文档内容
专题 02 实数
【考点1】求一个数的算术平方根★
【考点2】利用算术平方根的非负性解题★
【考点3】与算术平方根有关的规律探索题★★
【考点4】求一个数的平方根★
【考点5】已知一个数的平方根，求这个数★
【考点6】利用平方根解方程★
【考点7】已知一个数的立方根，求这个数★
【考点8】算术平方根和立方根的综合应用★★
【考点1】无理数的定义★
【考点10】实数的性质★
【考点11】实数与数轴★
【考点12】无理数的大小估算★
【考点12】无理数整数部分有关计算★★
【考点14】实数的混合运算★★
知识点1：算术平方根和平方根
1.算术平方根的定义
x a x2 a x a
如果一个正数 的平方等于 ，即 ,那么这个正数 叫做 的算术平方根（规定0的
a a a a
算术平方根还是0）； 的算术平方根记作 ，读作“ 的算术平方根”， 叫做被开方
数.
2.算术平方根的性质
a a 0
a2 |a|0 a 0
a a0 a 2 a a0
3.平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右
62500 250 625 25 6.25 2.5
， ， ，
或者向左移动1位.例如：
0.0625 0.25
.
a a a(a0) a
4.平方与开平方互为逆运算. ( ≥0)的平方根的符号表达为 ，其中 是
a
的算术平方根.
知识点2：立方根
1.定义：如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.这就是说，
如果 ，那么 叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
2.立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
知识点3：无理数
1.无理数
（1）定义：无限不循环小数又叫无理数.
（2）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成
分数的形式
（3）常见的无理数有三种形式：①含 类.②看似循环而实质不循环的数，如：
1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如 .
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之
对应.
【考点1】求一个数的算术平方根★1．（23-24八年级上·四川乐山·期末）16的算术平方根是（ ）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，满足a2=b，若
a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可．
【详解】解：16的算术平方根是❑√16=4，
故选：A．
3．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）❑√9的值是（ ）
A．3 B．−3 C．81 D．±3
【答案】A
【分析】本题考查的是算术平方根的含义，根据算术平方根的含义可得答案．
【详解】解：❑√9=3，
故选：A
3．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）32的算术平方根是（ ）
A．±3 B．3 C．❑√3 D．−3
【答案】B
【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．根据算术平方根的定义
即可求得答案．
【详解】解：32=9，9算术平方根是3，
∴32的算术平方根是3
故选：B．
【考点2】利用算术平方根的非负性解题★
1．（23-24八年级下·新疆和田·期中）已知|a)=5，❑√b2=3，且ab<0，则a−b=（ ）
A．8 B．−2 C．8或−8 D．2或−2
【答案】C
【分析】本题主要考查了绝对值，算术平方根的计算，根据a，b异号确定a，b的值是
解决本题的关键．
已知|a)=5即可得到a=±5，根据❑√b2=3即可求得b=±3，再根据ab<0可以得到：a，
b异号，即可确定a，b的值，求得a−b的值．【详解】解：∵ |a)=5，❑√b2=3，
∴a=±5，b=±3，
∵ab<0，
∴a，b异号．
∴a=5，b=−3或a=−5，b=3；
当a=5，b=−3时，a−b=8；
当a=−5，b=3时，a−b=−8．
故选：C．
