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第八章 实数（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．化简： （ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】求一个数的算术平方根
【分析】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
根据算术平方根的定义即可解答．
【详解】解： ．
故选：A．
2．如图，数轴上点P表示的数可能是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的大小估算、实数与数轴
【分析】此题考查了估算无理数的大小，以及实数与数轴，弄清估算的方法是解本题的关键．通过估
算确定出各数的范围，即可作出判断．
【详解】解：A． ，
，不满足题意；
B．
，即 ，满足题意；
C． 不满足题意；
D． 不满足题意，
故选：B．
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学科网（北京）股份有限公司3．下列运算中，正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根
【分析】本题主要考查算术平方根及立方根，解答的关键是对算术平方根及立方根的性质的掌握．利
用算术平方根及立方根的性质对各项进行运算即可．
【详解】解：A、 ，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，故C符合题意；
D、 ，故D不符合题意；
故选：C．
4．在实数 ， ， ， ， （两个“1”之间依次多1个“2”）中，无理数有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】无理数、求一个数的立方根
【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无
理数．如 （每两个8之间依次多1个0）等形式．
无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断．
【详解】解： ，
、 、 （两个“1”之间依次多1个“2”）是无理数，共3个，
故选：C．
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学科网（北京）股份有限公司5．若x，y为实数，且 ，则 的值为（ ）
A．1 B．9 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性
【分析】此题考查了算术平方根与绝对值的非负数性．运用非负数的性质先求得 的值，再代入计
算即可求解．
【详解】解：∵ ，
， ，
解得 ， ，
，
故选：A．
6．若n为自然数，对 下面判断正确的是（ ）
A． 一定无意义 B． 一定有意义
C．若n为奇数，则 必有意义 D． 一定成立
【答案】C
【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解
【分析】本题主要考查了立方根，平方根定义，解题的关键是熟练掌握定义．根据立方根、平方根定
义进行判断即可．
【详解】解：当 为偶数， 时， 有意义，
当 为偶数时， 必有意义， 不一定成立，
故C正确，ABD错误．
故选：C．
7．如图，面积为7的正方形 的顶点 在数轴上，且表示的数为1，若 ，则数轴上点 所表
示的数为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求一个数的算术平方根、实数与数轴
【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是
关键．
根据正方形的边长是面积的算术平方根得 ，结合 点所表示的数及 间距离可得点
所表示的数．
【详解】解： 正方形 的面积为7，且 ，
，
点 表示的数是1，且点 在点 左侧，
点 表示的数为： ．
故选：C．
8．用※定义一种新运算：对于任意实数 和 ，规定 ，如： ．则
的结果是（ ）
A．9 B．11 C．13 D．15
【答案】B
【知识点】新定义下的实数运算
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新定义的运算法则是解题的关键．
根据定义的新运算发展进行计算即可．
【详解】解：由题意得： ．
故选：B．
9．有一个数值转换器，程序如下：
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学科网（北京）股份有限公司当输入 时，输出 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数、程序设计与实数运算、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查数值转换器，先取 的算术平方根，即求 的算术平方根；再判断 的算术平方
根是无理数还是有理数，如果是无理数，直接输出即可，如果是有理数，继续求算术平方根，据此解
答即可．解题的关键是正确理解数值转换器的原理
【详解】解：∵ ， 为有理数，
∴把 输入， ， 为有理数，
∴把 输入， ， 为有理数，
∴把 输入， 的算术平方根为 ， 是无理数，
∴输出的 的值是 ．
故选：D．
10．对于实数 ，我们规定 表示不大于 的最大整数，如 ， ， ．对数99进行
如下操作： ，这样对数99只需进行3次操作后变成1，
类似地，使数2024变为1需要进行操作的次数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】无理数的大小估算、新定义下的实数运算
【分析】本题考查无理数的估算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据 表 示不大于
x的最大整数，结合定义的新运算和无理数的估算进行求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解： ．
∴对 只需进行4次操作后变为1．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．比较大小： ．
【答案】 /小于
【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算
【分析】题考查了实数的大小比较，无理数的估算，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键；根
