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专题11 概率的应用
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、用频率估计概率的应用
题型2、利用概率计算随机事件平均发生的次数
题型3、用概率探究保险问题
题型4、用概率知识解决商业抽奖问题
题型5、用概率知识解决比赛问题
题型6、用概率知识解决游戏公平性问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
概率的应用问题通常把实际情境抽象为随机试验，关键是区分“频率估计概率”“期望次数”“决策比较”
等模型；用频率估计概率时需关注试验次数足够大；计算平均发生次数可利用 n·P(A)；保险、抽奖、比赛、
公平性等问题要先建立概率模型，再通过比较概率或期望作出解释；注意把文字条件转化为事件关系，并
用树状图、列表法或频率分布辅助分析，最后回归实际意义．
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、用频率估计概率的应用
典例1 （24-25 九年级下·湖北十堰·自主招生）某花店每天以每枝5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，
然后以每枝10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
目 录
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(1)若花店一天购进16 枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n 为整数）的
函数解析式；
(2)花店记录了100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
（Ⅰ）假设花店在这100 天内每天购进16 枝玫瑰花，求这100 天的日利润（单位：元）的平均数和方差；
（Ⅱ）若花店计划一天购进16 枝或17 枝玫瑰花，你认为应购进16 枝还是17 枝？以100 天记录的各需求
量的频率作为各需求量发生的概率，请从日利润的平均数的角度说明理由．
题型模版
1.特征：通过大量重复试验得到的频率来估计事件发生的概率，常用于统计推断．
2.方法：计算事件发生的频率 m/n；试验次数越大，频率越稳定，可近似作为概率；注意区分频率与概率
的概念．
变式1-1 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶6 元，未售出的
酸奶以每瓶2 元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为
了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x(℃)及当天售出（不含降价处理）的
酸奶瓶数），等数据统计如下：
x（℃)
15≤x<20
20≤x<25
25≤x<30
30≤x≤35
天数
6
10
11
3
y（瓶）
270
330
360
420
以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率．
(1)试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360 瓶的概率；
(2)根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100 的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进
货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？
变式1-2 （25-26 七年级下·河南·期末）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球
共40 个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，
不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据：
摸球的次数
100
200
300
500
800
1000
3000
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摸到白球的次数
66
128
171
302
481
599
1806
摸到白球的频率
0.66
0.64
a
b
0.601
0.599
0.602
(1)表中
________；
________；
(2)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到0.1）；
(3)若向盒子里再放入x 个除颜色以外其他完全相同的球，这x 个球中白球只有2 个，然后每次将球搅拌均
匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在
，
请你推测x 可能是多少？
变式1-3 （25-26 七年级下·辽宁沈阳·期中）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共40 只，这些
球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回
．．，不断重复，并绘制了如图所示的统计
图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