2．（23-24七年级下·广西河池·期末）若❑√a+1+|b−2024)=0，则ab的值（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．2024
【答案】C
【分析】本题考查了非负数的性质，以及有理数的乘方运算，根据非负数的性质求出
a、b的值是解答本题的关键．先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代入ab计算即
可．
【详解】解：∵❑√a+1+|b−2024)=0，
∴a+1=0，b−2024=0，
∴a=−1，b=2024，
∴ab=(−1) 2024 =1．
故选：C．
3．（24-25八年级上·河北沧州·期中）若(a−1) 2 +❑√b−2=0，(a−b) 2024 =（ ）
A．1 B．−1 C．0 D．2024
【答案】A
【分析】本题考查平方和算术平方根的非负性，熟练掌握几个非负数的和为0，那么这
几个非负数分别为0是本题解题关键．
根据平方和算术平方根的非负性得出a和b的值，即可得出(a−b) 2024的值．
【详解】解：∵(a−1) 2 +❑√b−2=0，(a−1) 2≥0，❑√b−2≥0，
∴a−1=0，b−2=0，
解得：a=1，b=2；∴(a−b) 2024 =(−1) 2024 =1；
故答案选：A．
4．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知x，y为实数，且❑√x−3+(y+2) 2 =0，则
(x+y) 2024 = ．
【答案】1
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，根据非负数的性质可得x=3，y=−2，代
入计算即可得解，熟练掌握算术平方根的非负性是解此题的关键．
【详解】解：∵❑√x−3+(y+2) 2 =0，❑√x−3≥0，(y+2) 2≥0，
∴x−3=0，y+2=0，
∴x=3，y=−2，
∴(x+y) 2024 =[3+(−2)) 2024 =1，
故答案为：1．
【考点3】与算术平方根有关的规律探索题★★
1．（23-24七年级下·天津宁河·阶段练习）已知❑√102≈10.10，❑√10.2≈3.194，则
❑√1.02≈（ ）
A．110 B．31.94 C．0.3194 D．1.01
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根，理解小数点的移动规律是解此题的关键．
据算术平方根的意义，被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行求解即可．
【详解】解：因为❑√102≈10.10，
即❑√102=❑√1.02×100=❑√1.02×10≈10.10，
所以❑√1.02≈1.01，
故选：D．
2．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵：
1 ❑√2 ¿ ¿第1行
¿¿第2行¿❑√7¿2❑√2¿3¿❑√10¿❑√11¿2❑√3¿¿第3行¿❑√13¿❑√14¿❑√15¿4¿❑√17¿3❑√2¿❑√19¿2❑√5¿第4行¿⋅⋅⋅¿¿¿¿¿
❑√3 2 ❑√5 ¿
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第(n−3)个数是（用含n的代数式表示）（ ）
A．❑√n2−1 B．❑√n2−2 C．❑√n2−3 D．❑√n2−4
【答案】C
【分析】观察数阵排列，得出第n行第n+1个数（从左往右算）为❑√n2+1；结合第n行
第n+1个数与第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第(n−3)个数相差4个位置，据此
进行列式计算即可．本题考查了算术平方根．根据数据排列规律，计算前(n−1)行数据
的个数是解决本题的关键．
【详解】解：由图中规律知，
第一行第二个数（从左往右算）为❑√2=❑√12+1；
第二行第三个数（从左往右算）为❑√5=❑√22+1；
第三行第四个数（从左往右算）为❑√10=❑√32+1；
第四行第五个数（从左往右算）为❑√17=❑√42+1；
以此类推，
……
第n行第n+1个数（从左往右算）为❑√n2+1；
则n+1−(n−3)=4
∴第n(n是整数，且n≥4)行从左向右数第(n−3)个数是❑√n2+1−4=❑√n2−3．
故选：C．
3．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）已知❑√2=1.414，❑√20=4.472，那么❑√200= .