据估算 和 的大小，推出结果．
【详解】解：因为
所以 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
12．64的平方根为 ； 的立方根为 ．
【答案】 2
【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，求一个数的立方根等知识点，熟练掌握平方根和立方根
的定义是解题的关键．
根据平方根和立方根的定义进行求解即可，注意先化简，再求解．
【详解】解：64的平方根为 ，
的立方根为 ，
故答案为： ， ．
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学科网（北京）股份有限公司13．已知 ， ，则 ．
【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题关键．将 变形为 ，
再进行计算即可．
【详解】解： ，
，
故答案为： ．
14．若 ， 为两个有理数，且 ，则 的平方根为 ．
【答案】
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根
【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，代数式求值，关键是熟练掌握算术平方根的性质．根据
题意得到 ， ，求出 ，代入 求出 ，然后代入 求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ．
故答案为： ．
15．已知点 、 、 在数轴上表示的数 、 、 的位置如图所示，化简：
．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数与数轴、整式的加减运算
【分析】本题主要考查了平方根、立方根的性质，根据数轴可知 ，则可知 ，
，即可根据平方根，立方根的性质进行化简．
【详解】根据数轴可知 ，则可知 ， ，
；
故答案为： ．
16．对于不相等的两个实数 、 ，定义一种运算 @ ： ，如
则 ．
【答案】
【知识点】新定义下的实数运算
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握题中的新定义的运算法则是解本题的关键．根据题中的新
定义的运算法则计算即可．
【详解】解： ，
故 答 案 为 ： ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．（1）计算： ；
（2）求 的值： ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2） 或
【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根、化简绝对值、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了算术平方根，立方根，绝对值，利用平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解
题的关键．
（1）先化简算术平方根，立方根，绝对值，再运算加减法，即可作答．
（2）先整理原式为 ，再开方，即可作答．
【详解】解：（1）
；
（2） ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ．
18．把下列各数填在相应的横线上： ， ， ，0， ， ， ，
整数： ；
负分数： ；
无理数： ．
【答案】 ，0， ； ， ； ，
【知识点】求一个数的立方根、实数的分类、求一个数的算术平方根
【分析】本题主要考查了实数的分类，先求出算术平方根，立方根，然后按照各自的定义分类即可．
无限循环小数或有限小数是有理数；无限不循环小数是无理数．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解： ， ，
整数： ，0， ；
负分数： ， ；
无理数： ， ；
故答案为： ，0， ； ， ； ，
19．已知 的立方根是2， 的平方根是 ．
(1)求a、b的值；
(2)求 的算术平方根．
【答案】(1) ，
(2)6
【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的算术平方
根
【分析】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
（1）利用平方根、立方根定义确定出 与 的值即可；
（2）把 与 的值代入计算即可求出所求．
【详解】（1）解： 的立方根是2， 的平方根是 ，
，
解得： ， ；
（2）当 ， 时， ，
则36的算术平方根是6．
20．如图所示为一个数值转换器．
(1)当输入的 的值为49时，输出的 的值是______；
(2)若输入有效的 值后，始终无法输出 的值，请写出所有满足要求的 的值：______；
(3)若输出的 值是 ，请写出两个满足要求的 的值：______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)0和1
(3)5，25（5的偶次方都对）
【知识点】求一个数的算术平方根、无理数、程序设计与实数运算
【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键．
（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断；
（3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数．
【详解】（1）解：当 时，取算术平方根 ，不是无理数，
继续取算术平方根 ，是无理数，所以输出的y值为 ；
（2）解：因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；
所以当 ，1时，始终输不出y值．
（3）解： 的算术平方根为25，
的算术平方根5，
5的算术平方根为 ，
∴ 或 或 （5的偶次方）都满足要求．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．实数a在数轴上的对应点A的位置如图所示， ，
(1)求b的值；
(2)已知 的小数部分是m， 的算术平方根是2，求 的平方根．
【答案】(1)
(2)
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】求一个数的平方根、无理数整数部分的有关计算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、