(1)小明从袋子中随机摸一个红球是__________（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）；
(2)如图，摸到黑球的频率会接近__________（精确到0.1）；
(3)估计袋中黑球的个数为__________只；
(4)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，
发现黑球的频率稳定在0.6 左右，则小明后来放进了__________个黑球．
题型2、利用概率计算随机事件平均发生的次数
典例2 （25-26 九年级上·山东菏泽·阶段检测）将所有可能的取值与其对应的概率相乘，再将这些结果相
加，称为这个事件的数学期望，它与随机事件的平均值密切相关．一个随机事件可能出现的值为
、…
，
对应的概率为
、
…
，则数学期望为
．例如，抛掷一个骰子，出现
的概率
都为
，则点数的数学期望为
，也可以说投骰子出现的平均点数为
．
(1)海猫超市推出的返现活动如下：顾客在超市中消费一定金额后，可参加抽奖，返现金额与概率如下表所
示，计算返现金额的数学期望；
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金额
3 元
4 元
5 元
6 元
概率
(2)某六面骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，
，
（n 为正整数），n 为何值时，点数的数学期望最
小？请说明理由．
题型模版
1.特征：已知单次试验中事件发生的概率，估算多次试验中该事件平均发生的次数．
2.方法：利用公式 平均次数 = 试验总次数 × 概率；注意概率的准确求法和单位的实际含义．
变式2-1 （25-26 七年级下·宁夏银川·期中）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的
件数，得到如下表格：
抽取件数
50
100
200
300
500
1000
合格件数
49
94
192
285
950
合格频率
0.98
0.94
0.96
0.95
0.95
(1)表格中m 的值为_____，n 的值为_____．
(2)任抽一件该产品是合格品的频率稳定在_____，估计任抽一件该产品是不合格品的概率为_____．
(3)该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除2 元的材料损失费，今天甲员工
被抽检了420 件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？
变式2-2 为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200
只白鼠随机分成
两组，每组100 只，其中
组白鼠给服甲离子溶液，
组白鼠给服乙离子溶液．每只
白鼠给服的溶液体积与浓度均相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比．
按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如下表：
离子残留百分比
分组
给服甲离子白鼠（只数
1
8
27
30
22
12
给服乙离子白鼠（只数）
5
a
15
b
20
15
（注：表中
表示实验数据
的范围为
）
若记
为事件：
“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”，根据实验数据得到
的估计值为0.70．
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（1）
_______；
_______．
（2）实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残留百分比
的平均值估计如下：
，用上述方法估计
乙离子残留百分比的平均值．
（3）甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位
效、众数、方差如下表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．
离子残留百分比
分组
中位数
众数
方差
给服甲离子白鼠的实验组
5.9
6.0
1.38
给服乙离子白鼠的实验组
6.3
6.2
1.8
变式2-3 某生活超市有一专柜预代理销售甲乙两家公司的一种可相互替代的日常生活用品．经过一段时间
分别单独试销甲乙两家公司的商品，从销售数据中随机各抽取50 天，统计每日的销售数量，得到如下的频
数分布条形图．甲乙两家公司给该超市的日利润方案为：甲公司给超市每天基本费用为90 元，另外每销售
一件提成1 元；乙公司给超市每天的基本费用为130 元，每日销售数量不超过83 件没有提成，超过83 件
的部分每件提成10 元．
（1）求乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n 的函数关系；
（2）若将频率视为概率，回答下列问题：
①求甲公司产品销售数量不超过87 件的概率；
②如果仅从日均利润的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为超市作出抉择，选择哪家公司的产品进
行销售？并说明理由．
题型3、用概率探究保险问题
典例3 某险种的基本保险费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，保险公司规定：续保
人本年度的保险费与其上年度出险次数有关，具体规定如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
本年度保险费（元）
小明随机调查了该险种的100 名续保人在上年度的出险情况，得到如下尚不完整的统计表：
