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第八章 实数全章题型总结【7 个知识点 13 个题型】
【人教版2024】
【知识点1 平方根的概念及性质】
1.定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根.
2.性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.
3.开平方的定义
(1)求一个数的平方根的运算，叫作开平方.
(2)平方与开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.
4.被开方数
正数a的正的平方根记为“❑√a”，读作“根号a”，a叫作被开方数.
【知识点2 算术平方根的概念及性质】
1.定义：正数a有两个平方根，其中正的平方根❑√a叫作a的算术平方根.正数a的算术平方根用❑√a来表示.
2.性质：(1)一个正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根，0的算术平方根是0
(2)算术平方根❑√a的双重非负性：①被开方数一定是非负数，即 a≥0；②非负数a的算术平方根为非负
数，即❑√a≥0.【知识点3 立方根的概念及性质】
1.概念及表示：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根.类
似于平方根，一个数a的立方根记为“√3 a”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数.
2.性质：①每个数a有且只有一个立方根，其中a可正、可负、可为0.
②正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
【题型1 平方根与立方根的定义理解】
【例1】下列说法正确的有（ ）
①5是25的算术平方根；②±4是64的立方根；③❑√25的平方根是±❑√5；④0的平方根和算术平方
根都是它本身．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式1】下列语句，写成式子正确的是（ ）
A．3是9的算术平方根，即❑√9=±3
B．﹣3是﹣27的立方根，即√3−27=±3
C．❑√2是2的算术平方根，即❑√2=2
D．﹣27的立方根是﹣3，即√3−27=−3
【变式2】学完平方根后，当堂检测环节刘老师布置了5道填空题，下面是丛丛的完成情况：①16的平方
√ 1 1
根是±4；②0的平方根是0；③9的算术平方根是3；④❑ 的算术平方根是是 ；⑤1的立方根是
16 2
±1．若每做对一道题得20分，则该次检测丛丛应得分（ ）
A．100分 B．80分 C．60分 D．20分
【变式3】某同学在作业本上做的五道题：①“4的平方根是±2”，用数学式子表示为❑√4=±2；②
√ 25 5
−√3 −23=2；③❑√16的算术平方根是2；④❑1 =1 ；⑤±3都是27的立方根．请你帮他检查一
144 12
下，他做错了（ ）
A．2道 B．3道 C．4道 D．5道
【题型2 算术平方根的非负性求值】
【例1】已知（a﹣1）2+|b+1|+❑√b+c−a=0，则a+b+c＝ ．
【例2】代数式 的最大值是 ．
3−❑√4−x2
【变式1】如果❑√1−3x和❑√y−27互为相反数，那么❑√xy的平方根是 ．
【变式2】代数式−3−❑√a+b的最大值为 ，这时a、b满足的关系式是 ．【变式3】已知实数a，b，c满足 ，且ax2+bx+c＝0，则3x2+6x+5的值为
(1−a) 2+❑√a2+b+c+|c+3|=0
．
【变式4】已知非零实数a，b 满足 ，则a﹣b等于（ ）
|2a−4|+|b+2|+❑√(a−3)b2+4=2a
A．3 B．﹣2 C．1 D．5
【题型3 立方根的性质求值】
【例1】已知：√32a−3+√37−3a=0，则❑√a+5= ．
【变式1】已知√3 x−1+1＝x，则x＝ ．
【变式2】已知x为有理数，且√3 x−3−√32x+1=0，求x2+x﹣3的平方根．
【变式3】（1）已知√3 y−1和√33−2y互为相反数，且x﹣5的平方根是它本身，求x+y的平方根．
（2）已知x，y是实数，且❑√1+x−(y−1)❑√1−y=0，求x2023﹣y2023的值．
【题型4 平方根与立方根中综合求值】
【例1】已知M=n−√4 m+3是m+3的算术平方根，N=2m−4n+ √3 n−2是n﹣2的立方根，试求M﹣N的值．
【变式1】已知A=a−√2a+b+3是a+b+3的算术平方根，B=a−2b+ √3 a+2b是a+2b的立方根，求B﹣A的立
方根．
1
【变式2】已知：4a﹣11的平方根为±3， 的算术平方根为它本身，3c+13的立方根是4．
3a+b−1
（1）求a，b，c的值；
（2）求a﹣b+c的平方根．
【变式3】已知一个正数a的两个平方根分别为2m+1和5n+7，√3 n+√32m=0．
（1）求m和n的值：
（2）求3a﹣2m的平方根．
【题型5 运用开平方或开立方解方程】
【例1】解下列方程：
125
（1）8（x﹣1）3=− ；
8
（2）4（2x﹣1）2﹣36＝0．
【变式1】求下列各式中的x的值：
1
（1）(x−1) 2=2 ；
4
（2）2（x2﹣2）3﹣16＝0．【变式2】求下列各式中x的值．
（1）6（2x﹣3）2＝54；
216
（2）5（x﹣2）3=− ．
25
【变式3】解方程
（1）3（8﹣x）3﹣（❑√3）2＝21；
21(x−3) 2 2
（2） + =3．
4 3
【知识点4 实数的概念及分类】
1.有理数和无理数统称为实数.
