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1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题14 直线与圆的位置关系 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直线与圆的位置关系及求参 题型二、与一元二次方程根的关系 题型三、圆的切线求长度 题型四、圆的切线求角度 题型五、切线长定理求长度与角度 题型六、求三角形内切圆的半径与内心的坐标 题型七、平移时相切求距离与t 题型八、切线的判定 题型九、尺规作切线 题型十、无刻度尺作图 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 知识点 具体内容 易错点概括 直线与圆的三种位置关系 设圆O 半径为r，圆心O 到直线l 的距离为d： 1. 相交：d＜r，直线与圆有2 个 公共点 2. 相切：d＝r，直线与圆有1 个 公共点，直线叫切线，公共点叫 切点 3. 相离：d＞r，直线与圆没有公 共点 混淆d 的定义，错将直线上某点 到圆心的距离当成d，导致位置关 系判断错误 切线的判定定理 经过半径外端，并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线 忽略两个判定条件中的任意一 个：只满足“过半径外端”不垂直， 或只垂直半径不过外端，都错误 判定为切线 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 遇切线不会连接圆心和切点构造 直角，解题时找不到垂直关系 切线长定理 过圆外一点引圆的两条切线，切 线长相等，该点与圆心的连线平 混淆“切线”和“切线长”概念，错将 切线长当成切线的长度，忽略切 目 录 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 分两条切线的夹角 线是直线、切线长是线段长度的 区别 三角形的内切圆与内心 和三角形三边都相切的圆叫三角 形的内切圆，内切圆的圆心是三 角形三个角角平分线的交点，叫 做三角形的内心 混淆内心和外心概念：错把内心 当成三边垂直平分线交点、错记 内心位置与性质 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直线与圆的位置关系及求参 典例1 如果圆的半径是 ，圆心到直线的距离是 ，那么直线与圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 变式1-1 如图， ，P 为边 上的一点，且 ，若以P 为圆心，r 为半径的圆与射线 只有 一个公共点，则半径r 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 或 变式1-2 如图，在 中， ， ， ， 是 的内心，以 为圆心，为半径 的圆与线段 有且只有一个公共点，则的取值范围是______． 变式1-3 如图，在 中， ， ， ， 是 上一点（点 与点 不重 合）．若在 的直角边上存在4 个不同的点分别和点 、 成为直角三角形的三个顶点，则 长的 3 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 取值范围是_______． 类型二、与一元二次方程根的关系 典例2 已知， 的半径为一元二次方程 的根，圆心O 到直线l 的距离 ，则直线l 与 的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 变式2-1 已知 的圆心到直线的距离是一元二次方程 的一个根，若 与直线相离， 的半径可取的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式2-2 已知 的半径是一元二次方程 的一个根，圆心O 到直线l 的距离 ，则直线l 与 的位置关系是______． 变式2-3 一直角三角形的两直角边长是方程 的两个根，此直角三角形内切圆的半径 ___________． 题型三、圆的切线求长度 典例3 如图，在菱形 中，E 为 上一点，以 为直径的 与 相切于点E，若 ， 则 等于（ ） 4 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 变式3-1 如图，正方形 的边长为8，若经过C，D 两点的 与直线 相切， 与 相交于点E， 则 为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式3-2 如图， 与 的边 相切，切点为B．将 绕点B 按顺时针方向旋转得到 ，使 点 落在圆O 上，边 交线段 于点C．若 ， 的半径长为2，则 的长为________． 变式3-3 如图，正方形 的边长为4， 经过 ， 两点，且与 相切，则 的半径为______． 5 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型四、圆的切线求角度 典例4 如图， 是 的直径， 是 的切线，切点为C，点D 在 的延长线上，若 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 变式4-1 如图， 、 分别与 相切于 、 ， ， 为 上一点，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 变式4-2 如图，在 中， ， ，圆心在 上的半圆 与斜边 相切于点 ，则 的度数是_____度． 