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出险次数
0
1
2
3
4
频数
30
30
m
15
10
5
(1)
；
(2)在这100 名续保人中随机抽取1 名续保人，求其本年度保险费不高于基本保险费的概率；
(3)请估计续保人本年度保险费的平均值．（结果用含a 的代数式表示）
题型模版
1.特征：利用概率评估保险赔付、保费等实际问题，体现概率的经济应用．
2.方法：建立赔付与投保人数的概率模型；计算期望赔付金额或人均保费；结合实际情况解释结果．
变式3-1 （2025·西藏阿里·一模）某航班每次飞行约有111 名乘客，若飞机失事的概率为
，
一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41 万元人民币．平均来说，保险公司应
向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本．
变式3-2 某客运公司的长途客车每车次约有40 名乘客．某保险公司在网上对长途客车行驶过程中的事故情
况进行了调查（下表是其调查结果），该保险公司要为乘客保险，许诺客车一旦出事故，向每位遇难乘客赔
偿
万元人民币．（假设每次事故有
的幸存者，每车次平均有
的乘客买保险）
长途客车行驶的次数
10010
20010
30000
40000
出事故的次数
2
4
6
8
(1)估计长途客车一次行驶的失事概率；
(2)在（1）的估计值的条件下，平均来说，保险公司应该向每位乘客如何收取保险费呢？
变式3-3 人寿保险公司的一张关于某地区的生命表的部分摘录如下：
年龄
活到该年龄的人数
在该年龄的死亡人数
40
80500
892
50
78009
951
60
69891
1200
70
45502
2119
80
16078
2001
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…
…
…
根据上表解下列各题：
（1）某人今年50 岁，他当年去世的概率是多少？他活到80 岁的概率是多少？
（保留三个有效数字）
（2）如果有20000 个50 岁的人参加人寿保险，当年死亡的人均赔偿金为10 万元，预计保险公司需付赔偿
的总额为多少？
题型4、用概率知识解决商业抽奖问题
典例4 （25-26 七年级下·广东佛山·期末）岭南天地是集历史文脉传承、旅游休闲、商业消费于一体的佛
山文化新名片．内有一商家开展抽奖活动，店内消费满
元即可获得一次抽奖机会（多买多送）．现场设
置的翻奖牌正面、背面样式如图，在个数字中任选一个翻牌，可赢取相应的奖品．
(1)一次就抽到“古灶挂件”的概率是多少？（直接写出）
(2)每个奖牌只能翻一次，翻过的奖牌不能再翻．小明在店内消费超过了
元，获得两次的抽奖机会．请
问他第二次抽到“古灶挂件”的概率是多少？
(3)在图
设计翻奖牌背面的奖品，使得
（谢谢）
（古灶挂件）
（祖庙模型）
（电影票）．
题型模版
1.特征：通过概率分析抽奖活动中奖可能性，判断奖项设置的合理性．
2.方法：求出各奖项的中奖概率；计算总中奖概率或期望收益；注意“中奖率”与实际公平性的关系．
变式4-1 （25-26 七年级下·山西晋中·期末）某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方
式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下：
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10 元消费券
谢谢参与
10 元消费券
20 元消费券
洗牌
谢谢参与
10 元消费券
谢谢参与
谢谢参与
摸球：如图1，箱子里共放有100 个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10 元消费券”的纸条，黄球里
放有“20 元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条．
翻牌：如表，由1 个“洗牌”按钮和8 个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击
洗牌按钮，8 个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的
奖品．
(1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10 元消费券”的概率是__________．
(2)若从箱子里拿走15 个白球，再拿走一些红球，使得获得“20 元消费券”的概率为
，求拿走的红球的个
数．
(3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由．
变式4-2 （25-26 七年级下·福建宁德·期中）“五一”期间，某商店决定“让利酬宾”，推出抽奖活动：凡
在店内消费满100 元即可获得一次抽奖机会，抽奖方案如下：抽奖箱里有20 个除颜色外完全相同的小球，
其中红球4 个、黄球6 个、蓝球10 个．顾客从抽奖箱中任意摸出一个小球，若摸得红球，则奖励20 元购
物券，若摸得黄球，则奖励10 元购物券，若摸得蓝球，则奖励5 元购物券．
(1)某顾客购物消费150 元，获得一次抽奖的机会．求他获得20 元购物券的概率是多少？
(2)为了吸引顾客，该商店准备将获得10 元购物券的概率提高到
，在保持小球总数不变的情况下，需要将
几个蓝球改为黄球？
变式4-3 （25-26 七年级下·广东佛山·期中）【情境1】如图1 是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6