2.无理数定义：任何有限小数和无限循环小数都是有理数，无限不循坏小数都是无理数.
常见的无理数形式：
①开方开不尽的数，如 ， 等；
②化简后含有π的数，如π， ；
③有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001…
3.实数的分类：
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
按定义分：实数
按符号分：实数
【题型6 无理数的定义】
⋅ ⋅ 22
【例1】下面几个数：0.1237，1.010010001…（两个1中间的0依次增多），−√30.064，3 ， ，❑√5，
7
❑ ❑
π
其中，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】在实数❑√5、﹣3、0、√3−1、3.1415、 、❑√144、❑√6，2.123122312223…（1和3之间的2逐次
加1个）中，无理数的个数为（ ） πA．2个 B．3个 C．4个 D．5个
22
【变式2】在3.14， ，3.212212221，❑√3，− ，2❑√5，2.1212212221…（在相邻两个2之间1的个数逐
7
π
次加1）中，无理数的个数为（ ）
A．5 B．2 C．3 D．4
1
【变式3】在实数❑√8，1.732， ，❑√144，√3 9， ，2.123122312223…（1和3之间的2逐次加1个）中，
7
π
无理数个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【知识点5 实数与数轴的关系】
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴
上的点是一一对应的.
【题型7 实数与数轴的关系】
【例1】实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a−π|+|❑√2−a|的结果为（ ）
A．π+❑√2−2a B．π−❑√2 C．❑√2−π D．2a−π−❑√2
【变式1】如图1，将面积为2的正方形向外等距扩0.5．在如图2所示的数轴上标示了四段范围，则大正
方形的边长数值落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【变式2】如图，半径为0.5的圆周上有一点M落在数轴上﹣1点处，现将圆在数轴上向左滚动一周后点M
1
所处的位置在两个连续整数m，n之间（m＜n），则−2m− n的平方根是（ ）
2A．±❑√3 B．−❑√3 C．−❑√12 D．±❑√12
【变式3】实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么 化简的结果（
❑√(b−a) 2+|a+b|−√3 b3
）
A．2a+b B．b C．2a﹣b D．3b
【知识点6 实数的运算】
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任
意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序基本相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加
减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号先算括号内的.
在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(例如，比计算
结果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五人.
【题型8 实数的混合运算】
【例1】计算：
√1
（1）❑√36⋅❑ −❑√(−3) 2；
9
（2）√
3
64
−√38+
√
3 (
7
−1)
2．
125 8
【变式1】计算：
（1） ；
|2−❑√6|−❑√ (3−❑√6) 2
√ 63
（2）√3 0.125+❑1− −❑√(−1) 2．
64
【变式2】计算：
√64 2 √ 1
（1）❑ ×[(−2) 2+1]+√3−27+ ×❑20 ；
25 3 4
（2） ．
❑√16+❑√(−3) 2+√38−❑√50+|7−5❑√2|
【变式3】计算下列各题：
√ 1 √ 63
（1）❑2 −❑√0.25+31− ；
4 64（2） ；
|2−❑√3|+❑√(−4) 2−√3−8
√ 3
（3）−❑√81+√3−1+√3512−3−2+ ．
64
【知识点7 实数大小比较】
1.利用数轴比较实数大小
（1）正数大于零，负数小于零，正数大于负数；
（2）两个正数，绝对值大的数较大；
（3）两个负数，绝对值大的数反而小。
2.无理数大小的比较
估算法：
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 ；
根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算 和 的大小．例
如： ，则 ； ，则 ．
常见实数的估算值： ， ， ．
【题型9 实数的大小比较】
【例1】比较2，❑√5，√37的大小，正确的是（ ）
A．2＜❑√5＜√37 B．2＜√37＜❑√5 C．√37＜2＜❑√5 D．√37＜❑√5＜2
❑√5
