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1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题07 线段垂直平分线的性质 （题型突破·举一反三） 题型01 利用垂直平分线的性质求线段长 题型02 利用垂直平分线的性质求周长 题型03 利用垂直平分线的性质确定位置 题型04 通过尺规作图的痕迹得到垂直平分线 题型05 尺规作图（垂直平分线） 题型06 利用垂直平分线的性质进行证明 题型07 最值问题 ▌题型01 利用垂直平分线的性质求线段长 1. 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等。 2. 解题步骤 ① 找垂直平分线 看题干/图形：谁是谁的垂直平分线，标记垂直、平分两个条件。 ②找线上动点 确定落在垂直平分线上的点，直接转化线段相等。 ③等量代换，统一线段 把要求的线段，换成已知长度的线段。 ④结合其他条件计算 【典例1】如图，AD 垂直平分线段BC，点P 在AD 上，连接PB、PC，若BP＝13，则PC 的长为（ ） 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．10 B．11 C．12 D．13 【变式1-1】（2026•越秀区校级三模）如图，在△ABC 中，AB＝8，点D 在AC 边的垂直平分线上，△BCD 的周长为15，则BC 的长为（ ） A．5 B．6 C．3 D．7 【变式1-2】（2026 春•玄武区校级期中）如图，△ABC 的边AB，BC 的垂直平分线交于点P，若PA+PC＝ 16，则PB 的长为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1-3】（2026 春•莲湖区期末）如图，△ABC 周长为21，D 为AC 的中点，且DE⊥AC，连接CE．已 知△BCE 周长为13，求AD 的长． 3 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型02 利用垂直平分线的性质求周长 1. 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等。 2. 解题步骤 ① 锁定垂直平分线 找到图中哪条线是某线段的垂直平分线，标出交点。 ②等量替换边 把平分线上的点到底边两端的线段互换（DB=DC）。 ③化简周长式子 把三角形周长展开，再用等线段替换，消去未知边。 ④代入已知边长直接计算 【典例1】（2026•大荔县校级四模）如图，在△ABC 中，AC＝7，BC＝10，AB 边的垂直平分线分别与AB、 BC 交于点D、E，连接AE，则△ACE 的周长为（ ） A．17 B．24 C．26 D．27 【变式1-1】（2026•娄星区校级模拟）如图所示，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E，交BC 于D， △ABC 的周长是17，AC＝5，则△ABD 的周长为（ ） A．12 B．17 C．22 D．27 【变式1-2】（2026 春•和平区校级期中）如图，在锐角△ABC 中，BC＝9，AB 的垂直平分线分别交AB、BC 于点D、E，AC 的垂直平分线分别交AC、BC 于点F、G，EG＝1，则△AEG 的周长为（ ） 4 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．11 B．10 C．9 D．8 【变式1-3】（2025 秋•天桥区期末）如图，在△ABC 中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN 为边BC 的垂直平 分线，点D 为直线MN 上一动点，则△ABD 的周长的最小值为（ ） A．10 B．12 C．14 D．15 ▌题型03 利用垂直平分线的性质确定位置 1. 线段垂直平分线上所有点，到线段两个端点距离相等。到三角形三个顶点距离相等的点在三边垂直平分 线的交点处。 2. 常见实际应用场景 ①仓库选址：到两个村庄距离相等； ②信号塔位置：到两小区距离相同； ③商场站点：在公路上，到两地路程相等； ④几何找点：三角形内找一点到两顶点等距。 【典例1】（2025 秋•白云区期末）如图，电信部门要在A，B，C 三个村庄所围成的三角形地块里面修建一 座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC 的（ ） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 5 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 C．三条高线的交点处 D．三条垂直平分线的交点处 【变式1-1】（2026 春•沙坪坝区校级期末）如图，A，B，C 三个村庄围成一个三角形地块，电信部门要在 里面修建一座电视信号发射塔，要求发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC 的（ ） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三边的垂直平分线的交点处 【变式1-2】（2026 春•龙岗区校级期中）如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站到三座商 场的距离相等，该公交站应建在（ ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三个内角的角平分线的交点 【变式1-3】（2026•广州校级模拟）如图，在校运会的一项趣味竞赛中，三名同学分别站在△ABC 的三个顶 点处，争抢放置于三角形内部的凳子，最先坐到凳子者获胜．为保证比赛公平，要使凳子到三角形三个顶 点的距离相等，凳子应放在三角形的（ ） 6 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 ▌题型04 通过尺规作图的痕迹得到垂直平分线 作已知线段的垂直平分线的方法： 已知：如图，线段MN. 求作：点O，使MO=NO（即O 是MN 的中点）. 作法： （１）分别以M、N 为圆心，大于 MN 2 1 的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q； （２）连接PQ 交MN 于O．则点PQ 就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。 【典例1】（2025 秋•临海市期末）如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D，分别以点A 和 点D 为圆心，大于 1 2 𝐴𝐷的长为半径作弧，两弧相交于P，Q 两点，作直线PQ，交AB，AC 于点E，F， 下列结论不一定成立的是（ ） A．