个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区
域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下：
转动转
盘的次
数
200
300
400
1000
1600
2000
转到黄
72
93
130
334
532
667
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色区域
的频数
转到黄
色区域
的频率
0.36
m
0.325
n
0.3325
0.3335
【情境2】某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了如图2 一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20 个扇
形），并规定：顾客每购买100 元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准
红色、黄色或绿色扇形区域（见扇形内的汉字注明），顾客就可以分别获得相应的奖品（如表）．小明和妈
妈购买了125 元的商品，可以获得一次转动转盘的机会，请解答下列问题：
颜色
红色
黄色
绿色
奖品
笔袋
中性笔
橡皮
(1)表中
________，
________，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率为________（精确
到0.1）；
(2)小明获得奖品的概率是多少？
(3)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为
，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，
请你根据要求，将你认为需要涂色的扇形涂上阴影（无需说明理由）．
题型5、用概率知识解决比赛问题
典例5 根据以下材料，完成相应任务
点球大战
材料一
足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970 年决定使用此
法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队
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先踢，然后双方交替各踢5 次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5 次点球时一方已肯定获胜，
裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5 次点球后，进球数相同，则由双方的第6 名队员
踢点球；依此进行第7 名、第8 名……队员，踢点球，直至决出胜负．
材料二
在2026 年滇超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利
任务解决
若前三轮过后，甲、乙两队的比分为
，若5 轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？
乙
甲
0
1
1
0
第四轮过后甲乙的比分
第五轮甲
乙比分
题型模版
1.特征：用概率解决比赛胜负、晋级、对阵等规则相关问题．
2.方法：理清比赛规则与可能结果；用树状图或列表法列举；计算指定结果的概率并解释对比赛的影响．
变式5-1 （25-26 九年级上·山东威海·自主招生）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一
场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一
人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率
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都是
，则甲最终获胜的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-2 （24-25 七年级下·广东深圳·期中）小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下：
●两人同时
．．做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子．
●当一人掷出的点数和不超过10 时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人
掷出的点数和超过10 时，必须停止掷，并且得分为0．
●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜．
根据下面这个表格中的数据记录回答：
游戏次序
游戏者
第1 次点数
第2 次点数
第3 次点数
得分
第一次
小明
2
3
2
小亮
3
4
6
第二次
小明
4
1
小亮
3
5
(1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________
（填小明或小亮）；
(2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0 的概率；
(3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的
理由．
变式5-3 在中央电视台第2 套《购物街》栏目中，有一个精彩刺激的游戏――幸运大转盘，其规则如下：
①游戏工具是一个可绕轴心自由转动的圆形转盘，转盘按圆心角均匀划分为20 等分，并在其边缘标记5、
10、15、…、100 共20 个5 的整数倍数，游戏时，选手可旋转转盘，待转盘停止时，指针所指的数即为本