【答案】14.14
【分析】本题考查了算术平方根的概念，关键是理解算术平方根每向左（或右）移动
一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根
每向相同的方向移动一位．被开方数200是把2的小数点向右移动2位后得到的，则
❑√200的值是把1.414的小数点向右运动1位．
【详解】解∶ ∵❑√2=1.414，❑√200=❑√2×100，
∴❑√200=14.14，故答案为∶14.14．
【考点4】求一个数的平方根★
1
1．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习） 的平方根是（ ）
4
1 1 1
A． B．− C．± D．±2
2 2 2
【答案】C
【分析】本题考查求一个数的平方根，根据平方根的定义，进行求解即可．
1 1
【详解】解： 的平方根是± ；
4 2
故选C．
2．（23-24八年级上·四川成都·期中）❑√16的平方根是（ ）．
A．−2 B．±4 C．±2 D．4
【答案】C
【分析】本题考查算术平方根、平方根，先求得❑√16=4，再求4的平方根即可，注意
❑√16≠±4（易错点）．
【详解】解：∵❑√16=4，
∴❑√16的平方根是±2，
故选：C．
3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）20242的平方根是（ ）
A．−2024 B．2024 C．±2024 D．±❑√2024
【答案】C
【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义解答即可求解，掌握平方根的定义是
解题的关键．
【详解】解：±❑√20242=±2024，
∴20242的平方根是±2024，
故选：C．
4．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）(−3) 2的平方根是 ．
【答案】±3
【分析】本题主要考查了乘方运算、平方根等知识，理解并掌握平方根的定义是解题关键．首先求得(−3) 2 =9，然后根据平方根的定义，即可获得答案．
【详解】解：∵(−3) 2 =9，且9的平方根是±3，
∴(−3) 2的平方根是±3．
故答案为：±3．
【考点5】已知一个数的平方根，求这个数★
1．（23-24八年级上·四川乐山·期末）已知2a−1的算术平方根是3，3a+b−1的算术平方
根是4，ab= ．
【答案】10
【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握：若一个正数x
的平方等于a，即x²=a，则这个正数x为a的算术平方根．先根据算术平方根的定义
得出2a−1=9，求出a的值，再根据算术平方根的定义和a的值，求出b的值，即可
求解ab．
【详解】解：∵2a−1的算术平方根是3，
∴2a−1=9，
解得：a=5，
∵3a+b−1的算术平方根是4，
∴3a+b−1=16，
即15+b−1=16，
解得：b=2，
∴ab=2×5=10．
故答案为：10
2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）一个正数的两个平方根分别是2x−4与x−5，则这
个正数是 ．
【答案】4
【分析】本题考查平方根的性质，根据正数的平方根互为相反数求出x值是解题的关
键．
由正数的平方根互为相反数，可得2x−4+x−5=0，即可求得x的值，再根据平方根
的概念求解即可．【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是2x−4与x−5，
∴2x−4+x−5=0
解得：x=3，
∴2x−4=2×3−4=2
∴这个正数是22=4．
故答案为：4．
3．（24-25八年级上·福建漳州·期中）已知一个正数的两个平方根是a与3a−1．
(1)求a的值；
(2)求关于x的方程ax2−9=0的解．
1
【答案】(1)a=
4
(2)x=±6
【分析】本题主要考查平方根的性质，平方根解方程，掌握平方根的概念及计算是解
题的关键．
（1）根据平方根的性质得到a+3a−1=0，解方程即可求解；
1
（2）把a= 代入，由平方根的计算方法即可求解．
4
【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根是a与3a−1，
∴a+3a−1=0，
1
解得，a= ；
4
1 1
（2）解：由（1）知a= ，则 x2−9=0，
4 4
1
∴
x2=9，
4
解得，x2=36，
∴x=±6．
【考点6】利用平方根解方程★
1．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）解方程：
(1)x2−6=0
(2)2(x−3) 2 =50
【答案】(1)x =❑√6，x =−❑√6
1 2(2)x =8，x =−2
1 2
【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程．
（1）先移项，然后利用平方根的性质解方程；
（2）先两边同时除以2，再利用平方根的性质解方程．
【详解】（1）解：x2−6=0，
∴x2=6，
解得x =❑√6，x =−❑√6；
1 2
（2）解：2(x−3) 2 =50，
(x−3) 2 =25
x−3=±5
x−3=5或x−3=−5，
解得x =8，x =−2．
1 2
2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程：
(1)9x2−16=0；
(2)4(2x−1) 2 =36
4
【答案】(1)x=±
3
(2)x=2或x=−1
【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可；
（2）利用平方根的定义解方程即可；
本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根是解题的关键．
【详解】（1）解：9x2−16=0；
9x2=16，
16
x2=
，
9
4
x=±
3
（2）解：4(2x−1) 2 =36(2x−1) 2 =9
2x−1=±3
2x−1=3或2x−1=−3
解得：x=2或x=−1．
3．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）解方程：
(1)m2−49=0；
1
(2) (x−2) 2−8=0．
8
【答案】(1)m=±7
(2)x =−6，x =10
1 2
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是
解题的关键．
（1）先将m2−49=0变形为m2=49，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可；
1
（2）先将 (x−2) 2−8=0变形为(x−2) 2 =64，然后利用直接开平方法解一元二次方
8
程即可．
【详解】（1）解：m2−49=0，
∴m2=49，
解得：m=±7；
1
（2）解： (x−2) 2−8=0，
8
∴(x−2) 2 =64，
∴x−2=±8，
解得：x =−6，x =10．
1 2
4．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式中x的值．
(1) 4x2−81=0
16
(2)(x−3) 2=
25
9
【答案】(1)x=±
2
19 11
(2)x= 或x=
5 5【分析】本题考查了求平方根知识点，熟练掌握求平方根的方法是解本题的关键；
81
（1）将等式整理为x2=
，再直接开平方计算求值即可；
4
（2）直接开平方计算求值即可．
【详解】（1）解：4x2−81=0，
81
x2=
，
4
9
x=± ；
2
16
（2）(x−3) 2= ，
25
4
x−3=± ，
5
19 11
x= 或x= .