变式4-3 如图， 切 于点B， 交 于点C，过点B 作 交 于点D，连接 ．若 ，则 ______． 6 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型五、切线长定理求长度与角度 典例5 如图所示，P 是 外一点， 分别和 切于 两点，C 是 上任意一点，过C 作 的 切线分别交 于 ．若 的周长为12，则 的长为（ ） A．12 B．6 C．8 D．4 变式5-1 如图， ， 是 的切线， ，是切点，点 在 上，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 变式5-2 如图， 是 的内切圆，与 ， ， 的切点分别为 ，，，若 ， 则 的度数是________ ． 7 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式5-3 如图， 是 的切线，切点分别是 ．若 ，则 的长为__． 题型六、求三角形内切圆的半径与内心的坐标 典例6 如图， 是 的内切圆，若 的周长为8，面积为4，则 的半径是（ ） A．1 B． C．1.5 D．2 变式6-1 如图，菱形 中 ，对角线 、 相交于点 ， 的内心 与点 的距离 为 ，则菱形 的面积为（ ） A． B． C． D． 变式6-2 如图， 的周长为 ，点 为 的内心，连接 、 ， 于点 ．若 ， 则 的面积是________． 8 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式6-3 如图，已知 中， ， ， ，点 在 边上运动，连接 ．当 和 的内切圆半径相等时，设 ，则 ________（用含的代数式表示）． 题型七、平移时相切求距离与t 典例7 如图，在平面直角坐标系中，半径为2 的 圆心坐标是 ，将 沿 轴正方向平移，使 与 轴相切，则平移的距离为（ ） A．1 B．1 或5 C．3 D．5 变式7-1 如图，在平面直角坐标系中，以原点 为圆心、 为半径画 ，把直线： 平移后成为 的切线，下列平移方法正确的是（ ） A．向下平移2 个单位 B．向上平移1.5 个单位 C．向左平移1 个单位 D．向右平移1.5 个单位 变式7-2 如图， 的半径 ，直线l与 相切于点C，将其沿 方向平移至直线 ，交 于点 ， 9 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 交线段 于点H，若 ，则平移的距离是_____． 变式7-3 在矩形 中， ，点 从点 出发，沿 边向点 以每秒 的速度移动， 同时点 从点 出发沿 边向点 以每秒 的速度移动 两点在分别到达 两点后就停止移动， 设两点移动的时间为秒 ，回答下列问题： (1)如图1，当为几秒时， 的面积等于 ？ (2)如图2，以 为圆心， 为半径作 ． ①在运动过程中，是否存在这样的，使 正好与四边形 的一边（或者边所在的直线）相切？若存 在，求出的值；若不存在，请说明理由； ②若 与四边形 的边有4 个公共点，请直接写出的取值范围______． 题型八、切线的判定 典例8 如图， 是 的直径， 是 的切线， 为 延长线上一点，延长 交 于点 ， ，连接 ． 10 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证： 是 的切线； (2)若 ， ，求 的半径． 变式8-1 如图，在 中， ，以 为直径作 交BC 于点D．过点D 作 ，垂足为E， 且交 的延长线于点F． (1)求证： 是 的切线； (2)若 ， ，求 的长． 变式8-2 如图， 是以 为直径的 的内接三角形， 与 相切于点B，与 的延长线交于点 D，E 是 的中点，延长 ，交 的延长线于点F． (1) 与 有怎样的位置关系并说明理由； (2)若 ， ，求 的长和 的半径． 变式8-3 如图， 是 的直径，射线 交 于点D，E 是劣弧 上一点，且 ，过点E 作 于点F，延长 和 的延长线交于点G． 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)证明： 是 的切线； (2)若 ，求 的半径． 题型九、尺规作切线 典例9 如图， 是等边三角形， ，线段 是 的中线． (1)尺规作图：作 ，使 与 相切于点E，与 相交于点F，保留作图痕迹，不写作法，标明字母． (2)请判断（1）中所作的 与 的位置关系，并说明理由． 变式9-1 如图，已知 经过A，C，D 三点，点D 在 边上， ， ． (1)求作 ；（请保留尺规作图痕迹，不写作法） (2)求证： 是 的切线； (3)已知 ， ，求 的半径长． 变式9-2 如图，已知平行四边形 ． 12 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)用直尺和圆规作 ，使 过A，B 两点，且与 相切（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若 ， ， （ ），当 为多少度时，（1）中所作的圆 的半 径最小，并求出最小半径． 变式9-3 如图，在 中， (1)尺规作图：作 的角平分线，交 于点O；（不写作法，保留作图痕迹） (2)以O 为圆心， 为半径作 ，求证： 是 的切线； 题型十、无刻度尺作图 典例10 如图，在边长为1 的 正方形网格中，点A、B、C 均在格点上（用无刻度的直尺作图，并保留 作图痕迹）． (1)在图①中，作 的中线 ； (2)在图②中，作 的高线 ； (3)在图③中，作以 为直径的圆O 的切线 ． 