次游戏的得分；
②每个选手在旋转一次转盘后可视得分情况选择是否再旋转转盘一次，若只旋转一次，则以该次得分为本
轮游戏的得分，若旋转两次则以两次得分之和为本轮游戏的得分；
③若某选手游戏得分超过100 分，则称为“爆掉”，该选手本轮游戏裁定为“输”，在得分不超过100 分的
情况下，分数高者裁定为“赢”；
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④遇到相同得分的情况，相同得分的选手重新游戏，直到分出输赢．
现有甲、乙两位选手进行游戏，请解答以下问题：
（1）甲已旋转转盘一次，得分65 分，他选择再旋转一次，求他本轮游戏不被“爆掉”的概率．
（2）若甲一轮游戏最终得分为90 分，乙第一次旋转转盘得分为85 分，则乙还有可能赢吗？赢的概率是多
少？
（3）若甲、乙两人交替进行游戏，现各旋转一次后甲得85 分，乙得65 分，你认为甲是否应选择旋转第二
次？说明你的理由．
题型6、用概率知识解决游戏公平性问题
典例6 【问题提出】甲、乙两人轮流从一堆糖果中取糖果，规定每次至少取1 颗，最多取m 颗，取到最后
一颗者获胜．设初始糖果总数为n，探究先手（先取糖果）或后手必胜的策略．
【问题探究】请将下述材料中横线上所缺内容补充完整：
(1)基础情形验证：当每次最多取2 颗（
）时，观察下表并总结规律：
糖果总数（n）
1
2
3
4
5
6
7
…
先手是否有必胜的策略
是
是
否
是
是
否
是
…
结论：当n 为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．
(2)扩展情形分析：若每次最多取3 颗（
），
当
时，先手取1 颗（或2 颗或3 颗），后手相应可取3 颗（或2 颗或1 颗）．因此后手有必胜的策略；
当
时，先手第一次取_______颗，可迫使后手陷入必输状态．
结论：当n 为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．
(3)数学归纳猜想：若每次最多取m 颗（
），当n 为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有
必胜的策略．当
，
时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择_______（先手或后手），你第
一次取_______颗．
题型模版
1.特征：通过比较各方获胜概率判断游戏规则是否公平，并给出修改建议．
2.方法：分别计算各方获胜概率；若相等则公平，否则不公平；调整规则使概率相等或符合要求．
变式6-1 （25-26 七年级下·山东烟台·期中）春季假期间，刘叔叔领着小明和小刚兄弟俩去商场购物，发
现该商场正在进行转盘抽奖活动．规则是：如图1 是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成10 个扇形），
一次购物满500 元的顾客可获得一次转转盘抽奖的机会．转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖
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券（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）．
规则表
颜色
红
蓝
黑
奖券金额（元）
20
50
80
(1)转动一次转盘，若指针落在扇形区域，分别求出获得20 元和80 元奖券的概率；
(2)为加大活动力度，现商场想调整获得20 元奖券的概率为
，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄
色区域改为红色？
(3)刘叔叔购买了520 元的商品获得了一次转转盘的机会，俩兄弟都想抽奖，于是刘叔叔制作了如图2 所示
一个可自由转动的转盘，被平均分成5 等份，分别涂上红、黄、绿三种颜色，请你帮刘叔叔设计一个公平
的游戏规则，使俩兄弟获胜一方参与抽奖．
变式6-2 （25-26 七年级下·山东济南·期中）一个不透明的盒子中装有个形状和大小完全一样的乒乓球，
分别标有到九个数字，小颖和小明同学进行摸球游戏．
(1)从盒子中任意摸出个乒乓球，标有的数字是奇数的概率是多少？
(2)游戏规则：小明从盒子中任意摸出个乒乓球，若乒乓球上标有的数字是
的倍数则小明获胜，否则小颖
获胜．这个游戏公平吗？请说明理由；
(3)现将个乒乓球分别放入甲、乙两个不透明的盒子中，甲中放入标有到数字的乒乓球，乙中放入标有
到数字的乒乓球．游戏开始后，小颖从甲或乙盒子中任意摸出一个乒乓球，再将乒乓球上的数字
输入下
列程序中，若输出数字大于可获得奖励，请帮她计算选择哪个盒子获得奖励的概率更大．
变式6-3 （25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共30 个（除
颜色不同外其它都一样），某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回
袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次
数
100
200
300
500
800
1000
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摸到黑球
的次数
65
118
189
310
482
602
摸到黑球
的频率
0.65
0.59
0.63
0.62
0.603
0.602
(1)请估计，当
很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）．
(2)试估计袋子中有白球 个．