5 5
【考点7】已知一个数的立方根，求这个数★
1．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）(√3−5) 3的值等于（ ）
A．❑√5 B．√3−5 C．−5 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了立方根，根据一个数的立方根求出这个数是解题的关键．
计算即可得到答案．
【详解】解：(√3−5) 3 =−5，
故选：C ．
1
2．（23-24八年级上·河北保定·期中）若一个数的立方根为− ，则这个数为（ ）
3
1 1 1 1
A．− B． C．− D．
9 9 27 27
【答案】C
【分析】本题考查了已知一个数的立方根，求这个数．熟练掌握立方根的运算是解题
的关键．( 1) 3 1
由 − =− ，进行判断作答即可．
3 27
( 1) 3 1
【详解】解：由题意知， − =− ，
3 27
故选：C．
3．（24-25八年级上·河南南阳·期中）写出立方根是−2的数为： ．
【答案】−8
【分析】本题考查了立方根的定义，设这个数为x，则√3 x=−2，然后求出x的值即可，
掌握立方根的定义是解题的关键．
【详解】解：设这个数为x，
则√3 x=−2，解得：x=−8，
∴这个数为−8，
故答案为：−8．
【考点8】算术平方根和立方根的综合应用★★
1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的x：
(1)4x2=25；
(2)1+(x−1) 3 =−7．
5
【答案】(1)x=±
2
(2)x=−1
【分析】本题考查了立方根、平方根的意义，解题的关键是掌握平方根、立方根的意
义是正确解答的关键．
（1）根据平方根的意义进行计算即可；
（2）根据立方根的意义进行计算即可．
【详解】（1）4x2=25
25
x2=
4
5
x=± ；
2
（2）1+(x−1) 3 =−7(x−1) 3 =−8
x−1=−2
x=−1．
2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知实数a+9的一个平方根是−5，2b−a的立方根
是−2．
(1)求a、b的值．
(2)求2a+b的算术平方根．
【答案】(1)a=16，b=4
(2)6
【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根求原数，求一个数的算术平方根：
（1）对于两个实数a、b，若满足a2=b，那么a就叫做b的平方根，若满足a3=b，那
么a就叫做b的立方根，据此可得a+9=(−5) 2 =25，2b−16=(−2) 3 =−8，计算求解
即可得到答案；
（2）对于两个实数a、b，若满足a2=b，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方
根，据此求解即可；
【详解】（1）解：∵实数a+9的一个平方根是−5，
∴a+9=(−5) 2 =25，
∴a=16，
∵2b−a的立方根是−2，
∴2b−16=(−2) 3 =−8，
∴b=4
（2）解：∵a=16，b=4，
∴2a+b=2×16+4=36，
∴2a+b的算术平方根为6.