化简绝对值
【分析】（1）根据坐标轴可知 ，根据绝对值的性质进行求解即可；
（2）先分别求出 ，的值，代入求解即可．
【详解】（1）解：由图可知： ，
，
，
，
，
；
（2） ，
的小数部分是 ，
的算术平方根是2，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了实数与数轴，化简绝对值，无理数的整数部分和小数部分，掌握以上基础知识是
解本题的关键．
22．大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，于
是小明用 来表示 的小数部分，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是
其小数部分．请解答：
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学科网（北京）股份有限公司(1) 的整数部分是______，小数部分是______；
(2)如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求 的值；
(3)已知： ，其中x是整数部分，y是小数部分，求 的值．
【答案】(1)
(2)1
(3)
【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算
【分析】本题主要考查了无理数整数部分和小数部分的计算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方
法．
（1）先用夹逼法估算 ，即可解答；
（2）先用夹逼法估算 和 ，得出 和 的值，即可解答；
（3）先得出 的取值范围，再得出 的取值范围，进而得出 和 的值，即可解答．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 的整数部分是4，小数部分是 ；
故答案为： ；
（2）解： ，
，
，
∵ 的小数部分为 的整数部分为 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
．
（3）解：∵ ，
∴ ，即 ，
，
∵ 是整数部分， 是小数部分，
，
．
23．探究发散：
(1)完成下列填空
① 3 ，② 0.5 ，③ ______，
④ 0 ，⑤ ，⑥ ______．
(2)根据上述计算结果，回答： 一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：
______．
(3)利用你发现的规律完成下题：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示．
化简：
【答案】(1)6；
(2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数
(3)
【知识点】化简绝对值、与算术平方根有关的规律探索题、根据点在数轴的位置判断式子的正负、整
式的加减运算
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了算术平方根、数轴、相反数和绝对值，整式的加减运算等知识，熟练掌握相关性
质和运算法则是解题关键．．
（1）先计算平方，再计算算术平方根即可；
（2）结合（1）中计算可知， 不一定等于a，并发现其中规律即可；
（3）由a、b、c在数轴上的位置可知， ， ，进而判断式子正负，再结合（2）所得
规律化简算术平方根，同时去绝对值符号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解： ， ，
故答案为：6； ；
（2）解： 不一定等于a，
规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数
（3）解：由a、b、c在数轴上的位置可知， ， ，
， ，
．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．我们规定用 表示一个数对，给出如下定义：记： ， ，将 和 称为
数对 的一对“开方对称数对”．
例：数对 的开方对称数对为 和
(1)数对 的开方对称数对为________和________；
(2)若数对 的一个开方对称数对是 ，则 ________；
(3)若数对 的一个开方对称数对是 ，求 的值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3) 或 ．
【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、新定义下的实数运算、求一个数的算术平方根、求一个
数的立方根
【分析】（ ）根据新定义运算解答即可求解；
（ ）根据新定义即可求解；
（ ）根据新定义，分两种情况解答即可求解；
本题考查了新定义运算，理解新定义是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得， ， ，
∴数对 的开方对称数对为 和 ，
故答案为： ， ；
（2）解：由题意得， ，
故答案为： ；
（3）解：若 ， ，
则 ， ，
∴ ；
若 ， ，
则 ， ，
∴ ；
的值为 或 ．
25．先观察下列等式，再回答问题：
① ；
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学科网（北京）股份有限公司② ；
③
(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 _______
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______
(3)对任何实数a， 表示不超过a的最大整数，如 ，
计算：
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】与实数运算相关的规律题
【分析】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的
关键．
（1）根据题干例举的等式，即可答案；
（2）根据题干例举的等式，总结规律可得答案；
（3）先总结规律可得 ，再利用规律进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意： ；
（2）解： ；
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学科网（北京）股份有限公司（3）解：原式
．
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学科网（北京）股份有限公司