(3)若小明和小颖同学想利用袋子里的小球做游戏，游戏规定：摸到黑球小明获胜，摸到白球小颖获胜，这
个游戏对双方公平吗？请说明理由，如果不公平，在不改变袋子中球总数量的前提下，你能通过改变不透
明袋子中黑球或白球的颜色，使游戏变得公平吗？请给出一种合理的方案．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．（25-26 七年级下·辽宁丹东·期末）端午节期间，某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由
转动的转盘（转盘被等分成20 个扇形），并规定：顾客每购买80 元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如
果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得相应的奖品（如下表）．小明和
妈妈购买了100 元的商品，可以获得一次转动转盘的机会，请完成下列问题：
颜色
奖品
红色
笔袋
黄色
中性笔
绿色
橡皮
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(1)小明获得中性笔的概率是多少？
(2)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为
，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，
通过计算说明需要再将几个空白扇形涂上颜色？
2．为了解2025 年前三季度“长三角”41 市经济运行情况，兴趣小组通过网络查询得知，经济增速最高为
，
最低为
．他们将经济增速按照查询的结果进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．2025 年前三季度“长三角”各市经济增速分布表：
分类
城市数量
增长率
（精确到
）
A
7
B
14
C
11
D
9
b．B 组具体数据如下表：
城
市
南京
常州
嘉兴
六安
泰州
安庆
滁州
杭州
南通
扬州
蚌埠
池州
苏州
上海
增
速
c．2025 年前三季度，全国经济平均增速为
．
(1)本次调查中，经济增速的中位数落在___________组（填“A”“B”“C”或“D”）．
(2)从表中数据可知，长三角41 市中，前三季度经济增速超过全国平均水平的占长三角城市总数百分比为
___________（精确到
）；
(3)现从B 组增长率为
的四个城市中，任选两个进行调查研究，通过画树状图或列表法求选中的两个城
市是南京和六安的概率．
3．（25-26 七年级下·辽宁铁岭·期末）如图所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小
明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为
，宽为
的长方形，将不规则图案围
起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔沙包，并记录沙包落在不规则图案上的次数（沙包扔在界线
上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果记录如表．
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试验次数
120
240
360
480
600
720
840
960
落在不规则图案的次数
40
67
115
149
174
223
252
298
落在不规则图案内的频率
a
结合试验结果，完成下列问题：
(1)上表中的
______；
(2)根据试验结果，估计沙包落在阴影区域的概率是______（结果精确到
）；
(3)请帮小明估计出不规则图案的面积大约为多少？
4．（24-25 七年级下·山东烟台·期中）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7 个红球和3 个白球．
(1)先从袋子里取出
个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A．
①如果事件A 是必然事件，则m 的值是多少？
②如果事件A 是随机事件，则m 的值是多少？
(2)先从袋子中取出m 个白球，再放入m 个一样的红球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个红球的频率在
附近摆动，求m 的值．
5．（25-26 八年级下·江苏宿迁·期末）一个不透明的盒子里装有若干个白、红两种颜色的球，这些球除颜
色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子
中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据．
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
52
138
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
(1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为______；（精确到
）；
(2)若盒子里共有球20 个，则白球估计有______个；
(3)在（2）的条件下，又放入a 个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1 个球是白球的概率是
，求a 的值．
6．（25-26 八年级上·湖南邵阳·期末）某地曾破获过一个专门欺诈中学生的赌博团伙，他们打着“真情助
学”的招牌，声称自己绝对是贴了钱的．他们的规则是：每个参与者先付