3．（24-25八年级上·江西抚州·阶段练习）已知a+1的算术平方根是2，−27的立方根是
b−12，c−3的平方根是±3．求：
(1)a，b，c的值；
(2)a+3b−c的平方根．【答案】(1)a，b，c的值分别为3，9，12
(2)±3❑√2
【分析】本题考查立方根和平方根的综合问题，利用二次根式的性质化简等知识，掌
握立方根和平方根的定义是解题的关键．
（1）利用算术平方根，立方根和平方根的定义求出a、b、c即可；
（2）将a、b、c的值代入a+3b−c中求其值，再求其平方根即可．
【详解】（1）解：∵a+1的算术平方根是2，
∴a+1=22=4，
∴a=3；
∵−27的立方根是b−12，
∴b−12=√3−27=−3，
∴b=9；
∵c−3的平方根是±3，
∴c−3=(±3) 2 =9，
∴c=12；
∴a，b，c的值分别为3，9，12；
（2）由（1）知，a，b，c的值分别为3，9，12，
∴a+3b−c=3+3×9−12=18，
∴a+4b−4c的平方根是±❑√18=±3❑√2．
4．（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）已知6a+34的立方根是4，5a+b−2的算术平方根
是5，c是9的算术平方根，
(1)求a，b，c的值
(2)求3a−b+c的平方根．
【答案】(1)a=5，b=2，c=3
(2)±4
【分析】（1）根据立方根的概念和算术平方根的概念进行求解即可；
（2）先代值计算，再根据平方根的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：∵43=64，∴6a+34=64，∴a=5；
∵52=25，∴5a+b−2=25，∵a=5，∴b=2；
∵32=9，∴c=3；
（2）把：a=5，b=2，c=3代入3a−b+c得：3×5−2+3=16，
∵(±4) 2 =16，
∴3a−b+c的平方根是：±4．
【点睛】本题考查平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根：一个数x的平方
是a，x叫做a的平方根；算术平方根：一个非负数x的平方是a，x叫做a的算术平方根；
立方根：一个数x的立方是a，x叫做a的立方根，是解题的关键．
5．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知x的两个平方根分别是3a−14和a−2,y的立方
根是2．
(1)求x,y的值；
(2)求2x+y的平方根．
【答案】(1)a=4，y=8，
(2)±4
【分析】本题考查了平方根和立方根，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据平方根和立方根的定义求解即可；
（2）由（1）知，x=4，y=8，根据平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵x的两个平方根是3a−14与a−2，
∴3a−14+a−2=0，
解得：a=4，
∴3a−14=−2，
∴x=4，
∵y的立方根是2．
∴y=23=8，
（2）由（1）知，x=4，y=8，
∴ ±❑√2x+y
=±❑√2×4+8
=±4
∴ 2x+y的平方根为±4．
【考点1】无理数的定义★
1．（2024·湖北恩施·二模）下列实数中，是无理数的是（ ）1
A．5 B．❑√5 C．−0.2 D．
2
【答案】B
【分析】本题主要考查了实数的分类，无理数的概念，解题的关键是熟练掌握无理数
的概念．
利用无理数的概念逐项进行判断即可．
【详解】解：A.该选项是有理数，不符合题意；
B. 该选项是无理数，故符合题意；
C. 该选项是有理数，不符合题意；
D. 该选项是有理数，不符合题意；
故选：B．
π
•
2．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）在实数
0.3
，0，❑√7， ，0.1010010001…中，
2
无理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②
无限不循环小数，③含有π的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无
理数的几种形式．
π
•
【详解】解：在实数
0.3
，0，❑√7， ，0.1010010001…中，是无理数的有：❑√7，
2
π
，0.1010010001…，
2
∴无理数的有3个，
故选：B．
22 π
3．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）在数字 ，3.33， ，0，2.121121112⋯
7 2
√ 1
（相邻两个2之间1的个数逐次多1），−❑√0.9，3 中，无理数的个数是（ ）．
27
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的有些数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌
握无理数的几种形式．
22
【详解】解： 是有理数，不符合题意；
7
3.33是有限小数，属于有理数，不符合题意；
π
是无理数，符合题意；
2
0是整数，属于有理数，不符合题意；
2.121121112⋯（相邻两个2之间1的个数逐次多1）是无理数，符合题意；
−❑√0.9是无理数，符合题意；
√ 1 1
3 = 是有理数，不符合题意；
27 3
综上可知：共有无理数3个，
故选：B．
【考点10】实数的性质★
1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）实数−2的相反数是（ ）
