
绕点
顺时针旋转至以下各位置：
(1)如图1，当
在
下方时，说明
．
(2)如图2，当
在
边上时；如图3，当
在
内时；如图4，当
在
边上时；如图5，当
时，
还成立吗？请一一说明理由．
题型模版
条件：如图，△ABC 和△DCE 均为等边三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF 平分∠BFD。
变式2-1（25-26 七年级下·辽宁丹东·期末）已知：
是等边三角形．
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(1)如图1，点D 是边
上一动点，连接
，以
为边作等边三角形
，点F 在
的右侧，连接
，
求证：
；
(2)如图2，在（1）的条件下，点E在边
上且
是等边三角形，
与边
交于点M，
，
，
求
的长度；
(3)如图3，当点D 是
内任意一点，连接
，以
为边作等边
，点F 在
的右侧，连接
并延长交射线
于点E（点E 与点F 不重合），请直接写出
与
之间的数量关系．
变式2-2（25-26 八年级下·内蒙古包头·期末）如图1，已知
为等边三角形，取
的边
，
中点
，
，连接
，易证
为等边三角形，将
绕点
顺时针旋转，设旋转角
，其中
．
(1)如图2，当
时，
①
与
交于点
，求
的度数；
②连接
，
，求证：
．
(2)在
旋转过程中，当
超过一定角度时，如图3，连接
，
会交于一点，记交点为点
，
交
于点
，
交
于点
，连接
，求证：
平分
．
题型三、“手拉手”模型之共顶点双等腰直角三角形模型
典例3（25-26 八年级上·福建莆田·阶段检测）
和
都是等腰直角三角形，
．
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(1)如图1，点
在
上，则
满足怎样的数量关系？请说明理由．
(2)如图2，点
在
内部，点
在
外部，连接
，则
满足怎样的数量关系和位置关
系？请说明理由．
题型模版
条件：如图，△ABC 和△DCE 均为等腰直角三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN 平分∠BND。
变式3-1（25-26 七年级下·广东佛山·期中）解决问题
(1)问题发现
如图1，
和
均为等边三角形，点
在同一直线上，连接
，求
的度数；
(2)拓展探究
①如图2，
和
均为等腰直角三角形，
，点A、D、E 在
同一直线上，连接
．求
的度数；
②如图2，记
为
面积，
为
面积，设
，求关于n 的数量关系式．
变式3-2（25-26 八年级下·山东枣庄·期末）综合与实践．
【初步探究】某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形
和等腰
直角三角形
，按如图1 的方式摆放，
，随后保持
不动，将
绕点C 按
逆时针方向旋转
（0°＜
＜90°），连接
，
，延长
交
于点F，交
于点G，连接
．该
数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
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(1)如图2，当
时：
①则
；
②判断
与
的位置关系，并说明理由．
(2)【深入探究】如图3，当点E，F 重合时，探究
之间的数量关系，并说明理由．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．（25-26 七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在
，
中，
，
，
，点
，
，
三点在同一直线上，连接
．
(1)
与
全等吗？为什么？
(2)试猜想
，
有何关系？并说明理由．
2．（25-26 八年级下·广东清远·期中）如图①，
是等边三角形，点D 在
的内部，连接
，
将线段
绕点A 按逆时针方向旋转
，得到线段
，连接
．
(1)判断线段
与
的数量关系并给出证明；
(2)如图②，延长
交直线
于点F．当点F 与点B 重合时，证明：
．
3．（25-26 七年级下·上海宝山·期末）如图，已知：
、
都是等边三角形，连接
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分别是线段
的中点．
(1)求证：
；
(2)求证：
是等边三角形．
4．（25-26 八年级下·安徽宿州·阶段检测）如图1，
三点共线，
和
均为等边三角形．
(1)求证：
；
(2)如图2，
与
交于点
，
与
交于点
，连接
．
①求证：
；
②猜想
与
的位置关系，并说明理由．
5．（25-26 八年级下·广东佛山·期中）在
中，
，
．
(1)【初步探究】
如图1，点
在
内，连接
，将线段
绕点
逆时针旋转
得线段
，连接
，
，
．求
证：
；
(2)【深入探究】
在图1 中，延长
交
于点
，连接
，猜想
，
，
之间的数量关系，并证明；
(3)【拓展延伸】
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如图2，点
在
外，且
，
与
交于点
，连接
．将
与
的面积分
别记为
与
．设
，
，求关于
的函数表达式．
6．（25-26 七年级下·山东济南·期中）《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别
于其他学科，最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象．形成一些基
本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题．
【建立模型】
(1)如图1，
为等边三角形，点
在
的延长线上，在
的同侧以
为边构造等边三角形
，
连接
，
交于点
．则
，判定依据为 ，
，并直接写出
的度数 ．
【应用模型】
(2)如图2，点
为等边
内一点，将线段
绕点
逆时针旋转60°得到线段
，连接
，若
三点共线，求证：
平分
；
(3)如图3，在Rt
中，
，
，点
是
外一点，连接
，
，
．当
5，
时，请直接写出四边形
的面积．
7．（25-26 八年级下·江西九江·期中）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在
相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰
长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．
(1)【模型探究】如图1，若
和
均为等边三角形，
，
，
，
，点A、D、E 在同一条直线上，连接
，
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则
__________；线段
__________；则
的度数为__________；
(2)【探究证明】如图2，已知
，分别以
为直角边向
两侧作等腰直角三角形
和等腰
直角三角形
，其中
，
，
，连接
，线段
和
交于点
O．请判断线段
和
的关系，并说明理由；
(3)【模型应用】如图3，在
中，
，
，将线段
绕着点C 逆时针旋转
至线段
，连接
，求
的面积．
8．（25-26 七年级下·河南郑州·期中）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同
的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形．
【模型初现】
(1)如图1，
与
都是等腰三角形，其中
，
，
，则
，即
，所以
，以上判定全等的依据是 ．
A．
B．
C．
D．
兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”
【模型运用】
(2)如图2，已知
、
、
三点共线，分别以
、
为边向外作等边
和等边
，
、
交
于点
，证明：
，并求出
的度数；
【模型深化】
(3)如图3，
、
是等腰直角三角形，
，
，
，连接
、
，
探究
、
的数量关系与位置关系，并给出证明；
【拓展延伸】
(4)如图4，
是等腰直角三角形，其中
，
，
，连接
，请直接写出
、
、
之间的数量关系．