元钱，并摇动装有三枚骰子的器
皿．然后他可以任意选一个点数（譬如
），如果三枚骰子中出现一个
，那么得到“奖学金”
元；如果
三枚骰子中出现两个
，那么得到“奖学金” 元；如果三枚骰子中出现三个
，那么得到“奖学金” 元．这
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伙人颇具“专业知识”地向人们解释：一枚骰子出现
的机会是
，那么三枚骰子中有一枚出现
的机会就
是
，所以参与者中有一半的人得到双倍的奖金，仅此一项他们就收支相抵．再有不少人得到的三倍、
四倍“奖学金”都是他们的“真情付出”．这套“理论”一段时间内蒙蔽了不少中学生，在局部地区造成了
很坏的影响．你能应用已有的知识，拆穿这伙骗子的谎言吗？
7．（25-26 七年级下·山东青岛·期末）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练
测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据：
投篮的
次数
10
50
200
300
400
1000
命中的
次数
7
40
81
164
237
324
命中的
频率
(1)填空：
________，
________；
(2)根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到
）；
(3)根据估计的概率，若该运动员投篮150 次，则他命中的次数大约是________次；
(4)该运动员任意投出一球投中的概率与下列哪个事件的概率最接近________．
①如图一，转转盘箭头停在阴影部分，其中阴影部分圆心角为
；
②掷一枚均匀的骰子，掷到的点数为6；
③如图二，飞镖盘由相同的小正方形组成，任意投掷飞镖，命中阴影部分；
④袋子里有除了颜色外其余都相同的20 枚小球，其中3 枚黄色，1 枚白色，其余为红色，随机摸一枚球颜
色为红色．
8．为响应党中央关于打好精准扶贫攻坚战的号召，东部帮助西部进行扶贫产业开发，“食良品”是某市农
产品商贸集团有限公司旗下的“消费扶贫”的电商平台，依托地理、集团专业等渠道的优势，基地直采，
降低采购成本，全心全意为全市广大客户提供优质的食材，也解决了西部各地农副产品销售难的问题．目
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前，该平台为广大客户仅提供300 元、500 元、800 元、1000 元四种不同面额的提货券．随机抽查了其中
100 天的销售情况，整理统计后得到如下表一和表二：
表一
提货券每张面额（元）
300
500
800
1000
销售量（张）的百分比
30%
m%
18%
12%
表二
日均销售量（张）
300
450
500
650
天数
25
30
35
10
(1)随机抽取一张提货券，面额不少于800 元的概率是多少？
(2)哪种面额的提货券应多提供些？估计日均销售该面额的提货券多少张？
(3)估计月销售总额是多少元？（月以30 天计算）
9．计划在某水库建一座至多安装4 台发电机的水电站，过去50 年的水文资料显示，水库年入流量x（年入
流量：一年内．上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40 以上．过去50 年的年入流量的统计
情况如下表（假设各年的年入流量不相互影响）．
年入流量x
40＜x＜80
80≤x＜120
120≤x＜160
x≥160
年数
10
30
8
2
以过去50 年的年入流量的统计情况为参考依据．
（1）求年入流量不低于120 的概率；
（2）若水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量x 的限制，并有如
表关系：
年入流量x
40＜x＜80
80≤x＜120
120≤x＜160
x≥160
发电机量多可运行台数
1
2
3
4
若某台发电机运行，则该台发电机年利润为6000 万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损2000
万元，水电站计划在该水库安装2 台或3 台发电机，你认为应安装2 台还是3 台发电机？请说明理由．
10．（25-26 七年级下·山西运城·期末）为传承中华优秀传统文化，弘扬山西本土非遗魅力，某校精心开
展“山西非遗进校园、传统文化润童心”主题实践活动，设置了趣味十足的非遗电子转盘互动游戏．本次
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游戏所用电子转盘被均匀划分为8 个大小一致、形状完全相同的扇形区域，8 个区域分别标注有：剪纸、皮
影、晋剧、面塑、刺绣、漆器、翼城花鼓及谢谢参与．游戏规则如下：点击按钮即可启动转盘，转盘停止
后指针会随机落在任意一个扇形区域内（若指针落在区域分界线上，则本次游戏判定无效，重新转动转盘），
游戏胜负判定标准为：若指针最终指向剪纸、皮影、晋剧、面塑四类非遗项目，则本次游戏童童获胜；若
指针最终指向刺绣、漆器、翼城花鼓三类非遗项目，则本次游戏年年获胜，请结合概率知识判断这个游戏
对童童和年年两人是否公平，并说明理由；若游戏不公平，请你设计一种合理的调整方案，使得游戏规则
对双方公平
11．（25-26 七年级下·山西太原·期中）某超市为感恩客户的支持与信赖，特推出了“感恩回馈季，幸运
抽好礼”的抽奖活动，抽奖活动分为转转盘和翻奖牌两种方式，规则分别如下：
转转盘：如图1 是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分为8 个区域，每个区域上分别写有“10 元”“20
元”或“感谢参与”的字样．转动转盘，当转盘停止转动后，顾客可获得指针所指区域相应金额的代金券