1 1
A．−2 B．2 C．− D．
2 2
【答案】B
【分析】本题考查相反数，解题的关键是掌握：只有符号不同的两个数叫做互为相反
数．据此解答即可．
【详解】解：实数−2的相反数是2．
故选：B．
2．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）❑√5−2的相反数是 ，√3−8的倒数是
．
1
【答案】 −❑√5+2/2−❑√5 − /−0.5
2
【分析】本题考查了实数的性质，求一个数的立方根，倒数和相反数的定义，掌握以
上知识是解题的关键，根据求一个数的立方根，倒数和相反数的定义进行求解．
1
【详解】解：❑√5−2的相反数是−❑√5+2；√3−8 =−2的倒数是−
21
故答案为：−❑√5+2；− ．
2
3．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）❑√10−5的相反数是 ．
【答案】5−❑√10
【分析】本题考查实数的性质，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即
可．
【详解】解：❑√10−5的相反数是−(❑√10−5)=5−❑√10；
故答案为：5−❑√10．
4．（24-25八年级上·山西晋中·期末）实数−❑√2的绝对值是 ．
【答案】❑√2
【分析】本题考查了绝对值，利用绝对值的定义计算．
【详解】解：实数−❑√2的绝对值是：❑√2．
故答案为：❑√2．
【考点11】实数与数轴★
1．（2024·北京石景山·二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正
确的是（ ）
A．a>−1 B．b>−a C．a+b<0 D．ab>0
【答案】B
【分析】本题考查了实数与数轴，实数的加法、实数的乘法运算，先由数轴得
−20，ab<0，即可作答．
【详解】解：结合数轴得−20，ab<0，
故C选项和D选项不符合题意；
故选：B
2．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，以2个单位长度作正方形，连接各边中点作小正方形．在数轴上以−1对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点
右侧点A，点A所表示的数是（ ）
A．❑√2−1 B．2−❑√2 C．2−2❑√2 D．−1−❑√2
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根的意义，由算术平方根的意义可得小正
方形的边长为❑√2，再根据题意并结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的
关键．
【详解】解：∵边长为2的正方形的面积为4，
∴小正方形的面积为2，
∴小正方形的边长为❑√2，
∵在数轴上以−1对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点右侧点
A，
∴点A所表示的数是❑√2−1，
故选：A．
3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）实数a, b, c在数轴上对应的位置如图所示，化简：
|c)−❑√(c+a) 2 +❑√b2．
【答案】a+b
【分析】本题主要考查了绝对值以及二次根式的性质与化简，正确得出各式的符号是
解题的关键．直接根据数轴上a，b，c的位置得出c<0，c+a<0，b>0，进而化简
得出答案．
【详解】解：由数轴可得：c<0|a)
∴c<0，c+a<0，b>0，
∴|c)−❑√(c+a) 2 +❑√b2
=−c−(−c−a)+b
=−c+c+a+b=a+b．
【考点12】无理数的大小估算★
1．（23-24七年级下·四川南充·期中）估算❑√13在哪两个整数之间（ ）
A．2和3 B．3和4 C．6和7 D．8和9
【答案】B
【分析】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，
再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．
【详解】解：∵9<13<16
∴❑√9<❑√13<❑√16，
∴3<❑√13<4，
故选B．
2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）估计❑√24的值在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．4和5之间 D．7和8之间
【答案】C
【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据16<24<25，可得4<❑√24<5，据此可
得答案．
【详解】解： 16<24<25，
∴4<❑√24<5，∵
故选：C．
3．（24-25八年级上·重庆·期中）估算❑√19−2的结果在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．6和7之间
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的估算，先估算❑√19 的取值范围，进而可求出❑√19−2的
取值范围．
【详解】解：∵❑√16<❑√19<❑√25
∴4<❑√19<5
∴2<❑√19−2<3
故选A
【考点12】无理数整数部分有关计算★★1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）若❑√13的整数部分是a，❑√7的小数部分是b，则
a−b的值为