【变式1】5−❑√2，2+ ，2+❑√2的大小关系是（ ）
2
❑√5 ❑√5
A．2+❑√2＞2+ ＞5−❑√2 B．5−❑√2＞2+ ＞2+❑√2
2 2
❑√5 ❑√5
C．2+ ＞5−❑√2＞2+❑√2 D．5−❑√2＞2+❑√2＞2+
2 2
【变式2】2❑√14、❑√226、15三个数的大小关系是（ ）
A．2❑√14＜15＜❑√226 B．❑√226＜15＜2❑√14
C．2❑√14＜❑√226＜15 D．❑√226＜2❑√14＜15
【变式3】已知甲、乙、丙三数，甲＝5+❑√15，乙＝3+❑√17，丙＝1+❑√23，则关于甲、乙、丙三个数的大
小关系，下列判断正确的是（ ）
A．丙＜乙＜甲 B．乙＜甲＜丙 C．甲＜乙＜丙 D．甲＝乙＝丙【题型10 无理数的整数与小数部分】
【例1】阅读材料：我们知道❑√5是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此❑√5的小数部分我们不可能
全部写出来，而因为❑√4＜❑√5＜❑√9，即2＜❑√5＜3，于是❑√5的整数部分是2，将一个数减去其整数
部分，差就是小数部分，故可用❑√5−2来表示❑√5的小数部分．
请你结合以上材料，解答下列问题：
（1）❑√26的小数部分是 ，7+❑√19的整数部分是 ；
（2）如果❑√17的小数部分为m，3+❑√51的整数部分为n，求5m+2n的值；
（3）已知16+❑√62=p+q，其中p是整数，且0＜q＜1，请求出p+❑√62−q−5的算术平方根．
【变式1】因为√31＜√33＜√3 8，即1＜√33＜2，所以√33的整数部分为1，小数部分为√33−1．类比以上推
理解答下列问题：
（1）求√330的整数部分和小数部分；
（2）若m是7−√320的整数部分，且（x+1）2＝m，求x的值．
【变式2】阅读材料：❑√3是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此❑√3的小数部分我们不可能全部写
出来，而1＜❑√3＜2，于是我们可用❑√3−1来表示❑√3的小数部分．请根据材料解答下列问题：
（1）❑√15的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果❑√6的小数部分为a，❑√23的整数部分为b，求（a+b﹣2）2的值；
（3）已知：98+❑√99=x+ y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x+❑√99+5−y的算术平方根．
【变式3】材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5﹣2得来的，类比来看，
❑√2是无理数，而1＜❑√2＜2，所以❑√2的整数部分是1，于是可用❑√2−1来表示❑√2的小数部分．
1 1
材料2：若10− ❑√2=a+b❑√2，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足a＝10，b=−
2 2
．
根据以上材料，完成下列问题：
（1）❑√17的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）3+❑√3也是夹在相邻两个整数之间的数，可以表示为a＜3+❑√3＜b，求a+b的算术平方根．
1
（3）若❑√20−❑√16+ =x+y❑√5，则x＝ ，y＝ ．
5
【题型11 估算无理数的近似值】
【例1】下面是小李同学探索❑√107的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是❑√107，且10＜❑√107＜11，
∴设❑√107=10+x，其中0＜x＜1，画出如图示意图，∵图中
S =102+2×10x+x2
，S正方形 ＝107，
正方形
∴102+2×10x+x2＝107，
当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即❑√107≈10.35．
（1）❑√74的整数部分是 ；
（2）仿照上述方法，探究❑√74的近似值；（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到0.1）
（3）结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若a＜❑√m＜a+1，且m＝a2+b，请估算❑√m≈
．（用a、b的代数式表示）
【变式1】小李同学探索❑√167的近似值的过程如下：
∵面积为167的正方形的边长是❑√167且12＜❑√167＜13，
∴可设❑√167=12+x，其中0＜x＜1，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积
S =122+2×12x+x2
，又∵S正方形 ＝167，∴122+2×12x+x2＝167．
正方形
由x2＜1，可忽略x2，得144+24x≈167，得到x≈0.96，即❑√167≈12.96．
（1）写出❑√249的整数部分为 ，❑√360的整数部分为 ；
（2）仿照上述方法，探究解答❑√230的近似值．（要求：画出图形，标明数据，结果保留两位小数）
【变式2】阅读材料1．
