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13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1 课时 线段的垂直平分线的性质和判定
一、选择题（共8 小题）
1．如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段
PA=5，则线段PB 的长度为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
2．如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ）
A．AB 垂直平分CD
B．CD 垂直平分AB
C．AB 与C
D 互相垂直平分
D．CD 平分∠ACB
3．下列说法中错误的是（ ）
A．过“到线段两端点距离相等的点”的直线是线段的垂直平分线
B．线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等
C．线段有且只有一条垂直平分线
D．线段的垂直平分线是一条直线
4．到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC 的（ ）
A．三边
垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点
D．三边中线的交点
5．如图，∠ABC=50°，AD 垂直平分线段BC 于点D，∠ABC 的平分线交AD 于E，连
接EC；则∠AEC 等于（ ）
A．100°
B．105°
C．115°
D．120°
6．如图，△ABC 中，AD 是BC 的中垂线，若BC=8，AD=6，则图中阴影部分的面积是
（ ）
A．48
B．24
C．12
D．6
7．如图，△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于E，交AC 于F，
交AB 于D，连接BF．若BC=6cm，BD=5cm，则△BCF 的周长为（ ）
A．16cm
B．15cm
C．20cm
D．无法计算
8．如图△ABC 中，∠B=40°,AC 的垂直平分线交AC 于点D,交BC 于点E，且∠EAB：
∠CAE=3：1，则∠C=( )
A．28°
B．25°
C．22.5°
D．20°
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第1 题图 第2 题图 第5 题图
第6 题图 第7 题图 第8 题图
二、填空题（共10 小题）
9．到线段AB 两个端点距离相等的点的轨迹是
_________
．
10．如图，有A、B、C 三个居民小区是位置成三角形，现决定在三个小区之间修建
一个休闲广场，使广场到三个小区的距离相等，则广场应建在
_________
．
11.在阿拉伯数字中，有且仅有一条对称轴的数字是____________.
12、如图，△ABC 中，DE 垂直平分AC
交AB 于
E
，
∠
A=30°
，
∠
ACB=80°
，
则
∠
BCE=
_________
度．
13、如图，△ABC 的周长为19cm，AC 的垂直平分线DE 交BC 于D，E 为垂足，
AE=3cm，则△ABD 的周长为
_________
cm．
14．如图，已知在△ABC 中，AB=AC=10，DE 垂直平分AB，垂足为E，DE 交AC 于D，若
△BDC 的周长为16，则BC=
_________
．
15．如图，在△ABC 中，∠B=30°，直线CD 垂直平分AB，则∠ACD 的度数为
_________
．
16．已知如图，在△ABC 中，BC=8，AB 的中垂线交BC 于D，AC 的中垂线交BC 与E，
则△ADE 的周长等于
_________
．
17．如图，AB=AC，AC 的垂直平分线DE 交AB 于D，交AC 于E，BC=6，△CDB 的周长为
15，则AC=
_________
．
18．如图，△ABC 中，AB=AC，∠A=40°，AC 的垂直平分线分别交AB，AC 于D，E 两点，
连接CD．则∠BCD=
_________
度．
第10 题图 第12 题图 第13 题图 第14 题图
第15 题图 第16 题图 第17 题图 第18 题图
三、解答题（共5 小题）
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E
D
A
B
C
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19．如图，四边形ABCD
中，AC 垂直
平分BD 于点O．
（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；
（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．
20．如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是AB 的中点，且DE⊥AB，△BCE
的周长为8cm，且AC﹣BC=2cm，求AB、BC 的长．
21.如图，已知：在
中，AB、BC 边上的垂直平分线相交于点P.
求证：点P 在AC 的垂直平分线上.
22．如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于E，DF⊥AC 于F．
求证：AD 垂直平分EF．
23．如图，已知∠C=∠D=90°，AC 与BD 交于O，AC=BD．
（1）求证：BC=AD；
（2）求证：点
O 在线段AB 的垂直平分线上．
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13.1.2 线段的垂直平分线的性质
一、选择题（共8 小题）
1．B 2．A 3．A 4．A 5．C 6．C 7．A 8．A
二．填空题（共10 小题）
9. 线段AB 的中垂线；10. 三边垂直平分线的交点处； 11. 3； 12. 50；3. 13 ；14. 6
15. 60° ；16. 8 ；17. 9 ；18.35°
三．解答题（共5 小题）
19
.（1）解：图中有三对全等三角形：
△AOB
AOD
△
≌
，
△COB
COD
≌△
，△ABC
ADC
≌△
；
（2）证明△ABC
AD
≌△
C．
证明：∵AC 垂直平分BD，
AB=AD
∴
，CB=CD（中垂线的性质），
又∵AC=AC，
ABC
ADC
∴△
△
≌
．
20. 解：∵△ABC 中，AB=AC，D 是AB 的中点，且DE AB
⊥
，∴AE=BE，
BCE
△
∵
的周长为8cm，即BE+CE+BC=8
cm，
AC+BC=8cm…
∴
①，
AC
BC=
∵
﹣
2cm…②，
+
①②得，2AC=10cm，即AC=5cm，故AB=5cm；
①﹣②得，2BC=6cm，BC=3cm．
故AB=5cm、BC=3cm．
21. 证明：∵P 在AB、BC 的垂直平分线上
∴AP=BP，BP=CP
∴AP=CP，
∴P 点在AC 的垂直平分线上.
22. 证：∵AD 是∠BAC 的平分线，
DE AB
⊥
，DF AC
⊥
，
DE=DF
∴
，∠AED= AFD=90°
∠
，
在Rt
AED
△
和Rt
AFD
△
中
Rt
AED Rt
AFD
∴
△
△
≌
（HL），
AE=AF
∴
，
AD
∵
是∠BAC 的平分线，
AD
∴
垂直平分EF（三线合一）
23. 证
明：（1）∵∠C= D=90°
∠
，
∴在Rt
ACB
△
和Rt
BDA
△
中，
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，
Rt
ACB Rt
BDA
∴
△
△
≌
，
AD=BC
∴
；
（2）∵Rt
ACB Rt
BDA
△
△
≌
，
CAB= DBA
∴∠
∠
，
OA=OB
∴
，
∴点O 在线段AB 的垂直平分线上．
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