【答案】5−❑√7/−❑√7+5
【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用夹值法估算出❑√7的范围是解此题的关键．
根据题意求出❑√13、❑√7的范围，得到a、b的值，再代入a−b计算即可．
【详解】解：∵9<13<16，
∴3<❑√13<4，
∴a=3，
∵4<7<9，
∴3<❑√7<3，
∴b=❑√7−2，
∴a−b=3−(❑√7−2)=5−❑√7，
故答案为：5−❑√7．
2．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）若❑√72a，a>❑√2，再计算绝对值即可求解．
【详解】解：由数轴可知，2a，a>❑√2，
∴|a−π )+|❑√2−a)=π −a+a−❑√2=π −❑√2．
故选：B．
7．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）若3−❑√2的整数部分为a，小数部分为b，则代数式
(2+❑√2a)b的值为（ ）
A．❑√2 B．2 C．4 D．4−2❑√2
【答案】B
【分析】本题主要考查了估算无理数．解题关键是熟练掌握如何估算无理数．
先估算❑√2的大小，再根据不等式的基本性质判断3−❑√2的大小，从而求出a,b，最后
代入所求式子，利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：∵1<❑√2<2，
∴−2<−❑√2<−1，
∴3−2<3−❑√2<3−1，即1<3−❑√2<2，
∴3−❑√2的整数部分为a=1，小数部分为b=3−❑√2−1=2−❑√2，∴(2+❑√2a)b
=(2+❑√2×1)(2−❑√2)
=(2+❑√2)(2−❑√2)
=22−(❑√2) 2
=4−2
=2，
故选：B．
二、填空题
8．（21-22八年级上·广东河源·期末）64的算术平方根是 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于一个非负实数a，其算术平方
根为❑√a，据此求解即可．
【详解】解：64的算术平方根是❑√64=8，
故答案为：8．
9．（23-24七年级下·广东阳江·期末）如图，将数−❑√5，❑√7，❑√13表示在数轴上，其中能
被墨迹覆盖的数是 ．
【答案】❑√7
【分析】本题考查了实数与数轴、无理数的估算，先根据数轴得1<被墨迹覆盖的数<3，
再结合2<❑√7<3,3<❑√13<4,进行作答即可．
【详解】解：由数轴得1<被墨迹覆盖的数<3，
∵❑√4<❑√7<❑√9,❑√9<❑√13<❑√16,
∴2<❑√7<3,3<❑√13<4,
则能被墨迹覆盖的数是❑√7，
故答案为：❑√7
10．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x=256时，输出的y值是 ．
【答案】❑√2
【分析】本题考查了算术平方根，以及程序框图，解题的关键在于正确理解程序框图．
将x=256代入程序框图进行运算求解，即可解题．
【详解】解：当x=256时，
则❑√256=16，16是有理数，
❑√16=4，4是有理数，
❑√4=2，2是有理数，
❑√2是无理数，
所以输出的y值是❑√2；
故答案为：❑√2．
11．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）若一个正数的两个不同的平方根为2m−6和m+3，
则m为 ．
【答案】1
【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键；由平方根的
性质可求出m的值；
【详解】解：由题意可知：(2m−6)+(m+3)=0，
∴3m=3，
∴m=1，
故答案为：1．
三、解答题
12．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）（1）计算：❑√16+(❑√3) 2 −√327；
（2）解方程：2(x−1) 2−8=0．
【答案】（1）4；（2）x=3或x=−1
【分析】本题考查实数的运算，平方根，熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键．（1）利用算术平方根及立方根的定义计算即可；
（2）将原方程整理后利用平方根的定义解方程即可．
【详解】解：（1）原式=4+3−3=4；
（2）原方程整理得：(x−1) 2 =4，
则x−1=±2，
∴x−1=2或x−1=−2，
解得：x=3或x=−1．
13．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知5a+2的立方根是3，3a+b−1的算术平方根
是4．
(1)求a，b的值；
(2)求2a+3b的平方根．
【答案】(1)a的值为5，b的值为2
(2)±4
【分析】本题主要考查了立方根、平方根及算术平方根，熟知立方根、平方根及算术
平方根的定义是解题的关键．
（1）根据立方根，算术平方根的定义即可解决问题．
（2）先求出2a+3b的值，再结合平方根的定义即可解决问题．
【详解】（1）解：∵5a+2的立方根是3，3a+b−1的算术平方根是4，
∴5a+2=33，3a+b−1=42，
解得：a=5，b=2，
故a的值为5，b的值为2．
（2）解：由题知，2a+3b=2×5+3×2=16，
∵(±4) 2=16，
∴2a+3b的平方根是±4．
14．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）小李同学探索❑√86的近似值的过程如下：
∵面积为86的正方形的边长是❑√86，且9<❑√86<10，
∴设❑√86=9+x，其中0