（若指针指向分界线，则重新转动）．
翻奖牌：如图2 是9 张背面完全相同的卡片，正面上分别写有“10 元”“20 元”“30 元”或“感谢参与”的
字样．将这9 张卡片背面朝上洗匀后，顾客可从中随机抽取一张，并获得这张卡片正面相应金额的代金券．
顾客消费超过100 元，可凭借购物小票在转转盘和翻奖牌两种方式中任选一种参与．
说明：两种方式中，“感谢参与”均无法获得代金券．
(1)求转转盘方式中，顾客获得10 元代金券的概率．
(2)求翻奖牌方式中，顾客获得代金券的概率．
(3)若你参与抽奖活动，你选择哪种方式？并说明理由．
12．（25-26 七年级下·宁夏银川·期中）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所
示，同时规定：顾客购物满20 元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据：
转动转盘的
100
200
300
400
500
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次数
落在“谢谢
参与”区域
的次数
29
60
93
122
落在“谢谢
参与”区域
的频率
(1)完成上述表格：
___________，
___________；
(2)若继续不停的转动转盘，当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近___________，假如你去转
动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是___________；（结果都精确到
）
(3)某顾客获得一次转动转盘的机会（转盘如图所示），求获得“盲盒”的概率是多少？
13．（25-26 七年级下·甘肃酒泉·期中）某商人在游乐场制作了一个如图所示的游戏转盘，取名为“开心
大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针指向数字“
”则收费元；若指针指向数字“ ”，
则奖励元；若指针指向数字“
”，则奖励元．
(1)任意转动转盘一次，转盘停止后根据指针指向的区域（指针和分区线重合时，可重新转一次），则
；
；
． （结果化成最简分数）
(2)任意转动转盘一次，求出参与者获奖的概率是多少？
(3)一天，一名游客转动转盘
次（指针均落在标有数字的区域），你认为该商人是盈利可能性大还是亏损
的可能性大？为什么？
14．在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，男性、女性日常生活中几乎全部领
域都支持手机支付．出门不带现金的人数正在迅速增加．中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查
了腾讯服务的
名用户（男性
人，女性
人），从中随机抽取了
名（女性
人），统计他们出
门随身携带现金（单位：元），规定：随身携带的现金在
元以下（不含
元）的为“手机支付族”，其
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他为“非手机支付族”．
手机支付
非手机支付
合计
男
女
合计
(1)①：根据已知条件，将下列横线表格部分补充完整（其中
，
）；
②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取位，求这位女性用户是“手机支
付族”的概率．
(2)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案、
方案一：手机支付消费每满
元可直减
元：
方案二：手机支付消费每满1000 元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有个小球（其中个红球个白球，
它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），若摸到个红球则打折，若摸到
个红球则打
折，若未摸到红球按原价付款．
如果你打算用手机支付购买某样价值
元的商品，请从实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠
方案更划算．
手机支付
非手机支付
合计
男
女
合计
15．（25-26 九年级上·江苏泰州·期末）根据以下材料，完成相应任务
点球大战
材料一
足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970 年决定使用此
法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队
先踢，然后双方交替各踢5 次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5 次点球时一方已肯定获胜，
裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5 次点球后，进球数相同，则由双方的第6 名队员
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踢点球；依此进行第7 名、第8 名……队员，踢点球，直至决出胜负．
材料二
在2025 年苏超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利
解决问题
任务一
甲、乙两队抽签决定谁先踢，甲、乙两队要不要争着去抽签？为什么？
任务二
若前三轮过后，甲、乙两队的比分为
，若5 轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？
乙
甲
0
1
1
0
第四轮过后甲乙的比分
第五轮甲
乙比分