❑√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此❑√2的小数部分不能全部写出来，但由于1＜❑√2＜2，所以❑√2的整数部分为1，将❑√2减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为❑√2−1．
（1）直接写出❑√6的小数部分是 ；√37的小数部分是 ；
（2）已知12+❑√3=x+ y，其中x是整数，且0＜y＜1，求8﹣y的值；
阅读材料2．
小明在查阅了乘法公式（a+b）2＝a2+2ab+b2后，想出了一个估算无理数近似值的方法，例如求❑√107的
近似值（结果精确到0.01），设❑√107=10+x，其中0＜x＜1，则107＝100+20x+x2，因为0＜x＜1，所
以0＜x2＜1，所以107≈100+20x，解得x≈0.35，所以❑√107≈10.35．
（3）利用小明的方法估算❑√125的近似值（结果精确到0.01）
【变式3】阅读材料
学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算❑√14的近似值．
小明的方法：∵❑√9＜❑√14＜❑√16，设❑√14=3+k（0＜k＜1），
∴ ，∴14＝9+6k+k2，∴14≈9+6k，
(❑√14) 2=(3+k) 2
5 5
解得，k≈ ，∴❑√14≈3+ ≈3.83．
6 6
问题：
（1）请你依照小明的方法，估算❑√30的近似值．
（2）已知非负整数a、b、m，若a＜❑√m＜a+1，且m＝a2+b，结合上述材料估算❑√m的近似值（用含
a、b的代数式表示）．
【题型12 平方根与立方根中小数点移动规律】
【例1】观察下列各式解决问题：
已知❑√15≈3.873，❑√1.5≈1.225，则❑√150≈ ．
已知√310≈2.154，√3 y≈−0.2154，则y＝ ．
【变式1】已知❑√0.1587≈0.3984，❑√1.587≈1.260，√30.1587≈0.5414，√31.587≈1.166，聪明的同
学你能不用计算器得出：（1）❑√15.87≈ ；（2）√30.001587≈ ．
【变式 2】观察：❑√0.06137=0.2477，❑√6.137=2.477，√36.137=1.8308，√36137=18.308；填空：①
❑√613.7= ，②若√3 x=0.18308，则x＝ ．
【变式3】观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题：
b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000
√3 b 0.16 1.6 16 160 1600
（1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向 移动 位．
（2）运用你发现的规律，探究下列问题：已知√313≈2.35，则√30.013≈ ，√313000≈ ．
（3）类比上述立方根运算：已知❑√3.66≈1.913，则❑√366≈ ，❑√36600≈ ．
【题型13 实数中的新定义问题】
【例1】对于整数n，定义[❑√n]为不大于❑√n的最大整数，例如：[❑√2]＝1，[❑√6]＝2，[❑√9]＝3，对26进行
如下操作：26第一次[ ]＝5第二次[ ]＝2，即对26进行两次操作后变成2．若对整数a进行上述两次
❑√26 ❑√5
→ →
操作后变为4，那么a的最大值为 ．
【变式1】任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[❑√3]＝1，现对72进行如下操作：72
第一次[ ]＝8第二次[ ]＝2第三次[ ]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需
❑√72 ❑√8 ❑√2
→ → →
进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
【 变 式 2 】 若 记 [x] 表 示 任 意 实 数 的 整 数 部 分 ， 例 如 ： [3.5] ＝ 3 ， [❑√5]=2， … ， 则
[❑√1]−[❑√2]+[❑√3]−[❑√4]⋯−[❑√98]+[❑√99]（其中“+”“﹣”依次相间）的值为 ．
【变式3】任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[❑√3]=1，现对72进行如下操作：
72第1次[❑√72]=8第2次[❑√8]=2第3次[❑√2]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似
→ → →
地，（1）对85只需进行 次操作后变为1；（2）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最
大的是 ．
【变式4】新定义：若无理数❑√T的被开方数（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），
则称无理数❑√T的“青一区间”为（n，n+1）；同理规定无理数−❑√T的“青一区间”为（﹣n﹣1，﹣
n），例如：因为12＜2＜22，所以❑√2的“青一区间”为（1，2），−❑√2的“青一区间”为（﹣2，﹣
1），请回答下列问题：
（1）❑√17的“青一区间”为 ；−❑√23的“青一区间”为 ；
（2）实数x，y，满足关系式： |＝2023，求 的“青一区间”．
❑√x−3+|2023+(y−4) 2 ❑√xy