变式10-1 如图， 是 的内接三角形， 是 的直径，点 为 的中点．请仅用无刻度的直尺 按照下列要求作图（保留作图痕迹）． 13 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)在图1 中，作出 的平分线； (2)在图2 中，作出 的内心． 变式10-2 如图，四边形 的顶点B、C、D 在 上，请仅用无刻度的直尺 ．．．．．．．．分别按下列要求画图（保留 画图痕迹） (1)如图①，若顶点A 在 上，且 ，画出 的平分线； (2)如图②，若顶点A 在 外，且 和 是 的切线，画出 的平分线． 变式10-3 如图，在 的网格中， 的三个顶点都在格点上．用无刻度的直尺作图． (1)在图1 中画出一条恰好平分 周长的直线； (2)在图2 中画出 的外接圆的一条切线 ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 14 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1．如图，直线 与 相切于点 ，线段 ， 是 的两条弦，且 ；若 的半径为 ， ， 则弦 的长为（ ） A． B． C． D． 2．下列命题中原命题和逆命题都正确的个数是（ ） ①圆内接四边形对角互补； ②三角形的内心到三边的距离相等； ③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等； ④线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等； ⑤角平分线上的点到角两边的距离相等 A．5 B．4 C．3 D．2 3．以坐标原点O 为圆心，作半径为4 的圆，若直线 与⊙O 相交，则b 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．如图，点P，C 在弦 的两侧， ， 是 的切线，C 在 上，则 与 的关系是（ ） A． B． C． D． 5．如图，点 是边长为 的等边 的内心，将 绕点 逆时针旋转 得到 ， 交 于点 ， 交 于点 ，则 （ ） 15 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 6．如图，已知 ， 为 边上一点，以 为圆心、 为半径作 ．点 在射线 上运 动，当 时， 与直线 的位置关系是______． 7． 是 的弦， 与 相切于点B，圆心O 在 上，若 ，则 _______ ． 8．如图，在 中， ， ， ，则 的内切圆半径 ___________． 9．如图所示， 的内切圆 与 、 、 分别相切于点D、E、F，若 ，则 的度 数是________． 10．如图， 中， ， ， ，点P 在线段 上，以 为圆心， 长为半径的圆与 16 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 边 相交于另一点 ，点 在直线 上，且 是 的切线，则 的最小值为________． 11．作图题（不要求写出作图步骤，但要保留作图痕迹） 如图，已知在 中， ， (1)按要求完成作图： ①用尺规作 的角平分线 ，交 于O， ②以O 为圆心， 为半径作 ； (2)判断（1）中 与 的位置关系，直接写出结果． 12．如图，已知 是 的直径，点 为 上一点，过点 的切线交 延长线于点 ，且 ． (1)求证： ； (2)过点 作 交 于点 ，若 ，求 的长． 13．如图， 是 的直径， 是 的半径， ，点 为 上方圆周上一点，连接 ， ， 交 于点 ． (1)请用无刻度的直尺和圆规在射线 上取点 ，使得 （保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求证： 是 的切线． 17 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)在（1）的条件下，若 ， ，求 的长． 14．如图， 中， ， ，动点P 从A 点出发，以每秒 个单位的速度沿 向 B 点匀速运动，同时Q 点从B 点出发，以每秒1 个单位的速度沿 向C 点匀速运动，设运动时间为t 秒， ． (1)将线段 绕P 点逆时针旋转 至 ，作 交 于G． ①如图1，当 时，求证： ； ②如图2，当 时，则线段： 、 、 之间有怎样的数量关系，证明你的结论； (2)若以 为直径的圆与 相切，直接写出t 的值为______． 15．在平面直角坐标系 中， 的半径为2．对于直线l： 和线段 ，给出如下定义：若将线 段 沿直线l 翻折可以得到 的弦 （ ， 分别是B，C 的对应点），则称线段 是以直线l 为轴 的 的“关联线段”．例如：在图1 中，线段 是以直线l 为轴的 的“关联线段”． (1)如图2，点 ， ， ， ， ， 的横、纵坐标都是整数．在线段 ， ， 中，不是以直 线l 为轴的 的“关联线段”是________； (2) 是边长为 的等边三角形，点 ，若 是以直线l 为轴的 的“关联线段”，求a 的值； (3)如果经过点 的直线上存在以直线l 为轴的 的“关联线段”，求这条直线与y 轴交点的纵坐标m 的取值范围． 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司
