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1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题05 平方根与立方根的五类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用算术平方根的非负性解题 题型二、求算术平方根的整数部分和小数部分 题型三、平方根与立方根的综合问题 题型四、与算术平方根有关的规律探索题 题型五、与立方根有关的规律探索题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：求非负数的平方根、算术平方根及任意数的立方根，常与方程结合求参数或解方程。 - 解题方法：平方根±√𝒂（a≥0），算术平方根取正；立方根√𝑎 3 符号保持；解方程时方程两边同时开方或开 立方，注意开方要加±。 - 易错提醒：忽视被开方数非负导致增根；混淆平方根与算术平方根（如√9=3，而非±3）；开立方时丢掉 负号；根号内带分数计算时未化简。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用算术平方根的非负性解题 典例1 （25-26 七年级下·辽宁铁岭·期末）若x，y 为实数，且 ，则 的值是_________． 题型模版 1.特征：含算术平方根，且被开方数非负、根式值非负，常用于求字母范围或方程取值。 2.方法：利用双重非负性，即被开方数≥0 且√a≥0；若多个非负数之和为0，则各项均为0。 变式1-1（25-26 七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知实数a，b 满足 ，则 ________． 目 录 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式1-2（25-26 七年级下·天津南开·期中）如果 与 互为相反数，那么 的平方根是________． 变式1-3（25-26 七年级下·贵州遵义·期中）若实数x，y 满足 ，则 ____． 题型二、求算术平方根的整数部分和小数部分 典例2 （25-26 七年级下·广东惠州·期中）若 的整数部分为a，小数部分为b，求 的值为______． 题型模版 1.特征：求无理数的整数部分与小数部分，需判断该数在哪两个连续整数之间。 2.方法：找到与算术平方根相邻的两个完全平方数，较小者为整数部分，原数减整数部分得小数部分。 变式2-1（25-26 七年级下·北京西城·期中）已知 分别是 的整数部分和小数部分，则 _____． 变式2-2（25-26 七年级上·全国·期末）已知 的算术平方根是3，b 是 的整数部分，则 的 平方根为________． 变式2-3（25-26 七年级上·浙江宁波·期中）已知 是4 的平方根，是 的小数部分，是 的整数部分，则代数式 _________． 题型三、平方根与立方根的综合问题 典例3 （25-26 七年级下·河北保定·期末）已知 的立方根是 ， 的算术平方根是3． (1)求 的值； (2)求 的平方根． 题型模版 1.特征：同时涉及平方根与立方根运算，利用开方与乘方互逆关系求值或化简。 2.方法：先分别开方或立方，再合并同类项；或设方程利用平方根、立方根定义互为逆运算求解。 变式3-1（25-26 七年级下·陕西·期末）已知 的平方根是 ， 的立方根是3． (1)求 ， 的值； (2)求 的算术平方根． 变式3-2（25-26 七年级下·湖北孝感·期中）已知 的算术平方根是3， 的立方根是 ． (1)求 与 的值； (2)求 的立方根． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式3-3（25-26 七年级下·重庆忠县·期末）已知实数 是 的立方根，非零实数 的算术平方根是 ． (1)求 的平方根； (2)若是 的平方根与 的立方根之和，求 的立方根． 题型四、与算术平方根有关的规律探索题 典例4 （25-26 七年级下·河北唐山·期中）阅读观察下列算式，探究规律： 第1 个等式： ； 第2 个等式： ； 第3 个等式： ； 第4 个等式： (1)计算： ； (2)计算： ； (3)按照你所发现的规律，猜想第 个等式： （ 为正整数）=________． 题型模版 1.特征：观察一组算术平方根的运算规律（如递推、整数部分变化），求第n 项或猜想。 2.方法：列举前几项，寻找递推公式或周期，将规律用代数式表示，再代入n 求解或验证猜想。 变式4-1（25-26 七年级下·河北沧州·期中）某数学兴趣小组在学习了平方根后，对 和 的性质展 开了探究，请你参与并完成下列问题： (1)探究 的性质（a 为非负数） ①计算下列各式的值： ______ ______ ______ 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ______ ______ ______ ②归纳总结：对于任意非负数 等于多少？ (2)探究 的性质（ 为任意实数） ①计算下列各式的值： ______ ______ ______ ______ ______ ______ ②归纳总结：对于任意实数 等于多少？ 变式4-2（25-26 七年级下·江西上饶·期中）根据下表，解答下列问题： x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 (1) ______； ______； ______； (2) 的平方根是______；与 最接近的整数是______； (3)为宣传保护环境的重要性，某学校计划制作一个如图所示的关于环境保护的长方形宣传栏，已知该长方 形宣传栏的长是宽的1.5 倍，其面积为 ，根据表格中提供的数据，求这个长方形宣传栏的长和宽的 近似值．（结果均精确到 ） 变式4-3（25-26 七年级下·辽宁铁岭·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ① ， ② ， ③ ， ④ ． (1)观察算式规律，计算 ______， ______； 5 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)用含正整数 的式子表示上述算式的规律：______； (3)计算： 题型五、与立方根有关的规律探索题 典例5 （25-26 七年级下·山东日照·期中）人教版七年级数学下册第59 页《数学活动2》讲述我国著名 数学家华罗庚的故事，同时揭示了数学中求立方根的奥秘．