AE＝ED B．EF⊥AD C．AF∥ED D．∠AEF＝∠EAD 【变式1-1】（2026 春•法库县期中）如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD 的周 长为13cm，则△ABC 的周长为（ ） O Q P N M 7 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm 【变式1-2】（2025 秋•泸水市期末）如图，在△ABC 中，AC＝7，AD＝3，分别以点B，点C 为圆心，大于 1 2 𝐵𝐶的长为半径作弧，两弧相交于M，N 两点，则BD 的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1-3】（2025 秋•延边州期末）如图，在△ABC 中，以点A 为圆心，AC 的长为半径作圆弧交BC 于点 D，再分别以点B 和点D 为圆心，大于 1 2 𝐵𝐷的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M 和点N，连接MN 交 AB 于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE 的周长为 ． ▌题型05 尺规作图（垂直平分线） 作已知线段的垂直平分线的方法： 已知：如图，线段MN. 求作：点O，使MO=NO（即O 是MN 的中点）. 作法： （１）分别以M、N 为圆心，大于 MN 2 1 的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q； （２）连接PQ 交MN 于O．则点PQ 就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。 8 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】（2025 秋•惠州期末）如图，已知△ABC． （1）尺规作图：作BC 边的垂直平分线DE，交BC 于点D，交AB 于点E（只保留作图痕迹，不要求写 作法）； （2）连接CE，若△ABC 的周长为24cm，BD＝5cm，则△AEC 的周长为 cm． 【变式1-1】（2026 春•梅县区期中）如图，AB＝AC，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D，交AB 于点E， 连接BD． （1）请对题干中的划线部分尺规作图（保留作图痕迹），并标记D，E 两点； （2）若AE＝6，△BCD 的周长为19，求BC 的长． O Q P N M 9 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】在△ABC 内找一点P，使点P 到A，B 两点的距离相等，并且点P 到点C 的距离等于线段AC 的长．（尺规画图，不写作法，保护作图痕迹） 【变式1-3】如图，点C 是线段AB 外一点．借助无刻度直尺和圆规，判断点C 是否在线段AB 的垂直平分 线上．（要求：用两种方法判断；保留作图痕迹，不写作法．） ▌题型06 利用垂直平分线的性质进行证明 证明两条线段相等，证PA=PB， 步骤： 1. 找到线段AB 的垂直平分线； 2. 说明点P 在这条垂直平分线上； 3. 根据垂直平分线性质，直接得出PA=PB。 10 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】（2026 春•七里河区期中）如图，在△ABC 中，AD⊥BC，EF 垂直平分AC，交AC 于点F，交BC 于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC 的周长为42cm，AC＝16cm，求△ABE 周长． 【变式1-1】（2025 秋•连云港校级月考）如图，AB＝CD，AC、BD 的垂直平分线EM、EN 相交于点E，求 证：∠ABE＝∠CDE． 11 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】如图，C、D 是线段AB 的垂直平分线l 上的两点．求证：∠CAD＝∠CBD． 【变式1-3】如图，直线l 是线段AB 的垂直平分线，P 点在直线l 的右侧，求证：PA＞PB． ▌题型07 最值问题 1. 已知直线𝑙，点A、B 在直线同侧，在𝑙上找点P，使PA+PB 最小。 ①作A 关于直线𝑙的对称点A'； ②连接A'B，与直线𝑙交于点P； ③此时PA+PB=A'P+PB=A'B，为最小值； 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ④关键：对称轴𝑙就是AA'的垂直平分线，得 PA=PA'，等量代换。 2. 解题步骤 ①找垂直平分线，写出等线段（PB=PC）； ② 把周长/两条线段和进行等量替换； ③ 转化为“两点之间线段最短”； ④连接两点，交点即为动点位置。 【典例1】（2026 春•新城区期末）综合与实践 如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同侧有两个 定点A，B，在直线l 上存在点C，使得CA+CB 的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′，则AB′与直线l 的交点即为点C， 且CA+CB 的最小值为AB′的长． 如图3，为了证明点C 的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点C′，连接AC′，BC′， B′C′，证明AC+BC＜AC′+BC′即可． （1）请完成图3 中小明的证明； （2）如图4，在△ABC 中，直线m 是边BC 的垂直平分线，点P 是直线m 上的动点．若AB＝6，AC＝ 5，BC＝8，则△APC 周长的最小值为 11 ． 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】如图，等腰三角形ABC 底边BC 的长为5cm，面积是18cm2，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于 点F，若D 为BC 边上的动点，M 为线段EF 上一动点，则BM+DM 最小值为（ ）cm． A． 9 5 B． 13 5 C． 18 5 D． 36 5 【变式1-2】如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD，且CD＝5，AD＝13，直线EF 是边AC 的垂 直平分线，若点M 在直线EF 上运动，连接DM、CM，则△CDM 周长的最小值为（ ） A．8 B．16 C．18 D．20 【变式1-3】（2025 秋•呼玛县期末）如图，l 是△ABC 的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，E 为l 上任意一 点，且AC＝5，BC＝8，AB＝6，则△AEC 周长的最小值为 ．