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到 飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319 的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇， 忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求 ． ①由 ， ，可以确定 是________位数； ②由59319 的个位上的数是9，可以确定 的个位上的数是________； ③如果划去59319 后面的三位319 得到数59，而 ， ，可以确定 的十位上的数是________， 由此求得 ________； (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ________，② ________． 题型模版 1.特征：观察一组立方根的运算规律（如符号变化、递推），求第n 项或猜想结论。 2.方法：列举前几项，分析底数或指数的变化模式，用代数式表示通项，再验证后代入求解。 变式5-1（25-26 八年级上·河南平顶山·期末）【观察】 ① ② ； ③ ； ④ ． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数 ， 6 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 若 ，则 ___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若 ，求 的算术平方根． 变式5-2（25-26 八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以 的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为 ，所以 是两位数； ②其次观察了立方数： ．猜想个位数 字是7； ③接着将50653 往前移动3 位小数点后约为50，因为 ，所以 的十位数字应为3，于是 猜想、验证，得50653 的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到 ，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两 个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1) ___________． (2)若 ，则 ___________． (3)已知 ，求 的值． 变式5-3（25-26 八年级上·广东河源·阶段检测）（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式 ， ， ， ， 所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数 ，，若 ， 则 ；（写出 与 之间的关系式） （3）【应用】 7 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 根据（ ）中所归纳的结论，解决下列问题： 若 ，求 ； 若 ，且 ，求 的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026·山东淄博·三模）若 ，则 的平方根是（ ） A．1 B． C． D．0 2．（25-26 七年级下·湖南长沙·期末）实数a，b 是连续整数，如果 那么 的值是（ ） A．9 B．7 C．8 D．11 3．（25-26 七年级下·云南曲靖·期末）若 ， ，则 （ ） A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2 4． （25-26 八年级下·四川凉山·期末）已知 ； ； ； ； ；按此规律，若 （ ， 为正整数），则 的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26 七年级下·河北廊坊·阶段检测）已知 ，则 的立方根是______． 6．（25-26 七年级下·宁夏吴忠·期中）（1）已知 ，则 _______； （2）已知 则 ________． 7．（25-26 七年级下·吉林松原·期末）小明发现 ， ， ，…，根据小明的发 现解决问题：已知 ， ，则 的值为__________． 8． （25-26 七年级上·浙江金华·期末）已知 的整数部分为 ， 小数部分为 ， 为有理数，若 满足 ，则 的值为_______． 三、解答题 9．（25-26 七年级下·吉林四平·期末）已知 的平方根是 ， 的立方根是 ，是 的整 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 数部分 (1)求 、 、的值； (2)求 的算术平方根． 10．（25-26 七年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个非负数的平方根是 与 ， 的算术 平方根是 ． (1)求 ， ，的值； (2)求： 的立方根． 11．（25-26 八年级上·广东梅州·阶段检测）已知 是 的算术平方根， 是 的立方根． (1)求a，b 的值． (2)化简: ． 12．（25-26 七年级下·安徽芜湖·期中）如图，一只蚂蚁从点 沿数轴向右爬行了2 个单位长度到达点 ， 点 表示 ，设点 所表示的实数为 ． (1)实数 的值是__________； (2)化简： _________； (3)若在数轴上有 两点分别表示实数 ，且 与 互为相反数，求 的立方根． 13．（25-26 七年级下·山东德州·期中）数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规 律： ， ， ；… 实践探究： (1)按照此规律，计算： ； ； (2)计算： ； 迁移应用： (3)若 符合上述规律，请直接写出x 的值： ． 14．（25-26 七年级下·云南昭通·期中）阅读材料：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39． 【发现问题】华罗庚是怎样准确迅速地计算59319 的？ 【提出问题】如何快速计算较大完全立方数的立方根？ 【分析问题】 因为 ， ， 所以 是两位数． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 的个位 数字 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 由上表，因为59319 的个位数字是9，所以 的个位数字是9． 因为 ， ．所以 ，即 的十位数字是3．故 ． 【解决问题】阅读上面材料回答问题： (1)已知103823 是整数的立方，计算 ___________； (2)已知7921 是整数的平方，求 的值，并参考阅读材料的分析过程说明理由．
